The Normal and Self-extensional Extension of Dunn–Belnap Logic

[jean-yves beziau]

do  Arnon Avron, 

foi publicado ha pouco na Logica Universalis

https://link.springer.com/article/10.1007/s11787-020-00254-1

Com foi mostrado num artigo anterior

não ha logicas paraconsistentes trivalentes  auto-extensionais que tem uma implicação:

A.Avron and J.-Y.Beziau, “Self-extensional three-valued paraconsistent logics have no implication”, Logic Journal of the IGPL, Volume 25, Issue 2 (April 2017), pp.183-194.

https://academic.oup.com/jigpal/article-abstract/25/2/183/2739325/Self-extensional-three-valued-paraconsistent?redirectedFrom=fulltext

Neste novo  artigo o Arnon mostra que é possivel ter uma logica paraconistente quadri-valorada auto-extensional com uma implicação, 

respondendo a uma pergunta que eu tinha feito par ele quando estava em Tel Aviv trabalhando com ele em 2016 no ambito  do projeto GeTFun.

Acredito que esta nova logica parasonsistente (extensao da lógica de Dunn-Belnap) é uma das melhores que foi descoberta até hoje.

Tenho intenção de publicar um artigo apresentando uma semantica bivalorade para esta nova lógica DBA (Dunn-Belnap-Avron), como eu fiz para a logica do Dunn-Belnap:

J.-Y.Béziau, “Bivalent semantics for De Morgan logic (the uselessness of four-valuedness)", in W.A.Carnielli, M.E.Coniglio, I.M.L.D'Ottaviano (eds), The many sides of logic, College Publication, London, 2009, pp.391-402.

https://www.jyb-logic.org/papers/morgan.pdf  

é um exercicio trivial usando o teorema que eu provei na minha tese de doutrado establecededno relações entre regras de sequentes e bivalorações, que foi publicado no artigo:

J.-Y.Béziau, “Sequents and bivaluations”, Logique et Analyse, 44 (2001), pp.373-394.

https://www.jyb-logic.org/seqbiv.pdf 

JYB 

[Joao Marcos]

Viva, JY:

> do Arnon Avron,
> foi publicado ha pouco na Logica Universalis
> https://link.springer.com/article/10.1007/s11787-020-00254-1
>
> Com foi mostrado num artigo anterior
> não ha logicas paraconsistentes trivalentes auto-extensionais que tem uma implicação:
> A.Avron and J.-Y.Beziau, “Self-extensional three-valued paraconsistent logics have no implication”, Logic Journal of the IGPL, Volume 25, Issue 2 (April 2017), pp.183-194.
> https://academic.oup.com/jigpal/article-abstract/25/2/183/2739325/Self-extensional-three-valued-paraconsistent?redirectedFrom=fulltext
>
> Neste novo artigo o Arnon mostra que é possivel ter uma logica paraconistente quadri-valorada auto-extensional com uma implicação,

Não apenas isso, vale apontar que Avron mostrou que há uma ÚNICA
implicação que serve a este propósito.

> respondendo a uma pergunta que eu tinha feito par ele quando estava em Tel Aviv trabalhando com ele em 2016 no ambito do projeto GeTFun.
> Acredito que esta nova logica parasonsistente (extensao da lógica de Dunn-Belnap) é uma das melhores que foi descoberta até hoje.
>
> Tenho intenção de publicar um artigo apresentando uma semantica bivalorade para esta nova lógica DBA (Dunn-Belnap-Avron), como eu fiz para a logica do Dunn-Belnap:
> J.-Y.Béziau, “Bivalent semantics for De Morgan logic (the uselessness of four-valuedness)", in W.A.Carnielli, M.E.Coniglio, I.M.L.D'Ottaviano (eds), The many sides of logic, College Publication, London, 2009, pp.391-402.
> https://www.jyb-logic.org/papers/morgan.pdf
> é um exercicio trivial usando o teorema que eu provei na minha tese de doutrado establecededno relações entre regras de sequentes e bivalorações, que foi publicado no artigo:
> J.-Y.Béziau, “Sequents and bivaluations”, Logique et Analyse, 44 (2001), pp.373-394.
> https://www.jyb-logic.org/seqbiv.pdf

