Onde está o paradoxo?

[Márcio Palmares]

Olá, pessoal!

Preciso de uma ajudinha com um problema. Barwise e Etchemendy, no livro "The Liar: An Essay on Truth and Circularity" citam o exemplo abaixo, retirado do artigo de Kripke "Outline of a Theory of Truth", sobre sentenças que, em si mesmas, não parecem problemáticas, mas que em circunstâncias excepcionais podem se tornar paradoxais:

"The versions of the Liar paradox which use empirical predicates already point up one major aspect of the problem: many, probably most, of our ordinary assertions about truth and falsity are liable, if the empiricalfacts are extremely unfavorable, to exhibit paradoxical features. Consider the ordinary statement, made by Jones: 

(1) Most (i.e., a majority) of Nixon's assertions about Watergate are false. 

Clearly, nothing is intrinsically wrong with (1), nor is it ill-formed. Ordinarily the truth value of (1) will be ascertainable through an enumeration of Nixon's Watergate-related assertions, and an assessment of each for truth or falsity. Suppose, however, that Nixon's assertions about Watergate are evenly balanced between the true and the false, except for one problematic case, 

(2) Everything Jones says about Watergate is true. 

Suppose, in addition, that (1) is Jones's sole assertion about Watergate, or alternatively, that all his Watergate-related assertions except perhaps (1) are true. Then it requires little expertise to show that (1) and (2) are both paradoxical: they are true if and only if they are false."

Está claro que, para mim, está faltando até mesmo uma "little expertise", pois não consigo ver o paradoxo...

Vou colocar em português, para facilitar:

Jones: "A maior parte das afirmações de Nixon sobre o Watergate é falsa."

Nixon: "Tudo o que Jones diz sobre o Watergate é verdadeiro."

Agora a circunstância excepcional: devemos supor, adicionalmente, que Jones tenha feito uma única afirmação sobre o Watergate, precisamente a frase acima.

Vamos tentar derivar a contradição.

(h.1) Suponhamos que a afirmação de Nixon seja verdadeira. Em tal caso, tudo o que Jones afirma é verdade. Em particular, sua afirmação única sobre o caso é verdadeira. E assim ficamos sabendo que Nixon quase sempre mente. Daí nossa hipótese (h.1) de que Nixon tenha falado a verdade é apenas pouco razoável, mas não necessariamente falsa. Não é o caso, portanto, de que "p" acarreta "não-p";

(h.2) Pelo contrário, suponhamos que a frase de Nixon seja falsa. Então, algumas coisas que Jones diz sobre o Watergate são falsas. Mas ele só disse uma única coisa sobre o Watergate. Logo, essa coisa única é falsa. Agora vem o problema de sabermos negar o "quantificador" "a maioria"... Eu acho que não sei negar a frase de Jones... Mas como primeira aproximação, eu diria: "Quase tudo o que Nixon diz sobre o Watergate é verdadeiro", e assim, novamente, só posso concluir que minha suposição em (h.2) é pouco razoável, mas não vejo contradição alguma.

O que estou deixando escapar? Será que não entendi o enunciado ou traduzi incorretamente?

Agradeço qualquer dica!

Valeu!

M.

[Tiago de Lima]

Olá Márcio,

O problema parece estar aqui:

> Suppose, however, that Nixon's assertions about
> Watergate are evenly balanced between the true and the false, except for
> one problematic case,

Me parece que a afirmação (1) é a que fará a diferença, isto é, é a que
fará que a maioria das afirmações de Nixon é verdadeira ou a maioria das
afirmações de Nixon é falsa.

Até,
Tiago.

[Márcio Palmares]

Valeu, Tiago! Obrigado!

Recebi a mesma dica do Walter, quase imediatamente após ter colocado a dúvida.

Acho que finalmente entendi... Eu estava ignorando uma das condições...

São duas as circunstâncias excepcionais (e não apenas uma):

i) O número de sentenças proferidas por Nixon é par, e, além disso, metade delas é verdadeira, e a outra metade é falsa. Temos um conjunto de sentenças particionado ao meio;

ii) O conjunto de sentenças proferidas por Jones é unitário. Jones fez uma única afirmação sobre o caso Watergate.

Agora voltemos às sentenças:

Jones: "A maioria das afirmações de Nixon sobre o Watergate é falsa".

Nixon: "Tudo o que Jones diz sobre o Watergate é verdadeiro."

e finalmente às contradições:

(h.1) Suponhamos que essa frase específica de Nixon seja verdadeira. Sendo assim, tudo o que Jones diz é verdade. Logo, sua sentença única tem que ser verdadeira. Mas tal coisa não pode acontecer, porque não é verdade que a maioria das afirmações de Nixon é falsa (só a metade é falsa). Portanto, se a frase de Nixon é verdadeira, é falsa. Contradição.

(h.2) Pelo contrário, suponhamos que essa frase de Nixon esteja na classe das falsas. Ora, então existe ao menos uma sentença falsa de Jones sobre o Watergate. Mas como só há uma, "essa uma" é a falsa. E se a afirmação de Jones é falsa, concluímos que a maioria das sentenças de Nixon é verdadeira, o que não pode ocorrer, como já vimos. Sendo assim, se a sentença de Nixon for falsa, obtemos uma contradição, e devemos por isso admitir que é verdadeira. Ou seja, se for falsa, é verdadeira. :-)

Falta mostrar que começando com a sentença de Jones também obtemos uma contradição, mas agora ficou fácil.

Tá resolvido! Ufa!

(Eu tentaria escapar desse problema dizendo que essa sentença de Nixon não se refere ao Watergate, mas sim às afirmações de Jones sobre o Watergate... Mas acho que seria uma fuga meio desonesta, não sei...)

Valeu, pessoal! Obrigado!

Abraços!

M.

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