Résolution équation avec des puissances

[Samuel DEVULDER]

Vu que le test d'entrée a Oxford a eu un certain succès, sauriez vous
trouver tous les x,y réels tels que

16^(x²+y) + 16^(y²+x) = 1 ?

(la solution m'a étonnée).

sam *.oO*( _énoncé putaclic_ *)*

[Samuel DEVULDER]

Vu que le test d'entrée a Oxford a eu un certain succès, sauriez vous
trouver tous les x,y réels tels que:

16^(x²+y) + 16^(y²+x) = 1 ?

(la solution m'a étonnée).

sam .oO(énoncé putaclic)

[Olivier Miakinen]

Salut !

Le 26/10/2022 20:10, Samuel DEVULDER a écrit :
> Vu que le test d'entrée a Oxford a eu un certain succès, sauriez vous
> trouver tous les x,y réels tels que:
>
> 16^(x²+y) + 16^(y²+x) = 1 ?

Déjà, chacun des deux termes de gauche est strictement positif.
Pour que leur somme vale 1, il faut que chacun soit strictement plus
petit que 1, donc que (x²+y) et (y²+x) soient tous les deux négatifs.

On a alors :
0 < x² < -y
0 < y² < -x

Pour ne pas m'embêter avec des nombres négatifs, je vais poser u=-x
et v = -y. L'équation devient : 16^(u²-v) + 16^(v²-u) = 1.

Sans perte de généralité, je vais supposer 0 < u ≤ v : à la fin, si
on trouve une solution (x=-u, y=-v), on saura qu'il y a aussi la
solution (x=-v, y=-u).

Alors on a 0 < v² < u ≤ v, donc v² < v, ce qui n'est possible que si
v < 1, et donc aussi u < 1.

+--------------------+
| 0 < v² < u ≤ v < 1 |
+--------------------+


Pour commencer, je vais chercher s'il existe des solutions avec u = v.
Dans ce cas, l'équation se simplifie :
16^(u²-u) + 16^(u²-u) = 1
16^(u²-u) = 1/2 = 16^(-1/4)
u²-u = -1/4
4u² - 4u + 1 = 0
(2u-1)² = 0
u = 1/2
x = y = -1/2

On vérifie :

16^(x²+y) + 16^(y²+x)

= 16^(1/4 - 1/2) + 16^(1/4 - 1/2)
= 16^(-1/4) × 2
= (1/2) × 2
= 1

Il reste à savoir s'il peut exister des solutions où x est différent de y.
J'aurais tendance à penser que non, du fait que l'équation 4u² - 4u + 1 = 0
admet une racine double. Mais c'est juste une intuition, pas une preuve.

--
Olivier Miakinen

[Michel Talon]

Le 26/10/2022 à 20:09, Samuel DEVULDER a écrit :
> Vu que le test d'entrée a Oxford a eu un certain succès, sauriez vous
> trouver tous les x,y réels tels que
>
>     16^(x²+y) + 16^(y²+x) = 1 ?

Sauf erreur le membre de gauche vaut
2cosh(log(16)(x^2-y^2+y-x))exp(log(16)(x(1+x)+y(1+y))/2)
Mais 2cosh()>=2 donc il faut que x(1+x) et y(1+y) < 0 et donc
-1<x<0 et idem pour y. Alors |x(1+x) <=1/4 et idem pour y.
Or exp(-log(16)(1/4+1/4)/2)=1/2 si bien que la seule solution est
x=y=-1/2 qui est juste à l'extremum.

--
Michel Talon

[Samuel DEVULDER]

Le 27/10/2022 à 00:23, Olivier Miakinen a écrit :
> Il reste à savoir s'il peut exister des solutions où x est différent de y.
> J'aurais tendance à penser que non, du fait que l'équation 4u² - 4u + 1 = 0
> admet une racine double. Mais c'est juste une intuition, pas une preuve.

Et oui, est-ce la seule solution ?

réponse: plus tard.

[Olivier Miakinen]

Le 27/10/2022 10:01, Samuel DEVULDER m'a [presque] répondu :

>
>> Il reste à savoir s'il peut exister des solutions où x est différent de y.
>> J'aurais tendance à penser que non, du fait que l'équation 4u² - 4u + 1 = 0
>> admet une racine double. Mais c'est juste une intuition, pas une preuve.
>

> [Eh] oui, est-ce la seule solution ?

Michel Talon a donné une réponse très courte mais définitive, que je n'ai
pas encore comprise mais qui prouverait que oui c'est la seule solution.

Si tu ne la vois pas, c'est peut-être parce qu'il utilise Free dont les
différents serveurs semblent avoir du mal à se synchroniser.

> réponse: plus tard.

C'est ça. Si tu n'as pas encore l'article de Michel Talon, tu devrais l'avoir
plus tard (généralement tous les articles finissent par arriver en moins d'une
semaine).


