チャレンジ問題への投稿/「円に外接する四辺形で対角線の長さが等しいもの は一般的にどのように作図すれば良いか。」

[飯島康之]

飯島です。
9/25付で, 下記のような投稿がありました。
------------------------------------------------------
moonlight? (2010-09-25 (土) 21:28:00)

「円に外接する四辺形で対角線の長さが等しいもの は一般的にどのように作図すれば良いか。」
が気になってます。暫く放置している問題ですが如何でしょうか？
------------------------------------------------------
あまり見たことがない問題だなと思いました。

また, 3点A,B,C をとり, Dを円上にとって, AB = CD としたとき, Dを円周上で動かすと一点のみで条件を満たすこと,
つまり
A,B,C に対して D は一意的にきまりそうということは実感できました。

でも, A,B,CからDを構成する方法は,分かりませんが。

この手の作図問題が得意 / お好きな方はいらっしゃいますか?

[阿原 一志]

阿原です.
 
面白い問題ですね．3辺を固定して内接円を確定させ,４辺目の置き場所を考えると，中間子の定理から一通りに定まることがわかります．最初の３辺の選び方が２次元くらいありそうなので，問題を満たす四角形はパラメータ２個くらいありそうですね．こういう問題は「お好き」なのですが，これはムツカシイです．ちょっと考えてみたいと思います．どうもありがとうございました.
 
> Date: Mon, 27 Sep 2010 05:42:33 -0700
> Subject: [DyGeo:194] チャレンジ問題への投稿/「円に外接する四辺形で対角線の長さが等しいもの は一般的にどのように作図すれば良いか。」
> From: yasu....@gmail.com
> To: interacti...@googlegroups.com

> --
> このメールは Google グループのグループ「動的幾何学ソフトウエア」の登録者に送られています。
> このグループに投稿するには、interacti...@googlegroups.com にメールを送信してください。
> このグループから退会するには、interactivegeom...@googlegroups.com にメールを送信してください。
> 詳細については、http://groups.google.com/group/interactivegeometry?hl=ja からこのグループにアクセスしてください。
>

[mow]

初めまして，群馬の上原と申します。

小学校の教員をしております。
少し前からＭＬに参加させていただいていたのですが，自己紹介が
遅れ，失礼しました。

> 飯島です。
> 9/25付で, 下記のような投稿がありました。
> ------------------------------------------------------
> moonlight? (2010-09-25 (土) 21:28:00)
>
> 「円に外接する四辺形で対角線の長さが等しいもの は一般的にどのように作図すれば良いか。」
> が気になってます。暫く放置している問題ですが如何でしょうか？
> ------------------------------------------------------

以下のような図でよいのか分からないのですが
3点A,B,C をとり,ACを対角線とした場合，AC=BDの四角形ABCD
が，１つの円に外接している。

結局，描き方は分かっていないのですが・・

この作図には，AC//AD',AB//CD'となる平行四辺形を作成し，
Bを中心に，BD'を半径とする円を描きます。
その円上に点Dをとります。
そして，とりあえず，四角形ABCDを作成し，その４つの角A,B,C,Dの
二等分線を作図し，その互いの交点を作成，その軌跡を描きます。
その交点が求める四角形が外接する円の中心となるわけです。

つまり，その軌跡を作図し，その交点を求めればいいのですが，
軌跡が単純な図形ではないので，面倒であるというところかと思
います。
--------------------------------------
上原　永護
「ＭｏｗＭｏｗＭｏｗの部屋」
URL:　http://www.mowmowmow.com/
e-mail：　m...@mowmowmow.com
　　　 　m...@mail.wind.ne.jp
勤務校　群馬県渋川市立長尾小学校
URL:　http://komochi-e.ed.jp/nagao/

[阿原 一志]

阿原です．一晩寝ながら考えました．（ぐっすり寝ていた，という説もありますが（笑））難問ですね．
 
問題を少し簡単にして，三角形の場合を考えてみました．線分AC上に点Bがあるとして，三角形ACDの内接円が辺ACにBで接しているとして，AC=BDとなるような図を作図できるか，という問題です．
 
AB=a,BC=b，内接円の半径をrとおいて，rについて立式してみますと，R=r^2とおけて，かなりきれいな計算にはなりますが,結局は解けそうもないRの４次方程式になります．（mathematicaをお持ちの方は計算してみてください．お願いします．）たとえばa=1,b=2とすると(たぶん）R^4+2R^3+R^2+3R-6=0になりますが，これは根号と四則で解けますでしょうか？
 
もとの４角形の場合でも，もっと難しい４次方程式がでてくる感じなので，作図でナントカしようという元気がなかなかでないのですが，まだできないと決まったわけではありませんので，引き続き考えてみます．

[阿原 一志]

阿原です．
 
目を覚ましてもう一度考えました．でもあんまり信用しないでください（笑）
＞問題を少し簡単にして，三角形の場合を考えてみました．線分AC上に点Bがあるとして，三角形ACDの内接円が辺ACにBで接してい
＞るとして，AC=BDとなるような図を作図できるか，という問題です．