De fato, JY, a semântica bivalente para a lógica proposta por Avron,
como extensão para a lógica 4-valorada de Dunn-Belnap, é muito fácil
de definir. Basta acrescentar à semântica bivalente da lógica de De
Morgan (usando a negação como "separador", usado na receita mencionada
na digressão abaixo) as seguintes cláusulas para a implicação:

b(\alpha\to\beta) = T iff b(\alpha) = F or b(\beta) = T
b(\sim(\alpha\to\beta)) = F iff b(\sim\alpha) = T and b(\beta) = F

Problema resolvido, então. :-b

%%%

DIGRESSÃO

Vale recordar que hoje conhecemos mecanismos inteiramente automáticos
para fornecer apresentações bivalentes para _qualquer_ lógica
finito-valorada. Aos interessados:
https://sites.google.com/site/sequiturquodlibet/home/the-suszkian-odyssey
A receita _mais geral_ pode ser encontrada no paper "Bivalent
semantics, generalized compositionality and analytic classic-like
tableaux for finite-valued logics".

A dita receita foi aplicada, de fato, a uma extensão da lógica de
Dunn-Belnap (e da "lógica de De Morgan") no paper "The value of the
two values".

Ainda, com relação ao problema de encontrar lógicas paraconsistentes
"auto-extensionais", isto é, para as quais podemos demonstrar o
teorema de substitutividade ("replacement"), vale notar que _toda_
lógica modal normal é auto-extensional e pode ser apresentada como uma
lógica paraconsistente. Vide, em particular, o paper "Nearly every
normal modal logic is paranormal", ou outros papers que publicamos
sobre "negative modalities" (que tratam não apenas do fenômeno da
paraconsistência, mas também da paracompletude). Há infinitos
soluções para o dito problema, portanto: UMA destas é a lógica Z
estudada por Béziau (ou por Batens, com o nome A), que se trata de uma
reformulação de S5. Vale notar que a euclidianidade acaba validando
uma forma fraca de explosão: o conjunto de fórmulas
\{\alpha,\neg\alpha\} é de fato insatisfatível sempre que \alpha é ela
própria uma fórmula negada (isto é, da forma \neg\beta, para algum
\beta).

A propósito, a lógica de Dunn-Belnap (estendida agora com a dita
implicação) também tem uma semântica modal interessante...

Recentemente Coniglio & Carnielli divulgaram nesta lista um paper que
estuda uma extensão _mínima_ da lógica mbC que possui a mencionada
propriedade de auto-extensionalidade. Vale notar que todas as lógicas
modais normais já mencionadas podem ser vistas como extensões de mbC,
numa linguagem com o operador de consistência interpretado modalmente.
Observo que tal interpretação modal do operador de consistência foi
usada também no estudo de um certo operador de *essencialidade*
(classicamente oposto ao operador de *acidentalidade*), no paper
"Logics of Essence and Accident" (sem negações paraconsistentes).

Todos os papers mencionados nesta digressão podem ser encontrados
online a partir da minha página (ou via Google Scholar).

%%%

Take care,
Joao Marcos


--
http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

[Walter Alexandre Carnielli]

Car@s,

contribuindo para a discussão (Joao, Jean-Yves) gostaria de dar meu pitaco:

De fato, o paper "Bivalent semantics, generalized compositionality
and analytic classic-like
tableaux for finite-valued logics" é excelente, e está disponível
para download no próprio site;

Mas só gostaria de lembrar dois pequenos pontos:

1) Nosso artigo mais antigo (com João, Marcelo, Caleiro) :

C. Caleiro, W. Carnielli, M.E. Coniglio, J. MarcosTwo's company: “The
humbug of many logical values”
J.-Y. Béziau (Ed.), Logica Universalis, Birkhäuser Verlag, Basel,
Switzerland (2005), pp. 169-189

traz a semente, de forma bastante intuitiva, da questão da
"separabilidade", e ainda mostra o "trade off" entre dar
uma semântica de dois valores não-vero-funcional e uma de vários
valores plenamente funcional.
Acho que vale a pena chamar a atenção para este artigo aos
leitores mais jovens, ou que queiram ingressar na questão.

