0,999... gösterimi üzerine
99 views
Skip to first unread message
Muharrem Şahin
Jul 1, 2015, 3:28:21 AM7/1/15
to tm...@googlegroups.com
"Seri" terimini hatalı kullanmam dışında
her yazdığımın yanındayım.
Bu hatamı da açıklayayım:
0,999... = (9/10) + (9/10)^2 + ... + (9/10)^n + ...
eşitliğinde,
ben
sağ tarafın bir seri olduğunu (bir sayı değil)
bu toplamın
n sonsuza giderkenki limitinin 1 olduğunu düşünürdüm.
(Bir kısım öğretmenlerimiz
bu limite seri diyor.)
Bu konudaki tartışmalarımızda
kitap karıştırmadığım için
zihnimdeki bu yorumla
düşüncelerimi savundum.
Bu yorumla
1/3 kesrinin ondalık açılımı yazılamaz dedim.
Çünkü;
1/3 = 0,333... eşitliğinde
sağ taraf
bir limit olarak alındığında sola eşit olur.
...
Rasim Zencir Hocamın telefonu üzerine
kitaplara baktım.
Hepsinde,
1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + ... + 1/2^n + ... = 1
yazıldığını gördüm.
Şimdi, yeniden W. Kaplan'ın Calculus'una bakıyorum:
Orada da bu eşitlik verilmiş.
Yalnız,
bunun
n sonsuza giderken
toplamın yaklaştığı değer olduğu yazılmış.
1/2, 1/2+1/2^2, 1/2+1/2^2+1/2^3, ... , 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + ... + 1/2^n + ...
dizisinin limitinin 1 olduğu söylenmiş.
Yani; "serinin limiti" yerine "dizinin limiti" dediğimde
hatamı düzeltmiş olduğumu düşünüyorum.
Sorumuza gelirsek;
"0,999..." gösterimi
lim (1/9 + 1/9^2 + 1/9^3 + ... + 1/9^n)
n-->sonsuz
anlamında alınırsa
0,999... = 1
eşitliğinin geçerli olduğu apaçıktır.
"0,999..." gösterimi
1/9 + 1/9^2 + 1/9^3 + ... + 1/9^n + ...
toplamını
limit terimi olmadan
karşılamak üzere yazılmışsa
bir sayıya karşılık gelemez.
0,999,... < 1 olur.
Tartışılan yer burasıdır.
Ben
matematiği çok az bilenlerden biriyim.
Ama;
bilen birileri
bizi
doğruya inandırabilir.
Muharrem Şahin
Jul 1, 2015, 3:52:36 AM7/1/15
to tm...@googlegroups.com
"0,999..." gösterimi
1/9 + 1/9^2 + 1/9^3 + ... + 1/9^n + ...
toplamını
limit terimi olmadan
karşılamak üzere yazılmışsa
belirli bir sayıya karşılık gelemez.
n'nin her değişik değeri için
1'den küçük olan
değişik bir sayıyı gösterir.
Tartışılan yer burasıdır.
1 Temmuz 2015 10:28 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:
.
Ali Duman
Jul 1, 2015, 5:05:40 AM7/1/15
to tm...@googlegroups.com
Yani
0,99999.. > (9/10)+(9/10^2)+...+ (9/10^n)..
Ancak ve ancak
0,99999.. = lim [(9/10)+(9/10^2)+...+
n-->sonsuz
(9/10^n)+....]
0,99999.. > (9/10)+(9/10^2)+...+ (9/10^n)..
Ancak ve ancak
0,99999.. = lim [(9/10)+(9/10^2)+...+
n-->sonsuz
(9/10^n)+....]
rasimzencir
Jul 1, 2015, 5:26:35 AM7/1/15
to TMOZ
muharrem hocam,
0,999...=1 dir.
