A crise dos fundamentos da matemática - parte 2, por Marcelo Viana
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Joao Marcos
Oct 5, 2018, 9:42:20 PM10/5/18
to Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA
A crise dos fundamentos da matemática - parte 2
Antes dos computadores, matemáticos questionavam o que pode ser
calculado objetivamente
-- Marcelo Viana, Diretor-geral do Instituto de Matemática Pura e
Aplicada, ganhador do Prêmio Louis D., do Institut de France
03/10/2018
https://www1.folha.uol.com.br/colunas/marceloviana/2018/10/a-crise-dos-fundamentos-da-matematica-parte-2.shtml
Quando alguém prova que um teorema é verdadeiro, podemos ter certeza
que não virá outra pessoa provar que é falso? Esta pergunta preocupava
os matemáticos na virada do século 20. A teoria dos conjuntos, então
recentemente criada por Georg Cantor, exibia muitos paradoxos ligados
à ideia de infinito, e havia o temor de que contaminassem outras áreas
da matemática.
Foram propostas várias saídas. A mais famosa foi formulada por David
Hilbert. Ele proponha listar um certo número de fatos fundamentais
(axiomas), a partir dos quais seriam provadas todas as demais
afirmações da matemática (teoremas), por meio de raciocínios
rigorosos. Um objetivo crucial seria mostrar, de modo igualmente
rigoroso, que não há teoremas ao mesmo tempo verdadeiros e falsos
(consistência).
O “programa de Hilbert”, como ficou conhecido, influenciou muitos
trabalhos realizados na primeira metade do século 20, inclusive pelo
grupo Nicolas Bourbaki, de que falei recentemente, e também esteve na
origem dos resultados de Kurt Gödel, um dos pensadores mais profundos
desse século.
Nos anos 1930, Gödel provou um resultado desconcertante, chamado
primeiro teorema de incompletude: em qualquer sistema de axiomas
suficientemente forte para conter a aritmética –com as operações de
adição e multiplicação–, existem teoremas que são verdadeiros e, no
entanto, não podem ser provados!
Mas o pior (ou melhor) ainda estava por vir: em seu segundo teorema de
incompletude, Gödel provou que a consistência de um tal sistema de
axiomas não pode ser provada sem usar axiomas mais fortes (cuja
consistência teria de ser provada a partir de outros ainda mais fortes
etc).
Esse foi um golpe duro no programa de Hilbert, embora não o tenha
eliminado. Por essa altura, a mecânica quântica estava ensinando aos
físicos que há limites do que podemos conhecer na natureza, e os
teoremas de Gödel tiveram um papel semelhante no domínio da
matemática. Eles também tiveram um papel fundamental na gênese da
computação teórica.
Ainda antes do advento dos computadores, matemáticos se perguntavam o
que pode realmente ser calculado de maneira objetiva. Por exemplo,
será que é possível analisar um teorema e decidir, por meio de um
cálculo, se ele é verdadeiro?
Foram propostas várias ideias para responder a estas perguntas,
inclusive o famoso conceito de “máquina de Turing”, uma espécie de
computador abstrato proposto em 1936 pelo britânico Alan Turing.
Na sequência foi provado que as resposta à pergunta acima é negativa:
computadores não podem calcular a veracidade de teoremas. Não fora
assim, talvez a esta altura nós matemáticos estivéssemos
desempregados!
Antes dos computadores, matemáticos questionavam o que pode ser
calculado objetivamente
-- Marcelo Viana, Diretor-geral do Instituto de Matemática Pura e
Aplicada, ganhador do Prêmio Louis D., do Institut de France
03/10/2018
https://www1.folha.uol.com.br/colunas/marceloviana/2018/10/a-crise-dos-fundamentos-da-matematica-parte-2.shtml
Quando alguém prova que um teorema é verdadeiro, podemos ter certeza
que não virá outra pessoa provar que é falso? Esta pergunta preocupava
os matemáticos na virada do século 20. A teoria dos conjuntos, então
recentemente criada por Georg Cantor, exibia muitos paradoxos ligados
à ideia de infinito, e havia o temor de que contaminassem outras áreas
da matemática.
Foram propostas várias saídas. A mais famosa foi formulada por David
Hilbert. Ele proponha listar um certo número de fatos fundamentais
(axiomas), a partir dos quais seriam provadas todas as demais
afirmações da matemática (teoremas), por meio de raciocínios
rigorosos. Um objetivo crucial seria mostrar, de modo igualmente
rigoroso, que não há teoremas ao mesmo tempo verdadeiros e falsos
(consistência).
O “programa de Hilbert”, como ficou conhecido, influenciou muitos
trabalhos realizados na primeira metade do século 20, inclusive pelo
grupo Nicolas Bourbaki, de que falei recentemente, e também esteve na
origem dos resultados de Kurt Gödel, um dos pensadores mais profundos
desse século.
Nos anos 1930, Gödel provou um resultado desconcertante, chamado
primeiro teorema de incompletude: em qualquer sistema de axiomas
suficientemente forte para conter a aritmética –com as operações de
adição e multiplicação–, existem teoremas que são verdadeiros e, no
entanto, não podem ser provados!
Mas o pior (ou melhor) ainda estava por vir: em seu segundo teorema de
incompletude, Gödel provou que a consistência de um tal sistema de
axiomas não pode ser provada sem usar axiomas mais fortes (cuja
consistência teria de ser provada a partir de outros ainda mais fortes
etc).
