Das Kalenderblatt 091009
WM
sind willkommen!), der Zermelos Beweis von 1904 gelesen hatte, aber
nicht verstehen konnte. Mit meinen Erläuterungen (gegeben in {{ }},
wie KB-Leser wissen) hat er nicht nur den Beweis sofort verstanden,
sondern auch, warum seine Bemühungen am Ende vergebens waren. Ich
nehme an, dass beides für diesen oder jenen dsm-Leser interessant ist.
Hier zunächst der Beweis. Die Notation habe ich geringfügig verändert,
da Zermelo Sonderzeichen verwendet hat.}}
Es sein M eine beliebige Menge von der Mächtigkeit |M|, deren
Elemente mit m bezeichnet werden mögen, M' von der Mächtigkeit |M'|
eine ihrer Teilmengen, welche mindestens ein Element m enthalten muß,
aber auch alle Elemente von M umfassen darf [...] Die Menge aller
Teilmengen M' werde mit P(M) bezeichnet {{Zermelo schreibt "/\/\",
gemeint ist die Potenzmenge von M ohne die leere Menge}}.
Jeder Teilmenge M' denke man sich ein beliebiges Element m_1'
zugeordnet, das in M' selbst vorkommt und das "ausgezeichnete "
Element von M' genannt werden möge. So entsteht eine "Belegung" gamma
von der Menge P(M) mit Elementen der Menge M von besonderer Art. Die
Anzahl dieser Belegungen gamma ist gleich dem Produkt Pi m' erstreckt
über alle Teilmengen M' und ist daher jedenfalls von 0 verschieden.
{{Beispiel 1: Sei M = {a, b}
Es gibt 1*1*2 = 2 zwei Belegungen der Elemente von
P(M) = {{a}, {b}, {a, b}}, nämlich a, b, a und a, b, b}}
Im folgenden wird nun eine beliebige Belegung gamma zu grunde gelegt
und aus ihr eine bestimmte Wohlordnung der Elemente von M abgeleitet.
{{Beispiel 2: Sei M = {a, b, 1, 2, 3, ...} Eine Belegung ist
a, b, a, 1, 1, 1, ..., 2, 2, 2, ..., 3, 3, 3, ...
wobei {a}, {b}, {a, b} von a, b, a belegt werden, alle M', die eine 1
enthalten, mit 1 belegt werden, alle M', die keine 1 aber eine 2
enthalten, mit 2 belegt werden, alle M', die weder 1 noch 2, aber eine
3 enthalten, mit 3 belegt werden usw.}}
Definition: Als "gamma-Menge" werde bezeichnet jede wohlgeordnete
Menge M_gamma aus lauter verschiedenen Elementen von M, welche
folgende Beschaffenheit besitzt: ist a ein beliebiges Element von
M_gamma und A der "zugehörige" Abschnitt, der aus den vorangehenden
Elementen x <* a von M_gamma besteht, so ist a immer das
"ausgezeichnete" Element von M - A. {{"x <* a" heißt: "x kommt in der
Ordnung vor a"}}
Es gibt gamma-Mengen innerhalb M. So ist z.B. m_1, das
ausgezeichnete Element von M' = M, selbst eine gamma-Menge {{man
beachte: Das Element ist eine Menge! Auch Zermelo unterscheidet hier
noch nicht zwischen m und (m).}}, ebenso die (geordnete) Menge M_2 =
(m_1, m_2), wo m_2 das ausgezeichnete Element von M - m_1 ist. {{Die
gamma-Menge der Belegung aus Beispiel 2 ist (a, b, 1, 2, 3, ...). Und
jetzt folgt der sehr schöne Schluss:}}
Sind M'_gamma und M''_gamma irgend zwei verschiedene gamma-Mengen
(die aber zu derselben ein für allemal gewählten Belegung gamma
gehören!), so ist immer eine von beiden identisch mit einem Abschnitte
der anderen. {{Denn in beiden Fällen ist m_1 dasselbe ausgezeichnete
Element von M. Wäre m' das erste Element, in dem sich M'_gamma von
M''_gamma unterscheidet, so müssten die Abschnitte A' und A''
identisch sein, somit auch die Komplementärmengen M - A' und M - A'',
und, wegen identischer Belegung, auch deren ausgezeichnete Elemente m'
und m'', so dass m' nicht von m'' verschieden sein kann. Außerdem wird
jedes Element x aus M benötigt, da es für jedes x eine Untermenge M' =
{x} gibt, für die nur x als ausgezeichnetes Element fungieren kann.}}
[E. Zermelo: "Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann", Math.
Ann. 59 (1904) 514-516]
Gruß, WM