よく考えると，このような条件を満たす点Dの軌跡はA,Bを焦点としてCを通るような双曲線であって，Bを中心として半径ACの円とこの双曲線の交点は２次方程式で求められますね．（たとえば，A(-a,0),B(0,0),C(b,0)とおけば,Dのx座標は２次方程式で求められます．）従って作図可能です．あとはどうやって作図するかですね.そうとわかれば，なんとか作図ソフトでいけるとおもいます．
 
結構元気でました．もとの「対角線長が等しい円に外接する４角形」のほうも「否定的なほうで」何とかなるような気がしてきました．たぶん双曲線と円との交点で求まりますね．というか，双曲線を考えて,その焦点間の距離と等しい長さの弦を双曲線に張る問題ともいえますね．双曲線の軸と円の中心がずれれば根号と四則ではたぶん求まらないと思います．あとは仕事が終わってから考えます．
 

---

From: kazu...@hotmail.co.jp
To: interacti...@googlegroups.com
Subject: RE: [DyGeo:197] チャレンジ問題への投稿/「円に外接する四辺形で対角線の長さが等しいもの は一般的にどのように作図すれば良いか。」
Date: Tue, 28 Sep 2010 07:19:30 +0900

[Kosaku Nagasaka]

長坂です。

あまり芳しくないので流していませんでしたが，
この問題を軌跡の場合と同じ手法で解こうとすると，
条件不足でまとまりません（不等式条件を入れてQEを使う必要がありそう）。

また，3点ABCをGivenとして，Dを求めさせると解なしとなります。
（任意の3点に対して，軌跡の場合と異なり常に解があるわけでない）
代数方程式を経由する方法では，(かなり?)少し工夫が必要そうです。

> 円に内接する四角形の問題についてもちょっと考えましたが、すぐ
> にはわかりません。しばらく考えてみてわかったら、またご報告し
> ます。

--
Text by Kosaku Nagasaka. [E-mail: naga...@main.h.kobe-u.ac.jp]
<Remember, success comes in "cans", failure comes in "can'ts".>
*****Note that I may read E-mails in the Text format only.*****

[mow]

上原です。

>> 飯島です。
>> 9/25付で, 下記のような投稿がありました。
>> ------------------------------------------------------
>> moonlight? (2010-09-25 (土) 21:28:00)
>>
>> 「円に外接する四辺形で対角線の長さが等しいもの は一般的にどのように作図すれば良いか。」
>> が気になってます。暫く放置している問題ですが如何でしょうか？
>> ------------------------------------------------------

軌跡を使えば，描けないことはないのですが，
ＣＡＢＲＩⅡPlusで作図したデータを添付します。
△ＡＢＣの３辺のうちＡＣが一番長い場合の作図です。
３点Ａ，Ｂ，Ｃを移動させることができます。

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

> 初めまして，群馬の上原と申します。

上原さんからの図がよくイメージできなかったのですが,
カブリでの図と重ねながら, 少し分かってきました。
また, カブリの図の特徴も少し分かってきたものの, まだおぼろげなの
で，教えてください。

> > ------------------------------------------------------
> > moonlight? (2010-09-25 (土) 21:28:00)
> >
> > 「円に外接する四辺形で対角線の長さが等しいもの は一般的にどのように作図す
れば良いか。」
> > が気になってます。暫く放置している問題ですが如何でしょうか？
> > ------------------------------------------------------

> 以下のような図でよいのか分からないのですが
> 3点A,B,C をとり,ACを対角線とした場合，AC=BDの四角形ABCD
> が，１つの円に外接している。
>
> 結局，描き方は分かっていないのですが・・

GCで似たような図を作ったのですが,

> この作図には，AC//AD',AB//CD'となる平行四辺形を作成し，
> Bを中心に，BD'を半径とする円を描きます。

ここが意味がよくわからなかったので, 次のように変えました。
A,B,C をとり, ACの長さを半径とする円をつくり, その上に点Dをとる。
そして, 四角形ABCDを作り，4つの角の二等分線を作り，図のように交
点E,Fをとる。

図の作り方から, この四角形ABCDはいつも対角線の長さは等しい。
そして, E=Fとなる場合が, 円に内接する四角形となる場合である。

ここで, E, F の軌跡を残してみると, ∠Bは変わっていないのだから,
Eの軌跡は角に二等分線上, つまり直線になる。
一方, Fの方は奇妙な曲線となる。

しかも, この曲線と直線は2点で交わっているが, 片方の交点は「その
時刻」に同時に通過するが, もう一方の交点の方は, 「軌跡」が交わっ
ているだけで, 「時刻」はことなっているガセである。

*******

さて, カブリの図に関しては,

> その円上に点Dをとります。
> そして，とりあえず，四角形ABCDを作成し，その４つの角A,B,C,Dの
> 二等分線を作図し，その互いの交点を作成，その軌跡を描きます。
> その交点が求める四角形が外接する円の中心となるわけです。
>
> つまり，その軌跡を作図し，その交点を求めればいいのですが，
> 軌跡が単純な図形ではないので，面倒であるというところかと思
> います。

