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Irrazionalita' di pi: leggera variante (molto dettagliata) della dimostrazione di Niven
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El Filibustero
Apr 25, 2012, 5:45:06 AM4/25/12
to
Consideriamo
f_n(x):=(aa - bb xx)^n/n!
Per ogni n, f_n e' una funzione pari non-negativa in [-a/b,a/b], nulla agli
estremi e ha un valore massimo in x=0 di f(0) = a^(2n)/n!. Pertanto, per
ogni n tale che a^(2n)/n! < 1/2, l'integrale
I_n := integrale_[-a/b,a/b] f_n(x) cos(x)
e' positivo, ma minore di 1/2 integrale_[-a/b,a/b] cos(x) = sin(a/b).
==========================================
Lemma. Per ogni n naturale,
I_n = u_n cos(a/b) + v_n sin(a/b)
dove u_n e v_n sono definiti dalle ricorsioni:
u_0 := 0
u_1 := -4ab
u_n := 2bb(2n-1) u_{n-1} - 4aabb u_{n-2}
v_0 := 2
v_1 := 4bb
v_n := 2bb(2n-1) v_{n-1} - 4aabb v_{n-2}
Dimostrazione. Per n=0 e n=1, immediata o quasi. Gli integrali sono
sottintesi sull'intervallo [-a/b,a/b].
I_n = int f_n(x) cos(x) si puo' integrare per parti, con fattore integrale
cos(x):
I_n = [f_n(a/b)sin(a/b) - f_n(-a/b)sin(-a/b)] - int f_n'(x) sin(x)
[] e' nulla, essendo f(a/b)=f(-a/b)=0; poiche' f_n'(x)=-2bb x f_{n-1}(x),
I_n = 2bb int f_{n-1}(x) * x * sin(x)
che si integra ancora per parti, con fattore integrale sin(x):
I_n = 2bb [-f_{n-1}(a/b)(a/b)cos(a/b) + f_{n-1}(-a/b)(-a/b)cos(-a/b)]
+ 2bb int (x * f_{n-1}(x))' cos(x)
e come prima []=0. Ora,
(x * f_{n-1}(x))' = f_{n-1}(x) - 2bbxx f_{n-2}(x) =
={aggiungendo e togliendo 2aa f_{n-2}(x)} =
= f_{n-1}(x) + 2(aa - bb xx) f_{n-2}(x) - 2aa f_{n-2}(x)
={osservando che (aa - bb xx)f_{n-2}(x) = (n-1) f_{n-1}(x)} =
= f_{n-1}(x) + 2(n-1) f_{n-1}(x) - 2aa f_{n-2}(x) =
= (2n-1) f_{n-1}(x) - 2aa f_{n-2}(x)
Cosi'
I_n = 2bb int (x * f_{n-1}(x))' cos(x)=
= 2bb(2n-1) int f_{n-1}(x) cos(x) - 4aabb int f_{n-2}(x) cos(x)
= 2bb(2n-1) I_{n-1} - 4aabb I_{n-2}
Se accettiamo l'ipotesi induttiva che per ogni k<n si ha
I_k = u_k cos(a/b) + v_k sin(a/b),
ne consegue che
I_n = 2bb(2n-1) [u_{n-1} cos(a/b) + v_{n-1} sin(a/b)]
- 4aabb [u_{n-2} cos(a/b) + v_{n-2} sin(a/b)] =
= u_n cos(a/b) + v_n sin(a/b). QED Lemma.
==========================================
Ammettiamo per assurdo che pi/2 sia il razionale a/b, con a,b interi. Come
visto prima, assumendo n tale che n! > 2 a^(2n), I_n e' positivo e minore
di sin(a/b) = sin(pi/2) = 1. Per il Lemma
I_n = u_n cos(a/b) + v_n sin(a/b) = u_n cos(pi/2) + v_n sin(pi/2) = v_n
Ma per la definizione di v_n, se a e b sono interi, pure v_n lo e'.
Assurdo. QED. Ciao
f_n(x):=(aa - bb xx)^n/n!
Per ogni n, f_n e' una funzione pari non-negativa in [-a/b,a/b], nulla agli
estremi e ha un valore massimo in x=0 di f(0) = a^(2n)/n!. Pertanto, per
ogni n tale che a^(2n)/n! < 1/2, l'integrale
I_n := integrale_[-a/b,a/b] f_n(x) cos(x)
e' positivo, ma minore di 1/2 integrale_[-a/b,a/b] cos(x) = sin(a/b).
