初めまして

[Akira Nagashima]

動的幾何学ソフトウエアの皆さん

　入谷さんからご招待を頂いた永島と申します。阿原さんの著作で
Cinderella1.4を知り、工学的に利用して来ました。１自由度の４
節リンク機構を取り扱うのが大変楽になり、遊具の開発に役に立ち
ました。以下その例です。
http://blog.goo.ne.jp/slide_271828/e/25508df53b5748f4b91f8442a78c848f

　またwxMaximaにも興味を持っています。Cinderella1.4と2.0では
与えられたリンクのパラメータで効果器の軌跡を簡単に描く事が出
来ますが、その軌跡の数式や、求める軌跡を実現するリンクのパラ
メータを求めることが出来ません。グレブナー基底を解くパッケー
ジをMaximaが持っているので、逆問題を解きたいと思っています。

　やる気はあるのですが、還暦＋１なので物覚えが悪くなっていま
す。お手柔らかにお付き合いをお願いします。

大永ドリーム株式会社
永島　明 <NBC0...@nifty.ne.jp>
blog http://blog.goo.ne.jp/slide_271828/
http://www.daieidream.co.jp/

[入谷 昭]

入谷です。

永島さん、早速ですが

北本さんがMathematicaでやったものをpdfで添付されていますが

Re: [DyGeo:233] 最短問題(2つ)

これ、Maximaでできますか？

私はまったくの初心者なので、手が出ません。

[阿原 一志]

永島さん，はじめまして．阿原と申します．ブログ拝見しました．おもしろかったです．
たしかに，シンデレラは４節リンク機構のシミュレーションが得意ですね．
（そういえば明治大学の機械工学科の若い先生もシミュレーションにシンデレラを使っていました．）
これからよろしくお願いいたします．
 
　　　阿原
 
> Date: Tue, 5 Oct 2010 16:28:59 +0900
> From: NBC0...@nifty.ne.jp
> To: interacti...@googlegroups.com
> Subject: [DyGeo:234] 初めまして

> --
> このメールは Google グループのグループ「動的幾何学ソフトウエア」の登録者に送られています。
> このグループに投稿するには、interacti...@googlegroups.com にメールを送信してください。
> このグループから退会するには、interactivegeom...@googlegroups.com にメールを送信してください。
> 詳細については、http://groups.google.com/group/interactivegeometry?hl=ja からこのグループにアクセスしてください。
>

[Akira Nagashima]

入谷さん

まだグループの使い勝手が分からず
> 北本さんがMathematicaでやったもの
を見つけるのに苦労しました。
PDFは拝見しましたが、この問題を最初から考えたいと思います。
つまりシンデレラで絵を描くことです。

> これ、Maximaでできますか？
> 私はまったくの初心者なので、手が出ません。
お手本があるので時間をかければ出来そうですが
Maximaではload(grobner)して、デモを動かしただけです。

ブログでは初心者（＝私）の躓きを公開することが狙いです。

[Akira Nagashima]

阿原さん　シンデレラでは大変お世話になりました。

> 機械工学科の若い先生
も招待して頂けると嬉しいです。

機械ネタ（機構学）でもう一つ、シンデレラで描いたものがありま
した。オルダム継手です。このネタはマンガ『ナッちゃん』から仕
入れました。以下のインデックス
http://blog.goo.ne.jp/slide_271828/e/da522598453b54acd44a7830228327e1
の「オルダム継手」とある記事をご覧下さい。
Cinderella1.4で描いたオルダム継手のファイルを見つけて投稿し

[Takuya Kitamoto]

北本です。

下記の件です。
Maxima で問題１をやった実行例のファイルを添付します。
計算のやり方は前に Mathematica を使ってやった時と全く同じです。
Maxima はあまり使ったことがないので、あまり良くない計算をして
いるかもしれません。
実は、前の Mathematica で計算した結果は最後に点 P の座標を
間違えて計算していたということがわかりました（問２とごっちゃ
になっていました。すみません）。
正しい P の座標は今回の添付ファイルにある通り、

(0.51480661101817,4.97342680183915)

