Re: Das Kalenderblatt 091028
Rainer Rosenthal
> Und da jede Menge wohlgeordnet werden kann ...
> Aber wir wollten ja ernst bleiben!}}
Eine wohlgeordnete Menge ist etwas anderes als eine Menge,
die wohlgeordnet werden kann.
Nehmen wir doch das handliche Beispiel Q+ = Menge der rationalen
Zahlen, d.h. der reellen Zahlen p/q mit teilerfremden natï¿œrlichen
Zahlen p und q. Ihre Ordnung ist die der reellen Zahlen, und
weil die Teilmenge aller (n-1)/n kein kleinstes Element hat, ist
Q+ nicht wohlgeordnet.
Bildet man Qp := Menge der Paare (p,q) mit teilerfremden natï¿œrlichen
Zahlen p und q, dann ist das eine Teilmenge aller Paare (m,n) mit
beliebigen natï¿œrlichen Zahlen m und n. Fï¿œr diese gibt es die Zickzack-
Ordnung, und daraus resultierend eine Ordnung fï¿œr die Teilmenge Qp.
Diese ist eine sehr einfache Wohlordnung.
Q+ und Qp sind als Mengen gesehen nicht voneinander unterscheidbar.
Man kann in einfacher Weise durch p/q <--> (p,q) eine Beziehung
zwischen ihnen herstellen, die es erlaubt, Q+ mit einer Wohordnung
und Qp mit einer nicht-Wohlordnung zu versehen.
Gruￜ,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Rainer Rosenthal
> Nehmen wir doch das handliche Beispiel Q+ = Menge der rationalen
sollte heiï¿œen: ... der positiven rationalen ...
> zwischen ihnen herstellen, die es erlaubt, Q+ mit einer Wohordnung
Sollte heiï¿œen: Wohlordnung
Gruￜ,
RR
Mengenlehrer
> Nehmen wir doch das handliche Beispiel Q+ = Menge der rationalen
> Zahlen, d.h. der reellen Zahlen p/q mit teilerfremden natï¿œrlichen
> Zahlen p und q. Ihre Ordnung ist die der reellen Zahlen, und
> weil die Teilmenge aller (n-1)/n kein kleinstes Element hat, ist
> Q+ nicht wohlgeordnet.
<kleinlich>
Konvergiert (n-1)/n nicht monoton steigend gegen 1? ;)
{(n-1)/n | n e |N\{0}} ist doch schï¿œn wohlgeordnet mit
kleinstem Element (1-1)/1 = 0/1 = 0, und der Schnitt
mit Q+ hat das kleinste Element (2-1)/2 = 1/2.
</kleinlich>
Es ist aber klar, dass du 1/n meinst.
Carsten Schultz
> Goodsteinfolgen (Ende): Der Konvergenz"beweis".
>
> a'' = w^(w^1 + 1) + w^w - 1
Ich habe das so nirgends in Deiner Quelle nicht gefunden. Wie kommt es,
dass Du den Beweis hier falsch wiedergibst?
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
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Rainer Rosenthal
> Nehmen wir doch das handliche Beispiel Q+ = Menge der rationalen
sollte heiï¿œen: ... der positiven rationalen ...
> weil die Teilmenge aller (n-1)/n kein kleinstes Element hat, ist
sollte heiï¿œen: Teilmenge aller 1/n (danke fï¿œr den Hinweis)
> zwischen ihnen herstellen, die es erlaubt, Q+ mit einer Wohordnung
sollte heiï¿œen: Wohlordnung
Gruￜ,
RR
Albrecht
> WM schrieb:
>
> > Und da jede Menge wohlgeordnet werden kann ...
> > Aber wir wollten ja ernst bleiben!}}
>
> Eine wohlgeordnete Menge ist etwas anderes als eine Menge,
> die wohlgeordnet werden kann.
>
> Nehmen wir doch das handliche Beispiel Q+ = Menge der rationalen
> Zahlen p und q.
Also jetzt bin ich auch mal so dippelschisserig: p und q sollen
natürliche Zahlen sein und p/q definiert, bekennst Du Dich damit zu
der 0istkeinenatürlichezahlfraktion?
:-)
Gruß
Albrecht
> Ihre Ordnung ist die der reellen Zahlen, und
> weil die Teilmenge aller (n-1)/n kein kleinstes Element hat, ist
> Q+ nicht wohlgeordnet.
> Bildet man Qp := Menge der Paare (p,q) mit teilerfremden natürlichen
> Zahlen p und q, dann ist das eine Teilmenge aller Paare (m,n) mit
> beliebigen natürlichen Zahlen m und n. Für diese gibt es die Zickzack-
> Ordnung, und daraus resultierend eine Ordnung für die Teilmenge Qp.
> Diese ist eine sehr einfache Wohlordnung.
>
> Q+ und Qp sind als Mengen gesehen nicht voneinander unterscheidbar.
> Man kann in einfacher Weise durch p/q <--> (p,q) eine Beziehung
> zwischen ihnen herstellen, die es erlaubt, Q+ mit einer Wohordnung
> und Qp mit einer nicht-Wohlordnung zu versehen.
>
> Gruß,
> Rainer Rosenthal
> r.rosent...@web.de
WM
> WM schrieb:
>
> > Goodsteinfolgen (Ende): Der Konvergenz"beweis".
>
> > a'' = w^(w^1 + 1) + w^w - 1
>
> Ich habe das so nirgends in Deiner Quelle nicht gefunden. Wie kommt es,
> dass Du den Beweis hier falsch wiedergibst?
>
Was hältst Du denn für falsch?
Ziehst Du des "Mengenlehreres" Ordinalzahlarithmetik
w^w - 1 = 3*w^3 + 3*w^2 + 3*w + 3
vor?
Gruß, WM
WM
> Rainer Rosenthal schrieb:
>
> > Nehmen wir doch das handliche Beispiel Q+ = Menge der rationalen
>
>
> > weil die Teilmenge aller (n-1)/n kein kleinstes Element hat, ist
>
>
> > zwischen ihnen herstellen, die es erlaubt, Q+ mit einer Wohordnung
>
Hallo Rainer,
wir wollten doch die kleinen Fehler tolerieren.
Das Thema hier ist: Eine wohlgeordnete Menge, selbst w^w^w^w^w, kann
man von jedem Element an in endlich vielen Schritten auf 0
herunterzählen, so dass man kein Glied übersieht, das in irgendeiner
Weise von Bedeutung wäre. Ist das in Deinen Augen auch marginal?
Gruß, WM
Peter Niessen
> Was h�ltst Du denn f�r falsch?
> Ziehst Du des "Mengenlehreres" Ordinalzahlarithmetik
> w^w - 1 = 3*w^3 + 3*w^2 + 3*w + 3
Wir addieren 1 auf beiden Seiten:
w^w - 1+1 = 3*w^3 + 3*w^2 + 3*w + 3+1
w^w = 3*w^3 + 3*w^2 + 3*w + 4
Ich glaube du hast gr�sseren Erkl�rungsbedarf warum deine Gleichung stimmt.
--
Mit freundlichen Gr�ssen:
Peter Niessen
Helmut Richter
> wir wollten doch die kleinen Fehler tolerieren.
> Das Thema hier ist: Eine wohlgeordnete Menge, selbst w^w^w^w^w, kann
> man von jedem Element an in endlich vielen Schritten auf 0
> herunterz�hlen, so dass man kein Glied �bersieht, das in irgendeiner
> Weise von Bedeutung w�re.
H�h?
Wenn man von einem beliebigen Element ausgehend eine absteigende Folge
bildet, ist die nach endlich vielen Schritten am Ende. Dabei wird man in
der Regel die meisten Elemente "�bersehen"; auf ihre "Bedeutung" kommts
dabei nicht an.
Um so einen Effekt zu erreichen, braucht man aber keine b�se Mengenlehre.
Schon die denkbaren W�rter (endlich lang �ber einem endlichen Alphabet)
haben die Eigenschaft, dass wenn man von einem beliebigen von ihnen
ausgehend eine Folge bildet, bei der jedes folgende alphabetisch vor dem
voranstehen ist, man sicher nach endlich vielen Schritten zum Ende kommt,
obwohl es nicht nur endlich viele gibt, die vor dem Startelement liegen.
--
Helmut Richter
Rainer Rosenthal
> wir wollten doch die kleinen Fehler tolerieren.
Ich wollte einfach was Korrektes schreiben, und das hat im
ersten und sogar zweiten Anlauf nicht geklappt. Ich wollte
darauf hinweisen, dass Du mit den Begriffen Menge und Ordnung
nicht gerade exakt umgehst, so dass alle mï¿œglichen und
unmï¿œglichen Folgerungen ziehbar sind. Das ist keineswegs
marginal.
> Das Thema hier ist: Eine wohlgeordnete Menge, selbst w^w^w^w^w, kann
> man von jedem Element an in endlich vielen Schritten auf 0
> herunterzï¿œhlen, so dass man kein Glied ï¿œbersieht, das in irgendeiner
> Weise von Bedeutung wï¿œre. Ist das in Deinen Augen auch marginal?
Ich lasse mir gerne Goodstein-Folgen erklï¿œren, aber am liebsten
von jemandem, der nicht schon vor dem Diagonalbeweis einen Horror
hat.
Rainer Rosenthal
>> Nehmen wir doch das handliche Beispiel Q+ = Menge der || rationalen
\/
---> korrigiert positiven
>> Zahlen, d.h. der reellen Zahlen p/q mit teilerfremden natï¿œrlichen
>> Zahlen p und q.
>
> Also jetzt bin ich auch mal so dippelschisserig: p und q sollen
> natï¿œrliche Zahlen sein und p/q definiert, bekennst Du Dich damit zu
> der 0istkeinenatï¿œrlichezahlfraktion?
Hallo Albrecht,
danke fï¿œr den konstruktiven Beitrag. Dein Einwand ist berechtigt,
aber ich hatte lediglich das Wort "positive" vergessen, und das
hatte ich vor gut 3 Stunden bereits berichtigt. Das zeigt, dass
der wohlmeinende Hinweis von WM ganz nett ist, dass es aber doch
besser ist, Richtiges auch richtig hinzuschreiben.
Vielleicht hast Du ja auch noch einen weniger "dippelschisserigen"
Kommentar auf Lager? Es wï¿œrde mich freuen, wenn das Thema Mengen
und Ordnung dadurch einen besseren Eindruck bei Dir hinterlieï¿œe.
Bei Nicht-Gefallen bitte ich um (weitere) Einwï¿œnde.
WM
> On Tue, 27 Oct 2009, WM wrote:
> > wir wollten doch die kleinen Fehler tolerieren.
> > Das Thema hier ist: Eine wohlgeordnete Menge, selbst w^w^w^w^w, kann
> > man von jedem Element an in endlich vielen Schritten auf 0
> > Weise von Bedeutung wäre.
>
> Häh?
>
> Wenn man von einem beliebigen Element ausgehend eine absteigende Folge
> bildet, ist die nach endlich vielen Schritten am Ende. Dabei wird man in
> dabei nicht an.
Aber bei Goodsteins Beweis kommt's darauf an. Da wird nämlich immer
nur 1 abgezogen. Wenn in jedem Schritt unendlich viel abgezogen werden
darf, zum Beispiel beim Übergng von w auf w - 1 = 3, dann ist das eben
kein Beweis sondern Betrug - allerdings so offensichtlich, dass ich
nicht für möglich gehalten hätte, jemand ließe sich das als
mathematische Präzision verkaufen.
>
> Um so einen Effekt zu erreichen, braucht man aber keine böse Mengenlehre.
> Schon die denkbaren Wörter (endlich lang über einem endlichen Alphabet)
> haben die Eigenschaft, dass wenn man von einem beliebigen von ihnen
> ausgehend eine Folge bildet, bei der jedes folgende alphabetisch vor dem
> voranstehen ist, man sicher nach endlich vielen Schritten zum Ende kommt,
> obwohl es nicht nur endlich viele gibt, die vor dem Startelement liegen.
Hier geht es um die (nach Behauptung nur endlich oft) wiederholbare
Subtraktion der endlichen Zahl 1 von einer unendlichen Zahl
unendlicher Zahlen - nicht um irgendwelche Entschuldigungen, weshalb
auch andere omegas von omegas nur Matheologie und nicht Mathematik
erlauben.
Gruß, WM
Carsten Schultz
Ich ziehe den Beweis aus Deiner Quelle vor, denn da werden nirgends
Ordinalzahlen subtrahiert.
Carsten Schultz
> On 27 Okt., 16:56, Helmut Richter <hh...@web.de> wrote:
>> On Tue, 27 Oct 2009, WM wrote:
>>> wir wollten doch die kleinen Fehler tolerieren.
>>> Das Thema hier ist: Eine wohlgeordnete Menge, selbst w^w^w^w^w, kann
>>> man von jedem Element an in endlich vielen Schritten auf 0
>>> herunterzählen, so dass man kein Glied übersieht, das in irgendeiner
>>> Weise von Bedeutung wäre.
>> Häh?
>>
>> Wenn man von einem beliebigen Element ausgehend eine absteigende Folge
>> bildet, ist die nach endlich vielen Schritten am Ende. Dabei wird man in
>> der Regel die meisten Elemente "übersehen"; auf ihre "Bedeutung" kommts
>> dabei nicht an.
>
> Aber bei Goodsteins Beweis kommt's darauf an. Da wird nämlich immer
> nur 1 abgezogen. Wenn in jedem Schritt unendlich viel abgezogen werden
> darf, zum Beispiel beim Übergng von w auf w - 1 = 3, dann ist das eben
> kein Beweis sondern Betrug - allerdings so offensichtlich, dass ich
> nicht für möglich gehalten hätte, jemand ließe sich das als
> mathematische Präzision verkaufen.
Lies den Beweis einfach noch einmal. Wenn Du nicht von Anfang an mit
der Einstellung an ihn heran gehst, dass er falsch sein muss, verstehst
Du ihn vielleicht sogar.
WM
> WM schrieb:
>
> > wir wollten doch die kleinen Fehler tolerieren.
>
> Ich wollte einfach was Korrektes schreiben, und das hat im
> ersten und sogar zweiten Anlauf nicht geklappt. Ich wollte
> darauf hinweisen, dass Du mit den Begriffen Menge und Ordnung
> nicht gerade exakt umgehst,
?? Es geht um eine Menge, die wohlgeordnet werden kann. Unbd das ist
nach Zermelo mit jeder Menge möglich. Also betrachte die Menge in dem
Zustand der Wohlordnung, wähle ein Element aus, meinetwegen das w^w^w-
te, und zähle dann längs der Ordnung herunter. Dann bist Du nach
endlich vielen Schritten am Ziel, d.h., Du erkennst den Widerspruch.
> so dass alle möglichen und
> unmöglichen Folgerungen ziehbar sind. Das ist keineswegs
> marginal.
>
> > Das Thema hier ist: Eine wohlgeordnete Menge, selbst w^w^w^w^w, kann
> > man von jedem Element an in endlich vielen Schritten auf 0
> > herunterzählen, so dass man kein Glied übersieht, das in irgendeiner
> > Weise von Bedeutung wäre. Ist das in Deinen Augen auch marginal?
>
> Ich lasse mir gerne Goodstein-Folgen erklären, aber am liebsten
> von jemandem, der nicht schon vor dem Diagonalbeweis einen Horror
> hat.
Dann versuche doch den Sinn des Kalenderblattes zu fassen. Ich habe
schon deshalb keinen Horror vor dem Diagonalbeweis, weil ich weiß,
dass es den nicht gibt. Das ist wie mit dem Schwarzen Mann.
