Das Kalenderblatt 091010
WM
[E. Zermelo: "Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann", Math.
Ann. 59 (1904) 514-516]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=28526
Hier nun der Schluss oder besser: das Ende von Zermelos Überlegungen.
Jede Menge, für welche die Gesamtheit der Teilmengen usw. einen Sinn
hat, darf als eine wohlgeordnete, ihre Mächtigkeit als ein "Alef"
betrachtet werden. So folgt also für jede transfinite Mächtigkeit
|M| = 2*|M|= aleph_0*|M| = |M|^2 usw.
{{Wie weiter? Immer weiter? Gibt es eine wohlgeordnete Menge aller
Ordinalzahlen? Welche sollte wohl fehlen? Eine wandelbare Grenze wird
ja von Platonisten abgelehnt.}}
Die weite Reise, welche Herbart seiner "wandelbaren Grenze"
vorschreibt, ist eingestandenermaßen nicht auf einen endlichen Weg
beschränkt; so muß denn ihr Weg ein unendlicher, und zwar, weil er
seinerseits nichts Wandelndes, sondern überall fest ist, ein
aktualunendlicher Weg sein. Es fordert also jedes potentiale
Unendliche (die wandelnde Grenze) ein Transfinitum (den sichern Weg
zum Wandeln) und kann ohne letzteres nicht gedacht werden. Da wir uns
aber durch unsre Arbeiten der breiten Heerstraße des Transfiniten
versichert, sie wohl fundiert und sorgsam gepflastert haben, so öffnen
wir sie dem Verkehr und stellen sie als eiserne Grundlage, nutzbar
allen Freunden des potentialen Unendlichen, im besonderen aber der
wanderlustigen Herbartschen "Grenze" bereitwilligst zur Verfügung;
gern und ruhig überlassen wir die rastlose der Eintönigkeit ihres
durchaus nicht beneidenswerten Geschicks; wandle sie nur immer weiter,
es wird ihr von nun an nie mehr der Boden unter den Füßen schwinden.
Glück auf die Reise!
[G. Cantor, "GESAMMELTE ABHANDLUNGEN MATHEMATISCHEN UND
PHILOSOPHISCHEN INHALTS", Herausgegeben von ERNST ZERMELO, Springer,
Berlin (1932) p. 393]
{{Also folgen wir denn dieser freundlichen Einladung, betreten
wohlgemuth die eiserne Heerstraße und schreiten potent aber
impotenziell voran: Es gibt dort Mannichfaltigkeiten zu sehen: |N und P
(|N) und P(P(|N)) = P^2, P^3, ..., P^n, ..., P^omega, P^(omega +
1), ... "usw." Jede Potenzmenge enthält ihre Vorgängerin als ein
Element. Auf der Heerstraße des Transfiniten sind sie alle zu finden
(wobei, in Klammern sei es angemerkt, die Vereinigung aller nicht
fehlen darf, sich selbst enthält und eine Kardinalzahl besitzt, eine
Kardinalzahl sage ich Ihnen - atemberaubend, die größer ist als sie
selbst). Das Unendliche in Vollendung. Danach kommt wirklich nichts
mehr! (Jedenfalls mathematisch betrachtet, müsste x =/= x der
Schlussstein sein. Es sei denn, ein Axiom für unerreichbare
Kardinalzahlen bahnt einen Tunnel in die matheologische Hölle der
geistlosen Geister, die nimmer Rast noch Ruhe finden.)
Doch einfacher und übersichtlicher: Gibt es nicht "alle" und noch
größere, aber wenigstens die bemitleidenswert kleine unendliche
geordnete Menge |N mit aleph_0 Elementen, so kann das erste Element
dieser Ordnung mit aleph_0 einfachen Transpositionen der leicht
verständlichen Form
1, 2, 3, ...
2, 1, 3, ...
2, 3, 1, ...
...
zum letzten gemacht werden, womit die unendliche geordnete Menge ein
letztes Element, also eine Ende aber keinen Sinn mehr hat.
Und noch einfacher: Der binäre Baum besitzt matheologisch betrachtet
mehr Pfade als Knoten, also mehr Pfade als sich vom Randpfad 0.000...
oder von einem von diesem unterschiedenen Pfad unterscheiden können.}}
Gruß, WM
Stephan Gerlach
> Doch einfacher und �bersichtlicher: Gibt es nicht "alle" und noch
> gr��ere, aber wenigstens die bemitleidenswert kleine unendliche
> geordnete Menge |N mit aleph_0 Elementen, so kann das erste Element
> dieser Ordnung mit aleph_0 einfachen Transpositionen der leicht
> verst�ndlichen Form
> 1, 2, 3, ...
> 2, 1, 3, ...
> 2, 3, 1, ...
> ...
> zum letzten gemacht werden, womit die unendliche geordnete Menge ein
> letztes Element, also eine Ende aber keinen Sinn mehr hat.