この「単純でない軌跡」を対象化し, 「交点」を求めることができるよ
うになっているので, もう一つのメールで投稿いただいたカブリの図の
ように, 交点が確定し, 一意的に求める四角形を表示することができる。

というわけでしょうか。

ただ, 図を再生してみても, 軌跡の様子などは再現されないため, どの
ように構成したのかが分からないですね。

> --------------------------------------
> 上原　永護
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愛知教育大学 数学教育講座 飯島康之
Yasuyuki IIJIMA
Aichi University of Education, Department of Mathematics

yii...@auecc.aichi-edu.ac.jp
http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/
tel(fax): 0566-26-2329
Math & Science / fax: 0566-26-2310
----------------------------------------------------------

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

チャレンジ問題への投稿に, 阿原先生も書き込みをしていただき, また
上原先生からのメールでの投稿などもあったので, 別のページとしてま
とめておく方が妥当と思い，

-作図問題
--対角線の長さが等しく, 円に外接する四辺形

という形にぶら下げてみました。

(1) 上原先生, カブリの部分の記述をまとめていただけるとありがた
いのですが。

(2) 数式処理の部分をどなたかにお願いできるといいのですが..。

<201009292140.E...@auecc.aichi-edu.ac.jp> の、
"Re: [DyGeo:206] チャレンジ問題への投稿/「円に外接する四辺形
で対角線の長さが等しいもの は一般的にどのように作図すれば良いか。
」" において、
"Yasuyuki Iijima <yii...@auecc.aichi-edu.ac.jp>"さんは書きま
した：

[mow]

上原です。

> 飯島です。
>
> チャレンジ問題への投稿に, 阿原先生も書き込みをしていただき, また
> 上原先生からのメールでの投稿などもあったので, 別のページとしてま
> とめておく方が妥当と思い，
>
> -作図問題
> --対角線の長さが等しく, 円に外接する四辺形
>
> という形にぶら下げてみました。
>
> (1) 上原先生, カブリの部分の記述をまとめていただけるとありがた
> いのですが。

見えなくしてあった線で必要なものを見えるようにしたものと
CABRIがなくても分かるようにその画面の画像を添付しました。

ほぼ，飯島先生の示された通りです。
それを参考に少しシンプルにすると

A,B,C をとり, Bを中心にACの長さを半径とする円をつくり, その上に点Pをとる。
そして, 四角形ABCDを作り，4つの角の二等分線を作る。
この４つの角の二等分線が１点で交わるときが，もとめる条件を満たす
場合である。（円に内接する四角形の円の中心となる場合）

そこで，
∠P,∠Aの二等分線の交点の軌跡と∠P,∠Cの二等分線の交点の軌跡を描く。
すると，それぞれが曲線となる。
その交点は２点ある。
しかし，∠Bの二等分線上にもなくてはならないので，その点は１点となる。

その点Oから辺BCに垂線をおろし，円を描く。
そして，点A,Cから円に接線を描き，その交点をDとする。

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

ありがとうございます。
上記, Wikiの方に反映してみました。

ところで, 軌跡の設定の

> そこで，
> ∠P,∠Aの二等分線の交点の軌跡と∠P,∠Cの二等分線の交点の軌跡を描く。

の部分なのですが, シンデレラなどでは軌跡の設定は直感的に何の問題
もなく行えるのに対して, なぜかカブリの場合はうまくいかないんです
よ。

シンデレラの場合は
(1) まず作図をしておく。
(2) 「軌跡」を選択する
(3) 動かしたい点を指定する
(5) 軌跡を残す点を指定する

という手続きですぐに軌跡が描かれるのですが, カブリの場合には, ど
のような手続きになるのでしょう。

また, シンデレラの場合も,
上記の手続きにおいて本来は
(1) まず作図をしておく。
(2) 「軌跡」を選択する
(3) 動かしたい点を指定する
(4) 点を動かす対象(直線/円)を指定する
(5) 軌跡を残す点を指定する

のようなのですが, フリーの点を(3)で指定するとうまく指定できない
ので, 予め円などの上にとった点を(3)で指定しています。
フリーな点でも任意の直線や円などの上を動かしたときの軌跡を描かせ
るためのコツのようなものがあるのでしょうか。

[Takuya Kitamoto]

北本です。

下記の円に外接する四角形の件です。
ある本に四角形 ABCD が円に外接するための必要十分条件は、

AB + CD = BC + DA

であると書かれていました。
これをもとにこの問題を考えます。
３点 A, B, C が与えられ、その座標を

A(p,q), B(0,0), C(1,0)

と取るとします。この時条件を満たすように、D を決めます。
B を中心に半径が AC ( =((p-1)^2+q^2)^(1/2) ) である円を
描くと、その円周上に求める点 D があるはず(∵ AC=BD)です
から、点Dの座標は

( r cos(t), r sin(t) )
ただし、r = AC = (p-1)^2+q^2)^(1/2)

とおけます。ここで

AB = (p^2+q^2)^(1/2)
BC = 1
CD = ((r cos(t)-1)^2 + (r sin(t))^2)^(1/2)
DA = ((r cos(t)-p)^2 + (r sin(t)-q)^2)^(1/2)

ですから、これを

AB + CD = BC + DA

に代入します。p, q の数値が与えられていれば上の方程式
は cos(t), sin(t) の方程式です（多項式の方程式ではあり
ませんが）。
sin(t)>0 より sin(t) = (1-cos(t))^(1/2) を上の式に代入
すると、上の式は cos(t) のみの方程式になります。
これは cos(t) の多項式ではありませんが、Mathematica
の Solve を使うと根を求めることが可能です。実際にやっ
てみると、p = 1/3, q = 1/2 の場合は cos(t) = 0.757789
となりました。
幾何的に解くときは、中心が原点で、半径が r の円の円周
上で D を動かし、

CD - DA = BC - AB

となるような点を探せばいいと思います（上式の右辺は p,
q から定まる定数です）。

[mow]

上原です。

> 飯島です。

> の部分なのですが, シンデレラなどでは軌跡の設定は直感的に何の問題
> もなく行えるのに対して, なぜかカブリの場合はうまくいかないんです
> よ。

たとえば，
（１）円を描く
（２）円周上の点を1点とする線分をつくる
（３）その線分の中点を描く
（４）「軌跡」を選択する
（５）中点（軌跡を描きたい点）を選択する
（６）動点となる円周上の点（線分の１端）を選択する
→軌跡が描かれる

という感じでしょうか。

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

確認できました。

シンデレラの場合は
(1) まず作図をしておく。
(2) 「軌跡」を選択する
(3) 動かしたい点を指定する
(5) 軌跡を残す点を指定する

と比較して, 最後の部分の順序が逆ということなんですね。

PS: cabri を久しぶりにインストールしなおしたら, ver.1.2.6.7 で,
Live update が動作したものの, webサイトを紹介するだけ。
webサイトをみると，最新版は 1.4 。
...でも, update の手続きはよくわからない。

評価版のサイズをみると 50M 以上と他のソフトと比較してもかなりで
かい。

もともとそれだけ重装備のソフトということなんでしょうかね。

[阿原 一志]

阿原です．
作図ソフトの絵をTeXに差し込みたいなと思うとき，シンデレラではepsファイルに掃き出します．それで何の不自由もないのですが，ふとMATHEMATICA用（Maple用でもいいですけど）の作図のコマンド群を作ってみてもいいかも，というコトを思いつきました．空想ですが，たとえば
 
>> "DyGeo.m"
va = FreePoint[0,0,name->"A",position->"ne"]
vb = FreePoint[3,0,name->"B",position->"nw"]
vc = FreePoint[2,1,name->"C",position->"se"]
la=Connect[vb,vc,clipped->on]
lb=Connect[vc,va,clipped->on]
lc=Connect[va,vb,clipped->on]
vd=MidPoint[va,vb,name->"D",position->"ne"]
ld=Connect[vc,vd,clipped->on,width->2]
DrawConstruction[va,vb,vc,vd,la,lb,lc,ld]
 
のようなのをMATHEMATICAで走らせると（オプションのつけかたってこんなでしたっけ？），KET-PicでTeX用にpictureファイルを吐き出してくれるようなパッケージならすぐにでもできるような気がしました．また，こういうパッケージ"DyGeo.m"ができた暁には,動的作図ソフトがこういうファイルを吐き出してくれるといいな，と思います．
 
わざわざわざわざこのようなことをする理由ですけど，CASをはさむことによって，作図問題の数式処理的なアプローチも同時進行させることができるのではないかと思ったのです．先日の京都の集会で北本さんがおっしゃっていた路線です.つまりインシデンシーなんかを数値的にはどうか，数式処理的にはどうか，などの問題にアプローチしやすいパッケージとしての存在価値です．
 
作る時間あるかな～～～～
 

[Setsuo Takato]

高遠です．

久しぶりに時間がとれたので，
この問題を，１０年程前に作ったMapleのパッケージを使って
解いてみました．
（作図問題としてではありませんが）

とくにMapleでなくてもいいのですが，
なんか懐かしくて，パッケージをv5用からv11( or later )に
変更して，動くのが確かめられてうれしかったです．
数式処理の基本は多項式にもっていくことだと思います．
多項式になりさえすれば，数式が複雑でも結構行けます．