Aber eine Quelle, die eine Gute Erklkärung gibt, habe ich doch
angegeben: " Wenn man sich die Beweismethode auf diese Weise
veranschaulicht, so scheint sie vollkommen natürlich zu sein."http://
www.joergresag.privat.t-online.de/mybk3htm/chap46.htm
Gruß, WM
WM
> WM schrieb:
>
> > On 27 Okt., 14:30, Carsten Schultz <cars...@codimi.de> wrote:
> >> WM schrieb:
>
> >>> Goodsteinfolgen (Ende): Der Konvergenz"beweis".
> >>> a'' = w^(w^1 + 1) + w^w - 1
> >> Ich habe das so nirgends in Deiner Quelle nicht gefunden. Wie kommt es,
> >> dass Du den Beweis hier falsch wiedergibst?
>
> > Was hältst Du denn für falsch?
> > Ziehst Du des "Mengenlehreres" Ordinalzahlarithmetik
> > w^w - 1 = 3*w^3 + 3*w^2 + 3*w + 3
> > vor?
>
> Ich ziehe den Beweis aus Deiner Quelle vor, denn da werden nirgends
> Ordinalzahlen subtrahiert.
Ach nein? Welche Art von Zahlen sind denn z.B. 1 und 2 und so?
Gruß, WM
Christopher Creutzig
> Aber bei Goodsteins Beweis kommt's darauf an. Da wird n�mlich immer
> nur 1 abgezogen. Wenn in jedem Schritt unendlich viel abgezogen werden
> darf, zum Beispiel beim �bergng von w auf w - 1 = 3, dann ist das eben
Ich glaube, Du hast den Beweis nicht verstanden. In der Sequenz von
Ordinalzahlen wird an keiner einzigen Stelle irgendetwas subtrahiert.
Weil an keiner Stelle des Beweises aus einer unendlichen Ordinalzahl
eine andere unendliche Ordinalzahl berechnet wird.
Was in dem Beweis passiert, ist: Aus jedem Element a(n) der
Goodstein-Folge (was eine nat�rliche Zahl ist) wird eine Ordinalzahl
b(n) berechnet mit b(n) >= a(n).(*) Der n�chste Schritt im Beweis ist
dann, zu zeigen dass b(n) > b(n+1) gilt, so lange b(n) > 0 ist. Und
daraus folgt dann, weil die Ordnung der Ordinalzahlen eine Wohlordnung
ist, dass die Folge der b(n) in endlich vielen Schritten gegen 0
konvergiert. Da 0 <= a(n) <= b(n) gilt, konvergiert also auch a(n) gegen 0.
(*) Noch einmal deutlich: a(n) wird aus a(n-1) und n berechnet. b(n)
wird aus a(n) und n berechnet, b(n-1) geht *nicht* in die Rechnung ein.
Pseudocode:
a := proc(n)
local t;
begin
t := hereditary(a(n-1), n-1);
t := subs(a, n-1 = n);
return(evaluate(t-1));
end:
a(3) := 17: // nur als Beispiel
b := proc(n)
local t;
begin
t := hereditary(a(n), n);
t := subs(t, n = omega);
return(evaluate(t));
end:
> Hier geht es um die (nach Behauptung nur endlich oft) wiederholbare
> Subtraktion der endlichen Zahl 1 von einer unendlichen Zahl
Das w�re in der Tat - sagen wir mal erkl�rungsbed�rftig. Wer so eine
Rechnung aufstellen wollte, m�sste erst einmal eine Subtraktion
definieren, bei der w-1 eine Ordinalzahl liefert. Nachdem es keine
Ordinalzahl a mit a+1=w gibt, stelle ich mir das etwas aussichtslos vor.
--
F�r zuverl�ssige Statistiken sind bislang noch
nicht ausreichend viele Universen beobachtet worden.
[Hans Crauel zur Zuverl�ssigkeit von Klimamodellen]
Herbert Newman
> Wenn Du nicht von Anfang an mit der Einstellung an ihn heran gehst,
> dass er falsch sein muss, verstehst Du ihn vielleicht sogar.
Wenn die Banane nicht krum w�re, w�re sie gerade. :-)
Herbert
Carsten Schultz
> On 27 Okt., 17:45, Carsten Schultz <cars...@codimi.de> wrote:
>> WM schrieb:
>>
>>> On 27 Okt., 14:30, Carsten Schultz <cars...@codimi.de> wrote:
>>>> WM schrieb:
>>>>> Goodsteinfolgen (Ende): Der Konvergenz"beweis".
>>>>> a'' = w^(w^1 + 1) + w^w - 1
>>>> Ich habe das so nirgends in Deiner Quelle nicht gefunden. Wie kommt es,
>>>> dass Du den Beweis hier falsch wiedergibst?
>>> Was hältst Du denn für falsch?
>>> Ziehst Du des "Mengenlehreres" Ordinalzahlarithmetik
>>> w^w - 1 = 3*w^3 + 3*w^2 + 3*w + 3
>>> vor?
>> Ich ziehe den Beweis aus Deiner Quelle vor, denn da werden nirgends
>> Ordinalzahlen subtrahiert.
>
> Ach nein? Welche Art von Zahlen sind denn z.B. 1 und 2 und so?
>
Entschuldige. Es wird nirgends von einer unendlichen Ordinalzahl
fiesh
> On Tue, 27 Oct 2009, WM wrote:
>
>> wir wollten doch die kleinen Fehler tolerieren.
>> Das Thema hier ist: Eine wohlgeordnete Menge, selbst w^w^w^w^w, kann
>> man von jedem Element an in endlich vielen Schritten auf 0
>> Weise von Bedeutung w锟絩e.
>
> H锟絟?
>
> Wenn man von einem beliebigen Element ausgehend eine absteigende Folge
> bildet, ist die nach endlich vielen Schritten am Ende. Dabei wird man in
> dabei nicht an.
>
> Um so einen Effekt zu erreichen, braucht man aber keine b锟絪e Mengenlehre.
> Schon die denkbaren W锟絩ter (endlich lang 锟絙er einem endlichen Alphabet)
> ausgehend eine Folge bildet, bei der jedes folgende alphabetisch vor dem
> voranstehen ist, man sicher nach endlich vielen Schritten zum Ende kommt,
> obwohl es nicht nur endlich viele gibt, die vor dem Startelement liegen.
Der Effekt ist doch ganz leicht zu erklaeren: WM hat mal wieder etwas
Neues in der Mathematik "gelernt", es nicht verstanden und sieht nun mal
wieder Widersprueche noch und noecher. Das hatten wir ja schon
unzaehlige Male, das letzte Mal war es Stetigkeit. Nun hat WM irgendwo
gelesen, dass es keine unendlichen absteigenden Folgen von Ordinalzahlen
gibt.
Und lexikographische Ordnungen wurden schon haeufig herangezogen, um
etwa sein Gelaber von wegen aktualer Unendlichkeit zu kontern, genuetzt
hat es nie was, und das wird es auch nicht.
Etwas anderes, das mir aufgefallen ist, und das verglichen mit den hier
diskutierten Fragen schon fast mathematisch ist, ist folgende Frage:
Sind wirklich alle Cranks maennlich, mittleren Alters und von hoeherer
aber nicht sehr hoher Bildung? Kennt jemand ein Gegenbeispiel? Ich
nahm immer an, Albrecht Storz waere noch ziemlich jung (seines
Schreibstils wegen), aber letztens las ich, dass auch er schon etwas
aelter zu sein scheint, so dass sich mir diese These auftat.
--
fiesh
Helmut Richter
> Etwas anderes, das mir aufgefallen ist, und das verglichen mit den hier
> diskutierten Fragen schon fast mathematisch ist, ist folgende Frage:
> Sind wirklich alle Cranks maennlich, mittleren Alters und von hoeherer
> aber nicht sehr hoher Bildung?
Oh. Ich hoffe, die Umkehrung gilt nicht uneingeschr�nkt.
--
Helmut Richter
(m�nnlich, mittleren Alters und von h�herer aber nicht sehr hoher Bildung)
Mengenlehrer
> On Tue, 27 Oct 2009, fiesh wrote:
>
>> Etwas anderes, das mir aufgefallen ist, und das verglichen mit den hier
>> diskutierten Fragen schon fast mathematisch ist, ist folgende Frage:
>> Sind wirklich alle Cranks maennlich, mittleren Alters und von hoeherer
>> aber nicht sehr hoher Bildung?
>
> Oh. Ich hoffe, die Umkehrung gilt nicht uneingeschr�nkt.
>
Das w�re doch auch egal.
Man merkt ja selber nicht, dass man ein Crank ist,
leidet also auch nicht darunter.
Muss irgendetwas mit G�dels Unvollst�ndigkeitss�tzen
zu tun haben. Innerhalb eines Cranks ist seine Crankhaftigkeit
nicht zu erkennen.
Albrecht
> On 2009-10-27, Helmut Richter <hh...@web.de> wrote:
>
>
>
> > On Tue, 27 Oct 2009, WM wrote:
>
> >> wir wollten doch die kleinen Fehler tolerieren.
> >> Das Thema hier ist: Eine wohlgeordnete Menge, selbst w^w^w^w^w, kann
> >> man von jedem Element an in endlich vielen Schritten auf 0
> >> Weise von Bedeutung wäre.
>
> > Häh?
>
> > Wenn man von einem beliebigen Element ausgehend eine absteigende Folge
> > bildet, ist die nach endlich vielen Schritten am Ende. Dabei wird man in
> > dabei nicht an.
>
> > Um so einen Effekt zu erreichen, braucht man aber keine böse Mengenlehre.
> > haben die Eigenschaft, dass wenn man von einem beliebigen von ihnen
> > ausgehend eine Folge bildet, bei der jedes folgende alphabetisch vor dem
> > voranstehen ist, man sicher nach endlich vielen Schritten zum Ende kommt,
> > obwohl es nicht nur endlich viele gibt, die vor dem Startelement liegen.
>
> Der Effekt ist doch ganz leicht zu erklaeren: WM hat mal wieder etwas
> Neues in der Mathematik "gelernt", es nicht verstanden und sieht nun mal
> wieder Widersprueche noch und noecher. Das hatten wir ja schon
> unzaehlige Male, das letzte Mal war es Stetigkeit. Nun hat WM irgendwo
> gelesen, dass es keine unendlichen absteigenden Folgen von Ordinalzahlen
> gibt.
>
> Und lexikographische Ordnungen wurden schon haeufig herangezogen, um
> etwa sein Gelaber von wegen aktualer Unendlichkeit zu kontern, genuetzt
> hat es nie was, und das wird es auch nicht.
>
> Etwas anderes, das mir aufgefallen ist, und das verglichen mit den hier
> diskutierten Fragen schon fast mathematisch ist, ist folgende Frage:
> Sind wirklich alle Cranks maennlich, mittleren Alters und von hoeherer
> aber nicht sehr hoher Bildung? Kennt jemand ein Gegenbeispiel? Ich
> nahm immer an, Albrecht Storz waere noch ziemlich jung (seines
> Schreibstils wegen),
Das kann ich leider nicht als Kompliment auffassen - wegen der
Herkunft (fiesh) und da meinem Eindruck nach sich hier die eher jungen
oft durch manifestes Tourettesyndrom auszeichnen.
Zu dem Thema "Crank": In dieser Runde gehöre ich wiklich lieber zu den
hier so genannten Cranks als zu den phantasielosen und unkreativen
Besitzstandwahrern. Mathematik wird hier gewiss von niemandem gemacht,
höchstens und oft genug mehr schlecht als recht, wiedergekäut.
Zufällig weiß ich genau, dass es keine unendlichen Mengen geben
_kann_. Dass ich anscheinend nicht fähig bin, meinen Beweis anderen zu
vermitteln steht auf einem anderen Blatt. Aber ich gebe nicht auf.
Auch hier in dsm nicht.
> aber letztens las ich, dass auch er schon etwas
> aelter zu sein scheint, so dass sich mir diese These auftat.
Wo steht denn sowas zu lesen?
Aristoteles
Carsten Schultz
> Zu dem Thema "Crank": In dieser Runde gehöre ich wiklich lieber zu den
> hier so genannten Cranks als zu den phantasielosen und unkreativen
> Besitzstandwahrern. Mathematik wird hier gewiss von niemandem gemacht,
> höchstens und oft genug mehr schlecht als recht, wiedergekäut.
Mathematik wird in der Tat nicht in Newsgroups gemacht. Es schreiben
hier aber auch Leute, die Mathematik machen. Außerdem ist nichts
Schlechtes daran, zu versuchen, Mathematik von anderen zu verstehen.
Dabei hilft es natürlich nicht, wenn man...
> Zufällig weiß ich genau, dass es keine unendlichen Mengen geben
> _kann_.
...diese Mathematik grundsätzlich ablehnt.
> Dass ich anscheinend nicht fähig bin, meinen Beweis anderen zu
> vermitteln steht auf einem anderen Blatt. Aber ich gebe nicht auf.
> Auch hier in dsm nicht.
Davon abgesehen: Was heißt schon, dass es unendliche Mengen `gibt'?
Jeder darf seine eigene Philosophie haben. Es ist aber so, dass die
Mathematik mit der Annahme unendlicher Mengen sehr gut lebt.
Gruß
Carsten
Albrecht
> > Zu dem Thema "Crank": In dieser Runde gehöre ich wiklich lieber zu den
> > hier so genannten Cranks als zu den phantasielosen und unkreativen
> > Besitzstandwahrern. Mathematik wird hier gewiss von niemandem gemacht,
> > höchstens und oft genug mehr schlecht als recht, wiedergekäut.
>
> Mathematik wird in der Tat nicht in Newsgroups gemacht. Es schreiben
> hier aber auch Leute, die Mathematik machen. Außerdem ist nichts
> Schlechtes daran, zu versuchen, Mathematik von anderen zu verstehen.
> Dabei hilft es natürlich nicht, wenn man...
>
> > Zufällig weiß ich genau, dass es keine unendlichen Mengen geben
> > _kann_.
>
> ...diese Mathematik grundsätzlich ablehnt.
>
> > Dass ich anscheinend nicht fähig bin, meinen Beweis anderen zu
> > vermitteln steht auf einem anderen Blatt. Aber ich gebe nicht auf.
> > Auch hier in dsm nicht.
>
> Davon abgesehen: Was heißt schon, dass es unendliche Mengen `gibt'?
Das heißt zumindest: Dass eine definite Kardinalzahl zugeordnet werden
kann. Das ich dir das sagen muß ...
AS
> Jeder darf seine eigene Philosophie haben. Es ist aber so, dass die
> Mathematik mit der Annahme unendlicher Mengen sehr gut lebt.
>
> Gruß
>
> Carsten
>
> --
> Carsten Schultz (2:38, 33:47)http://carsten.codimi.de/
WM
wrote:
> WM wrote:
> > Aber bei Goodsteins Beweis kommt's darauf an. Da wird nämlich immer
> > nur 1 abgezogen. Wenn in jedem Schritt unendlich viel abgezogen werden
>
> Ich glaube, Du hast den Beweis nicht verstanden. In der Sequenz von
> Ordinalzahlen wird an keiner einzigen Stelle irgendetwas subtrahiert.
> Weil an keiner Stelle des Beweises aus einer unendlichen Ordinalzahl
> eine andere unendliche Ordinalzahl berechnet wird.
>
> Was in dem Beweis passiert, ist: Aus jedem Element a(n) der
> b(n) berechnet mit b(n) >= a(n).(*) Der nächste Schritt im Beweis ist
> dann, zu zeigen dass b(n) > b(n+1) gilt, so lange b(n) > 0 ist. Und
> daraus folgt dann, weil die Ordnung der Ordinalzahlen eine Wohlordnung
> ist, dass die Folge der b(n) in endlich vielen Schritten gegen 0
> konvergiert.
Und das ist eben nur für Freunde der nicht-linearen linearen Ordnung
des Unendlichen plausibel. Aus b(n) > b(n+1) folgt in einer
Wohlordnung, die Limes-Ordinalzahlen enthält, eben nicht, dass die
Folge b(n) in endlich vielen Schritten gegen 0 konvergier.