--
Olivier Miakinen

[Samuel DEVULDER]

Le 27/10/2022 à 00:29, Michel Talon a écrit :
>>     16^(x²+y) + 16^(y²+x) = 1 ?
>
> Sauf erreur le membre de gauche vaut
> 2cosh(log(16)(x^2-y^2+y-x))exp(log(16)(x(1+x)+y(1+y))/2)

ouch! C'est de la grosse artillerie là (log(16) veut dire log base 16 je
suppose).

D'où ca t'es sorti ? C'est une excellente idée car ca transforme une
somme en produit.


> Mais 2cosh()>=2 donc

exp(cste * (x(x+1) + y(y+1))) <= 1/2

> il faut que x(1+x) et y(1+y) < 0

^^ ? ? ? ?

Je ne vois pas. A ce point on sait juste qu'il faut que x(1+x)+y(1+y),
mais pas de "donc" sur x *et* y.

> et donc -1<x<0 et idem pour y.

le donc est trop fort. C'est une condition suffisante, mais pas
nécessaire à une somme négative. Pour l'instant on a pas séparé x de

y.


Alors |x(1+x) <=1/4 et idem pour y.
> Or exp(-log(16)(1/4+1/4)/2)=1/2 si bien que la seule solution est
> x=y=-1/2 qui est juste à l'extremum.

Il y a de l'idée mais je pense qu'on est passé trop vite d'une condition
sur la somme de x(x+1)+y(y+1)

sam.

[Samuel DEVULDER]

Le 27/10/2022 à 10:39, Olivier Miakinen a écrit :

> Michel Talon a donné une réponse très courte mais définitive, que je n'ai
> pas encore comprise mais qui prouverait que oui c'est la seule solution.
>
> Si tu ne la vois pas, c'est peut-être parce qu'il utilise Free dont les
> différents serveurs semblent avoir du mal à se synchroniser.

En fait c'est que je réponds dans l'ordre. En écrivant ta réponse je
n'avais pas encore lu celle de Michel.

Par contre elle me semble inexacte. Il sépare le sort de x de celui de y
trop vite en faisant d'une contrainte suffisante sur x et y en un truc
necessaire. (je lui ai répondu).

>> réponse: plus tard.

Pour info j'ai pas de cosh() dans ma réponse. Mais l'idée de passer de
la somme à un produit est la bonne.

sam.

[Samuel DEVULDER]

Le 27/10/2022 à 00:29, Michel Talon a écrit :

>>     16^(x²+y) + 16^(y²+x) = 1 ?
>
> Sauf erreur le membre de gauche vaut
> 2cosh(log(16)(x^2-y^2+y-x))exp(log(16)(x(1+x)+y(1+y))/2)

ouch! C'est de la grosse artillerie là (log(16) veut dire log base 16 je
suppose).

D'où ca t'es sorti ? C'est une excellente idée car ca transforme une
somme en produit.


> Mais 2cosh()>=2 donc

exp(cste * (x(x+1) + y(y+1))) <= 1/2

> il faut que x(1+x) et y(1+y) < 0

^^ ? ? ? ?

Je ne vois pas. A ce point on sait juste qu'il faut que x(1+x)+y(1+y),
mais pas de "donc" sur x *et* y.

> et donc -1<x<0 et idem pour y.

le donc est trop fort. C'est une condition suffisante, mais pas
nécessaire à une somme négative. Pour l'instant on a pas séparé x de

y.


Alors |x(1+x) <=1/4 et idem pour y.
> Or exp(-log(16)(1/4+1/4)/2)=1/2 si bien que la seule solution est
> x=y=-1/2 qui est juste à l'extremum.

Il y a de l'idée mais je pense qu'on est passé trop vite d'une condition

sur la somme de x(x+1)+y(y+1) à un truc sur x *et* y.

sam.

[Samuel DEVULDER]

Le 27/10/2022 à 00:29, Michel Talon a écrit :

>>     16^(x²+y) + 16^(y²+x) = 1 ?
>
> Sauf erreur le membre de gauche vaut
> 2cosh(log(16)(x^2-y^2+y-x))exp(log(16)(x(1+x)+y(1+y))/2)

ouch! C'est de la grosse artillerie là (log(16) veut dire log base 16 je
suppose).

D'où ca t'es sorti ? C'est une excellente idée car ca transforme une
somme en produit.


> Mais 2cosh()>=2 donc

exp(cste * (x(x+1) + y(y+1))) <= 1/2

> il faut que x(1+x) et y(1+y) < 0

^^ ? ? ? ?

Je ne vois pas. A ce point on sait juste qu'il faut que x(1+x)+y(1+y)<0,

mais pas de "donc" sur x *et* y.

> et donc -1<x<0 et idem pour y.

le donc est trop fort. C'est une condition suffisante, mais pas
nécessaire à une somme négative. Pour l'instant on a pas séparé x de

y.


Alors |x(1+x) <=1/4 et idem pour y.
> Or exp(-log(16)(1/4+1/4)/2)=1/2 si bien que la seule solution est
> x=y=-1/2 qui est juste à l'extremum.

[Michel Talon]

Le 27/10/2022 à 12:12, Samuel DEVULDER a écrit :
> (log(16) veut dire log base 16 je suppose).
> D'où ca t'es sorti ? C'est une excellente idée car ca transforme une
> somme en produit.

C'est log base e de 16. C'est la formule a^b=e^(b log(a))
la transformation est un grand classique en physique:
e^a + e^b = e^(a+b)/2 (e^(a-b)/2+e^(b-a)/2) =2cosh(a-b)/2 e^(a+b)/2
et idem pour e^a-e^b avec 2sh, idem pour des puissances imaginaires et
des cos et sin.

> il faut que x(1+x) et y(1+y) < 0
^^ ? ? ? ?
> Je ne vois pas. A ce point on sait juste qu'il faut que
x(1+x)+y(1+y)<0, mais pas de "donc" sur x *et* y.

Là j'ai été imprudent, j'ai pensé qu'il fallait minimiser
l'exponentielle le plus possible ...

Je recours à un argument tordu. Posant x=-1/2+xi et y=-1/2+eta
comme 16^-1/4=1/2 l'équation s'écrit
1/2[ 16^xi² 16^(eta -xi) + 16^eta² 16^(xi-eta) ] =1
La somme des deux termes exponentiels vaut donc 2 tandis que le produit vaut
p= 16^(xi²+eta²)
Ils sont donc solution réelles de l'équation du second degré u^2 -2u
+p=0 dont le discriminant réduit vaut 1-p^2. Il faut donc |p|<1 ce
qui vu la formule pour p implique xi=eta=0 CQFD


--
Michel Talon

[Samuel DEVULDER]

Le 27/10/2022 à 14:59, Michel Talon a écrit :
> Je recours à un argument tordu. Posant x=-1/2+xi et y=-1/2+eta
> comme 16^-1/4=1/2 l'équation s'écrit
> 1/2[ 16^xi² 16^(eta -xi) + 16^eta² 16^(xi-eta) ] =1

^^^^^^^^^^^^
on a x²+y = (-1/2+xi)²-1/2+eta = 1/4 - xi + xi² -1/2 + eta = -1/4
+ xi² + eta - xi
et x+y² = -1/2 + xi + (eta - 1/2)² = -1/2 + xi + eta² -eta + 1/4 = -1/4
+ eta² - eta + xi

ok, c'est bon

> La somme des deux termes exponentiels vaut donc 2 tandis que le produit vaut
> p= 16^(xi²+eta²)

ok

> Ils sont donc solution réelles de l'équation du second degré u^2 -2u
> +p=0 dont le discriminant réduit vaut 1-p^2. Il faut donc |p|<1 ce
> qui vu la formule pour p implique xi=eta=0 CQFD

oui ca à l'air ok. Super technique mais ok.

Moi j'ai beaucoup plus simple comme démonstration même si ca fait la
même chose dans le fond...

.. suspens ...
.. suspens ...
.. suspens ...
.. suspens ...
.. suspens ...
.. suspens ...
.. suspens ...
.. suspens ...
.. suspens ...

On veut que 16^(x²+y) + 16^(x+y²) = 1 qui est une somme qui nous emm**.
Le truc ici est de passer (encore une fois) par l'inégalité des
moyennes: (a+b)/2 >= sqrt(ab), donc a+b >= 2 sqrt(ab).

Donc 1 = 16^(x²+y) + 16^(x+y²) >= 2 sqrt( 16^(x²+y) * 16^(x+y²)) = 2
sqrt(16^(x²+y+x+y²)) = 2 * 16 ^ (x²+x + y²+y)/2 or 2 = 16^(1/4), notre
inégalité devient: 1 >= 16^(1/2 + x²+x + y²+y)/2 (on exprime tout en
puissance de la 16 [Lemme de Kronenbourg])

On prends le log base 16 pour y voir plus Claire (qu'est ce qu'elle vient
faire là?)

0 >= 1/2 + x²+x + y²+y = x²+x+1/4 + y²+y+1/4 (car 1/2 = 1/4
+ 1/4)
0 >= (x+1/2)² + (y+1/2)²

Ce qui impose (x+1/2)² + (y+1/2)² = 0, qui implique tout bêtement
x=y=-1/2.

CQFD (sans grosse artillerie, mais un pack de 6. A la votre!)

[ast]

Le 26/10/2022 à 20:09, Samuel DEVULDER a écrit :

Il me manque plusieurs messages sur ce fil
C'est free qui déconne ?

J'ai vu la solution ici
https://groups.google.com/g/fr.sci.maths/c/kSPS1AALK8E