さて，結論だけを書きます．
（間違っているかもしれませんが）

原点を中心とする半径１の円に外接する四辺形を求めます．

正の定数m1, n1 を m1 n1 <1 を満たすようにとり，
　　（簡単のため，m1< n1 とします）
C1 [(-n1+m1)/(m1*n1-1), -(m1*n1+1)/(m1*n1-1)]
C2[(-n1+m1)/(m1*n1-1), -(m1*n1+1)/(m1*n1-1)]
で点C1, C2 を定め，
後に記すhの4次方程式の解で
　h< (n1-m1)/(n1+m1)
を満たすものをとって
D1[-(1/2)*(h*m1^2-h+m1^2+1)/m1, h]
E1[(1/2)*(h*n1^2-h+n1^2+1)/n1, h]
としたとき，
C1D1C2D2
が求める四辺形になります．

hの4次方程式は
（これが大変な式ですが）

(m1^6*n1^4+m1^2-4*m1^3*n1^5+m1^4*n1^6-8*m1^4*n1^4+6*m1^4*n1^2+6*m1^2*n1^4+12*m1^3*n1^3-4*m1^3*n1+n1^2-4*n1^3*m1+2*m1*n1-4*m1^5*n1^3+2*m1^5*n1^5-8*m1^2*n1^2)*h^4+(8*n1^3*m1-16*m1^4*n1^4-4*n1^2-4*m1^2+4*m1^4*n1^6-8*m1^3*n1^5+4*m1^6*n1^4+16*m1^2*n1^2-8*m1*n1+8*m1^3*n1+8*m1^5*n1^5-8*m1^5*n1^3)*h^3+(-8*m1^3*n1^5-8*m1^3*n1+12*m1*n1+6*m1^6*n1^4-12*m1^4*n1^2-32*m1^4*n1^4-12*m1^2*n1^4+6*n1^2+12*m1^5*n1^5-8*m1^5*n1^3+6*m1^2-32*m1^2*n1^2+8*m1^3*n1^3+6*m1^4*n1^6-8*n1^3*m1)*h^2+(48*m1^2*n1^2-48*m1^4*n1^4-4*m1^2-8*m1*n1+4*m1^6*n1^4+4*m1^4*n1^6+8*n1^3*m1-8*m1^3*n1^5-8*m1^5*n1^3+8*m1^5*n1^5-4*n1^2+8*m1^3*n1)*h+2*m1*n1+44*m1^3*n1^3+6*m1^4*n1^2-4*m1^5*n1^3-4*m1^3*n1^5-24*m1^4*n1^4-24*m1^2*n1^2+m1^6*n1^4+m1^2-4*m1^3*n1-4*n1^3*m1+n1^2+m1^4*n1^6+2*m1^5*n1^5+6*m1^2*n1^4=0

です．

解法原理は初等的です．

************************************************
　　高遠　節夫　（たかとお　せつお）
　　　東邦大学　薬学部（数学教室）
　　　〒274-8510　千葉県船橋市三山 2-2-1
　　　 ＴＥＬ (047)472-2638（直通）
　　　 E-mail　tak...@phar.toho-u.ac.jp
====================================

[入谷 昭]

入谷です。

阿原です．
作図ソフトの絵をTeXに差し込みたいなと思うとき，シンデレラではepsファイルに掃き出します．

Cinderella.2ではepsファイルへの書き出しはなくなりましたので、1.4版ですね。

作図に関しては2.1版も1.4版もさほど違いませんので、1.4版で書き出せばいいですね。

1.4版ならフリーウェアですし。

[mow]

上原です。

> 飯島です。

> PS: cabri を久しぶりにインストールしなおしたら, ver.1.2.6.7 で,
> Live update が動作したものの, webサイトを紹介するだけ。
> webサイトをみると，最新版は 1.4 。

http://www.cabri.com/download-cabri-2-plus.html
をみると
Cabri Geometry II→ Cabri II Plus 1.4 →starting at 60?
Cabri II Plus 1.x →Cabri II Plus 1.2.5 →free →Live update *
Cabri II Plus 1.x →Cabri II Plus 1.4→ free→ Get more details
Cabri II Plus 1.3.x →Cabri II Plus 1.4 →free →Live update *
とあります。
ver.1.2.6.7から1.4にアップデートするのは，３番目のものにあたるの
ではないかと思います。Live updateが該当するのは，２番目なの
で，1.2.5だから，すでに最新版になっているということでそれ以上
アップデートできなのかと思います。
1.4にするには，シリアルナンバーを登録しなければならないのか
と思います。
http://www.cabri.com/download-cabri-2-plus-update.php

[Setsuo Takato]

高遠です．

昨夜お送りした式の一部が間違っていたので
ketpicを使って，TeXからpdfファイルを作ってみました．
（Mapleのlatex出力を整形するのに一番手間取りました．）

[Shinya OHASHI]

おおはしです。

はじめまして！
千葉県立船橋旭高等学校の数学科の教員です。
Mathematicaのパッケージ作りならば，
お手伝いできるかなと思います。
こういう考え方も面白いですね。

2010年10月1日23:44 阿原 一志 <kazu...@hotmail.co.jp>:

> --

[Setsuo Takato]

高遠です．

たびたびすみません．
印刷してみていたら，左右のマージンと式の一部が
おかしいことに気づきました．
差し替えてください．

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

ありがとうございます。

購入先のはずの naoco の方に, シリアルナンバーに関して打診してみ
ました。

cabri2 のサイトに plug-in もありましたが,

http://www.naoco.com/cabri/download/index.htm

の記述もみると, ブラウザにプラグインを入れておけば,
web上に置いてあるcabri 2のデータを表示・操作することができるとい
うことのようですね。

一方, naoco のサイトには

-----------------------
*警告*
CbariⅡPlusで作成したファイルをWebページやマイクロソフトのドキュ
メント（Word,PowerPointなど）に貼り付けることができます。

Plug-inソフトをインストールすると，それらをあたかもCabri上で動か
しているかのように扱うことができます。

Plug-inソフトのみを使って，CabriⅡのライセンスを保有せずに，授業
をしたり人に見せることは許可されていません。
-----------------------
とありますが, 気持ちはわかるけど, 現実的でない警告のように思いま
す。
つまり,

・技術的には, プラグイン等によって, データをブラウザ内で表示可能
にした方が, いろいろな意味で幸せである。
・実際，そういうことは技術的にも実現した。
・でも, それを使う人は, cabri2plusを別途購入していることを必要と
する。

http://www.cabri.com/download-cabri-2-plus.html
の方には, そういう記述はありませんが, そういう制約がないと, 日本
市場での「商売」は成立しないというnaoco社の気持ちもわからないで
もありません。

一方, 技術的には可能なはずのweb対応を「あえてやらない」というこ
とになると, GeoGebraにしろ, シンデレラにしろ「できること」なわけ
ですから, .... 時代遅れになってしまう。

いっそのこと, cabrijavaへの変換のライセンス供与だけを認める(ビュ
ーアとしてのみ使える)方が当然という感じもするけど, .... 。

なかなか難しいものですね。

そういえば, 1.4 って, win版は50M以上あるけど, mac版は 2.5M
1.2 に関しても, mac版は 930kb。

機能拡張をしているのも事実でしょうが, 50Mって, 別のものがいっぱ
いあるのかな?

...後でダウンロードしてみようと思っています。

<44509550C2E344C7A8F79B20B3B43969@mowPC> の、
"Re: [DyGeo:217] チャレンジ問題への投稿/「円に外接する四辺形
で対角線の長さが等しいもの は一般的にどのように作図すれば良いか。
」" において、
""mow" <m...@mail.wind.ne.jp>"さんは書きました：

> --

> このメールは Google グループのグループ「動的幾何学ソフトウエア」の登録者に送
られています。
> このグループに投稿するには、interacti...@googlegroups.com にメールを
送信してください。
> このグループから退会するには、interactivegeometry+unsubscribe@googlegroups.
com にメールを送信してください。
> 詳細については、http://groups.google.com/group/interactivegeometry?hl=ja か
らこのグループにアクセスしてください。
>
>

[入谷 昭]

入谷です

On 2010/10/02, at 17:19, Yasuyuki Iijima wrote:

> 飯島です。
>
> ありがとうございます。
>
> 購入先のはずの naoco の方に, シリアルナンバーに関して打診してみ
> ました。

シリアルナンバーはパッケージに貼ってありますね。
「販売店で買った場合は請求書のコピーを送れ」というようなことが書いてあり（mowmowさんのメールにもあった）
そんなものは今更存在しないのでupdateしないままになっています。
手続き方法がわかりましたら教えてくださいσ(^_^;)

[Setsuo Takato]

高遠です．

私も，DGSからTeX に（きれいな図で）

取り込めたら，と思っています．

実は，６月にコルテンカンプさんにお会いして，

KETpicで使えるような出力をサポートしてほしい，

とお願いしました．現在，PDFはサポートしたのだが，

余り満足していない．

KETpicの図がきれいなので，協力したい，との返事を

もらいました．

早くコンタクトしなければとは思っていますが，

まずは，このMLへのメッセージをお願いしようかな，

と思っています．

-- 

このメールは Google グループのグループ「動的幾何学ソフトウエア」の登録者に送られています。
このグループに投稿するには、interacti...@googlegroups.com にメールを送信してください。
このグループから退会するには、interactivegeom...@googlegroups.com にメールを送信してください。
詳細については、http://groups.google.com/group/interactivegeometry?hl=ja からこのグループにアクセスしてください。

**************************************

高遠節夫

s-ta...@jcom.home.ne.jp（自宅）

tak...@phar.toho-u.ac.jp（大学）

電話　0438-98-6483

**************************************

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

はい。

webでは,

To obtain a new serial number:
- If you bought Cabri II Plus from one of our distributors, you
can either contact him and he will provide you with the number
or send a scanned copy of your invoice at upd...@cabri.com.
- If you bought Cabri II Plus Plus directly with Cabrilog,
please send us your invoice number and the date of the purchase.

You will receive your new licence number shortly and will be
able to activate it from our Evaluation Version.