Aber der Fehler ist derselbe wie bei zermelos Beweis aus einem
früheren Kalenderblatt. Es wird inkonsequenterweise eine lineare
Ordnung zum Beweis herangezogen, wo keine existiert.
Da 0 <= a(n) <= b(n) gilt, konvergiert also auch a(n) gegen 0.
>
> (*) Noch einmal deutlich: a(n) wird aus a(n-1) und n berechnet. b(n)
> wird aus a(n) und n berechnet, b(n-1) geht *nicht* in die Rechnung ein.
b(n-1) geht in den beweis ein, weil aus der Monotonie b(n) > b(n-1)
auf die Konvergenz geschlossen wird.
>
> > Hier geht es um die (nach Behauptung nur endlich oft) wiederholbare
> > Subtraktion der endlichen Zahl 1 von einer unendlichen Zahl
>
> Das wäre in der Tat - sagen wir mal erklärungsbedürftig. Wer so eine
> Rechnung aufstellen wollte, müsste erst einmal eine Subtraktion
> definieren, bei der w-1 eine Ordinalzahl liefert. Nachdem es keine
> Ordinalzahl a mit a+1=w gibt, stelle ich mir das etwas aussichtslos vor.
Dann sollte Dir auch klar sein, dass für eine Wohlordnung, die keine
lineare Ordnung ist, die Monotonie kein Garant für die Konvergenz ist.
Gruß, WM
WM
Soll heißen b(n) > b(n+1).
Wolfgang Thumser
> Schon die denkbaren Wörter (endlich lang über einem endlichen Alphabet)
> haben die Eigenschaft, dass wenn man von einem beliebigen von ihnen
> ausgehend eine Folge bildet, bei der jedes folgende alphabetisch vor dem
> voranstehen ist, man sicher nach endlich vielen Schritten zum Ende kommt,
> obwohl es nicht nur endlich viele gibt, die vor dem Startelement liegen.
hier muss man aufpassen, die lexikographische Ordnung auf endlichen Woertern
(ohne Laengenbeschraenkung) ist i.a. keine Wohlordnung, wie das Beispiel
... < aaaab < aaab < aab < ab < b
zeigt. Allerdings sehe ich in omega genausowenig eine "aktuale Unendlichkeit"
(was immer das ist) verwirklicht, weil omega beliebig viele Zahlen in der
epsilon Beziehung vorausgehen, wie ich sie in dem Buchstaben b verwirklicht
sehe, nur weil dieser beliebig vielen Woertern lexikograpisch folgt.
Die Vorstellung einer Zusammenfassung von omega als Menge aller natuerlicher
Zahlen ist logisch nicht zwingend (sondern eine weitverbreitete Interpretation
der Mengenlehre, der man sich nicht anschliessen muss). Man kann omega auch als
Zeichensymbol "w" der Laenge eins einfueren und verlangen, dass
| e w und mit jedem x e W auch x| e w gelten soll; dann verschwindet der
ganze Spuk mit dem Unendlichen.
Gruss Wolfgang
Rainer Rosenthal
> Aber eine Quelle, die eine Gute Erklkï¿œrung gibt, habe ich doch
> angegeben: " Wenn man sich die Beweismethode auf diese Weise
> veranschaulicht, so scheint sie vollkommen natï¿œrlich zu sein."http://
> www.joergresag.privat.t-online.de/mybk3htm/chap46.htm
Ja, danke. Ich habe auch noch irgendwo im Bï¿œcherschrank das
Spektrum-Sonderheft "Das Unendliche" (oder ï¿œhnlich), wo ich
bereits neugierig an den Goodstein-Folgen geschnuppert hatte.
Die von Dir genannte Referenz gefï¿œllt mir, insbesondere deswegen,
weil auch immer wieder auf den Tausendsassa John Baez verwiesen
wird, dessen lebendige Art zu schreiben mich von jeher verblï¿œfft
und erfreut hat.
Carsten Schultz
> Und das ist eben nur für Freunde der nicht-linearen linearen Ordnung
> des Unendlichen plausibel. Aus b(n) > b(n+1) folgt in einer
> Wohlordnung, die Limes-Ordinalzahlen enthält, eben nicht, dass die
> Folge b(n) in endlich vielen Schritten gegen 0 konvergier.
Doch, die Menge der b(n) ist ja nicht-leer und hat damit ein kleinstes
Element.
>
> Aber der Fehler ist derselbe wie bei zermelos Beweis aus einem
> früheren Kalenderblatt. Es wird inkonsequenterweise eine lineare
> Ordnung zum Beweis herangezogen, wo keine existiert.
>
Deine Verwendung des Begriffes `lineare Ordnung' ist verwirrend, weil
man darunter meist eine totale Ordnung im Gegensatz zu einer partiellen
Ordnung versteht. In diesem Sinne ist dann jede Wohlordnung per
Definition eine lineare Ordnung.
Mengenlehrer
> Die Vorstellung einer Zusammenfassung von omega als Menge aller
natuerlicher
> Zahlen ist logisch nicht zwingend (sondern eine weitverbreitete Interpretation
> der Mengenlehre, der man sich nicht anschliessen muss). Man kann omega auch als
> Zeichensymbol "w" der Laenge eins einfueren und verlangen, dass
> | e w und mit jedem x e W auch x| e w gelten soll; dann verschwindet der
> ganze Spuk mit dem Unendlichen.
Bevor omega definiert ist, kann man omega nicht interpretieren.
Und omega wird als Schnitt über alle induktiven Mengen definiert,
wobei eine Menge A induktiv heißt, wenn
1. {} e A
2. x e A => x u {x} e A
Damit der Schnitt nicht leer ist, gibt es das Unendlichkeitsaxiom:
Es gibt eine induktive Menge.
Jetzt gibt es nichts mehr zu interpretieren, omega ist definiert.
Wenn du etwas Anderes definierst, solltest du es auch anders nennen.
Man kann sich schlecht über omega unterhalten, wenn es jeder
anders definiert. Andere omegas sind aber hier, wo es um Goodsteins
Satz geht, irrelevant. Oder zeige doch bitte einen Beweis des Satzes
von Goodstein _ohne_ unendlichen "Spuk".
Herbert Newman
Thumser spielt sich hier als eine Art Ultraformalist auf - ohne sich der
Implikationen einer solchen Position eigentlich bewusst zu sein, scheint
mir. (!)
Herbert
Herbert Newman
> Herr Professor Dr. Wolfgang M�ckenheim schreibt:
>>
>> Zuf�llig wei� ich genau, dass es keine unendlichen Mengen geben
>> _kann_.
Aber holla! Wie geht d a s denn? Muss wohl so eine Art
"Erleuchtungserlebnis" bzw. "Offenbarung" gewesen sein... :-)
Tja, mit Erleuchteten, die um Wahrheiten WISSEN, die uns gew�hnlichen
Sterblichen verborgen sind, ist nat�rlich schlecht streiten! :-)
>> Dass ich anscheinend nicht f�hig bin, meinen Beweis anderen zu
>> vermitteln, [...].
K�nnte man als Beleg daf�r werten, dass Herr M�ckenheim gar nicht �ber
einen BEWEIS (im �blichen/mathematischen Sinne) verf�gt, sondern sich
lediglich in dem _Wahn_ w�hnt, �ber einen Beweis zu verf�gen (was hei�t
hier einen - er hat ja sogar schon _mehrere_ vorgestellt!).
> Davon abgesehen: Was hei�t schon, dass es unendliche Mengen 'gibt'?
Ja. Herr M�ckenheim scheint damit irgendwie die Vorstellung zu verbinden,
dass dann irgendwo ein Objekt herumschwirren m�sste (wo auch immer), das
unendlich viele Objekte enth�lt... (*sigh*)
Dass die Mehrheit der hier anwesenden Mathematiker die Meinung TEILT, dass
dem (mit hoher Wahrscheinlichkeit) nicht so ist - bzw. nicht zu sein
_braucht_, scheint ihn nicht weiter zu tangieren.
> Jeder darf seine eigene Philosophie haben. Es ist aber so, dass die
> Mathematik mit der Annahme [der Existenz] unendlicher Mengen sehr gut lebt.
So ist es. Es ist eine weitere bemerkenswerte Tatsache, dass Herr
M�ckenheim f�r diesen Aspekt der ihm so verhassten "klassischen Mathematik"
(incl. "Mengenlehre") offenbar komplett blind zu sein scheint. :-)
D. h. er scheint "Dinge" zu sehen, die WIR nicht sehen (k�nnen), aber
andererseits f�r "Dinge" blind zu sein, die F�R UNS offensichtlich (und
selbstverst�ndlich) sind - wie soll man so etwas nennen? :-o
Herbert
Herbert Newman
> WM schrieb:
>>
>> Aber der Fehler ist derselbe wie bei Zermelos Beweis aus einem
>> fr�heren Kalenderblatt. [...]
Oh!!! Herr Professor Dr. Wolfgang M�ckenheim hat einen FEHLER in Zermelos
Wohlordnungsbeweis gefunden?! Das ist in der Tat bemerkenswert - das sollte
er UNBEDINGT publizieren!!!
Leute, hier wird (hier und jetzt!) Geschichte geschrieben! (Und wir sind
live dabei!!!)
Herbert
fiesh
> On 27 Okt., 18:27, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
>> Etwas anderes, das mir aufgefallen ist, und das verglichen mit den hier
>> diskutierten Fragen schon fast mathematisch ist, ist folgende Frage:
>> Sind wirklich alle Cranks maennlich, mittleren Alters und von hoeherer
>> aber nicht sehr hoher Bildung? Kennt jemand ein Gegenbeispiel? Ich
>> nahm immer an, Albrecht Storz waere noch ziemlich jung (seines
>> Schreibstils wegen),
>
> Das kann ich leider nicht als Kompliment auffassen - wegen der
> Herkunft (fiesh) und da meinem Eindruck nach sich hier die eher jungen
> oft durch manifestes Tourettesyndrom auszeichnen.
>
> hier so genannten Cranks als zu den phantasielosen und unkreativen
> Besitzstandwahrern. Mathematik wird hier gewiss von niemandem gemacht,
Du scheinst zu glauben, dass jeder der hier Teilnehmenden seine gesamten
mathematischen "Einsichten" in der Newsgroup auslebt. Fuer einen
Mathematiker ist es nicht schwer, von einigen der hier Schreibenden zu
erkennen, dass es sich um andere aktive Mathematiker handelt. Im
Gegenzug erkennt man auch recht schnell Leute, die keinerlei
mathematisches Verstaendnis aufweisen.
Fuer Fragen aus der aktuellen Forschung kommt dsm in aller Regel nicht
in Betracht, die mathematische Spezialisierung ist dafuer heutzutage
viel zu weit fortgeschritten. Da geht es mit Sicherheit nicht nur mir
so.
> Zuf�llig wei� ich genau, dass es keine unendlichen Mengen geben
> _kann_. Dass ich anscheinend nicht f�hig bin, meinen Beweis anderen zu
> vermitteln steht auf einem anderen Blatt. Aber ich gebe nicht auf.
> Auch hier in dsm nicht.
Na das ist doch beruhigend. Denn so hast du (was nichts Neues ist)
festgehalten, dass du Mathematik nicht im Ansatz begriffen hast. Jeder
Mathematiker, der davon ueberzeugt ist, einen Beweis fuer etwas zu
haben, den kein anderer akzeptiert, wuerde schlichtweg diesen
hinreichend formalisieren... auch wenn es bis zur Ueberpruefbarkeit
durch einen automatischen Beweiser geht. Es wurden bereits sehr
komplexe Beweise komplett formalisiert, etwa der Primzahlsatz, da sollte
ein so grundlegendes Resultat vergleichsweise einfach von der Hand
gehen.
Ist aber alles egal, denn zufaellig weiss ich genau, dass das deutsche
Privatfernsehen nur von Ausserirdischen kontrolliert werden _kann_. Ich
bin dabei sicher nicht durchgeknallt, es ist nur so, dass alle anderen
meine Einsichten nicht verstehen. Aber ich werde nie aufgeben, denn
alle anderen sind verrueckt, nicht ich. Besonders die, die beim
Privatfernsehen arbeiten und es eigentlich besser wissen muessten.
>> aber letztens las ich, dass auch er schon etwas
>> aelter zu sein scheint, so dass sich mir diese These auftat.
>
> Wo steht denn sowas zu lesen?
Du hattest irgendwas geschrieben, aus dem klar hervorging, dass du schon
vor Jahrzehnten zumindest kein kleines Kind mehr warst, ich habe aber
die Details vergessen.
--
fiesh
Herbert Newman
> On Tue, 27 Oct 2009, fiesh wrote:
>
>> Etwas anderes, das mir aufgefallen ist, und das verglichen mit den hier
>> diskutierten Fragen schon fast mathematisch ist, ist folgende Frage:
>>
>> "Sind wirklich alle Cranks maennlich, mittleren Alters und von hoeherer
>> aber nicht sehr hoher Bildung?"
Nein, dem ist nicht so, wie schon TF bemerkt hat (es sei denn, man w�rdest
WM zubilligen, "mittleren Alters" zu sein):
"Wolfgang M�ckenheim is a classic crank. Why do you imagine, as you seem to
do, that there is any point arguing with him? It may seem odd that he has a
job as a professor in technical and mathematical subjects, but such things
happen." (Torkel Franzen, sci.math)
Herbert
Wolfgang Thumser
> Jetzt gibt es nichts mehr zu interpretieren, omega ist definiert.
In jedem Modell der Mengenlehre wird omega interpretiert, und ohne
Modell ist das ganze ein Spiel mit endlichen Zeichenketten ohne
jede Bedeutung (Ein Ableitungsspiel eben).
> Oder zeige doch bitte einen Beweis des Satzes
> von Goodstein _ohne_ unendlichen "Spuk".
Die Ableitung von G innerhalb von ZFC ist eine endliche
Zeichenkette, an keiner Stelle wird da auf's "Unendliche"
referiert, selbst Maschinen koennen diese Ableitung verifizieren,
und die haben bestimmt keine Vorstellung von "Unendlich".
Um den Beweis zu "verstehen", kommt man ohne Interpretation
nicht aus. Und wenn ich WM richtig verstehe, wendet er sich
gegen die Cantorsche Standardinterpretation der Menge als
(ggfs. unendliche) Zusammenfassung von Objekten.
Was verleiht denn dem Beweis von G seine Ueberzeugungskraft?
Angenommen, morgen findet sich ein Widerspruch in ZFC, wuerdest
Du dann immer noch auf die Gueltigkeit von G wetten?
Gruss Wolfgang
fiesh
> Am Tue, 27 Oct 2009 18:33:01 +0100 schrieb Helmut Richter:
>
>> On Tue, 27 Oct 2009, fiesh wrote:
>>
>>> Etwas anderes, das mir aufgefallen ist, und das verglichen mit den hier
>>> diskutierten Fragen schon fast mathematisch ist, ist folgende Frage:
>>>
>>> "Sind wirklich alle Cranks maennlich, mittleren Alters und von hoeherer
>>> aber nicht sehr hoher Bildung?"
>
> Nein, dem ist nicht so, wie schon TF bemerkt hat (es sei denn, man w�rdest
> WM zubilligen, "mittleren Alters" zu sein):
OK, vielleicht ist mein Verstaendnis von "mittleres Alter" einfach
falsch, ich meinte damit genau WMs Altergruppe.
--
fiesh
Herbert Newman
> Das w�re doch auch egal.
> Man merkt ja selber nicht, dass man ein Crank ist,
> leidet also auch nicht darunter.
> Muss irgendetwas mit G�dels Unvollst�ndigkeitss�tzen
> zu tun haben. Innerhalb eines Cranks ist seine Crankhaftigkeit
> nicht zu erkennen.
Hallo, Mengenlehrer, Du magst das als Scherz gemeint haben..., aber an
diesem Gedanken k�nnte durchaus etwas dran sein. Hier gibt es Bez�ge zum
allgemeinen Begriff des /Wahns/ und psychopathologischen Erscheinungen, wie
z. B. der Paranoia. Schon "witzig", dass gerade G�del selbst in h�herem
Alter unter paranoiden Wahnvorstellungen (man wolle ihn vergiften) gelitten
hat...
Herbert
Herbert Newman
> Die von Dir genannte Referenz gef�llt mir, ...
Mir auch. Nur schade, dass ER SELBST sie nicht versteht...
Herbert
fiesh
> Und wenn ich WM richtig verstehe, wendet er sich
> gegen die Cantorsche Standardinterpretation der Menge als
> (ggfs. unendliche) Zusammenfassung von Objekten.
Wie sagt man so schoen neudeutsch: omg lol.
> Was verleiht denn dem Beweis von G seine Ueberzeugungskraft?
> Angenommen, morgen findet sich ein Widerspruch in ZFC, wuerdest
> Du dann immer noch auf die Gueltigkeit von G wetten?
Wenn morgen die Widerspruechlichkeit von ZFC gezeigt wuerde, waere G
wohl ziemlich weit hinten auf der Liste der brennend interessanten
Punkte.
Angenommen, morgen findet sich ein Widerspruch in PA -- was dann?
Das ist kein Argument, fuer gar nichts.
--
fiesh
Wolfgang Thumser
>> Was verleiht denn dem Beweis von G seine Ueberzeugungskraft?
>> Angenommen, morgen findet sich ein Widerspruch in ZFC, wuerdest
>> Du dann immer noch auf die Gueltigkeit von G wetten?
>
> Angenommen, morgen findet sich ein Widerspruch in PA -- was dann?
> Das ist kein Argument, fuer gar nichts.
Welches Argument meinst Du?
Gruss Wolfgang
Mengenlehrer
> Hallo Mengenlehrer,
>
>> Jetzt gibt es nichts mehr zu interpretieren, omega ist definiert.
>
Seit wann werden in einem Modell definierte
Objekte interpretiert? Werden in einem Modell
nicht nur undefinierte Symbole (Relations- und
Funktionssymbole und Konstanten) interpretiert?
Und da gibt's in der Mengenlehre ja wohl nur
das Relationssymbol e.
fiesh
Einen Beweis mit "angenommen es findet sich ein Widerspruch in ZFC" zu
entkraeften, bzw. seine Ueberzeugungskraft anzuzweifeln.
--
fiesh
Wolfgang Thumser
> Und da gibt's in der Mengenlehre ja wohl nur
> das Relationssymbol e.
sowie die Objekte des Universums, von denen
omega eines darstellt. Wenn Du's formal haben
willst, betrachte eine konservative,
definitorische Erweiterung von ZFC um eine
Konstante w, die auf das entsprechende Objekt
im Modell abgebildet wird.
Die Menge omega ist ebensowenig (oder soviel)
einzigartig wie das neutrale Element in der
Gruppentheorie. Und das von WM kritisierte
Standardmodell von ZFC ist wie bei den Gruppen
nicht das einzige. Stellt man (aus welchen
Gruenden immer) die Existenz dieses Modells
in Frage, so folgt daraus noch lange nicht die
formale Inkonsistenz von ZFC (dazu muesste man
auch die nichtintendierten Modelle ausschliessen
koennen), und das erkenne ich in WMs Argumenten
nicht.
Gruss Wolfgang
Wolfgang Thumser
> Einen Beweis mit "angenommen es findet sich ein Widerspruch in ZFC" zu
> entkraeften, bzw. seine Ueberzeugungskraft anzuzweifeln.
na ja, ich halte ZFC zum Beweis eines finiten Satzes wie G
fuer zu stark. Ist naemlich ZFC widerspruchsvoll, dann ist
der Beweis wertlos, weil ja alles abgeleitet werden kann.
Die Annahme der Widerspruchsfreiheit von ZFC ist als Voraussetzung
fuer die Ueberzeugungskraft eines Beweises von G fuer mich aber
wesentlich schwerer zu akzeptieren als G selbst.
Viel eher wuerde ich nach einer minimalen Erweiterung von PA,
innerhalb derer er ja (unter der Vorraussetzung der Konsistenz)
nicht beweisbar ist, fragen, die ausreichend ist. Interessant ist
noch folgendes: Falls PA inkonsistent ist, ist auf die transfinite
Induktion bis epsilon_0 kein Verlass mehr (die brauchte ja Gentzen
im Konsistenzbeweis von PA). Dann aber wackelt auch der Beweis
von G, der ja genau darauf angewiesen ist.
Gruss Wolfgang
Helmut Richter
> Um so einen Effekt zu erreichen, braucht man aber keine bīŋŊse Mengenlehre.
Das war noch richtig: Wohlordnungen gibt es auch ohne Ordinalzahlen [1] in
ganz gewīŋŊhnlichen īŋŊberschaubaren Mengen, und SīŋŊtze, die fīŋŊr Wohlordnungen
gelten, z.B. dass absteigende Folgen endlich sind, gelten dann auch.
[1] NatīŋŊrlich gibts dann ordinalzahlen dazu, aber man braucht keine
Ordinalzahlarithmetik, um darīŋŊber vernīŋŊnftig reden zu kīŋŊnnen.
> Schon die denkbaren WīŋŊrter (endlich lang īŋŊber einem endlichen Alphabet)
> haben die Eigenschaft, dass wenn man von einem beliebigen von ihnen
> ausgehend eine Folge bildet, bei der jedes folgende alphabetisch vor dem
> voranstehen ist, man sicher nach endlich vielen Schritten zum Ende kommt,
> obwohl es nicht nur endlich viele gibt, die vor dem Startelement liegen.
Sorry, das Beispiel ist falsch; die Dinger sind nicht wohlgeordnet.
Zum Beispiel die WīŋŊrter der Gestalt a...ab haben kein kleinstes, mit einem
a davor wirds kleiner.
--
Helmut Richter
Helmut Richter
> hier muss man aufpassen, die lexikographische Ordnung auf endlichen Woertern
> (ohne Laengenbeschraenkung) ist i.a. keine Wohlordnung, wie das Beispiel
>
> ... < aaaab < aaab < aab < ab < b
Ja, das Beispiel ist falsch, wie ich auch schon bemerkt habe, als ich beim
Abendspaziergang die f�r selbstverst�ndlich gehaltene Bemerkung beweisen
wollte (warum war das doch gleich so?). Aber vielleicht ist das mein
Fehler: wer wenigstens im Nachhinein beweisen will, was er sagt, bekommt
nur unn�tig Zweifel. Ein "das kann gar nicht anders sein" ist da
beruhigender.
--
Helmut Richter
Helmut Richter
> Und das ist eben nur f�r Freunde der nicht-linearen linearen Ordnung
> des Unendlichen plausibel. Aus b(n) > b(n+1) folgt in einer
> Wohlordnung, die Limes-Ordinalzahlen enth�lt, eben nicht, dass die
> Folge b(n) in endlich vielen Schritten gegen 0 konvergier.
--
Helmut Richter
WM
> WM schrieb:
>
> > Und das ist eben nur für Freunde der nicht-linearen linearen Ordnung
> > des Unendlichen plausibel. Aus b(n) > b(n+1) folgt in einer
> > Wohlordnung, die Limes-Ordinalzahlen enthält, eben nicht, dass die
> > Folge b(n) in endlich vielen Schritten gegen 0 konvergier.
>
> Doch, die Menge der b(n) ist ja nicht-leer und hat damit ein kleinstes
> Element.
Du hast Recht. Es wird nichts von Limesordinalzahlen abgezogen. Vor
allem enthält die Menge keine Limesordinalzahlen, an denen sich der
Beweis aufhängen könnte. Ich habe das leider missverstanden. Das
Kalenderblatt wird geändert.
Apologies to Robert Figura.
>
>
>
> > Aber der Fehler ist derselbe wie bei Zermelos Beweis aus einem
> > früheren Kalenderblatt. Es wird inkonsequenterweise eine lineare
> > Ordnung zum Beweis herangezogen, wo keine existiert.
>
> Deine Verwendung des Begriffes `lineare Ordnung' ist verwirrend, weil
> man darunter meist eine totale Ordnung im Gegensatz zu einer partiellen
> Ordnung versteht.
Damit hat "linear" meines Erachtens nichts zu tun. Eine
Ordnungsrelation R auf einer Menge heißt linear, wenn für jedes Paar
x,y von Elementen gilt yRx oder xRy. Auf |N ist sowohl "<" als auch
"=<" linear. Siehe z.B.
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Mathematerial/M03.PPT#296,7,Folie
7
> In diesem Sinne ist dann jede Wohlordnung per
> Definition eine lineare Ordnung.
Ich meinte hier linear im Sinne von: Es gibt ein erstes Element, das
bestimmte Eigenschaften hat. Bei einer Wohlordnung besitzt nur jede nl
Teilmenge ein erstes Element.
Gruß, WM
WM
> > angegeben: " Wenn man sich die Beweismethode auf diese Weise
> >www.joergresag.privat.t-online.de/mybk3htm/chap46.htm
>
> Ja, danke. Ich habe auch noch irgendwo im Bücherschrank das
> Spektrum-Sonderheft "Das Unendliche" (oder ähnlich), wo ich
> bereits neugierig an den Goodstein-Folgen geschnuppert hatte.
>
> weil auch immer wieder auf den Tausendsassa John Baez verwiesen
> und erfreut hat.
Vor allem ist am Ende eine sehr schöne Ausarbeitung von Kevin Buzzard
zu finden.
Aber mein Kalenderblatt muss geändert werden. Ich habe mich leider
durch den so schön ins Konzept passenden Text blenden lassen:
Es ist schon etwas verwirrend: Zählt man von unten nach oben, so kann
man unendlich lange zählen, ohne die nächste Grenzzahl zu erreichen,
denn man findet immer einen Nachfolger, der kleiner als die nächste
Grenzzahl ist. Hat man dagegen eine absteigende Folge von
Ordinalzahlen, so muss man bei jeder Grenzzahl einen Sprung nach
unten
machen, denn einen direkten Vorgänger gibt es nicht.
Tatsächlich wird die Folge der Ordinalzahlen aber nicht von oben nach
untern durchlaufen, sondern nur ausgewählte Exemplare werden
verwendet. Sorry for inconvenience.
Gruß, WM
WM
> On Tue, 27 Oct 2009, fiesh wrote:
> > Etwas anderes, das mir aufgefallen ist, und das verglichen mit den hier
> > diskutierten Fragen schon fast mathematisch ist, ist folgende Frage:
> > Sind wirklich alle Cranks maennlich, mittleren Alters und von hoeherer
> > aber nicht sehr hoher Bildung?
>
Du akzeptierst also, dass fiesh die Bildungsstufe von Leuten wie
Wittgenstein oder Poincaré oder Borel oder Lorenzen oder Zeilberger
zuteffend beurteilen kann?
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
>
> Tatsï¿œchlich wird die Folge der Ordinalzahlen aber nicht von oben nach
> untern durchlaufen, sondern nur ausgewï¿œhlte Exemplare werden
> verwendet. Sorry for inconvenience.
ï¿œben. Das war ja durchaus nicht-marginal.
Rainer Rosenthal
> Carsten Schultz schrieb:
>> Deine Verwendung des Begriffes `lineare Ordnung' ist verwirrend, weil
>> man darunter meist eine totale Ordnung im Gegensatz zu einer partiellen
>> Ordnung versteht.
>
> Damit hat "linear" meines Erachtens nichts zu tun. Eine
> Ordnungsrelation R auf einer Menge heiï¿œt linear, wenn fï¿œr jedes Paar
> x,y von Elementen gilt yRx oder xRy. Auf |N ist sowohl "<" als auch
> "=<" linear. Siehe z.B.
> http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Mathematerial/M03.PPT#296,7,Folie
> 7
Du hast doch - falls ich nicht wieder an Leseschwï¿œche leide - hier
soeben mit eigenen Worten eine totale Ordnung beschrieben, indem Du
die Vergleichbarkeit je zweier Elemente forderst.
>
>> In diesem Sinne ist dann jede Wohlordnung per
>> Definition eine lineare Ordnung.
>
> Ich meinte hier linear im Sinne von: Es gibt ein erstes Element, das
> bestimmte Eigenschaften hat. Bei einer Wohlordnung besitzt nur jede nl
> Teilmenge ein erstes Element.
Ich bin verblï¿œfft: "nl" soll ja wohl "nicht-leer" bedeuten. Kann man sich
denn eine irgendwie geartete Ordnung vorstellen, in der auch leere Teil-
Mengen erste Elemente enthalten?
Mengenlehrer
> Hallo Mengenlehrer,
>
>> Und da gibt's in der Mengenlehre ja wohl nur
>> das Relationssymbol e.
>
> sowie die Objekte des Universums, von denen
> omega eines darstellt. Wenn Du's formal haben
> willst, betrachte eine konservative,
> definitorische Erweiterung von ZFC um eine
> Konstante w, die auf das entsprechende Objekt
> im Modell abgebildet wird.
Wieso denn _noch_ ein omega definieren?
Omega ist doch schon als Schnitt aller induktiven Mengen definiert.
> Die Menge omega ist ebensowenig (oder soviel)
> einzigartig wie das neutrale Element in der
> Gruppentheorie.
Das neutrale Element der Gruppentheorie ist aber ein
undefiniertes Konstantensymbol.
> Und das von WM kritisierte
> Standardmodell von ZFC ist wie bei den Gruppen
> nicht das einzige.
Ich glaube wir k�nnen die Diskussion abk�rzen.
Nenne mir einfach eine zum L�wenheim-Skolem-Theorem
(aus dem die Existenz eines abz�hlbares Modells von ZFC folgt)
analoge Quelle, aus dem die Existenz eines endlichen Modells
von ZFC, oder zumindest eines Modells mit endlichem omega,
folgt. Das muss ich bisher �bersehen haben.
In einem solchen Modell kann einem das Unendlichkeitsaxiom
schon richtig leid tun.
Albrecht
> On 2009-10-27, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>
>
>
>
>
> > On 27 Okt., 18:27, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
> >> Etwas anderes, das mir aufgefallen ist, und das verglichen mit den hier
> >> diskutierten Fragen schon fast mathematisch ist, ist folgende Frage:
> >> Sind wirklich alle Cranks maennlich, mittleren Alters und von hoeherer
> >> aber nicht sehr hoher Bildung? Kennt jemand ein Gegenbeispiel? Ich
> >> nahm immer an, Albrecht Storz waere noch ziemlich jung (seines
> >> Schreibstils wegen),
>
> > Das kann ich leider nicht als Kompliment auffassen - wegen der
> > Herkunft (fiesh) und da meinem Eindruck nach sich hier die eher jungen
> > oft durch manifestes Tourettesyndrom auszeichnen.
>
> > hier so genannten Cranks als zu den phantasielosen und unkreativen
> > Besitzstandwahrern. Mathematik wird hier gewiss von niemandem gemacht,
>
> Du scheinst zu glauben, dass jeder der hier Teilnehmenden seine gesamten
> mathematischen "Einsichten" in der Newsgroup auslebt. Fuer einen
> Mathematiker ist es nicht schwer, von einigen der hier Schreibenden zu
> erkennen, dass es sich um andere aktive Mathematiker handelt. Im
> Gegenzug erkennt man auch recht schnell Leute, die keinerlei
> mathematisches Verstaendnis aufweisen.
