Suma interesante
León-Sotelo
se construye un círculo de centro (p/q,1/2q^2) y diámetro 1/q^2 y
finalmente otros dos con centros en (0,1/2) y (1,1/2) ambos de
diametro 1.
1)Demostrar que dos cualesquiera de estos círculos se cortan como
mucho en un solo punto
2)Hallar la suma de las areas de todos los círculos
Saludos
León-Sotelo
Antonio González
> Para cada número racional 0<p/q<1, donde p y q son primos relativos
> se construye un círculo de centro (p/q,1/2q^2) y diámetro 1/q^2 y
> finalmente otros dos con centros en (0,1/2) y (1,1/2) ambos de
> diametro 1.
> 1)Demostrar que dos cualesquiera de estos círculos se cortan como
> mucho en un solo punto
> 2)Hallar la suma de las areas de todos los círculos
>
Bueno, esto ya lo pregunté yo hace tiempo, pero nadie hizo ni p... caso:
http://groups.google.com/group/es.ciencia.matematicas/msg/5209fbebfa79934f
Dado un número racional q = a/b (con mcd(a,b)=1), se define su círculo
de Ford como aquél tangente al eje x en el punto (q,0) y con radio 1/(2b^2).
1) Demuestre que dados dos números racionales q y q' sus círculos de
Ford son exteriores, o tangentes exteriores (en cuyo caso se dice que q
y q' son adyacentes).
2) ¿Cuál es la condición algebraica para que dos números racionales sean
adyacentes?
3) Dados dos números racionales adyacentes, ¿cuál es el punto de
tangencia de sus círculos de Ford?
4) Una secuencia de Farey F_n para n entero positivo es una secuencia de
números racionales a/b irreducibles tales que 0 <= a <= b <= n ordenados
de forma creciente. Por ejemplo
F_3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1}
¿Cómo se relacionan los círculos de Ford con las secuencias de Farey?
--
Antonio
León-Sotelo
> León-Sotelo escribió:
>
> > Para cada número racional 0<p/q<1, donde p y q son primos relativos
> > se construye un círculo de centro (p/q,1/2q^2) y diámetro 1/q^2 y
> > finalmente otros dos con centros en (0,1/2) y (1,1/2) ambos de
> > diametro 1.
> > 1)Demostrar que dos cualesquiera de estos círculos se cortan como
> > mucho en un solo punto
> > 2)Hallar la suma de las areas de todos los círculos
>
> Bueno, esto ya lo pregunté yo hace tiempo, pero nadie hizo ni p... caso:
>
>
> Dado un número racional q = a/b (con mcd(a,b)=1), se define su círculo
> de Ford como aquél tangente al eje x en el punto (q,0) y con radio 1/(2b^2).
>
> 1) Demuestre que dados dos números racionales q y q' sus círculos de
> Ford son exteriores, o tangentes exteriores (en cuyo caso se dice que q
> y q' son adyacentes).
>
> 2) ¿Cuál es la condición algebraica para que dos números racionales sean
> adyacentes?
>
> 3) Dados dos números racionales adyacentes, ¿cuál es el punto de
> tangencia de sus círculos de Ford?
>
> 4) Una secuencia de Farey F_n para n entero positivo es una secuencia de
> números racionales a/b irreducibles tales que 0 <= a <= b <= n ordenados
> de forma creciente. Por ejemplo
>
> F_3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1}
>
> ¿Cómo se relacionan los círculos de Ford con las secuencias de Farey?
>
> --
>
> Antonio
Yo sabia que lo habia visto pero de lo que estoy seguro también es que
todavia no lo se hacer asi que me aburriria y lo dejaria por imposible
cuando tu lo propusiste para mejor ocasion; ademas ahora lo que mas me
intriga es como meterle mano a la suma de las areas y solo tengo una
vaga idea de emplear la funcion totient de Euler para hallar y sumar
todas las fracciones con numerador y denominador coprimos pero no soy
capaz de plasmarlo y "enjaretarlo" convenientemente sobre el papel.
León-Sotelo
Antonio González
>
> Yo sabia que lo habia visto pero de lo que estoy seguro también es que
> todavia no lo se hacer asi que me aburriria y lo dejaria por imposible
> cuando tu lo propusiste para mejor ocasion; ademas ahora lo que mas me
> intriga es como meterle mano a la suma de las areas y solo tengo una
> vaga idea de emplear la funcion totient de Euler para hallar y sumar
> todas las fracciones con numerador y denominador coprimos pero no soy
> capaz de plasmarlo y "enjaretarlo" convenientemente sobre el papel.
El área total es igual a
S = (pi/4) sum_(n=1)^oo phi(n)/n^4
El Mathematica es capaz de sumar esto (!) y dice que vale
S = 45 zeta(3)/2pi^3
que una inspección más cuidadosa hace equivalente a
S = (pi/4)(zeta(3)/zeta(4))
Intrigado le pregunto al Mathematica por
S(p) = sum_(n=1)^oo phi(n)/n^p
y me sale
S(p) = zeta(p-1)/zeta(p)
que es una bonita igualdad, cuya demostración ya hizo Marko en una hebra
que también ignoramos:
--
Antonio
Antonio González
> Intrigado le pregunto al Mathematica por
>
> S(p) = sum_(n=1)^oo phi(n)/n^p
>
> y me sale
>
> S(p) = zeta(p-1)/zeta(p)
>
> que es una bonita igualdad, cuya demostración ya hizo Marko en una hebra
> que también ignoramos:
>
> http://groups.google.com/group/es.ciencia.matematicas/browse_frm/thread/459510d3e41d3d8c/68ab66f04ffd9e18?#68ab66f04ffd9e18
>
En la wikipedia también viene demostrado:
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function
--
Antonio