Dedekindscher Schnitt
Rudolf Sponsel
passt und hoffe diesbezüglich auf Akzeptanz.
Christopher Creutzig schrieb:
> Rudolf Sponsel wrote:
>>Christopher Creutzig schrieb:
>
>
>>>Ein Beispiel für einen Dedekind-Schnitt wurde doch bereits gegeben:
>>>({r e Q | r<0 oder r^2<=2}, {r e Q | r>0 und r^2>2}) ist ein
>>>solcher.
>>>Jede rationale Zahl liegt in genau einer der beiden Mengen.
>>>
>>
>>Mir ist die damit verbundene Aussage aber nicht klar. Läßt sich der
>>Ausdruck und die Regel, die zu ihm führt, in Worten formulieren?
>
>
> Alle negativen rationalen Zahlen sind in der ersten Menge. Außerdem
> sind alle nichtnegativen rationalen Zahlen, deren Quadrat kleiner oder
> gleich 2 ist, in dieser Menge. Der Rest bildet die zweite Menge.
>
>
> Gruß,
> Christopher
Hm, so einfach gelingt mir das Verständnis nicht und ich formulier mal
meine Probleme:
Dieser Schnitt zwischen r^2 <= 2 und r^2 > 2 soll die reelle Zahl Wurzel
2 repräsentieren. Wie prüft man das nun? Etwa durch Berechnung des
Schnitts?
Letztlich kann man die 'Formeln' doch gar nicht erfüllen: Es gibt immer
eine noch nähere Zahl sowohl am 'Näherungs-Grenzwert' r^2=2 von oben als
auch von unten (> r^2=2 <).
Auch das Gleichheitszeichen im Ausdruck "r^2<=2" irritiert mich, weil es
doch kein r^2=2 - hm, wie sag ich das jetzt? - 'gibt'.
Vereinigt man die beiden Mengen, ergibt sich |R. Warum schleppt man ganz
|R mit und beschränkt sich nicht ein Intervall der 'Umgebung', z.B. (-2
< r < 2)?
Rudolf Sponsel, Erlangen
Christopher Creutzig
> Dieser Schnitt zwischen r^2 <= 2 und r^2 > 2 soll die reelle Zahl Wurzel
> 2 repräsentieren. Wie prüft man das nun? Etwa durch Berechnung des
> Schnitts?
Der Schnitt ist nicht „zwischen“ irgendetwas, sondern die zwei Mengen
*sind* der Schnitt. Nennen wir diesen Schnitt einmal w. Man rechnet
zunächst nach, dass es sich tatsächlich um einen Schnitt handelt
(insbesondere die erste Menge nur Zahlen enthält, die kleiner als alle
Zahlen der zweiten Menge sind), quadriert den Schnitt dann (dafür gibt
es Rechengesetze) und bekommt als Ergebnis den Schnitt z=({q e Q | q <=
2}, {q e Q | q > 2}). Damit ist w also eine Lösung der Gleichung x^2=z.
Außerdem kann man nachrechnen, dass w größer ist als der Schnitt n=({q
e Q | q <= 0}, {q e Q | q > 0}), wofür man naürlich eine Definition
braucht, wann ein Schnitt größer ist als ein anderer. Da nun aber die
kanonische Einbettung (also der eindeutige Ringhomomorphismus) von Q in
den Körper der Dedekind-Schnitte die 0 auf n abbildet und die Zwei auf
z, ist es gerechtfertigt, z einfach 2 und n einfach 0 zu nennen; damit
ist w positive Lösung von x^2=2. Weist man noch die Eindeutigkeit nach,
ist der Name sqrt(2) für w ziemlich naheliegend.
> Letztlich kann man die 'Formeln' doch gar nicht erfüllen: Es gibt immer
Nicht? Ich hätte spontan gesagt, dass *jede* rationale Zahl q
*entweder* q^2<=2 *oder* q^2>2 erfüllt. Den rationalen Zahlen spricht
dich sogar Eckard die Trichotomie nicht ab.
> eine noch nähere Zahl sowohl am 'Näherungs-Grenzwert' r^2=2 von oben als
> auch von unten (> r^2=2 <).
Ich habe nirgendwo einen Grenzwert gefordert. Ich habe nur die
rationalen Zahlen in zwei disjunkte Teilmengen zerlegt.
> Auch das Gleichheitszeichen im Ausdruck "r^2<=2" irritiert mich, weil es
> doch kein r^2=2 - hm, wie sag ich das jetzt? - 'gibt'.
Es ist in diesem Fall tatsächlich überflüssig, aber dadurch nicht
falsch. Ersetz die 2 durch eine 1, und auf einmak wird es notwendig,
weil es sonst eine rationale Zahl gäbe, die in keiner der beiden Mengen
läge.
> Vereinigt man die beiden Mengen, ergibt sich |R. Warum schleppt man ganz
Nein, IQ. Zu diesem Zeitpunkt „haben“ wir „nur“ die rationalen Zahlen.
> |R mit und beschränkt sich nicht ein Intervall der 'Umgebung', z.B. (-2
> < r < 2)?
Dedekind hat seine Schnitte als Partitionen von IQ eingeführt. Das
macht die Definition kürzer, und tatsächlich damit rechnen tut man
ohnehin nur lange genug, bis man die Rechenregeln abgeleitet hat.
Gruß,
Christopher
Peter Niessen
> Habe das Thema mal neu plaziert, da es nicht so gut zum alten Thread
> passt und hoffe diesbezüglich auf Akzeptanz.
>
> Christopher Creutzig schrieb:
>> Rudolf Sponsel wrote:
>>>Christopher Creutzig schrieb:
>>
>>
>>>>Ein Beispiel für einen Dedekind-Schnitt wurde doch bereits gegeben:
>>>>({r e Q | r<0 oder r^2<=2}, {r e Q | r>0 und r^2>2}) ist ein
>>>>solcher.
>>>>Jede rationale Zahl liegt in genau einer der beiden Mengen.
>>>>
>>>
>>>Mir ist die damit verbundene Aussage aber nicht klar. Läßt sich der
>>>Ausdruck und die Regel, die zu ihm führt, in Worten formulieren?
>>
>>
>> Alle negativen rationalen Zahlen sind in der ersten Menge. Außerdem
>> sind alle nichtnegativen rationalen Zahlen, deren Quadrat kleiner oder
>> gleich 2 ist, in dieser Menge. Der Rest bildet die zweite Menge.
>>
>>
>> Gruß,
>> Christopher
>
> Hm, so einfach gelingt mir das Verständnis nicht und ich formulier mal
> meine Probleme:
>
> Dieser Schnitt zwischen r^2 <= 2 und r^2 > 2 soll die reelle Zahl Wurzel
> 2 repräsentieren. Wie prüft man das nun? Etwa durch Berechnung des
> Schnitts?
Annahme das stimmt nicht:
dann gibt es einen grössten/kleinsten Schnitt (r und r') mit:
r^2 < 2 < r'^2.
Es gibt aber da die Schnitte r^2 und r'^2 ungleich sind einen Schnitt
s=(r+r')/2 für den gilt:
r^2 < s^2 < r'^2
für den Schnitt s^2 müsste dann gelten:
s^2 != 2 und s^2 ist weder grösser noch kleiner als 2
Und das ist absurd.
--
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
Carsten Schultz
> Habe das Thema mal neu plaziert, da es nicht so gut zum alten Thread
> passt und hoffe diesbezüglich auf Akzeptanz.
Dies ist nicht der Ort, um das von Grund auf zu erklären. Vielleicht
kann jemand ein gutes Lehrbuch oder Skript empfehlen, dass
Dedekind-Schnitte zur Konstruktion der reellen Zahlen nutzt.
Gruß,
Carsten
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.
Carsten Schultz
> Rudolf Sponsel wrote:
>> Auch das Gleichheitszeichen im Ausdruck "r^2<=2" irritiert mich, weil es
>> doch kein r^2=2 - hm, wie sag ich das jetzt? - 'gibt'.
>
> Es ist in diesem Fall tatsächlich überflüssig, aber dadurch nicht
> falsch. Ersetz die 2 durch eine 1, und auf einmak wird es notwendig,
> weil es sonst eine rationale Zahl gäbe, die in keiner der beiden Mengen
> läge.
Kann mir jemand sagen, was die "ubliche Art ist, mit dem Problem
umzugehen, dass man auch links < und rechts >= schreiben k"onnte und
damit einen anderen Schnitt bekommen w"urde, der aber die selbe Zahl
repr"asentieren sollte?
Gru"s,
Rainer Rosenthal
>
> Auch das Gleichheitszeichen im Ausdruck "r^2<=2" irritiert mich,
> weil es doch kein r^2=2 - hm, wie sag ich das jetzt? - 'gibt'.
Wenn Du "x <= y" aussprichst als "x ist nicht grösser als y",
dann hast Du was Richtiges gesagt und alle Irritation ist
verflogen.
Formal gesprochen, brauchst Du Dich auch von einer ODER-Aussage
nicht gleich irritieren zu lassen. Wenn nach allen x gefragt wird,
für die Aussage A oder Aussage B zutrifft, dann ist das die
Vereinigung der Menge, für die A zutrifft, mit derjenigen, für
die B zutrifft. Wenn die für B leer ist - wen juckt's? die Ver-
einigung von irgendeiner Menge M mit der leeren Menge ist
bekanntermassen M. Also: no problemo.
Und jetzt anwenden auf obigen Fall. Aussage A ist "r^2 < 2". Und
Aussage B ist "r^2 = 2". Die Aussage "r^2<=2" ist nämlich gerade
gleich "A oder B". Weil die B-Menge leer ist, ist die Menge der
r^2 mit r^2<=2 mit der A-Menge identisch. Existenzprobleme irgendeiner
Art "gibt es nicht" ;-)
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
--
Dürfen Farbenblinde Weinkoster sein?
Hendrik van Hees
> Dies ist nicht der Ort, um das von Grund auf zu erklären. Vielleicht
> kann jemand ein gutes Lehrbuch oder Skript empfehlen, dass
> Dedekind-Schnitte zur Konstruktion der reellen Zahlen nutzt.
Yep, mein Lieblingslehrbuch (außer für Vektoranalysis, da ist es doch
allzu veraltet ;-)):
Mangoldt/Knopp (et al) (4 Bde.). Es müßte sich in Bd. 1 finden. Diese
Bücher habe ich mit Genuß schon als Schüler benutzt. Dagegen war der
Mathematikunterricht ein Graus (Kampfrechnen halt, no fun).
--
Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
http://theory.gsi.de/~vanhees/ mailto:he...@comp.tamu.edu
Rudolf Sponsel
> Rudolf Sponsel wrote:
>
>
>>Dieser Schnitt zwischen r^2 <= 2 und r^2 > 2 soll die reelle Zahl Wurzel
>>2 repräsentieren. Wie prüft man das nun? Etwa durch Berechnung des
>>Schnitts?
>
>
> Der Schnitt ist nicht „zwischen“ irgendetwas, sondern die zwei Mengen
> *sind* der Schnitt. Nennen wir diesen Schnitt einmal w. Man rechnet
> zunächst nach, dass es sich tatsächlich um einen Schnitt handelt
Ok, "zwischen" gestrichen; also "sind". Mich hat das Komma "," in dem
Ausdruck "({r e Q | r<0 oder r^2<=2}, {r e Q | r>0 und r^2>2})"
irritiert. Bei Schnitt dachte ich an das Mengendurchschnittssymbol, mir
ist also diese Syntax und ihre Bedeutung nicht klar. Also vielleicht
noch einmal: was heißt "Schnitt" genau (in Worten)?
> (insbesondere die erste Menge nur Zahlen enthält, die kleiner als alle
> Zahlen der zweiten Menge sind), quadriert den Schnitt dann (dafür gibt
> es Rechengesetze) und bekommt als Ergebnis den Schnitt z=({q e Q | q <=
> 2}, {q e Q | q > 2}). Damit ist w also eine Lösung der Gleichung x^2=z.
Ich sehe zwischen dem linken Teil vom Komma und dem rechten zunächst
einen Widerspruch.
> Außerdem kann man nachrechnen, dass w größer ist als der Schnitt n=({q
> e Q | q <= 0}, {q e Q | q > 0}), wofür man naürlich eine Definition
> braucht, wann ein Schnitt größer ist als ein anderer. Da nun aber die
> kanonische Einbettung (also der eindeutige Ringhomomorphismus) von Q in
> den Körper der Dedekind-Schnitte die 0 auf n abbildet und die Zwei auf
> z, ist es gerechtfertigt, z einfach 2 und n einfach 0 zu nennen; damit
> ist w positive Lösung von x^2=2. Weist man noch die Eindeutigkeit nach,
> ist der Name sqrt(2) für w ziemlich naheliegend.
>
>
>>Letztlich kann man die 'Formeln' doch gar nicht erfüllen: Es gibt immer
>
>
> Nicht? Ich hätte spontan gesagt, dass *jede* rationale Zahl q
> *entweder* q^2<=2 *oder* q^2>2 erfüllt. Den rationalen Zahlen spricht
> dich sogar Eckard die Trichotomie nicht ab.
>
Das sehe ich auch so. Aber wie paßt das denn zu obigem: {q e Q | q <=
2}, {q e Q | q > 2})? Oder wieder: was heißt "Schnitt" genau (in Worten)?
>
>>eine noch nähere Zahl sowohl am 'Näherungs-Grenzwert' r^2=2 von oben als
>>auch von unten (> r^2=2 <).
>
>
> Ich habe nirgendwo einen Grenzwert gefordert. Ich habe nur die
> rationalen Zahlen in zwei disjunkte Teilmengen zerlegt.
>
>
>>Auch das Gleichheitszeichen im Ausdruck "r^2<=2" irritiert mich, weil es
>>doch kein r^2=2 - hm, wie sag ich das jetzt? - 'gibt'.
>
>
> Es ist in diesem Fall tatsächlich überflüssig, aber dadurch nicht
> falsch. Ersetz die 2 durch eine 1, und auf einmak wird es notwendig,
> weil es sonst eine rationale Zahl gäbe, die in keiner der beiden Mengen
> läge.
>
>
>>Vereinigt man die beiden Mengen, ergibt sich |R. Warum schleppt man ganz
>
>
> Nein, IQ. Zu diesem Zeitpunkt „haben“ wir „nur“ die rationalen Zahlen.
>
Ok, das war falsch/nachlässig von mir.
>
>>|R mit und beschränkt sich nicht ein Intervall der 'Umgebung', z.B. (-2
>>< r < 2)?
>
>
> Dedekind hat seine Schnitte als Partitionen von IQ eingeführt. Das
> macht die Definition kürzer, und tatsächlich damit rechnen tut man
> ohnehin nur lange genug, bis man die Rechenregeln abgeleitet hat.
>
>
> Gruß,
> Christopher
Rudolf Sponsel, Erlangen
Rudolf Sponsel
> Habe das Thema mal neu plaziert, da es nicht so gut zum alten Thread
> passt und hoffe diesbezüglich auf Akzeptanz.
>
> Christopher Creutzig schrieb:
>> Rudolf Sponsel wrote:
>>> Christopher Creutzig schrieb:
>>
Ich hab mal ein bißchen gestöbert und in Padberg et al.(1995, S.199f).