>
> Fuer Fragen aus der aktuellen Forschung kommt dsm in aller Regel nicht
> in Betracht, die mathematische Spezialisierung ist dafuer heutzutage
> viel zu weit fortgeschritten. Da geht es mit Sicherheit nicht nur mir
> so.
>
> > _kann_. Dass ich anscheinend nicht fähig bin, meinen Beweis anderen zu
> > vermitteln steht auf einem anderen Blatt. Aber ich gebe nicht auf.
> > Auch hier in dsm nicht.
>
> Na das ist doch beruhigend. Denn so hast du (was nichts Neues ist)
> festgehalten, dass du Mathematik nicht im Ansatz begriffen hast. Jeder
> Mathematiker, der davon ueberzeugt ist, einen Beweis fuer etwas zu
> haben, den kein anderer akzeptiert, wuerde schlichtweg diesen
> hinreichend formalisieren... auch wenn es bis zur Ueberpruefbarkeit
> durch einen automatischen Beweiser geht. Es wurden bereits sehr
> komplexe Beweise komplett formalisiert, etwa der Primzahlsatz, da sollte
> ein so grundlegendes Resultat vergleichsweise einfach von der Hand
> gehen.
>
> Ist aber alles egal, denn zufaellig weiss ich genau, dass das deutsche
> Privatfernsehen nur von Ausserirdischen kontrolliert werden _kann_. Ich
> bin dabei sicher nicht durchgeknallt, es ist nur so, dass alle anderen
> meine Einsichten nicht verstehen. Aber ich werde nie aufgeben, denn
> alle anderen sind verrueckt, nicht ich. Besonders die, die beim
> Privatfernsehen arbeiten und es eigentlich besser wissen muessten.
>
Aber Du bist Dir schon bewußt dass etwa zwischen den beiden Aussagen:
- Die Erde übt eine Anziehungskraft auf Massen aus
und
- Der Mond besteht aus Cheddar
ein prinzipieller Unterschied besteht? Und zwar egal wer was zu wissen
glaubt. Falls ja wäre ich doch partiell beruhigt.
AS
Helmut Richter
> On 27 Okt., 18:33, Helmut Richter <hh...@web.de> wrote:
> > On Tue, 27 Oct 2009, fiesh wrote:
> > > Etwas anderes, das mir aufgefallen ist, und das verglichen mit den hier
> > > diskutierten Fragen schon fast mathematisch ist, ist folgende Frage:
> > > Sind wirklich alle Cranks maennlich, mittleren Alters und von hoeherer
> > > aber nicht sehr hoher Bildung?
> >
> > Oh. Ich hoffe, die Umkehrung gilt nicht uneingeschr�nkt.
>
> Du akzeptierst also, dass fiesh die Bildungsstufe von Leuten wie
> Wittgenstein oder Poincar� oder Borel oder Lorenzen oder Zeilberger
> zuteffend beurteilen kann?
Hat er die alle als Cranks bezeichnet?
Ich habe den Satz nur auf mich bezogen, und da habe ich die "h�here aber
nicht sehr hohe Bildung" hinsichtlich der Mathematik f�r mich
interpretiert als "genug mathematisch gebildet, um eine Dissertation zu
schreiben, in der mathematische S�tze bewiesen werden, aber nicht in der
Lage, bei ernsthafter mathematischer Forschung mitreden zu k�nnen". Was
f�r mich zutrifft.
--
Helmut Richter
Mengenlehrer
> Am Tue, 27 Oct 2009 19:00:35 +0100 schrieb Mengenlehrer:
>
>> Das w�re doch auch egal.
>> Man merkt ja selber nicht, dass man ein Crank ist,
>> leidet also auch nicht darunter.
>> Muss irgendetwas mit G�dels Unvollst�ndigkeitss�tzen
>> zu tun haben. Innerhalb eines Cranks ist seine Crankhaftigkeit
>> nicht zu erkennen.
>
> Hallo, Mengenlehrer, Du magst das als Scherz gemeint haben..., aber an
> diesem Gedanken k�nnte durchaus etwas dran sein. Hier gibt es Bez�ge zum
> allgemeinen Begriff des /Wahns/ und psychopathologischen Erscheinungen, wie
> z. B. der Paranoia.
Ja, man sollte es statt Crankhaftigkeit besser Crankheit nennen.
fiesh
> Aber Du bist Dir schon bewu�t dass etwa zwischen den beiden Aussagen:
>
> - Die Erde �bt eine Anziehungskraft auf Massen aus
> und
> - Der Mond besteht aus Cheddar
>
> ein prinzipieller Unterschied besteht? Und zwar egal wer was zu wissen
Deine Fullquotes gehen mir wirklich immer sehr auf die Nerven, daher
werde ich es nach dieser Antwort fuer sich belassen.
Das kommt natuerlich stark darauf an, was ein "prinzipieller
Unterschied" ist. Der deutlichste Unterschied ist wohl, dass wir die
Wahrheitswerte der beiden Aussagen kennen und diese sich unterscheiden.
Einen weiteren Unterschied, den ich als "prinzipiell" bezeichnen wuerde,
sehe ich nicht. Immerhin war die erste Aussage zu vielen
Menschheitszeiten wohl aehnlich als "definitiv falsch" angesehen wie
heute die zweite.
--
fiesh
WM
> WM schrieb:
>
> > Carsten Schultz schrieb:
> >> Deine Verwendung des Begriffes `lineare Ordnung' ist verwirrend, weil
> >> man darunter meist eine totale Ordnung im Gegensatz zu einer partiellen
> >> Ordnung versteht.
>
> > Damit hat "linear" meines Erachtens nichts zu tun. Eine
> > x,y von Elementen gilt yRx oder xRy. Auf |N ist sowohl "<" als auch
> > "=<" linear. Siehe z.B.
> >http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Mathematerial/M03.PPT#296,7,Folie
> > 7
>
> soeben mit eigenen Worten eine totale Ordnung beschrieben, indem Du
> die Vergleichbarkeit je zweier Elemente forderst.
Das wurde in meinem Studium als lineare Ordnung bezeichnet (und ich
bezeichne es auch so), im Gegensatz zu einer nicht linearen Ordnung
wie "ist Untermenge von" z. B. auf P(|N). Ich habe diese Bezeichnung
so akzeptiert, weil sie mir stimmig vorkommt.
>
>
>
> >> In diesem Sinne ist dann jede Wohlordnung per
> >> Definition eine lineare Ordnung.
>
> > Ich meinte hier linear im Sinne von: Es gibt ein erstes Element, das
> > bestimmte Eigenschaften hat. Bei einer Wohlordnung besitzt nur jede nl
> > Teilmenge ein erstes Element.
>
> Ich bin verblüfft: "nl" soll ja wohl "nicht-leer" bedeuten. Kann man sich
> denn eine irgendwie geartete Ordnung vorstellen, in der auch leere Teil-
> Mengen erste Elemente enthalten?
Nein, aber die Mengenlehrer legen Wert auf diese präzisierung.
...
Ach, jetzt verstehe ich erst Deinen Einwand. Das "nur" oben besitzt
eine andere Bedeutung. Es unterscheidet die übliche Definition der
Wohlordnung von der Forderung, dass jedes Element in einer Ordnung
derart auftritt, so dass man folgende Schlussweise anwenden kann:
"Wäre m' das erste Element, in dem sich M'_gamma von M''_gamma
unterscheidet." Zermelo schließt so. Und das gibt eine Wohlordnung
allein nicht her. Denn tät sie es, so entfiele auch jedes Argument
gegen meine Interzession und die Zuordnung von rationalen Zahlen und
irrationalen Zahlen.
http://arxiv.org/ftp/math/papers/0408/0408089.pdf
Dort schließe ich: But our mapping process runs until one of the sets
is exhausted. Ich fasse rationale q und irrationale Zahlen x zu Paaren
zusammen.
Wären mehr irrationale als rationale Zahlen vorhanden, so gäbe es ein
erstes Element x aus X, dem kein q aus Q zugeordnet werden könnte.
Gruß, WM
WM
> On Tue, 27 Oct 2009, WM wrote:
> > On 27 Okt., 18:33, Helmut Richter <hh...@web.de> wrote:
> > > On Tue, 27 Oct 2009, fiesh wrote:
> > > > Etwas anderes, das mir aufgefallen ist, und das verglichen mit den hier
> > > > diskutierten Fragen schon fast mathematisch ist, ist folgende Frage:
> > > > Sind wirklich alle Cranks maennlich, mittleren Alters und von hoeherer
> > > > aber nicht sehr hoher Bildung?
>
>
> > Du akzeptierst also, dass fiesh die Bildungsstufe von Leuten wie
> > zuteffend beurteilen kann?
>
> Hat er die alle als Cranks bezeichnet?
Nun, jemand der das Banch-Tarski Paradoxon als Widerspruch der ML
bezeichnet oder das Ganze für Unsinn hält, dürfte auf seiner Skala
dort angesiedelt sein.
Gruß, WM
WM
Hallo Wolfgang,
wie Du richtig sagst, bestreite ich die Existenz des aktual
Unendlichen, oder genauer die Interpretation von omega als solchem.
ZFC ist mir ziemlich gleichgültig.
Aber es gibt eine wesentliche Konsequenz: ohne das aktual Unendliche
versagt Cantors Argument, denn in der folgenden Liste zum Beispiel:
0,0
0,1
0,11
0,111
...
ergibt sich (bei Ersetzung von 0 durch 1) keine Diagonalzahl, die von
allen Listenzahlen verschieden wäre, ganz einfach, weil es nicht alle
Listenzahlen gibt und die Diagonalzahl 1 nicht vollendet und nicht
vollendbar ist.
Dasselbe Argument bringen viele andere Leute, die gar nicht verstehen
können, wie ein Beweis, der bis zu jeder Ziffer richtig ist, nicht für
alle reellen Zahlen gelten sollte. Mehrere Beispiele dafür habe ich
hier im Kalenderblatt gebracht.
Konsequenz ist natürlich, dass |R die Menge aller endlichen
Ziffernfolgen ist, und irrationale Zahlen wie pi keine vollständige
Zifferndarstellung besitzen.
Gruß, WM
fiesh
> On 28 Okt., 10:17, Helmut Richter <hh...@web.de> wrote:
>> On Tue, 27 Oct 2009, WM wrote:
>> > On 27 Okt., 18:33, Helmut Richter <hh...@web.de> wrote:
>> > > On Tue, 27 Oct 2009, fiesh wrote:
>> > > > Etwas anderes, das mir aufgefallen ist, und das verglichen mit den hier
>> > > > diskutierten Fragen schon fast mathematisch ist, ist folgende Frage:
>> > > > Sind wirklich alle Cranks maennlich, mittleren Alters und von hoeherer
>> > > > aber nicht sehr hoher Bildung?
>>
>>
>> > Du akzeptierst also, dass fiesh die Bildungsstufe von Leuten wie
>> > zuteffend beurteilen kann?
>>
>> Hat er die alle als Cranks bezeichnet?
>
> Nun, jemand der das Banch-Tarski Paradoxon als Widerspruch der ML
> dort angesiedelt sein.
Augsburger, die sich einbilden, anderen Aussagen in den Mund legen zu
muessen, sind es jedenfalls definitiv.
--
fiesh
Albrecht
> On 2009-10-28, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>
> > Aber Du bist Dir schon bewußt dass etwa zwischen den beiden Aussagen:
>
> > - Die Erde übt eine Anziehungskraft auf Massen aus
> > und
> > - Der Mond besteht aus Cheddar
>
> > ein prinzipieller Unterschied besteht? Und zwar egal wer was zu wissen
>
> Deine Fullquotes gehen mir wirklich immer sehr auf die Nerven, daher
> werde ich es nach dieser Antwort fuer sich belassen.
Danke.
>
> Das kommt natuerlich stark darauf an, was ein "prinzipieller
> Unterschied" ist. Der deutlichste Unterschied ist wohl, dass wir die
> Wahrheitswerte der beiden Aussagen kennen und diese sich unterscheiden.
Immerhin.
AS
Rainer Rosenthal
> Ach, jetzt verstehe ich erst Deinen Einwand. Das "nur" oben besitzt
> eine andere Bedeutung. Es unterscheidet die ï¿œbliche Definition der
> Wohlordnung von der Forderung, dass jedes Element in einer Ordnung
> derart auftritt, so dass man folgende Schlussweise anwenden kann:
> "Wï¿œre m' das erste Element, in dem sich M'_gamma von M''_gamma
> unterscheidet." Zermelo schlieï¿œt so. Und das gibt eine Wohlordnung
> allein nicht her. Denn tï¿œt sie es, so entfiele auch jedes Argument
> gegen meine Interzession und die Zuordnung von rationalen Zahlen und
> irrationalen Zahlen.
Ich kann in diesen Worten keine Wohlordnung erkennen :-)
Da fehlt doch sicher etwas in der obigen Schlussweise. Es geht
los mit "Wï¿œre ... das und das", und der Leser erwartet "...dann
mï¿œsste gelten ...". Und was ist gamma?
WM
> WM schrieb:
>
> > Ach, jetzt verstehe ich erst Deinen Einwand. Das "nur" oben besitzt
> > Wohlordnung von der Forderung, dass jedes Element in einer Ordnung
> > derart auftritt, so dass man folgende Schlussweise anwenden kann:
> > unterscheidet." Zermelo schließt so. Und das gibt eine Wohlordnung
> > allein nicht her. Denn tät sie es, so entfiele auch jedes Argument
> > gegen meine Interzession und die Zuordnung von rationalen Zahlen und
> > irrationalen Zahlen.
>
> Ich kann in diesen Worten keine Wohlordnung erkennen :-)
> Da fehlt doch sicher etwas in der obigen Schlussweise. Es geht
> müsste gelten ...". Und was ist gamma?
Oh, ich dachte, dass Du die Kalenderblätter aufmerksam liest. Ich
hatte dort über Zermelos ersten Beweis geschrieben. Aber um es Dir
ganz bequem zu machen, hier der wesentliche Teil nochmal:
Definition: Als "gamma-Menge" werde bezeichnet jede wohlgeordnete
Menge M_gamma aus lauter verschiedenen Elementen von M, welche
folgende Beschaffenheit besitzt: ist a ein beliebiges Element von
M_gamma und A der "zugehörige" Abschnitt, der aus den vorangehenden
Elementen x <* a von M_gamma besteht, so ist a immer das
"ausgezeichnete" Element von M - A. {{"x <* a" heißt: "x kommt in der
Ordnung vor a"}}
Es gibt gamma-Mengen innerhalb M. So ist z.B. m_1, das
ausgezeichnete Element von M' = M, selbst eine gamma-Menge {{man
beachte: Das Element ist eine Menge! Auch Zermelo unterscheidet hier
noch nicht zwischen m und (m).}}, ebenso die (geordnete) Menge M_2 =
(m_1, m_2), wo m_2 das ausgezeichnete Element von M - m_1 ist. {{Die
gamma-Menge der Belegung aus Beispiel 2 ist (a, b, 1, 2, 3, ...). Und
jetzt folgt der sehr schöne Schluss:}}
Sind M'_gamma und M''_gamma irgend zwei verschiedene gamma-Mengen
(die aber zu derselben ein für allemal gewählten Belegung gamma
gehören!), so ist immer eine von beiden identisch mit einem
Abschnitte
der anderen.
[E. Zermelo: "Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann", Math.
Ann. 59 (1904) 514-516]
Der springende Punkt ist dieser:
Wäre m' das erste Element, in dem sich M'_gamma von M''_gamma
unterscheidet,...
Was dann passiert, ist ganz unwesentlich, denn diese Prämisse führt zu
einer Schlussfolgerung, die mengentheoretisch nicht für eine beliebige
Wohlordnung erfüllt ist. Außerdem zeigt sie die Einseitigkeit der
Mengenlehre.