0,999...<1 olsaydı tavşan kaplumbağaya hiç bir zaman yetişemezdi. :)
seri, sonsuz terimli bir dizinin tüm terimleri toplamı olduğundan çoğu
zaman sonsuz olsa da bazı durumlarda sonludur. bu durumlarda seri bir
reel sayıdır. yani 1 dir, 2 dir, 5 tir. bundan dolayı seride limitten
bahsedilmez.
limit kavramını da değiştirmeye başladınız. limit, sonsuz terimli bir
dizinin sonuncu terimidir.
r farklı 1 iken, 1+r+r^2+r^3+...+r^n+... = 1/(1-r) dir. yani bu
bir özdeşliktir. arada küçüktür eşittir işareti yoktur. direk eşittir
işareti vardır.
0.999...=9/10+9/10^2+9/10^3+...=9/10(10/9)=1 dir.
saygılar, selamlar.
RASİM ZENCİR
1 Temmuz 2015 12:05 tarihinde Ali Duman <alid...@gmail.com> yazdı:
> --
> http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
>
> Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
> ---
> Bu e-postayı Google Grupları'ndaki "TMOZ" adlı gruba abone olduğunuz için aldınız.
> Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
> Bu gruba kayıt göndermek için tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
> Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
> Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/9354a9e9-52ee-4d07-a192-045b65e0b18f%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
> Daha fazla seçenek için, https://groups.google.com/d/optout adresiniz ziyaret edin.
0,999...=1 dir.
0,999...<1 olsaydı tavşan kaplumbağaya hiç bir zaman yetişemezdi. :)
seri, sonsuz terimli bir dizinin tüm terimleri toplamı olduğundan çoğu
zaman sonsuz olsa da bazı durumlarda sonludur. bu durumlarda seri bir
reel sayıdır. yani 1 dir, 2 dir, 5 tir. bundan dolayı seride limitten
bahsedilmez.
limit kavramını da değiştirmeye başladınız. limit, sonsuz terimli bir
dizinin sonuncu terimidir.
r farklı 1 iken, 1+r+r^2+r^3+...+r^n+... = 1/(1-r) dir. yani bu
bir özdeşliktir. arada küçüktür eşittir işareti yoktur. direk eşittir
işareti vardır.
0.999...=9/10+9/10^2+9/10^3+...=9/10(10/9)=1 dir.
saygılar, selamlar.
RASİM ZENCİR
1 Temmuz 2015 12:05 tarihinde Ali Duman <alid...@gmail.com> yazdı:
> http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
>
> Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
> ---
> Bu e-postayı Google Grupları'ndaki "TMOZ" adlı gruba abone olduğunuz için aldınız.
> Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
> Bu gruba kayıt göndermek için tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
> Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
> Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/9354a9e9-52ee-4d07-a192-045b65e0b18f%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
> Daha fazla seçenek için, https://groups.google.com/d/optout adresiniz ziyaret edin.
Muharrem Şahin
Jul 1, 2015, 6:42:38 AM7/1/15
to tm...@googlegroups.com
Söylediklerin
hiç ikna edici değil Rasimciğim.:)
"0,999..." gösterimi
9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 + ... + 9/10^n + ...
toplamını
limit terimi olmadan
karşılamak üzere yazılmışsa
belirli bir sayıya karşılık gelemez.
n'nin her değişik değeri için
1'den küçük olan
değişik bir sayıyı gösterir.
Burada,
"n sonsuza giderken"
dediğimizde
n'ye doğal sayı değerleri veririz.
Her değer için değişik bir sayı gelir.
Ancak, "n sonsuza giderken toplamın yaklaştığı değer"
1 olur.
"Sonsuz terim" dediğimizde
limit söz konusudur.
[0,1] aralığında
0 noktasından yola çıkıp
her adımda,
kalan yolun 9/10' unu alarak
1 noktasına varmak mümkün değildir.
"1" diyebilmek için
"limit" terimini
mutlaka kullanmak zorunda kalınır.
Nitekim,
herkes öyle demiş
sen ise başka şeyler söylüyorsun.:)
Sevgiler, saygılar.
1 Temmuz 2015 12:26 tarihinde rasimzencir <rsm...@gmail.com> yazdı:
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAHCo00R_ZnB%2BQ3M3pTpXc1yq8iqFBrMGz%2B6AQEw43YtemFK%3DEw%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için, https://groups.google.com/d/optout adresiniz ziyaret edin.
