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Qual e' la piu' elementare dimostrazione dell'irrazionalita' di pigreco?
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El Filibustero
Aug 19, 2012, 5:54:55 AM8/19/12
to
IMHO e' questa variante semplificata di quella di Laczkovich
(vedi en.wikipedia.org/wiki/Irrationality_of_pi#Laczkovich.27s_proof)
la chiave e' sempre la ricorsione a_{n+2} := (2n+1) a_{n+1} - tt x_n che
sta alla base dello sviluppo in frazione continua di tan(t) di Lambert:
tan(t) = t/(1-tt/(3-tt/(5-tt/(7-....
Anche nella famosa dimostrazione di Niven questa ricorsione compare, se
solo si considera una traslazione di pi/2 (vedere
http://groups.google.com/group/it.scienza.matematica/msg/d29d81de3f48ed8d
)
La seguente dimostrazione contiene manipolazioni di fattoriali piuttosto
pesanti, ma bypassa i concetti di calcolo differenziale della dimostrazione
di Niven, quindi e' IMHO piu' elementare, impiegando solo serie
trigonometriche.
Teorema: pi greco e' irrazionale. Dimostrazione. Supponiamo per assurdo pi
e quindi anche 2pi razionali. Sia 2pi = p/q: allora sin(p) = sin(q*2pi) = 0
e cos(p) = 1.
Definiamo
a_0 := 1
a_1 := 0
a_{n+2} := (2n+1) a_{n+1} - pp a_n
e notiamo che:
- tutti i termini della successione sono interi,
- la successione contiene infiniti termini non nulli (se solo avesse due
termini consecutivi nulli, la ricorsione comporterebbe tutti i termini
nulli: ma a_0=1).
Ora, si puo' dimostrare per induzione che
a_n = (2pp)^n somma{k=0..+inf} (-pp)^k /k! * (n+k)!/(2(n+k))!
=============
infatti
a_0 = (2pp)^0 somma{k=0..+inf} (-pp)^k /k! * k!/(2k)! =
= somma{k=0..+inf} (-pp)^k /(2k)! = cos(p) = 1
a_1 = (2pp)^1 somma{k=0..+inf} (-pp)^k /k! * (k+1)!/(2(k+1))! =
= 2pp somma{k=0..+inf} (-pp)^k (k+1)/(2(k+1))! =
= p somma{k=0..+inf} p (-pp)^k /(2k+1)! = p sin(p) = 0
a_{n+2} = (2n+1) a_{n+1}
- pp a_n =
= (2n+1)(2pp)^(n+1) somma{k=0..+inf} (-pp)^k /k! * (n+1+k)!/(2(n+1+k))!
- pp (2pp)^n somma{k=0..+inf} (-pp)^k /k! * (n+k)!/(2(n+k))!
raccogliendo 1/2*(2pp)^(n+1) e facendo una sola somma, nel cui interno si
raccoglie (-pp)^k/k!
= 1/2* (2pp)^(n+1) somma{k=0..+inf} (-pp)^k /k! *
[2(2n+1)(n+1+k)!/(2(n+1+k))! - (n+k)!/(2(n+k))!]
elaborando la [] si ha
( 2(2n+1)(n+1+k)! - (n+k)!(2n+2+2k)(2n+1+k) ) / (2(n+1+k))! =
(n+k)! ( 2(2n+1)(n+1+k) - (2n+2+2k)(2n+1+k) ) / (2(n+1+k))! =
(n+k)!(-4(n+1+k)) / (2(n+1+k))! =
-4k(n+1+k)!/(2(n+1+k))!
cosicche' l'addendo per k=0 si puo' scartare e quindi posto h=k-1 si ha
= 1/2*(2pp)^(n+1) somma{h=0..+inf} (-pp)^(h+1)/(h+1)!*
[-4(h+1)(n+2+h)!/(2(n+2+h))!]