です。飯島さんの問題設定では、y 軸が -5 ずれるので、

(0.51480661101817,-0.0265731981608)

となります。
問題２も全く同じにやればできるはずです。

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

下記も含めて, いろいろとありがとうございます。

まず, 一般的なことから。

個人的には, 10年くらい前には, 少し mathematicaやmapleを使ったり
しましたが, その後全然使っていませんでした。

今回をきっかけに, 学内のアプリケーション配信システムで
mathematicaが使える環境に切り替わっているのを知り, (以前は
windows版を直接インストールしていた)
ただし, win7ではだめで, XPをインストールし直して使えるようにし,
さらに自宅でも使えるように, VPN 経由で... なんていうことをしてい
ます。

そういう状況なので, これまでお送りいただいたものに関して, まだ
「雰囲気は分かっても, しっかりと分かっている状態ではない」のです
が, 一方, mathematica というのは, 大学関係者にとっては多くの方が
使えるわけですが, 中学校や高校の先生方にとっては, 特別な学校以外
ではほとんど無理なので, フリーソフトでできることという意味で,
Risa/Asir での可能性も実感できるように, いろいろな例と一緒に整備
できればと思っています。

それをまとめているのが

http://iijima.auemath.aichi-edu.ac.jp/caswiki/

でして, 「テーマ」にいろいろな事例をまとめながら,

・小中学校や高校では, どういう感じに 数式処理が使えるのか

を実感できるようにできればと思っています。

基本的な事例に関して, mathematicaの例も追加してみていますが, 以
前と比較して, ドキュメントなども分かりやすく整備されているように
感じています。

一方, 前の議論に関連することは, 「軌跡」に関してまとめたいと思っ
ているのですが, その一つの例として「楕円の方程式を求める」に関し
て, Risa/Asir での例をまとめてみました。

以前議論になっていた
・mathematica では √が入っていてもいいが, 他ではだめなこともあ
る
というのが,

-√の入った計算をそのまま実行させてみようと思ったが，うまくいか
ない。

という部分なのかなと実感してみたりしています。

また, 楕円の作図の仕方も複数ありうるわけですが, Risa の場合には,

-半径 r と半径 10-r の円の交点の軌跡

というアプローチは, グレブナー基底を使って処理していくのにあって
いる事例であることを実感しました。

> --
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らこのグループにアクセスしてください。
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>
>

----------------------------------------------------------
愛知教育大学 数学教育講座 飯島康之
Yasuyuki IIJIMA
Aichi University of Education, Department of Mathematics

yii...@auecc.aichi-edu.ac.jp
http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/
tel(fax): 0566-26-2329
Math & Science / fax: 0566-26-2310
----------------------------------------------------------

[moonlight]

チャレンジ問題への投稿/「円に外接する四辺形で対角線の長さが 等しいもの は一般的にどのように作図すれば良いか。」
をした村井と申します。京都の府立高校で数学を教えています。

さて，シンデレラもcabriも試してみた事はありますがなかなか仕事で使うというところまではいきません。
そんなわけでここにご招待頂くのも少し場違いな漢字もするのですが，
先だって投稿したチャレンジ問題を皆さんに考えていただいたようなので
少し覗いてみたくなりご招待頂きました。
どうぞよろしくお願いいたします。

さて，この問題？に至った経緯なのですが，そもそも作図をしたいという発想ではありませんでした。
四辺形の分類をきちんと調べて？みる過程で行き当たった問題でした。

私が小学校で教わった分類は，台形ー平行四辺形ー長方形／菱形ー正方形　という
オーソドックスなものでしたが，等脚台形や凧形というものもあることは
色々な本や問題で知ってはいました。

数年前何かの弾みでWikipediaの四辺形の項目を見ると，
なにやらこの四辺形の分類の図が書いてあるではありませんか。
で，何となく気になって海外の分も比べてみると・・・なにやら何種類かの系統図がある。

結局，等辺や等角，平行な辺，対角線の直交，円に内接／外接などの基準で系統立ててあるのですが，
どういう基準で選択し，省かれたのか判らない喰うと半端さが気になりました。