==========================================
Lemma. Per ogni n naturale,
I_n = u_n cos(a/b) + v_n sin(a/b)
dove u_n e v_n sono definiti dalle ricorsioni:
u_0 := 0
u_1 := -4ab
u_n := 2bb(2n-1) u_{n-1} - 4aabb u_{n-2}
v_0 := 2
v_1 := 4bb
v_n := 2bb(2n-1) v_{n-1} - 4aabb v_{n-2}
Dimostrazione. Per n=0 e n=1, immediata o quasi. Gli integrali sono
sottintesi sull'intervallo [-a/b,a/b].
I_n = int f_n(x) cos(x) si puo' integrare per parti, con fattore integrale
cos(x):
I_n = [f_n(a/b)sin(a/b) - f_n(-a/b)sin(-a/b)] - int f_n'(x) sin(x)
[] e' nulla, essendo f(a/b)=f(-a/b)=0; poiche' f_n'(x)=-2bb x f_{n-1}(x),
I_n = 2bb int f_{n-1}(x) * x * sin(x)
che si integra ancora per parti, con fattore integrale sin(x):
I_n = 2bb [-f_{n-1}(a/b)(a/b)cos(a/b) + f_{n-1}(-a/b)(-a/b)cos(-a/b)]
+ 2bb int (x * f_{n-1}(x))' cos(x)
e come prima []=0. Ora,
(x * f_{n-1}(x))' = f_{n-1}(x) - 2bbxx f_{n-2}(x) =
={aggiungendo e togliendo 2aa f_{n-2}(x)} =
= f_{n-1}(x) + 2(aa - bb xx) f_{n-2}(x) - 2aa f_{n-2}(x)
={osservando che (aa - bb xx)f_{n-2}(x) = (n-1) f_{n-1}(x)} =
= f_{n-1}(x) + 2(n-1) f_{n-1}(x) - 2aa f_{n-2}(x) =
= (2n-1) f_{n-1}(x) - 2aa f_{n-2}(x)
Cosi'
I_n = 2bb int (x * f_{n-1}(x))' cos(x)=
= 2bb(2n-1) int f_{n-1}(x) cos(x) - 4aabb int f_{n-2}(x) cos(x)
= 2bb(2n-1) I_{n-1} - 4aabb I_{n-2}
Se accettiamo l'ipotesi induttiva che per ogni k<n si ha
I_k = u_k cos(a/b) + v_k sin(a/b),
ne consegue che
I_n = 2bb(2n-1) [u_{n-1} cos(a/b) + v_{n-1} sin(a/b)]
- 4aabb [u_{n-2} cos(a/b) + v_{n-2} sin(a/b)] =
= u_n cos(a/b) + v_n sin(a/b). QED Lemma.
==========================================
Ammettiamo per assurdo che pi/2 sia il razionale a/b, con a,b interi. Come
visto prima, assumendo n tale che n! > 2 a^(2n), I_n e' positivo e minore
di sin(a/b) = sin(pi/2) = 1. Per il Lemma
I_n = u_n cos(a/b) + v_n sin(a/b) = u_n cos(pi/2) + v_n sin(pi/2) = v_n
Ma per la definizione di v_n, se a e b sono interi, pure v_n lo e'.
Assurdo. QED. Ciao
BERLUSANI
Apr 25, 2012, 6:03:10 AM4/25/12
to
El Filibustero <spal...@gmail.com> ha scritto:
>
>
> Ma per la definizione di v_n, se a e b sono interi, pure v_n lo e'.
> Assurdo. QED. Ciao
>
ci sono due passaggi OSCURI: sistemali per favore...non ti dico
quali sono perché secondo me a furia di ripassare lo noti
pure tu che si salta ad una conclusione un po' arbitraria in quei
due passaggi.
ciao
--
Pace e Bene
>
>
> Ma per la definizione di v_n, se a e b sono interi, pure v_n lo e'.
> Assurdo. QED. Ciao
>
quali sono perché secondo me a furia di ripassare lo noti
pure tu che si salta ad una conclusione un po' arbitraria in quei
due passaggi.
ciao
--
Pace e Bene
Enrico Gregorio
Apr 25, 2012, 9:09:29 AM4/25/12
to
El Filibustero <spal...@gmail.com> scrive:
> Consideriamo
>
> f_n(x):=(aa - bb xx)^n/n!
>
> Per ogni n, f_n e' una funzione pari non-negativa in [-a/b,a/b], nulla agli
> estremi e ha un valore massimo in x=0 di f(0) = a^(2n)/n!. Pertanto, per
> ogni n tale che a^(2n)/n! < 1/2, l'integrale
>
> I_n := integrale_[-a/b,a/b] f_n(x) cos(x)
>
> e' positivo, ma minore di 1/2 integrale_[-a/b,a/b] cos(x) = sin(a/b).
Stai ovviamente supponendo a e b positivi, ma anche che a/b <= pi/2.
> ==========================================
> [snip]
Ciao
Enrico
> Consideriamo
>
> f_n(x):=(aa - bb xx)^n/n!
>
> Per ogni n, f_n e' una funzione pari non-negativa in [-a/b,a/b], nulla agli
> estremi e ha un valore massimo in x=0 di f(0) = a^(2n)/n!. Pertanto, per
> ogni n tale che a^(2n)/n! < 1/2, l'integrale
>
> I_n := integrale_[-a/b,a/b] f_n(x) cos(x)
>
> e' positivo, ma minore di 1/2 integrale_[-a/b,a/b] cos(x) = sin(a/b).
> ==========================================
> [snip]
> ==========================================
>
> Ammettiamo per assurdo che pi/2 sia il razionale a/b, con a,b interi. Come
> visto prima, assumendo n tale che n! > 2 a^(2n), I_n e' positivo e minore
> di sin(a/b) = sin(pi/2) = 1. Per il Lemma
>
> I_n = u_n cos(a/b) + v_n sin(a/b) = u_n cos(pi/2) + v_n sin(pi/2) = v_n
>
> Ma per la definizione di v_n, se a e b sono interi, pure v_n lo e'.
> Assurdo. QED. Ciao
Me la sto riguardando.
>
> Ammettiamo per assurdo che pi/2 sia il razionale a/b, con a,b interi. Come
> visto prima, assumendo n tale che n! > 2 a^(2n), I_n e' positivo e minore
> di sin(a/b) = sin(pi/2) = 1. Per il Lemma
>
> I_n = u_n cos(a/b) + v_n sin(a/b) = u_n cos(pi/2) + v_n sin(pi/2) = v_n
>
> Ma per la definizione di v_n, se a e b sono interi, pure v_n lo e'.
> Assurdo. QED. Ciao
Ciao
Enrico
El Filibustero
Apr 27, 2012, 8:39:26 AM4/27/12
to
On Wed, 25 Apr 2012 15:09:29 +0200, Enrico Gregorio wrote:
>> I_n := integrale_[-a/b,a/b] f_n(x) cos(x)
>>
>> e' positivo, ma minore di 1/2 integrale_[-a/b,a/b] cos(x) = sin(a/b).
>
>Stai ovviamente supponendo a e b positivi, ma anche che a/b <= pi/2.
Esatto, a/b <= pi/2 e' condizione sufficiente per la positivita' di I_n ed
>> I_n := integrale_[-a/b,a/b] f_n(x) cos(x)
>>
>> e' positivo, ma minore di 1/2 integrale_[-a/b,a/b] cos(x) = sin(a/b).
>
>Stai ovviamente supponendo a e b positivi, ma anche che a/b <= pi/2.
e' comunque verificata nell'ipotesi assurda. Notare un simpatico
sottoprodotto del lemma: una procedura ricorsiva per il calcolo della
tangente che converge molto rapidamente.
tan(a) = lim{n-->+inf} u_n/v_n
dove
u_0:=0, u_1:= a, u_n:=2(2n-1) u_{n-1} - 4aa u_{n-2}
v_0:=1/2, v_1:= 1, v_n:=2(2n-1) v_{n-1} - 4aa v_{n-2}
Ciao
El Filibustero
Apr 27, 2012, 9:07:30 AM4/27/12
to
On Fri, 27 Apr 2012 14:39:26 +0200, El Filibustero wrote:
>tan(a) = lim{n-->+inf} u_n/v_n
>
>dove
>
>u_0:=0, u_1:= a, u_n:=2(2n-1) u_{n-1} - 4aa u_{n-2}
>v_0:=1/2, v_1:= 1, v_n:=2(2n-1) v_{n-1} - 4aa v_{n-2}
meglio:
>tan(a) = lim{n-->+inf} u_n/v_n
>
>dove
>
>u_0:=0, u_1:= a, u_n:=2(2n-1) u_{n-1} - 4aa u_{n-2}
>v_0:=1/2, v_1:= 1, v_n:=2(2n-1) v_{n-1} - 4aa v_{n-2}
u_0:=0, u_1:= a, u_n:=(2n-1) u_{n-1} - aa u_{n-2}
v_0:=1, v_1:= 1, v_n:=(2n-1) v_{n-1} - aa v_{n-2}
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