= (2pp)^(n+1) somma{k=0..+inf} 2pp (-pp)^h /h! * (n+2+h)!/(2(n+2+h))! =
= (2pp)^(n+2) somma{k=0..+inf} (-pp)^h /h! * (n+2+h)!/(2(n+2+h))! QED
==============
Ma allora la successione a_n e' infinitesima, perche' si ha per ogni n,k
(n+k)!/(2(n+k))! <= 1/n^n
e quindi il modulo di
a_n = (2pp)^n somma{k=0..+inf} (-pp)^k /k! * (n+k)!/(2(n+k))!
e' certamente minore di (2pp)^n /n^n somma{k=0..+inf} |(-pp)^k /k!| =
(2pp/n)^n exp(pp), che e' infinitesimo per n-->+inf. Cio' e' in
contraddizione col fatto che a_n conterrebbe infiniti interi positivi. QED
(vedi en.wikipedia.org/wiki/Irrationality_of_pi#Laczkovich.27s_proof)
la chiave e' sempre la ricorsione a_{n+2} := (2n+1) a_{n+1} - tt x_n che
sta alla base dello sviluppo in frazione continua di tan(t) di Lambert:
tan(t) = t/(1-tt/(3-tt/(5-tt/(7-....
Anche nella famosa dimostrazione di Niven questa ricorsione compare, se
solo si considera una traslazione di pi/2 (vedere
http://groups.google.com/group/it.scienza.matematica/msg/d29d81de3f48ed8d
)
La seguente dimostrazione contiene manipolazioni di fattoriali piuttosto
pesanti, ma bypassa i concetti di calcolo differenziale della dimostrazione
di Niven, quindi e' IMHO piu' elementare, impiegando solo serie
trigonometriche.
Teorema: pi greco e' irrazionale. Dimostrazione. Supponiamo per assurdo pi
e quindi anche 2pi razionali. Sia 2pi = p/q: allora sin(p) = sin(q*2pi) = 0
e cos(p) = 1.
Definiamo
a_0 := 1
a_1 := 0
a_{n+2} := (2n+1) a_{n+1} - pp a_n
e notiamo che:
- tutti i termini della successione sono interi,
- la successione contiene infiniti termini non nulli (se solo avesse due
termini consecutivi nulli, la ricorsione comporterebbe tutti i termini
nulli: ma a_0=1).
Ora, si puo' dimostrare per induzione che
a_n = (2pp)^n somma{k=0..+inf} (-pp)^k /k! * (n+k)!/(2(n+k))!
=============
infatti
a_0 = (2pp)^0 somma{k=0..+inf} (-pp)^k /k! * k!/(2k)! =
= somma{k=0..+inf} (-pp)^k /(2k)! = cos(p) = 1
a_1 = (2pp)^1 somma{k=0..+inf} (-pp)^k /k! * (k+1)!/(2(k+1))! =
= 2pp somma{k=0..+inf} (-pp)^k (k+1)/(2(k+1))! =
= p somma{k=0..+inf} p (-pp)^k /(2k+1)! = p sin(p) = 0
a_{n+2} = (2n+1) a_{n+1}
- pp a_n =
= (2n+1)(2pp)^(n+1) somma{k=0..+inf} (-pp)^k /k! * (n+1+k)!/(2(n+1+k))!
- pp (2pp)^n somma{k=0..+inf} (-pp)^k /k! * (n+k)!/(2(n+k))!
raccogliendo 1/2*(2pp)^(n+1) e facendo una sola somma, nel cui interno si
raccoglie (-pp)^k/k!
