Die Antinomie aktualer Unendlichkeit vor und nach Cantor
albrecht
Der Begriff der aktual unendlichen Menge kann am Beispiel der (aktual
unendlichen) Menge der natürlichen Zahlen ad absurdum geführt werden.
Der Begriff der aktual unendlichen Menge |N, also das aktual
vollständige Vorhandensein aller ihrer Elemente, impliziert die aktual
vollständig vorhandene Stellenanzahl die notwendig ist, um alle
natürlichen Zahlen darzustellen.
Diese notwendige Stellenanzahl ist identisch mit der Vereinigungsmenge
aller Stellenindices-Mengen aller natürlichen Zahlen.
Die Menge der Stellenindices einer natürlichen Zahl sind die Indices
der signifikanten Stellen der Zahl, also z.B. in dezimaler Darstellung
nat. Zahl -> Indices der Stellen
6 -> {1}
17 -> {1, 2}
742 -> {1, 2, 3}
1589 -> {1, 2, 3, 4}
etc.
allgemein
n -> S(n) = {1, 2, 3, ..., m} mit m = f(n)
Zur Vereinfachung sei die unäre Stellenschreibweise
(also 1 = |, 2 = ||, 3 = |||, ... mit der einzigen unären Ziffer "|")
der natürlichen Zahlen angenommen.
Hier entspricht die Menge der Stellenindices S(u) einer Zahl u der
Menge S(u) = {|, ||, |||, ... u}.
Also gilt
(1) card(S(u)) = u .
Die Menge aller Stellenindices aller natürlichen Zahlen S(total) ist
im Umfang unendlich, also
(2) card(S(total)) = card(|N) .
Gehen wir nun auf eine binäre Darstellung der natürlichen Zahlen
über, ändert sich an obiger Aussage (2) nichts. Der Zusammenhang
zwischen natürlicher Zahl b und deren Stellenindices S(b) wird nun zu:
(3) card(S(b)) = [log(2, b)] + 1 (mit [] für Gaussklammer und log(2,
x) für den Logarithmus von x zur Basis 2).
Es soll ausdrücklich noch einmal betont werden:
(2) card(S(total)) = card(|N)
gilt auch für die binäre (und für jede andere) Stellendarstellung
der natürlichen Zahlen.
Nun wird behauptet, die Menge S(total) ist unendlich (sowohl unär als
auch binär und allg. für jede Stellendarstellung) weil unendlich
viele endliche Mengen vereinigt werden.
Diese Anschauung ist falsch.
Die Anzahl der vereinigten Mengen kann hier keine Rolle spielen,
entscheidend ist einzig der Umfang der größten der vereinigten
Mengen. Die Menge S(total) könnte nur im Umfang unendlich sein, wenn
mindestens eine natürliche Zahl unendlich viele Stellenindices
besitzen müsste, also der Umfang der Menge der Stellenindices
mindestens einer natürlichen Zahl unendlich ist.
Anschauliche Begründung:
Gehen wir wieder von der binären Darstellung der natürlichen Zahlen
aus und fragen wir nach einem Zählwerk, das alle natürlichen Zahlen,
also jedes Element von |N, darstellen kann. Das Zählwerk besteht aus
Zählrädern, von denen jedes zwei Stellungen annehmen kann: 0 oder 1.
Die Frage ist nun, wieviele Zählräder dieses Zählwerk besitzen muß
um alle natürlichen Zahlen darstellen zu können. Die Antwort ist
unbestritten: es müssen unendlich viele Zählräder im Zählwerk
vorhanden sein. Für die Menge der Zählräder S(total) muß also
wieder gelten:
card(S(total)) = card(|N).
Wenn nun unendlich viele Zählräder vorhanden sein müssen um alle
natürlichen Zahlen darstellen zu können, muß es eine natürliche
Zahl geben, für die alle Zählräder den Wert 1 annehmen. Denn sonst
würde man nicht unendlich viele Zählräder benötigen. Die Anzahl der
Zählräder ergibt sich ja nur einzig und allein aus der Forderung,
dass das Zählwerk alle signifikanten (also alle jemals im Wert von 0
verschiedenen) Stellen aller natürlichen Zahlen enthalten soll.
Zusammenfassung:
Da es keine natürliche Zahl "unendlich" gibt, gibt es auch keine
Anzahl "unendlich". Damit gibt es auch keine Menge (eine Menge ist eine
aktuale Gesamtheit) deren Anzahl von Elementen unendlich ist.
Aktual unendlich viele natürliche Zahlen ohne eine unendlich große
natürliche Zahl ist eine absurde Idee - genauso wie eine unendlich
große natürliche Zahl eine absurde Idee ist. Die Gesamtheit der
natürlichen Zahlen ist nur potentiell unendlich denkbar ohne auf
Widersprüche zu stossen.
Indem bei der Vorstellung von der Menge der natürlichen Zahlen die
Anzahl der Stellen als potentiell unendlich (unbeschränkt) gedacht
wird, wird bei der Vorstellung von einer aktual unendlichen Menge |N
potentielles (Unbeschränktheit der Stellenanzahl) und aktuales
Unendlich ("Mächtigkeit" der Menge) vermischt. Da die Mathematik für
beide Begriffe nur die Formalisierung
für alle n Element |N
oder
für alle n = 1, 2, 3, ...
kennt
kann die Mathematik diesen Unterschied nicht formalisiern und damit
auch nicht detektiern.
Der Ausdruck n -> oo aus der Analysis beschreibt immer nur das
potentielle Unendliche.
Cantors Beitrag zur Mathematik war leider vor allem nur der, diese seit
Jahrtausende bekannten Zusammenhänge zu verschleiern und die Grundlage
zu einem Axiomensystem zu legen, dass von zwei möglichen, nämlich
logisch korrekten Schlußweisen immer nur eine zulässt (per Dogma), um
seine Widersprüchlichkeit nicht offenbar werden zu lassen.
Schönen Gruß
Albrecht Storz
Christian Kortes
> Gehen wir wieder von der binären Darstellung der natürlichen Zahlen
> aus und fragen wir nach einem Zählwerk, das alle natürlichen Zahlen,
> also jedes Element von |N, darstellen kann. Das Zählwerk besteht aus
> Zählrädern, von denen jedes zwei Stellungen annehmen kann: 0 oder 1.
> Die Frage ist nun, wieviele Zählräder dieses Zählwerk besitzen muß
> um alle natürlichen Zahlen darstellen zu können. Die Antwort ist
> unbestritten: es müssen unendlich viele Zählräder im Zählwerk
> vorhanden sein. Für die Menge der Zählräder S(total) muß also
> wieder gelten:
> card(S(total)) = card(|N).
>
> Wenn nun unendlich viele Zählräder vorhanden sein müssen um alle
> natürlichen Zahlen darstellen zu können, muß es eine natürliche
> Zahl geben, für die alle Zählräder den Wert 1 annehmen. Denn sonst
> würde man nicht unendlich viele Zählräder benötigen.
Magst du das mal ausführlicher begründen?
> Die Anzahl der
> Zählräder ergibt sich ja nur einzig und allein aus der Forderung,
> dass das Zählwerk alle signifikanten (also alle jemals im Wert von 0
> verschiedenen) Stellen aller natürlichen Zahlen enthalten soll.
Es wird aber nicht gefordert, dass jedem Zählwerkzustand eine natürliche
Zahl entspricht.
albrecht
Nein.
Gruß
AS
albrecht
Hm, jetzt komme ich doch etwas ins Denken.
Welche Zustände sind den denkbar, denen keine natürliche Zahl
entspricht? Eigentlich keine. Aber andererseits müsste diese Zählwerk
doch auch Einstellungen besitzen, die als periodische rationale oder
als irrationale Zahlen in [0, 1[ interpretierbar wären.
Da wären wir also wieder genau an dem Punkt, wo bei der Liste mit
vollständiger kombinatorischer Belegung aufgehört wurde.
Gruß
Albrecht Storz
Rainer Rosenthal
albrecht wrote:
>
> Hm, jetzt komme ich doch etwas ins Denken.
> Da wären wir also wieder genau an dem Punkt, wo bei der Liste mit
> vollständiger kombinatorischer Belegung aufgehört wurde.
>
Das ist einfach eine Spezialversion des berühmten Halteproblems.
"Halt die Klappe!" nützt oft nichts.
RR
albrecht
(A) Um eine aktual unendliche Menge (Cantor) von natürlichen Zahlen zu
haben, müssen aktual unendlich viele Stellen zur Belegung mit Ziffern
bereitgestellt werden.
(B) Es gibt keine aktual unendliche natürliche Zahl (Peano-Axiome).
(A) und (B) -> Folglich benötigt man für die aktual unendliche Menge
der natürlichen Zahlen aktual unendlich viele Stellen - ohne dass
aktual unendlich viele Stellen mit Werten =/= 0 belegt werden.
"Fang mal an zu denken!" könnte nützen.
AS
albrecht
Christian Kortes wrote:
> albrecht wrote:
> > Gehen wir wieder von der binären Darstellung der natürlichen Zahlen
> > aus und fragen wir nach einem Zählwerk, das alle natürlichen Zahlen,
> > also jedes Element von |N, darstellen kann. Das Zählwerk besteht aus
> > Zählrädern, von denen jedes zwei Stellungen annehmen kann: 0 oder 1.
> > Die Frage ist nun, wieviele Zählräder dieses Zählwerk besitzen muß
> > um alle natürlichen Zahlen darstellen zu können. Die Antwort ist
> > unbestritten: es müssen unendlich viele Zählräder im Zählwerk
> > vorhanden sein. Für die Menge der Zählräder S(total) muß also
> > wieder gelten:
> > card(S(total)) = card(|N).
> >
> > Wenn nun unendlich viele Zählräder vorhanden sein müssen um alle
> > natürlichen Zahlen darstellen zu können, muß es eine natürliche
> > Zahl geben, für die alle Zählräder den Wert 1 annehmen. Denn sonst
> > würde man nicht unendlich viele Zählräder benötigen.
>
> Magst du das mal ausführlicher begründen?
Ein Versuch: Die Anzahl der notwendigen Zählräder, um alle
natürlichen Zahlen darstellen zu können ergibt sich nur aus der
Anzahl der Zählräder für signifikante Stellen. Warum sollten
Zählräder notwendig sein, die _immer_ , also für jede natürliche
Zahl, nur den Wert 0 beinhalten, um alle natürlichen Zahlen
darzustellen? Interessant für diese Betrachtungen sind natürlich
immer nur die "führenden" Nullen, also z.B. für
1 = ...000001
die links stehenden.
Für die Stellen bei natürlichen Zahlen, die immer nur den Wert 0
beinhalten, müsste ich keine Zählräder bereitstellen, denn wenn ihr
Wert immer Null ist, sind sie nicht signifikant, ich benötige ihre
Information nicht.
Man benötigt also unendlich viele Zählräder, weil jedes von ihnen
einen Wert =/= 0 annehmen kann, und man, wenn man nicht alle unendlich
viele hätte, nicht alle natürlichen Zahlen darstellen könnte.
Damit könnte man aber eine unendliche Zahl darstellen, die Nachfolger
einer endlichen natürlichen Zahl sein müsste.
Gruß
Albrecht Storz
>
> > Die Anzahl der
> > Zählräder ergibt sich ja nur einzig und allein aus der Forderung,
> > dass das Zählwerk alle signifikanten (also alle jemals im Wert von 0
> > verschiedenen) Stellen aller natürlichen Zahlen enthalten soll.
>
> Es wird aber nicht gefordert, dass jedem Zählwerkzustand eine natürliche
> Zahl entspricht.
Wohl doch.
Roland Franzius
>
>
> "Fang mal an zu denken!" könnte nützen.
Für manchen kommt diese nützliche Aufforderung zu spät. Es ist erwiesen,
dass man nach dem dritten Lebensjahr nicht mehr mit dem Denken anfangen
kann.
--
Roland Franzius
albrecht
(A) Um eine aktual unendliche Menge (nach Cantor) von natürlichen
Zahlen zu haben, müssen aktual unendlich viele Stellen zur Belegung
mit Ziffern bereitgestellt werden. Die aktual unendliche Menge der
natürlichen Zahlen ist ohne unendlich viele Stellen nicht logisch
denkbar.
(B) Es kann bekanntlich keine aktual unendliche natürliche Zahl geben
(Peano-Axiome).
(A) und (B) -> Folglich benötigt man für die aktual unendliche Menge
der natürlichen Zahlen aktual unendlich viele Stellen - ohne dass
aktual unendlich viele Stellen mit Werten =/= 0 belegt werden.
"Fang mal an zu denken!" könnte nützen.
AS
Carsten Schultz
An Stelle Deines Aktual-Potentiell-Geschwurbels solltest Du mal über
den Unterschied zwischen unendlich großen und unendlich vielen
natürlichen Zahlen nachdenken.
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.
Michael Klemm
.......................
> (nach Cantor)
......................
Nach dem was WM vermutlich richtig abgeschrieben hat, müßte Cantor
1 := (1)
2 := (1, 1)
3 := (1, 1, 1)
...................
definieren und dann als Menge der natürlichen Zahlen die Zusammenfassung
aller dieser Objekte zu einer Menge nehmen. Die Zusammenfassung ist erlaubt,
weil die Vorschrift (1, ..., 1) -> (1, ..., 1, 1) eindeutig festlegt,
welche
Objekte zusammengefasst werden sollen. Dass die Vorschrift im konkreten
Beispiel
rekursiv ist, spielt keine Rolle. Erlaubt ist z.B. auch die Potenzmenge von
|N.
Gruß
Michael
Lukas-Fabian Moser
On 13 Mar 2006 08:27:24 -0800, "albrecht" <albs...@gmx.de> wrote:
>Damit könnte man aber eine unendliche Zahl darstellen, die Nachfolger
>einer endlichen natürlichen Zahl sein müsste.
Alles bis vor das Komma war richtig. Natürlich könnte man eine Zahl
wie ...1111111 darstellen, aber warum muß es eine solche Zahl geben,
die "Nachfolger" einer endlichen Zahl ist?
Grüße, Lukas
albrecht
> Hallo,
>
> On 13 Mar 2006 08:27:24 -0800, "albrecht" <albs...@gmx.de> wrote:
>
> >Damit könnte man aber eine unendliche Zahl darstellen, die Nachfolger
> >einer endlichen natürlichen Zahl sein müsste.
>
> Alles bis vor das Komma war richtig. Natürlich könnte man eine Zahl
> wie ...1111111 darstellen,
Nein, könnte man nicht. Wenn man es könnte, müsste es der Nachfolger
einer natürlichen Zahl sein - kann es aber nicht sein.
> aber warum muß es eine solche Zahl geben,
> die "Nachfolger" einer endlichen Zahl ist?
Weil in einem solchen Zählwerk wohl alle Zahlen einstellbar sein
müssten, die einstellbar sein sollten, und zwar in Sukzession. Wie
sollten denn alle natürlichen Zahlen unendlich viele Stellen
benötigen, um dargestellt werden zu können, aber eine Sukzession von
unendlich vielen Zahlen gar nicht unendlich viele Stellen belegen
können? Für was werden denn sonst die wohl unbestritten unendlich
vielen Stellen benötigt?
Dieser inkosistente Wirrwarr geht einzig und definitiv auf Cantors
aktuale Unendlichkeit zurück. Aber natürlich wird wieder dem Boten
die schlechte Nachricht angelastet - nicht dem Verursacher.
Für eine aktual unendliche Menge natürlicher Zahlen benötigt man
aktual unendlich viele Stellen, was nicht anders verstanden werden kann
als eine Anzahl von unendlich vielen Stellen, also eine Anzahl mit dem
Wert "Unendlich". Es gibt keine Anzahl "Unendlich" wie es keine Zahl,
geschweige den eine natürliche Zahl "Unendlich" gibt. Wenn es eine
Anzahl "Unendlich" gäbe, gäbe es eine natürliche Zahl "Unendlich".
Gruß
Albrecht Storz
albrecht
> albrecht schrieb:
> .......................
> > (nach Cantor)
> ......................
>
> Nach dem was WM vermutlich richtig abgeschrieben hat, müßte Cantor
>
> 1 := (1)
> 2 := (1, 1)
> 3 := (1, 1, 1)
> ...................
keine Ahnung, was 1:= (1), etc. bedeutet. Kannst Du das etwas
verdeutlichen?