.
rasimzencir
Jul 1, 2015, 8:58:25 AM7/1/15
to TMOZ
yani diyorsun ki, tavşan kaplumbağı tutamaz. :)
9/10+9/10^2+9/10^3+... toplamı bazen 1 eder bazen de 1 den küçük...
şu ifadeleri sizin yazdığınıza inanamıyorum. bunlar ne anlama geliyor?
anlayan varsa beri gelsin.
"0,999..." gösterimi
9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 + ... + 9/10^n + ...
toplamını
limit terimi olmadan
karşılamak üzere yazılmışsa
belirli bir sayıya karşılık gelemez.
n'nin her değişik değeri için
1'den küçük olan
değişik bir sayıyı gösterir.
Burada,
"n sonsuza giderken"
dediğimizde
n'ye doğal sayı değerleri veririz.
Her değer için değişik bir sayı gelir.
Ancak, "n sonsuza giderken toplamın yaklaştığı değer"
1 olur.
"Sonsuz terim" dediğimizde
limit söz konusudur.
0,999... yazılımının kaç tane anlamı var?
0,999... yazılımı niye bir sayıya karşılık gelmiyormuş?
hay, 1+r+r^2+r^3+... =1/(1-r) formülü de mi yanlış?
muharrem hocam yanlış fikirlerinizi ispat etmek zorunda değilsiniz. :) :b
prof.ali nesin hocamız bize doğru olanı göstermiş, 0,999...=1 demiş.
saygılar, selamlar....
RASİM ZENCİR
1 Temmuz 2015 13:42 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:
> Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için
> adresini ziyaret edin.
>
> Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret
> edin.
9/10+9/10^2+9/10^3+... toplamı bazen 1 eder bazen de 1 den küçük...
şu ifadeleri sizin yazdığınıza inanamıyorum. bunlar ne anlama geliyor?
anlayan varsa beri gelsin.
"0,999..." gösterimi
9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 + ... + 9/10^n + ...
toplamını
limit terimi olmadan
karşılamak üzere yazılmışsa
belirli bir sayıya karşılık gelemez.
n'nin her değişik değeri için
1'den küçük olan
değişik bir sayıyı gösterir.
Burada,
"n sonsuza giderken"
dediğimizde
n'ye doğal sayı değerleri veririz.
Her değer için değişik bir sayı gelir.
Ancak, "n sonsuza giderken toplamın yaklaştığı değer"
1 olur.
"Sonsuz terim" dediğimizde
limit söz konusudur.
0,999... yazılımı niye bir sayıya karşılık gelmiyormuş?
hay, 1+r+r^2+r^3+... =1/(1-r) formülü de mi yanlış?
muharrem hocam yanlış fikirlerinizi ispat etmek zorunda değilsiniz. :) :b
prof.ali nesin hocamız bize doğru olanı göstermiş, 0,999...=1 demiş.
saygılar, selamlar....
RASİM ZENCİR
1 Temmuz 2015 13:42 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:
> aldınız.
> Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için
> tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
> Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta
> Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için
> tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
> gönderin.
> Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret
> edebilirsiniz.
> Bu tartışmayı web'de görüntülemek için
> https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CADf0OcO%2BMxx-ACa79XZFR-Oz8aZdKAKPXgyAmBk%2ByRQjiGGLdg%40mail.gmail.com
> Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret
> edebilirsiniz.
> Bu tartışmayı web'de görüntülemek için
> adresini ziyaret edin.
>
> Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret
> edin.
Muharrem Şahin
Jul 1, 2015, 9:50:54 AM7/1/15
to tm...@googlegroups.com
Rasimciğim;
Yine harika bir tartışma çıkarıyorsun.:)
Öpüyorum.
1 Temmuz 2015 15:58 tarihinde rasimzencir <rsm...@gmail.com> yazdı:
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAHCo00ROpebU_OqUpVjr3c0zVkkuxyTeiHDkEn-n-cMZ0PyWCA%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için, https://groups.google.com/d/optout adresiniz ziyaret edin.
.
serhat yaman
Jul 1, 2015, 9:56:10 AM7/1/15
to tmoz
Rasim Hocam fikir yürütüyorum yanlış anlaşılmasın.(Cahilliğime verin.)
0 ın yanına sonsuz tane 9 koyduk ve bu 1 oldu.
sonsuz + 1 = sonsuz olduğundan buraya 1 tane daha 9 yazamaz mıyız?
O halde ya sonsuz+1 den bahsetmemeliyiz ya da 0,9999... =değil 1 olmalı gibime geliyor. Ben bu konuda mantığım yoluyla
0,999... un limiti 1 dir diyorum.
Hülasa, ben 0, ün yanına 9 lar yazarak 1 e uasla ulaşamayız diyenlerdenim.
1 Temmuz 2015 15:58 tarihinde rasimzencir <rsm...@gmail.com> yazdı:
yani diyorsun ki, tavşan kaplumbağı tutamaz. :)
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAHCo00ROpebU_OqUpVjr3c0zVkkuxyTeiHDkEn-n-cMZ0PyWCA%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.
serhat yaman
Jul 1, 2015, 9:57:57 AM7/1/15
to tmoz
Zaten bu sonsuz olayı kafayı yedirtecek bana. negatif sayılarla pozitif sayıların toplamının 0 olup olmaması konusu da tartışılmıştı grupta. Saygılar.
1 Temmuz 2015 16:55 tarihinde serhat yaman <sne...@gmail.com> yazdı:
Muharrem Şahin
Jul 1, 2015, 11:34:04 AM7/1/15
to tm...@googlegroups.com
Yazdığınızı
şimdi inceleyebildim Ali Duman Hocam.
Katılıyorum.
1 Temmuz 2015 16:57 tarihinde serhat yaman <sne...@gmail.com> yazdı:
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CA%2B_4WGTQjVYeuADU3SpjtrCeF%2Ba7ofCHjbm-VBS8h-6ZF0eJjQ%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.
.
rasimzencir
Jul 1, 2015, 11:38:26 AM7/1/15
to TMOZ
serhat hocam, matematikte "0,999... un limiti 1 dir diyorum."
şeklinde bir şey yok.
0,999...<1 demek 1+r+r^2+r^3+... =1/(1-r) özdeşliği yanlış demektir.
selamlar.
muharrem hocam, gerçekten ali hocamın yazdığı anlamsız şeye katıldınız mı?
RASİM ZENCİR
1 Temmuz 2015 16:57 tarihinde serhat yaman <sne...@gmail.com> yazdı:
> https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CA%2B_4WGTQjVYeuADU3SpjtrCeF%2Ba7ofCHjbm-VBS8h-6ZF0eJjQ%40mail.gmail.com
şeklinde bir şey yok.
0,999...<1 demek 1+r+r^2+r^3+... =1/(1-r) özdeşliği yanlış demektir.
selamlar.
muharrem hocam, gerçekten ali hocamın yazdığı anlamsız şeye katıldınız mı?
RASİM ZENCİR
1 Temmuz 2015 16:57 tarihinde serhat yaman <sne...@gmail.com> yazdı:
Muharrem Şahin
Jul 1, 2015, 11:53:23 AM7/1/15
to tm...@googlegroups.com
Rasimciğim;
Ali Hocam benim yazdığımı
değişik bir dille ifade etmiş.
O anlamsız şeyi ben de söylemiştim.
Sen
ne yazıldığına bakmadan
zihnindekileri döküyorsun.
Özdeşlik dediğin şey
r < 1 iken
toplamın limitidir.
Öyle özdeşlik olmaz.
Beni fazla konuşturma.
Grubun aklını karıştırıp
onlara zarar verebilirim.:)
Yazdıklarım üzerinde konuşabileceksek
konuşalım.
Yoksa; demagojiden ileriye gidemeyiz.
1 Temmuz 2015 18:38 tarihinde rasimzencir <rsm...@gmail.com> yazdı:
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAHCo00RfW-yywzG3FGx6U8-B_o1e8AzpoShj71QGYs4BwnWcRA%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için, https://groups.google.com/d/optout adresiniz ziyaret edin.
.
rasimzencir
Jul 1, 2015, 12:34:05 PM7/1/15
to TMOZ
limit kelimesini ne çok sevmişsiniz. toplamın limiti ne demek?
ali hocamın yazdığı
7>5 ancak ve ancak 1=10/10 ise
neyse bir daha yazmayayım.
iyi akşamlar dilerim.
selamlar.