Wir können nämlich ebensogut jeder reellen Zahl eine natürliche Zahl
zuordnen. Wenn man damit beginnt und nicht wie Cantor voraussetzt,
dass dies schon geschehen sei, so kann der Beweis à la Zermelo geführt
werden: Wäre x die erste reelle Zahl, der keine natürliche Zahl
zugeordnet werden kann, dann müsste dem Vorgänger von x die letzte
natürliche Zahl zugeordnet worden sein, was bekanntlich unmöglich ist.
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
> Oh, ich dachte, dass Du die Kalenderblï¿œtter aufmerksam liest. Ich
> hatte dort ï¿œber Zermelos ersten Beweis geschrieben. Aber um es Dir
> ganz bequem zu machen, hier der wesentliche Teil nochmal:
>
> Definition: Als "gamma-Menge" werde bezeichnet jede wohlgeordnete
> Menge M_gamma aus lauter verschiedenen Elementen von M, welche
> folgende Beschaffenheit besitzt: ist a ein beliebiges Element von
> M_gamma und A der "zugehï¿œrige" Abschnitt, der aus den vorangehenden
> Elementen x <* a von M_gamma besteht, so ist a immer das
> "ausgezeichnete" Element von M - A. {{"x <* a" heiï¿œt: "x kommt in der
> Ordnung vor a"}}
Was wird denn ï¿œber M vorausgesetzt? Und was ist ein "ausgezeichnetes
Element"? Ohne dass ich das weiￜ, kￜnnte ja jede wohlgeordnete Teilmenge
von M eine gamma-Menge sein.
> Es gibt gamma-Mengen innerhalb M. So ist z.B. m_1, das
> ausgezeichnete Element von M' = M, selbst eine gamma-Menge {{man
> beachte: Das Element ist eine Menge! Auch Zermelo unterscheidet hier
> noch nicht zwischen m und (m).}}, ...
Das ist ja nun wahrhaft kein wichtiger Hinweis. Natï¿œrlich ist das
Element m_1 keine Menge, sondern es bildet eine gamma-Menge. Die
pedantische Schreibweise {m_1} kann man sich ja sparen, wenn man
weiￜ, was gemeint ist. In anderem Kontext kann es allerdings zu
heilloser Verwirrung fï¿œhren, wenn beispielsweise ï¿œber Potenzmengen
von Potenzmengen gesprochen wird und dabei mit der Notation
geschlampert wird.
> ... ebenso die (geordnete) Menge M_2 =
> (m_1, m_2), wo m_2 das ausgezeichnete Element von M - m_1 ist. {{Die
> gamma-Menge der Belegung aus Beispiel 2 ist (a, b, 1, 2, 3, ...). Und
> jetzt folgt der sehr schï¿œne Schluss:}}
> Sind M'_gamma und M''_gamma irgend zwei verschiedene gamma-Mengen
> (die aber zu derselben ein fï¿œr allemal gewï¿œhlten Belegung gamma
> gehï¿œren!), so ist immer eine von beiden identisch mit einem
> Abschnitte
> der anderen.
> [E. Zermelo: "Beweis, daￜ jede Menge wohlgeordnet werden kann", Math.
> Ann. 59 (1904) 514-516]
Hier taucht gamma plï¿œtzlich als "Belegung" auf. Ich glaube, ich mï¿œsste
wohl doch lieber den Original-Artikel von Zermelo anschauen, weil die
Zusammenfassung (so gut sie gemeint ist, danke) lï¿œckenhaft und unver-
stï¿œndlich ist.
> Der springende Punkt ist dieser:
> Wï¿œre m' das erste Element, in dem sich M'_gamma von M''_gamma
> unterscheidet,...
>
> Was dann passiert, ist ganz unwesentlich, denn diese Prï¿œmisse fï¿œhrt zu
> einer Schlussfolgerung, die mengentheoretisch nicht fï¿œr eine beliebige
> Wohlordnung erfï¿œllt ist. Auï¿œerdem zeigt sie die Einseitigkeit der
> Mengenlehre.
Ich weiￜ, ich weiￜ, die Mengenlehrer sind bￜse und sie gleichen dem
berï¿œchtigten Rattenfï¿œnger usw. *gï¿œhn*
>
> Wir kï¿œnnen nï¿œmlich ebensogut jeder reellen Zahl eine natï¿œrliche Zahl
> zuordnen. Wenn man damit beginnt und nicht wie Cantor voraussetzt,
> dass dies schon geschehen sei, so kann der Beweis ￜ la Zermelo gefￜhrt
> werden: Wï¿œre x die erste reelle Zahl, der keine natï¿œrliche Zahl
> zugeordnet werden kann, dann mï¿œsste dem Vorgï¿œnger von x die letzte
> natï¿œrliche Zahl zugeordnet worden sein, was bekanntlich unmï¿œglich ist.
Jessas na, hier ist wieder das berï¿œhmte Thema, dass es "gleich viele"
rationale wie irrationale Zahlen geben mï¿œsse, weil ja zwischen je zweien
der einen Art immer auch eine der anderen Art liegt. Das ist nun mal
ein Trugschluss.
Um mit Zermelo argumentieren zu kï¿œnnen, mï¿œsstest Du fï¿œr die Anwendung
erst einmal eine Belegung gamma angeben und ï¿œberhaupt Punkt fï¿œr Punkt
nachweisen, dass in dem von Dir betrachteten Fall die Voraussetzungen
der Zermelo'schen Beweisfï¿œhrung erfï¿œllt sind.
Ralf Bader
> Hier taucht gamma plötzlich als "Belegung" auf. Ich glaube, ich müsste
> wohl doch lieber den Original-Artikel von Zermelo anschauen, weil die
> Zusammenfassung (so gut sie gemeint ist, danke) lückenhaft und unver-
> ständlich ist.
Das ist schon deshalb sinnvoll, weil Mückenheim die zweite Hälfte des
Zermeloschen Beweises einfach weggelassen hat. Wahrscheinlich hält er das
für entbehrlichen Zierat. Wieder einmal zeigt sich, daß man Mückenheim als
Sekundärquelle NICHTS glauben darf.
Und dann ist es auch sinnvoll, sich Zermelos zweite Arbeit, "Neuer
Beweis...", anzusehen, wo Zermelo auch auf die Arbeit von Jourdain eingeht,
die ebenfalls schon einmal Gegenstand eines Kalenderblatt-Spams war. Und
schließlich Zermelos finale Arbeit zur Mengenlehre, "Über Grenzzahlen und
Mengenbereiche", erschienen in Fund.Math., welches beim polnischen
icm-Server erhältlich ist. Hier wird ja ständig an der "Existenz"
irgendwelcher *Objekte* herumgehubert. Viel wichtiger als die Objekte sind
aber die Beziehungen, die diese untereinander haben, also Operationen,
Relationen, Morphismen und so. Und die Beziehungen dieser Beziehungen usw.,
was zu der höherdiemnsionalen Kategorientheorie führt, die ein Steckenpferd
des, wie Du kürzlich angedeutet hast, von Dir geschätzten John Baez ist.
Wenn nun eine Menge per definitionem eine Operation gestattet, die zu
einer "größeren" Menge führt, dann kann es banalerweise keine allergrößte,
oder umfassende, Menge geben; es wären einfach widersprechende
Eigenschaften, die man von einem solchen Objekt verlangen würde. Dieser
Widerspruch entspricht in der Tat dem Widerspruch im Begriff der "größten
natürlichen Zahl". Was man aber machen kann, ist jene iterative Konzeption
von Mengenuniversen, wie sie Zermelo in seiner finalen Arbeit darstellt.
Man kann zu jedem Mengenuniversum dessen Allmenge bilden, handelt sich aber
damit einen Schwung weiterer Mengen ein, der das nächsthöhere
Mengenuniversum bildet.
Ralf
--
W. Hughes, in sci.math.: "No set of natural numbers without a last element
[is finite]"
Prof. Dr. W. Mückenheim, mathematical mastermind of "Augsburg University of
Applied Science": "There is no natural number called "out a last element".
Christopher Creutzig
> "W�re m' das erste Element, in dem sich M'_gamma von M''_gamma
> unterscheidet." Zermelo schlie�t so. Und das gibt eine Wohlordnung
> allein nicht her.
Wenn M'_gamma und M''_gamma Teilmengen einer wohlgeordneten Menge m
sind, dann ist auch die symmetrsiche Differenz von M'_gamma und
M''_gamma Teilmenge von M. Unterscheiden sich M'_gamma und M''_gamma,
dann ist die symmetrische Differenz nicht leer und hat als nicht-leere
Teilmenge einer wohlgeordneten Menge ein kleinestes Element m'. Also
gibt eine Wohlordnung auf einer gemeinsamen Obermenge von M'_gamma und
M''_gamma, wenn die beiden verschieden sind, die Existenz eines
(eindeutig bestimmten) ersten Elements, in dem sich die beiden
unterscheiden, her.
> Denn t�t sie es, so entfiele auch jedes Argument
> gegen meine Interzession und die Zuordnung von rationalen Zahlen und
> irrationalen Zahlen.
Ist das jetzt Kabarett oder Satire? �Das kann aber nicht sein, denn
damit w�rde mein Beweis ja nicht mehr funktionieren, an dem hier alle
zweifeln, an den ich aber fest glaube.� ist irgendwie kein sonderlich
gutes mathematisches Argument.
> W�ren mehr irrationale als rationale Zahlen vorhanden, so g�be es ein
> erstes Element x aus X, dem kein q aus Q zugeordnet werden k�nnte.
Richtig. Mit einer Wohlordnung auf X und einer konkreten Zuordnung
existiert so ein x. Schlichtweg, weil es mehr irrationale als rationale
Zahlen gibt. Bis auf die nicht spezifizierte Wohlordnung und etwas
ungew�hnliche Verwendung des irrealis ist Deine Aussage also vollkommen
korrekt. :-)
--
F�r zuverl�ssige Statistiken sind bislang noch
nicht ausreichend viele Universen beobachtet worden.
[Hans Crauel zur Zuverl�ssigkeit von Klimamodellen]
Christopher Creutzig
> werden: W�re x die erste reelle Zahl, der keine nat�rliche Zahl
> zugeordnet werden kann, dann m�sste dem Vorg�nger von x die letzte
> nat�rliche Zahl zugeordnet worden sein, was bekanntlich unm�glich ist.
Was ist der �Vorg�nger von x�? Eine Wohlordnung ergibt nicht unbedingt
einen �Vorg�nger� zu jedem Element. Beispielsweise hat omega in der
�blichen Wohlordnung der Ordinalzahlen keinen Vorg�nger. (Nachfolger
nat�rlich schon, den gibt es in wohlgeordneten Mengen trivialerweise immer.)
Christopher Creutzig
> Am Tue, 27 Oct 2009 20:57:46 +0100 schrieb Carsten Schultz:
>
>> Herr Professor Dr. Wolfgang M�ckenheim schreibt:
Wenn Du schon Einleitungszeilen erg�nzt (was ich pers�nlich als
Zitatf�lscherei ansehe), dann kontrollier doch bitte vorher, wen Dein
Vorredner zitiert. Carsten hat auf Albrecht geantwortet.
--
F�r zuverl�ssige Statistiken sind bislang noch
nicht ausreichend viele Universen beobachtet worden.
[Hans Crauel zur Zuverl�ssigkeit von Klimamodellen]
Herbert Newman
> Herr Professor Dr. Wolfgang M�ckenheim schreibt:
Ooops... Das war gar nicht von WM, sondern von Albrecht. Sorry, guys!
Also nochmal. Albrecht schreibt:
"Zuf�llig wei� ich genau, dass es keine unendlichen Mengen geben _kann_."
Aber holla! Wie geht d a s denn? Muss wohl so eine Art "Erleuchtungs-
erlebnis" bzw. "Offenbarung" gewesen sein... :-)
Tja, mit Erleuchteten, die um Wahrheiten WISSEN, die uns gew�hnlichen
Sterblichen verborgen sind, ist nat�rlich schlecht streiten! :-)
"Dass ich anscheinend nicht f�hig bin, meinen Beweis anderen zu
vermitteln, [...]."
Also einen BEWEIS habe ich von Albrecht _noch nie_ gesehen - wof�r auch
immer. :-)
Tats�chlich k�nnte man seine Aussage wohl als Beleg daf�r werten, dass er
gar nicht �ber einen BEWEIS (im �blichen/mathematischen Sinne) verf�gt,
sondern sich lediglich in dem _Glauben_ w�hnt, �ber einen solchen zu
verf�gen.
@Albrecht: Wenn Du einen "Beweis" hast, lass doch mal sehen! :-)
Herbert
Wolfgang Thumser
> Das neutrale Element der Gruppentheorie ist aber ein
> undefiniertes Konstantensymbol.
wie sich die axiomatische Mengenlehre in einer Sprache
1. Stufe mit zweistelligem Praedikatensymbol e formulieren
laesst, kann die Gruppentheorie unter alleiniger Verwendung
eines zweistelligen Operationssymbols + formuliert werden.
Anschliessend beweist man in beiden Theorien eine Aussage
der Form Ex A(x) und zeigt zusaetzlich die Eindeutigkeit
von x. Man kann dann in beiden Faellen die Theorie um
ein Axiom der Form x = w <-> A(x) mit einer zusaetzlichen
Konstanten w definitorisch erweitern. Diese Erweiterung ist
konservativ. Im einen Fall nennt man w das neutrale Element,
im anderen Fall die Menge der natuerlichen Zahlen. Ich sehe
da keinen grossen Unterschied.
> Ich glaube wir können die Diskussion abkürzen.
> Nenne mir einfach eine zum Löwenheim-Skolem-Theorem
> (aus dem die Existenz eines abzählbares Modells von ZFC folgt)
> analoge Quelle, aus dem die Existenz eines endlichen Modells
> von ZFC, oder zumindest eines Modells mit endlichem omega,
> folgt.
Warum sollte ich eine Behauptung rechtfertigen, die ich nicht
gemacht habe? So wie es in der Gruppentheorie nichtisomorphe
Modelle (sogar endliche) gibt, gibt es in ZFC abzaehlbare
Modelle (wenn es ueberhaupt welche gibt; sogar Nonstandardmodelle),
die sich von dem intendierten naiven, ueberabzaehlbaren Cantormodell
unterscheiden. Und dies erklaert, weswegen sich trotz der von WM
angedeuteten Ungereimtheiten im Cantorschen Standardmodell noch
keine formalen Widersprueche in ZFC ableiten lassen muessen.
Und da ZFC aus WMs Sicht seinem Zweck, das Standardmodell zu
beschreiben, nicht gerecht werden kann, interessiert ihn ZFC
auch nicht weiter.
Gruss Wolfgang
Mengenlehrer
>> Ich glaube wir können die Diskussion abkürzen.
>> Nenne mir einfach eine zum Löwenheim-Skolem-Theorem
>> (aus dem die Existenz eines abzählbares Modells von ZFC folgt)
>> analoge Quelle, aus dem die Existenz eines endlichen Modells
>> von ZFC, oder zumindest eines Modells mit endlichem omega,
>> folgt.
>
> Warum sollte ich eine Behauptung rechtfertigen, die ich nicht
> gemacht habe?
Hast du nicht?
Dann habe ich wohl deine Aussage
"Man kann omega auch [...]; dann verschwindet
der ganze Spuk mit dem Unendlichen."
falsch verstanden. Ich ging davon aus, dass wenn das Unendliche
verschwunden ist, omega endlich sein muss. Mir ist keine dritte
Möglichkeit bekannt.
Ich gehe davon aus, dass wir über das in ZFC definierte omega sprechen.
Ein endliches omega kann man immer definieren, z. B. omega := {}.
Wenn du aber omega einfach anders definierst, so dass der "Spuk"
verschwindet (damit WM zufrieden ist), verstehe ich den Grund für
dein Posting in _diesem_ Thread nicht.
