calcular é fazer dobraduras

[Joao Marcos]

da Turing-completude dos origamis
https://www.quantamagazine.org/how-to-build-an-origami-computer-20240130/


JM

[samuel]

... Sobre origamis,

Origamis (principalmente por permitir movimentos do tipo "deslizar", o que aí já entra topologia além

da geometria) sao capazes de "performar" operacoes que a régua e o compasso nao permitem

(nao sei se isso aparece na reportagem que nao consegui ler, se estou chovendo no molhado

me desculpem).

Mas sempre achei muito interessante isso, por exemplo existe um procedimento em origami

que trissecta um ângulo dado (um dos três problemas clássicos de régua e compasso que nao tem

solucao, conforme se deduz da álgebra das extensoes de corpos - os outros dois sao

a quadratura do círculo e a duplicacao do cubo).

Atés

[]s  Samuel

[Joao Marcos]

> ... Sobre origamis,
>
> Origamis (principalmente por permitir movimentos do tipo "deslizar", o que aí já entra topologia além
> da geometria) sao capazes de "performar" operacoes que a régua e o compasso nao permitem
> (nao sei se isso aparece na reportagem que nao consegui ler, se estou chovendo no molhado
> me desculpem).
>
> Mas sempre achei muito interessante isso, por exemplo existe um procedimento em origami
> que trissecta um ângulo dado (um dos três problemas clássicos de régua e compasso que nao tem
> solucao, conforme se deduz da álgebra das extensoes de corpos - os outros dois sao
> a quadratura do círculo e a duplicacao do cubo).

O artigo em questão não menciona isso. Um local onde isto é
apresentado de maneira elementar e minimamente detalhada é o livro
"Lectures on the Foundations of Mathematics" [0] (um livro sobre
*fundamentos da matemática* BEM diferente dos tradicionais), do
Hamkins. Na seção 4.3 o autor explica que as construções com régua e
compasso podem ser efetuadas, equivalentemente, com o auxílio de sete
dobraduras de origami fundamentais. Se formas adicionais de dobradura
forem permitidas, pode-se ir estritamente além da construtibilidade
euclidiana [1]. Com efeito, com a adição de apenas mais uma dobradura
fundamental, é possível resolver equações cúbicas arbitrárias sobre os
números racionais (o teorema de Gauss-Wantzel mostra que isto não é
possível usando apenas régua e compasso). Como corolário, é possível
resolver assim o problema da trissecção do ângulo.

Outras formas de construção geométrica são mencionadas no livro do
Hamkins. Uma delas é a construtibilidade via espirógrafo [2], a qual
também transcende a construtibilidade euclidiana (o Hamkins não
menciona uma referência para este resultado, e eu também não
procurei). Parece-me que um bom problema (em aberto?) para uma
estudante de pós-graduação que queira aparecer na Quanta Magazine
seria o de mostrar que espirógrafos também são Turing-completos.

Abraços,
Joao Marcos


[0] Hamkins, Joel David. Lectures on the Philosophy of Mathematics.
MIT Press, 2021.
[1] Geretschläger, Robert. "Euclidean constructions and the geometry
of origami." Mathematics Magazine 68.5 (1995): 357-371.
[2] https://pt.wikipedia.org/wiki/Espir%C3%B3grafo

--
https://sites.google.com/site/sequiturquodlibet/

[samuel]

... Opa,

E conversando com uns amigos aqui apareceu a seguinte referência (mais técnica) que chega

a criar o "corpo dos números origamicos" (!!!)

New York Journal of Mathematics
New York J. Math. 6 (2000) 119–133.
A Mathematical Theory of Origami Constructions
and Numbers
Roger C. Alperin

Disponível na página do autor em https://nyjm.albany.edu/j/2000/6-8.pdf

Atés

[]s  Samuel

[Joao Marcos]

> E conversando com uns amigos aqui apareceu a seguinte referência (mais técnica) que chega
> a criar o "corpo dos números origamicos" (!!!)

Bacana!

Veja aí com os seus amigos se eles não produzem uma referência técnica
também sobre os números espirográficos! (ou ao menos uma referência
geral sobre a construtibilidade via espirógrafos)

Abraços,
Joao Marcos


--
https://sites.google.com/site/sequiturquodlibet/

[samuel]

... Hum, perguntei aqui pra eles (os fas de origami, conheço alguns de fato) e a coisa do espirografo pra eles é só lembranca da infância (o que é meio a cara deles também). Se aparecer algo de referencia técnica eu volto aqui e aviso...

[]s  Samuel

[Juan Carlos Agudelo Agudelo]

Ao parecer, a proposição recíproca está também em aberto, i.e.  toda função que pode ser computada usando origami é Turing computável?

E considerando as relações entre origami e construções geométricas que mencionam Samuel e João Marcos,  me pergunto também o seguinte: existe alguma relação entre Construtibilidade Euclidiana e Turing computabilidade?

--
LOGICA-L
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[samuel]

Olás,

Nao respondendo mas pondo um pouquinho de tempero na coisa,

Lembro que Tarski fez uma axiomatizacao da geometria elementar que é "decidable"...

Uma possível ponte entre essas nocoes e Turing computability ?

Abracos

[]s  Samuel

[samuel]

... Nao resisti a fazer uma busca aqui, e para o Joel David Hamkins pelo menos essa ponte da minha mensagem anterior existe, ver a resposta dele em

https://mathoverflow.net/questions/30631/computability-and-geometry

[]s  Samuel

[Juan Carlos Agudelo Agudelo]

O assunto parece bastante interessante!!!

[]s

Juan Carlos

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