つまり
- If you bought Cabri II Plus from one of our distributors, you
can either contact him and he will provide you with the number
とありますので, 多分, naoco社が一定数のシリアルナンバーを管理し
ているのだろうと思います。
ユーザー登録等がしてあれば, naoco社が対応するし, そうでなく, 直
接cabri.comの方に問い合わせをする場合には, invoice を送れば対処
するとありますね。

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。
タイトル変えました。
(多分, 今後 cabri 関係の話題がいくつかあるかもしれないと思って)

> そういえば, 1.4 って, win版は50M以上あるけど, mac版は 2.5M
> 1.2 に関しても, mac版は 930kb。
>
> 機能拡張をしているのも事実でしょうが, 50Mって, 別のものがいっぱ
> いあるのかな?

本体は 1.8Mで, 残りはチュートリアルなどのデータでした。
まあ, 1.8Mだって, 以前の版と比べるとかなり大きくなっているともい
えます。

> cabri2 のサイトに plug-in もありましたが,
>
> http://www.naoco.com/cabri/download/index.htm
>
> の記述もみると, ブラウザにプラグインを入れておけば,
> web上に置いてあるcabri 2のデータを表示・操作することができるとい
> うことのようですね。

1.4.3 でhtml保存をしてみました。
(添付しています。)

1.4.3plusのtrial版をインストールしたPCで html保存したページにア
クセスするとそのまま動きました。

別のPCでも, plugin をダウンロードすると動きました。
「動かない」状態のページでは, pngファイルを表示していますが,
「プラグインはこちら」とご丁寧に案内しているわけで, 基本的には
「誰でも使っていいよ」というスタンスのように思います。

また, ページ内の三角形をクリックすると, ファイルの保存などもでき
ました。

ftpで
http://iijima.auemath.aichi-edu.ac.jp/ftp/yiijima/cabri/
に置いてみましたが，
fig ファイルに対するmime タイプを web サーバの方で設定していない
せいか, 「動く図」は表示されていませんが, その手続きをすれば(多
分月曜日あたり)動くようになるでしょう。

つまり, Wikiの中に組み込むことはできないでしょうけど, (いや, や
ろうと思えばできるかもしれない。Wiki上には, データファイルを置く
だけなんだからライセンス的な問題はなさそう。pluginを入れるかどう
かはユーザーの側の問題なわけだし。)

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

> 飯島です。

> ftpで
> http://iijima.auemath.aichi-edu.ac.jp/ftp/yiijima/cabri/
> に置いてみましたが，
> fig ファイルに対するmime タイプを web サーバの方で設定していない
> せいか, 「動く図」は表示されていませんが, その手続きをすれば(多
> 分月曜日あたり)動くようになるでしょう。
>
> つまり, Wikiの中に組み込むことはできないでしょうけど, (いや, や
> ろうと思えばできるかもしれない。Wiki上には, データファイルを置く
> だけなんだからライセンス的な問題はなさそう。pluginを入れるかどう
> かはユーザーの側の問題なわけだし。)
>

(1) Mime type を設定しました。

http://iijima.auemath.aichi-edu.ac.jp/ftp/yiijima/cabri/triangle.
html

が動くようになりました。

(2) wiki に機能を追加しました。

http://iijima.auemath.aichi-edu.ac.jp/dgswiki/pukiwiki.php?cabri
がサンプルです。

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

cabri に関しては, naoco の他に, IESも扱っているようですね。
どちらから購入したかなども問題のようです。

一方, naoco の側では販売記録は残っているようで, メールで打診して
みるのも手かもしれません。

ただ, 同様の手続きをする方自体, 少ないようですね。

[入谷 昭]

入谷です。

招待をしたいメンバーがいます。
民間の方ですが、シンデレラとCabriII,Maximaを使っています。
先日、何かの折りに書いた、遊具を作っている会社の方です。

NBC0...@nifty.ne.jp

です。
私が招待手続きをしてしまってよいでしょうか。
それとも、阿原先生にお願いした方がいいですか？

[阿原 一志]

入谷先生
 
> 私が招待手続きをしてしまってよいでしょうか。
入谷先生．よろしくお願いいたします．

新メンバー招待に関するルールはまだまったく考えていません．個人的意見としては，メンバーの皆さんの良識の範囲でよさそうな方をご招待いただければと思います．メーリスですので，本人が脱退したいと思えばいつでもできるはずです．万が一スパム風の書き込みが続いた場合が問題ですが，招待なさった方には責任はなく，管理人からスパム風の書き込みへの注意を申し上げる程度しかできないと思います．なお，特定のメンバーを強制退会させたり，特定のメンバーをROM（読むだけで書き込めない）会員にすることは可能ですのでご存知おきください．
 
> Subject: [DyGeo:228] メンバーの招待
> From: hann...@mac.com
> Date: Mon, 4 Oct 2010 18:52:40 +0900
> To: interacti...@googlegroups.com

> --

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

垂心の軌跡(2)
を追加しました。

http://iijima.auemath.aichi-edu.ac.jp/dgswiki/pukiwiki.php?%BF%
E2%BF%B4%A4%CE%B5%B0%C0%D7_%A4%BD%A4%CE2

たしか, デカルトの葉線でしたっけ。

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

http://iijima.auemath.aichi-edu.ac.jp/dgswiki/pukiwiki.php?A%A2%
AA%B8%D0%B4%DF%A2%AAB_%BA%C7%C3%BB%CC%E4%C2%EA%281%29