= 1/2* (2pp)^(n+1) somma{k=0..+inf} (-pp)^k /k! *
[2(2n+1)(n+1+k)!/(2(n+1+k))! - (n+k)!/(2(n+k))!]
elaborando la [] si ha
( 2(2n+1)(n+1+k)! - (n+k)!(2n+2+2k)(2n+1+k) ) / (2(n+1+k))! =
(n+k)! ( 2(2n+1)(n+1+k) - (2n+2+2k)(2n+1+k) ) / (2(n+1+k))! =
(n+k)!(-4(n+1+k)) / (2(n+1+k))! =
-4k(n+1+k)!/(2(n+1+k))!
cosicche' l'addendo per k=0 si puo' scartare e quindi posto h=k-1 si ha
= 1/2*(2pp)^(n+1) somma{h=0..+inf} (-pp)^(h+1)/(h+1)!*
[-4(h+1)(n+2+h)!/(2(n+2+h))!]
= (2pp)^(n+1) somma{k=0..+inf} 2pp (-pp)^h /h! * (n+2+h)!/(2(n+2+h))! =
= (2pp)^(n+2) somma{k=0..+inf} (-pp)^h /h! * (n+2+h)!/(2(n+2+h))! QED
==============
Ma allora la successione a_n e' infinitesima, perche' si ha per ogni n,k
(n+k)!/(2(n+k))! <= 1/n^n
e quindi il modulo di
a_n = (2pp)^n somma{k=0..+inf} (-pp)^k /k! * (n+k)!/(2(n+k))!
e' certamente minore di (2pp)^n /n^n somma{k=0..+inf} |(-pp)^k /k!| =
(2pp/n)^n exp(pp), che e' infinitesimo per n-->+inf. Cio' e' in
contraddizione col fatto che a_n conterrebbe infiniti interi positivi. QED
radica...@gmail.com
Aug 20, 2012, 4:22:48 AM8/20/12
to spal...@gmail.com
Il giorno domenica 19 agosto 2012 11:54:55 UTC+2, El Filibustero ha scritto:
> IMHO e' questa variante semplificata di quella di Laczkovich
>(vedi en.wikipedia.org/wiki/Irrationality_of_pi#Laczkovich.27s_proof)
Mamma mia ...
> IMHO e' questa variante semplificata di quella di Laczkovich
>(vedi en.wikipedia.org/wiki/Irrationality_of_pi#Laczkovich.27s_proof)
Pensa quelle piu' difficili cosa debbano essere !
Ma scusa,
come gli e' venuto in mente che il Pi fosse irrazionale,
visto che e' cosi' difficile dimostrarlo ? Come hanno
fatto, intendo, a "sospettarlo" (e poi quindi darsi da
fare per dimostrarlo) ?
AndreaM
Aug 20, 2012, 4:59:59 AM8/20/12
to
On 20 Ago, 09:22, radicale....@gmail.com wrote:
>
> Ma scusa,
> come gli e' venuto in mente che il Pi fosse irrazionale,
> visto che e' cosi' difficile dimostrarlo ? Come hanno
> fatto, intendo, a "sospettarlo" (e poi quindi darsi da
> fare per dimostrarlo) ?
Per secoli si è tentato di "quadrare il cerchio", cioè costruire con
>
> Ma scusa,
> come gli e' venuto in mente che il Pi fosse irrazionale,
> visto che e' cosi' difficile dimostrarlo ? Come hanno
> fatto, intendo, a "sospettarlo" (e poi quindi darsi da
> fare per dimostrarlo) ?
riga e compasso un quadrato avente area uguale a quella di un cerchio
di raggio 1.
Siccome è possibile costruire con riga e compasso un segmento di
lunghezza la radice quadrata della lunghezza di un segmento assegnato,
il problema è equivalente a quello di costuire un segmento di
lunghezza Pi a partire da un segmento di lunghezza 1.