Zahlbereiche. Heidelberg: Spektrum
folgendes gefunden:
"Definition 5 (Dedekindscher Schnitt)
Ein Dedekindscher Schnitt in |Q ist ein geordnetes Paar (A,B)
von Mengen A ('Untermenge') und B ('Obermenge') mit A,B c= |Q
und folgenden Eigenschaften:
(D1) A und B sind nicht leer.
(D2) Jede rationale Zahl liegt in genau einer der Mengen A,B.
(D3) Jedes Element von A ist kleiner als jedes Element von B.
(D4) A hat kein größtes Element.
Ein Dedekindscher Schnitt wird reelle Zahl genannt. Die Menge aller
Dedekindschen Schnitte bezeichnen wir mit |R."
Beispiel 5
Durch A = {x e |Q_+o | x^2 < 2} U |Q- und B |Q\A ist ein Dedekindscher
Schnitt in |Q definiert. (Es ist jener Schnitt, durch den die reelle
Zahl Wurzel 2 erklärt wird!)"
So, jetzt versuch ich das bis zum "Beispiel 5" mal hanhand folgender
Darstellung in Worten auszudeuten (Korrekturen und Kritik natürlich
erbeten):
Grenze Unter-/ Obermenge
<=>
.....................|.................... |Q
A B
Ein geordnetes Paar (D1-D4) aus |Q verwandelt sich zu |R.
Womit ich nicht zurecht komme:
Es geht eigentlich gar nicht. Ich kann das zwar so hinzeichnen wie oben,
aber im Grunde ist das nur eine suggestive Vorstellung. Denn:
1) Zwischen A und B liegen ja noch unendlich viele q und r aus |R, und
zwar genau an dem Grenzübergang " <= " nach " > ". Damit kann nicht nur
*eine* reelle Zahl bestimmt sein, sondern unendlich viele und dazwischen
dann noch mal unendlich viele Q und dazwischen wieder unendlich viele
usw. usf., wenn man sich auch das Intervall sehr klein, aber ohne Ende,
gestalten kann.
2) Die Verwandlung - sozusagen der 'kafkaeske Quantensprung' - von Q
nach R ist mir derzeit noch schleierhafter.
Rudolf Sponsel, Erlangen
Rudolf Sponsel
> Am Fri, 20 Jan 2006 13:01:15 +0100 schrieb Rudolf Sponsel:
>
>
>>
>>Dieser Schnitt zwischen r^2 <= 2 und r^2 > 2 soll die reelle Zahl Wurzel
>>2 repräsentieren. Wie prüft man das nun? Etwa durch Berechnung des
>>Schnitts?
>
>
> Annahme das stimmt nicht:
> dann gibt es einen grössten/kleinsten Schnitt (r und r') mit:
> r^2 < 2 < r'^2.
> Es gibt aber da die Schnitte r^2 und r'^2 ungleich sind einen Schnitt
> s=(r+r')/2 für den gilt:
> r^2 < s^2 < r'^2
> für den Schnitt s^2 müsste dann gelten:
> s^2 != 2 und s^2 ist weder grösser noch kleiner als 2
> Und das ist absurd.
Danke, muß aber erst verstehen, was "Schnitt" heißt.
Rudolf Sponsel, Erlangen
Rudolf Sponsel
> Rudolf Sponsel schrieb:
>
>>
>> Auch das Gleichheitszeichen im Ausdruck "r^2<=2" irritiert mich,
>> weil es doch kein r^2=2 - hm, wie sag ich das jetzt? - 'gibt'.
>
>
> Wenn Du "x <= y" aussprichst als "x ist nicht grösser als y",
> dann hast Du was Richtiges gesagt und alle Irritation ist
> verflogen.
>
> Formal gesprochen, brauchst Du Dich auch von einer ODER-Aussage
> nicht gleich irritieren zu lassen. Wenn nach allen x gefragt wird,
> für die Aussage A oder Aussage B zutrifft, dann ist das die
> Vereinigung der Menge, für die A zutrifft, mit derjenigen, für
Ja, so habe ich das bislang auch immer verstanden.
> die B zutrifft. Wenn die für B leer ist - wen juckt's? die Ver-
> einigung von irgendeiner Menge M mit der leeren Menge ist
> bekanntermassen M. Also: no problemo.
>
> Und jetzt anwenden auf obigen Fall. Aussage A ist "r^2 < 2". Und
> Aussage B ist "r^2 = 2". Die Aussage "r^2<=2" ist nämlich gerade
Soweit ja.
> gleich "A oder B". Weil die B-Menge leer ist, ist die Menge der
> r^2 mit r^2<=2 mit der A-Menge identisch. Existenzprobleme irgendeiner
> Art "gibt es nicht" ;-)
>
... reichlich irritierend. Heißt das, der 'Schnitt' geht über a < r > a?
> Gruss,
> Rainer Rosenthal
> r.ros...@web.de
Rudolf Sponsel, Erlangen
Carsten Schultz
> Zahlbereiche. Heidelberg: Spektrum
> folgendes gefunden:
>
> "Definition 5 (Dedekindscher Schnitt)
Ein Anfang, gut.
> Ein geordnetes Paar (D1-D4) aus |Q verwandelt sich zu |R.
Ein geordnetes Paar ist ein Element aus R.
> Womit ich nicht zurecht komme:
Tipp: Nicht nur Definition und Beispiel lesen. Da sind sicher auch
Sätze und Beweise.
> 1) Zwischen A und B liegen ja noch unendlich viele q und r aus |R,
Eigentlich vermischen sich hier schon wieder die Ebenen, denn R
konstruieren wir gerade erst. Trotzdem: Nenne zwei verschiedene
reelle Zahlen, die zwischen A und B liegen!
Gruß,
Peter Niessen
Ein Schnitt ist die Einteilung aller Zahlen in zwei Mengen A und B derart
das jede Zahl der Menge A kleiner ist als jede Zahl der Menge B. A heisst
Unterklasse und B Oberklasse. Die Schnittzahl S ist je nach Laune die
kleinste Zahl der Oberklasse oder die grösste Zahl der Unterklasse.
Das ist alles.
Norbert Marrek
Zwei Dedekindsche Schnitte (A,B) und (C,D) sind nach Definition gleich
d.h. beschreiben dieselbe reelle Zahl, wenn folgendes gilt:
ist x e A, dann gilt auch x e C, d.h., wenn x in A liegt, dann liegt
es auch in C
und wenn gilt:
ist y e B, dann gilt auch y e D .
Nun behauptest Du, für Dein Beispiel gäbe es mindestens zwei
Darstellungen, also
(A, B) := ( { x e IQ | x < 5 }, { y e IQ | y >= 5 } ) und
(C, D) := ( { u e IQ | u < 5'}, { v e IQ | v >= 5'} ),
wobei ein 5' irgendwo um 5 herum angesiedelt ist,
beschreiben dieselbe Zahl.
Angenommen, es wäre 5 < 5', dann ist die rationale Zahl z
z := (5 + 5')/2 < (5' + 5')/2 = 5' in C enthalten, da für
sie z < 5' gilt.
Damit (A, B) = (C, D) gilt, muss z also auch in A enthalten
sein, was aber hieße, dass (5 + 5')/2 < 5 = (5 + 5)/2 gelten
muss, was aber wiederum auf 5' < 5 hinausläuft. Dies ist ein
Widerspruch zu unserer Annahme, dass 5 < 5' gilt.
Ähnlich zeigst Du, dass die Annahme 5 > 5' auch auf einen
Widerspruch hinausläuft.
Damit gilt: 5 < 5' ist falsch und 5 > 5' ist falsch, also
folgt
5 = 5'
Und deshalb gibt es keine zwei verschiedenen Schnitte, wie
Du in 1. annahmst.
Aloha,
Norbert
Peter Niessen
> Beispiel 5
> Durch A = {x e |Q_+o | x^2 < 2} U |Q- und B |Q\A ist ein Dedekindscher
> Schnitt in |Q definiert. (Es ist jener Schnitt, durch den die reelle
> Zahl Wurzel 2 erklärt wird!)"
Der lautet ein klein wenig anders:
Unterschnitt:
{x e Q|x<0 oder x^2<=2}
Oberschnitt:
{x e Q|x>0 und x^2 >=2}
Da bei einem Schnitt zusätzlich eingefordert wird das entweder der
Unterschnitt oder der Oberschnitt eine Schnittzahl S enthält die kleinstes
oder grösstes Element von einem der genannten Paare ist, kann dieses Paar
keinen Schnitt Element Q beschreiben. Andererseits ist das Paar eindeutig
da es kein anderes Paar mit genau dieser Eigenschaft geben kann. Daraus
kann nur folgen: Dieses Paar stellt Wurzel2 dar und genau die Zahl Wurzel2
Ist das grösste/kleinste Element eines Schnittes in den reellen Zahlen.
Ist doch nicht wirklich schwer oder?
Carsten Schultz
> On 2006-01-20, Rudolf Sponsel <rudolf-...@sgipt.org> wrote:
>> Ich hab mal ein bißchen gestöbert und in Padberg et al.(1995, S.199f).
>> Zahlbereiche. Heidelberg: Spektrum
>> folgendes gefunden:
>>
>> "Definition 5 (Dedekindscher Schnitt)
>
> Ein Anfang, gut.
Entschuldige, falls ich etwas hart geklungen habe. Ich dachte
irgendwie, ich antworte Eckard. Aber Eckard hat wohl noch nicht
angefangen zu lesen.
Rudolf Sponsel
> On 2006-01-20, Rudolf Sponsel <rudolf-...@sgipt.org> wrote:
>
>>Ich hab mal ein bißchen gestöbert und in Padberg et al.(1995, S.199f).
>>Zahlbereiche. Heidelberg: Spektrum
>>folgendes gefunden:
>>
>>"Definition 5 (Dedekindscher Schnitt)
>
>
> Ein Anfang, gut.
>
>
>>Ein geordnetes Paar (D1-D4) aus |Q verwandelt sich zu |R.
>
>
> Ein geordnetes Paar ist ein Element aus R.
>
>
>>Womit ich nicht zurecht komme:
>
>
> Tipp: Nicht nur Definition und Beispiel lesen. Da sind sicher auch
> Sätze und Beweise.
>
>
>>1) Zwischen A und B liegen ja noch unendlich viele q und r aus |R,
>
>
> Eigentlich vermischen sich hier schon wieder die Ebenen, denn R
> konstruieren wir gerade erst. Trotzdem: Nenne zwei verschiedene
> reelle Zahlen, die zwischen A und B liegen!
>
sein, probiers aber trotzdem und denke mal 'laut'. Es muß eine sein, die
nicht aus |Q ist, so daß ich mich frage, wie konstruiert man irrationale
Zahlen? Wenn wir sie r nennen, muß zudem gelten, daß sie größer der
Größten aus der Untermenge (u) und kleiner als die Kleinste der
Obermenge (o) ist: u <= r < o und r nicht aus |Q.
Hm, von rechts finde ich keine kleinste, ich muß also, wenn es gehen
sollte, links ansetzen. Aber finde ich eine größte?
Gesucht ist also zunächst - verlangt wurden zwei - eine Zahl j, so daß
gilt: u+j < o.
Welche irrationalen Zahlen stehen zur Verfügung? Es sollten alle Wurzeln
aus Primzahlen und ihre Teile bzw. Vielfachen in Frage kommen. Ich wähle
mal zum 'Denkbasteln' Wurzel 3 := w3. Ich mutmaße, wenn es mit w3 geht,
könnte es auch mit w2 gehen, dann hätte ich zwei, wie verlangt.
Jetzt frage ich mich, wie kann ich w3 so klein machen, daß u + f(w3)< o
gilt? f(w3) müsste ein Kleinstes sein. Aber gibt es ein Kleinstes
bezüglich eines kleinsten aus |Q? Wenn es kein Kleinstes aus |Q gibt,
dann läßt sich eine konkrete Zahl nicht angeben. Es geht sozusagen nur
"fiktiv" ;-) [EB sollte vom Dedekindschen Schnitt eigentlich begeistert
sein]
So wenig erst mal zwischendurch.
> Gruß,
> Carsten
>
Rudolf Sponsel, Erlangen
Rudolf Sponsel
> Am Fri, 20 Jan 2006 22:32:50 +0100 schrieb Rudolf Sponsel:
>
>
>>Beispiel 5
>>Durch A = {x e |Q_+o | x^2 < 2} U |Q- und B |Q\A ist ein Dedekindscher
>>Schnitt in |Q definiert. (Es ist jener Schnitt, durch den die reelle
>>Zahl Wurzel 2 erklärt wird!)"
>
>
> Der lautet ein klein wenig anders:
> Unterschnitt:
> {x e Q|x<0 oder x^2<=2}
> Oberschnitt:
> {x e Q|x>0 und x^2 >=2}
> Da bei einem Schnitt zusätzlich eingefordert wird das entweder der
> Unterschnitt oder der Oberschnitt eine Schnittzahl S enthält die kleinstes
> oder grösstes Element von einem der genannten Paare ist, kann dieses Paar
> keinen Schnitt Element Q beschreiben. Andererseits ist das Paar eindeutig
> da es kein anderes Paar mit genau dieser Eigenschaft geben kann. Daraus
> kann nur folgen: Dieses Paar stellt Wurzel2 dar und genau die Zahl Wurzel2
> Ist das grösste/kleinste Element eines Schnittes in den reellen Zahlen.
> Ist doch nicht wirklich schwer oder?
Für mich schon; ich hatte mich bislang an die reellen Zahlen gar nicht
herangewagt (praktisch waren für mich die Zahlen relevant, die meine
Rechnergenauigkeit hergab; diese Zahlen hatten 17 bis 19
Nachkommastellen waren gewöhnlich abgeschnitten oder gerundet, also das,
was ich praktisch 'Intervallzahlen' nenne, z.B. 1,2 < IZ < 1,3). Bin
aber inzwischen ganz zufrieden, das mal angedacht zu haben.
Ich ahne, daß der Dedekindsche Schnitt eine ziemlich kreative Leistung
war und vermutlich noch ist.
Rudolf Sponsel, Erlangen
Peter Niessen
Das kann man so sehen ;-)
Mit den Schnitten ist der Fabuliererrei eines EB oder WM, über
Irrationalzahlen als aufgabenhafte nicht in endlicher Zeit zu beschreibende
Zahlen und somit nicht existente Zahlen, die Grundlage entzogen. Denn hier
ist Wurzel2 glasklar in endlicher Zeit und eindeutig definiert. Zu bemerken
ist noch das man mit Paaren wie:
({x e Q|x<0 oder x^2<=2};{x e Q|x>0 und x^2 >=2})
genauso rechnen kann als wären es die dir geläufigen Zahlen. Und damit ist
die Sache rund: Schnitte sind äquivalent zu Zahlen. Die Mengenlehre liefert
also eine saubere Definition aller Zahlen und das ist der Verdienst von
Dedekind, Seine "kreative" Leistung.
Christopher Creutzig
> Kann mir jemand sagen, was die "ubliche Art ist, mit dem Problem
> umzugehen, dass man auch links < und rechts >= schreiben k"onnte und
> damit einen anderen Schnitt bekommen w"urde, der aber die selbe Zahl
> repr"asentieren sollte?
Man muss sich bei der Definition nur vorher eine der beiden Mengen
aussuchen, die kein Extremum beinhalten darf. Ich habe jetzt die rechte
genommen, Du kannst natürlich statt dessen auch die linke nehmen.
Gruß,
Christopher
Christopher Creutzig
> ist also diese Syntax und ihre Bedeutung nicht klar. Also vielleicht
> noch einmal: was heißt "Schnitt" genau (in Worten)?
Das hängt vom Kontext ab. :-) Ich hatte „Schnitt“ als Kurzform für
„Dedekindscher Schnitt“ benutzt, also sollte ich diesen Begriff wohl
erklären:
Ein Dedekindscher Schnitt ist ein Paar von zwei Mengen (S1, S2), so dass
- Weder S1 noch S2 leer ist
- S1 vereinigt S2 die Menge der rationalen Zahlen ist
- S1 geschnitten S2 die leere Menge ist (keine gemeinsamen Elemente)
- Jedes x aus S1 kleiner ist als jedes y aus S2
- S2 kein kleinstes Element beinhaltet (statt dieses Kriteriums kann man
auch fordern, dass S1 kein größtes Element hat, die Symmetrie der beiden
Ansätze dürfte klar sein)
Als Anschauung ist es sicherlich nicht verkehrt, sich die Zahlengerade
(der rationalen Zahlen!) an irgendeiner Stelle „durchgeschnitten“
vorzustellen. Das Problem dabei ist natürlich, dieses „irgendeine
Stelle“ mathematisch zu präzisieren, deswegen die etwas umständlichere
Definition.
>>(insbesondere die erste Menge nur Zahlen enthält, die kleiner als alle
>>Zahlen der zweiten Menge sind), quadriert den Schnitt dann (dafür gibt
>>es Rechengesetze) und bekommt als Ergebnis den Schnitt z=({q e Q | q <=
>>2}, {q e Q | q > 2}). Damit ist w also eine Lösung der Gleichung x^2=z.
>
>
> Ich sehe zwischen dem linken Teil vom Komma und dem rechten zunächst
> einen Widerspruch.
Links und rechts stehen zwei Mengen. Was ist ein Widerspruch zwischen
zwei Mengen?
>> Nicht? Ich hätte spontan gesagt, dass *jede* rationale Zahl q
>>*entweder* q^2<=2 *oder* q^2>2 erfüllt. Den rationalen Zahlen spricht
>>dich sogar Eckard die Trichotomie nicht ab.
>>
>
> Das sehe ich auch so. Aber wie paßt das denn zu obigem: {q e Q | q <=
> 2}, {q e Q | q > 2})? Oder wieder: was heißt "Schnitt" genau (in Worten)?
Dieser spezielle Schnitt in Worten: S1 ist die Menge der rationalen
Zahlen q, die q <= 2 erfüllen, S2 ist die Menge der rationalenn Zahlen
q, die q > 2 erfüllen. z=(S1, S2) erfüllt sicherlich die oben
angegebenen Bedingungen an einen Dedekind-Schnitt, ist also ein solcher.
Gruß,
Christopher
Christopher Creutzig
> Ein Schnitt ist die Einteilung aller Zahlen in zwei Mengen A und B derart
> das jede Zahl der Menge A kleiner ist als jede Zahl der Menge B. A heisst
> Unterklasse und B Oberklasse. Die Schnittzahl S ist je nach Laune die
> kleinste Zahl der Oberklasse oder die grösste Zahl der Unterklasse.
>
> Das ist alles.
A und B dürfen nicht leer sein und Du hast nicht erklärt, was Du
machst, wenn B keine kleinste und A keine größte Zahl enthält. Außerdem
ist „je nach Laune“ nicht, denn es können nicht beide Mengen ein
Extremum enthalten.
Gruß,
Christopher
Rudi Menter
> ... denn es können nicht beide [irgendwie zusammenhängende]
> Mengen ein Extremum [das eine per def] enthalten.
Coole Idee...
Gruß
--
Peter Niessen
Meine Definition ist wortwörtlich die Definition von Perron[1]
Wo ich hier etwas Salopp: Je nach Laune sage, untersucht Perron alle drei
Fälle.
Fall 3: Es gibt kein rationales Extremum.
Um anschliessend festzustellen das man auf diese Fallunterscheidungen
getrost verzichten kann und einfach von dem Schnitt spricht.
Dein bestehen auf die Möglichkeit 3 ist in der Menge R überflüssig.
Obwohl:
Der Knackpunkt ist ja das rationale Schnitte ausreichen um R zu definieren.
[1]Perron: Irrationalzahlen de Gruyter 1960
Ralf Bader
> On 2006-01-20, Carsten Schultz <car...@codimi.de> wrote:
>> On 2006-01-20, Rudolf Sponsel <rudolf-...@sgipt.org> wrote:
>>> Ich hab mal ein bißchen gestöbert und in Padberg et al.(1995, S.199f).
>>> Zahlbereiche. Heidelberg: Spektrum
>>> folgendes gefunden:
>>>
>>> "Definition 5 (Dedekindscher Schnitt)
>>
>> Ein Anfang, gut.
>
> Entschuldige, falls ich etwas hart geklungen habe. Ich dachte
> irgendwie, ich antworte Eckard. Aber Eckard hat wohl noch nicht
> angefangen zu lesen.
Heute ist Samstag, da hat Eckard frei. Am Montag wird er Dir wieder
ganztätig zur Verfügung stehen.
Ralf
Carsten Schultz
> Carsten Schultz schrieb:
>>>1) Zwischen A und B liegen ja noch unendlich viele q und r aus |R,
>>
>>
>> Eigentlich vermischen sich hier schon wieder die Ebenen, denn R
>> konstruieren wir gerade erst. Trotzdem: Nenne zwei verschiedene
>> reelle Zahlen, die zwischen A und B liegen!
>>
> Das liest sich so, als gäb's höchstens eine,
Ja, ich erläutere ganz kurz die Idee der Dedekindschen Schnitte.
Nehmen wir zunächst an, wir hätten R mit den üblichen Eigenschaften
bereits. Zu einer Zahl r in R betrachten wir die Mengen
U(r) = {q in Q | q < r}
O(r) = {q in Q | g>=r }
Dann sind U(r) und O(r) disjunkt, ihre Vereinigung ist Q, beide sind
nicht-leer, und wann immer ich ein q aus U(r) und ein q' aus O(r)
habe, ist q<q'. Außerdem hat U(r) kein Maximum.
Zunächst stellen wir fest, dass für verschiedene reelle Zahlen auch
diese Mengen unterschiedlich sind. Sei nämlich r<r', dann qibt es ein
q mit r<q<r' und für dieses gilt q in U(r'), aber q nicht in U(r).
Andererseits gibt es zu jedem Paar (A, B) von Teilmengen von Q mit A,
B disjunkt, beide nicht-leer, Vereinigung R, jedes Element A aus
kleiner jedem Element aus B und A ohne Maximum, ein r aus R mit
A=U(r), B=O(r), nämlich das Suprenum von A. Muss man nachprüfen, hier
braucht man die Vollständigkeit von R.
Und nun schauen wir von einer anderen Richtung. Nehmen wir an, wir
haben R noch nicht definiert, aber bereits Q. Dann können wir R
definieren, als die Menge aller Paare (A, B) von Teilmengen von Q mit
den im letzten Absatz genannten Eigenschaften. Wir betten dann Q ein,
indem wir q auf (U(q), O(q)) abbilden. Dann definieren wir noch
Addition, Multiplikation und eine Ordnung auf unseren neuen reellen
Zahlen und rechnen nach, dass das wirklich eine Einbettung ist und R
ein vollständiger angeordneter Körper ist.
Carsten Schultz
Ja, gut. Es ist dann leider etwas lästig, nachzuweisen, dass es ein
Inverses der Addition gibt, oder?
Gruß,
Ralf Bader
Da steht ganz sicher nicht drin, daß man diesen Fall 3 ignorieren kann, wenn
man die irrationalen oder reellen Zahlen durch Dedekindschnitte der
rationalen einführen will. Aber es gibt (wie üblich) triviale Varianten der
Definitionen; daß es jemand wie Rudolf Sponsel hilft, wenn er mit fünferlei
minimal unterschiedlichen Varianten derselben Sache konfrontiert wird
(abgesehen von einem Blumschein, der zwischendurch noch von seinem großen
Misthaufen herunterkräht), glaube ich allerdings nicht.
Ralf
Marc Olschok
[ Carsten, Dein Zeichensatz/Encoding ist korrekt deklariert, Du kannst
also die Umlaute direkt eingeben. Finde es aber gut, dass Du an Leute
mit sparsamen Terminals denkst ]
> On 2006-01-20, Christopher Creutzig <chris...@creutzig.de> wrote:
> > Rudolf Sponsel wrote:
> >> Auch das Gleichheitszeichen im Ausdruck "r^2<=2" irritiert mich, weil es
> >> doch kein r^2=2 - hm, wie sag ich das jetzt? - 'gibt'.
> >
> > Es ist in diesem Fall tatsächlich überflüssig, aber dadurch nicht
> > falsch. Ersetz die 2 durch eine 1, und auf einmak wird es notwendig,
> > weil es sonst eine rationale Zahl gäbe, die in keiner der beiden Mengen
> > läge.
>
> Kann mir jemand sagen, was die "ubliche Art ist, mit dem Problem
> umzugehen, dass man auch links < und rechts >= schreiben k"onnte und
> damit einen anderen Schnitt bekommen w"urde, der aber die selbe Zahl
> repr"asentieren sollte?
Man kann statt der Dedekindschen Originalformulierung eine etwas
allgemeinere Form verwenden, in der die beiden Mengen eines Schnittes
nicht unbedingt disjunkt sein brauchen.
Soweit ich einem Vorlesungsskript von Erne et.al. entnehmen konnte,
geht dies auf Macneille zurück, eine Quelle ist auf jeden Fall
Definition 11.1 ist auf Seite 443 in
H. M. Macneille: Partially Ordered Sets
Transactions of the American Mathematical Society,
Vol. 42, No. 3. (Nov., 1937), pp. 416-460.
Man macht dabei folgendes (in Usenettauglicher Notation):
Es sei ( X, <= ) eine geordneten Menge.
Zu einer Teilmenge S von X sei
L(S) := { x in X | x <= s für alle s in S }
und
R(S) := { x in X | s <= x für alle s in S }
Es sind also L(S) und R(S) die Mengen der unteren und oberen Schranken
von S in X. Die Buchstaben sind so gewählt, dass man sich die Elemente
im linearen Fall als "Links von S" und "Rechts von S" vorstellen kann.
Die grundlegende Beobachtung ist:
(*)-------------------------------------
Sind A und B beliebige Teilmengen so ist
A teilmenge L(B)
<==> forall a in A forall b in B a <= b
B teilmenge R(A)
-----------------------------------------
Also bilden L und R eine Galoisverbindung und RL und LR sind die
zugehörigen Abschlussoperationen.
Ein _Schnitt_von_X_ ist dann ein Paar (A,B) von Teilmengen von X
mit den Eigenschaften A = L(B) und B = R(A).
Sind (A,B) und (A',B') zwei Schnitte, so liefert Anwendung von (*):
A teilmenge A' <==> B' teilmenge B
Insbesondere ist also ein Schnitt bereits durch die Angabe einer
der beiden Teilmengen eindeutig bestimmt.
Außerdem liefert dies eine Ordnung auf der Menge C(X) der Schnitte durch
(A,B) <= (A',B') :<==> A teilmenge A'
Ist (A,B) ein Schnitt, so braucht der Durchschnitt der Teilmengen A und B
nicht unbedingt leer zu sein. Allerdings kann er höchstens ein Element
enthalten. In diesem Fall ist dann A=L(x) und B=R(x) für dieses Element x.
Das alles funktioniert auch schon, wenn die Ordnung nicht linear ist.
Für lineare Ordungen hat man außerdem:
(1) für einen Schnitt (A,B) ist X die Vereinigung von A und B.
(2) für jedes x in X ist (L(x),R(x)) ein Schnitt und die Abbildung
v: X ---> C(X) mit v(x) = (L(x),R(x)) ist eine Ordnungseinbettung
(d.h. x <= y <==> v(x) <= v(y) für alle x,y in X)
Insgesamt hat man dann also drei Arten von Schnitten:
Die beiden Schnitte ( {} , X ) und ( X , {} )
Für jedes s aus X den Schnitt
( { x in X | x <= s } , { x in X | s <= x } )
Schnitte der Form (A,B), so dass A und B eine Partition von X bilden.
Marc
Rudolf Sponsel
> On 2006-01-21, Rudolf Sponsel <rudolf-...@sgipt.org> wrote:
>
>>Carsten Schultz schrieb:
>>
>>>>1) Zwischen A und B liegen ja noch unendlich viele q und r aus |R,
>>>
>>>
>>>Eigentlich vermischen sich hier schon wieder die Ebenen, denn R
>>>konstruieren wir gerade erst. Trotzdem: Nenne zwei verschiedene
>>>reelle Zahlen, die zwischen A und B liegen!
>>>
>>
>>Das liest sich so, als gäb's höchstens eine,
>
>
> Ja, ich erläutere ganz kurz die Idee der Dedekindschen Schnitte.
>
> Gruß,
>
> Carsten
>
Danke. Die Verdauung wird ein wenig dauern.
Mir dämmert inzwischen auch, weshalb ein geordnetes Paar aus |Q zu R
gehört.
Gibt es eine Geschichte zu dieser Idee, steht die irgendwo?
Rudolf Sponsel, Erlangen
Rudolf Sponsel
> Rudolf Sponsel wrote:
>
>
>>ist also diese Syntax und ihre Bedeutung nicht klar. Also vielleicht
>>noch einmal: was heißt "Schnitt" genau (in Worten)?
>
>
> Das hängt vom Kontext ab. :-) Ich hatte „Schnitt“ als Kurzform für
> „Dedekindscher Schnitt“ benutzt, also sollte ich diesen Begriff wohl
> erklären:
>
> Ein Dedekindscher Schnitt ist ein Paar von zwei Mengen (S1, S2), so dass
>
> - Weder S1 noch S2 leer ist
>
> - S1 vereinigt S2 die Menge der rationalen Zahlen ist
>
> - S1 geschnitten S2 die leere Menge ist (keine gemeinsamen Elemente)
>
> - Jedes x aus S1 kleiner ist als jedes y aus S2
>
> - S2 kein kleinstes Element beinhaltet (statt dieses Kriteriums kann man
> auch fordern, dass S1 kein größtes Element hat, die Symmetrie der beiden
> Ansätze dürfte klar sein)
>
> Als Anschauung ist es sicherlich nicht verkehrt, sich die Zahlengerade
> (der rationalen Zahlen!) an irgendeiner Stelle „durchgeschnitten“
> vorzustellen. Das Problem dabei ist natürlich, dieses „irgendeine
> Stelle“ mathematisch zu präzisieren, deswegen die etwas umständlichere
> Definition.
>
>
>>>(insbesondere die erste Menge nur Zahlen enthält, die kleiner als alle
>>>Zahlen der zweiten Menge sind), quadriert den Schnitt dann (dafür gibt
>>>es Rechengesetze) und bekommt als Ergebnis den Schnitt z=({q e Q | q <=
>>>2}, {q e Q | q > 2}). Damit ist w also eine Lösung der Gleichung x^2=z.
>>
>>
>>Ich sehe zwischen dem linken Teil vom Komma und dem rechten zunächst
>>einen Widerspruch.
>
>
> Links und rechts stehen zwei Mengen. Was ist ein Widerspruch zwischen
> zwei Mengen?
>
Den Widerspruch sehe ich immer noch in: (1) q > 2 und (2) q <= 2: beides
kann über q ausgesagt nicht stimmen. Ich sehe auch, daß dies in der
Definition 3 verlangt wird. Das ist bei mir mental noch nicht durch.
Gibt es hierzu Erleichterungs- oder Hilfsüberlegungen (andere eingängige
Beispiele)? Hm, das ist ganz schön raffiniert, etwas zu verlangen, das
es nicht gibt.
>
>>>Nicht? Ich hätte spontan gesagt, dass *jede* rationale Zahl q
>>>*entweder* q^2<=2 *oder* q^2>2 erfüllt. Den rationalen Zahlen spricht
>>>dich sogar Eckard die Trichotomie nicht ab.
>>>
>>
>>Das sehe ich auch so. Aber wie paßt das denn zu obigem: {q e Q | q <=
>>2}, {q e Q | q > 2})? Oder wieder: was heißt "Schnitt" genau (in Worten)?
>
>
> Dieser spezielle Schnitt in Worten: S1 ist die Menge der rationalen
> Zahlen q, die q <= 2 erfüllen, S2 ist die Menge der rationalenn Zahlen
> q, die q > 2 erfüllen. z=(S1, S2) erfüllt sicherlich die oben
> angegebenen Bedingungen an einen Dedekind-Schnitt, ist also ein solcher.
>
Danke, inzwischen dämmert es.
Rolf Albinger
<rudolf-...@sgipt.org> wrote:
>[Snip]
>Den Widerspruch sehe ich immer noch in: (1) q > 2 und (2) q <= 2: beides
>kann über q ausgesagt nicht stimmen. Ich sehe auch, daß dies in der
>Definition 3 verlangt wird. Das ist bei mir mental noch nicht durch.
>Gibt es hierzu Erleichterungs- oder Hilfsüberlegungen (andere eingängige
>Beispiele)? Hm, das ist ganz schön raffiniert, etwas zu verlangen, das
>es nicht gibt.
Buchstaben verwenden.
Sei A= {q e Q | q <=2} (Menge von rationalen Zahlen, die <= 2 sind)
Sei B= {p e Q | p>2} (Menge von rationalen Zahlen, die > 2 sind)
sei z=(A,B) (z ist das Mengenpaar (A,B))
>[Snip]
>Danke, inzwischen dämmert es.
Na, prima.
>Rudolf Sponsel, Erlangen
Viel Spass weiterhin
Rolf
--
Simple errors penetrate the work of Dedekind,
Cantor,Zermolo,Hilbert,Russell,Hausdorff,Fraenkel,Goedel,
etc and they are not so hardly understandable.
(Eckard Blumschein)
Michael Lange
Marc Olschok schrieb:
[...]
> Soweit ich einem Vorlesungsskript von Erne et.al. entnehmen konnte,
[...]
Du hast bei Erne (Hannover) gehört?
Mfg Michael
PS: auch aus Hannover
Carsten Schultz
> Carsten Schultz <car...@codimi.de> wrote:
>
> [ Carsten, Dein Zeichensatz/Encoding ist korrekt deklariert, Du kannst
> also die Umlaute direkt eingeben. Finde es aber gut, dass Du an Leute
> mit sparsamen Terminals denkst ]
:-)
Ich hatte davor eine Antwort auf einen anderen Beitrag geschrieben,
bei der mein Newsreader keine Umlaute mochte, wahrscheinlich, weil der
ursprüngliche Beitrag keine richtige Deklaration hatte (oder sie auch
nur mit meioner kollidierte). Und da hatte ich die TeX-Umlaute noch
in den Fingern.
>> Kann mir jemand sagen, was die "ubliche Art ist, mit dem Problem
>> umzugehen, dass man auch links < und rechts >= schreiben k"onnte und
>> damit einen anderen Schnitt bekommen w"urde, der aber die selbe Zahl
>> repr"asentieren sollte?
>
> Man kann statt der Dedekindschen Originalformulierung eine etwas
> allgemeinere Form verwenden, in der die beiden Mengen eines Schnittes
> nicht unbedingt disjunkt sein brauchen.
>
> Soweit ich einem Vorlesungsskript von Erne et.al. entnehmen konnte,
> geht dies auf Macneille zurück, eine Quelle ist auf jeden Fall
> Definition 11.1 ist auf Seite 443 in
>
> H. M. Macneille: Partially Ordered Sets
> Transactions of the American Mathematical Society,
> Vol. 42, No. 3. (Nov., 1937), pp. 416-460.
>
> Man macht dabei folgendes (in Usenettauglicher Notation):
[...]
In unserem Fall lässt man also entweder keine oder beide der Mengen
ein Suprenum haben. Das scheint technisch vorteilhaft zu sein.
> Insgesamt hat man dann also drei Arten von Schnitten:
>
> Die beiden Schnitte ( {} , X ) und ( X , {} )
Das freut einige hier doch bestimmt, denn dann hat man +oo + x = +oo
für alle x =/= -oo :-)
> Für jedes s aus X den Schnitt
> ( { x in X | x <= s } , { x in X | s <= x } )
>
> Schnitte der Form (A,B), so dass A und B eine Partition von X bilden.
Danke,
Christopher Creutzig
> Am Sat, 21 Jan 2006 19:11:54 +0100 schrieb Christopher Creutzig:
>
>
>>Peter Niessen wrote:
>>
>>
>>>Ein Schnitt ist die Einteilung aller Zahlen in zwei Mengen A und B derart
>>>das jede Zahl der Menge A kleiner ist als jede Zahl der Menge B. A heisst
>>>Unterklasse und B Oberklasse. Die Schnittzahl S ist je nach Laune die
>>>kleinste Zahl der Oberklasse oder die grösste Zahl der Unterklasse.
>>>
>>>Das ist alles.
>>
>> A und B dürfen nicht leer sein und Du hast nicht erklärt, was Du
>>machst, wenn B keine kleinste und A keine größte Zahl enthält. Außerdem
>>ist „je nach Laune“ nicht, denn es können nicht beide Mengen ein
>>Extremum enthalten.
>
>
> Meine Definition ist wortwörtlich die Definition von Perron[1]
Perron lässt (Q, {}) und ({}, Q) als Schnitte zu? Außerdem sehe ich
immer noch nicht, wie das Beispiel mit q^2>2 etc. dannn ein S haben
soll, denn wie bei allen irrationalen Zahlen hat A keine größte und B
keine kleinste Zahl. Sorry, mein Text klingt etwas anoflaumend, das war
nicht wirklich beabsichtigt – ich hoffe, Du verstehst ihn als reine
Sachebene.
> Dein bestehen auf die Möglichkeit 3 ist in der Menge R überflüssig.
> Obwohl:
> Der Knackpunkt ist ja das rationale Schnitte ausreichen um R zu definieren.
Ebent. Wo sollen die reellen Zahlen denn schon herkommen?
Gruß,
Christopher
Eckard Blumschein
>> Obwohl:
>> Der Knackpunkt ist ja das rationale Schnitte ausreichen um R zu definieren.
>
> Ebent. Wo sollen die reellen Zahlen denn schon herkommen?
Armer Rudolf Sponsel, arme Studenten. Diejenigen welche sich glücklich
schätzen die Schnittlogik zu beherrschen, können euch ganz schön zusetzen.
Mich lassen die logischen Fallstricke deshalb kalt, weil ich von der
Wesensverschiedenheit zwischen rationalen (echten) Zahlen und reellen
(fiktiven) Zahlen ausgehe und folgere: Man kann zwar zeigen, dass die
irrationalen Zahlen nicht in den rationalen enthalten sind, und genau
dies bewies ja auch Cantors 2. Diagonalargument. Es ist aber nicht
möglich eine irrationale "Zahl" anders als aufgabenhaft zu beschreiben,
wenn reelle Zahlen fiktive Lösungen unlösbarer Aufgaben sind, wofür ich
viele Argumente fand.
Dedekind hat eine zusätzliche Demonstration für die Nichtabzählbarkeit
reeller Zahlen geliefert. Wir sollten also den prinzipiellen Unterschied
zwischen beiden Welten unbedingt ernst nehmen, und gerade das tut die
Mathematik bisher nicht.
Hat Dedekind aber wie er behauptete eine neue, eine irrationale Zahl
erschaffen? Wären mittel seiner Schnitte etwa sogar alle irrationalen
Zahlen definierbar? Definitiv verneine ich beides.
Letzteres scheitert schon an der Nichtabzählbarkeit des Kontinuums.
Ersteres möchte ich kurz diskutieren:
Ich kenne keinen Fall einer Partitionierung in Ober- und Untermenge, die
ohne Rückgriff auf eine als irrational bekannte Zahl einer irrationalen
Zahl entsprechen könnte. Nur dann, wenn man beispielsweise weiß, dass
sqrt(2) irrational ist, kann man eine Partitionierung benennen, die sich
an die Aufgabe sqrt(2) anlehnt.
Würde man fordern, dass die Untermenge nicht größer als sqrt(2), die
Obermenge aber nicht kleiner als sqrt(2) sein soll, dann wäre dies eine
Partitionierung in IR, wo ja keine Trichotomie gilt.
Dedekind benannte willkürlich Ober- und Untermenge als rationale Zahlen.
Damit ist die Möglichkeit ausgeschlossen, dass sich Ober- und
Untermenge berühren. Der Schnitt darf auch nicht auf einer der beiden
rationalen Mengengrenzen liegen, wenn er irrational sein soll. Dies soll
durch eine kleine Skizze veranschaulicht werden. Die rationalen Zahlen
werden durch eine Perlenschnur angedeutet, wobei große Q die Elemente
der Untermenge, kleine die der Obermenge bezeichnen. Die Elemente sollen
beliebig dicht aneinanderrücken können aber äquidistant bleiben.
Q Q Q q q q
Das Kontinuum der reellen Zahlen wird als waagerechter Strich symbolisiert:
________________________________________________________________________
Der Schnitt sqrt(2) sei ein senkrechter Strich:
Untermenge | Obermenge
Zur gleichen Partitionierung in (Q würden unendlich viele andere
Schnitte gehören, beispielsweise:
||||
Gruß,
Eckard
Rolf Albinger
Er kriegt einfach das logische Denken nicht gebacken.
Mensch, Gruppenkasperle, denk doch mal nach.
>Gruß,
>Eckard
Marc Olschok
> Hallo Marc,
>
> Marc Olschok schrieb:
>
> [...]
> > Soweit ich einem Vorlesungsskript von Erne et.al. entnehmen konnte,
> [...]
>
> Du hast bei Erne (Hannover) gehört?
Leider nicht, ich hätte gerne einmal beobachtet, wie er seine
tollen Zeichnungen in Echtzeit fabriziert.
Vor ein paar Jahren habe ich bei der FernUni Hagen einen Kurs über geordnete
Mengen und Verbände belegt. Er war der Autor der Kurseinheiten, das Material
war in wesentlichen eine überarbeitete und aktualisierte Version seines damals
bereits vorhandenen Buches.
Marc
Jutta Gut
"Rolf Albinger" <rolf-a...@onlinehome.de> schrieb
> Rudolf, das sind doch Mengen. Vielleicht sollte man 2 verschiedene
> Buchstaben verwenden.
> Sei A= {q e Q | q <=2} (Menge von rationalen Zahlen, die <= 2 sind)
> Sei B= {p e Q | p>2} (Menge von rationalen Zahlen, die > 2 sind)
> sei z=(A,B) (z ist das Mengenpaar (A,B))
Oder es überhaupt in Worten ausdrücken:
Ein Dedekindscher Schnitt ist eine Einteilung der Menge Q in zwei Teile.
Dabei besteht der eine Teil aus allen Zahlen, die kleiner oder gleich s
sind, und der zweite besteht aus allen Zahlen, die größer als s sind.
Grüße
Jutta
Marc Olschok
> > H. M. Macneille: Partially Ordered Sets
> > Transactions of the American Mathematical Society,
> > Vol. 42, No. 3. (Nov., 1937), pp. 416-460.
> >
> > Man macht dabei folgendes (in Usenettauglicher Notation):
> [...]
>
> In unserem Fall lässt man also entweder keine oder beide der Mengen
> ein Suprenum haben. Das scheint technisch vorteilhaft zu sein.
Ein Vorteil ist, dass bereits eine der beiden Mengen den Schnitt
vollständig bestimmt. In der Ordnungstheorie hat man daher bereits
die Begriffe "unterer Schnitt" und "oberer Schnitt" für LR-invariante
und RL-invariante Teilmengen.
(Und es liefert nebenbei auch auch eine mögliche Interpretation des
Magdeburger Stichworts "symmetrischer Schnitt" :-)
>
> > Insgesamt hat man dann also drei Arten von Schnitten:
> >
> > Die beiden Schnitte ( {} , X ) und ( X , {} )
>
> Das freut einige hier doch bestimmt, denn dann hat man +oo + x = +oo
> für alle x =/= -oo :-)
Richtig. Wenn man nur R bekommen will, lässt man solche Schnitte weg.
>
> > Für jedes s aus X den Schnitt
> > ( { x in X | x <= s } , { x in X | s <= x } )
> >
> > Schnitte der Form (A,B), so dass A und B eine Partition von X bilden.
Marc
Marc Olschok
> On 1/22/2006 9:38 PM, Christopher Creutzig wrote:
>
> >> Obwohl:
> >> Der Knackpunkt ist ja das rationale Schnitte ausreichen um R zu definieren.
> >
> > Ebent. Wo sollen die reellen Zahlen denn schon herkommen?
>
> Armer Rudolf Sponsel, arme Studenten. Diejenigen welche sich glücklich
> schätzen die Schnittlogik zu beherrschen, können euch ganz schön zusetzen.
>
Dich lässt alles kalt, wegen Deiner Hirnsklerose. Bitte verschone diesen
bis jetzt sachlichen Thread und poste weiter nach de.sci.physik wie
versprochen. Danke.
M.O.
Rudolf Sponsel
"leere Menge" zwischen den beiden q genau eine reelle Zahl repräsentiert
war für mich schwierig zu begreifen (gehört ja zum Typ Y ist, was Nicht
X ist). Noch nicht durch bin ich damit, daß es nur genau eine gibt, muß
da CS noch verarbeiten.
Wie kann man denn irrationale konstruieren, z.B. zwischen 1/33 und 1/34?
Rudolf Sponsel, Erlangen
Alois Steindl
>
> Dedekind benannte willkürlich Ober- und Untermenge als rationale Zahlen.
> Damit ist die Möglichkeit ausgeschlossen, dass sich Ober- und
> Untermenge berühren. Der Schnitt darf auch nicht auf einer der beiden
> rationalen Mengengrenzen liegen, wenn er irrational sein soll. Dies soll
> durch eine kleine Skizze veranschaulicht werden. Die rationalen Zahlen
> werden durch eine Perlenschnur angedeutet, wobei große Q die Elemente
> der Untermenge, kleine die der Obermenge bezeichnen. Die Elemente sollen
> beliebig dicht aneinanderrücken können aber äquidistant bleiben.
>
> Q Q Q q q q
>
> Das Kontinuum der reellen Zahlen wird als waagerechter Strich symbolisiert:
> ________________________________________________________________________
Herr EB,
auf welche Ebene der Inkompetenz müssen wir uns noch begeben, um Ihnen
diesen Schwachsinn auszureden?
Bevor Sie sich weiterhin zu reellen Zahlen äußern, sollten Sie mal die
rationalen verstanden haben:
Wenn Sie 2 beliebige verschiedene rationale Zahlen Q1 und Q2
betrachten, gibt es dazwischen beliebig viele weitere rationale
Zahlen. Ihr oben erwähnter äquidistante Abstand zwischen den
rationalen Zahlen ist ein Produkt Ihrer
Wahnvorstellungen über Zahlen, den gibt es nicht. Nehmen Sie eine
rationale Zahl r im offenen Intervall (0, 1) und bilden Sie die Zahl:
Q3 = r * Q1 + (1-r)*Q2.
Nun genügt Mittelschularithmetik zu zeigen, dass Q3 ebenfalls rational
ist und zwischen Q1 und Q2 liegt. Sollten Sie lieber mal
nachexerzieren. Falls es Ihnen schwer fällt, wählen Sie doch r=1/2
oder r=1/3.
Wenn Sie dies einmal verstehen, werden Sie möglicherweise auch einsehen, dass
folgendes Humbug vom Feinsten ist.
>
> Der Schnitt sqrt(2) sei ein senkrechter Strich:
>
> Untermenge | Obermenge
>
> Zur gleichen Partitionierung in (Q würden unendlich viele andere
> Schnitte gehören, beispielsweise:
>
> ||||
Ihre Argumentationsweise erinnert mich an jemanden, der Medizinern
einreden will, dass die Ohren zum Druckausgleich bei Darmwinden da
sind. Alle Argumente, er solle sich doch bitte mit der Funktion der
Ohren vertraut machen, wimmelt er ab, dass er ja nur medizinischer
Kunde sei und Lernen der anatomischen Verhältnisse reine
Zeitverschwendung wäre. Ausserdem wären die Mediziner viel zu
verbohrt, eine so einfache technische Angelegenheit zu verstehen.
Alois Steindl
PS.: Wie weit ist Ihre ordnungserhaltende Auffädelung
der rationalen Zahlen gediehen?
Ich habe Sie mal gefragt, welche der unendlich vielen Nachkommastellen
der rationalen Zahl 1/3 man weglassen dürfte, ohne "die Identität" der
Zahl zu ändern?
--
Alois Steindl, Tel.: +43 (1) 58801 / 32558
Inst. for Mechanics and Mechatronics Fax.: +43 (1) 58801 / 32598
Vienna University of Technology, A-1040 Wiedner Hauptstr. 8-10
Peter Niessen
Oh Rudolf!
Du hast den Kopf eigentlich zum denken auf dem Hals sitzen:
Wo bitte ist zwischen den beiden Mengen die den Schnitt festlegen eine
leere Menge? Zum mitmeisseln:
Man formuliert die Mengen disjunkt (Elementfremd) weil es meist praktischer
ist. Du darfst die Schnittzahl S auch beiden Mengen zuordnen: Dann
schneiden sich die Mengen in einem Punkt (Element)! Manchmal muss man doch
am Denkvermögen zweifeln.
Rudolf Sponsel
> On 1/22/2006 9:38 PM, Christopher Creutzig wrote:
>
>
>>>Obwohl:
>>>Der Knackpunkt ist ja das rationale Schnitte ausreichen um R zu definieren.
>>
>> Ebent. Wo sollen die reellen Zahlen denn schon herkommen?
>
>
> Armer Rudolf Sponsel, arme Studenten. Diejenigen welche sich glücklich
> schätzen die Schnittlogik zu beherrschen, können euch ganz schön zusetzen.
>
> Mich lassen die logischen Fallstricke deshalb kalt, weil ich von der
> Wesensverschiedenheit zwischen rationalen (echten) Zahlen und reellen
> (fiktiven) Zahlen ausgehe und folgere: Man kann zwar zeigen, dass die
> irrationalen Zahlen nicht in den rationalen enthalten sind, und genau
> dies bewies ja auch Cantors 2. Diagonalargument. Es ist aber nicht
> möglich eine irrationale "Zahl" anders als aufgabenhaft zu beschreiben,
> wenn reelle Zahlen fiktive Lösungen unlösbarer Aufgaben sind, wofür ich
> viele Argumente fand.
>
nicht in den rationalen enthalten sind" reicht mir z.B. Ich kann nicht
nachvollziehen, wie man Wurzel 2 nicht als Zahl oder als
'nicht-existent' versteht. Es gibt das Einheitsquadrat, es gibt die
Diagonale, und es gibt die Länge der Diagonale. Herausgefunden zu haben,
daß die Länge dieser Diagonale nicht rational ist, gehört neben vielen
anderen zu den Großleistungen der griechischen Mathematik. Dieser
Zahlentyp ist unendlich lang und man kann eine solche Zahl nicht zu Ende
schreiben, auch das ist doch eine beeindruckende Erkenntnis. Der
Dedekind'sche Schnitt erscheint mir nach meinem Erstverstädnis eine
beachtliche kreative Leistung (will sagen: darauf muß man erstmal
kommen; ich bin natürlich nicht begeistert, weil diese Schöpfung meine
Kritik am 'Y ist, was Nicht-X' schwächt).
Will man 1/3 dezimal aufgabenhaft ausrechnen, kommt man doch auch zu
keinem zu einem Ende. Wo ist das für Dich der Unterschied (und wenn
möglich bitte keine Philosopheme wie 'wesensverschieden'; Zahl 'ist'
Quantum oder Ausprägung und das ist ihr 'Wesen', man kann mit ihnen also
zählen oder messen).
Zusatzfrage: Wie beurteilst Du die komplexen Zahlen?
...
>
> Gruß,
> Eckard
>
Rudolf Sponsel, Erlangen
Amicus
<rudolf-...@sgipt.org> wrote:
>
> gehört ja zum Typ: Y ist, was Nicht X ist
>
Was bitteschön ist an einer Definition nach dem Muster:
A heißt <was_auch_immer> gdw. A nicht <dies_und_das> ist.
auszusetzen? :-o
Es handelt sich hier um eine einfache sprachliche Konvention: Wir
kürzen die Aussage
A ist nicht <dies_und_das>
durch die Aussage
A ist <was_auch_immer>
ab.
A.
--
E-mail:
amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
Helmut Büch
news:wMGdnfFOeay...@pghconnect.com...
> Carsten Schultz wrote:
>
>> Dies ist nicht der Ort, um das von Grund auf zu erklären. Vielleicht
>> kann jemand ein gutes Lehrbuch oder Skript empfehlen, dass
>> Dedekind-Schnitte zur Konstruktion der reellen Zahlen nutzt.
>
> Yep, mein Lieblingslehrbuch (außer für Vektoranalysis, da ist es doch
> allzu veraltet ;-)):
>
> Mangoldt/Knopp (et al) (4 Bde.). Es müßte sich in Bd. 1 finden. Diese
> Bücher habe ich mit Genuß schon als Schüler benutzt. Dagegen war der
> Mathematikunterricht ein Graus (Kampfrechnen halt, no fun).
>
Evt. noch dies
http://www.ru.nl/w-en-s/gmfw/bronnen/dedekind2.html
Original Dedekind.
Gruß, Helmut
Eckard Blumschein
Missverständnissen gegeben zu haben.
On 1/23/2006 4:55 PM, Alois Steindl wrote:
> Nun genügt Mittelschularithmetik zu zeigen, dass Q3 ebenfalls rational
> ist und zwischen Q1 und Q2 liegt. Sollten Sie lieber mal
> nachexerzieren. Falls es Ihnen schwer fällt, wählen Sie doch r=1/2
> oder r=1/3.
Zugegeben, die Freiheit die Basis eines rationalen Zahlensystems
willkürlich zu wählen hatte ich als einmalig betrachtet. Wenn ich
rationale Zahlen schrieb, dann meinte ich stets geordnetes System
beliebiger aber fester Basis, beispielsweise zwei oder zehn oder auch
sechzehn, das sich in Form einer Liste aufschreiben läßt, so wie es
Cantor beim 2. Diagonalargument gemacht hatte.
> PS.: Wie weit ist Ihre ordnungserhaltende Auffädelung
> der rationalen Zahlen gediehen?
Ich hatte an anderem Ort Systeme rationaler Zahlen als unendliche
Baumstrukturen bezeichnet. Deren freilich nicht statische Auffädelung
ist dann vorstellbar, wenn man nur beliebig lange, aber keine aktual
unendlich langen Ziffernfolgen fordert.
> Ich habe Sie mal gefragt, welche der unendlich vielen Nachkommastellen
> der rationalen Zahl 1/3 man weglassen dürfte, ohne "die Identität" der
> Zahl zu ändern?
In beispielsweise dezimaler Repräsentation ebensowenige wie
Nachkommanullen bei der reellen Zahl eins darf gar keine fehlen. Im IR
sehe ich _alle_ Zahlen einheitlich nur mit aktual unendlich vielen
Ziffern repräsentiert.
Meine Sichtweise weicht da erheblich vom üblichen Nebeneinander der
Zahlen mit endlicher Ziffernzahl und der irrationalen "Zahlen" ab.
Mir ist schon klar, dass beispielsweise im Dezimalsystem die rationale
Zahl 1/3 nicht als rationale enthalten ist. Das macht aber nichts weil
die fiktiven reellen Zahlen für die Analysis den Vorteil bieten, alle
Zahlen und "Zahlen" gleichartig einzuschließen.
Alle sich unendlich oft wiederholenen Ziffernfolgen (Perioden) sehe ich
als Einblicke ins bzw. Stützstellen auf dem Kontinuum IR an. Numerisch
exakt Rechnen kann man mit aktual unendlich vielen Nachkommanullen nicht
unmittelbar, in anderen Fällen gar nicht.
Statt rationale Zahlen werde ich zukünftig ggfs. rationale Zahlen auf
einheitlicher (und rationaler) Basis schreiben.
Gottfried Helms
herzlichen Dank
Gottfried
Rudolf Sponsel
Verstehe ich nicht.
CC in <43d278b2$0$21024$9b4e...@newsread2.arcor-online.net>:
- S1 geschnitten S2 die leere Menge ist (keine gemeinsamen Elemente)
Rudolf Sponsel, Erlangen
Eckard Blumschein
> Eckard Blumschein schrieb:
>> ....weil ich von der
>> Wesensverschiedenheit zwischen rationalen (echten) Zahlen und reellen
>> (fiktiven) Zahlen ausgehe und folgere: Man kann zwar zeigen, dass die
>> irrationalen Zahlen nicht in den rationalen enthalten sind, und genau
>> dies bewies ja auch Cantors 2. Diagonalargument. Es ist aber nicht
>> möglich eine irrationale "Zahl" anders als aufgabenhaft zu beschreiben,
>> wenn reelle Zahlen fiktive Lösungen unlösbarer Aufgaben sind, wofür ich
>> viele Argumente fand.
.... Der
> Dedekind'sche Schnitt erscheint mir nach meinem Erstverstädnis eine
> beachtliche kreative Leistung (will sagen: darauf muß man erstmal
> kommen; ich bin natürlich nicht begeistert, weil diese Schöpfung meine
> Kritik am 'Y ist, was Nicht-X' schwächt).
Vielleicht in Frage stellt, aber schwächt? Nein. Die Frage ist noch zu
klären. Ich vermute dass die übliche Interpretation die vierte
Möglichkeit (nicht entscheidbar) neben der Trichotomie übersieht. Nicht
kleiner/größer als kann ja auch bedeuten nicht entscheidbar.
> Will man 1/3 dezimal aufgabenhaft ausrechnen, kommt man doch auch zu
> keinem zu einem Ende. Wo ist das für Dich der Unterschied (und wenn
> möglich bitte keine Philosopheme wie 'wesensverschieden';
Dazu hatte ich gerade versucht Alois Steindl zu antworten. Ich will noch
etwas ergänzen. Statt wesensverschieden sage ich konkreter: nicht in
endlich vielen Zählschritten repräsentierbar, nie wirklich erreichbar.
Selbstverständlich gilt diese Aussage nur für ein konkret gewähltes
Zählsystem. Ich setze aber voraus, dass ohne eine solche Festlegung kein
Zählen möglich wäre und sie deshalb nötig ist.
Widersprach ich bereits Dedekinds Behauptung eine irrationale Zahl
erschaffen zu haben, so bin ich auch kühn genug mir seine Frage "Was
sind und was sollen Zahlen" unbefangen vorzulegen. Ich gehe von der Eins
als einem Einheit genannten und immer wieder verwendeten Ausschnitt aus
einer Vielheit aus. Hausnummern gleichartiger Objekte sehe ich als ein
passendes Beispiel.
Sowie Napoleons Armee zerstörte deutsche Städte auf ehemals krummen
Gassen rechtwinklig neu ordnete und das berühmte 4711 entstehen ließ,
möchte ich auch die "Einheits-Grundstücke" systematisch geordnet wissen,
also beispielsweise dezimal oder dual gezählt und in gleicher Weise
unterteilt. Eine gleichmäßige Hofteilung auf drei Söhne kommt nicht in
Frage. Südwestdeutschland verarmte durch ungehemmte Hofteilung.
Zahlen sind demnach keine Punkte aus denen man eine lückenlose Linie
formen könnte sondern spielen eher die Rolle von Intervallen. Der
Vorteil dieses Paradigma ist die Assoziation eines stufigen aber
lückenlosen Zusammenhangs. Zwischen den ganzen Zahlen sind keine Lücken,
zwischen den rationalen im Dezimalsystem ebenfalls nicht. Der Quotient
Stufenhöhe zu Stufenbreite ist konstant gleich eins. Dies sollte auch
dann noch gelten wenn mit unendlich vielen Stufen die Stufigkeit
vollkommen verschwunden ist. Durch Spiegelung der so entstandenen Rampe
x=x an der Funktion exp(x) versuche ich mir die Ursache der aus der
Fourier-Transformation resultierenden Unschärferelation zu
veranschaulichen.
>
> Zusatzfrage: Wie beurteilst Du die komplexen Zahlen?
Da man von imaginären Zahlen den Faktor i abspalten kann, ist die
Tatsache dass sie fiktiv im Sinne von imaginär sind unproblematisch.
Imaginäre Zahlen können daneben freilich auch reell, d. h. fiktiv im
Sinne von nicht rational sein. Die Bezeichnungen sind unglücklich
entstanden.
Komplexe Zahlen sind hervorragend zur Lösung von Differentialgleichungen
geeignet, wenn periodische Funktionen vorliegen. Dies verführt
allerdings dazu, sie unbesehen auf physikalische Größen anzuwenden.
Solange man weiß was man tut ist dies auch zulässig, etwa dann wenn man
mit komplexen Widerständen operiert.
Gruß,
Eckard
Alois Steindl
Sie können nicht mal mit rationalen Zahlen umgehen und wollen sich als
Experte für reelle Zahlen aufspielen.
Alois Steindl
Eckard Blumschein
Herzlichen Dank!
Man kann sich schnell deran gewöhnen ß als tz zu lesen. Manchmal
scheinen freilich Wörter zu fehlen, so dass der Sinn unklar bleibt. Die
Bezeichnung R für die rationalen Zahlen verwirrt nicht wirklich:
"... es ist dem System aller rationalen Zahlen ein Instrument von
unendlich viel größerer Volkommenheit, welche ich an einem anderen Orte
1) als Merkmal eines Zahlkörpers bezeichnet habe, und welche darin
besteht, daß die vier Grundoperationen mit je zwei Individuen in R stets
wieder ein bestimmtes Individuum in R ist,...:
Allerdings gab mir folgender Satz zu denken:
,,Zerfallen alle Puncte der Geraden in zwei Classen von der Art, daß
jeder Punct der ersten Classe links von jedem Puncte der zweiten Classe
liegt, so existirt ein und nur ein Punct, welcher diese Eintheilung
aller Puncte in zwei Classen, die Zerschneidung der Geraden in zwei
Stücke hervorbringt.''
Dedekind schreibt hier ausdrücklich alle Puncte, nicht etwa alle rationalen.
Er gibt zu: "Es ist mir sehr lieb, wenn Jedermann das obige Princip so
einleuchtend findet und so übereinstimmend mit seinen Vorstellungen von
einer Linie; denn ich bin außer Stande, irgend einen Beweis für seine
Richtigkeit beizubringen, und Niemand ist dazu im Stande."
Ich sage heute: Es ist ja auch wirklich höchst fragwürdig.
An der Kapitel-Überschrift "Schöpfung der irrationalen Zahlen" und der
bekannten Aussage weiter unten: "Jedesmal wenn .... erschaffen wir eine
neue, eine irrationale Zahl" müsste man sich weniger stoßen wenn sie
nicht als auch Cantor zeitweise zur Euphorie verleitet hätte: Das Wesen
der Mathematik liegt gerade in ihrer Freiheit (Fraenkel 1923, S. 2).
Auch wenn es mir widerstrebt, Entdeckungen als freie Schöpfungen zu
deklarieren ist Dedekinds Vision ist grundsätzlich grob richtig:
"So wie die negativen und gebrochenen rationalen Zahlen durch eine freie
Schöpfung hergestellt, und wie die Gesetze der Rechnungen mit diesen
Zahlen auf die Gesetze der Rechnungen mit ganzen positiven Zahlen
zurückgeführ werden müssen und können, ebenso hat man dahin zu streben,
daß auch die irrationalen Zahlen durch die rationalen Zahlen allein
vollständig definirt werden."
Die Nichtabzählbarkeit/Nichtauflösbarkeit des Kontinuums konnte sich
Dedekind offensichtlich noch nicht vorstellen. Den Umstand dass dort
keine Trichotomie gilt konnte er nicht berücksichtigen. Seine Beweise
erlangten Kultstatus.
Gruß,
Eckard
Marc Olschok
> Peter Niessen schrieb:
>[...]
> > Oh Rudolf!
> > Du hast den Kopf eigentlich zum denken auf dem Hals sitzen:
> > Wo bitte ist zwischen den beiden Mengen die den Schnitt festlegen eine
> > leere Menge? Zum mitmeisseln:
> > Man formuliert die Mengen disjunkt (Elementfremd) weil es meist praktischer
> > ist. Du darfst die Schnittzahl S auch beiden Mengen zuordnen: Dann
> > schneiden sich die Mengen in einem Punkt (Element)! Manchmal muss man doch
> > am Denkvermögen zweifeln.
>
> Verstehe ich nicht.
> CC in <43d278b2$0$21024$9b4e...@newsread2.arcor-online.net>:
> - S1 geschnitten S2 die leere Menge ist (keine gemeinsamen Elemente)
Der Verzicht auf diese Eigenschaft ist nicht so wesentlich. Ich hatte
in diesem Thread in <43fpi1F...@news.dfncis.de> schon eine etwas
einfachere Definition von Macneille erläutert, die dies erlaubt.
Marc
Helmut Büch
news:dr4l9p$7ke$01$1...@news.t-online.com...
> Evt. noch dies
> http://www.ru.nl/w-en-s/gmfw/bronnen/dedekind2.html
> Original Dedekind.
> Gruß, Helmut
Die niederländischen Erläuterungen bedeuten:
Ursprünglicher Text in Fraktur, für die HTML-Version buchstabengetreu
übertragen. War Dedekinds Vater zu dessen fünfzigjährigem Jubiläum als
Professor der Rechte zu Braunschweig gewidmet. Die Fußnoten waren mit
Sternchen angegeben, hier als numerierte Endnoten aufgenommen. Die kursiven
lateinischen Buchstaben, die in der HTML-Version für die wissenschaftlichen
Größen verwendet wurden, sind im Original ebenfalls kursive lateinische
Buchstaben, die nicht-kursiven Variablen betreffen Buchstaben in Fraktur.
Das Layout der Formeln auf S. 14 wurde nicht beibehalten.
Ergänzung meinerseits zum Gebrauch von ß für tz:
In der alten Frakturschrift ist selbst für einen deutschen Muttersprachler
die Unterscheidung von ß und tz manchmal schwierig und ergibt sich eher aus
dem Sinn. Umso höher ist die Arbeit des niederländischen Mathematikers der
Universität Leyden zu schätzen, der sich der Mühe der Übertragung unterzogen
hat. M.W. gibt es keine OCR-Programme, die in Fraktur gesetzten Text
einwandfrei erkennen können. Oder kennt jemand von Euch eines?
Gruß, Helmut
Gottfried Helms
>
> Ergänzung meinerseits zum Gebrauch von ß für tz:
>
> In der alten Frakturschrift ist selbst für einen deutschen Muttersprachler
> die Unterscheidung von ß und tz manchmal schwierig und ergibt sich eher aus
> dem Sinn. Umso höher ist die Arbeit des niederländischen Mathematikers der
> Universität Leyden zu schätzen, der sich der Mühe der Übertragung unterzogen
> hat. M.W. gibt es keine OCR-Programme, die in Fraktur gesetzten Text
> einwandfrei erkennen können. Oder kennt jemand von Euch eines?
>
> Gruß, Helmut
>
Gottfried
Helmut Büch
"Gottfried Helms" <he...@uni-kassel.de> schrieb im Newsbeitrag
news:dr7stg$h89$02$1...@news.t-online.com...
Hallo Gottfried, bei meinem Finereader 4.0 ist mir das noch nicht gelungen .
Hast Du einen Tip?
Gruß, Helmut
Gottfried Helms
>
> Kann man Finereader nicht darauf trainieren? (Frage nur mal so)
>
> Hallo Gottfried, bei meinem Finereader 4.0 ist mir das noch nicht gelungen .
> Hast Du einen Tip?
> Gruß, Helmut
>
>
Nach meinem Eindruck war die Trainingsmöglichkeit in
dieser Version schon ziemlich gut. Was die aktuellen
Versionen können, weiß ich leider nicht, da zu teuer.
Aber Finereader hat ziemlich gute Noten überall, daher
mein Tip.
Gruß -
Gottfried
Helmut Büch
"Rudolf Sponsel" <rudolf-...@sgipt.org> schrieb im Newsbeitrag
news:dr30b1$bd8$1...@news1.nefonline.de...
>
> Will man 1/3 dezimal aufgabenhaft ausrechnen, kommt man doch auch zu
> keinem zu einem Ende. Wo ist das für Dich der Unterschied (und wenn
> möglich bitte keine Philosopheme wie 'wesensverschieden'; Zahl 'ist'
> Quantum oder Ausprägung und das ist ihr 'Wesen', man kann mit ihnen also
> zählen oder messen).
>
Noch etwas fiel mir auf:
Wenn wir z.B. sagen, dieser Tisch ist genau 50 cm hoch, dann stimmt das mit
Sicherheit nicht. Begründung:
Selbst wenn Fußboden und Tischplatte absolut horizontal, eben und glatt
wären, würde immer genaueres Messen eine - wenn auch kleine - Abweichung
zeitigen. Um mit dem alten Herrn Gaus zu sprechen: Die Wahrscheinlichkeit,
daß ein bstimmtes Maß genau eingehalten wird, ist 0. Wir müssen ein
Intervall angeben, in dem der wahre Wert liegen soll. Dafür ist die
Wahrscheinlichkeit dann > 0.
Die Unmöglichkeit, sie "genau" zu bestimmen, scheint mir eine
charakteristische Eigenschaft der reellen Zahlen zu sein.
Gruß, Helmut
Kronberger Reinhard
>Die Unmöglichkeit, sie "genau" zu bestimmen, scheint mir eine
>charakteristische Eigenschaft der reellen Zahlen zu sein.
Dafür gibt es die numerische Mathematik.
Die beschäftigt sich mit Approximationen und Ähnlichem.
K.R.
Helmut Büch
"Kronberger Reinhard" <tral...@mba-software.at> schrieb im Newsbeitrag
news:O3%Bf.90$6F3.30...@news.salzburg-online.at...
H.B.
Eckard Blumschein
Das ist für Maße zweifellos richtig, und daher kommt auch meine
Überlegung, dass es bei fiktiven reellen Zahlen sinnlos ist, zwischen
offenen und geschlossenen Intervallen zu unterscheiden.
Dem stehen allerdings die vermutlich heiligsten Kühe der Mathematik
entgegen, die behauptete Unabhängigkeit einer Zahl von ihrer
Repräsentation und die Trichotomie. Scheinbar abseits aller notwendigen
Kritik an Cantor ist die Frage ob für die fiktiven (irrationalen und aus
anderem Grund reellen) Zahlen Trichotomie gilt. Ich vermute: Nein, habe
aber keinen eigenen Beweis dafür, stütze mich auf nicht formalisierte
eigene Überlegungen, auf Brouwer, aud Pratt und die nur im Fiktiven
geltende Gleichheit zwischen 0.999... uns 1.000...
Gegen die Unabhängigkeit gibt es eine triviale einrede: Zahlen
existieren nur durch ihre Darstellung und in ihr.
Gruß, Eckard
Robert W. Kuhn
> Kühe
..scheinen das Thema von Herrn Blumschein zu sein. Lassen wir ihn dabei
alleine und gehen einfach weiter.
Danke und viel Spaß noch in de.sci.mathematik!
Tschau - Robert
--
vertrau
voraus voraus
Eckard Blumschein
> Carsten Schultz <car...@codimi.de> wrote:
>> On 2006-01-21, Marc Olschok <inv...@nowhere.com> wrote:
>>[...]
>> > H. M. Macneille: Partially Ordered Sets
>> > Transactions of the American Mathematical Society,
>> > Vol. 42, No. 3. (Nov., 1937), pp. 416-460.
> Ein Vorteil ist, dass bereits eine der beiden Mengen den Schnitt
> vollständig bestimmt. In der Ordnungstheorie hat man daher bereits
> die Begriffe "unterer Schnitt" und "oberer Schnitt" für LR-invariante
> und RL-invariante Teilmengen.
>
> (Und es liefert nebenbei auch auch eine mögliche Interpretation des
> Magdeburger Stichworts "symmetrischer Schnitt" :-)
Da sich "Magdeburger Stichwort" vermutlich auf mich bezieht habe ich
nochmal nachgedacht.
Dedekinds Schnitte setzen voraus, dass man _alle_ Zahlen gewissermaßen
nach links oder rechts scheiteln kann, was ja scheinbar so anschaulich
ist, dass Dedekind meint auf den Beweis verzichten zu können, den ja
- wie er einräumt - niemand erbringen könne.
Ein Stück weit hilft uns die Vorstellung von einer einzigen, sagen wir
dezimalen, potentiell unendlichen Baumstruktur. Es ist auch hilfreich,
links a=0,999... und rechts b=1,000... zu betrachten. Der Unterschied
zwischen beiden geht mit zunehmender Stellenzahl gegen null. Perfekt
unendlich viele Stellen entsprechen aber einer anderen Qualität
Nichtunterscheidbarkeit (a=b), also eine aktual unendliche Stellenzahl,
ist eine Fiktion. Sie ist gleichbedeutend mit der Gleichheit zweier
verschiedener Zahlen a und b. Trichotomie ist hier nicht gegeben. Das
Gebiet der richtigen (rationalen) Zahlen ist verlassen.
Kann man so eine irrationale Zahl erschaffen? Ich sage nein. Dedekind
hat nie auch nur eine einzige irrationale Zahl wirklich erschaffen.
Im fiktiven Kontinuum der reellen Zahlen gibt es keine vollständige
numerische Repräsentation. Alle Zahlen sind rudimentär enthalten, keine
von ihnen ist herausfindbar.
Für den Grenzwertsatz der Analysis ist nicht nur die vollständige
numerische Repräsentation bzw. die Herausfindbarkeit nicht erforderlich.
Im Gegenteil: Hier braucht man sogar die Möglichkeit der fiktiven Lösung
algebraisch nicht lösbarer Aufgaben.
Jede Zahl ist dann, wenn ihr perfekt unendlich viele Nachkommaziffern
anhängen, keine Zahl mit vollem Bürgerrecht mehr sondern
eine fiktive Zahl. Ich bin dafür, dass man sie reelle Zahl nennt. In
diesem Sinne sind reelle Zahlen zu Unzahlen verkommen. Mit ihnen ist ein
symmetrischer Schnitt möglich. Sie machen es möglich, dass eine Funktion
f(x) an der aus rationaler Sicht gleichen Stelle x zwei verschiedene
Funktionswerte hat, so dass beispielsweise gilt |sign(0)|=1. Dem
zwischen +0 und -0 liegenden Wert sign(0)=0 wird nicht die Existenz wohl
aber die Relevanz abgesprochen.
Übrigens offenbart der englische Begriff "set" dass unendliche Mengen,
sofern man sie als Gesamtheiten betrachtet nur Fiktionen sein können.
Die natürlichen Zahlen bilden ja offensichtlich noch kein fertiges "set"
sondern ein "to be set", eine nicht ausführbare Aufgabe mit lediglich
fiktiver Lösung.
Gruß,
Eckard
Robert W. Kuhn
> unendliche
Dummheiten.
"Wer issen das?"
Das ist Eckard Blumschein. Der Gruppentroll in de.sci.mathe und
de.sci.physik
"Und? Was soll ich jetzt machen?"
Am Allerbesten nichts. Garnichts.
"Wie, nichts?"
Na Nichts. Das Problem mit solchen Trollen ist, daß sich endlose
Diskussionen entwickeln, die am Ende nichts bringen, die Gruppe
unübersichtlich machen und das Rauschen vergrößern. Im Ergebnis
verschlechtert sich die gesamte Stimmung in der Gruppe.
"Aber das ist doch Blödsinn, den Herr Blumschein da schreibt. Das muß ich
doch klarstellen, diesen Unsinn kann ich nicht so stehen lassen. Am Ende
glaubt das noch jemand."
Nein, keine Angst. Alle, die nur ein bißchen hier mitlesen, kennen
Herrn Blumschein und wissen, daß seine Schreibseleien Unsinn sind. Er
will sich nur produzieren, provozieren und Ärger sowie Stänkereien
anzetteln. Da muß man nichts klarstellen. Herr Blumschein schreibt
Unsinn und alle wissen das. Und wer es nicht weiß, kann ja dieses
Posting lesen ;-)
"Ich will aber unbedingt antworten!"
Na klar, am Ende kannst Du machen, was Du willst. Aber bitte bedenke
die negativen Folgen für die Gruppe und die Diskussionskultur hier. Es
wäre wirklich besser, einfach die Finger still zu halten. Wenn Du Dir
mal anschauen willst, wie die Diskussionen mit Herrn Blumschein
verlaufen, schau einfach mal bei google. Du siehst dort, es wurde
alles schon 100x durchgekaut und schon etliche vor Dir haben versucht,
Herrn Blumschein seine Irrtümer aufzuzeigen. Ihn geht es aber nicht um
Erkenntnis, er will nur stänkern.
"Aber warum macht er das denn bloß? Was treibt ihn an?"
Keine Ahnung. Ich glaube, es gib einfach so ein schön warmes Gefühl
Abends beim Einschlafen im Bauch, wenn man denkt, man hat allen
Mathematikern gezeigt, wie genial man ist und daß sie sich seit
Jahrzehnten mit einem Irrtum beschäftigen.
So, das wars von mir. Vielen Dank, daß Du bis hierhin durchgehalten
hast!
Rainer Willis
> Ein Stück weit hilft uns die Vorstellung von einer einzigen, sagen wir
> dezimalen, potentiell unendlichen Baumstruktur. Es ist auch hilfreich,
> links a=0,999... und rechts b=1,000... zu betrachten.
Du wirst mir zustimmen, dass 1/3 = 0,333...
Beide Seiten mal 3:
3/3 = 3*0,333... = 0,999... = 1.
> Der Unterschied zwischen beiden geht mit zunehmender Stellenzahl gegen null.
Die Stellenzahl wird durch die Punkte erledigt: abzählbar unendlich viele sollten's bittschön sein. Und zwar sofort, nicht "zunehmend".
> Perfekt unendlich viele Stellen entsprechen aber einer anderen Qualität
Manche sehen eben den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Gruß, Rainer
Alois Steindl
Lieber Rainer,
bei EB ist das ein Problem, da er nur solche Zahlen akzeptieren will,
die er auf seinem Taschenrechner sehen kann. Alles, was so über 10
Stellen hinausgeht, ist daher fiktiv. Das trifft nicht nur auf die
vielgeschmähten reellen Zahlen, sondern auch auf "etliche" rationale
Zahlen zu, wie etwa 1/3. Am Taschenrechner sieht er nur 0.3333333333
und dann denkt er sich 3 Pünktchen dazu. Die sollen dann wohl heißen,
dass danach alles mögliche kommen kann.
Perfekt unendlich viele Stellen kann man sich seiner Meinung nach
nicht vorstellen, da man sich ja jede Stelle einzeln vorstellen müsste
und das würde unendlich lange dauern. Deshalb wiederholt er auch
gebetsmühlenartig, dass Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen
nicht abzählbar seien. Wohlgemerkt: Die Zahl 1/3 ist zB. im Dezimalsystem
- nach Blumscheinser Vorstellung - nicht abzählbar. Auch die Menge N
ist es nicht.
Wenn jemand EB einen Taschenrechner mit 20 Stellen spendieren könnte,
würde sich sein Zahlenuniversum deutlich vergrößern.
Möglicherweise ist Cantor einfach daran gescheitert, dass er keinen
Taschenrechner hatte.
Ich sollte mich besser an Roberts Empfehlung halten und auf den
konzentrierten Schwachsinn (verbunden mit persönlichen
Verunglimpfungen aufgrund von Religion, ...) überhaupt nicht mehr
eingehen. Auch bitte ich alle anderen, Roberts Aufrufe zu befolgen.
Alois
Carsten Schultz
> Wenn jemand EB einen Taschenrechner mit 20 Stellen spendieren könnte,
> würde sich sein Zahlenuniversum deutlich vergrößern.
Das ist dann der Unterschied zwischen ihm und WM: Letzteren müsste man
in ein größeres Universum setzen, damit er mehr natürliche Zahlen
bekommt.
Gruß,
Carsten
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.
Eckard Blumschein
nicht verstanden zu haben.
On 2/3/2006 12:38 PM, Rainer Willis wrote:
> Eckard Blumschein wrote:
>
>> Ein Stück weit hilft uns die Vorstellung von einer einzigen, sagen wir
>> dezimalen, potentiell unendlichen Baumstruktur. Es ist auch hilfreich,
>> links a=0,999... und rechts b=1,000... zu betrachten.
>
> Du wirst mir zustimmen, dass 1/3 = 0,333...
>
> Beide Seiten mal 3:
>
> 3/3 = 3*0,333... = 0,999... = 1.
Es geht darum, dass 0,333... nie glatt 1/3 und 0,999... nie glatt 1
erreicht wenn, ... und um dieses Wenn geht es.
>
>> Der Unterschied zwischen beiden geht mit zunehmender Stellenzahl gegen null.
>
> Die Stellenzahl wird durch die Punkte erledigt: abzählbar unendlich viele sollten's bittschön sein. Und zwar sofort, nicht "zunehmend".
Solange es nur abzählbar unendlich viele sind, gilt 0,999... < 1.
Abzählbar bedeutet potentiell unendlich. Nicht abzählbar bedeutet
perfekt unendlich, und das ist eine andere Qualität, eine Fiktion.
>
>> Perfekt unendlich viele Stellen entsprechen aber einer anderen Qualität
>
> Manche sehen eben den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Wald besteht aus einzelnen abzählbaren Bäumen. Das Kontinuum kann aber
nur fiktiv in fiktive Elemente auflösen. Es ist ganz grundsätzlich nicht
abzählbar.
Gruß,
Eckard
Eckard Blumschein
> bei EB ist das ein Problem, da er nur solche Zahlen akzeptieren will,
> die er auf seinem Taschenrechner sehen kann. Alles, was so über 10
> Stellen hinausgeht, ist daher fiktiv.
Entweder bist du wirklich so dumm bei mir soviel Dummheit zu vermuten
oder, und das halte ich für wahrscheinlicher, du unterstellst sie mir
böswillig.
> Das trifft nicht nur auf die
> vielgeschmähten reellen Zahlen, sondern auch auf "etliche" rationale
> Zahlen zu, wie etwa 1/3. Am Taschenrechner sieht er nur 0.3333333333
> und dann denkt er sich 3 Pünktchen dazu. Die sollen dann wohl heißen,
> dass danach alles mögliche kommen kann.
Cantor und Fraenkel brauchten auch keinen Taschenrechner um den
Unterschied zwischen potentiell (nicht richtig unendlich) und altual
(=perfekt) unendlich verstehen zu können. Du brauchst die Methapher
Taschenrechner um anzudeuten dass ich ein Ingenieur bin der wie du
meinst von Mathematik nichts verstehen kann. Schäbige Unterstellung!
Die drei Pünktchen sind nicht eindeutig. Sie können als beliebig viele
gelesen werden, dann ist man noch in der Welt der richtigen Zahlen oder
aber als fiktiv alle.
> Perfekt unendlich viele Stellen kann man sich seiner Meinung nach
> nicht vorstellen,
Cantor gebe ich insofern recht, dass man sich - hinreichendes
Abstraktionsvermögen vorausgesetzt - perfekt unendlich viele Stellen
durchaus als Gesamtheit vorstellen kann. Fraenkel gab sogar für die
Debilen unter den Mathematikern eine Vorstellungshilfe: Den Wettlauf
zwischen Achilles und der Schildkröte.
> da man sich ja jede Stelle einzeln vorstellen müsste
> und das würde unendlich lange dauern.
Es geht hier nicht darum was man sich vorstellen kann oder nicht. Auch
Hilbert war ja Finitist. Wenn es zu jeder Zahl eine größere gibt, dann
ist ein Ende (außer als Fiktion) nie zu erreichen. Unendlich heißt nicht
umsonst ohne Ende. Die Zeit spielt dabei keine Rolle. Wenn heutige
Mathematiker eher mehr Schwierigkeiten mit dem Unendlichkeitsbegriff
haben dann ist daran Cantors naive Intuition schuld, der als Kind 1, 2,
3, unendlich viele gelernt haben mag, also einen weit unter dem Level
wissenschaftlicher Abstraktion liegenden quantitativen Begriff.
> Deshalb wiederholt er auch
> gebetsmühlenartig,
Gebetsmühlenartiges Wiederholen wäre nur angemessen wenn man es mit
unintelligenten Menschen zu tun hätte. Ich sehe Litaneien bei der
Erziehung zum Glauben an die ML zwar mit Erfolg praktiziert, verabscheue
dies Methode aber.
> dass Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen
> nicht abzählbar seien. Wohlgemerkt: Die Zahl 1/3 ist zB. im Dezimalsystem
> - nach Blumscheinser Vorstellung - nicht abzählbar. Auch die Menge N
> ist es nicht.
Das hast du dir gut gemerkt, vermutlich aber noch nicht verinnerlicht.
Die Zahlen 1, 2, 3, ... sind sehr wohl abzählbar, die entsprechende
Gesamtsicht, also die Menge als fiktives geschlossenes Ganzes ist es
nicht. Dahin gibt es keine Bijektion.
> Wenn jemand EB einen Taschenrechner mit 20 Stellen spendieren könnte,
> würde sich sein Zahlenuniversum deutlich vergrößern.
Was für ein Unsinn!
> Möglicherweise ist Cantor einfach daran gescheitert, dass er keinen
> Taschenrechner hatte.
Cantor scheiterte eher an seinem unzureichendem Abstraktionsvermögen und
daran, dass er die Werke der großen Denker erst studierte als er in der
Heilanstalt dazu Zeit hatte. Für eine Korrektur seiner Ideen war es da
zu spät. Er hatte sich ja schon als Schöpfer einer neuen Mathematik
feiern lassen, und sein Ruhm war auf seine Irrtümer gegründet.
> Ich sollte mich besser an Roberts Empfehlung halten und auf den
> konzentrierten Schwachsinn (verbunden mit persönlichen
> Verunglimpfungen aufgrund von Religion, ...) überhaupt nicht mehr
> eingehen.
Bitte lies, was ich heute zum Thema Religion und Cantor schreib:
<43E2130F...@et.uni-magdeburg.de>
Eckard
Eckard Blumschein
> On 2006-02-03, Alois Steindl <Alois....@tuwien.ac.at> wrote:
>> Wenn jemand EB einen Taschenrechner mit 20 Stellen spendieren könnte,
>> würde sich sein Zahlenuniversum deutlich vergrößern.
>
> Das ist dann der Unterschied zwischen ihm und WM: Letzteren müsste man
> in ein größeres Universum setzen, damit er mehr natürliche Zahlen
> bekommt.
Ich teile zwar WMs Vorstellung von einer physikalischen Grenze der
Zahlen nicht, gebe aber zu bedenken, dass es die Höflichkeit verbietet
sich über jemanden lustig zu machen. Wer zuletzt lacht lacht am Besten.
Lavine schrieb 1994: "The Cantorian infinite ... remains mysterious and
ill understood." Für mich nicht mehr.
The history of set theory ... has been one of attempting to salvage as
much as possible of Cantor's naive theory." "The fundamental axioms of
mathematics ... are to a large extent arbitrary and historically
determined." Kein Ruhmesblatt für die Krone der Wissenschaften!
E.
Rainer Willis
> Vielleicht lohnt es sich Rainer Willis zu antworten. Er scheint mich
> nicht verstanden zu haben.
Ok, ich lausche:
> On 2/3/2006 12:38 PM, Rainer Willis wrote:
>>Du wirst mir zustimmen, dass 1/3 = 0,333...
>>
>>Beide Seiten mal 3:
>>
>>3/3 = 3*0,333... = 0,999... = 1.
>
>
> Es geht darum, dass 0,333... nie glatt 1/3 und 0,999... nie glatt 1
> erreicht wenn, ... und um dieses Wenn geht es.
Wieso "nie", Eckard? Sofort! Subito! Da wird auch nichts "erreicht", 1/3 muss es geben, fertig ist. Zeit spielt keine Rolle, auch nicht, wenn ich 1/3
gern in Dezimalform hätte.
>>>Der Unterschied zwischen beiden geht mit zunehmender Stellenzahl gegen null.
>>
>>Die Stellenzahl wird durch die Punkte erledigt: abzählbar unendlich viele sollten's bittschön sein. Und zwar sofort, nicht "zunehmend".
>
>
> Solange es nur abzählbar unendlich viele sind, gilt 0,999... < 1.
Nein.
> Abzählbar bedeutet potentiell unendlich.
Nein, abzählbar bedeutet abzählbar und abzählbar unendlich bedeutet abzählbar unendlich. Was potentiell unendlich sein soll weiß ich nicht.
> Nicht abzählbar bedeutet perfekt unendlich, und das ist eine andere Qualität, eine Fiktion.
Hatten wir das nicht schon? *Alle* Zahlen sind fiktiv, deine Unterscheidung zwischen potentiell und aktual ergibt keinen Sinn.
>>>Perfekt unendlich viele Stellen entsprechen aber einer anderen Qualität
>>
>>Manche sehen eben den Wald vor lauter Bäumen nicht.
>
>
> Wald besteht aus einzelnen abzählbaren Bäumen.
So meinte ich das nicht. Der Wald besteht aus Bäumen die alle unterschiedlich aussehen und dennoch nur eine Information enthalten: 1.
> Das Kontinuum kann aber nur fiktiv in fiktive Elemente auflösen. Es ist ganz grundsätzlich nicht abzählbar.
Aber die Dreien in 0,333... sind abzählbar?
Gruß, Rainer
Peter Niessen
> Cantor scheiterte eher an seinem unzureichendem Abstraktionsvermögen und
> daran, dass er die Werke der großen Denker erst studierte als er in der
> Heilanstalt dazu Zeit hatte. Für eine Korrektur seiner Ideen war es da
> zu spät.
Interessant!
Dein Zimmergenosse heißt Cantor?
Gute Besserung und grüße deine Pfleger ;-)
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
Eckard Blumschein
>
>> Abzählbar bedeutet potentiell unendlich.
>
> Nein, abzählbar bedeutet abzählbar und abzählbar unendlich bedeutet abzählbar unendlich.
Was potentiell unendlich sein soll weiß ich nicht.
Lies einfach bei Fraenkel nach. In der Auflage von 1923 steht es auf
Seite 6, sogar geperrt gedruckt:
"Man spricht in diesem Sinne vom uneigentlichen oder
p o t e n t i e l l e n U n e n d l i c h:"
Wenn du es dann auch noch verstanden hast können wir weitersehen.
>> Das Kontinuum kann aber nur fiktiv in fiktive Elemente auflösen. Es ist ganz grundsätzlich nicht abzählbar.
>
> Aber die Dreien in 0,333... sind abzählbar?
It depends.
Gruß,
Eckard
Eckard Blumschein
> Eckard Blumschein schrieb:
>
>> Cantor scheiterte eher an seinem unzureichendem Abstraktionsvermögen und
>> daran, dass er die Werke der großen Denker erst studierte als er in der
>> Heilanstalt dazu Zeit hatte. Für eine Korrektur seiner Ideen war es da
>> zu spät.
>
> Interessant!
Ich beziehe mich auf einen längeren englischsprachigen Text den ich hier
zitiert hatte.
E.
Ralf Bader
Ich weiß nicht genau, was Sie da lesen, Blumschein, aber falls es das
(mir nicht vorliegende) Buch ist, welches in
http://www-users.cs.york.ac.uk/susan/bib/nf/l/lavine.htm
besprochen wird, so drängt sich der Eindruck auf, daß Sie ganz einfach
mal wieder überhaupt nichts kapiert haben. Ihre andauernde entstellende
Zitiererei ist widerwärtig. Jedenfalls kann jeder den Vergleich
zwischen dem Eindruck, den Blumschein zu erwecken versucht, und der
genannten Besprechung ziehen, und auch Lesern ohne mathematischem oder
mengentheoretischem Hintergrund könnte dabei einiges über das
Blumscheinsche Geschwätz klarwerden.
Carsten Schultz
> Ich weiß nicht genau, was Sie da lesen, Blumschein, aber falls es das
> (mir nicht vorliegende) Buch ist, welches in
> http://www-users.cs.york.ac.uk/susan/bib/nf/l/lavine.htm
> besprochen wird, so drängt sich der Eindruck auf, daß Sie ganz einfach
> mal wieder überhaupt nichts kapiert haben. Ihre andauernde entstellende
> Zitiererei ist widerwärtig.
Ja. Aber wir werden nicht herausfinden könne, ob es Absicht oder
echtes Unverständnis ist. Selbst wenn es letzteres sein sollte, was
ja an sich die angenehmere Variante wäre, zeigt er keinerlei
Anzeichen, dass diesem Umstand abgeholfen werden könnte. Es ist daher
besser, ihn einfach zu ignorieren, auch wenn jedes dieser Zitate eine
Provokation ist. Es fällt mir auch schwer.
Ralf Bader
> On 2006-02-03, Ralf Bader <ba...@nefkom.net> wrote:
>> Ich weiß nicht genau, was Sie da lesen, Blumschein, aber falls es das
>> (mir nicht vorliegende) Buch ist, welches in
>> http://www-users.cs.york.ac.uk/susan/bib/nf/l/lavine.htm
>> besprochen wird, so drängt sich der Eindruck auf, daß Sie ganz
>> einfach mal wieder überhaupt nichts kapiert haben. Ihre andauernde
>> entstellende Zitiererei ist widerwärtig.
>
> Ja. Aber wir werden nicht herausfinden könne, ob es Absicht oder
> echtes Unverständnis ist. Selbst wenn es letzteres sein sollte, was
> ja an sich die angenehmere Variante wäre, zeigt er keinerlei
> Anzeichen, dass diesem Umstand abgeholfen werden könnte.
Es war nicht meine Absicht, Blumschein auf die Sprünge zu helfen.
> Es ist daher
> besser, ihn einfach zu ignorieren, auch wenn jedes dieser Zitate eine
> Provokation ist. Es fällt mir auch schwer.
Ich hatte ja auch Skrupel, das wegzuschicken. Daß ich es trotzdem getan
habe, war wegen des Links auf die Rezension, die ein Bild von Lavine's
Buch vermittelt, mit dem Blumscheins Zitiererei unvereinbar ist, und
somit auch des Buches wegen. Vorhin habe ich festgestellt, daß man bei
Amazon die Einleitung des Buchs lesen kann, in der sich nicht
überraschenderweise die Blumscheinschen Zitate wiederfinden. Was mich
dann aber doch vom Hocker gerissen hat, war das, was Lavine exakt zwei
Zeilen nach dem von Blumschein zitierten Satz "The fundamental axioms
of mathematics ... are to a large extent arbitrary and historically
determined." schreibt: "The story I have just told [und die das
Blumscheinsche Zitat einschließt] is a common one, widely believed. Not
one word of it is true." (und die wahre Geschichte, in der die
Cantorsche Mengenlehre übrigens um einiges besser dasteht als in der
Standardgeschichte, ist dann Hauptthema des Buches). Die Frage, ob bei
Blumschein Absicht oder Dummheit vorliegt, wird dadurch zugunsten der
letzteren Möglichkeit beantwortet, denn ein Zitat absichtlich derart
dreist zu verfälschen, ist natürlich auch Dummheit.
Ralf
Carsten Schultz
> Ich hatte ja auch Skrupel, das wegzuschicken. Daß ich es trotzdem getan
> habe, war wegen des Links auf die Rezension, die ein Bild von Lavine's
> Buch vermittelt, mit dem Blumscheins Zitiererei unvereinbar ist, und
> somit auch des Buches wegen. Vorhin habe ich festgestellt, daß man bei
> Amazon die Einleitung des Buchs lesen kann, in der sich nicht
> überraschenderweise die Blumscheinschen Zitate wiederfinden. Was mich
> dann aber doch vom Hocker gerissen hat, war das, was Lavine exakt zwei
> Zeilen nach dem von Blumschein zitierten Satz "The fundamental axioms
> of mathematics ... are to a large extent arbitrary and historically
> determined." schreibt: "The story I have just told [und die das
> Blumscheinsche Zitat einschließt] is a common one, widely believed. Not
> one word of it is true." (und die wahre Geschichte, in der die
> Cantorsche Mengenlehre übrigens um einiges besser dasteht als in der
> Standardgeschichte, ist dann Hauptthema des Buches).
Danke für die Richtigstellung.
> Die Frage, ob bei Blumschein Absicht oder Dummheit vorliegt, wird
> dadurch zugunsten der letzteren Möglichkeit beantwortet, denn ein
> Zitat absichtlich derart dreist zu verfälschen, ist natürlich auch
> Dummheit.
Ist plumpes Quote-Mining nun mehr ein Auydruck von Unaufrichtigkeit
oder Dummheit? Das wird wohl tatsächlich von Fall zu Fall verschieden
sein.
Eckard Blumschein
> Mit den Schnitten ist der Fabuliererrei eines EB oder WM, über
> Irrationalzahlen als aufgabenhafte nicht in endlicher Zeit zu beschreibende
> Zahlen und somit nicht existente Zahlen, die Grundlage entzogen.
Nein. Dedekinds Schnitte sind aufgabenhaft und bei Eudoxus schon
angedacht, also wenig originell.
Lavine (s. 38) brachte es so auf den Punkt: The upper and lower parts of
the cut correspond to the commensueable ratios greater than and less
than a g i v e n incommensurable ratio.
Dedekind erscvhuf nicht eine einzige irrationale Zahl.
> Denn hier
> ist Wurzel2 glasklar in endlicher Zeit und eindeutig definiert.
Nicht besser als in x^2=2.
> Zu bemerken
> ist noch das man mit Paaren wie:
> ({x e Q|x<0 oder x^2<=2};{x e Q|x>0 und x^2 >=2})
> genauso rechnen kann als wären es die dir geläufigen Zahlen.
Warum wohl tut es niemand?
> Und damit ist
> die Sache rund: Schnitte sind äquivalent zu Zahlen. Die Mengenlehre liefert
> also eine saubere Definition aller Zahlen und das ist der Verdienst von
> Dedekind, Seine "kreative" Leistung.
Dank Helmut Büch kann jedermann bequem nachlesen, dass die Grundlage der
Dedekindschnitte unbewiesen und unbeweisbar ist:
> http://www.ru.nl/w-en-s/gmfw/bronnen/dedekind2.html
E.
>
Eckard Blumschein
> Eckard Blumschein wrote:
>> Ich teile zwar WMs Vorstellung von einer physikalischen Grenze der
>> Zahlen nicht, gebe aber zu bedenken, dass es die Höflichkeit verbietet
>> sich über jemanden lustig zu machen. Wer zuletzt lacht lacht am
>> Besten.
>>
>> Lavine schrieb 1994: "The Cantorian infinite ... remains mysterious
>> and ill understood."
(S. 1)
>> Für mich nicht mehr.
>>
>> The history of set theory ... has been one of attempting to salvage as
>> much as possible of Cantor's naive theory."
(S. 1)
>> "The fundamental axioms of
>> mathematics ... are to a large extent arbitrary and historically
>> determined."
(S. 2)
Kein Ruhmesblatt für die Krone der Wissenschaften!
>
> Ich weiß nicht genau, was Sie da lesen, Blumschein, aber falls es das
> (mir nicht vorliegende) Buch ist, welches in
> http://www-users.cs.york.ac.uk/susan/bib/nf/l/lavine.htm
> besprochen wird, so drängt sich der Eindruck auf, daß Sie ganz einfach
> mal wieder überhaupt nichts kapiert haben.
Mir liegt das gleiche second printing vor was im Link angeboten wird.
> Ihre andauernde entstellende Zitiererei ist widerwärtig.
Ich habe nicht behauptet, dass Lavine Cantor konsequent ablehnt.
Vielmehr folgt er dem verbreiteten Irrtum, dass es nur die Alternative
gäbe die reellen Zahlen abzulehnen oder aber Cantor zu folgen. Er
schreibt (S. 11):
"But one conclusion seems to be inescapable: without a consistent theory
of the mathematical infinite there is no mathematical analysis in any
form even remotely resembling what we now have; and finally, without
analysis the major part of mathematics-including geometry and most of
applied mathematics-as it now exists would cease to exist. The most
important task confronting mathematicians would therefore seem to be the
construction of a satisfactory theory of the infinite..."
Immerhin schrieb er an entscheideneden Stellen "seems" und "seem".
Ich sage: Let's escape.
> Jedenfalls kann jeder den Vergleich
> zwischen dem Eindruck, den Blumschein zu erwecken versucht, und der
> genannten Besprechung ziehen,
Wer Lavine kritisch liest, findet viele Details die gegen die
Mengenlehre sprechen. Freilich versucht Lavine den Begriff "unendlich"
an die Mengenlehre anzupassen statt umgekehrt unendlich als Qualität zu
akzeptieren und sich von der Mengenlehre loszusagen.
> und auch Lesern ohne mathematischem oder
> mengentheoretischem Hintergrund könnte dabei einiges über das
> Blumscheinsche Geschwätz klarwerden.
Eine mengentheoretische Erziehung sehe ich als ernstes Hindernis beim
restlosen Verständnis der Mathematik.
E.
Eckard Blumschein
On 2/3/2006 7:41 PM, Carsten Schultz wrote:
> On 2006-02-03, Ralf Bader <ba...@nefkom.net> wrote:
>> Ich weiß nicht genau, was Sie da lesen, Blumschein, aber falls es das
>> (mir nicht vorliegende) Buch ist, welches in
>> http://www-users.cs.york.ac.uk/susan/bib/nf/l/lavine.htm
>> besprochen wird, so drängt sich der Eindruck auf, daß Sie ganz einfach
>> mal wieder überhaupt nichts kapiert haben. Ihre andauernde entstellende
>> Zitiererei ist widerwärtig.
>
> Ja. Aber wir werden nicht herausfinden könne, ob es Absicht oder
> echtes Unverständnis ist.
Weder noch. Es ist das Resultat wachsender Einsicht gepaart mit
kritischem Lesen. Solange es noch keine Schriften gibt welche auf
bequeme Weise aufzeigen auf welchen gravierenden Irrtümern die ML beruht
und wie ohne sie die gleiche Analysis wie bisher betrieben und
zusätzlich uralte Paradoxe behoben werden können, solange sind wir
darauf angewiesen Schriften gegen den Strich zu bürsten, deren Autoren
sich mit der Cantors ML irgendwie arrangiert haben.
Wer mir Unverständnis unterstellt kann ja versuchen zu zeigen dass er
auf die hier gestellten Fragen überzeugendere Antworten hat.
Übrigens war Eudoxus (408-355), auf dem Dedekind mit seinem Schnitt
aufbaut, Dedekind (1831-1916) insofern weit voraus als Eudoxus die
Synthese des Kontinuums aus Unteilbaren richtigerweise ablehnte.
E.
Peter Niessen
>> Denn hier
>> ist Wurzel2 glasklar in endlicher Zeit und eindeutig definiert.
>
> Nicht besser als in x^2=2.
>
>> Zu bemerken
>> ist noch das man mit Paaren wie:
>> ({x e Q|x<0 oder x^2<=2};{x e Q|x>0 und x^2 >=2})
>> genauso rechnen kann als wären es die dir geläufigen Zahlen.
>
> Warum wohl tut es niemand?
Man merkt:
Das Wochenende ist vorbei und der betriebseigene Trottel drückt sich vor
der Arbeit. Wäre ich dein Chef hättest du schon längst eine knackige
Abmahnung wegen Missbrauch von Firmeneigentum.
--
Mit freundlichen Grüssen
Peter Nießen
Eckard Blumschein
> Vorhin habe ich festgestellt, daß man bei
> Amazon die Einleitung des Buchs lesen kann, in der sich nicht
> überraschenderweise die Blumscheinschen Zitate wiederfinden. Was mich
> dann aber doch vom Hocker gerissen hat, war das, was Lavine exakt zwei
> Zeilen nach dem von Blumschein zitierten Satz "The fundamental axioms
> of mathematics ... are to a large extent arbitrary and historically
> determined." schreibt: "The story I have just told [und die das
> Blumscheinsche Zitat einschließt] is a common one, widely believed. Not
> one word of it is true." (und die wahre Geschichte, in der die
> Cantorsche Mengenlehre übrigens um einiges besser dasteht als in der
> Standardgeschichte, ist dann Hauptthema des Buches). Die Frage, ob bei
> Blumschein Absicht oder Dummheit vorliegt, wird dadurch zugunsten der
> letzteren Möglichkeit beantwortet, denn ein Zitat absichtlich derart
> dreist zu verfälschen, ist natürlich auch Dummheit.
Da hast du wohl Lavines Zusammenhang nicht begriffen. Hinter "...true."
geht es so weiter:
"That is important, not just for the history of mathematics but for the
philosophy of mathematics and many other parts of philosophy as well.
The story has influenced our ideas about the methematical infinite, and
hence our ideas about abstract knowledge in general, in many deep ways.
...
The whole picture of mathematical knowledge that drives the epistomology
is wrong. As this book will demonstrate, ..."
Das Buch heißt ja nicht umsonst "Verstehen des Unendlichen". Im
abgedroschenen Gebiet will Lavine dadurch auffallen, dass er das
Unendliche als "mathematics' persistent suitor" darstellt, dass er
behauptet Cantors originale Mengenlehre war weder naiv noch von Pardoxa
befallen. Lavine beruft sich auf den Historiker Hallettder sogar von
Cantors Finitismus schrieb. Russell sei der wahre Erfinder von Cantors
Mengenlehre gewesen.
E.
Eckard Blumschein
> Ist plumpes Quote-Mining nun mehr ein Auydruck von Unaufrichtigkeit
> oder Dummheit? Das wird wohl tatsächlich von Fall zu Fall verschieden
> sein.
Auf alle Fälle sollte man die Möglichkeit nutzen, sich selbst zu
informieren bevor man mit anderen ins Horn stößt. Lavines Absichten sind
wahrhaftig nicht schwer zu verstehen.
E.
Eckard Blumschein
[nichts mehr zur Sache! = Kapitulation]
>>> Denn hier
>>> ist Wurzel2 glasklar in endlicher Zeit und eindeutig definiert.
>>
>> Nicht besser als in x^2=2.
>>
>>> Zu bemerken
>>> ist noch das man mit Paaren wie:
>>> ({x e Q|x<0 oder x^2<=2};{x e Q|x>0 und x^2 >=2})
>>> genauso rechnen kann als wären es die dir geläufigen Zahlen.
>>
>> Warum wohl tut es niemand?
E.