> definieren und dann als Menge der natürlichen Zahlen die Zusammenfassung
> aller dieser Objekte zu einer Menge nehmen. Die Zusammenfassung ist erlaubt,
> weil die Vorschrift (1, ..., 1) -> (1, ..., 1, 1) eindeutig festlegt,
auch hier ist mir nicht klar, was Du meinst.
> welche
> Objekte zusammengefasst werden sollen. Dass die Vorschrift im konkreten
> Beispiel
> rekursiv ist, spielt keine Rolle. Erlaubt ist z.B. auch die Potenzmenge von
> |N.
Es ist bekannt, dass die aktual unendliche Menge nur auf eine Art zur
Existenz kommen kann: per Axiom. Induktiv lässt sie sich nicht
begründen.
Wenn aber die aktual unendliche Menge per Axiom zur Existenz kommt,
fordert die Logik, dass daraus keine Inkonsitenz entstehen darf. Sonst
besitzt man ein Axiomensystem mit dem alles und nichts bewiesen werden
kann - und das ist kein Ziel der Mathematik.
Gruß
Albrecht Storz
Peter Niessen
> Dieser inkosistente Wirrwarr geht einzig und definitiv auf Cantors
> aktuale Unendlichkeit zurück. Aber natürlich wird wieder dem Boten
> die schlechte Nachricht angelastet - nicht dem Verursacher.
> Für eine aktual unendliche Menge natürlicher Zahlen benötigt man
> aktual unendlich viele Stellen, was nicht anders verstanden werden kann
> als eine Anzahl von unendlich vielen Stellen, also eine Anzahl mit dem
> Wert "Unendlich". Es gibt keine Anzahl "Unendlich" wie es keine Zahl,
> geschweige den eine natürliche Zahl "Unendlich" gibt. Wenn es eine
> Anzahl "Unendlich" gäbe, gäbe es eine natürliche Zahl "Unendlich".
Du begreifst es nie:
Deine "natürliche" "Zahl=Unendlich" ist nichts anderes als die Limeszahl
der Menge N. Aber da du ja zu dumm? bist mal einen Text zur Konstruktion
von Ordinalzahlen zu lesen, verrate ich dir den Trick nicht :-)
--
Mit freundlichen Grüssen
Peter Nießen
Peter Niessen
> Es ist bekannt, dass die aktual unendliche Menge nur auf eine Art zur
> Existenz kommen kann: per Axiom. Induktiv lässt sie sich nicht
> begründen.
Welch kluge Worte
Beweise doch mal das es keine unendliche Menge gibt :-)
Auf den Beweis bin ich echt neugierig.
Michael Klemm
> > Nach dem was WM vermutlich richtig abgeschrieben hat, müßte Cantor
>
> > 1 := (1)
> > 2 := (1, 1)
> > 3 := (1, 1, 1)
> ...................
> keine Ahnung, was 1:= (1), etc. bedeutet. Kannst Du das etwas
> verdeutlichen?
> > definieren und dann als Menge der natürlichen Zahlen die
> Zusammenfassung
> > aller dieser Objekte zu einer Menge nehmen. Die Zusammenfassung ist
> > erlaubt,
> > weil die Vorschrift (1, ..., 1) -> (1, ..., 1, 1) eindeutig festlegt,
> auch hier ist mir nicht klar, was Du meinst.
Das bedeutet, das alle Objekte der Gestalt (1, 1,...,1) zu der Menge |N
zusammengefasst werden.
Nur weil die Bedeutung der Pünktchen nicht ganz klar ist, versucht man, mit
möglichst wenigen
obskuren Zeichen und Begriffen auszukommen. Dieses Vorgehen dient dazu, die
Stichhaltigkeit der Argumente
leichter überprüfbar zu machen. Freilich bringt eine Mutter ihrem Kind das
Sprechen nicht so bei.
> Wenn aber die aktual unendliche Menge per Axiom zur Existenz kommt,
> fordert die Logik, dass daraus keine Inkonsitenz entstehen darf. Sonst
> besitzt man ein Axiomensystem mit dem alles und nichts bewiesen werden
> kann - und das ist kein Ziel der Mathematik.
Die Erfahrung hat gezeigt, dass das Axiomensystem lediglich Vorurteile
widerlegt.
Gruß
Michael
Rudolf Sponsel
hm, "Trick" ..., wenn es denn stimmte, so passte es wohl: "Trick".
Rudolf Sponsel, Erlangen
Peter Niessen
>> Du begreifst es nie:
>> Deine "natürliche" "Zahl=Unendlich" ist nichts anderes als die Limeszahl
>> der Menge N. Aber da du ja zu dumm? bist mal einen Text zur Konstruktion
>> von Ordinalzahlen zu lesen, verrate ich dir den Trick nicht :-)
>
> hm, "Trick" ..., wenn es denn stimmte, so passte es wohl: "Trick".
Da ich dir die Konstruktion einer passenden Menge schon einmal gezeigt
habe, bleibt es dein Rätsel was daran nicht zu verstehen ist.
Gerd Thieme
> Man benötigt also unendlich viele Zählräder, weil jedes von ihnen
> einen Wert =/= 0 annehmen kann, und man, wenn man nicht alle unendlich
> viele hätte, nicht alle natürlichen Zahlen darstellen könnte.
> Damit könnte man aber eine unendliche Zahl darstellen, die Nachfolger
> einer endlichen natürlichen Zahl sein müsste.
Du hast eine Maschine konstruiert, die mehr darstellen kann, als nur die
natürlichen Zahlen. Na und? Sie kann unendlich lange »Zahlen«
darstellen. Unter diesen gibt es aber keine kleinste, man findet zu
jeder der unendlich langen »Zahlen« eine ebenfalls unendlich lange,
kleinere, nämlich indem man einfach das letzte Zählrad um 1 zurückdreht.
Sofern es auf 0 stand, muß auch das vorletzte so behandelt werden. Diese
Übertragsschritte sind endlich, es sei denn, das Zählwerk stand auf 0
(das aber ist keine unendlich lange Zahl).
Beim beschriebenen Übergang zur Vorgängerin einer Deiner unendliche
langen »Zahlen« wird also immer nur eine endliche Anzahl von Stellen
geändert, das heißt, daß die Vorgängerin ebenfalls unendlich lang ist.
Statt die Anzeige Deines Zählwerks eine unendlich lange »Zahl« zu
nennen, redet man besser von eine Ziffernfolge - und schon ist man
wieder in der Mathematik zu Hause.
Gerd
--
Wer das Konzept der Unendlichkeit verstehen will, muß nur
das Ausmaß menschlicher Dummheit betrachten (Voltaire)
Eckard Blumschein
> Am Montag, März 2006 21:13, schrieb albrecht:
>
>> Dieser inkosistente Wirrwarr geht einzig und definitiv auf Cantors
>> aktuale Unendlichkeit zurück. Aber natürlich wird wieder dem Boten
>> die schlechte Nachricht angelastet - nicht dem Verursacher.
>> Für eine aktual unendliche Menge natürlicher Zahlen benötigt man
>> aktual unendlich viele Stellen, was nicht anders verstanden werden kann
>> als eine Anzahl von unendlich vielen Stellen, also eine Anzahl mit dem
>> Wert "Unendlich". Es gibt keine Anzahl "Unendlich" wie es keine Zahl,
>> geschweige den eine natürliche Zahl "Unendlich" gibt. Wenn es eine
>> Anzahl "Unendlich" gäbe, gäbe es eine natürliche Zahl "Unendlich".
>
> Du begreifst es nie:
> Deine "natürliche" "Zahl=Unendlich" ist nichts anderes als die Limeszahl
> der Menge N.
Hallo Albrecht,
hier scheint die Diskussion zu versanden. Ich stimme Dir zu, dass aktual
unendliche (als abgeschlossen gedachte) Mengen von Zahlen sowohl dem
Begriff Zählen als auch dem Begriff unendlich widersprechen. Es gehörte
schon ein Übermaß an naiver Bereitschaft an übernatürliche Zahlen zu
glauben dazu, sich "unendlich" als Zahl bzw. Grenzzahl omega umzudeuten,
dann eine Trennung des Zahlbegriffs in ordinal und kardinal
vorzuschlagen und ordinal über omega hinaus weiter zu zählen.
Was hat diese von Dummköpfen und Schlimmeren mystifizierte Skurilität
gebracht? Seit mehr als 100 Jahren ist außer Spesen nichts gewesen.
Braucht man aleph_0? Nein. Es ist logisch sauberer und auch einfacher
von abzählbar unendlich zu sprechen.
Braucht man aleph_1? Nein. Es ist logisch sauberer und einfacher von
nicht abzählbar zu sprechen. Abzählbar und nicht abzählbar schließen
sich logisch sauber gegenseitig aus.
Ich kenne keinen einzigen Nachweis dafür, dass man höhere Alefs jemals
gebraucht hat oder irgendwann brauchen könnte.
Man fragt sich, wie konnte so ein Scharlatan (Begriff von Poincaré) wie
Georg Cantor Präsident der Deutschen Mathematischen Gesellschaft werden?
Mindestens eine historische Parallele lehrt uns, dass demagogische
Verheißung nach Kriegen und in Verbindung mit sozialen Problemen auf
furchtbar fruchtbaren Boden fiel. Es war Dedekind der nicht nur wie
Cantor die irrationalen Zahlen zu Zahlen machen wollte sondern
behauptete eine neue, einer irrationale Zahl erschaffen zu haben.
Cantor tönte sogar: Das Wesen der Mathematik liege in ihrer Freiheit.
Wenn wir nun zu einer Rückbesinnung auf den vierten Fall
(Nichtabzählbarkeit der reellen "Zahlen") beitragen wollen, müssen wir
uns davor hüten, das Kind mit dem Bade auszuschütten. Es stimmt:
Das Unendliche darf, wie es Gauss richtig benannte, in der Mathematik
nie als eine vollendete Größe gebraucht werden. Aber, höre ich schon den
Chor der Gläubigen widersprechen, es wird doch längst erfolgreich
praktiziert und Cantor hatte Gauss durch einen konstruktiven Beweis
widerlegt. Letzterem ist energisch zu widersprechen. Cantors angebliche
Beweise waren lediglich dreiste Behauptungen. Es ist auch nicht richtig,
dass die Analysis auf Cantors Mengenlehre angewiesen sei.
Wir sind aber sicherlich gut beraten, das aktual Unendliche nicht
blindlings zu verdammen. Es ist sicherlich gut vergleichbar mit der
ebenfalls irrealen Wurzel aus minus eins. Das Denken der Mathematiker
fußt in der Welt der Zahlen und tut sich schwer mit dem Kontinuum.
Auch und gerade ungebildete Menschen haben es leicht, Cantors naive
Denkart nachzuvollziehen, _alle_ natürlichen Zahlen gedankenlos als eine
begriffliche Einheit aufzufassen. Sprachkundler, Philosophen und
Psychologen ranken Theorien darum. Wir sind es gewohnt, mit der
genaugenommen unsinnigen Formulierung *alle natürlichen Zahlen* oder
auch mit der Vorstellung vom beliebig langen Zahlenstrahl eine
Gesamtheit zu assoziieren, allerdings nicht notwendigerweise eine
begrenzte. Meist meinen wir "alle natürlichen Zahlen bis hin zu jeder
noch so großen Zahl" wenn wir kurz sagen "alle natürlichen Zahlen".
WM wies zurecht darauf hin, dass speziell besonders gottgläubige
Menschen an das aktual Unendliche glauben, etwa so wie sie an Gott
glauben. Ich zähle mich nicht zu ihnen und auch nicht zu jenen, welchen
das aktual Unendliche als mathematisches Glaubenselement vermittelt
wurde. Vielmehr sehe ich die im aktual Unendlichen steckende
Widersprüchlichkeit als das einzig mögliche Bindeglied zwischen den
abzählbaren Zahlen und den nicht abzählbaren weil auf dem aktual
Unendlichen beruhenden und somit fiktiven reellen Zahlen des Kontinuums
an. Mittels meiner konsequenten Unterscheidung zwischen rational und
kontinuierlich beantworten sich alle scheinbar marginalen Fragen, die
mir bisher kein Mathematiker beantworten konnte.
Darin sehe ich keine Revolution und schon gar keine Konterrevolution
aber doch einen ernstzunehmenden Hinweis an alle Mathematiker die zu
selbständigen kritischem Denken fähig sind: Reelle Zahlen sind fiktive
Lösungen unlösbarer (weil das fiktive aktual Unendliche brauchender)
Aufgaben.
Gruß,
Eckard
Gerd Thieme
> Man benötigt also unendlich viele Zählräder, weil jedes von ihnen
> einen Wert =/= 0 annehmen kann, und man, wenn man nicht alle unendlich
> viele hätte, nicht alle natürlichen Zahlen darstellen könnte.
> Damit könnte man aber eine unendliche Zahl darstellen, die Nachfolger
> einer endlichen natürlichen Zahl sein müsste.
Du hast eine Maschine konstruiert, die mehr darstellen kann, als nur die
natürlichen Zahlen. Na und? Sie kann unendlich lange »Zahlen«
darstellen. Unter diesen gibt es aber keine kleinste, man findet zu
jeder der unendlich langen »Zahlen« eine ebenfalls unendlich lange,
kleinere, nämlich, indem man einfach das letzte Zählrad um 1
zurückdreht.
Sofern es auf 0 stand, muß auch das vorletzte so behandelt werden. Diese
Übertragsschritte sind endlich, es sei denn, das Zählwerk stand auf 0
(das aber ist keine unendlich lange Zahl).
Beim beschriebenen Übergang zur Vorgängerin einer Deiner unendlich
langen »Zahlen« wird also immer nur eine endliche Anzahl von Stellen
geändert, das heißt, daß die Vorgängerin ebenfalls unendlich lang ist.
Statt die Anzeige Deines Zählwerks eine unendlich lange »Zahl« zu
nennen, redet man besser von eine Ziffernfolge - und schon ist man
wieder in der Mathematik zu Hause.
Nachtrag: Daraus, daß das minimal benötigte Zählwerk für alle
natürlichen Zahlen unendlich lang sein müßte, folgt nicht, das alles,
was dieses Zählwerk darstellen kann, eine natürliche Zahl ist.
Eckard Blumschein
> Wer das Konzept der Unendlichkeit verstehen will,
muß nur das Ausmaß menschlicher Dummheit betrachten (Voltaire)
In Anspielung auf den Zettel der bei der Tafelrunde Königs Friedrich II
die Rund machte und von Voltaire vorgelesen wurde:
"Voltaire ist e i n Esel, Friedrich der zweite"
bin ich versucht zu sagen, Voltaire war ein Esel, Thieme der zweite.
Das Konzept der Unendlichkeit hat Spinoza ein für allemal unschlagbar
einfach auf den Punkt gebracht: Sie ist das was nicht vermehrbar ist.
Das Ausmaß der Dummheit unter den Mathematikern, welche dem Missionar
Cantor und dem Rattenfänger Hilbert ins Paradies infinitum creatum sive
Transfinitum folgten, konnte Voltaire ja nur erahnen.
E.
albrecht
Gerd Thieme wrote:
> On 13 Mar 2006 08:27:24 -0800, albrecht wrote:
>
> > Man benötigt also unendlich viele Zählräder, weil jedes von ihnen
> > einen Wert =/= 0 annehmen kann, und man, wenn man nicht alle unendlich
> > viele hätte, nicht alle natürlichen Zahlen darstellen könnte.
> > Damit könnte man aber eine unendliche Zahl darstellen, die Nachfolger
> > einer endlichen natürlichen Zahl sein müsste.
>
> Du hast eine Maschine konstruiert, die mehr darstellen kann, als nur die
> natürlichen Zahlen. Na und?
Mein Konstruktionsauftrag war aber, nur alle endlichen natürlichen
Zahlen darstelle zu können. Wie konnte mir so ein Mißgeschick
unterlaufen. :-)
Gruß
AS
albrecht
Gerd Thieme wrote:
> On 13 Mar 2006 08:27:24 -0800, albrecht wrote:
>
> > Man benötigt also unendlich viele Zählräder, weil jedes von ihnen
> > einen Wert =/= 0 annehmen kann, und man, wenn man nicht alle unendlich
> > viele hätte, nicht alle natürlichen Zahlen darstellen könnte.
> > Damit könnte man aber eine unendliche Zahl darstellen, die Nachfolger
> > einer endlichen natürlichen Zahl sein müsste.
>
> Du hast eine Maschine konstruiert, die mehr darstellen kann, als nur die
> natürlichen Zahlen. Na und?
Mein Konstruktionsauftrag war aber, nur alle endlichen natürlichen
Zahlen darstellen zu können. Wie konnte mir so ein Mißgeschick
unterlaufen. :-)
Gruß
AS
> Sie kann unendlich lange »Zahlen«
Johannes Beyermann
da dir Formalismen nicht zu liegen scheinen, versuche es doch mal mit
folgendem Bild:
Stelle dir eine Menge als Computerprogramm vor, das bestimmte Eingaben
akzeptiert und andere nicht. Die Eingaben werden über Tastatur
(Zeichenkette, Abschluss mit Entertaste) getätigt. Bei Akzeptierung gibt
das Programm "1" aus und bei Ablehnung "0".
Wenn es eine längste Zeichenkette gibt, die von einem Programm P akzeptiert
wird, dann nennt man P endlich und ansonsten unendlich.
Jetzt ist es einfach ein Programm N zu programmieren, das eine "1" genau
dann ausgibt, wenn die eingegebene Zeichenkette nur aus Ziffern 0-9
besteht. So ein Programm N kann man in jeder handelsüblichen
Programmiersprache realisieren. Wenn du es nicht glaubst, kann ich dir das
Programm, bzw. die Menge N per Mail zuschicken :-)
N ist , gemäß der obigen Definition, unendlich. Wenn du das bestreitest,
dann zeige mir eine längste Zeichenkette die von dem Programm (Menge) N
akzeptiert wird.
Ersetze den Begriff "Programm" durch "Menge" und identifiziere "1" und "0"
mit "ist Element" bzw. "ist nicht Element". Voila! Du hast die Menge N auf
deiner Festplatte.
Johannes
albrecht
Was sollte denn dann noch einstellbar sein? Eine unendliche
nicht-natürliche Zahl?
Es ist wohl klar: man benötigt unendlich viele Stellen um alle
natürlichen Zahlen zu haben. Nun sollen aber diese unendlich vielen
Stellen doch nicht nötig sein? Warum braucht man dann unendlich viele?
Vielleicht bleibt genau eine Stelle immer unbenutzt? :-)
Ich argumentiere am liebsten mit dem unären System. Nun hat man bei
dem unären System, z.B. mit der einzigen Ziffer 1, ein Problem beim
Zählwerk: Welchen Status hat eine Stelle, die nicht mit "1" belegt
ist.
Dieses Problem lässt sich aber einfach beheben: Wir benutzen im
Zählwerk das binäre System mit den Ziffern "0" und "1" und fügen
noch folgende Vorschrift hinzu: Wenn eine Stelle n mit einer 1 belegt
ist, so müssen alle Stellen 1 bis (n-1) auch mit einer 1 belegt sein.
Hiermit haben wir ein unäres System und jedes Zählrad kennt genau
zwei Positionen: 0 oder 1.
Auch für dieses Zählwerk gilt natürlich: Es werden unendlich viele
Stellen benötigt, um alle natürlichen Zahlen unär darzustellen.
_Jede_ Einstellung dieses Systemes entspricht einer natürlichen Zahl.
Damit muß aber auch die Einstellung _aller_ Zählräder auf den Wert 1
einer natürlichen Zahl entsprechen. Dies ist aber unmöglich, da auch
durch unendlich viele Weiterschaltungen des Zählwerkes keine Zahl mit
unendlich vielen 1-Positionen erreicht werden kann.
Das unendlichstellige Zählwerk ist inkonsistent und damit auch die
aktual unendliche Menge - denn die aktual unendliche Menge der
natürlichen Zahlen würde der Menge der unendlich vielen
unendlichstelligen Zählwerken entsprechen, die alle paarweise
unterschiedliche Einstellung besitzen.
Gruß
Albrecht Storz
Christian Kortes
> Ich argumentiere am liebsten mit dem unären System. Nun hat man bei
> dem unären System, z.B. mit der einzigen Ziffer 1, ein Problem beim
> Zählwerk: Welchen Status hat eine Stelle, die nicht mit "1" belegt
> ist.
> Dieses Problem lässt sich aber einfach beheben: Wir benutzen im
> Zählwerk das binäre System mit den Ziffern "0" und "1" und fügen
> noch folgende Vorschrift hinzu: Wenn eine Stelle n mit einer 1 belegt
> ist, so müssen alle Stellen 1 bis (n-1) auch mit einer 1 belegt sein.
> Hiermit haben wir ein unäres System und jedes Zählrad kennt genau
> zwei Positionen: 0 oder 1.
>
> Auch für dieses Zählwerk gilt natürlich: Es werden unendlich viele
> Stellen benötigt, um alle natürlichen Zahlen unär darzustellen.
> _Jede_ Einstellung dieses Systemes entspricht einer natürlichen Zahl.
Wir haben hier doch eine Abbildung
f: N ---> {0,1}^N
mit
f(n) = (1, ..., 1,0,0...)
n Einsen
Du behauptest nun, dass diese Abbildung surjektiv ist.
(Ist sie nicht, da für alle n aus N nur endlich viele Einsen in f(n)
vorkommen. Sie ist injektiv und das reicht für eine Kodierung.)
Lukas-Fabian Moser
On 14 Mar 2006 05:28:25 -0800, "albrecht" <albs...@gmx.de> wrote:
>Auch für dieses Zählwerk gilt natürlich: Es werden unendlich viele
>Stellen benötigt, um alle natürlichen Zahlen unär darzustellen.
>_Jede_ Einstellung dieses Systemes entspricht einer natürlichen Zahl.
>Damit muß aber auch die Einstellung _aller_ Zählräder auf den Wert 1
>einer natürlichen Zahl entsprechen.
Du variierst immer wieder denselben Satz. Wenn Du einmal über eine
Begründung für ihn nachdenken würdest, würde Dir auffallen, daß er
falsch ist.
Grüße, Lukas
Amicus
>>
>> Nachtrag: Daraus, daß das minimal benötigte Zählwerk für alle
>> natürlichen Zahlen unendlich lang sein müßte, folgt nicht, das alles,
>> was dieses Zählwerk darstellen kann, eine natürliche Zahl ist.
>>
> Was sollte denn dann noch einstellbar sein? Eine [...]
> nicht-natürliche Zahl?
>
Genau. Wenn Du dieses Objekt Zahl nennen willst.
Siehe p-adische Zahlen (->10-adic numbers):
http://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number
>
> Es ist wohl klar: man benötigt unendlich viele Stellen um alle
> natürlichen Zahlen [darstellen zu können].
>
Ja.
>
> Nun sollen aber diese unendlich vielen Stellen doch nicht nötig
> sein?
>
Huh? Wer sagt denn das?
Man braucht aber, um eine _bestimmte_ natürliche Zahl darstellen zu
können, lediglich endlich viele Stellen. Um j e d e beliebige
natürliche Zahl darstellen /zu können/, muss allerdings der "Vorrat"
an Stellen unendlich sein.
>
> Warum braucht man dann unendlich viele?
>
Habe ich oben gerade erklärt.
>
> Vielleicht bleibt genau eine Stelle immer unbenutzt? :-)
>
Tatsächlich bleiben in jedem Fall (also bei jeder Darstellung einer
natürlichen Zahl) unendlich viele Stellen unbenutzt.
>
> Ich argumentiere am liebsten mit dem unären System. Nun hat man bei
> dem unären System, z.B. mit der einzigen Ziffer 1, ein Problem beim
> Zählwerk: Welchen Status hat eine Stelle, die nicht mit "1" belegt
> ist.
> Dieses Problem lässt sich aber einfach beheben: Wir benutzen im
> Zählwerk das binäre System mit den Ziffern "0" und "1" und fügen
> noch folgende Vorschrift hinzu: Wenn eine Stelle n mit einer 1 belegt
> ist, so müssen alle Stellen 1 bis (n-1) auch mit einer 1 belegt sein.
> Hiermit haben wir ein unäres System und jedes Zählrad kennt genau
> zwei Positionen: 0 oder 1.
>
> Auch für dieses Zählwerk gilt natürlich: Es werden unendlich viele
> Stellen benötigt, um alle natürlichen Zahlen unär darzustellen.
> _Jede_ Einstellung dieses Systems entspricht einer natürlichen Zahl.
>
Ja.
>
> Damit muß aber auch die Einstellung _aller_ Zählräder auf den Wert 1
> einer natürlichen Zahl entsprechen.
>
Nein.
A.
--
E-mail:
amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
albrecht
Nochmal - und gaanz langsam:
Die Menge aller Stellenindices aller natürlicher Zahlen ist unendlich.
Richtig oder falsch?
Diese Menge kann nicht deswegen im Umfang unendlich sein, weil es
unendlich viele Zahlen mit endlich vielen Stellenindices gibt.
Richtig oder falsch?
Diese Menge kann nur unendlich sein, weil es mindestens eine
natürliche Zahl mit unendlich vielen Stellen geben müsste damit diese
Menge unendlich sein könnte.
Wenn üblicherweise von der Unbeschränktheit der Stellenindices
gesprochen wird ist dies nur eine Vertuschung der Tatsache, dass in
einer aktual unendlichen Menge auch alle notwendigen Stellenindices
aktual vorhanden sein müssen.
Gruß
Albrecht Storz
Amicus
>
> Die Menge aller Stellenindices aller natürlicher Zahlen ist unendlich.
> Richtig oder falsch?
>
Richtig. Denn eine natürliche Zahl kann beliebig viele Stellen
besitzen, _solange es nur endlich viele sind_. Würde die Menge der
Stellenindizes nun endlich sein, so hätte sie ein maximales Element,
sagen wir m. Dann wäre aber die maximal dargestellte/darstellbare
natürliche Zahl von der Form:
[n_m n_m-1 ... n_1]
wo n_i, die jeweilige Ziffer an der Stelle i sein soll. Ist also
n = [n_m n_m-1 ... n_1], mit n_m =/= '0', dann ist die Zahl 10 * n
mit m Stellen offenbar nicht mehr darstellbar (da sie m+1 Stellen
benötigt).
>
> Diese Menge kann nicht deswegen im Umfang unendlich sein, weil es
> unendlich viele Zahlen mit endlich vielen Stellenindices gibt.
> Richtig oder falsch?
>
Falsch.
Wenn Du meinst, dass Deine Aussage _richtig_ ist/wäre, dann versuche
doch mal, sie zu *beweisen*.
Es genügt eben nicht, hier auf die "Intuition" zu pochen. Bedauer-
licherweise ist die "naive" Intuition trügerisch, wenn es um mathe-
matische Sachverhalte geht (insbesondere dann, wenn der Begriff der
Unendlichkeit eine Rolle spielt).
Versuch Dich einfach mal mit folgender Tatsache vertraut zu machen:
Jede natürliche Zahl ist eine endliche Menge. Aber
die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich.
(Ich setze hier die von Neumannsche Definition der nat. Zahlen voraus:
Es gilt also: 0 = {} und n = {0, ..., n-1}. In diesem Kontext kann man
übrigens streng beweisen, dass (1) für jedes n e IN gilt: n ist
endlich, und (2) gilt: IN ist unendlich.)
Norbert Marrek
> Nochmal - und gaanz langsam:
>
> Die Menge aller Stellenindices aller natürlicher Zahlen ist unendlich.
>
> Richtig oder falsch?
>
natürlichen Zahlen.
> Diese Menge kann nicht deswegen im Umfang unendlich sein, weil es
> unendlich viele Zahlen mit endlich vielen Stellenindices gibt.
>
> Richtig oder falsch?
>
Falsch. Siehe oben.
> Diese Menge kann nur unendlich sein, weil es mindestens eine
> natürliche Zahl mit unendlich vielen Stellen geben müsste damit diese
> Menge unendlich sein könnte.
>
Falsch.
> Wenn üblicherweise von der Unbeschränktheit der Stellenindices
> gesprochen wird ist dies nur eine Vertuschung der Tatsache, dass in
> einer aktual unendlichen Menge auch alle notwendigen Stellenindices
> aktual vorhanden sein müssen.
>
Da wird nichts vertuscht. Die Anzahl der Stellenindizes
ist aktual unendlich, nämlich die Anzahl der natürlichen Zahlen.
Aloha,
Norbert
Peter Niessen
> Nochmal - und gaanz langsam:
>
> Die Menge aller Stellenindices aller natürlicher Zahlen ist unendlich.
>
> Richtig oder falsch?
>
> Diese Menge kann nicht deswegen im Umfang unendlich sein, weil es
> unendlich viele Zahlen mit endlich vielen Stellenindices gibt.
>
> Richtig oder falsch?
Also wie die oben verlangst:
Gaaaaaaaaaaaaanz langsam:
Deine "Zählmaschine" zählt viel zu viele Zahlen. So viele Zahlen gibt es
nur in der Potenzmenge von N und die ist bekanntlich vieeeel unendlicher
als N.
Aber nett das du so versuchst überabzählbare Mengen zu beweisen :-)
Amicus
Ooops, kleine Korrektur:
>>
>> Auch für dieses Zählwerk gilt natürlich: Es werden unendlich viele
>> Stellen benötigt, um alle natürlichen Zahlen unär darzustellen.
>> _Jede_ Einstellung dieses Systems entspricht einer natürlichen Zahl.
>>
> Ja...
>
...solange die Einstellung nur endlich viele 1en besitzt.
Man könnte das so "hinschreiben":
[1...1] e IN
-----
n-mal (mit n e IN)
aber:
[...111] !e IN.
albrecht
Amicus wrote:
> On 14 Mar 2006 08:00:58 -0800, "albrecht" <albs...@gmx.de> wrote:
>
> >
> > Die Menge aller Stellenindices aller natürlicher Zahlen ist unendlich.
> > Richtig oder falsch?
> >
> Richtig. Denn eine natürliche Zahl kann beliebig viele Stellen
> besitzen, _solange es nur endlich viele sind_. Würde die Menge der
> Stellenindizes nun endlich sein, so hätte sie ein maximales Element,
> sagen wir m. Dann wäre aber die maximal dargestellte/darstellbare
> natürliche Zahl von der Form:
>
> [n_m n_m-1 ... n_1]
>
> wo n_i, die jeweilige Ziffer an der Stelle i sein soll. Ist also
> n = [n_m n_m-1 ... n_1], mit n_m =/= '0', dann ist die Zahl 10 * n
> mit m Stellen offenbar nicht mehr darstellbar (da sie m+1 Stellen
> benötigt).
>
> >
> > Diese Menge kann nicht deswegen im Umfang unendlich sein, weil es
> > unendlich viele Zahlen mit endlich vielen Stellenindices gibt.
> > Richtig oder falsch?
> >
> Falsch.
Behauptung!
>
> Wenn Du meinst, dass Deine Aussage _richtig_ ist/wäre, dann versuche
> doch mal, sie zu *beweisen*.
dito
>
> Es genügt eben nicht, hier auf die "Intuition" zu pochen. Bedauer-
> licherweise ist die "naive" Intuition trügerisch, wenn es um mathe-
> matische Sachverhalte geht (insbesondere dann, wenn der Begriff der
> Unendlichkeit eine Rolle spielt).
blabla
>
> Versuch Dich einfach mal mit folgender Tatsache vertraut zu machen:
>
> Jede natürliche Zahl ist eine endliche Menge. Aber
> die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich.
>
Nein
Gurß
AS
albrecht
Norbert Marrek wrote:
> albrecht schrieb:
> > Nochmal - und gaanz langsam:
> >
> > Die Menge aller Stellenindices aller natürlicher Zahlen ist unendlich.
> >
> > Richtig oder falsch?
> >
> Richtig. Sie ist genauso groß wie die Anzahl der
> natürlichen Zahlen.
>
> > Diese Menge kann nicht deswegen im Umfang unendlich sein, weil es
> > unendlich viele Zahlen mit endlich vielen Stellenindices gibt.
> >
> > Richtig oder falsch?
> >
>
> Falsch. Siehe oben.
Was steht dazu den bitte oben?
>
> > Diese Menge kann nur unendlich sein, weil es mindestens eine
> > natürliche Zahl mit unendlich vielen Stellen geben müsste damit diese
> > Menge unendlich sein könnte.
> >
>
> Falsch.
Behauptung!
>
> > Wenn üblicherweise von der Unbeschränktheit der Stellenindices
> > gesprochen wird ist dies nur eine Vertuschung der Tatsache, dass in
> > einer aktual unendlichen Menge auch alle notwendigen Stellenindices
> > aktual vorhanden sein müssen.
> >
>
> Da wird nichts vertuscht. Die Anzahl der Stellenindizes
> ist aktual unendlich, nämlich die Anzahl der natürlichen Zahlen.
>
Leider keine Substanz. Damit redundant.
Gruß
AS
albrecht
Also wird die Einstellung "1111...." per Dekret von den natürlichen
Zahlen ausgeschlossen, da sonst eine Kollision mit der
Peano-Axomatisierung erfolgen würde, obwohl diese Zahl in der
natürliche-Zahlen-Zählmaschine einstellbar sein muß?!?
Ich behaupte: Wenn dies alles richtig wäre (Dein Standpunkt), so
müsste es eine Konstruktion ähnlich meiner Zählmaschine geben, die
nur und ausschliesslich die Einstellung von natürlichen Zahlen
zulässt!
Gruß
AS
Peter Niessen
>> Amicus wrote:
>>>> Damit muß aber auch die Einstellung _aller_ Zählräder auf den Wert 1
>>>> einer natürlichen Zahl entsprechen.
>> Nein.
> Also wird die Einstellung "1111...." per Dekret von den natürlichen
> Zahlen ausgeschlossen, da sonst eine Kollision mit der
> Peano-Axomatisierung erfolgen würde, obwohl diese Zahl in der
> natürliche-Zahlen-Zählmaschine einstellbar sein muß?!?
Du begreifst den Witz ganz einfach nicht:
Deine "Maschine" "zählt" endliche *und* unendliche Teilmengen von N!
Amicus hat es dir doch aufgeschrieben:
[1...1] e IN
[...111] !e IN.
> Ich behaupte: Wenn dies alles richtig wäre (Dein Standpunkt), so
> müsste es eine Konstruktion ähnlich meiner Zählmaschine geben, die
> nur und ausschliesslich die Einstellung von natürlichen Zahlen
> zulässt!
Dann mach das mal :-)
Eckard Blumschein
> Bedauer-
> licherweise ist die "naive" Intuition trügerisch, wenn es um mathe-
> matische Sachverhalte geht (insbesondere dann, wenn der Begriff der
> Unendlichkeit eine Rolle spielt).
Sehr wahr. Cantors naive Mengenlehre basiert (oder ist es schon aktuell
zu sagen basierte?) auf keinem einzigen Beweis sondern nur Cantors
naiver und sogar noch göttlich angehauchter Intuition. Immerhin hat
Cantor den Begriff "aktual" unendlich mathematiksalonfähig gemacht.
Dass er damit intuitiv die Vorstellung von noch viel mehr als unendlich
verband und dieser Irrsinn sich bis in Äußerungen von WM und Peter
Niessen (hier weiter unten) fortpflanzte ist bedauerlich.
> Jede natürliche Zahl ist eine endliche Menge. Aber
> die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich.
Beide Sätze wird niemand bestreiten.
Der zweite Satz ist jedoch zweideutig, weil an zwei Stellen unklar.
Es wird nicht unterschieden zwischen potentiell und aktual.
Meint man mit "Menge der natürlichen Zahlen" etwas Konkretes, etwas
Abzählbares, dann setzt man potentielle Unendlichkeit voraus.
Meint man dagegen mit "Menge der natürlichen Zahlen" eine fiktive
abgeschlossene Gesamtheit, dann setzt man aktuale Unendlichkeit voraus.
Für WM und wohl auch Albrecht existiert die fiktive Gesamtheit nicht.
WM hat ganz richtig erkannt, dass das aktual Unendliche nirgendwo
existiert.
Dem Begriff aktual unendlich haftet der gleiche Mangel an wie dem
Begriff reelle Zahl. Seine Wortbedeutung ist das Gegenteil seiner
tatsächlichen Eigenschaft:
Aktual heißt ja wirklich, und Aristoteles wollte gerade das Gegenteil
ausdrücken: Es gibt _keine_ wirklich unendliche Zahl. Die Gesamtheit
aller Zahlen ist etwas _U n_ wirkliches, ist nur eine Fiktion.
Reelle Zahlen stellte sich spätestens Dedkind als vervollständigten
Oberbegriff über alle nicht unwirklichen (lediglich imaginären) Zahlen
(der richtigen Zahlen also) vor. Dahinter stand der illusionäre Wunsch
auch die irrationalen Zahlen als Zahlen mit vollem Bürgerrecht
einzugemeinden. Dedekind (in Stetigkeit und irratioinale Zahlen, §3)
sprach von der Schöpfung neuer, die rationalen Zahlen ergänzender
irrationaler Zahlen. Freilich konnte er bei allem Sichfreifühlen nichts
ändern an der kennzeichnende Eigenschaft der irrationalen Zahlen keine
endliche numerische Identität zu haben und nur als Aufgabe exakt
definiert zu sein. Zumindest die irrationalen Zahlen sind ja nichts
Reelles sondern im Gegenteil auch nur eine Fiktion wie die imaginären.
Mich brachte Cantors Definition und Auflistung der reellen Zahlen als
Zahlen mit aktual unendlich vielen Nachkommastellen darauf,
innerhalb des inhomogenen Konglomerats was man gegenwärtig und Dedekind
folgend als reelle Zahlen ansieht, einerseits abzählbare rationale
Zahlen und andererseits nicht abzählbare Irrationalzahlen zu erkennen.
Nun trenne ich mit der Axt mathematischer Logik das Truggebäude
Dedekinds wieder auf. Die Unterscheidung zwischen richtigen, also
abzählbaren Zahlen und dem nebulösen, nicht abzählbaren Kontinuum sehe
ich als für die gesamte Mathematik fundamental an.
Neu ist meine Erkenntnis, dass mit ihrer Einbettung ins Kontinuum IR
(also in die Fiktivität) auch die ehemals rationalen Zahlen ihre
numerische Identität verlieren, gewissermaßen also verdampfen.
Diese Erkenntnis ist von Menschen mit durchschnittlicher Intelligenz
weder mit ihrem im Laufe eines Mathematikstudiums eher unterdrückten
selbständigen Denken noch durch formale Anwendung von Begriffen
nachzuvollziehen, welche auf Dedekind und Cantor zurückgehen.
Ich konnte aber erkennen und andeuten, wo die Lehre von Dedekind und
Cantor irreparable Widersprüche aufweist, und ich sehe im Ernstnehmen
von Cantors Definition der reellen Zahlen als *fiktive* Grenzwerte mit
aktual unendlich vielen Stellen die Antwort auf alle Fragen die mich
veranlassten zu erforschen, was wohl in der Mathematik faul sein könne.
Eckard Blumschein
Peter Niessen
>> Amicus:
>> Versuch Dich einfach mal mit folgender Tatsache vertraut zu machen:
>>
>> Jede natürliche Zahl ist eine endliche Menge. Aber
>> die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich.
> Nein
Du hast doch gesagt:
"Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen" Richtig?
Warum darf ich diese dann nicht alle in eine Menge packen?
Irgend welche Gründe dafür?
franz lemmermeyer
> Ich konnte aber erkennen und andeuten, wo die Lehre von Dedekind und
> Cantor irreparable Widersprüche aufweist,
Haben Sie sich schon mal ueberlegt, Ihre Legionen zu sammeln
und gen Moskau zu marschieren? Oder geht das grad nicht,
weil jemand Sie ans Kreuz genagelt hat?
franz
Gerd Thieme
>> Nachtrag: Daraus, daß das minimal benötigte Zählwerk für alle
>> natürlichen Zahlen unendlich lang sein müßte, folgt nicht, das alles,
>> was dieses Zählwerk darstellen kann, eine natürliche Zahl ist.
>
> Was sollte denn dann noch einstellbar sein? Eine unendliche
> nicht-natürliche Zahl?
Nennen wir sie besser unendliche Ziffernfolgen. Das sind durchaus
handhabbare Objekte.
> Es ist wohl klar: man benötigt unendlich viele Stellen um alle
> natürlichen Zahlen zu haben. Nun sollen aber diese unendlich vielen
> Stellen doch nicht nötig sein?
Jede einzelne Stelle ist nötig, aber für jede einzelne natürliche Zahl
sind nur endlich viele Stellen erforderlich. Du willst ja auch gar nicht
alle natürlichen Zahlen auf einmal einstellen, sondern immer nur eine.
> Warum braucht man dann unendlich viele?
Weil Du Dir die Möglichkeit offengehalten hast, *jede* natürliche Zahl
einstellen zu können.
Es ist gar nicht so selten, daß eine einfache Lösung mehr liefert, als
verlangt war. Die Einschränkung auf den Spezialfall macht sie dann oft
komplizierter.
Dein einfaches Zählwerk könnte mit unendlichen Ziffernfolgen umgehen. Es
benötigt aber zusätzlich einen Begrenzer, damit nur die geforderten
natürlichen Zahlen einstellbar sind. Ich schlage vor, Du bringst über
den Zahlenrädern eine beliebig verschiebbare Sperre an, die alle Räder
links vom Sperrhebel auf Null festhält.
Dann hast Du immer noch unendlich viele Stellen, und kannst jede davon
beliebig ändern, nachdem Du den Sperrhebel weit genug nach links
geschoben hast.
Ohne den Begrenzer konnte Dein Zählwerk unendliche Ziffernfolgen
darstellen. Mit ihm nur noch endliche, die aber in beliebiger Länge.
Gerd
--
Nichts auf der Welt ist so gerecht verteilt wie der Verstand,
denn jedermann ist überzeugt, daß er genug davon habe (Descartes)
Gerd Thieme
> Die Menge aller Stellenindices aller natürlicher Zahlen ist unendlich.
Richtig
> Diese Menge kann nicht deswegen im Umfang unendlich sein, weil es
> unendlich viele Zahlen mit endlich vielen Stellenindices gibt.
Gäbe es eine endliche Zahl k der Stellenindices, dann ließe sich im
Dezimalsystem die Zahl 10^k nicht darstellen. Also kann es ein solches k
nicht geben.
Deine Behauptung ist demnach falsch.
Gerd
--
Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom
Radius null und nennen ihn ihren Standpunkt
Eckard Blumschein
> Eckard Blumschein schrieb:
>
>> Ich konnte aber erkennen und andeuten, wo die Lehre von Dedekind und
>> Cantor irreparable Widersprüche aufweist,
>
> Haben Sie sich schon mal ueberlegt, Ihre Legionen zu sammeln
Das "Sie" entschlüssele ich als eine grobe Unhöflichkeit die jemand von
Format nicht nötig hätte.
Das was ich zuletzt in
<4411CB10...@et.uni-magdeburg.de>
sammelte steht aber jedermann zur Verfügung.
Viel Glück beim Widerlegen.
E.
albrecht
Gerd Thieme wrote:
> On 14 Mar 2006 05:28:25 -0800, albrecht wrote:
>
> >> Nachtrag: Daraus, daß das minimal benötigte Zählwerk für alle
> >> natürlichen Zahlen unendlich lang sein müßte, folgt nicht, das alles,
> >> was dieses Zählwerk darstellen kann, eine natürliche Zahl ist.
> >
> > Was sollte denn dann noch einstellbar sein? Eine unendliche
> > nicht-natürliche Zahl?
>
> Nennen wir sie besser unendliche Ziffernfolgen. Das sind durchaus
> handhabbare Objekte.
Nein. Unendliche Ziffernfolgen sind dann handhabbar, wenn sie endlich
definiert sind. Z.B. pi, e, phi, können als unendliche Ziffernfolgen
gedacht werden und sind handhabbar. Die Antidiagonale von Cantors Liste
z.B. ist nicht endlich definiert.
>
> > Es ist wohl klar: man benötigt unendlich viele Stellen um alle
> > natürlichen Zahlen zu haben. Nun sollen aber diese unendlich vielen
> > Stellen doch nicht nötig sein?
>
> Jede einzelne Stelle ist nötig, aber für jede einzelne natürliche Zahl
> sind nur endlich viele Stellen erforderlich. Du willst ja auch gar nicht
> alle natürlichen Zahlen auf einmal einstellen, sondern immer nur eine.
Doch. Für die aktual unendliche Liste der natürlichen Zahlen muß man
sich eine unendliche Anzahl von unendlichen Zählwerken vorstellen, die
insgesamt alle natürlichen Zahlen darstellen.
>
> > Warum braucht man dann unendlich viele?
>
> Weil Du Dir die Möglichkeit offengehalten hast, *jede* natürliche Zahl
> einstellen zu können.
Für die unendliche Liste hält man sich keine Möglichkeiten offen. Du
bist schon wieder in die potentielle Denkweise verfallen.
>
> Es ist gar nicht so selten, daß eine einfache Lösung mehr liefert, als
> verlangt war. Die Einschränkung auf den Spezialfall macht sie dann oft
> komplizierter.
Es gibt diesen Speziallfall aber nicht. Nur ein unendliches Zählwerk
kann alle natürlichen Zahlen darstellen.
>
> Dein einfaches Zählwerk könnte mit unendlichen Ziffernfolgen umgehen. Es
> benötigt aber zusätzlich einen Begrenzer, damit nur die geforderten
> natürlichen Zahlen einstellbar sind. Ich schlage vor, Du bringst über
> den Zahlenrädern eine beliebig verschiebbare Sperre an, die alle Räder
> links vom Sperrhebel auf Null festhält.
Schon wieder potentielles Denken.
>
> Dann hast Du immer noch unendlich viele Stellen, und kannst jede davon
> beliebig ändern, nachdem Du den Sperrhebel weit genug nach links
> geschoben hast.
Eben. Potentiell statt aktual.
>
> Ohne den Begrenzer konnte Dein Zählwerk unendliche Ziffernfolgen
> darstellen. Mit ihm nur noch endliche, die aber in beliebiger Länge.
>
Dito
Gruß
Albrecht Storz
Eckard Blumschein
> Behauptung!
> dito
>> Es genügt eben nicht, hier auf die "Intuition" zu pochen. Bedauer-
>> licherweise ist die "naive" Intuition trügerisch, wenn es um mathe-
>> matische Sachverhalte geht (insbesondere dann, wenn der Begriff der
>> Unendlichkeit eine Rolle spielt).
>
>
> blabla
>
>
>>
>> Versuch Dich einfach mal mit folgender Tatsache vertraut zu machen:
>>
>> Jede natürliche Zahl ist eine endliche Menge. Aber
>> die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich.
>>
>
> Nein
> Gurß
> AS
Nimm Dich bitte zusammen.
Gruß,
Eckard
>
albrecht
Gerd Thieme wrote:
> On 14 Mar 2006 08:00:58 -0800, albrecht wrote:
>
> > Die Menge aller Stellenindices aller natürlicher Zahlen ist unendlich.
>
> Richtig
>
> > Diese Menge kann nicht deswegen im Umfang unendlich sein, weil es
> > unendlich viele Zahlen mit endlich vielen Stellenindices gibt.
>
> Gäbe es eine endliche Zahl k der Stellenindices, dann ließe sich im
> Dezimalsystem die Zahl 10^k nicht darstellen. Also kann es ein solches k
> nicht geben.
>
> Deine Behauptung ist demnach falsch.
>
Ja. Falsch verstanden!
Meine Aussage war:
(A) Dass die Menge der Stellenindices unendlich ist.
(B) Dass üblicherweise argumentiert wird, dies wäre der Fall, da
diese Menge eine Vereinigungsmenge von unendlich vielen Mengen sei, die
jeweils endlich viele Elemente enthalten.
(C) Dass (B) aber falsch ist.
Gruß
AS
Robert W. Kuhn
> verdampfen.
"Wer?"
Das ist Eckard Blumschein. Der Gruppentroll in de.sci.mathe und
de.sci.physik, von dem bekannt ist, daß er kein mathematisches
Verständnis hat und nur Streit sucht, um sein Ego zu befriedigen.
"Und? Was soll ich jetzt machen?"
Am Allerbesten nichts. Gar nichts.
"Wie, nichts?"
Na Nichts. Das Problem mit solchen Trollen ist, daß sich endlose
Diskussionen entwickeln, die am Ende nichts bringen, die Gruppe
unübersichtlich machen und das Rauschen vergrößern. Im Ergebnis
verschlechtert sich die gesamte Stimmung in der Gruppe. Wenn Du
Dir mal anschauen willst, wie sowas enden kann, kannst Du an
de.sci.geschichte sehen. Lies dort einfach mal ein bißchen mit.
"Ich fühl mich aber provoziert!"
Verstehe ich, genau das will Herr Blumschein auch erreichen. Er
lebt von Antworten, danach verzehrt es ihn. Und er hofft, durch
seine (oft versteckten) Provokationen und Sticheleien mehr davon
zu bekommen. Zu seinen Methoden gehören absichtliches Nichtverstehen
und Zitate so aus dem Zusammenhang zu reißen, daß schon von
Zitatfälscherei gesprochen werden kann. Siehe
http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/b655350eedbfca45/28329ce31b751579?hl=de#28329ce31b751579
und folgende. Und wenn Du Dich provoziert fühlst: am meinsten
ärgert es ihn, wenn er keine Antworten bekommt. Also wäre es doch
am besten...
"Aber das ist doch Blödsinn, den Herr Blumschein da schreibt. Das muß ich
doch klarstellen, diesen Unsinn kann ich nicht so stehen lassen. Am Ende
glaubt das noch jemand."
Nein, keine Angst. Alle, die nur ein bißchen hier mitlesen, kennen
Herrn Blumschein und wissen, daß seine Schreibseleien Unsinn sind. Er
will sich nur produzieren, provozieren und Ärger sowie Stänkereien
anzetteln. Da muß man nichts klarstellen. Herr Blumschein schreibt
Unsinn und alle wissen das. Und wer es nicht weiß, kann ja dieses
Posting lesen ;-)
"Ich will aber unbedingt antworten!"
Na klar, am Ende kannst Du machen, was Du willst. Aber bitte bedenke
die negativen Folgen für die Gruppe und die Diskussionskultur hier. Es
wäre wirklich besser, einfach die Finger still zu halten. Wenn Du Dir
mal anschauen willst, wie die Diskussionen mit Herrn Blumschein
verlaufen, schau einfach mal hier:
http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/d6208fec0a3863ce?q=group%3Ade.sci.mathematik+author%3ABlumschein&hl=de&
http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/69c738e292fcf8a1?q=group%3Ade.sci.mathematik+author%3ABlumschein&hl=de&
http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/99a50a44ba59a461/2404f8037b41736a#2404f8037b41736a
Du siehst, es wurde alles schon 100x durchgekaut und schon etliche
vor Dir haben versucht, Herrn Blumschein seine Irrtümer aufzuzeigen.
Ihn geht es aber nicht um Erkenntnis, er will nur stänkern.
"Aber warum macht er das denn bloß? Was treibt ihn an?"
Keine Ahnung. Ich glaube, es gib einfach so ein schön warmes Gefühl
Abends beim Einschlafen im Bauch, wenn man denkt, man hat allen
Mathematikern gezeigt, wo der Hammer hängt.
So, das wars von mir. Vielen Dank, daß Du bis hierhin durchgehalten
hast und viel Spaß noch in de.sci.mathematik!
Tschau - Robert
--
"Hell, I never vote for anybody. I always vote against."
W.C. Fields
Eckard Blumschein
Adolf Göbel
> On 3/15/2006 6:46 PM, Robert W. Kuhn setzte wieder seinen Haufen:
>
>> "Ich fühl mich aber provoziert!"
pi's Law
Adi
Rainer Rosenthal
Ja, prima. War ganz interessant, danach zu googeln und die
verschiedenen Usenet-Üblichkeiten zu lesen. Gut gefallen
hat mir diese Beschreibung unserer Horror-Viererbande:
Eine Nachricht so zu verfassen, daß die potentiellen Opfer alle
auch anbeißen, sich schön aufregen und nicht filtern ist eine
Kunst, die viel Fingerspitzengefühl verlangt.
(Aus: http://www.rhusmann.de/kuerzel/kuer80q6.htm#ytroll )
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Peter Niessen
> Nein. Unendliche Ziffernfolgen sind dann handhabbar, wenn sie endlich
> definiert sind. Z.B. pi, e, phi, können als unendliche Ziffernfolgen
> gedacht werden und sind handhabbar. Die Antidiagonale von Cantors Liste
> z.B. ist nicht endlich definiert.
Echt albern:
Wie soll denn die Auswahl von Elementen (nach AC) aus einer unendlichen
Menge endlich sein?
Boudewijn Moonen
> Ja, prima. War ganz interessant, danach zu googeln und die
> verschiedenen Usenet-Üblichkeiten zu lesen. Gut gefallen
> hat mir diese Beschreibung unserer Horror-Viererbande:
>
> Eine Nachricht so zu verfassen, daß die potentiellen Opfer alle
> auch anbeißen, sich schön aufregen und nicht filtern ist eine
> Kunst, die viel Fingerspitzengefühl verlangt.
> (Aus: http://www.rhusmann.de/kuerzel/kuer80q6.htm#ytroll )
Also, bei der unerschoepflichen Bereitwilligkeit, mit der sich hier alle
moeglichen Leute auf nichtendende Idiotenthreads einlassen, bedarf es
nur des Fingerspitzengefuehls zum Schwingen eines Vorschlaghammers. Aus
Orcs machst Du hier noch feinsinnige Elben, wohin soll das noch fuehren?
Irgendwann kriegen wir diese NG endlich voellig ruiniert....
Gruss Boudewijn
albrecht
HEUREKA
Ich habe es inzwischen selbst nicht mehr geglaubt, vielmehr kam ich zu
der Überzeugung, dass sich die Widersprüchlichkeit des
Unendlichkeitsaxioms, bzw. eines dieses Axiom enthaltende
Axiomensystems nur in einer Metasprache formulieren lässt.
Nun stehen aber in diesem Thread alle notwendigen Ingredienzien drin,
um einen Widerspruch innerhalb z.B. ZFC zu formulieren.
Wenn hier nicht (fast) alle total betriebsblind wären, könnte jeder
selbst darauf kommen. Zu einer vollständigen Formalisierung ist es
tatsächlich nur noch ein kleiner (wenn auch mühsamer) Schritt. (Ich
hasse den Zwang, aber wenn ein Beweis sprachlich formuliert ist, muß
er natürlich auch streng formalisierbar sein, sonst stimmt etwas
nicht.)
Es dauert nicht mehr lange ... :-)
Schönen Gruß
Albrecht Storz
Norbert.Marrek
die Vereinigungsmenge von unendlich vielen Mengen, die jeweils
endlich viele Elemente enthalten?
Falls ja, wie beweist Du dann ihre Endlichkeit auf Grund dieser
Definition, um den Widerspruch zu (A) zu konstruieren?
Falls nein, wie beweist Du, dass diese Definition der Menge
der Stellenindizes nicht mit einer von Dir noch zu gebenden
Definition der Menge der Stellenindizes nicht übereinstimmt?
Aloha,
Norbert
Klaus Loerke
>selbst darauf kommen.
"Ein Geisterfahrer? Tausende!"
Eckard Blumschein
On 3/16/2006 12:24 AM, Boudewijn Moonen wrote:
> Rainer Rosenthal schrieb:
[Aus welchen Gründen auch immer: nichts Mathematisches.]
Immer das lesen worauf Kuhn reagierte.
Mathematik ist keine Mengenlehre sondern eher eine von aktual
unendlichen Mengen zu reinigende Lehre.
Wir heben unsere Pfoten, der Gauss hat es verboten. Was?
Den Gebrauch des Unendlichen als einer vollendeten Größe in der Mathematik.
Hat das nicht Cantor widerlegt? Nein. Er und seine Jünger behaupteten
und glaubten das nur.
Das Verbot des aktual Unendlichen innerhalb der Mathematik der richtigen
(also der rationalen) Zahlen halte ich für einen wertvollen Grundsatz.
Die Division durch null ist deshalb unzulässig weil null das aktual
Unendlichkleine ist.
Wenn man mit oo als einer Zahl operiert ist in der Regel das aktual
Unendlichgroße gemeint. Potentiell unendlich sind nur Prozesse. Speziell
der Prozess "Zählen" ist potentiell unendlich. Zahlen als das Ergebnis
dieses Prozesses sind dagegen stets endlich.
Klar ist, dass jede natürliche Zahl endlich ist, dass es entgegen Cantor
also keine übernatürlichen Zahlen gibt. Wenn jede natürliche Zahl
endlich ist, so sollte man erwarten, dass dies auch für alle Zahlen gilt.
Vorsicht: Was Galilei für die Attribute größer, gleich und kleiner
erkannte, dass sie für unendliche Prozesse nicht gelten, hat man auch
beim Wort alle zu bedenken.
Das Denken von Dedekind wie auch von Cantor basierte auf dem Ignorieren
des fundamentalen Widerspruchs zwischen Zahl und Kontinuum. Man kann
auch sagen auf dem absichtlichen Verletzen des Gauss'schen Verbots.
Während Dedekind den Widerspruch elegant verschleiert, äußert ihn Cantor
in besonders provokant mystischer, von verständnislosen Mengenlehrern
als kontraintuitiv beschönigter Form:
Vollendung des nie Vollendbaren, Über- statt Nichtabzählbarkeit.
Allzu offensichtlich abstruse Worte wie Überunendlichkeit und
übernatürliche Zahlen vermied Cantor.
Der Begriff Menge aller natürlichen Zahlen ist folglich ohne Klarheit
darüber was er bedeuten soll unbrauchbar. Mathematiker können es nicht
verstehen, aber es stimmt: Das streng wörtlich genommene Attribut "alle"
impliziert die Fiktion des Endes des Unendlichen. Eine Menge welche
entgegen dem Gauss'schen Verbot das Unendliche mit dem Wort alle als
abgeschlossen betrachtet ist _nicht_ abzählbar. Freilich widerspricht
bereits das Wort Zahl dem Attribut alle.
> Also, bei der unerschoepflichen Bereitwilligkeit, mit der sich hier alle
> moeglichen Leute auf nichtendende Idiotenthreads einlassen, ...
... schließe ich, dass dem Scharlatan Cantor (Begriff von Poincaré, die
Bezeichnung Idiot verbot sich angesichts mentaler Erkrankung) im
Vergleich zu Dedekind viel zu viel Aufmerksamkeit geschenkt wird. Schuld
daran ist wohl die nicht endende Glorifizierung und Verbreitung der
naiven Mengenlehre. Warum lassen sich Cantorjünger darauf ein,
Andersdenkende belehren zu wollen?
Grund 1: Diese Dummen müssen doch merken dass die Bibel wahr ist.
Grund 2: WM, AS, RS, EB etc. haben mir gar nichts zu sagen. Ich bin wer.
Ich bin Mathematiker, vielleicht sogar Professor der Mathematik
Grund 3: Argumente lasse ich nicht an mich heran.
Grund 4: Ich brauche mir bei der Diskussion keine Mühe zu geben. Mir
kann ja nichts passieren.
Grund 5: Ich gebe es nicht zu, aber ein wenig neugierig bin ich schon.
Grund 6: Ich bin immer mehr verärgert und ungeduldig.
Grund 7: Hier kann ich mal richtig die Sau rauslassen.
Nun die Gewissensfrage: Warum tut sich EB das an?
Er kam mit logisch noch immer zwingenden Überlegungen zu reellen Zahlen,
wurde aufmerksam auf immer mehr logische Widersprüche in dem was man
Grundlagen der Mathematik nennt, forschte nach den Zusammenhängen,
erkannte dass es für den Zahlenbegriff von Dedekind und Cantor keinerlei
tragfähige Beweisgrundlage gibt und hat nun eigene Vorstellungen
entwickelt die unspektakulär einfach sind.
E.
Kroni
>Nun die Gewissensfrage: Warum tut sich EB das an?
Weil ihm langweilig ist ?
Weil der Winter schon zu lange dauert?
Weil er in der Midlifecrises steckt?
Weil er glaubt etwas von Bedeuting schaffen zu müssen?
Weil er vereinsamt ist und Kommunikation sucht?
.....
K.R.
Eckard Blumschein
[nichts zu Gauss]
albrecht
Warum kannst Du Deine Elaborate nicht in einem anderen Thread ablassen?
Ich bemühe mich hier ernsthaft um mathematische Inhalte. Du machst
daraus einen Laberthread.
Gruß
AS
Boudewijn Moonen
> Warum kannst Du Deine Elaborate nicht in einem anderen Thread ablassen?
> Ich bemühe mich hier ernsthaft um mathematische Inhalte. Du machst
> daraus einen Laberthread.
Witzbold. Es sind doch gerade alle diese Schlaumeier wie Du, die
unverdrossen Trollfuetterung betreiben, diejenigen, welche die
Laberthreads am Leben erhalten.
Gruss Boudewijn
albrecht
An die Herren Kuhn und Blumschein: Schreibt zum Thema des Threads oder
schert Euch zum Teufel. Wenn hier jeder wild das Subjekt umbenennt ist
wirklich keine zusammenhängende Diskussion mehr möglich.
AS
albrecht
Scherzkeks
Rolf Albinger
Er hat doch recht; du bist doch genauso lernresistent
wie EB,WM,RS,HJ.
Viel Spass weiterhin
Rolf
--
Simple errors penetrate the work of Dedekind,
Cantor,Zermolo,Hilbert,Russell,Hausdorff,Fraenkel,Goedel,
etc and they are not so hardly understandable.
(Eckard Blumschein)
Marc Olschok
Umgekehrt: wenn der Inhalt eines Diskussionbeitrags mit dem ursprünglichen
Thema nicht mehr viel zu tun hat, ist es durchaus sinnvoll, dies durch
eine Änderung des "Subject:"-Eintrag entsprechend zu kennzeichnen.
Dies ermöglicht nämlich denjenigen, die am ursprünglichen Thema interessiert
sind, solche Beiträge ungelesen zu ignorieren; zuweilen kann das neue
Thema auch für jemanden interessanter sein als das ursprüngliche.
Erschwert wird die Diskussion hingegen durch Beiträge abseits des
ursprünglichen Themas, welche nicht entsprechend gekennzeichnet sind.
M.O.
Carsten Schultz
> albrecht <albs...@gmx.de> wrote:
>>
>>
>> An die Herren Kuhn und Blumschein: Schreibt zum Thema des Threads oder
>> schert Euch zum Teufel. Wenn hier jeder wild das Subjekt umbenennt ist
>> wirklich keine zusammenhängende Diskussion mehr möglich.
>
> Umgekehrt: wenn der Inhalt eines Diskussionbeitrags mit dem ursprünglichen
> Thema nicht mehr viel zu tun hat, ist es durchaus sinnvoll, dies durch
> eine Änderung des "Subject:"-Eintrag entsprechend zu kennzeichnen.
Genau, und zwar so wie Marc das gemacht hat, damit man es auch
erkennen kann.
> Dies ermöglicht nämlich denjenigen, die am ursprünglichen Thema interessiert
> sind, solche Beiträge ungelesen zu ignorieren; zuweilen kann das neue
> Thema auch für jemanden interessanter sein als das ursprüngliche.
>
> Erschwert wird die Diskussion hingegen durch Beiträge abseits des
> ursprünglichen Themas, welche nicht entsprechend gekennzeichnet sind.
Wobei es leider bei einigen Themen nicht wirklich darauf ankommt.
Gruß,
Carsten
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.
albrecht
Dies mag für Newsreader gelten. Aber Nutzer von Google Groups wie ich
können das nicht so sehen.
Gruß
Albrecht Storz
Peter Niessen
>> Umgekehrt: wenn der Inhalt eines Diskussionbeitrags mit dem ursprünglichen
>> Thema nicht mehr viel zu tun hat, ist es durchaus sinnvoll, dies durch
>> eine Änderung des "Subject:"-Eintrag entsprechend zu kennzeichnen.
>> Dies ermöglicht nämlich denjenigen, die am ursprünglichen Thema interessiert
>> sind, solche Beiträge ungelesen zu ignorieren; zuweilen kann das neue
>> Thema auch für jemanden interessanter sein als das ursprüngliche.
>>
>> Erschwert wird die Diskussion hingegen durch Beiträge abseits des
>> ursprünglichen Themas, welche nicht entsprechend gekennzeichnet sind.
>>
>
> Dies mag für Newsreader gelten. Aber Nutzer von Google Groups wie ich
> können das nicht so sehen.
Faule Ausrede:
Es gibt genügend freie Newsserver. Googel kennt die!
Wer über
Organization: http://groups.google.com
postet ist selber schuld.
Eckard Blumschein
> Viel Spass weiterhin
> Rolf
Es geht jetzt um Gauss und aktuale Unendlichkeit. Spaße bitte woanders.
E.
Eckard Blumschein
Vor Cantor war Gauss, und es ging um dessen Verbot der aktualen
Unendlichkeit. Ich wählte nur kürzere Namen. Kuhn ist Kuhn.
E.
albrecht
Dann öffne bitte einen entsprechenden Thread. Falls Du hier etwas
reingelesen hast, hättest Du merken können, dass es nicht um die
Zitierungen und Auslegung von Klassikern geht, sondern um die
Formulierung konkreter mathematischer Sachverhalte.
Wenn Du den Thread umbenennst ist dieser für mich nicht mehr
erkennbar. (Wenn Du wenigstens "War Thread soundso" einfügen
würdest.)
Hilfreich finde ich Deine Einlassungen auch nicht.
Gruß
AS
Eckard Blumschein
> (2) card(S(total)) = card(|N)
Wer Cantors Denken konsequent analysiert kommt nicht daran vorbei
zufragen ob es irgendwie gerechtfertigt ist unendlichen Mengen
unterschiedliche Mächtigkeiten (Kardinalitäten) zuzuordnen.
Mein Ergebnis ist eindeutig: Nein. Ich sehe nur die Unterscheidung
zwischen Zahl (abzählbar) und Kontinuum (nicht abzählbar).
Wozu müssen wir Symbole einer haltlosen Theorie benutzen?
> Zusammenfassung:
> Da es keine natürliche Zahl "unendlich" gibt, gibt es auch keine
> Anzahl "unendlich".
Abzählbar unendlich ist eine Eigenschaft.
> Damit gibt es auch keine Menge (eine Menge ist eine
> aktuale Gesamtheit) deren Anzahl von Elementen unendlich ist.
Vorsicht. Es gibt auch endliche Mengen. Unendliche Mengen kann man als
Realität nur potentiell unendlich auffassen.
Ihre Betrachtung als fiktive Gesamtheit ist mit der potentiell
unendlichen Sicht unvereinbar.
Cantors Mengendefinition beanspruchte beides und war folglich unhaltbar
naiv falsch.
> Aktual unendlich viele natürliche Zahlen ohne eine unendlich große
> natürliche Zahl ist eine absurde Idee - genauso wie eine unendlich
> große natürliche Zahl eine absurde Idee ist. Die Gesamtheit der
> natürlichen Zahlen ist nur potentiell unendlich denkbar ohne auf
> Widersprüche zu stossen.
Ja. Mit der potentiell unendlichen Sicht erfasst man nicht das nur als
Fiktion (im Klartext nie) erreichbare Ende des Unendlichen.
> Indem bei der Vorstellung von der Menge der natürlichen Zahlen die
> Anzahl der Stellen als potentiell unendlich (unbeschränkt) gedacht
> wird, wird bei der Vorstellung von einer aktual unendlichen Menge |N
> potentielles (Unbeschränktheit der Stellenanzahl) und aktuales
> Unendlich ("Mächtigkeit" der Menge) vermischt.
Ja. Beides ist nicht gleichzeitig zu haben.
> Da die Mathematik für
> beide Begriffe nur die Formalisierung
> für alle n Element |N
> oder
> für alle n = 1, 2, 3, ...
> kennt
> kann die Mathematik diesen Unterschied nicht formalisiern und damit
> auch nicht detektiern.
> Der Ausdruck n -> oo aus der Analysis beschreibt immer nur das
> potentielle Unendliche.
Der Pfeil drückt aus, dass n unbegrenzt wächst. "Gegen unendlich" ist
sehr unglücklich formuliert, da ja oo keine Zahl ist, sondern eine aus
der Zahlenwelt nicht erreichbare Qualität.
>
> Cantors Beitrag zur Mathematik war
waren, da man ja nur Wertvolles als Beitrag zählt,
- die Definition der reellen Zahlen als *fiktive* Grenzwerte mit
*aktual* unendlich vielen Stellen,
- die Demonstration der Gleichartigkeit (Abzählbarkeit) jeder Menge von
Zahlen,
- die Demonstration der Nichtabzählbarkeit der reellen Zahlen
einschließlich aller Potenzmengen unendlicher Mengen
> leider vor allem nur der, diese seit
> Jahrtausende bekannten Zusammenhänge zu verschleiern und die Grundlage
> zu einem Axiomensystem zu legen, dass von zwei möglichen, nämlich
> logisch korrekten Schlußweisen immer nur eine zulässt (per Dogma), um
> seine Widersprüchlichkeit nicht offenbar werden zu lassen.
Den negativen Beitrag teilt sich Cantor speziell mit Dedekind. Dieser
sprach die unlautere Absicht klarer aus: Es ging darum, die reellen
Zahlen zu numerisch geordneten Zahlen zu machen. Freilich gelang das nur
über einen bis heute nicht aufgegebenen sondern nur auf neue Mittel
gestützten Selbstbetrug. Gebraucht hat man diesen Selbstbetrug nicht.
Die Analysis funktioniert gewissermaßen hintenherum über die Aufgaben
welche die irrationalen Zahlen definieren. Dies beweist wie unnütz die
ML ist.
Schönen Gruß,
Eckard
albrecht
> On 3/12/2006 6:13 PM, albrecht wrote:
>
>
> > (2) card(S(total)) = card(|N)
>
> Wer Cantors Denken konsequent analysiert kommt nicht daran vorbei
> zufragen ob es irgendwie gerechtfertigt ist unendlichen Mengen
> unterschiedliche Mächtigkeiten (Kardinalitäten) zuzuordnen.
> Mein Ergebnis ist eindeutig: Nein. Ich sehe nur die Unterscheidung
> zwischen Zahl (abzählbar) und Kontinuum (nicht abzählbar).
> Wozu müssen wir Symbole einer haltlosen Theorie benutzen?
Da in der Mathematik, zurecht, formalisierte Beweise gefordert werden.
Der Unterschied zwischen "abzählbar", also diskreten zählbaren Mengen
und "nicht-abzählbar", also Kontinua, müsste also formalisert werden
können (wobei ich nicht ausschliesse, dass dies möglich ist). Die auf
Cantor aufbauende Formalisierung einer solchen Unterscheidung (die eine
aktual unendliche Menge, also das Unendlichkeitsaxiom erfordert),
führt zu unsinnigen transfiniten Zahlen. Wie willst Du dieses Problem
auflösen?
>
> > Zusammenfassung:
> > Da es keine natürliche Zahl "unendlich" gibt, gibt es auch keine
> > Anzahl "unendlich".
>
> Abzählbar unendlich ist eine Eigenschaft.
Man muß die dahinter stehenden Axiome sehen. Der Begriff "abzählbar
unendlich" macht momentan nur in einem Axiomensystem mit dem
Unendlichkeitsaxiom Sinn. Ich bin inzwischen überzeugt, zeigen zu
können, dass das Unendlichkeitsaxiom zu Widersprüchen führt.
>
> > Damit gibt es auch keine Menge (eine Menge ist eine
> > aktuale Gesamtheit) deren Anzahl von Elementen unendlich ist.
>
> Vorsicht. Es gibt auch endliche Mengen. Unendliche Mengen kann man als
> Realität nur potentiell unendlich auffassen.
Deine Argumentation operiert etwas im luftleeren Raum. Eine "es
gibt"-Aussage macht in der Mathematik nur auf der Grundlage einer
Axiomatik Sinn.
In einer Axiomatik mit dem Unendlichkeitsaxiom _gibt_ es unendliche
Mengen. Ob eine solche Axiomatik konsistent ist, ist immer noch eine
andere Frage.
Der Begriff "Menge" impliziert die Eigenschaft "aktual". Eine
potentielle Menge, im endlichen oder unendlichen Sinn ist ein
Widerspruch in sich. Man könnte höchstens von einer potentiellen
Klasse oder Gesamtheit sprechen.
Ich möchte mich noch entschuldigen. Ich habe möglicherweise
überreagiert wegen der Umbennenung des Threads. Du konntest vermutlich
nicht abschätzen, dass der Thread damit für mich nicht mehr erkennbar
war.
Meine Bitte weiterhin: Wenn Threads umbenannt werden, bitte den
ursprünglichen Namen in Klammer anfügen.
Gruß
Albrecht Storz
albrecht
> On 16 Mar 2006 04:50:48 -0800, "albrecht" <albs...@gmx.de> wrote:
>
> >
> >Boudewijn Moonen wrote:
> >> albrecht wrote:
> >>
> >> > Warum kannst Du Deine Elaborate nicht in einem anderen Thread ablassen?
> >> > Ich bemühe mich hier ernsthaft um mathematische Inhalte. Du machst
> >> > daraus einen Laberthread.
> >>
> >> Witzbold. Es sind doch gerade alle diese Schlaumeier wie Du, die
> >> unverdrossen Trollfuetterung betreiben, diejenigen, welche die
> >> Laberthreads am Leben erhalten.
> >>
> >> Gruss Boudewijn
> >
> >Scherzkeks
> Er hat doch recht; du bist doch genauso lernresistent
> wie EB,WM,RS,HJ.
>
Komisch. Ich dachte bisher immer, die lernresistenten Trollfütterer
wären Amicus und Konsorten.
Bin ich in der Hackordnung um eine Stufe aufgestiegen? Ich kann mein
Glück noch gar nicht fassen.
:-)
Dir auch weiterhin allen Spaß der Welt,
wünscht
AS
Eckard Blumschein
> Eckard Blumschein wrote:
>> On 3/12/2006 6:13 PM, albrecht wrote:
>>
>>
>> > (2) card(S(total)) = card(|N)
>>
>> Wer Cantors Denken konsequent analysiert kommt nicht daran vorbei
>> zufragen ob es irgendwie gerechtfertigt ist unendlichen Mengen
>> unterschiedliche Mächtigkeiten (Kardinalitäten) zuzuordnen.
>> Mein Ergebnis ist eindeutig: Nein. Ich sehe nur die Unterscheidung
>> zwischen Zahl (abzählbar) und Kontinuum (nicht abzählbar).
>> Wozu müssen wir Symbole einer haltlosen Theorie benutzen?
>
> Da in der Mathematik, zurecht, formalisierte Beweise gefordert werden.
> Der Unterschied zwischen "abzählbar", also diskreten zählbaren Mengen
> und "nicht-abzählbar", also Kontinua, müsste also formalisert werden
> können (wobei ich nicht ausschliesse, dass dies möglich ist). Die auf
> Cantor aufbauende Formalisierung einer solchen Unterscheidung (die eine
> aktual unendliche Menge, also das Unendlichkeitsaxiom erfordert),
> führt zu unsinnigen transfiniten Zahlen. Wie willst Du dieses Problem
> auflösen?
Wir sollten eigentlich im gleichen Boot sitzen.
1) Dedekind hatte ganz ungeniert zugegeben keinen Beweis beibringen zu
können. Niemand könne das. Darüber regt sich niemand auf. Ich hielte es
für groben Unsinn alles formal beweisen zu wollen, etwa dass eine Zahl
eine Zahl ist. Ohne Sinn und Verstand geht es auch in der Mathematik nur
schlecht oder gar nicht. Die Formalisierung des Unterschieds zwischen
abzählbaren potentiell unendlichen Zahlen und nicht abzählbaren aktual
unendlichen Vielheiten von jeweils nur potentiell unendlich vielen
fiktiven Zahlen hat Cantor sowohl mit dem 2. Diagonalargument als auch
mit der Potenzmenge geleistet. Wenn die Verteidiger der ML darauf
zurückgreifen dürfen das ihre Gegner, also wir, gewiss auch. Es geht nur
um die Frage: Warum sind die nicht abzählbaren "Zahlen" nicht abzählbar?
Cantors Interpretation: "Es müssen mehr als unendlich viele sein" fällt
nicht nur aus dem Rahmen dessen was als vernünftig galt und gilt sondern
sie stützt sich auf sich selbst: Cantor setzt Vergleichbarkeit voraus
und begründet darauf seine Rechtfertigung rationale und irrationale
Zahlen hinsichtlich einer von ihm selbst ohne Beweis eingeführten
Mächtigkeit miteinander zu vergleichen und als unterschiedlich zu erkennen.
Mit diesem Zirkelschluss rechtfertigt er neben dem Mächtigkeitsbegriff
zugleich seine transfiniten Zahlen. Das Beweis-Problem ist spätestens
seit Ziehen gelöst. Das Resultat hat man mit Erfolg totgeschwiegen: Es
gilt der 4. Fall: Die nicht abzählbaren fiktiven reellen Zahlen sind
nicht mit den abzählbaren rationalen vergleichbar. Sie hätten nie mit
vollem Bürgerrecht ins Zahlenreich eingebürgert werden dürfen.
2) Das Unendlichkeitsaxion von ZF plagiiert das Axiom von Archimedes: Zu
jeder Zahl gibt es eine Größere. Das lese ich als potentielle
Unendlichkeit. Unklar ist lediglich der Begriff Menge, da ja Cantors
Mengendefinition ersatzlos für tot erklärt ist. Das Axiom der
Bestimmtheit lese ich als Unbestimmtheit: Eine (unendliche) Menge ist
durch ihre (unendlich vielen) Elemente eindeutig (aus meiner Sicht
dreideutig) bestimmt:
a) nur potentiell oo,
b) aktual oo oder
c) für IR gar keine diskreten sondern nur fiktive Elemente.
Ich sehe b mit c übereinstimmen.
>> > Zusammenfassung:
>> > Da es keine natürliche Zahl "unendlich" gibt, gibt es auch keine
>> > Anzahl "unendlich".
>>
>> Abzählbar unendlich ist eine Eigenschaft.
>
> Man muß die dahinter stehenden Axiome sehen. Der Begriff "abzählbar
> unendlich" macht momentan nur in einem Axiomensystem mit dem
> Unendlichkeitsaxiom Sinn. Ich bin inzwischen überzeugt, zeigen zu
> können, dass das Unendlichkeitsaxiom zu Widersprüchen führt.
Beschäftige Dich lieber mit dem oben genannten Extensionalitätsaxiom.
Knackpunkt ist die Erkenntnis dass irrationale Zahlel zwar aufgabenhaft
aber nicht numerisch identifiziert und somit nicht integrationsfähig sind.
>> > Damit gibt es auch keine Menge (eine Menge ist eine
>> > aktuale Gesamtheit) deren Anzahl von Elementen unendlich ist.
>>
>> Vorsicht. Es gibt auch endliche Mengen. Unendliche Mengen kann man als
>> Realität nur potentiell unendlich auffassen.
>
> Deine Argumentation operiert etwas im luftleeren Raum. Eine "es
> gibt"-Aussage macht in der Mathematik nur auf der Grundlage einer
> Axiomatik Sinn.
> In einer Axiomatik mit dem Unendlichkeitsaxiom _gibt_ es unendliche
> Mengen. Ob eine solche Axiomatik konsistent ist, ist immer noch eine
> andere Frage.
CF werfe ich gestützt auf das was Fraenkel und Hilbert selbst schreiben
vor, absichtlich offen dafür zu sein, gewisse Zusammenhänge zu glauben,
unsinnige Zusammenhänge!
Gilt "es gibt" übrigens auch für die Wurzel aus minus eins?
> Der Begriff "Menge" impliziert die Eigenschaft "aktual". Eine
> potentielle Menge, im endlichen oder unendlichen Sinn ist ein
> Widerspruch in sich.
Wo steht das? Wo sollte es stehen? Wer legte die Bedeutungen speziell
für Allaussagen fest? Worauf konnte er sich berufen? Mein Eindruck: Je
formaler und damit scheinbar genauer desto unpräziser.
> Man könnte höchstens von einer potentiellen
> Klasse oder Gesamtheit sprechen.
Cantors Mengendefinition war zu offensichtlich in sich widersprüchlich.
Man hat sie scheibchenweise auf Axiome eines in sich möglichst
widerspruchsfreien Axiomensystems verteilt.
Nur die rationalen Zahlen als eine potentiell unendliche Menge zu
bezeichnen wäre gewiss nicht falsch. Braucht man alle ihre Elemente, so
betriff man das Reich IR der Fiktion.
Jene Aufgaben, welche scheinbar einzelne reelle Zahlen definieren, sind
aber keine Fiktionen sondern führen auf abzählbare rationale Zahlen.
> Wenn Threads umbenannt werden, bitte den
> ursprünglichen Namen in Klammer anfügen.
Unbedingt.
Gruß,
Eckard
Carsten Schultz
> 1) Dedekind hatte ganz ungeniert zugegeben keinen Beweis beibringen zu
> können. Niemand könne das.
Wofür?
Peter Niessen
> On 2006-03-20, Eckard Blumschein <blums...@et.uni-magdeburg.de> wrote:
>> 1) Dedekind hatte ganz ungeniert zugegeben keinen Beweis beibringen zu
>> können. Niemand könne das.
>
> Wofür?
Dedekind meint damit das jede Zerlegung einer Geraden (Seine Schnitte)
stets durch genau einen Punkt gegeben ist. Dedekind schreibt dazu:
"Dies ist eine so offensichtliche Tatsache das wir sie als eine
unbeweisbare Grundannahme setzen dürfen die das Kontinuum einer Linie
charakterisiert."
Aber was erwartest du schon von Blumschein? Das er einen Text liest?
albrecht
Nein. Du greifst hier zu kurz. Du akzeptierst das Diagonalargument
Cantors.
Cantors Diagonalargument setzt notwendig die Einführung der aktual
unendlichen Menge, z.B. in Form der _Menge_ der natürlichen Zahlen
voraus. Hier darf "Menge" nicht in der Art unseres
Alltagsverständnisses unscharf gebraucht werden. "Menge" kann in der
ML nur etwas sein, was vollständig und komplett - eben aktual -
vorliegt, und damit eine definierte "Größe", oder besser,
Mächtigkeit besitzt.
Am Beispiel des Diagonalargumentes:
_Ohne_ aktual unendlicher Menge, also jetzt potentiell unendlich
aufgefasst, kann in Cantors Liste zu jeder natürlichen Zahl n eine
Antidiagonale
b = 0. b_1 b_2 b_3 ... b_n
angegeben werden die offensichtlich von jeder reellen Zahl der Liste
a_m mit m e {1, 2, 3, ... , n}
verschieden ist.
Aber ebenso offensichtlich folgt auf jede Zeile n eine Zeile n+1 mit
einer reellen Zahl, die eben diese reelle Zahl b enthalten könnte
(sowie noch unendlich viele weitere Zeilen, in denen b stehen kann.
Also, in der üblichen Notation: Zu jeder Zahl b = 0. b_1 b_2 b_3 ...
b_n mit b_i =/= a_ii (also aus Ziffern bestehend, die von den Ziffern
auf der Diagonalen verschieden sind), gibt es eine Zeile n+1, die von
der Antidiagonalen nicht erfasst ist. Da wir die Liste potentiell
betrachten, kann man hier nicht schreiben: b = 0. b_1 b_2 b_3 ... mit
b_n =/= a_nn, denn damit würden wir ausdrücken: Für _alle_ n e |N
_gleichzeitig_.
In der potentiell unendlichen Liste gibt es aber eben für jedes n
immer ein n+1, für das etwas anderes gilt wie für n. Denn b kann zu
einem gewählten n immer nur n Nachkommastellen umfassen.
Der Unterschied ist wie wenn man sagte:
alle n e |N haben einen (eigenen) Nachfolger (also für jedes n extra)
oder
alle n e |N haben einen (denselben) Nachfolger (also für alle n
gleich(zeitig)).
In der aktual unendlichen Liste gibt es aber nun ein b mit aktual
unendlich vielen Stellen und damit eine Antidiagonale b, die von jeder
Zeile a_n verschieden ist.
Damit gilt Cantors Diagonalargument für eine potentiell unendliche
Liste reeller Zahlen nicht, für eine aktual unendliche Liste wohl.
Nun führt aber die Annahme von aktual unendlichen Mengen zu einer
Antinomie (dies darf nicht damit verwechselt werden, dass es etwa nicht
die Gesamtheit der natürlichen Zahlen geben würde - es gibt nur nicht
die mathematisch als Menge definierte Gesamtheit der natürlichen
Zahlen, denn eine solche Gesamtheit müsste aktual gedacht werden).
Andererseits besagt die Möglichkeit der Bijektion z.B. der
natürlichen Zahlen zu den rationale Zahlen und die Unmöglichkeit der
Bijektion der natürlichen Zahlen zu den reellen Zahlen nichts, denn
dieser Unterschied kann leicht darauf zurückgeführt werden, dass man
einen Ordnung für die natürlichen und die rationalen Zahlen angeben
kann, für die reellen Zahlen aber nicht.
Ebenso für die (sowieso ohne Unendlichkeitsaxiom unsinnige)
Potenzmenge der natürlichen Zahlen. Auch für diese lässt sich keine
Ordnung angeben, also ein Bildungsgesetz, das garantiert, dass jedes
Element aufgezählt wird. Gäbe es eine solche Ordnung, gäbe es auch
eine Bijektion zwischen |N und P(|N).
Ergo: Ohne Unendlichkeitsaxiom gibt es keine unterschiedlichen
Mächtigkeiten im Unendlichen. Es ist einfach sinnlos, von "mehr
reellen als natürlichen Zahlen" zu sprechen. Beides sind einfach
unendlich viele. Das Unendliche ist die Grenze unserer
Erkenntnisfähigkeit. Hinter dem Unendlichen ist nichts (oder Nichts).
Wir wissen es nicht und können es nicht wissen.
Gruß
Albrecht Storz
Peter Niessen
> dies darf nicht damit verwechselt werden, dass es etwa nicht
> die Gesamtheit der natürlichen Zahlen geben würde ....
Und diese Gesamtheit ist endlich?
Eckard Blumschein
Wenn ich entscheidend wichtige Texte lese, dann so kritisch wie möglich.
Die Zerlegung einer Geraden in Punkte ist etwas was schon Spinoza
(1632-1677) als irrig erkannt hatte: "... ist es ... widersinnig zu
behaupten, dass ... die Linien endlich aus Punkten zusammengesetzt
seien." In Cavalieris Geometria indivisibilius continorun (1635)
überwandt eine Bewegung (fluxus) dessen was man heute Urelemente nennen
könnte den prinzipiellen Unterschied zwischen diskret und
kontinuierlich. Dedekind machte es sich bei aller seiner oberflächlichen
Gebildetheit viel einfacher. Er ignorierte den Unterschied. Warum hat er
nicht die gute Bibliothek in Wolfenbüttel genutzt? Ich weiß es nicht.
Auf der fluentistischen Vorstellung baute Newtons äußerst furchbare
Infinitesimalrechnung auf. Leibniz war mit seinen Fiktionen schon einen
Schritt weiter. Welche Rolle Fermat, der ja als Begründer der modernen
Zahlentheorie gilt spielte weiß ich noch nicht.
Klar ist nur, dass heutzutage auch Durchschnittsmenschen die Sache
verstehen können, vorausgesetzt sie wurden nicht mathematisch verbildet.
Angenommen, man definiert zwei Punkte a und b auf der Zahlengerade so,
dass sie die aufgabenhaft definierte Irrationalzahl pi einschließen.
Dann kann man die. Dann kann das Intervall zwischen a und b immer feiner
unterteilt werden, potentiell unendlich oft. Bekanntlich wird der Wert
von pi dabei nie erreicht, denn pi ist in den rationalen Zahlen gar
nicht enthalten. Es wäre durchaus möglich, die Gerade genau bei pi
durchzuschneiden, sofern man bereit wäre auf die Zuordnung der Punkte a
und b zu rationalen Zahlen zu verzichten.
Auch Durchschnittsmenschen sind heute in der Lage, den Begriff unendlich
als eine fiktive und nicht vermehrbare Qualität auf die Mathematik
anzuwenden. Wenn zu einem Intervall unendlich viele Elemente gehören, so
können sie ganz grundsätzlich nicht alle voneinander unterschieden
werden. Es ist nicht möglich jeden der unendlich vielen fiktiven Punkte
zu benennen. Trichotomie kann also gar nicht gelten. Der Haken an
Dedekinds "Punkt" besteht in der Gleichsetzung von fiktivem Punkt und
Zahl. Peirce schrieb "mere potentiality" und griff damit das ihm
bekannte Gedankengut von Leibniz auf, dass man die Gerade an einer
bekliebigen Stelle teilen könne, aber nicht mehrfach an einer beliebigen
Stelle. Dedekind suggerierte so geschickt wie falsch, dass pi ein Punkt
sein müsse, weil die definierende Aufgabe eine exakte Position bestimmt.
Ich versuche mal eine Aussage: Auf einer zunächst nicht numerisch
quantifizierten Linearordnung (Geraden mit linearem, zunächst nicht
quantifiziertem Anstieg) darf man nur zwei Punkte beliebigen rationalen
Zahlen eines Zahlensystems (beispielsweise im Dezimalsystems null und
eins) frei zuordnen. Dazwischen passen potentiell (=abzählbar) unendlich
viele rationale Punkte und aktual (=nicht abzählbar) unendlich viele
fiktive (=irrationale) Punkte. Der Unterschied zwischen rational und
irrational ist kein quantitativer sondern ein qualitativer.
Vergeßt bitte das dumme Wort Mächtigkeit. Es war zu Zeiten des
Panthersprungs nach Agadir Mode mit katastrophalem Ausgang. Kardinalität
ist nicht besser.
Eckard
Eckard Blumschein
> Eckard Blumschein wrote:
>> Wir sollten eigentlich im gleichen Boot sitzen.
>> 1) Dedekind hatte ganz ungeniert zugegeben keinen Beweis beibringen zu
>> können. Niemand könne das. Darüber regt sich niemand auf. Ich hielte es
>> für groben Unsinn alles formal beweisen zu wollen, etwa dass eine Zahl
>> eine Zahl ist. Ohne Sinn und Verstand geht es auch in der Mathematik nur
>> schlecht oder gar nicht. Die Formalisierung des Unterschieds zwischen
>> abzählbaren potentiell unendlichen Zahlen und nicht abzählbaren aktual
>> unendlichen Vielheiten von jeweils nur potentiell unendlich vielen
>> fiktiven Zahlen hat Cantor sowohl mit dem 2. Diagonalargument als auch
>> mit der Potenzmenge geleistet. Wenn die Verteidiger der ML darauf
>> zurückgreifen dürfen das ihre Gegner, also wir, gewiss auch. Es geht nur
>> um die Frage: Warum sind die nicht abzählbaren "Zahlen" nicht abzählbar?
>
> Nein. Du greifst hier zu kurz. Du akzeptierst das Diagonalargument
> Cantors.
Ich sehe keinen Grund es nicht als Bekräftigung des schon verbal
eindeutigen Unterschieds zwischen abzählbar und nicht abzählbar zu
akzeptieren.
> Cantors Diagonalargument setzt notwendig die Einführung der aktual
> unendlichen Menge, z.B. in Form der _Menge_ der natürlichen Zahlen
> voraus. Hier darf "Menge" nicht in der Art unseres
> Alltagsverständnisses unscharf gebraucht werden.
Richtig. Aber das Ergebnis dieser fiktiven "Schärfe" ist keine Zahl mit
vollem Bürgerrecht sondern eine fiktive Qualität außerhalb der Zahlen.
Sie ist eine als unendlich klein, groß oder dicht an einer rationalen
Zahl gedachte fiktive Lösung einer numerisch nicht lösbaren Aufgabe.
> "Menge" kann in der
> ML nur etwas sein, was vollständig und komplett - eben aktual -
> vorliegt, und damit eine definierte "Größe", oder besser,
> Mächtigkeit besitzt.
Du hast zunächst richtig erkannt, dass Cantors Menge irreal ist.
Warum folgst Du seinem Kardinalirrtum? Unendliches hat keine Größe,
alias Mächtigkeit alias Kardinalität. Galilei: Die Attribute des
Gleiche, Kleineren, Größeren gelten nicht für unendliche Größen.
> _Ohne_ aktual unendlicher Menge, also jetzt potentiell unendlich
> aufgefasst, kann in Cantors Liste zu jeder natürlichen Zahl n eine
> Antidiagonale... angegeben werden....
...
> In der aktual unendlichen Liste gibt es aber nun ein b mit aktual
> unendlich vielen Stellen und damit eine Antidiagonale b, die von jeder
> Zeile a_n verschieden ist.
>
> Damit gilt Cantors Diagonalargument für eine potentiell unendliche
> Liste reeller Zahlen nicht, für eine aktual unendliche Liste wohl.
Genau deshalb halte ich es für geeignet zwischen den rationalen und den
allesamt fiktiven reellen Zahlen zu unterscheiden. Cantor verdanke ich
die Einsicht, dass auch eine beliebige rationale Zahl wie eins mit
aktual unendlich vielen Nachkommanullen keine Zahl mit vollem
Bürgerrecht mehr ist sondern eine unlösbare Aufgabe darstellt, eine
Fiktion.
>
> Nun führt aber die Annahme von aktual unendlichen Mengen zu einer
> Antinomie (dies darf nicht damit verwechselt werden, dass es etwa nicht
> die Gesamtheit der natürlichen Zahlen geben würde - es gibt nur nicht
> die mathematisch als Menge definierte Gesamtheit der natürlichen
> Zahlen, denn eine solche Gesamtheit müsste aktual gedacht werden).
Der offensichtliche Widerspruch darf uns nicht verwirren. Er basiert auf
offensichtlicher Unterschiedlichkeit von Zahl und Kontinuum.
> Andererseits besagt die Möglichkeit der Bijektion z.B. der
> natürlichen Zahlen zu den rationale Zahlen und die Unmöglichkeit der
> Bijektion der natürlichen Zahlen zu den reellen Zahlen nichts,
Ich denke schon. Es ist ein Merkmal des Unterschieds zwischen richtigen
Zahlen und den fiktiven Zahlen des Kontinuums.
> denn
> dieser Unterschied kann leicht darauf zurückgeführt werden, dass man
> einen Ordnung für die natürlichen und die rationalen Zahlen angeben
> kann, für die reellen Zahlen aber nicht.
Wir stimmen darin überein, dass alle Kniffe die Wohlordnung der reellen
Zahlen scheinbar zu erzwingen kläglich gescheitert sind. Ich erinnere
mich an den Beweis durch Erschöpfung. Das Kontinuum und die
Unendlichkeit sind unerschöpflich.
> Ebenso für die (sowieso ohne Unendlichkeitsaxiom unsinnige)
> Potenzmenge der natürlichen Zahlen. Auch für diese lässt sich keine
> Ordnung angeben, also ein Bildungsgesetz, das garantiert, dass jedes
> Element aufgezählt wird. Gäbe es eine solche Ordnung, gäbe es auch
> eine Bijektion zwischen |N und P(|N).
Von Hermann Kremer lernte ich, nach welcher Formel man eine Potenzmenge
ausrechnet. Die Abzählbarkeit der Potentmenge von IN scheitert also
nicht daran, dass es kein Bildungsgesetz gäbe sondern schon daran, dass
dort aktual unendlich viele Elemente einzusetzen wären, was ja nie
wirklich möglich ist, so dass man sich diese Potenzmenge nur als irreale
Fiktion denken kann.
>
> Ergo: Ohne Unendlichkeitsaxiom gibt es keine unterschiedlichen
> Mächtigkeiten im Unendlichen.
Na langsam. Cantor hatte noch nicht mit Axiomen operiert, und es was
seine kindisch originelle Idee über unendlich hinaus zu zählen.
Unterschiedliche Mächtigkeiten unendlicher Mengen sind _deshalb_ Unsinn,
weil schon für den Begriff Mächtigkeit keinerlei Rechtfertigung vorliegt.
> Es ist einfach sinnlos, von "mehr
> reellen als natürlichen Zahlen" zu sprechen. Beides sind einfach
> unendlich viele.
Ja, beide weisen die Qualität unendlich auf. Die reellen "Zahlen" weisen
aber als Besonderheit zusätzlich die Qualität Fiktivität bzw.
Nichtabzählbarkeit auf.
> Das Unendliche ist die Grenze unserer
> Erkenntnisfähigkeit.
Bitte nicht so mystisch. Einverstanden wäre ich mit "IR ist die fiktive
Grenze von (Q".
> Hinter dem Unendlichen ist nichts (oder Nichts).
Ja. Deshalb halte ich auch von *IR gar nichts.
> Wir wissen es nicht und können es nicht wissen.
Bitte nicht so mystisch. Unendlichkeit eines Prozesses ist ganz einfach
dessen Eigenschaft nie aufzuhören. Der verwirrende Unterschied zwischen
aktual und potentiell unendlich ist leicht erklärt: Vom Beginn eines
unendlichen Prozesses her ist dessen Ende nicht zu sehen, ist es nicht
erreichbar. Ein unendlicher Prozess hart die Potenz beliebig weit zu
führen.