A→湖岸→B_最短問題(1)
A→湖岸→B_最短問題(2)
を追加してみました。

簡単そうで, 実は難しいという問題ですが, いろいろな取り組み方が
ある問題でもあります。

もともと，「円」ではなくて「直線」の場合には簡単に解ける中2用の
問題ですが, 「円」に変えたとたんに, 難しくなります。
また, 解き方なども多様になる問題ともいえます。

今年の冬に, ある外国人の方と議論したときにこの問題を持ち出したと
ころ, この問題は(1),(2) のように, 内側と外側で難しさが変わるとか,
片方は4次式だが, 片方はそうではなく, たしかMonthly に関連する論
文が掲載されていたとか, 話題になった素材です。

これらはCASで簡単に処理できるでしょうか。

[Takuya Kitamoto]

北本です。

下記の最短問題についてです。

点P は円周上の点ですから、P = (q cos(t), q sin(t)) と取ることが
出来ます。そうすると、最小化する距離 r = AP + PB は t の関数として
表せます。そこで、dr/dt を計算してやってそれが 0 となる t の値を計算
してやれば r が極値をとる t の値が求まります。あとは、この t を
r に代入して、一番小さい値が r の最小値です。

dr/dt は √を含んだ、cos(t), sin(t) の有理式になりますが、

(1) 有理式の分子の部分だけを取り出し、これが 0 となる時を考える。
(2) √ はグレブナー基底を用いて消去。
(3) cos(t), sin(t) は cos(t)^2+sin(t)^2 = 1 の関係式とグレブナー
基底を用いて、sin(t) を消去し、cos(t) の多項式にする。

とすれば、cos(t) の多項式となりますので、この根を数値的に計算してやれ
ば、cos(t) の値が求まります。
これが r が極値をとる cos(t) の値になるので、これを r に代入して
極値を計算してやると、この中の一番小さいものが r の最小値です。

文章で説明してもわかりづらいと思うので、実際に Mathematica で
解いたものを添付します。

問題１ -> saitankyori_1_nb.pdf
問題２ -> saitankyori_2_nb.pdf

ただし、問題１に関しては、飯島さんの問題設定から y 座標を
5 程上にずらしています（円の中心が原点にあった方が座標が取り
やすいので）。

本当はこういう数式処理による解答から、幾何的に解くには
どうしたら良いかというヒントがわかればいいのでしょうが、私
にはちょっと見当がつきません。

(2010/10/04 21:56), Yasuyuki Iijima wrote:
> 飯島です。
>
> http://iijima.auemath.aichi-edu.ac.jp/dgswiki/pukiwiki.php?A%A2%
> AA%B8%D0%B4%DF%A2%AAB_%BA%C7%C3%BB%CC%E4%C2%EA%281%29
>
> A→湖岸→B_最短問題(1)
> A→湖岸→B_最短問題(2)
> を追加してみました。
>
> 簡単そうで, 実は難しいという問題ですが, いろいろな取り組み方が
> ある問題でもあります。
>
> もともと，「円」ではなくて「直線」の場合には簡単に解ける中2用の
> 問題ですが, 「円」に変えたとたんに, 難しくなります。
> また, 解き方なども多様になる問題ともいえます。
>
> 今年の冬に, ある外国人の方と議論したときにこの問題を持ち出したと
> ころ, この問題は(1),(2) のように, 内側と外側で難しさが変わるとか,
> 片方は4次式だが, 片方はそうではなく, たしかMonthly に関連する論
> 文が掲載されていたとか, 話題になった素材です。
>
> これらはCASで簡単に処理できるでしょうか。
>
>
> ----------------------------------------------------------
> 愛知教育大学 数学教育講座 飯島康之
> Yasuyuki IIJIMA
> Aichi University of Education, Department of Mathematics
>
> yii...@auecc.aichi-edu.ac.jp
> http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/
> tel(fax): 0566-26-2329

> Math& Science / fax: 0566-26-2310
> ----------------------------------------------------------
>

[Yasuyuki Iijima]

飯島です。

以下の解答では,
r(t) = AP + PB
を tの式で表現し, それを微分するというのが基本的な方針かと思いま
す。

> 本当はこういう数式処理による解答から、幾何的に解くには
> どうしたら良いかというヒントがわかればいいのでしょうが、私
> にはちょっと見当がつきません。

「幾何的に解く」というのはいろいろな意味がありうるでしょうが,
たとえば, 「軌跡 = 条件を満たす点の集合」という観点から考えると,
少なくとも次のような考え方はあると思います。

(1) AP + PB = k となる集合は楕円。つまり, 等高線のような感じで楕
円の族が作れる。このとき, 与えられた円と楕円族の交点を考えたとき,
1点のみで接するような楕円が最も短いものとして得られるはず。

(2) 円の上の点Pで接線を引いてみる。
最短のときには入射角と反射角が同じになるはずと考えると, ∠
APBの二等分線と接線が直交するはず。

> --

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