Epsilon Delta
239 views
Skip to first unread message
Metehan Deniz(Öğrenci)
Oct 22, 2016, 8:51:54 AM10/22/16
to TMOZ
lim x->1 (1/(x+1)=1/2 olduğunu epsilon-delta ile nasıl gösterebiliriz?
Metehan Deniz(Öğrenci)
Oct 23, 2016, 2:21:20 AM10/23/16
to TMOZ
Barış hocam çok teşekkür ederim.
23 Ekim 2016 Pazar 01:08:30 UTC+3 tarihinde Barış DEMİR yazdı:
Bu ispat mevzusunu anlamam için kafamda ufak 2-3 soru var. O sorularda da beni aydınlatırsanız sevinirim.(Sorular görselde.)
23 Ekim 2016 Pazar 01:08:30 UTC+3 tarihinde Barış DEMİR yazdı:
Barış DEMİR
Oct 23, 2016, 9:31:57 AM10/23/16
to TMOZ
Metehan,
x değerinin 2 ye yakın olmasını istediğimizde de |x-2|<1 alabiliriz. Hatta 1 birimden daha yakın olarak 1/2 de alabiliriz. Kolaylık ve kullanışlılık açısından 1 i seçiyoruz. Ama soruya göre farklı değerler de alabiliriz.
Epsilon delta tanımında yeterince küçük bir delta varlığından bahsedilir. Bu nedenle deltayı olabildiğince küçük almaya çalışırız. Verdiğim ispatta delta adayları bu mantık altında seçilmeye çalışıldı.
Son olarak, epsilon delta ispatlarında ispata başlamadan önce |f(x)-L|<epsilon a uygun delta belirlemesi yapılır. Bu aşama ispat aşaması değildir.
Delta belirlendikten sonra ispat başlar.
Umarım anlaşılır olmuştur.
23 Ekim 2016 Pazar 09:21:20 UTC+3 tarihinde Metehan Deniz(Öğrenci) yazdı:
23 Ekim 2016 Pazar 09:21:20 UTC+3 tarihinde Metehan Deniz(Öğrenci) yazdı:
altinor...@gmail.com
Oct 25, 2016, 3:52:23 PM10/25/16
to TMOZ
Lim x-->0 (x kare) . Cos (1/x)=0
Kaniti
Kaniti
Barış DEMİR
Oct 25, 2016, 4:03:21 PM10/25/16
to TMOZ
Merhaba Hocam,
-1<= cos(1/x) < = 1 olduğundan -x^2 < = x^2 .cos(1/x) < = x^2 olur.
x-->0 için -x^2 ve x^2 nin limitleri 0 olduğundan x^2.cos(1/x) in de limiti 0 olur.
Epsilon delta ispatını soruyorsanız eğer, δ=√ε ve |cos(1/x)|<=1 i kullanarak
|x| < δ=√ε olması |x^2| < ε olduğunu gösterir. Bu eşitsizliği |cos(1/x)|<=1 ile çarparsak, |x^2.cos(1/x)|< ε ile ispat tamamlanır.
25 Ekim 2016 Salı 21:47:49 UTC+3 tarihinde altinor...@gmail.com yazdı:
Muharrem Şahin
Oct 26, 2016, 1:33:50 PM10/26/16
to tm...@googlegroups.com
Barışcığım;
Ben
bu tür problemleri
ekteki 2. yoldan çözerdim.
Senin çözümünü görünce
Thomas, Calculus'a baktım.
1. yolu ekledim.
Senin gördüğün
bir yanlışım var mı?
Sevgiler, selamlar.
25 Ekim 2016 23:03 tarihinde Barış DEMİR <baris...@gmail.com> yazdı:
--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+unsubscribe@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/30386da5-1050-4967-b7f9-1d47511b7aae%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
.
Barış DEMİR
Oct 26, 2016, 3:37:05 PM10/26/16
to TMOZ
Muharrem Hocam,
1.yolda 1/2 - ε < 1 / (x+1) < 1/2 + ε dan sonra eşitsizliğin çarpmaya göre tersini alırken tarafların pozitif olduğunu kabul etmiş görünüyorsunuz. Oysa, 1/2 - ε < 0 olabilir. Bu aşamada biraz açıklama gerekebilir.