Esse foi um golpe duro no programa de Hilbert, embora não o tenha
eliminado. Por essa altura, a mecânica quântica estava ensinando aos
físicos que há limites do que podemos conhecer na natureza, e os
teoremas de Gödel tiveram um papel semelhante no domínio da
matemática. Eles também tiveram um papel fundamental na gênese da
computação teórica.
Ainda antes do advento dos computadores, matemáticos se perguntavam o
que pode realmente ser calculado de maneira objetiva. Por exemplo,
será que é possível analisar um teorema e decidir, por meio de um
cálculo, se ele é verdadeiro?
Foram propostas várias ideias para responder a estas perguntas,
inclusive o famoso conceito de “máquina de Turing”, uma espécie de
computador abstrato proposto em 1936 pelo britânico Alan Turing.
Na sequência foi provado que as resposta à pergunta acima é negativa:
computadores não podem calcular a veracidade de teoremas. Não fora
assim, talvez a esta altura nós matemáticos estivéssemos
desempregados!
Walter Carnielli
Oct 5, 2018, 10:01:31 PM10/5/18
to Lista dos Logicos Brasileiros
Vamos convidar o Marcelo Viana para a Lista de Lógica, agora que ele descobriu que falar dos fundamentos da matemática dá mais "ibope" do que falar sobre sistemas dinâmicos e teora ergodica!
Aliás, os leitores da Folha ganhariam mais se ele escrevesse sobre teoria ergodica...
W.
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Marcelo Finger
Oct 8, 2018, 7:43:52 AM10/8/18
to logi...@dimap.ufrn.br
Putz, ele deu uma visão turística , nível 5a série dos teoremas de Goedel, om alguns errinhos e omissões que eu ouvi há uns 20 anos. Aliás, não sei daonde ele tirou o parágrafo final:
"Na sequência foi provado que as resposta à pergunta acima é negativa:
computadores não podem calcular a veracidade de teoremas. Não fora
assim, talvez a esta altura nós matemáticos estivéssemos
desempregados!"
computadores não podem calcular a veracidade de teoremas. Não fora
assim, talvez a esta altura nós matemáticos estivéssemos
desempregados!"
Precisam dar uma atualizada no rapaz!!!
[]s
PS: Em tempos difíceis, só nos resta retornar aos clássicos.
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Marcelo Finger
Departament of Computer Science, IME
University of Sao Paulo
http://www.ime.usp.br/~mfinger
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1391-1175Departament of Computer Science, IME
University of Sao Paulo
http://www.ime.usp.br/~mfinger
ResearcherID: A-4670-2009
Walter Carnielli
Oct 8, 2018, 10:30:31 AM10/8/18
to Lista dos Logicos Brasileiros
Mr. Marcelo Viana está confuso com a diferença entre
verificabilidade (tarefa perfeitamente computável) e
decidibilidade (tarefa gödelianamente incompletável).
Se meu modesto livrinho sobre "Computabilidade,,," estivesse em sua
biblioteca, quem sabe...
W.
>>> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+u...@dimap.ufrn.br.
--
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Walter Carnielli
Centre for Logic, Epistemology and the History of Science and
Department of Philosophy
State University of Campinas –UNICAMP
13083-859 Campinas -SP, Brazil
http://www.cambridge.org/br/academic/subjects/philosophy/twentieth-century-philosophy/significance-new-logic?format=HB&isbn=9781107179028
Institutional e-mail: walter.c...@cle.unicamp.br
Website: http://www.cle.unicamp.br/prof/carnielli
CV Lattes : http://lattes.cnpq.br/1055555496835379
verificabilidade (tarefa perfeitamente computável) e
decidibilidade (tarefa gödelianamente incompletável).
Se meu modesto livrinho sobre "Computabilidade,,," estivesse em sua
biblioteca, quem sabe...
W.
>>> Para postar neste grupo, envie um e-mail para logi...@dimap.ufrn.br.
>>> Visite este grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
>>> Para ver esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_LirJ8nqKceSgJ_nKzg_HiA4%3DHZfBQz%2BaM-co67z4xU2JA%40mail.gmail.com.
>>
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>
>
>
>
> --
> Marcelo Finger
> Departament of Computer Science, IME
> University of Sao Paulo
> http://www.ime.usp.br/~mfinger
> ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1391-1175
> ResearcherID: A-4670-2009
>
>> Acesse esse grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
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> Marcelo Finger
> Departament of Computer Science, IME
> University of Sao Paulo
> http://www.ime.usp.br/~mfinger
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> ResearcherID: A-4670-2009
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> Acesse esse grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
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Walter Carnielli
Centre for Logic, Epistemology and the History of Science and
Department of Philosophy
State University of Campinas –UNICAMP
13083-859 Campinas -SP, Brazil
http://www.cambridge.org/br/academic/subjects/philosophy/twentieth-century-philosophy/significance-new-logic?format=HB&isbn=9781107179028
Institutional e-mail: walter.c...@cle.unicamp.br
Website: http://www.cle.unicamp.br/prof/carnielli
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Marcelo Finger
Oct 8, 2018, 10:37:24 AM10/8/18
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> Se meu modesto livrinho sobre "Computabilidade,,," estivesse em sua biblioteca, quem sabe...
Foi o que eu quis dizer com "retornar aos clássicos"
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Institutional e-mail: walter.c...@cle.unicamp.br
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