WM
> > hatte dort über Zermelos ersten Beweis geschrieben.
> Was wird denn über M vorausgesetzt? Und was ist ein "ausgezeichnetes
> Element"? Ohne dass ich das weiß, könnte ja jede wohlgeordnete Teilmenge
> von M eine gamma-Menge sein.
Hallo Rainer,
ich habe den wesentlichen Teil des Beweises von Zermelo (1904) für
einen Nichtmathematiker, der ihn verstehen wollte, so dargestellt,
dass er ihn verstanden hat. Weil ich annehme, dass er auch Leser hier
interessiert, habe ich diese Darstellung in KB091009 und KB091010 hier
gepostet. (Zwei KBs deshalb, weil zu lange Texte exponentiell
abnehmende Chance haben, gelesen zu werden.)
http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/44ff1f4ced87f9e7?hl=de#
http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/e1306f2c11f0f350?hl=de#
Du kannst ihn aber auch bequem und kostenlos direkt hier lesen:
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=28526
Dort wirst Du sehen, dass Zermelo eine Schlussweise verwendet ... Aber
schau am besten selbst nach.
> >
> Jessas na, hier ist wieder das berühmte Thema, dass es "gleich viele"
> rationale wie irrationale Zahlen geben müsse, weil ja zwischen je zweien
> der einen Art immer auch eine der anderen Art liegt. Das ist nun mal
> ein Trugschluss.
"Nun mal" ist nun mal kein Argument. Ich habe einen Beweis dafür
gebracht, dass es nicht mehr irrationale als rationale Zahlen gibt
(*).
http://arxiv.org/ftp/math/papers/0408/0408089.pdf
(Dem kann man zweierlei entgegenhalten. Einmal, dass das ZFC
widerspricht und somit falsch sein müsse, weil ZFC grundsätzlich
keinen Widerspruch duldet. Oder man kann argumentieren, dass man eine
Wohlordnung nicht wie eine lineare Ordnung (womit ich hier "Folge"
meine (der Ausdruck linear wird leider für sehr viele verschiedene
Eigenschaften benutzt)) dass mann also eine Wohlordnung nicht Schritt
für Schritt durchlaufen kann. Genau das aber benötigt auch Zermelos
Beweis.
Gruß, WM
(*) Der Beweis schon deswegen plausibel, weil es überhaupt keine
Dezimal- oder sonstige Folgendarstellung einer irrationalen Zahl gibt.
Cantor "beweist" aber die Überabzählbarkeit der Dezimaldarstellungen.
WM
wrote:
> WM wrote:
> > "Wäre m' das erste Element, in dem sich M'_gamma von M''_gamma
> > unterscheidet." Zermelo schließt so. Und das gibt eine Wohlordnung
> > allein nicht her.
>
> Wenn M'_gamma und M''_gamma Teilmengen einer wohlgeordneten Menge m
> sind, dann ist auch die symmetrsiche Differenz von M'_gamma und
> M''_gamma Teilmenge von M. Unterscheiden sich M'_gamma und M''_gamma,
> dann ist die symmetrische Differenz nicht leer und hat als nicht-leere
> Teilmenge einer wohlgeordneten Menge ein kleinestes Element m'. Also
> gibt eine Wohlordnung auf einer gemeinsamen Obermenge von M'_gamma und
> M''_gamma, wenn die beiden verschieden sind, die Existenz eines
> (eindeutig bestimmten) ersten Elements, in dem sich die beiden
> unterscheiden, her.
>
> > gegen meine Interzession und die Zuordnung von rationalen Zahlen und
> > irrationalen Zahlen.
>
> damit würde mein Beweis ja nicht mehr funktionieren, an dem hier alle
> zweifeln, an den ich aber fest glaube.“ ist irgendwie kein sonderlich
> gutes mathematisches Argument.
Es gibt, wie so oft im Leben, zwei Möglichkeiten: Entweder kann man
eine Wohlordnung Schritt für Schritt durchlaufen, so dass immer eine
erste Element auffindbar sein muss, ab dem irgendeine Eigenschaft
verändert wird, oder man kann das nicht. Kann man es, dann gilt meine
Beweis:
http://arxiv.org/ftp/math/papers/0408/0408089.pdf
Es gibt nicht mehr rational als irrationale Zahlen.
Kann man es nicht, dann ist Zermelos Beweis von 1904 falsch, denn er
benötigt genau das Argument eines ersten Elementes ab dem eine
Eigenschaft verändert wird.
>
> > Wären mehr irrationale als rationale Zahlen vorhanden, so gäbe es ein
> > erstes Element x aus X, dem kein q aus Q zugeordnet werden könnte.
>
> Richtig. Mit einer Wohlordnung auf X und einer konkreten Zuordnung
> existiert so ein x. Schlichtweg, weil es mehr irrationale als rationale
> Zahlen gibt.
"Schlichtweg" ist kein mathematisches Argument. ZFC ist
widerspruchsfrei auch nicht. Dagegen ist die Interzession ein
mathematisch beweisbar. Ich setze eine Wohlordnung voraus und beweise,
dass es keine erstes x ohne q gibt:
http://arxiv.org/ftp/math/papers/0408/0408089.pdf
Dem kann man zweierlei entgegenhalten. Einmal, dass das ZFC
widerspricht und somit falsch sein müsse, weil ZFC grundsätzlich
keinen Widerspruch duldet. Oder dass mann eine Wohlordnung nicht
WM
wrote:
> WM wrote:
> > werden: Wäre x die erste reelle Zahl, der keine natürliche Zahl
> > zugeordnet werden kann, dann müsste dem Vorgänger von x die letzte
>
> Was ist der „Vorgänger von x“? Eine Wohlordnung ergibt nicht unbedingt
> einen „Vorgänger“ zu jedem Element. Beispielsweise hat omega in der
> üblichen Wohlordnung der Ordinalzahlen keinen Vorgänger. (Nachfolger
> natürlich schon, den gibt es in wohlgeordneten Mengen trivialerweise immer.)
Genau das ist der Punkt. Zermelo schließt: Wäre m' das erste Element,
in dem sich M'_gamma von M''_gamma unterscheidet, so müssten die
[vorangehenden] Abschnitte A' und A'' identisch sein.
Gruß, WM
WM
wrote:
> WM wrote:
> > Aber bei Goodsteins Beweis kommt's darauf an. Da wird nämlich immer
> > nur 1 abgezogen. Wenn in jedem Schritt unendlich viel abgezogen werden
> > darf, zum Beispiel beim Übergng von w auf w - 1 = 3, dann ist das eben
>
> Ich glaube, Du hast den Beweis nicht verstanden.
Leider bin ich nicht hauptamtlich als Redakteur der Kalenderblätter
tätig und muss zugeben, diese Quelle nicht hinreichend studiert zu
haben. Ich hoffe, den Beweis jetzt korrekt dargestellt zu haben:http://
groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/
8839039ea78e50d6?hl=de#
Danke für Deinen Hinweis.
Gruß, WM
Peter Niessen
>> �Das w�re in der Tat - sagen wir mal erkl�rungsbed�rftig. Wer so eine
>> Rechnung aufstellen wollte, m�sste erst einmal eine Subtraktion
>> definieren, bei der w-1 eine Ordinalzahl liefert. Nachdem es keine
>> Ordinalzahl a mit a+1=w gibt, stelle ich mir das etwas aussichtslos vor.
>
> Dann sollte Dir auch klar sein, dass f�r eine Wohlordnung, die keine
> lineare Ordnung ist, die Monotonie kein Garant f�r die Konvergenz ist.
Drollig!
Der Herr Professor hat anscheinend nicht die geringste Ahnung davon was
eine Wohlordnung ist.
--
Mit freundlichen Gr�ssen:
Peter Niessen
Peter Niessen
> Ich meinte hier linear im Sinne von: Es gibt ein erstes Element, das
> bestimmte Eigenschaften hat. Bei einer Wohlordnung besitzt nur jede nl
> Teilmenge ein erstes Element.
Aua -:((
Christopher Creutzig
> Genau das ist der Punkt. Zermelo schlie�t: W�re m' das erste Element,
> in dem sich M'_gamma von M''_gamma unterscheidet, so m�ssten die
> [vorangehenden] Abschnitte A' und A'' identisch sein.
Und das ist offensichtlich richtig: W�ren A' und A'' nicht identisch,
g�be es ein a', in dem sie sich unterscheiden, mit a' < m' (da alle
Elemente von A' und A'' kleiner als m' sind). In diesem a' w�rden sich
aber bereits M'_gamma und M''_gamma unterscheiden, im Widerspruch dazu,
dass m' minimal mit dieser Eigenschaft ist.
Wof�r braucht dabei ein Element einer wohlgeordneten Menge einen
Vorg�nger? (Die Menge {x | x e M und x < m'} ist ganz ohne
Vorg�ngerrelation wohldefiniert. Daf�r mu� < nur eine totale Ordnung sein.)
--
F�r zuverl�ssige Statistiken sind bislang noch
nicht ausreichend viele Universen beobachtet worden.
[Hans Crauel zur Zuverl�ssigkeit von Klimamodellen]
Christopher Creutzig
> Es gibt, wie so oft im Leben, zwei M�glichkeiten: Entweder kann man
> eine Wohlordnung Schritt f�r Schritt durchlaufen, so dass immer eine
> erste Element auffindbar sein muss, ab dem irgendeine Eigenschaft
> ver�ndert wird, oder man kann das nicht. Kann man es, dann gilt meine
Es gibt in einer wohlgeordneten Menge M zu jeder Eigenschaft, oder
sagen wir zu jedem Pr�dikat A, so dass mindestens ein x e M das Pr�dikat
A(x) erf�llt, auch ein erstes, das dieses Pr�dikat erf�llt. Das folgt
(wenn man das Aussonderungsaxiom kennt) ganz direkt aus der Definition
einer Wohlordnung.
> Beweis:
> http://arxiv.org/ftp/math/papers/0408/0408089.pdf
Beim �berfliegen f�llt beispielsweise auf, dass auf Seite 3 zwischen
dem dritten und vierten Satz hinter dem unberechtigten Wort �Proof�
zwischen verschiedenen Ordnungen hin- und hergesprungen wird, womit
diverse Behauptungen falsch werden. Einmal ganz abgesehen davon, dass es
zu einer Irrationalzahl r �berhaupt keine gr��te rationale Zahl q < r
gibt, was f�r den �Beweis� aber eine wesentliche Annahme zu sein scheint.
Aber ich gleite wieder darin ab, Dir haufenweise Denkfehler
aufzuzeigen, was in der Vergangenheit leider nicht sonderlich gut
rezipiert wurde. Immerhin hast Du in den letzten Tagen mindestens einen
Fehler eingesehen. Vielleicht denkst Du ja auch �ber diesen Einwand nach.
> Es gibt nicht mehr rational als irrationale Zahlen.
Richtig. :-)
WM
wrote:
> WM wrote:
> > Genau das ist der Punkt. Zermelo schließt: Wäre m' das erste Element,
> > in dem sich M'_gamma von M''_gamma unterscheidet, so müssten die
> > [vorangehenden] Abschnitte A' und A'' identisch sein.
>
> gäbe es ein a', in dem sie sich unterscheiden, mit a' < m' (da alle
> Elemente von A' und A'' kleiner als m' sind). In diesem a' würden sich
> aber bereits M'_gamma und M''_gamma unterscheiden, im Widerspruch dazu,
> dass m' minimal mit dieser Eigenschaft ist.
>
> Vorgänger? (Die Menge {x | x e M und x < m'} ist ganz ohne
> Vorgängerrelation wohldefiniert. Dafür muß < nur eine totale Ordnung sein.)
>
Wie soll denn festgestellt werden können, ob m' das erste Element ist,
wenn der Vorgänger nicht zugänglich ist? Wohlgemerkt, wenn m' eine
Limesordinalzahl ist, dann ist jede kleinere prüfbare Zahl nicht
Vorgänger von m', und somit kann möglicherweise auch über a' nichts
ausgesagt werden.
Gruß, WM
WM
wrote:
> WM wrote:
> > Es gibt, wie so oft im Leben, zwei Möglichkeiten: Entweder kann man
> > eine Wohlordnung Schritt für Schritt durchlaufen, so dass immer eine
> > erste Element auffindbar sein muss, ab dem irgendeine Eigenschaft
>
> Es gibt in einer wohlgeordneten Menge M zu jeder Eigenschaft, oder
> A(x) erfüllt, auch ein erstes, das dieses Prädikat erfüllt. Das folgt
> (wenn man das Aussonderungsaxiom kennt) ganz direkt aus der Definition
> einer Wohlordnung.
>
> > Beweis:
> >http://arxiv.org/ftp/math/papers/0408/0408089.pdf
>
> dem dritten und vierten Satz hinter dem unberechtigten Wort “Proof”
> zwischen verschiedenen Ordnungen hin- und hergesprungen wird, womit
> diverse Behauptungen falsch werden.
Es gibt zwei wohlgeordnete Mengen |Q_+ und |X_+, aus denen die
Elemente zweier Mengen, Q und X, sukzessive ausgewählt werden.
> Einmal ganz abgesehen davon, dass es
> zu einer Irrationalzahl r überhaupt keine größte rationale Zahl q < r
> gibt, was für den „Beweis“ aber eine wesentliche Annahme zu sein scheint.
Die größte rationale Zahl < xi_1 aus einer endlichen Menge ist
auffindbar. Da die rationalen Zahlen abzählbar sind, bleibt die
konstruierte Menge Q stets endlich.
>
> Aber ich gleite wieder darin ab, Dir haufenweise Denkfehler
> aufzuzeigen,
Bisher hast Du nur zwei Lesefehler aufgezeigt, wie sie bei flüchtigem
Lesen wohl unterlaufen.
> was in der Vergangenheit leider nicht sonderlich gut
> rezipiert wurde. Immerhin hast Du in den letzten Tagen mindestens einen
> Fehler eingesehen.
In der Tat. Ich hatte da auch etwas zu flüchtig gelesen.
Die einzige Möglichkeit, meinen Beweis zurückzuweisen, besteht im
Auftreten von Limesordinalzahlen, über die man nicht so einfach
hinauszählen kann, wie Hilbert sich das dachte oder wenigstens
behauptete. Doch an diesem Fall würde sich auch Zermelos Beweis von
1904 aufhängen, ebenso wie Beweise von Cantor selbst (der ja seine
Wohlordnung aller Ordninalzahlen noch 1899 ausdrücklich als "Folge"
bezeichnet).
Gruß, WM
Carsten Schultz
> On 28 Okt., 08:23, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>> WM schrieb:
>>
>>> Carsten Schultz schrieb:
>>>> Deine Verwendung des Begriffes `lineare Ordnung' ist verwirrend, weil
>>>> man darunter meist eine totale Ordnung im Gegensatz zu einer partiellen
>>>> Ordnung versteht.
>>> Damit hat "linear" meines Erachtens nichts zu tun. Eine
>>> Ordnungsrelation R auf einer Menge heißt linear, wenn für jedes Paar
>>> x,y von Elementen gilt yRx oder xRy. Auf |N ist sowohl "<" als auch
>>> "=<" linear. Siehe z.B.
>>> http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Mathematerial/M03.PPT#296,7,Folie
>>> 7
>> Du hast doch - falls ich nicht wieder an Leseschwäche leide - hier
>> soeben mit eigenen Worten eine totale Ordnung beschrieben, indem Du
>> die Vergleichbarkeit je zweier Elemente forderst.
>
> Das wurde in meinem Studium als lineare Ordnung bezeichnet (und ich
> bezeichne es auch so), im Gegensatz zu einer nicht linearen Ordnung
> wie "ist Untermenge von" z. B. auf P(|N). Ich habe diese Bezeichnung
> so akzeptiert, weil sie mir stimmig vorkommt.
Gany genau das ist, wie ich auch geschrieben habe, was ich unter einer
linearen Ordnung verstehe. Ein anderes Wort dafür ist eine totale
Ordnung. Im Gegensatz dazu ist „ist Untermenge von“ eine partielle
Ordnung oder Halbordnung.
Du hattest den Begriff „lineare Ordnung“ oben anders verwandt, und ich
hatte angemerkt, dass ich das unglücklich finde, weil es zu
Verwechslungen mit eben der von Dir hier beschriebenen Terminologie
führen kann.
Gruß
Carsten
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.
Carsten Schultz
> On 27 Okt., 22:20, Carsten Schultz <cars...@codimi.de> wrote:
>> WM schrieb:
>>
>>> Und das ist eben nur für Freunde der nicht-linearen linearen Ordnung
>>> des Unendlichen plausibel. Aus b(n) > b(n+1) folgt in einer
>>> Wohlordnung, die Limes-Ordinalzahlen enthält, eben nicht, dass die
>>> Folge b(n) in endlich vielen Schritten gegen 0 konvergier.
>> Doch, die Menge der b(n) ist ja nicht-leer und hat damit ein kleinstes
>> Element.
>
> Du hast Recht. Es wird nichts von Limesordinalzahlen abgezogen. Vor
> allem enthält die Menge keine Limesordinalzahlen, an denen sich der
> Beweis aufhängen könnte. Ich habe das leider missverstanden.
Kein Problem.
Christopher Creutzig
> Wie soll denn festgestellt werden k�nnen, ob m' das erste Element ist,
Wozu? Es existiert eine Wohlordnung (Voraussetzung) und damit existiert
ein minimales m' (Definition des Begroffs Wohlordnung). �ber
Berechnbarkeit oder Beweisfragen ist dait nichts gesagt und sie sind f�r
Zermelos Beweis auch vollkommen irrelevant. Es braucht nur die Existenz
von m'.
> wenn der Vorg�nger nicht zug�nglich ist? Wohlgemerkt, wenn m' eine
> Limesordinalzahl ist, dann ist jede kleinere pr�fbare Zahl nicht
> Vorg�nger von m', und somit kann m�glicherweise auch �ber a' nichts
> ausgesagt werden.
Doch, die Existenz. Mehr braucht man ja gar nicht.
WM
> WM schrieb:
>
>
>
>
>
> > On 28 Okt., 08:23, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
> >> WM schrieb:
>
> >>> Carsten Schultz schrieb:
> >>>> Deine Verwendung des Begriffes `lineare Ordnung' ist verwirrend, weil
> >>>> man darunter meist eine totale Ordnung im Gegensatz zu einer partiellen
> >>>> Ordnung versteht.
> >>> Damit hat "linear" meines Erachtens nichts zu tun. Eine
> >>> Ordnungsrelation R auf einer Menge heißt linear, wenn für jedes Paar
> >>> x,y von Elementen gilt yRx oder xRy. Auf |N ist sowohl "<" als auch
> >>> "=<" linear. Siehe z.B.
> >>>http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Mathematerial/M03.PPT#296,7,Folie
> >>> 7
> >> Du hast doch - falls ich nicht wieder an Leseschwäche leide - hier
> >> soeben mit eigenen Worten eine totale Ordnung beschrieben, indem Du
> >> die Vergleichbarkeit je zweier Elemente forderst.
>
> > Das wurde in meinem Studium als lineare Ordnung bezeichnet (und ich
> > bezeichne es auch so), im Gegensatz zu einer nicht linearen Ordnung
> > wie "ist Untermenge von" z. B. auf P(|N). Ich habe diese Bezeichnung
> > so akzeptiert, weil sie mir stimmig vorkommt.
>
> linearen Ordnung verstehe.
Du schriebst: "Deine Verwendung des Begriffes `lineare Ordnung' ist
verwirrend, weil man darunter meist eine totale Ordnung im Gegensatz
zu einer partiellen Ordnung versteht."
Das habe ich nicht akzeptiert, weil total und partiell hier keine
Gegensätze sind (partiell: reflexiv, transitiv, antisymmetrisch -
total: A a,b in M: aRb v bRa).
> Ein anderes Wort dafür ist eine totale
> Ordnung.
Das ist richtig. "Lineare Ordnung" benutze ich auch als ein Synonym
für vollständige Ordnung.
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Mathematerial/M03.PPT
> Im Gegensatz dazu ist „ist Untermenge von“ eine partielle
> Ordnung oder Halbordnung.
Das ist richtig, aber Halbordnung ist nicht unbedingt eine Gegensatz
zu linearer Ordnung. Ein Beispiel einer linearen Halbordnung ist
kleinergleich auf |R.
> Du hattest den Begriff „lineare Ordnung“ oben anders verwandt, und ich
> hatte angemerkt, dass ich das unglücklich finde, weil es zu
> Verwechslungen mit eben der von Dir hier beschriebenen Terminologie
> führen kann.
Das ist richtig, nur muss dazu gesagt werden, dass der Begriff
"linear" leider sehr viele Facetten besitzt. Eine lineare Funktion wie
mx + c führt z. B. nicht zu einer linearen Abbildung.
Ich habe nun "linear" benutzt, um die übliche mathematische Folge von
der von Cantor ebenfalls mit "Folge (im erweitereten Sinne)"
bezeichneten Wohlordnung zu unterscheiden.
Eine Wohlordnung zeichnet sich bekanntlich dadurch aus, das jede nl
Teilmenge ein erstes Element besitzt. Man kann aber in einer
Wohlordnung nicht schrittweise zählend bis zu jedem Glied vordringen,
zum Beispiel erreicht man niemals ein jenseits von omega gelegenes
Glied. Man kann auch niemals von omega zurück zählen. Das war ja der
Punkt, den ich im Goodstein-beweis zu Unrecht moniert hatte. Das ist
aber genau der Punkt, den ich im Zermelo-Beweis moniere. Zermelo
spricht von einem ersten Element m' in seinem Wohlordnungsbeweis von
1904. Und er betrachtet die Komplementärmenge M \ A' zu dem durch m'
definierten Abschnitt A'. Er nimmt also an, dass er in der
Wohlordnung, die keine "lineare" (= Schritt für Schritt durchlaufbare)
Folge ist, und sogar in der Komplementmenge, also nach unten laufend,
ein solches erstes Element bestimmen kann. Das ist meines Erachtens
nicht möglich.
Gruß, WM
WM
wrote:
> WM wrote:
> > Wie soll denn festgestellt werden können, ob m' das erste Element ist,
>
> Wozu? Es existiert eine Wohlordnung (Voraussetzung) und damit existiert
Ich dachte, er wolle die Wohlordnung erst beweisen?
> Über
> Berechnbarkeit oder Beweisfragen ist dait nichts gesagt und sie sind für
> Zermelos Beweis auch vollkommen irrelevant.
Den Eindruck habe ich auch (SCNR).
> Es braucht nur die Existenz
> von m'.
Und er rekurriert auf die Komplementärmenge M \ A' zu dem durch m'
definierten Abschnitt A'. Er nimmt also an, dass er in der
Wohlordnung, die keine "lineare" (= Schritt für Schritt
durchlaufbare)
Folge ist, und sogar in der Komplementmenge, also nach unten laufend,
ein solches erstes Element, sollte es auftreten bestimmen könnte. Das
ist meines Erachtens nicht möglich, selbst wenn (und schon gar nicht
bevor) die Wohlordbarkeit bewiesen ist.
Gruß, WM
WM
wrote:
> > wenn der Vorgänger nicht zugänglich ist? Wohlgemerkt, wenn m' eine
> > Limesordinalzahl ist, dann ist jede kleinere prüfbare Zahl nicht
> > Vorgänger von m', und somit kann möglicherweise auch über a' nichts
> > ausgesagt werden.
>
> Doch, die Existenz. Mehr braucht man ja gar nicht.
Übrigens für meinen Beweis Card(|Q) => Card(|X) kann ich genau so
argumentieren. Es existiert keine irrational Zahl, der in meinem
Algorithmus keine rationale Zahl zugeordnet werden könnte. Und auch
für eine Liste aller reellen Zahlen beweist Zermelos "Beweis". Gäbe es
mehr reelle als natürliche Zahlen, so müsste es eine erste reelle
geben, der keine natürliche zur Seite steht. Dort ist aber
Fehlanzeige.
Man kann natürlich à la Cantor eine Diagonalzahl konstruieren, die
eben von mir bewiesene Abzählbarkeit also "von außen" knacken. Das
kann man aber mit Zermelos Beweis ebenfalls tun. "Von außen" greift
das Argument: Wären alle reellen Zahlen in einer Wohlordnung, dann
müsste es 2^aleph_0 Ordnungsmerkmale geben. Es gibt aber höchstens
aleph_0 Ordnungsmerkmale.
Gruß, WM
Mengenlehrer
> Er nimmt also an, dass er in der
> Folge ist, und sogar in der Komplementmenge, also nach unten laufend,
> ein solches erstes Element bestimmen kann. Das ist meines Erachtens
Nicht _er_ bestimmt ein erstes Element des Komplements,
sondern die Belegung gamma bestimmt dieses Element.
BTW
Hast du dir �berlegt, warum Zermelo zeigt, dass von zwei
gamma-Mengen die eine ein "Anfangsst�ck" der anderen ist?
Der Grund ist zeigen zu k�nnen, dass auch die Vereinigung
von gamma-Mengen eine gamma-Menge ist.
Zermelo definiert gamma-Element (Element einer gamma-Menge)
und L_gamma als Gesamtheit aller gamma-Elemente, also
die Vereinigung aller gamma-Mengen.
(Punkt 7 in http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=28526)
Mit der Definition von L_gamma braucht man die Menge M
nicht mehr Schritt f�r Schritt zu durchlaufen (was nicht geht und
Zermelo von dir nur unterstellt wird).
Kommt dieser entscheidende Beweisschritt auch in deinem
Kalenderblatt vor?
Carsten Schultz
> Du schriebst: "Deine Verwendung des Begriffes `lineare Ordnung' ist
> verwirrend, weil man darunter meist eine totale Ordnung im Gegensatz
> zu einer partiellen Ordnung versteht."
>
> Das habe ich nicht akzeptiert, weil total und partiell hier keine
> Gegensätze sind (partiell: reflexiv, transitiv, antisymmetrisch -
> total: A a,b in M: aRb v bRa).
Es war also nicht verständlich, was ich meinte?
Egal.
WM
> WM schrieb:
>
> > Du schriebst: "Deine Verwendung des Begriffes `lineare Ordnung' ist
> > verwirrend, weil man darunter meist eine totale Ordnung im Gegensatz
> > zu einer partiellen Ordnung versteht."
>
> > Das habe ich nicht akzeptiert, weil total und partiell hier keine
> > Gegensätze sind (partiell: reflexiv, transitiv, antisymmetrisch -
> > total: A a,b in M: aRb v bRa).
>
> Es war also nicht verständlich, was ich meinte?
>
Ich habe verstanden, dass Du meine Verwendung von "linear" für
verwirrend hieltest oder hältst, was ich auch akzeptiere. Deine
Begründung dafür war nicht korrekt, insofern bei Ordnungen total nicht
im Gegensatz zu partiell steht. Deswegen antwortete ich: Damit [mit
dem Gegensatz zu partiell] hat "linear" meines Erachtens nichts zu
tun. Ist das so in Ordnung?
Gruß, WM
WM
> WM schrieb:
>
> > Er nimmt also an, dass er in der
> > Folge ist, und sogar in der Komplementmenge, also nach unten laufend,
> > ein solches erstes Element bestimmen kann. Das ist meines Erachtens
>
> Nicht _er_ bestimmt ein erstes Element des Komplements,
> sondern die Belegung gamma bestimmt dieses Element.
>
> BTW
Ich habe zunächst einmal überlegt, dass er das nicht zeigt, weil er
nämlich dafür ein "erstes Element" betrachtet, was dazu führt, dass er
die Gamma_Menge Schritt für Schritt durchgehen muss. Und zum Beweis
seiner Behauptung, muss es sogar die Komplementmenge M \ A durchgehen,
als von oben nach unten.
> dass von zwei
> gamma-Mengen die eine ein "Anfangsstück" der anderen ist?
> Der Grund ist zeigen zu können, dass auch die Vereinigung
> von gamma-Mengen eine gamma-Menge ist.
> Zermelo definiert gamma-Element (Element einer gamma-Menge)
> und L_gamma als Gesamtheit aller gamma-Elemente, also
> die Vereinigung aller gamma-Mengen.
> (Punkt 7 inhttp://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=28526)
Zur Zeit sind wir bei Punkt 5 und der daraus sich ergebende Folgerung
Punkt 6. Auf diese wird später verwiesen. Sind sie falsch, so ist auch
der Rest falsch.
Gruß, WM
Peter Niessen
> Ich habe verstanden, dass Du meine Verwendung von "linear" f�r
> verwirrend hieltest oder h�ltst, was ich auch akzeptiere. Deine
> Begr�ndung daf�r war nicht korrekt, insofern bei Ordnungen total nicht
> im Gegensatz zu partiell steht. Deswegen antwortete ich: Damit [mit
> dem Gegensatz zu partiell] hat "linear" meines Erachtens nichts zu
> tun. Ist das so in Ordnung?
Nein:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelationen
Christopher Creutzig
> definierten Abschnitt A'. Er nimmt also an, dass er in der
> Wohlordnung, die keine "lineare" (= Schritt f�r Schritt
> durchlaufbare)
> Folge ist, und sogar in der Komplementmenge, also nach unten laufend,
> ein solches erstes Element, sollte es auftreten bestimmen k�nnte. Das
Nein. Sondern dass eines existiert. Und das folgt aus der Existenz
einer Wohlordnung.
> ist meines Erachtens nicht m�glich, selbst wenn (und schon gar nicht
> bevor) die Wohlordbarkeit bewiesen ist.
Das Konzept einer Annahme ist Dir noch nie begegnet?
Christopher Creutzig
> das Argument: W�ren alle reellen Zahlen in einer Wohlordnung, dann
> m�sste es 2^aleph_0 Ordnungsmerkmale geben. Es gibt aber h�chstens
> aleph_0 Ordnungsmerkmale.
Das ist schon alleine deswegen ganz offensichtlich falsch, weil die
Ordinalzahlen in trivialer Weise wohlgeordnet sind. Und davon gibt es
(in einer Mengenlehre mit unendlichen Mengen) mehr als aleph_0 viele.
WM
wrote:
> WM wrote:
> > definierten Abschnitt A'. Er nimmt also an, dass er in der
> > durchlaufbare)
> > Folge ist, und sogar in der Komplementmenge, also nach unten laufend,
>
> Nein. Sondern dass eines existiert. Und das folgt aus der Existenz
> einer Wohlordnung.
Dass ein solches Element m' existiert, worin sich die Gamma-Mengen
unterscheiden, folgt sicher nicht aus der Existenz einer Wohlordnung,
denn Zermelo zeigt, dass es nicht existiert.
Dass aber ein solches hypothetisches Element m' das *erste* seiner Art
sei (woraus Zermelo seine weiteren Schlüsse zieht), könnte nur mittels
eine Schritt-für-Schritt Ordnung nachgewiesen werden. Eine solche wird
aber weder angenommen noch bewiesen.
>
> > ist meines Erachtens nicht möglich, selbst wenn (und schon gar nicht
> > bevor) die Wohlordbarkeit bewiesen ist.
>
> Das Konzept einer Annahme ist Dir noch nie begegnet?
Doch, ich nehme an, dass Du weder Zermelos Beweis noch mein
Kalenderblatt 091009 + 091010, in denen dieser in der gebotenen Kürze
von ca. 700 Wörten erläutert ist, kennst.
Gruß, WM