2.yolda ise 0<δ<2 koşullu detlaya bağlı epsilon yerine deltayı yalnız bırakırsak, δ=4ε/(2ε+1) gelir. Bu halde verili her ε>0 için |x-1| < δ olması |f(x) - 1/2| < ε olmasını gerektirecek biçimde δ=4ε/(2ε+1) var dersek daha iyi olacak diye düşünüyorum.
Her iki yol da gayet güzel duruyor, aklınıza sağlık.
Saygı ve sevgilerle...
26 Ekim 2016 Çarşamba 20:33:50 UTC+3 tarihinde Muharrem Şahin yazdı:
26 Ekim 2016 Çarşamba 20:33:50 UTC+3 tarihinde Muharrem Şahin yazdı:
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/30386da5-1050-4967-b7f9-1d47511b7aae%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
--.
Muharrem Şahin
Oct 26, 2016, 3:52:41 PM10/26/16
to tm...@googlegroups.com
Thomas, Calculus'taki
çok uzatılmış açıklamaları görünce,
2. yoldaki çözümümden
şüphelenip
bunu
Saygın Dinçer Hocama göstermiştim.
Saygın Hocam da
senin önerdiğin değişikliği önerdi.
Derste olduğu için ayrıntılı görüşemedik.
Neden bunu öneriyorsunuz?
Ben
Ix-1I < delta
verisini alarak diğerine geçiyorum.
Rahat bir zamanında yazarsın.
26 Ekim 2016 22:37 tarihinde Barış DEMİR <baris...@gmail.com> yazdı:
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+unsubscribe@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/acf1da9c-b320-4e5d-a567-ace962f8c084%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
.
Message has been deleted
Message has been deleted
Message has been deleted
Message has been deleted
murat baştan
Oct 27, 2016, 3:15:34 PM10/27/16
to TMOZ
ufak bir düzeltme yapayım .verdiğim örnekte f(x)=3x+2 demişim komşulukları f(x)=2x+2 göre yapmışım..dikkatsizliğim için özür dilerim
22 Ekim 2016 Cumartesi 15:51:54 UTC+3 tarihinde Metehan Deniz(Öğrenci) yazdı:
lim x->1 (1/(x+1)=1/2 olduğunu epsilon-delta ile nasıl gösterebiliriz?
Barış DEMİR
Oct 28, 2016, 8:35:21 AM10/28/16
to TMOZ
Muharrem Hocam,
doğru anladıysam 2.çözümdeki değişikliği neden önerdiğimi soruyorsunuz. Bunu açıklamada yazmıştım. Epsilon delta ilişkisinde bağımsız değişken epsilon, bağımlı değişken deltadır. Çünkü tanımda
verili her sıfırdan büyük epsilon için
|x-a|<delta ==> |f(x)-L|<epsilon
önermesini doğrulacak bir deltanın var olduğunu göstermemiz gerekiyor. Doğaldır ki bu durumda verili olan epsilona bağlı bir delta inşa etmemiz gerekir. Bu nedenle 2.çözümünüzde bunu önermiştim.
Murat Hocam sizin de aklınıza sağlık. Birkaç düzenlenmesi gereken yer var.
26 Ekim 2016 Çarşamba 22:52:41 UTC+3 tarihinde Muharrem Şahin yazdı:
26 Ekim 2016 Çarşamba 22:52:41 UTC+3 tarihinde Muharrem Şahin yazdı:
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/acf1da9c-b320-4e5d-a567-ace962f8c084%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
--.
Muharrem Şahin
Oct 28, 2016, 10:57:50 AM10/28/16
to tm...@googlegroups.com
Barışcığım;
Tanımdaki ifadenin
" |x-a|<delta ==> |f(x)-L|<epsilon"
gerektirmesini gündeme getirdiğini görmüştüm.
Ben de bu gerektirmeye dayanarak
her x değerinin "Ix-aI < delta"
eşitsizliğini sağlayacağı bir "delta" değeri belirledikten sonra
bu "delta" değerine bağlı olarak
|f(x)-L|<epsilon"
eşitsizliğinin sağlandığı
"delta"ya bağlı bir "epsilon" değeri bulmaya çalışıyorum.
Başka bir deyişle;
"x değerleri
a'nın delta komşuluğunda iken
f(x) değerlerinin de
L'nin epsilon komşuluğunda olacağını" göstermeye çalışıyorum.
Bu düşüncemdeki yanlışı bulamıyorum.
...
Aslında;
tanımın ifadesi
bana
"|f(x)-L|<epsilon ==> |x-a|<delta"
gerektirmesini düşündürüyor.
"1. yol"da yaptıklarım
ve sizin çözümleriniz de
bu gerektirmenin kullanılması gibi geliyor.
...
Son olarak;
1. " |x-a|<delta ==> |f(x)-L|<epsilon"
gerektirmesinin doğru olduğunun gösterilmesi
veya
2. "|f(x)-L|<epsilon ==> |x-a|<delta"
gerektirmesinin doğru olduğunun gösterilmesi
lim f(x) = L
x --> a
olduğunu göstermeye karşılık gelmez mi?
Çenemden bıktığın yerde
beni
sorunumla başbaşa bırakabilirsin.:)
Sevgiler, selamlar.
28 Ekim 2016 15:35 tarihinde Barış DEMİR <baris...@gmail.com> yazdı:
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+unsubscribe@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/26f3dae1-f97d-4807-b3e5-5b958c1a069f%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
.
murat baştan
Oct 28, 2016, 11:51:14 AM10/28/16
to TMOZ
Gelenek ispat şekli;x eksenindeki delata komşuluğu her zaman y eksenindeki epsilon komşuluğuna bağlanmış yani y eksenindeki limit cıvarındaki yığılmanın x ekseninde hangi sayı etrafında yığılmaya karşılık geleceğini ispatlanması istenmiştir.
bu tür sorular x----a için f in limitinin L olduğunu ispatlayın diye sorulduğu için L verilenin epsilon komşuluğu x eksenindeki limit cıvarındaki delta komşuluğuna bağlanmıştır.
Muharrem hocamda ben tersini yaparım diyor.x deki deltayı y deki epsilona bağlarım diyor. deltaya bağlı değerler x de limite yığılma gösterirken y deki deltaya bağlı değerler limite yığılma göstereceğini tahmin ediyorum ve de sonuç olarak muharrem hocama hak veriyorum.
22 Ekim 2016 Cumartesi 15:51:54 UTC+3 tarihinde Metehan Deniz(Öğrenci) yazdı:
lim x->1 (1/(x+1)=1/2 olduğunu epsilon-delta ile nasıl gösterebiliriz?
Muharrem Şahin
Oct 28, 2016, 12:36:54 PM10/28/16
to tm...@googlegroups.com
Sağ olun Murat Hocam.
Biraz daha rahatladım.
28 Ekim 2016 18:51 tarihinde murat baştan <muratb...@gmail.com> yazdı:
--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+unsubscribe@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/cd3b950d-7bc8-4232-9500-9b54f95c2d08%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
.
Barış DEMİR
Oct 28, 2016, 12:38:20 PM10/28/16
to TMOZ
Muharrem Hocam,
"Ben de bu gerektirmeye dayanarak
her x değerinin "Ix-aI < delta"
eşitsizliğini sağlayacağı bir "delta" değeri belirledikten sonra
bu "delta" değerine bağlı olarak
|f(x)-L|<epsilon"
eşitsizliğinin sağlandığı
"delta"ya bağlı bir "epsilon" değeri bulmaya çalışıyorum."
Bu yazdığınızda deltayı önceden nasıl belirleyebilirsiniz ki? Tanım zaten verili her epsilon için en az bir deltanın var olması koşulu altında |x - a| < delta ==> |f(x) - L| < epsilon diyor. O halde deltayı bulmuşsanız bunu epsilona bağlı bulmuşsunuz demektir.
Zaten Thomas a bakarsanız "there exist corresponding number delta>0" yazıyor tanımda. Corresponding ile epsilona bağlı denmek isteniyor. Nitekim Adams da doğrudan depends on epsilon diyor.
Bir de biz deltayı epsilona bağlı bularak ispat yapmış olmuyoruz ki, bunu bulduktan sonra tanımın gereği gibi ispat adımlarına geçmemiz gerekiyor. Yani, |x-a| < "bulduğumuz bağımlı delta" ==> |f(x) - L| < "epsilon" olacağını göstermeliyiz.
Son olarak, epsilonu öyle bir deltaya bağlı bulursunuz ki, delta da epsilona bağlı yazılabilir ise o zaman sizin yaptığınız da tabii ki olur. Mesela delta = 2epsilon yerine siz epsilon = delta/2 demişseniz bunda bir sorun ben göremiyorum, çünkü deltayı çekebiliyorum. Zaten sizin çözümünüzde de durum böyleydi ve ben öneri olarak deltayı epsilon türünden yazalım dedim. Yoksa çözümde bir sorun görmedim.
Murat Hocam, geleneksel ispat şekli yerine verili tanımın gereği demek daha doğru olacak sanırım. x-->a iken f(x) in L nin her epsilon>0 komşuluğunda kalmasını sağlamaya çalışıyoruz. x in a nın belli bir delta komşuluğunda yer alması f(x) in L nin her epsilon > 0 komşuluğunda kalmasını garantilemeyecektir. Bunu garantilemek için epsilon ne olursa olsun mutlaka bir delta bulabileceğimizi göstermemiz gerekiyor. Ama yukarıdaki satırda da yazdığım üzere eğer deltaya bağlı yazılan epsilondan, epsilona bağlı bir delta yazabiliyorsak sorun yok..
Bir de tekrar vurgulamak istiyorum, deltanın bulunması ispatı başlatmamız içindir, bitiş değildir.
Ekte Adams, Apostol, Stewart ve Thomas ta yer alan tanımlar ve birkaç örnek yer almakta. Çeşitlilik olsun diye ekliyorum...
Saygılarımla...
28 Ekim 2016 Cuma 17:57:50 UTC+3 tarihinde Muharrem Şahin yazdı:
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/26f3dae1-f97d-4807-b3e5-5b958c1a069f%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
--.
murat baştan
Oct 28, 2016, 1:23:00 PM10/28/16
to TMOZ
umarım bu sefer yazarken hata yapmamışımdır.
22 Ekim 2016 Cumartesi 15:51:54 UTC+3 tarihinde Metehan Deniz(Öğrenci) yazdı:
lim x->1 (1/(x+1)=1/2 olduğunu epsilon-delta ile nasıl gösterebiliriz?
murat baştan
Oct 28, 2016, 1:33:11 PM10/28/16
to TMOZ
muharrem hocama ilave olarak şunu belirteyim.
epsilon delta ilişkisini deltayı epsilona bağladığınız zaman benim verdiğim ekteki gibi tablo yapıp deltaya bağlı aralıkların limit sayısı ve limit değerine gittiğini ispatlamanız gerekir.biraz sıkıcı işlemleri var ama tahmini doğru yığılmaları verir gibi duruyor.sizin öneriniz kalıp dışı bir öneri olduğu için sizin ispatlamanız gerekir.
22 Ekim 2016 Cumartesi 15:51:54 UTC+3 tarihinde Metehan Deniz(Öğrenci) yazdı:
lim x->1 (1/(x+1)=1/2 olduğunu epsilon-delta ile nasıl gösterebiliriz?
murat baştan
Oct 28, 2016, 1:44:47 PM10/28/16
to TMOZ
sevgili barış hocam
y eksenindeki bantlar apostol ve stewartın anlatımında verilmiş zaten.Benim kullandığım metot onlardır. y eksenindeki limit cıvarındaki bant limiti istenen noktadaki bantı zaten otomatikman kapsar.Bu kapsama alanının büyüklüğü küçüklüğü değişebilir.Önemli olan y eksenindeki bant sıkıştırıdığı zaman x eksenindeki bant limiti istenen noktaya sıkışır mı?? o sıkışma ispatlanırsa soru çözülmüş olur.
22 Ekim 2016 Cumartesi 15:51:54 UTC+3 tarihinde Metehan Deniz(Öğrenci) yazdı:
lim x->1 (1/(x+1)=1/2 olduğunu epsilon-delta ile nasıl gösterebiliriz?
Muharrem Şahin
Oct 29, 2016, 3:10:43 AM10/29/16
to tm...@googlegroups.com
Ben
anlatmak istediklerimi
örnek problemler üzerinde anlatırsam
daha anlaşılır olacağımı sanıyorum.
Yeni bir başlıkta devam ederiz.
28 Ekim 2016 20:44 tarihinde murat baştan <muratb...@gmail.com> yazdı:
--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+unsubscribe@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/e72363a1-a644-436b-8a8e-94024fd4c30a%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
.
Reply all
Reply to author
Forward
0 new messages