そこで，幾つかの視点をピックアップして，
漏れの無いようにその性質の有無で四辺形を分類系統立て手見ようと思い立ったわけですが・・・

その過程で当然のように，「対角線の長さが等しい」＋「円に外接する」という四辺形に巡り会ったというわけです。
円に外接する等脚台形はもちろんこの条件を満たすのですが
一般的に子の四辺形はどのような形が気になったまま，仕事の忙しさにかまけて
放り出したままだったというわけです。

4次曲線？との交点になる事も，確かmetapostか十進ベーシックで描画して確認した記憶があります。

というわけで実はこの四辺形の性質？特徴付け？分類？が知りたい事だったわけですが
たまたま見掛けたWikiについつい出来心で投稿してみたというわけです。

そういうわけで，もっと何か情報や判る事／考えるヒントがあれば教えて下さい。

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

たとえば, 「軌跡」にも端を発した「数式処理ソフト」利用ですが,
自分のところで, mathematica 等を使えるように整備したり,
基本的な事例を試してみたり,
「カメ」状態ではあります(苦笑)。

もっとも, 手元でmathematicaを使えない方や, あまり数式処理のこと
を使ったことがない方にとってもほぼ同様状態と思うので, 投稿してお
ります。

とりあえずのターゲットは, 「内心等の軌跡を簡単に処理する」ところ
あたりなのですが, それ以前も基本的な事例も含めて,
http://iijima.auemath.aichi-edu.ac.jp/caswiki/
にまとめてみています。

「テーマ」というところに一覧を作りながらなのですが,
たとえば,
最近試してみたことを
「電卓モードとプログラムモード」という項目にまとめ, その下に次の
ような項目を並べてみました。

例
?予備的なこと
?直線がある点を通ることのCAS的な処理
?2点の座標に対して, 直線の方程式を得る
?2点_直線の方程式_電卓モード
?2点_直線の方程式_プログラムモード
?2点の座標に対して, 線分の垂直二等分線の方程式を得る
?2点_垂直二等分線の方程式_プログラムモード?
?3点の座標に対して, 円の方程式を得る
?3点_円の方程式_プログラムモード
?5点の座標に対して, 二次曲線の方程式を得る
?5点_二次曲線の方程式_プログラムモード

「まだ先は長い」という感じはするものの, グレブナ基底計算は「なる
ほど使える代物だ」ということは実感できますね。

****
関連して, Risa/Asir 関連で質問があるのですが,

(1) リストのn番目のみを取得する にはどうしたらいいのでしょう。
mathematicaでは該当する関数はあるのですが, ...

たとえば, グレブナ基底計算のリストの中から, 二次曲線の方程式「の
み」を取り出したいと思うときなどに使いたいわけですが。

(2) たしか北本先生の指摘にあったかと思うのですが,
「mathemaitcaは, 式の中に √が入っていてもokだが...」
ということに関連しますが,

Risa/Asir では, √が入っているのは自動的に解消はしてくれないと思
ってよいでしょうか。

(長さ等の条件から求める場合には, かなり√が混ざるので, 幾何的な
問題を処理するには, mathematicaの方があっているかなと思ったりし
ていまして。)

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

> チャレンジ問題への投稿/「円に外接する四辺形で対角線の長さが 等しいもの は一
般的にどのように作図すれば良いか。」
> をした村井と申します。京都の府立高校で数学を教えています。

気にはなりつつも,
別の話題での投稿が多くてなんとなく返信を逸してしまっていましたが.
..。

ただ, 「開発関連」の話ばかりでなく, 教材系の話題ももっとあってい
いはずなので, (間の抜けたタイミングではありますが)返信いたします。

> さて，シンデレラもcabriも試してみた事はありますがなかなか仕事で使うというと
ころまではいきません。

> そんなわけでここにご招待頂くのも少し場違いな漢字もするのですが，
> 先だって投稿したチャレンジ問題を皆さんに考えていただいたようなので
> 少し覗いてみたくなりご招待頂きました。
> どうぞよろしくお願いいたします。
>
> さて，この問題？に至った経緯なのですが，そもそも作図をしたいという発想ではあ
りませんでした。
> 四辺形の分類をきちんと調べて？みる過程で行き当たった問題でした。