2) Outro ponto é que de fato, como o João menciona, nosso paper
recente (submetido) contribui bastante para esta discussão.

"Logics of Formal Inconsistency enriched with replacement: an
algebraic and modal account ""
(Carnielli, Coniglio, Fuenmayor)
https://www.cle.unicamp.br/eprints/index.php/CLE_e-Prints/article/view/1348/1079


Abraços,

Walter

> --
> Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google.
> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+u...@dimap.ufrn.br.
> Para ver esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_LhonXX4KbRzmH6yjjQmVNBWT62Us6pZdfGQ7Wx9Ts7X4Q%40mail.gmail.com.

[Antonio Marmo]

Caros Walter e demais amigos estimados,

Esse tema que o nosso bom Jean-Yves levantou, no tocante às contribuições do autor citado, o Avron, é intrigante e curioso. Num resumo de um artigo de 2017, cujo título é “Self-Extensional Three-Valued Paraconsistent Logics”, também publicado na LU, ele coloca as coisas assim:

“A logic L is called self-extensional if it allows to replace occurrences of a formula by occurrences of an L-equivalent one in the context of claims about logical consequence and logical validity. It is known that no three-valued paraconsistent logic which has an implication can be self-extensional. In this paper we show that in contrast, there is exactly one self-extensional three-valued paraconsistent logic in the language of {¬, ∧, ∨}, for which ∨ is a disjunction, and ∧ is a conjunction.(...)”

∧

A primeira dúvida que surge é a seguinte: por que na linguagem há disjunção e negação, mas não há implicação material?

Acho que você, Walter, poderia aclarar em breves linhas aclarar esse ponto para todos poderem seguir melhor essa discussão. Obrigado.

https://independent.academia.edu/TonyMarmo

On 29 May 2020, at 12:26, Walter Alexandre Carnielli <walt...@unicamp.br> wrote:

Car@s,

Para ver esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAOrCsLccYvo2G9D-J-GVdmN%3Db7oOp1KafXrMn6-Cv_d33tVS4w%40mail.gmail.com.

[Joao Marcos]

> A primeira dúvida que surge é a seguinte: por que na linguagem há disjunção e negação, mas não há implicação material?

(A pergunta foi especificamente para o Walter, mas a lista é pública, logo...)

Do abstract citado:

"It is known that no three-valued paraconsistent logic which has an
implication can be self-extensional."

Avron, A., Béziau, J.-Y.: Self-extensional three-valued paraconsistent
logics have no implication. Log. J. IGPL 25, 183–194 (2017)

(Em contraste, no novo paper Avron demonstra que há exatamente uma
extensão auto-extensional da lógica 4-valorada de Dunn-Belnap com o
acréscimo de uma implicação dedutiva.)

JM

> --
> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google.

> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+u...@dimap.ufrn.br.

> Para ver essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/3F3648E3-F603-4B5B-8DEA-ABE725DD91B7%40gmail.com.



--
http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

[jean-yves beziau]

Caro JM

Grato pela respota.

1)  Sim, é verdade é a unica, este resultado é importante

Agora não tive tempo de estudar os detalhes, é não se é unica no universo quadri-valente, 

se entendi bem é a unica enquanto extensão da logica de Dunn-Belnap

2) Grato para apresentar ja ja  a semantica bivalorada, 

estou vendo que voce entendo bem com fazer a "traducao"

e sei tambem que voce produziu um algortimo

mas o que eu fiz (e não para desmerecer seu trabalho)

é provar um teorema que explica / justifica /comprova a relação entre regras de sequentes e bivaloração

e que se aplica também a casos não computacionais,

Na minha tese de dotourado da USP (1996) eu desenvolvi uma semantica bivalorada para a logica de primeiro ordem usando conjuncao e disjuncao infinito para tratar dos quantificador.

3) Logica paraconsistente auto-extensional, além de logicas multi-valorades:

sim, claro tem a logica Z / S5 e voce estudo todas as outras poissbilidades neste universo modal.