Was hei�t "zum letzten gemacht werden"; das ist wieder so eine
schwammige Formulierung.
Du betrachtest anscheinend die Menge |N als Folge(n), weil du von
"erstes Element" schreibst und offensichtlich auf die Reihenfolge der
nat�rlichen Zahlen Wert legst. Die n-te deiner Folgen hat dann die Form
2, 3, ..., n, 1[an n-ter Position], n+1, ...
Da ist die 1 noch nicht "das letzte Folgenelement". Es gilt sogar, da�
die 1 in *keiner* der Folgen das letzte Folgenelement ist.
Weiterhin gibt es zwar aleph_0 solcher Folgen, aber keine aleph_0-*te*
solche Folge (welche nach deiner Deutung die 1 als letztes Folgenelement
h�tte).
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Herbert Newman
> WM schrieb:
>>
>> Doch einfacher und �bersichtlicher: Gibt es nicht "alle" und noch
>> gr��ere, aber wenigstens die bemitleidenswert kleine unendliche
>> geordnete Menge IN mit aleph_0 Elementen, so kann das erste Element
>> dieser Ordnung mit aleph_0 einfachen Transpositionen der leicht
>> verst�ndlichen Form
>>
>> 1, 2, 3, ...
>> 2, 1, 3, ...
>> 2, 3, 1, ...
>> ...
>>
>> zum letzten gemacht werden, womit die unendliche geordnete Menge ein
>> letztes Element, also eine Ende aber keinen Sinn mehr hat.
>>
> Was hei�t "zum letzten gemacht werden"; das ist wieder so eine
> schwammige Formulierung.
>
> [...]
>
> [E]s [gibt] zwar aleph_0 solcher Folgen, aber keine aleph_0-*te*
> solche Folge (welche nach deiner Deutung die 1 als letztes Folgen-
> element h�tte).
M�cke sieht das so, wenn er von aleph_0 Transpositionen spricht:
1 : 1, 2, 3, ...
2 : 2, 1, 3, ...
3 : 2, 3, 1, ...
:
aleph_0 : ... 1
Ist doch logisch, oder?: Wenn ich z. B. 3 Transpositionen habe, dann sieht
das doch so aus:
1 : 1, 2, 3, ...
2 : 2, 1, 3, ...
3 : 3, 2, 1, ...
D. h. die Liste endet bei 3.
Daher muss das auch bei aleph_0 Transpositionen wie oben aussehen! :-)
(D. h. die Liste endet bei aleph_0.)
Zwecklos ihm zu erkl�ren, dass eine Liste mit aleph_0 Transpositionen SO
aussieht:
1 : 1, 2, 3, ...
2 : 2, 1, 3, ...
3 : 3, 2, 1, ...
:
(Ohne ein Ende bzw. letzten Listeneintrag.)
You know: "Arguing with cranks is useless, because they invariably dismiss
all evidence or arguments which contradict their own unconventional
beliefs."
Even worse: "Cranks who contradict some mainstream opinion in some highly
technical field, such as mathematics [...], almost always
| 1. exhibit a marked lack of technical ability,
| 2. misunderstand or fail to use standard notation and terminology,
| 3. ignore fine distinctions which are essential to correctly
| understanding mainstream belief."
Diese 3 hier erw�hnten Punkte lassen sich praktisch bei JEDEM Posting, das
M�ckenheim schreibt, ausmachen.
Gru�,
Herbert
Rainer Rosenthal
> WM schrieb:
>
>> Doch einfacher und ï¿œbersichtlicher: Gibt es nicht "alle" und noch
>> grￜￜere, aber wenigstens die bemitleidenswert kleine unendliche
>> geordnete Menge |N mit aleph_0 Elementen, so kann das erste Element
>> dieser Ordnung mit aleph_0 einfachen Transpositionen der leicht
>> 1, 2, 3, ...
>> 2, 1, 3, ...
>> 2, 3, 1, ...
>> ...
>> zum letzten gemacht werden, womit die unendliche geordnete Menge ein
>> letztes Element, also eine Ende aber keinen Sinn mehr hat.
>
> schwammige Formulierung.
>
Lieber schwammig und korrekt als prï¿œzise und falsch :-)
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Herbert Newman
> Stephan Gerlach schrieb:
>>
>> WM schrieb:
>>>
>>> [Bla und Blub]
>>>
>> Was hei�t "zum letzten gemacht werden"; das ist wieder so eine
>> schwammige Formulierung.
>>
> Lieber schwammig und korrekt als pr�zise und falsch :-)
Das schon, aber was WM produziert, ist in der Regel schwammig und/oder
falsch. :-)
Herbert
Ulrich Lange
N�. Meistens ist es "noch nicht einmal falsch" (Wolfgang Pauli).
--
Gru�, Ulrich Lange
(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)