今回の問題に関して, ご指摘のように,

・四角形/四辺形の分類

という観点は, いろいろな意味で重要と思います。
今回は, 「条件にあった図」を作図するというもので, 作図問題という
観点ではありますが, 様々な条件に対して,

・その条件を満たす図を作図する

ものとして, いろいろなものも作れますし, その中で,
・作図が難しいもの
・意外なものも入るケース
など, いろいろです。

動的幾何というか, 作図ツールというか, それは一つは「作図」が目的
ではありますが, もう一つの重要性は, このメーリングリストのタイト
ルにもあるように,

interactive

であるということも重要であると同時に, 操作をする中で

・どんなことに気づくのか / 気づいてほしいのか

ということも重要です。いや, 「授業の道具」として使う場合には, そ
の方が重要といってもいいかもしれません。

(先週と)今日も, 大学2年生向けの教科教育の授業の中で,

・四角形の中点を結ぶ図

・四角形のそれぞれの角の二等分線でできる四角形の図

に関して, 「いろいろな場合を調べる」ことをしましたが, やはり, 彼
らの直感的な理解と, 具体的に調べてみたときに出てくる結果には「ズ
レ」があるわけで, そのズレをうまく使うと, 「いい授業の道具」にす
ることができるのは事実です。

まあ, そういう意味では,

・いつも条件を満たすような図を作図すること

の他に,

・たまに, 条件を満たす図になるような図

というのも, 結構使えるんですけどね。

>
> 私が小学校で教わった分類は，台形ー平行四辺形ー長方形／菱形ー正方形　という
> オーソドックスなものでしたが，等脚台形や凧形というものもあることは
> 色々な本や問題で知ってはいました。
>
> 数年前何かの弾みでWikipediaの四辺形の項目を見ると，
> なにやらこの四辺形の分類の図が書いてあるではありませんか。
> で，何となく気になって海外の分も比べてみると・・・なにやら何種類かの系統図が
ある。
>
> 結局，等辺や等角，平行な辺，対角線の直交，円に内接／外接などの基準で系統立て
てあるのですが，
> どういう基準で選択し，省かれたのか判らない喰うと半端さが気になりました。
>
> そこで，幾つかの視点をピックアップして，
> 漏れの無いようにその性質の有無で四辺形を分類系統立て手見ようと思い立ったわけ
ですが・・・
>
> その過程で当然のように，「対角線の長さが等しい」＋「円に外接する」という四辺
形に巡り会ったというわけです。
> 円に外接する等脚台形はもちろんこの条件を満たすのですが
> 一般的に子の四辺形はどのような形が気になったまま，仕事の忙しさにかまけて
> 放り出したままだったというわけです。
>
> 4次曲線？との交点になる事も，確かmetapostか十進ベーシックで描画して確認した
記憶があります。
>
> というわけで実はこの四辺形の性質？特徴付け？分類？が知りたい事だったわけです
が
> たまたま見掛けたWikiについつい出来心で投稿してみたというわけです。
>
> そういうわけで，もっと何か情報や判る事／考えるヒントがあれば教えて下さい。
>

> --
> このメールは Google グループのグループ「動的幾何学ソフトウエア」の登録者に送
られています。
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らこのグループにアクセスしてください。
>
>

[入谷 昭]

入谷です。

> 飯島です。
>
> たとえば, 「軌跡」にも端を発した「数式処理ソフト」利用ですが,
> 自分のところで, mathematica 等を使えるように整備したり,
> 基本的な事例を試してみたり,
> 「カメ」状態ではあります(苦笑)。
>
> もっとも, 手元でmathematicaを使えない方や, あまり数式処理のこと
> を使ったことがない方にとってもほぼ同様状態と思うので, 投稿してお
> ります。
>
> とりあえずのターゲットは, 「内心等の軌跡を簡単に処理する」ところ
> あたりなのですが, それ以前も基本的な事例も含めて,
> http://iijima.auemath.aichi-edu.ac.jp/caswiki/
> にまとめてみています。

はい、毎日チェックしています。「ソフト」のところに Maximaを追加したのは私です。σ(^_^;)

> 関連して, Risa/Asir 関連で質問があるのですが,
>
> (1) リストのn番目のみを取得する にはどうしたらいいのでしょう。
> mathematicaでは該当する関数はあるのですが, ...

外しているかも知れませんが
A=[1,2,3,4,5];
というリストを作り
A[2];
とすると3番目の要素が取り出せます。Risa/Asir では番号が０からなんですね。
B=A[2];
で、Bに3番目の要素３が入ります。

[入谷 昭]

入谷です。

> 飯島です。

> 動的幾何というか, 作図ツールというか, それは一つは「作図」が目的
> ではありますが, もう一つの重要性は, このメーリングリストのタイト
> ルにもあるように,
>
> interactive
>
> であるということも重要であると同時に, 操作をする中で
>
> ・どんなことに気づくのか / 気づいてほしいのか
>
> ということも重要です。いや, 「授業の道具」として使う場合には, そ
> の方が重要といってもいいかもしれません。

おおいに賛成ですね。
私自身、高校の教科書に載っている　チェバの定理　や　方べきの定理　の意味を
シンデレラで図を動かしてはじめて理解しました。
教科書の「定理」の記述を読んだら、ただ暗記するだけになってしまいそうですが
「動かす」ことによって、本質がやっと見えてきます。
教員の方がただ暗記で、暗記方法を教えているようでは生徒も理解につながりませんね。

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

> 入谷です。
>
>
> > 飯島です。
> >
> > たとえば, 「軌跡」にも端を発した「数式処理ソフト」利用ですが,
> > 自分のところで, mathematica 等を使えるように整備したり,
> > 基本的な事例を試してみたり,
> > 「カメ」状態ではあります(苦笑)。
> >
> > もっとも, 手元でmathematicaを使えない方や, あまり数式処理のこと
> > を使ったことがない方にとってもほぼ同様状態と思うので, 投稿してお
> > ります。
> >
> > とりあえずのターゲットは, 「内心等の軌跡を簡単に処理する」ところ
> > あたりなのですが, それ以前も基本的な事例も含めて,
> > http://iijima.auemath.aichi-edu.ac.jp/caswiki/
> > にまとめてみています。
>
> はい、毎日チェックしています。「ソフト」のところに Maximaを追加したのは私で
す。σ(^_^;)

ありがとうございます。
カウンタも設置しました。(笑)

> > 関連して, Risa/Asir 関連で質問があるのですが,
> >
> > (1) リストのn番目のみを取得する にはどうしたらいいのでしょう。
> > mathematicaでは該当する関数はあるのですが, ...
>
> 外しているかも知れませんが
> A=[1,2,3,4,5];
> というリストを作り
> A[2];
> とすると3番目の要素が取り出せます。Risa/Asir では番号が０からなんですね。
> B=A[2];
> で、Bに3番目の要素３が入ります。

スッキリ! しました。

マニュアル等ではよくわからなかったんですけどね。

****
さきほど,

*電卓モードとプログラムモード

という項目の中に,

*mathematica

も追加してみました。

こういう使い方が妥当なのか, またよくされているのかわからないので
すが,
(多分普通はノートブックとして保存されるのでしょうか。)

・一連の流れをプログラムとして, テキストファイル等に保存する
・それを読み込んで一気に計算させ, 結果を表示する。

という流れで, モトを修正しては実行するという, basic等での流れの
ようなことをしたいとするとどういう手続きなのだろうかという感覚の
場合には何が便利だろうかという意味です。

「通常はこういう方法だ」というのがありましたら, ご教示ください。

そういえば, Risa/Asir では ↑ で入力履歴を出せて便利と思っていて,
mathematicaでは??? とわからなかったのですが, Ctrl + L が使える
のが分かりました。

でも, Risa では ↑数回で, 履歴をたどれる DOS コマンドプロンプト
的なのに対して, Ctrl + L は一回のみ。つまり コピペを使えというこ
となのかなと, ちょっと不便さを実感したりもしています。