Se Pi fosse razionale (o algebrico, di una forma speciale) tale
costruzione sarebbe possibile. Il fatto che non si riusciva a trovarne
una sarà stato uno dei primi importanti sospetti che Pi non fosse
razionale, e neppure algebrico.
frengo
Aug 20, 2012, 5:00:10 AM8/20/12
to
Diciamo che un po' se ne sono occupati :)
frengo
radica...@gmail.com
Aug 20, 2012, 6:20:41 AM8/20/12
to
Il giorno lunedì 20 agosto 2012 10:59:59 UTC+2, AndreaM ha scritto:
> On 20 Ago, 09:22, radicale....@gmail.com wrote: > > Ma scusa, > come gli e' venuto in mente che il Pi fosse irrazionale, > visto che e' cosi' difficile dimostrarlo ? Come hanno > fatto, intendo, a "sospettarlo" (e poi quindi darsi da > fare per dimostrarlo) ? Per secoli si è tentato di "quadrare il cerchio", cioè costruire con riga e compasso un quadrato avente area uguale a quella di un cerchio di raggio 1. Siccome è possibile costruire con riga e compasso un segmento di lunghezza la radice quadrata della lunghezza di un segmento assegnato, il problema è equivalente a quello di costuire un segmento di lunghezza Pi a partire da un segmento di lunghezza 1. Se Pi fosse razionale (o algebrico, di una forma speciale) tale costruzione sarebbe possibile. Il fatto che non si riusciva a trovarne una sarà stato uno dei primi importanti sospetti che Pi non fosse razionale, e neppure algebrico.
Capito.
> On 20 Ago, 09:22, radicale....@gmail.com wrote: > > Ma scusa, > come gli e' venuto in mente che il Pi fosse irrazionale, > visto che e' cosi' difficile dimostrarlo ? Come hanno > fatto, intendo, a "sospettarlo" (e poi quindi darsi da > fare per dimostrarlo) ? Per secoli si è tentato di "quadrare il cerchio", cioè costruire con riga e compasso un quadrato avente area uguale a quella di un cerchio di raggio 1. Siccome è possibile costruire con riga e compasso un segmento di lunghezza la radice quadrata della lunghezza di un segmento assegnato, il problema è equivalente a quello di costuire un segmento di lunghezza Pi a partire da un segmento di lunghezza 1. Se Pi fosse razionale (o algebrico, di una forma speciale) tale costruzione sarebbe possibile. Il fatto che non si riusciva a trovarne una sarà stato uno dei primi importanti sospetti che Pi non fosse razionale, e neppure algebrico.
Due domande :
1)
qualsiasi numero irrazionale (ma algebrico !) e' costruibile con
riga e compasso ?
2)
La faccenda della quadratura del cerchio :
ma se tu il cerchio lo fai rotolare senza slittare
fino a che ritorna al punto di partenza, non ottieni
banalmente una costruzione della lunghezza della
circonferenza equivalente alla costruzione con riga
e compasso ?
Evidentemente NO, e' ovvio (altrimenti i matematici
sarebbero dei fessi)
Pero' mi sfugge quale sia esattamente la differenza tra le
due tecniche.
Non e' che ti andrebbe di spiegarmelo un po' meglio ?
marcofuics
Aug 20, 2012, 6:37:35 AM8/20/12
to
Il giorno lunedì 20 agosto 2012 12:20:41 UTC+2, radica...@gmail.com ha scritto:
> 1)
>
> qualsiasi numero irrazionale (ma algebrico !) e' costruibile con
>
> riga e compasso ?
>
no, solo alcuni algebrici
> 1)
>
> qualsiasi numero irrazionale (ma algebrico !) e' costruibile con
>
> riga e compasso ?
>
praticamente quelli che si costruiscono (a partire da interi) con una sequenza finita di somme-sottrazioni (e quindi molt./divisioni e radici)
E comunque il problema sarebbe quello di trovare quel quadrato con la stessa area del cerchio
AndreaM
Aug 20, 2012, 2:02:36 PM8/20/12
to
On 20 Ago, 11:20, radicale....@gmail.com wrote:
>
> Due domande :
> 1)
> qualsiasi numero irrazionale (ma algebrico !) e' costruibile con
> riga e compasso ?
No. Posto di partire con un segmento unitario, i numeri che puoi
>
> Due domande :
> 1)
> qualsiasi numero irrazionale (ma algebrico !) e' costruibile con
> riga e compasso ?
costruire sono solo quelli ottenibili mediante le quattro operazioni
più l'estrazione di radice quadrata.