Als aktual unendlich kann man den gleichen Prozess annehmen, indem man
sein grundsätzlich nicht erreichbares Ende antizipiert, gewissermaßen
also den Prozess von außen sehend vorwegnimmt, mithin antizipiert dass
ein weiteres Fortschreiten zwar nie aufhört aber in summa irrelevant ist
(Konvergenz). Im Begriff des aktual Unendlichen, der ja beispielsweise
schon von Johann Schulz (1739-1805) sinnvoll gebraucht wurde, steckt
also Fiktivität. Das aktual Unendliche ist irreal aber nützlich.
Gruß,
Eckard
albrecht
> albrecht schrieb:
> > Gerd Thieme wrote:
> >> On 14 Mar 2006 08:00:58 -0800, albrecht wrote:
> >>
> >>> Die Menge aller Stellenindices aller natürlicher Zahlen ist unendlich.
> >> Richtig
> >>
> >>> Diese Menge kann nicht deswegen im Umfang unendlich sein, weil es
> >>> unendlich viele Zahlen mit endlich vielen Stellenindices gibt.
> >> Gäbe es eine endliche Zahl k der Stellenindices, dann ließe sich im
> >> Dezimalsystem die Zahl 10^k nicht darstellen. Also kann es ein solches k
> >> nicht geben.
> >>
> >> Deine Behauptung ist demnach falsch.
> >>
> >
> >
> > Ja. Falsch verstanden!
> >
> > Meine Aussage war:
> > (A) Dass die Menge der Stellenindices unendlich ist.
> > (B) Dass üblicherweise argumentiert wird, dies wäre der Fall, da
> > diese Menge eine Vereinigungsmenge von unendlich vielen Mengen sei, die
> > jeweils endlich viele Elemente enthalten.
> > (C) Dass (B) aber falsch ist.
> >
> >
> > Gruß
> > AS
> >
> Frage: Ist Deiner Meinung nach die Menge der Stellenindizes
> die Vereinigungsmenge von unendlich vielen Mengen, die jeweils
> endlich viele Elemente enthalten?
Ja. Unendlichkeitsaxiom vorausgesetzt.
>
> Falls ja, wie beweist Du dann ihre Endlichkeit auf Grund dieser
> Definition, um den Widerspruch zu (A) zu konstruieren?
Erst mal Deine Frage aufdröseln: Du fragst also, wie ich beweise, (A)
dass die Menge aller Stellenindices aller natürlichen Zahlen nur
unendlich sein kann, wenn es eine unendlichstellige natürliche Zahl
gibt, bzw. (B) dass die Menge der Stellenindices aller natürlichen
Zahlen endlich ist, da sie eine Vereinigung aller endlichen Mengen von
Stellenindices aller natürlichen Zahlen ist?
Zu (A):
Gegeben sei eine beliebige Folge (a_n) von natürlichen Zahlen. Dazu
existiert die Folge der Mengen der signifikanten Stellenindices
(Si(a_1)), Si(a_2), Si(a_3), ..., Si(a_n)) der Glieder von (a_n).
Die Vereinigungsmenge dieser Mengen USia_n ist identisch mit der Menge
der signifikanten Stellenindices der größten Zahl aus (a_n).
Beispiel:
(a_n) = (1, 5, 18, 18, 3, 101)
Damit ist die Folge der Mengen der signifikanten Stellenindices:
{1}
{1}
{1, 2}
{1, 2}
{1}
{1, 2, 3}
und USia_n = {1, 2, 3}
Es ist leicht einzusehen, dass die _Anzahl_ der Mengen der
Stellenindices keine Rolle spielt für den Umfang der Vereinigungsmenge
und das die Vereinigungsmenge identisch ist mit der Menge der
signifikanten Stellenindices der größten Zahl der Folge.
Wenn nun gilt, dass die Menge aller Stellenindices der natürlichen
Zahlen unendlich ist, so kann dies nur zutreffen, wenn mindestens eine
natürliche Zahl unendlich viele signifikante Stellenindices besitzt,
denn die Vereinigungsmenge der Stellenindices ist identisch mit der
Menge der signifikanten Stellenindices der maximalen Zahl.
Ansonsten muss die Menge der signifikanten Stellenindicces der
natürlichen Zahlen unbestimmt sein.
Soweit der Fall (A). Später vielleicht noch Fall (B).
Gruß
Albrecht Storz
>
> Falls nein, wie beweist Du, dass diese Definition der Menge
> der Stellenindizes nicht mit einer von Dir noch zu gebenden
> Definition der Menge der Stellenindizes nicht übereinstimmt?
>
> Aloha,
> Norbert
albrecht
Wir reden leider aneinander vorbei.
1. Der Begriff der Mächtigkeit ist für jede endliche Menge (und
solche gibt es nur), völlig unproblematisch (mit oder ohne Cantor).
2. Cantor hat den Begriff der aktual unendlichen Menge eingeführt.
Angeblich wäre auch für eine solche Menge die Mächtigkeit definiert.
3. Es gibt keine aktual unendliche _Menge_ (freillich gibt es die
Gesamtheit aller unendlich vielen natürlichen Zahlen, aber da diese
nicht als aktual vorliegend gedacht werden können, ohne auf
Widersprüche zu stossen, kann man nicht von der _Menge_ der
natürlichen Zahlen sprechen. Ich spreche deshalb von der Gesamtheit
oder auch Klasse der natülichen Zahlen, wenn ich genau sein will).
4. Um zu beweisen, dass die aktual unendliche Menge zu widersprüchen
führt, kann ich durchaus im Rahmen einer Mengenlehre, z.B. ZFC,
argumentieren. Es ist wie bei einem Widerspruchsbeweis, bei dem man das
als richtig annimmt, was man schliesslich zu einem Widerspruch führen
will.
5. "Irreal" ist kein Begriff der Mathematik. Im Unterschied zu Dir,
habe ich keine Probleme mit reellen Zahlen - solange sie endlich
definiert sind. Und da es keine anderen gibt, ist dies kein Thema für
mich.
Gruß
Albrecht Storz
Carsten Schultz
> 3. Es gibt keine aktual unendliche _Menge_ (freillich gibt es die
> Gesamtheit aller unendlich vielen natürlichen Zahlen, aber da diese
> nicht als aktual vorliegend gedacht werden können, ohne auf
> Widersprüche zu stossen, kann man nicht von der _Menge_ der
> natürlichen Zahlen sprechen.
Hast Du inzwischen Deinen Beweis eines Widerspruchs in ZF fertig?
> 5. "Irreal" ist kein Begriff der Mathematik. Im Unterschied zu Dir,
> habe ich keine Probleme mit reellen Zahlen - solange sie endlich
> definiert sind. Und da es keine anderen gibt, ist dies kein Thema für
> mich.
Was ist eine reelle Zahl?
Peter Niessen
> freillich gibt es die Gesamtheit aller unendlich vielen natürlichen
> Zahlen, aber da diese nicht als aktual vorliegend gedacht werden können,
> ohne auf Widersprüche zu stossen, kann man nicht von der _Menge_ der
> natürlichen Zahlen sprechen.
Was denn nun?
Wenn es die "Gesamheit" gibt dann nenne ich "Gesamheit" kurzerhand Menge.
Wo ist nun der Wiederspruch?
Noch alberner geht es ja kaum.
Amicus
<peter-...@arcor.de> wrote:
>
> Noch alberner geht es ja kaum.
>
Doch: albrecht!
A.
--
E-mail:
amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
Amicus
>
> Es gibt keine aktual unendliche _Menge_ (freillich gibt es die
> Gesamtheit aller unendlich vielen natürlichen Zahlen, aber da
> diese nicht als aktual vorliegend gedacht werden können, ohne
> auf Widersprüche zu stossen [...]
>
Könntest Du das mit den Widersprüchen hier mal näher belegen?
"Unproven statements carry little weight in the world
of mathematics."
(Amir D. Aczel)
Norbert Marrek
> Norbert.Marrek wrote:
>> albrecht schrieb:
Hier setzt Du voraus, dass es eine größte Zahl gibt. Das ist
aber bei einer beliebigen Folge (a_n) von natürlichen Zahlen nicht
notwendig der Fall, wie die Folge {1, 2, 3, 4, 5, ...} zeigt.
Die Existenz einer größten Zahl folgt nur, wenn Du eine
beliebige ENDLICHE Folge (a_n) von natürlichen Zahlen betrachtest.
Dieser Fall ist aber trivial und wird von niemandem geleugnet.
Also versuche Deinen Beweis einmal wirklich mit einer
beliebigen Folge ohne die Existenz einer größten Zahl
vorauszusetzen.
> Beispiel:
> (a_n) = (1, 5, 18, 18, 3, 101)
> Damit ist die Folge der Mengen der signifikanten Stellenindices:
> {1}
> {1}
> {1, 2}
> {1, 2}
> {1}
> {1, 2, 3}
> und USia_n = {1, 2, 3}
>
> Es ist leicht einzusehen, dass die _Anzahl_ der Mengen der
> Stellenindices keine Rolle spielt für den Umfang der Vereinigungsmenge
> und das die Vereinigungsmenge identisch ist mit der Menge der
> signifikanten Stellenindices der größten Zahl der Folge.
>
Also wieder eine nicht nachvollziehbare Behauptung. Die Anzahl der
Mengen der Stellenindizes spielt jedoch eine Rolle für den Umfang der
Vereinigungsmenge:
Nimmst Du die ersten beiden Mengen, so ist die Vereinigungsmenge {1},
nimmst Du die ersten drei Mengen, so ist die Vereinigungsmenge {1, 2}.
> Wenn nun gilt, dass die Menge aller Stellenindices der natürlichen
> Zahlen unendlich ist, so kann dies nur zutreffen, wenn mindestens eine
> natürliche Zahl unendlich viele signifikante Stellenindices besitzt,
> denn die Vereinigungsmenge der Stellenindices ist identisch mit der
> Menge der signifikanten Stellenindices der maximalen Zahl.
>
Da Deine Schlußfolgerung nur für endliche Folgen gilt, ist der
Beweis an dieser Stelle gestorben.
R.I.P.
Aloha,
Norbert
PS:
Bitte beim Beweis von Fall (B) etwas mehr Sorgfalt.
albrecht
Die Vereinigungsmenge von
{1}
{1}
{1}
{1}
{1}
{1}
{1}
...
ist wohl {1}.
Welche Rolle spielt also die _Anzahl_ der Mengen der Stellenindices,
die vereinigt werden?
>
>
> > Wenn nun gilt, dass die Menge aller Stellenindices der natürlichen
> > Zahlen unendlich ist, so kann dies nur zutreffen, wenn mindestens eine
> > natürliche Zahl unendlich viele signifikante Stellenindices besitzt,
> > denn die Vereinigungsmenge der Stellenindices ist identisch mit der
> > Menge der signifikanten Stellenindices der maximalen Zahl.
> >
>
> Da Deine Schlußfolgerung nur für endliche Folgen gilt, ist der
> Beweis an dieser Stelle gestorben.
> R.I.P.
>
>
Interessanter Weise hast Du genau den Satz nicht zitiert, mit dem ich
auf Deinen Vorwurf, ich würde voraussetzen es müsste eine größte
Zahl geben, eingehe.
Der ausgelassene Teil:
"Ansonsten muss die Menge der signifikanten Stellenindices der
natürlichen Zahlen unbestimmt sein."
Nun wurde mir aber hier übereinstimmend versichert, dass die Menge der
Stellenidices aller natürlichen Zahlen unendlich sei. _Unendlich_ und
nicht unbestimmt.
Nochmal für ganz begriffsstutzige:
Unendliche Menge der signifikanten Stellenindices -> unendliche
natürliche Zahl.
Unbestimmte Menge der signifikanten Stellenindices -> unbestimmte
größte natürliche Zahl.
Gruß
Albrecht Storz
albrecht
> On 2006-03-22, albrecht <albs...@gmx.de> wrote:
> > 3. Es gibt keine aktual unendliche _Menge_ (freillich gibt es die
> > Gesamtheit aller unendlich vielen natürlichen Zahlen, aber da diese
> > nicht als aktual vorliegend gedacht werden können, ohne auf
> > Widersprüche zu stossen, kann man nicht von der _Menge_ der
> > natürlichen Zahlen sprechen.
>
> Hast Du inzwischen Deinen Beweis eines Widerspruchs in ZF fertig?
Schon längst.
>
> > 5. "Irreal" ist kein Begriff der Mathematik. Im Unterschied zu Dir,
> > habe ich keine Probleme mit reellen Zahlen - solange sie endlich
> > definiert sind. Und da es keine anderen gibt, ist dies kein Thema für
> > mich.
>
> Was ist eine reelle Zahl?
Nicht mein Problem.
Gruß
AS
albrecht
> On Wed, 22 Mar 2006 17:39:25 +0100, Peter Niessen
> <peter-...@arcor.de> wrote:
>
> >
> > Noch alberner geht es ja kaum.
> >
> Doch: albrecht!
>
>
Hyperlativ: amicus!!!
Gruß
AS
Carsten Schultz
>> Hast Du inzwischen Deinen Beweis eines Widerspruchs in ZF fertig?
>
>
> Schon längst.
Wann stellst Du sie uns vor?
>> Was ist eine reelle Zahl?
>
> Nicht mein Problem.
Reicht Deine Mathemetik nicht so weit? Nicht überzeugend für
jemanden, der die gute alte Mathematik gegen die böse neue Mengenlehre
verteidigen will.
Gruß,
Peter Niessen
Bevor du vor lachen stirbst:
Lege doch einfach ein Axiomensystem für eine finite ML vor.
Dann können wir ja schauen ob das System brauchbar ist.
Amicus
>>>
>>> Noch alberner geht es ja kaum.
>>>
>> Doch: albrecht!
>>
> Hyperlativ: amicus!!!
>
Ok, ok, hier war ich s e l b s t albern, albrecht, ich geb's ja zu!
- Wenden wir uns also wieder der Mathematik zu:
Wann wirst Du Beweise für die Widersprüche posten, die Du in ZFC
gefunden hast?
Norbert Marrek
> Norbert Marrek wrote:
>> albrecht schrieb:
>>> Beispiel:
Du kannst noch so viele Beispiele bringen, wo Deine Behauptung stimmt:
Ein Gegenbeispiel reicht, um sie zu Fall zu bringen.
Du mußt schon einen Beweis bringen, um Deine Behauptung zu belegen.
Das kannst Du aber nicht, da ich ein Gegenbeispiel gefunden habe.
Genausogut könntest Du behaupten, alle natürlichen Zahlen sind ohne
Rest durch 2 teilbar, und als Beispiel bringst Du 2, 4, 6, 8, 10 usw.
Aber das Beispiel 3 würde als Gegenbeispiel reichen, um Dich zu widerlegen.
Hast Du nun verstanden, wie in der Mathematik mit Beweisen/Behauptungen
umgegangen wird?
Aloha,
Norbert
albrecht
Carsten Schultz wrote:
> On 2006-03-22, albrecht <albs...@gmx.de> wrote:
> > Carsten Schultz wrote:
> >> Hast Du inzwischen Deinen Beweis eines Widerspruchs in ZF fertig?
> >
> >
> > Schon längst.
>
> Wann stellst Du sie uns vor?
Schon längst.
>
> >> Was ist eine reelle Zahl?
> >
> > Nicht mein Problem.
>
> Reicht Deine Mathemetik nicht so weit? Nicht überzeugend für
> jemanden, der die gute alte Mathematik gegen die böse neue Mengenlehre
> verteidigen will.
>
Es reicht doch, wenn Deine Mathematik soweit reicht.
Überzeugen? Wen? Man kann offensichtlich inbrünstig Glaubende nicht
überzeugen.
Gruß
AS
Carsten Schultz
>
> Carsten Schultz wrote:
>> On 2006-03-22, albrecht <albs...@gmx.de> wrote:
>> > Carsten Schultz wrote:
>> >> Hast Du inzwischen Deinen Beweis eines Widerspruchs in ZF fertig?
>> >
>> >
>> > Schon längst.
>>
>> Wann stellst Du sie uns vor?
>
> Schon längst.
Das, was Du hier die ganze Zeit erzählst? Anscheinend weißt Du gar
nicht, was ein mathematischer Beweis ist.
Amicus
>>>>
>>>> Hast Du inzwischen Deinen Beweis eines Widerspruchs in ZF fertig?
>>>>
>>> Schon längst.
>>>
>>> Wann stellst Du sie uns vor?
>>>
> Schon längst.
>
Welcher der 101 verunglückten Versuche, die Du hier gestartet hast, ist
nun Deiner Meinung nach d e r Beweis?! :-o