[westmt...@yahoo.co.jp]

西山＠佐賀です。

 

その問題がどこから来たのか、どんなことにつながっていくのか？

というのは重要だと思います。

もちろん「実用」にこだわっているわけではありません。

　ある「課題」を「数学の問題」として、与えられてそれを考えるだけでも

　良いのでしょうけれど、

　わからない人間にとっては、

　　そもそもその問題に取り組む意欲が萎えてしまっている人間にとっては

　その、もともとこういうことがあって、こういう数学の問題が生まれた

　というのがわかると、もう一度意欲がわいてきます。

　「円に内接する四辺形」についても、感じましたし、

　数学セミナー増刊の「リーマン予想がわかる」でも、

　　最初に「なぜこんな数式を考える必要があるのか」という

　　最初あたりの書き出しには、助けられます。

 

っといったあたりで、開発関連以外に教材系の話題があると良いなとは思います。

期待しています。

[Takuya Kitamoto]

北本です。

下記の件です。
式の中に √が入っていたら、新しい変数を使って、√を消してやれば
いいだけなので、√があれば計算ができないというわけではありません。
例えば

{ x*y - 2*(x - y)^(1/2) + 1, x - y + 1 } ---- (1)

のグレブナー基底を Mathematica で計算すると

{5 - 2*y + 3*y^2 - 2*y^3 + y^4, 1 + x - y,
-1 + 2*(x - y)^(1/2) + y - y^2}

となりますが、新しい変数 w を w^2 = x-y と定義して

{ x*y - 2w + 1, x - y + 1, w^2 - (x - y) } ---- (2)

のグレブナー基底を Mathematica で計算すると

{5 - 2*y + 3*y^2 - 2*y^3 + y^4, 1 + x - y,
-1 + 2*w + y - y^2}

となります。
見てわかるように上と下の計算結果の違いは

-1 + 2*(x - y)^(1/2) + y - y^2

が

-1 + 2*w + y - y^2

になっているだけなので、w = (x - y)^(1/2) と考えれば
答えは全く同じです。
上の (1) のグレブナー基底は（おそらく）Risa/Asir では
計算出来ませんが、(2) のグレブナー基底は数式処理ソフト
ならばどんなものでも計算できるはずです。
つまり、普通は √が入っている場合は人間が (1) のような
入力から (2) のような入力に変換しなければならないので
すが、Mathematica はそれを自動的にやってくれるという
ことです。

(2010/10/15 15:00), Yasuyuki Iijima wrote:
> 飯島です。

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

> 入谷です。

高校の授業では, なかなか「見せて解説する」ことも少ないように思う
のですが, いかがでしょう。

ついでにいえば, 「見せ方」の問題もあると思います。
一方的に見せるのも悪くはないですが, 一般に, 「見せてはいても, 見
えてはいません」。

実際に自分で触ったからといって, 理解している / 納得しているとは
限りません。

チェバの定理にしろ, 方ベキの定理にしろ, 特殊な場合を意識したり,
「なるほど」と思ったり, 生徒がそういう理解をするような, いわば
「演出」をしないと, 授業らしくならないのもまた, 事実です。

****

村井先生の問題に関しても, 何となく気になっていることが一つありま
す。

それは,

・「対角線の長さが等しい」＋「円に外接する」という四辺形

という形が登場するような, 問題場面はないのだろうかということです。

***
たとえば, 非常に典型的な問題ですが,
http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/gc/w2j/sample-
02a.htm

四角形の中点を結んで四角形を結ぶ図では, PQRSはいつも平行四辺形に
なるわけですが, たとえば,
ABCD が正方形のときには, PQRS は正方形
になります。

大学生でも, PQRSを正方形にするには, ABCDも正方形でないといけない
と思うこともあるわけですが, 実際にいろいろと動かしてみると,
ABCD が正方形でなくてもPQRSが正方形になることがある
ということを意識します。