Ad esempio, non è possibile "duplicare il cubo" in quanto la radice
cubica di 2 non è ottenibile come sopra.
>
> 2)
> La faccenda della quadratura del cerchio :
> ma se tu il cerchio lo fai rotolare senza slittare
> fino a che ritorna al punto di partenza, non ottieni
> banalmente una costruzione della lunghezza della
> circonferenza equivalente alla costruzione con riga
> e compasso ?
>
Il gioco è come segue:
1. si parte fissando un segmento a cui convenzionalmente si da
lunghezza 1. I punti "costruiti" sono gli estremi del segmento.
2. il gioco consiste nel "costruire punti" a partire da quelli già
costruiti.
3. costruire un punto vuol dire ottenerlo intersecando (segmenti di)
rette e/o circonferenze tra di loro che possono essere tracciate
usando o un righello SENZA MARCATURE, o un compasso.
Esempi di cose che POSSONO essere fatte:
a) suddividere il segmento originale in numero arbitrario di parti
uguali,
b) costruire parallele e perpendicolari ad ua data retta passanti per
un punto,
c) costruire un poligono regolare di n lati per
n=3,4,5,6,9,10,12,17,....
Elio Fabri
Aug 21, 2012, 2:37:11 PM8/21/12
to
frengo ha scritto:
della circonferenza, sono problemi equivalenti) è il problema di
costruire *con riga e compasso* il lato di un quadrato equivalente a
un cerchio di raggio dato.
La rettificazone chiede la lunghezza della circonf. di dato raggio, da
costruire sempre con riga e compasso.
Il problema sarebbe risolubile se pi fosse esprimibile con sole
operazioni razionali e radici quadrate, in umero finito, ovviamente.
Perciò che pi sia irrazionale non dice niente sulla rislubilità del
problema.
Invece la dimostrazione della *trascendenza* di pi taglia la testa al
toro, perché i numeri costruibili con riga e compasso sono infiniti, ma
tutti algebrici.
BTW, sono state proposte innumerevoli approssimazioni /costruibili/ a
pi, anche precise al di là di qualsiasi esigenza pratica di disegno.
Provate per es. a costruire questa: 13*sqrt(146)/50 = 3.141591953...
Hint: 146 = 121 + 25.
--
Elio Fabri
Fr
> Non so, non hai mai sentito parlare della "quadratura del cerchio" ?
> Diciamo che un po' se ne sono occupati :)
Vediamo di chiarire: la quadratura del cerchio (o la rettificazione
> Diciamo che un po' se ne sono occupati :)
della circonferenza, sono problemi equivalenti) è il problema di
costruire *con riga e compasso* il lato di un quadrato equivalente a
un cerchio di raggio dato.
La rettificazone chiede la lunghezza della circonf. di dato raggio, da
costruire sempre con riga e compasso.
Il problema sarebbe risolubile se pi fosse esprimibile con sole
operazioni razionali e radici quadrate, in umero finito, ovviamente.
Perciò che pi sia irrazionale non dice niente sulla rislubilità del
problema.
Invece la dimostrazione della *trascendenza* di pi taglia la testa al
toro, perché i numeri costruibili con riga e compasso sono infiniti, ma
tutti algebrici.
BTW, sono state proposte innumerevoli approssimazioni /costruibili/ a
pi, anche precise al di là di qualsiasi esigenza pratica di disegno.
Provate per es. a costruire questa: 13*sqrt(146)/50 = 3.141591953...
Hint: 146 = 121 + 25.
--
Elio Fabri
Fr
marcofuics
Aug 22, 2012, 3:18:04 AM8/22/12
to
> La rettificazone chiede la lunghezza della circonf. di dato raggio, da
>
> costruire sempre con riga e compasso.
Lo sapete come ha ragionato Arkimede per misurare la lungh del cerchio?
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