Gostaria de enfatizar que eu cheguei a essa consideração que S5 é uma logica paraconsistente na basa de uma reflexao filosofica,- 

- me foi dito que o Vakarelov ja sabia disso, tudu bem, é um logico da Bulgaria que  gosto muito e com o qual estou em contato, mas não cheguei a falar com ele sobre esta questão.

Para mim esta base filosofica é bem importante, porque é muito melhor / significativo que a base filosofica de matrizes logicas para paraconsistencia, apesar do fato que tentei fazer uma ligacao entre os dois

 J.-Y.Béziau, “A new four-valued approach to modal logic”, Logique et Analyse 54 (2011).

https://www.jyb-logic.org/papers/la4.pdf 

Um abraço e como canta Natiruts, tudo vai dar cert:o

https://www.youtube.com/watch?v=95sIqFXh6j0  

Jean-Yves 

[Joao Marcos]

Viva, JY:

> 1) Sim, é verdade é a unica, este resultado é importante
> Agora não tive tempo de estudar os detalhes, é não se é unica no universo quadri-valente,
> se entendi bem é a unica enquanto extensão da logica de Dunn-Belnap

Sim, única enquanto extensão de Dunn-Belnap com a propriedade de ser
"dedutiva" (basicamente, respeitar modus ponens e o metateorema da
dedução).

> 2) Grato para apresentar ja ja a semantica bivalorada,
> estou vendo que voce entendo bem com fazer a "traducao"
> e sei tambem que voce produziu um algortimo
> mas o que eu fiz (e não para desmerecer seu trabalho)
> é provar um teorema que explica / justifica /comprova a relação entre regras de sequentes e bivaloração
> e que se aplica também a casos não computacionais,
> Na minha tese de dotourado da USP (1996) eu desenvolvi uma semantica bivalorada para a logica de primeiro ordem usando conjuncao e disjuncao infinito para tratar dos quantificador.

O escopo exato de aplicação do seu trabalho sobre sequentes e
bivalorações não é inteiramente claro... O nosso trabalho, de todo
modo, se aplica a semânticas bivalentes cujas cláusulas respeitam uma
*versão generalizada da propriedade da subfórmula* (que está formulada
no paper de 2015, mas não estava inteiramente clara pra gente no paper
de 2005 citado pelo Walter), e não se aplica portanto apenas àquelas
semânticas bivalentes que nascem a partir do massageamento de lógicas
finito-valoradas determinísticas.

Gostaria de deixar claro, de todo modo, que quando comecei a trabalhar
nisto, e escrevi uma breve nota a respeito do assunto numa disciplina
sobre lógicas não-clássica que cursei com o Walter, se não me engano,
no primeiro semestre em 2000, a minha inspiração foi justamente o seu
trabalho, Jean-Yves, sobre sequentes e bivalorações, aplicado à
inesperada semântica bivalente que Suszko tirou da cartola para a
lógica L3 de Lukasiewicz. Todos os papers desta página
(https://sites.google.com/site/sequiturquodlibet/home/the-suszkian-odyssey)
são eventuais herdeiros daquela notinha, nascidos a partir da
intervenção direta do Carlos Caleiro, anos mais tarde, e escritos com
vários outros colaboradores. Penso que tudo que fizemos a partir daí
pode ser visto como uma contribuição para definir _procedimentos
efetivos_ (que *não* se encontram na sua tese de doutorado ou no seu
paper, Jean-Yves) para a tradução entre semânticas bivalentes (obtidas
ou não por massageamento de semânticas matriciais) e sistemas
dedutivos (por uma questão de simplicidade, demos preferência a
tableaux, mas também trabalhamos eventualmente com sequentes e com uma
generalização do método de resolução).

> 3) Logica paraconsistente auto-extensional, além de logicas multi-valorades:
> sim, claro tem a logica Z / S5 e voce estudo todas as outras poissbilidades neste universo modal.
> Gostaria de enfatizar que eu cheguei a essa consideração que S5 é uma logica paraconsistente na basa de uma reflexao filosofica,-
> - me foi dito que o Vakarelov ja sabia disso, tudu bem, é um logico da Bulgaria que gosto muito e com o qual estou em contato, mas não cheguei a falar com ele sobre esta questão.