RASİM ZENCİR
1 Temmuz 2015 18:52 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:
> https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CADf0OcO0zeEZ0ftPVA5o%3DMm1Xz_c84MMG-az%2BPaH4gGgEnCoxg%40mail.gmail.com
ali hocamın yazdığı
7>5 ancak ve ancak 1=10/10 ise
neyse bir daha yazmayayım.
iyi akşamlar dilerim.
selamlar.
RASİM ZENCİR
1 Temmuz 2015 18:52 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:
Muharrem Şahin
Jul 1, 2015, 12:40:04 PM7/1/15
to tm...@googlegroups.com
"Limit" kelimesi
"sıfır" ve "sonsuz" kavramları ile akıl yürütürken
sorunları çözer;
tam bir rahatlama sağlar.
İyi akşamlar Rasimciğim.
1 Temmuz 2015 19:33 tarihinde rasimzencir <rsm...@gmail.com> yazdı:
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAHCo00S6k6dx7UdVVBsbPE31W6KpZyvMTv9%2B49Uv7kXNxa78FQ%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için, https://groups.google.com/d/optout adresiniz ziyaret edin.
.
Muharrem Şahin
Jul 2, 2015, 12:48:53 PM7/2/15
to tm...@googlegroups.com
Değerli Ali Nesin Hocamın
"Zenon'un paradoksları" nı
hiç limit sözü etmeden açıklaması
tabii ki kafaları karıştırır.
Aşil kaplumbağaya yetişir tabii.
Çünkü, sonsuz işlemin herbirine ayırdığı süre
sıfıra yaklaşmaktadır.
Toplam süre bellidir.
İlgilenenlerin aklını karıştıran yer şurasıdır:
A(0) ve B(1) olmak üzere
A'dan yola çıkarak
hep kalan yolun yarısını alarak
sonlu adımda
B'ye varılamaz.
Sonsuz adımdan söz edildiğinde
limit kavramına girilmelidir.
1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +...1/2^n
toplamı
terim sayısı sonsuz ise 1 olur.
0,999... ifadesinde de
"burada sonsuz tane 9 vardır" deyip
sonsuz tane 9 ile işlem yapmak olmaz.
9/10+9/10^2+9/10^3+...9/10^n, ...
toplamının
ilk sonlu sayıdaki teriminin toplamı
hiçbir zaman 1 olmaz.
"Sonsuz tane 9 var" dediğimizde
ifade
elimize alıp işlem yapabileceğimiz bir nesne olmaktan çıkar.
Limit kavramı ile açıklamalar yapılabilir.
Bizim gibi
az bilen masumların
kafasını karıştırmaya hiç gerek yok.:)
1 Temmuz 2015 19:39 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:
.
Muharrem Şahin
Jul 2, 2015, 12:54:38 PM7/2/15
to tm...@googlegroups.com
Google'da
"Zenon'un paradoksları"
yazıp aratırsanız gelir.
Bir de;
A(0) ve B(1) olmak üzere
[AB] ile [AB) şekilleri arasındaki farkı düşünelim.
Burada da ilginç yorumlar yapılabilir.
2 Temmuz 2015 19:48 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:
.
Muharrem Şahin
Jul 2, 2015, 5:40:39 PM7/2/15
to tm...@googlegroups.com
Ben
dolduruluşa geldiğimi geç anladım.:)
Bu tartışma
periyodik olarak yapılıp duruluyor.
3.03.2008 tarihli yazışmalarda her şey söylenmiş.
Hem de sayfalarca.
TMOZ ana sayfasında
"0,999..."
yazıp arattığınızda gelir.
Şunu yazmadan da edemeyeceğim:
0,999... yazıp
burada sonsuz tane 9 vardır demek
ve bu gösterimle işlemler yapmak
bana pek
matematiğin dili gibi gelmiyor.
Tartışmalar da
bu gösterim biçiminden kaynaklanıyor.
"Limit" terimi
tam bir kurtarıcıdır burada.
2 Temmuz 2015 19:54 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:
.
Reply all
Reply to author
Forward
0 new messages