そこからは二つの流れがありうるわけですが,
(1) PQRS が正方形になるような, いろいろな場合を観察し, それらに
共通する性質を見つける
(2) 性質の側から推論する
もちろん, 結果として,
対角線が直交する / 対角線の長さが等しい
という二つの条件を満たす図形ならば, なんでもよい
ということがわかるわけですが,
***************************************
対角線が直交する / 対角線の長さが等しい
***************************************
という四角形を意識することの妥当性は, 上記の問題があるからこそ,
というように思えるわけです。

関連する問題を一つ次のメールでも投げますが，冒頭に戻りますけど,

・「対角線の長さが等しい」＋「円に外接する」という四辺形

という形が登場するような, 問題場面はないのでしょうか。

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/gc/w2j/sample-
02b.htm

これは, 四角形の角の二等分線でできる四角形の問題です。

上の問題の類題ともいえますが, もっと奥行きのある問題で, 少なくと
も大学生にはいつもタイトルのように

ABCDがどんな形のときに, EFGHがどんな形になるかを一通り調べて表に
してみること。
そして, その表を観察して, 「次に何を考えるべきか」を考えよ。

というような形で提示することの多い問題です。

実は昨日も, 学部の2年生対象の数学科教育の授業で扱いました。

昨日も, 学生から出た問題を踏まえて, 次のことを宿題にしました。
---------------------------------------------------------------
(3) 次の中の一つについて自分なりに取り組み, その結果をまとめてメ
ールで提出すること
提出先 yii...@auecc.aichi-edu.ac.jp
期限 10/20
本文に直接かいてもいいし，word等でまとめてもいい。

A.EFGHが一点で交わるのは, どういうときか。
B.EFGHは平行四辺形にならないようだ。なぜか。
C.EFGHが台形になるのは, どういうときか。
D>その他,上記よりもよいと思う自分なりの問題
---------------------------------------------------------------

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

> 北本です。
>
> 下記の件です。
> 式の中に √が入っていたら、新しい変数を使って、√を消してやれば
> いいだけなので、√があれば計算ができないというわけではありません。

「√を消してやればいいだけ」といわれてみると, 「そりゃそうかな」
という感じで, 「目からウロコ」ですね。

チャレンジしてみます。

> --
> このメールは Google グループのグループ「動的幾何学ソフトウエア」の登録者に送
られています。
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>
>

[Kosaku Nagasaka]

長坂です。

補足ですが，これは根号に限る話ではありません。
これらの有理数ではない実数を表現する場合，根号による解析的な表現を
してしまうと代数的な処理は行うことはできません。代数的な処理には，
これらの実数はきちんと有理数体に対して代数拡大を行う必要があり，
定義方程式による代数的数として取り扱う必要があります。

[入谷 昭]

入谷です。

> 飯島です。

> 高校の授業では, なかなか「見せて解説する」ことも少ないように思う
> のですが, いかがでしょう。
>
> ついでにいえば, 「見せ方」の問題もあると思います。
> 一方的に見せるのも悪くはないですが, 一般に, 「見せてはいても, 見
> えてはいません」。
>
> 実際に自分で触ったからといって, 理解している / 納得しているとは
> 限りません。
>
> チェバの定理にしろ, 方ベキの定理にしろ, 特殊な場合を意識したり,
> 「なるほど」と思ったり, 生徒がそういう理解をするような, いわば
> 「演出」をしないと, 授業らしくならないのもまた, 事実です。

その通りです。よく現場をご存知ですね。
私は、視聴覚に生徒を移動させ、プロジェクタでスクリーンに教材を映しながら授業をするという実践をしてきましたが
http://club.pep.ne.jp/~hannya/vmath.html
普通教室ではなかなかできませんし、
部活動指導などで忙しいと教材を作っている時間がなくてできません。
私も今は３年生の演習の準備で手いっぱいで、通常の授業しかできずにいます。
また、ソフトを作ってパソコン室で生徒にやらせて、うまくいったと思ったら、生徒は何も理解していなかった、という経験もあります。生徒は、画面上で起っていることが理解できていなかったのです。
しかし、そういった「苦い」経験をして、生徒の理解のしかたがわかり、通常の黒板とチョークでの授業でも生かされる、ということはあります。