Dimiter Vakarelov é um lógico e uma pessoa de primeiríssima qualidade,
e eu conversei com ele sobre esse assunto mais de uma vez. Vale notar
que os trabalhos publicados dele sobre isto enfatizam mais a lógica
S4, com preferência para uma base implicativa intuicionista /
co-intuicionista.

%%%
Por fim, gostaria de acrescentar que a semântica bivalente que
apresentei na mensagem anterior é MUITO mais simples de entender (e
filosoficamente mais relevante) se usamos uma noção bidimensional de
consequência que batizamos de B-entailment e temos estudado nos
últimos anos. Não cabe aqui esmiuçar mais isto, mas creio que vale a
pena dizer que tenho uma conjectura (à espera de um co-autor talentoso
e com mais tempo do que eu para verificar a demonstração detalhada!)
que permite EXPLICAR porque certas lógicas multi-valoradas respeitam o
teorema de substitutividade, e outras não. Se a minha conjectura
estiver correta, de fato, todos os resultados aqui mencionados sobre
lógicas 3-valoradas e 4-valoradas com uma implicação saem como
corolários.
%%%

[]s, Joao Marcos

--
http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

[Walter Alexandre Carnielli]

Obrigado João!
Resposta mais rápida, e melhor, do que poderia!

Abs
Walter

[Antonio Marmo]

Vamos lá, só para recapitular, usando de uma linguagem mais acessível:

Paraconsistente significa uma lógica em que a trivialização não é princípio.

Implicação é um geral nome que se dá a vários operadores binários. Um deles é a famosa implicação material. Uma maneira de definir implicação material é através da disjunção e da negação. A implica B seria o mesmo que não A ou B.

No resumo o Avron diz que entre os operadores que ele consideram estão justamente a negação e a disjunção. Então, ele já colocou ali os dois operadores a partir dos quais se define a implicação material. Como assim então não vai haver implicação?

https://independent.academia.edu/TonyMarmo

On 29 May 2020, at 18:57, Walter Alexandre Carnielli <walt...@unicamp.br> wrote:

Obrigado João!

[Joao Marcos]

> Implicação é um geral nome que se dá a vários operadores binários. Um deles é a famosa implicação material. Uma maneira de definir implicação material é através da disjunção e da negação. A implica B seria o mesmo que não A ou B.

As negações 3-valoradas e 4-valoradas consideradas nestes artigos não
são *clássicas*...

Pense um pouquinho: como você definiria a "implicação material",
digamos, a partir da disjunção (clássica, ou intuicionista) e a
negação _intuicionista_?

JM

Nota: Isto não quer dizer que não seja possível definir em alguma das
citadas lógicas multi-valoradas uma _outra_ implicação com sabor
"material", ou mesmo uma negação com sabor "clássico". Mas, de fato,
tais definições nem sempre estão disponíveis.

--
http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

[Antonio Marmo]

PS: Esse “ele consideram” é por conta do corretor automático da minha caixa de correio. Leia-se “ele considera”.

https://independent.academia.edu/TonyMarmo

On 29 May 2020, at 22:17, Antonio Marmo <marmo...@gmail.com> wrote:

Vamos lá, só para recapitular, usando de uma linguagem mais acessível:

[Antonio Marmo]

Há mais de um tipo de negação. 

Consideremos a definição de negação ~P= 1-P, que é usual. Precisamos das muitas outras negações pensadas na literatura para chegar a uma lógica em que a trivialização não é um princípio? Ou essa definição usual já seria suficiente para o propósito mencionado?

Vejamos, então o caso de uma lógica trivalente. Suponha A=1/2, donde ~A=1/2. Disto se segue que A&~A=1/2. 

Podemos dentro da mesma linguagem definir A=>B como ~AouB. Mas, para A=1/2 não será o caso que A&~A=>B. Então, não vale o princípio da trivialização, mas a negação é usual.

https://independent.academia.edu/TonyMarmo

On 29 May 2020, at 22:40, Joao Marcos <boto...@gmail.com> wrote: