Argumente zum binären Baum
WM
0.
/ \
0 1
/ \ / \
0 10 1
...
PRO
A) Konstruieren den binären Baum beginnend mit einem "Baum", der nur
aus einem einzigen Pfad p_0 = 0.000... 0 besteht:
0,
|
0
|
0
|
0
...
Füge sämtlich Pfade hinzu, die mit unendlich vielen Nullen enden.
Jeder noch zu konstruierende Pfadendabschnitt beginnt an einem Knoten
des Pfades p_0 oder an einem Knoten eines anderen bereits
konstruierten Pfades. Der Baum ist vollständig konstruierbar, da eine
Konstruktionsvorschrift gegeben werden kann. Zum Beispiel
(abschließende Nullen werden unterdrückt)
0,1
0,01
0,11
...
Der auf diese Weise konstruierte Baum enthält alle Knoten (es sind
abzählbar viele). Jeder Knoten wurde bei der Konstruktion benutzt, um
einen Pfadendabschnitt anzubringen. Der Baum enthält also abzählbar
viele Pfade. Der Baum enthält alle Pfade, wenn man davon ausgehen
kann, dass Pfade allein durch Knoten definiert werden. Zum Beispiel
ist jeder Knoten des Pfades 0,010101... vorhanden.
B) Der binäre Baum besteht ausschließlich aus Elementarzellen der Form
|
o
/ \
(außer der Wurzel). In jede Elementarzelle läuft eine Linie ein und
zwei unterscheidbare Linien laufen heraus.
Die Anzahl der herauslaufenden Linien minus Anzahl der einlaufenden
Linien minus Anzahl der Knoten ist:
2 - 1 - 1 = 0.
Die Anzahl der Knoten ist abzählbar. Die Anzahl der Linien ist daher
auch abzählbar, wenn sie nicht größer als die der Knoten ist, wenn
also die Summe über alle Elementarzellen
SUM[n = 1 --> oo] 0 = 0
oder wenigstens
SUM[n = 1 --> oo] 0 =< aleph_0
ist.
Die Anzahl der Linienunterscheidungen ist abzählbar.
Die Anzahl der Linien beschränkt die Anzahl der Pfade.
C) Betrachte alle Knoten nebeneinander aufgereiht. Diese Reihe
begrenzt die Anzahl unterscheidbarer Pfade auf aleph_0. Es gibt keinen
weiteren Knoten zur Unterscheidung weiterer Pfade.
CONTRA
V. Pratt:
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2009-March/013493.html
Im finiten Fall eines Baums der Höhe h laufen durch jeden Knoten, der
den Abstand d vom Wurzelknoten besitzt, 2^(h-d) Pfade. Mit
zunehmendem h laufen durch jeden Knoten in eine exponentiell
ansteigende Anzahl von Pfaden. Im Grenzfall sind das 2^N Pfade pro
Knoten. Man mag argumentieren, dass auch die Anzahl der Knoten sich
mit jedem Niveau verdoppelt. So haben wir zu fragen, ob dieses
Wachstum der Knotenanzahl stark genug ist, die Anzahl der durch einen
Knoten laufenden Pfade zu aufzuwiegen. Im Grenzfall ist jeder Pfad auf
N Knoten verteilt, aber das lässt 2^N/N Pfade pro Knoten, und das kann
nicht N sein, weil N^2 abzählbar ist und 2^N nicht.
_______________________________________
Man kann mit drei Knoten 6 unterscheidbare Pfade bilden, nämlich abc,
acb, bac, bca, cab, cba. Doch dazu muss man die Knoten geschickt
kombinieren. Im binären Baum ist das nicht möglich. n unterscheidbare
Pfade unterscheiden sich durch mindestens n Knoten. aleph_1 Pfade kann
man nicht mit alep_0 Knoten unterscheiden.
_________________________________________
V. Pratt:
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2009-March/013493.html
Für Bäume der Höhe h finden wir eine Kardinalitätslücke, nämlich 2^h -
1 Knoten gegenüber 2^h Pfaden. Warum sollte der Übergang zum Grenzfall
diese Lücke schließen?
_______________________________________
Dann lassen wir den Baum doch mit einem Vorwurzelknoten beginnen:
o
|
o
/ \
...
und schon ist die Lücke weg. Ansonsten, gutes Argument: Warum sollte
beim Übergang zum Grenzfall eine Lücke entstehen, wenn vorher keine da
ist?
___________________________________________
D.C. Ullrich
http://groups.google.com/group/sci.logic/browse_frm/thread/393003b1fba1194a?hl=de&scoring=d&
Du sagst immer wieder:
"Diese Prozedur, selbst wenn unendlich oft angewandt, kann nur das
Resultat 0 ergeben, das heißt eine abzählbare Anzahl von Linien.
aber das ist einfach nicht wahr.
_______________________________________
Dies bezieht sich auf Argument B, das in meinen Augen ein äußerst
mathematisches ist. Die Akzeptanz einer überabzählbaren Anzahl von
Pfaden erfordert demnach die Akzeptanz von
SUM[n = 1 --> oo] 0 > aleph_0
_________________________________________
Virgil
http://groups.google.com/group/sci.logic/browse_frm/thread/393003b1fba1194a?hl=de&scoring=d&
Du behauptest durch das Konstruieren von unendlich vielen Pfaden mit
nur endlich vielen Einsen pro Pfad alle Pfad konstruiert zu haben,
auch die mit unendlich vielen Einsen. Das ist falsch.
__________________________________________
Welcher Pfad fehlt denn im nach A oder B konstruierten Baum?
_____________________________________________
Calvin Ostrum
http://groups.google.com/group/sci.logic/browse_frm/thread/393003b1fba1194a?hl=de&scoring=d&
[Wenn der Baum nach Beendigiung der Konstruktion alle Knoten enthält,
dann enthält er auch alle Pfade.]
Richtig. Du hast explizit nur eine abzählbare Anzahl von Pfaden
hinzugefügt, aber eine überabzählbare Anzahl haben sich am Ende
eingeschlichen, weil von jedem der kläglich abzählbar vielen explizit
eingefügten eine Kante [Verbindung zwischen zwei Knoten] beigetragen
hat.
______________________________________________
Eine überabzählbare Menge unterschiedlicher Pfade kann durch abzählbar
viele Schritte entstehen?
___________________________________________
So viel zu den Argumenten für und gegen den binären Baum. Es tut mir
wirklich Leid, dass ich kein einziges (für mich) nachvollziehbares
Gegenargument bringen konnte. Ich habe noch keines gesehen, würde mich
aber freuen, wenn eines käme.
Das Hauptargument, das alle Mengenlehrer überzeugt, there are 2^N
paths and N nodes weil das aus Cantors Beweis folgt, ist für mich
nicht stichhaltig, weil 1) Cantors Beweis keiner ist, wenn man
zwischen potentiell und aktual unendlich unterscheiden kann, und weil
2) selbst wenn Cantors Argument richtig wäre, die Logik auf
unendlichen Mengen (offenbar) versagt.
"... classical logic was abstracted from the mathematics of finite
sets and their subsets .... Forgetful of this limited origin, one
afterwards mistook that logic for something above and prior to all
mathematics, and finally applied it, without justification, to the
mathematics of infinite sets. ... As Brouwer pointed out this is a
fallacy, the Fall and Original sin of set theory even if no paradoxes
result from it." [Hermann Weyl]
Gruß, WM
Thomas Plehn
ist das nicht äquivalent zu der Aussage, dass es nur abzählbar viele reelle
Zahlen gäbe? Ich denke die Lehrmeinung ist hier allgemein bekannt
(Cantorsches Diagonalargument), dennoch fällt es mir schwer zu erkennen,
welche Argumentationen fehlerhaft sind und welche nicht und werde deshalb
auf die Urteilskraft von professionellen Mathematikern vertrauen.
Gruß
Thomas
"WM" <muec...@rz.fh-augsburg.de> schrieb im Newsbeitrag
news:852fd917-242b-4e59...@p11g2000yqe.googlegroups.com...
Florian Severin
>
> C) Betrachte alle Knoten nebeneinander aufgereiht. Diese Reihe
> begrenzt die Anzahl unterscheidbarer Pfade auf aleph_0. Es gibt keinen
> weiteren Knoten zur Unterscheidung weiterer Pfade.
Mit ähnlicher Logik kann man also wie folgt argumentieren?:
Betrachte alle natürlichen Zahlen in einer Zeile aufgeschrieben,
allerdings "rückwärts".
Es gibt eine erste Zahl in dieser Liste, die per definition die größte
natürliche Zahl ist.
Also gibt es nur endlich viele natürliche Zahlen.
Das ist doch Schwachsinn!
Man kann eine unendlichen Menge nicht einfach wie eine endliche
"umsortieren", zumindest nicht ohne Probleme.
Ich sehe im Moment keinen Unterschied zwischen deiner und meiner
Argumentation, Wolfgang, denke aber, du wirst ihn mir aufzeigen.
Herbert Newman
> WM schrieb:
>>
>> [bla und blub]
>>
> Das ist doch Schwachsinn!
Natürlich ist es Schwachsinn. Was soll es denn sonst sein?
Herbert
Uwe Bosse
Aus der Abzählbarkeit der Knoten auf die Abzählbarkeit der Pfade zu
schließen ist falsch. Und das ist letztlich m. E. der Kern des Irrtums,
hier halt geschickt versteckt.
Klar gibt es nur abzählbar viele Knoten und abzählbar viele Kanten. Da bis
zu jeder endlichen Tiefe nur endlich viele Kanten und Knoten existieren.
Aber "Pfade" sind etwas anderes. Um festzustellen, dass diese nicht
abzählbar sind kann man eben das berühmte Cantorsche Diagonalargument
heranziehen.
Nimm eine Aufzählung aller Pfade p_0, p_1, p_2,... und beweise, dass sie
nicht vollständig sein kann, indem Du schrittweise einen Pfad p
konstruierst, der garantiert verschieden ist von allen in der Aufzählung.
p(i)=0 genau dann wenn p_i(i)=1 ist.
Eleganter und beeindruckender kann man das Kartenhaus von der Abzählbarkeit
nicht zusammenstürzen lassen.
Nun bleibt es an Dir, zu überlegen, wo Dein Denkfehler sitzt.
WM
> Hallo,
>
> ist das nicht äquivalent zu der Aussage, dass es nur abzählbar viele reelle
> Zahlen gäbe?
Ja, das ist es. Allerdings ist der Fall nicht ganz so einfach.
Die Frage ist, ob es *alle* reellen Zahlen gibt. Die Konstruktion des
Baums zeigt, dass ganz sicher alle Knoten und damit nach meiner
Meinung auch alle Pfade mit Hilfe einer abzählbaren Pfadmenge (ich
benutze ja nur alle "endenden" Rationalzahlen) konstruiert werden. Die
Alternative ist, wie das Argument über das "Einschleichen" nahelegt,
dass mit einer abzählbaren Anzahl von Konstruktionsschritten eine
überabzählbare Anzahl von *unterscheidbaren* Pfaden konstruiert
werden. (Unterscheidbar voneinander und von jedem der zur Konstruktion
benutzten Pfade.)
Was heißt aber "alle" reellen Zahlen? Da jede Definition
(Konstruktionsvorschrift) einer Zahl endlich sein muss, da es nur
abzählbar viele endliche Wörter über einem endlichen Alphabet gibt, da
es nur abzählbar viele Sprachen über jedem endlichen Alphabet gibt, da
es nur abzählbar viele endliche Alphabete gibt, und da (auch bei
Einsatz abzählbar vieler weiterer Abzählbarkeiten) jedes kartesische
Produkt abzählbarer Mengen abzählbar ist, gibt nur eine abzählbare
Menge definierbarer Zahlen --- und das ist, im Gegensatz zur
"Lehrmeinung" einiger "Logiker", ganz unabhängig von der verwendeten
Sprache.
Deswegen ist in der folgenden Liste
0
1
00
01
10
11
...
all und jedes inklusive aller Grammatiken und Thesauren und natürlich
inklusive aller Definitionen von reellen Zahlen enthalten.
Eine Diagonalzahl kann man hier nicht konstruieren, denn jede Liste,
die wirklich Zahlendefinitionen enthält und nicht bloß Hochstapler,
die mit drei Pünktchen enden, ist nicht diagonalisierbar.
Alles also, was sich den Anschein von Überabzählbarkeit gibt, ist in
Wirklichkeit gar nicht vorhanden, und der Streit um Cantor besitzt
denselben Gehalt wie der um des Kaisers neue Kleider.
> Ich denke die Lehrmeinung ist hier allgemein bekannt
> (Cantorsches Diagonalargument), dennoch fällt es mir schwer zu erkennen,
> welche Argumentationen fehlerhaft sind
Mich würde insbesondere Deine Ansicht zu den Contra-Argumenten
interessieren. Sie stammen überwiegend von professionellen
Mathematikern.
> und welche nicht und werde deshalb
> auf die Urteilskraft von professionellen Mathematikern vertrauen.
So wie man in der Frage nach Gott der Urteilskraft von professionellen
Theologen vertrauen sollte? Jedenfalls hat man dann ein bequemes Leben
und vielleicht sogar einen Vorteil danach.
Gruß, WM
WM
wrote:
Ich sehe nur die Möglichkeit, alle natürlichen Zahlen in einer oder
mehreren Zeilen aufzuschreiben, wobei mit einer beliebigen begonnen
wird, nur nicht mit der letzten, die es ja nicht gibt, obwohl es
angeblich alle gibt.
Ich würde die Knoten des binären Baums jedenfalls folgendermaßen
numerieren
0,
1 2
3 4 5 6
...,
wobei ich ausnahmsweise mit der Zahl 0 begönne, und dann nebeneinander
anordnen: 0, 1, 2, 3, ... Meines Erachtens wäre das ein selbst nach ZF
erlaubtes Verfahren.
Doch viel mehr als die PRO-Argumente, die ich eignetlich nur der
Vollständigkeit mit notiert habe, würden mich Stellungnahmen zu den
CONTRA-Argumenten interessieren. Abgesehen von reinen Beschimpfungen,
die man leider nicht objektiv diskutieren kann, habe ich alle
ernstzunehmenden, die ich bisher erhalten habe, aufgeschrieben. Kannst
Du sie ernstnehmen?
Gruß, WM
WM
> Hallo,
>
> Aus der Abzählbarkeit der Knoten auf die Abzählbarkeit der Pfade zu
> schließen ist falsch. Und das ist letztlich m. E. der Kern des Irrtums,
> hier halt geschickt versteckt.
> Klar gibt es nur abzählbar viele Knoten und abzählbar viele Kanten. Da bis
> zu jeder endlichen Tiefe nur endlich viele Kanten und Knoten existieren.
>
> Aber "Pfade" sind etwas anderes. Um festzustellen, dass diese nicht
> abzählbar sind kann man eben das berühmte Cantorsche Diagonalargument
> heranziehen.
Das berühmte Cantorsche Diagonalargument ist falsch. Es funktioniert
nicht auf Zahlendefinitionen wie
6*Sqrt(SUMME 1/n^2)
sondern nur auf Hochstaplern wie
3,14...
>
> Nimm eine Aufzählung aller Pfade p_0, p_1, p_2,... und beweise, dass sie
> nicht vollständig sein kann, indem Du schrittweise einen Pfad p
> konstruierst, der garantiert verschieden ist von allen in der Aufzählung.
>
> p(i)=0 genau dann wenn p_i(i)=1 ist.
>
> Eleganter und beeindruckender kann man das Kartenhaus von der Abzählbarkeit
> nicht zusammenstürzen lassen.
Wenden wir es doch einfach mal auf die folgende Liste an, die alle
natürlichen Zahlen (und die Null) als Folgen von Einsen enthält
2) Es funktioniert nicht für die Liste
0,0
0,1
0,11
0,111
...
Wenn vorschlagsgemäß 0 durch 1 ersetzt wird, so ergibt sich die Zahl
0,111..., die mehr als jede natürliche Zahl von Einsen enthält,
nämlich aleph_0 Einsen. Sie unterscheidet sich um eine Eins (was
anderes ist ja nicht darin) nicht nur von jedem Listeneintrag, das
wäre einfach und schlichtweg potentiell, sondern aktual von allen
Listeneinträgen, denn sonst würde sie zur Liste gehören. Wo steht aber
die Unterscheidungs-Eins? Ihre ganz vorn oder mehr zur Mitte hin
stehende Einsen sind bereits alle mit Einsen in den Listenzahlen
identisch, also nicht zur Unterscheidung geeignet. Es muss wohl mehr
eine Eins weiter hinten sein --- und zwar sehr weit hinten, weiter als
jeder natürliche Index reicht.
> Nun bleibt es an Dir, zu überlegen, wo Dein Denkfehler sitzt.
Mich würde vor allem Deine Meinung zu den CONTRA-Argumenten
interessieren. Selbst wenn alles falsch wäre, was ich hier und an PRO-
Argumenten geschrieben habe, bliebe immer noch die Tatsache, dass
Herbert Newman
> ...the Fall and Original sin...
Ach, Herr Professor Mückenheim hat sich wieder mal in der Newsgroup geirrt.
Dies hier ist de.sci.mathematik, nicht de.sci.theologie.
Herbert
Thomas Plehn
On 17 Apr., 19:51, "Thomas Plehn" <tpl...@gmx.de> wrote:
> Hallo,
>
> ist das nicht äquivalent zu der Aussage, dass es nur abzählbar viele
> reelle
> Zahlen gäbe?
Ja, das ist es. Allerdings ist der Fall nicht ganz so einfach.
Die Frage ist, ob es *alle* reellen Zahlen gibt. Die Konstruktion des
Baums zeigt, dass ganz sicher alle Knoten und damit nach meiner
Meinung auch alle Pfade mit Hilfe einer abzählbaren Pfadmenge (ich
benutze ja nur alle "endenden" Rationalzahlen) konstruiert werden. Die
Alternative ist, wie das Argument über das "Einschleichen" nahelegt,
dass mit einer abzählbaren Anzahl von Konstruktionsschritten eine
überabzählbare Anzahl von *unterscheidbaren* Pfaden konstruiert
werden. (Unterscheidbar voneinander und von jedem der zur Konstruktion
benutzten Pfade.)
#Letzteres erscheint auch mir sinnvoll: Die Knotemenge und die Kantenmenge
des Graphen sind abzählbar, jedoch
#nicht die Menge der Pfade, auch wenn man den Baum mit abzählbar vielen
Konstruktionsschritten erhalten kann.
Was heißt aber "alle" reellen Zahlen? Da jede Definition
(Konstruktionsvorschrift) einer Zahl endlich sein muss, da es nur
abzählbar viele endliche Wörter über einem endlichen Alphabet gibt, da
es nur abzählbar viele Sprachen über jedem endlichen Alphabet gibt, da
es nur abzählbar viele endliche Alphabete gibt, und da (auch bei
Einsatz abzählbar vieler weiterer Abzählbarkeiten) jedes kartesische
Produkt abzählbarer Mengen abzählbar ist, gibt nur eine abzählbare
Menge definierbarer Zahlen --- und das ist, im Gegensatz zur
"Lehrmeinung" einiger "Logiker", ganz unabhängig von der verwendeten
Sprache.
#Du arguementierst, das es in einer endlichen Sprache nur endlich viele
Repräsentationen von Zahlen geben kann. Die
#Abhängigkeit von Zahlen von ihrer Repräsentation ist schon lange überholt,
es gibt auch Zahlen, die nicht mit einem
#endlichen Alphabet repräsentiert werden können. Wie sollte sonst allgemein
die "Vervollständigung" von Räumen
#funktionieren? Auch R ist _per Definition_ über solch eine
"Vervollständigung" von Q konstruiert und das zeigt, das
#Zahlen als Grenzwerte von Folgen existieren, deren Flgenglieder in Q
liegen, deren Grenzwert jedoch nicht und
#diesen Grenzwert _definieren_ wir als neue Zahl. Dir wird sicher als Dozent
bekannt sein, das Mathematik nicht viel
#mit Intuition zu tun hat. Es werden dinge konstruiert bzw. definiert, so
auch die reellen Zahlen und ob dieses Konstrukt
#nun in der Realität existiert oder nicht, kann es trotzdem gewisse
Eigenschaften besitzen.
Deswegen ist in der folgenden Liste
0
1
00
01
10
11
...
all und jedes inklusive aller Grammatiken und Thesauren und natürlich
inklusive aller Definitionen von reellen Zahlen enthalten.
Eine Diagonalzahl kann man hier nicht konstruieren, denn jede Liste,
die wirklich Zahlendefinitionen enthält und nicht bloß Hochstapler,
die mit drei Pünktchen enden, ist nicht diagonalisierbar.
Alles also, was sich den Anschein von Überabzählbarkeit gibt, ist in
Wirklichkeit gar nicht vorhanden, und der Streit um Cantor besitzt
denselben Gehalt wie der um des Kaisers neue Kleider.
#Diese Liste enthält auch keine irrationalen bzw. tranzendenten Zahlen,
deren Dezimal- bzw. Dualdarstellung niemals abbricht und eine
#solche Liste kann niemals gleichzeitig abzählbar und vollständig sein, das
zeigt das Diagonalargument.
#Ich glaube ich verstehe, was du mit "des Kaisers neue Kleider" meinst und
betone deshalb nocheinmal die Unabhängigkeit Existenz von Zahlen
#von ihrer Repräsentation.
> Ich denke die Lehrmeinung ist hier allgemein bekannt
> (Cantorsches Diagonalargument), dennoch fällt es mir schwer zu erkennen,
> welche Argumentationen fehlerhaft sind
Mich würde insbesondere Deine Ansicht zu den Contra-Argumenten
interessieren. Sie stammen überwiegend von professionellen
Mathematikern.
#Mir erscheint das von dir zitierte Argument von hier sinnvoll:
#http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2009-March/013493.html
> und welche nicht und werde deshalb
> auf die Urteilskraft von professionellen Mathematikern vertrauen.
So wie man in der Frage nach Gott der Urteilskraft von professionellen
Theologen vertrauen sollte? Jedenfalls hat man dann ein bequemes Leben
und vielleicht sogar einen Vorteil danach.
#Wie du siehst, habe ich mich wirklich bemüht mich selber in diese
Argumentation hineinzudenken, am Ende werde ich es aber nicht entscheiden
#können, das meine ich damit.
Gruß, WM
Christopher Creutzig
> viele Pfade. Der Baum enthält alle Pfade, wenn man davon ausgehen
> kann, dass Pfade allein durch Knoten definiert werden. Zum Beispiel
Was ist die inhaltliche Bedeutung des letzten Halbsatzes? Wie wird ein
Pfad „allein durch Knoten definiert“?
> ist jeder Knoten des Pfades 0,010101... vorhanden.
Richtig. Das bedeutet allerdings nicht, dass dieser Pfad in der Menge
der bei der Konstruktion benutzten Pfade auftauchen würde. Tut er ja
auch nicht.
> Die Anzahl der Linienunterscheidungen ist abzählbar.
Richtig.
> Die Anzahl der Linien beschränkt die Anzahl der Pfade.
Wieso? (Ich mein, siehe oben: Da hast Du selbst einen Pfad angegeben,
der im Baum ist, obwohl sämtliche Linien im Baum schon durch ein Menge
von Pfaden „angefahren“ werden, die diesen Pfad nicht enthält.)
> http://groups.google.com/group/sci.logic/browse_frm/thread/393003b1fba1194a?hl=de&scoring=d&
> Du behauptest durch das Konstruieren von unendlich vielen Pfaden mit
> nur endlich vielen Einsen pro Pfad alle Pfad konstruiert zu haben,
> auch die mit unendlich vielen Einsen. Das ist falsch.
> __________________________________________
> Welcher Pfad fehlt denn im nach A oder B konstruierten Baum?
Der o.g. Pfad ist nicht in der Menge der betrachteten Pfade enthalten.
*Obwohl* alle seine Knoten da sind. Wer darin einen Widerspruch zu
erkennen glaubt, sollte allerdings detailliert zeigen, *wozu* das ein
Widerspruch sein soll.
> Richtig. Du hast explizit nur eine abzählbare Anzahl von Pfaden
> hinzugefügt, aber eine überabzählbare Anzahl haben sich am Ende
> eingeschlichen, weil von jedem der kläglich abzählbar vielen explizit
> eingefügten eine Kante [Verbindung zwischen zwei Knoten] beigetragen
> hat.
> ______________________________________________
> Eine überabzählbare Menge unterschiedlicher Pfade kann durch abzählbar
> viele Schritte entstehen?
Ja.
> So viel zu den Argumenten für und gegen den binären Baum. Es tut mir
> wirklich Leid, dass ich kein einziges (für mich) nachvollziehbares
> Gegenargument bringen konnte. Ich habe noch keines gesehen, würde mich
> aber freuen, wenn eines käme.
Es tut mir ebenfalls leid, dass Du die Gegenargumente nicht
nachvollziehen konntest. Sowohl für Dich als auch für Deine Studenten
als auch für diese Newsgroup.
> Das Hauptargument, das alle Mengenlehrer überzeugt, there are 2^N
> paths and N nodes weil das aus Cantors Beweis folgt, ist für mich
Sorry, aber das ist in meinen Augen nie ein gutes Argument gewesen. Es
ist hier in der Gruppe, zumindest zu der Zeit, wo ich noch halbwegs
mitgelesen habe, auch nur sehr am Rande aufgetaucht, sicherlich niemals
als Hauptargument.
--
Es gibt keine klassischen chinesischen Zitate,
weil Chinesisch nicht zum westlichen Bildungskanon gehört.
(Ralf Kusmierz)
WM
> "WM" <mueck...@rz.fh-augsburg.de> schrieb im Newsbeitragnews:b5ef4372-7caa-4266...@r37g2000yqn.googlegroups.com...
> On 17 Apr., 19:51, "Thomas Plehn" <tpl...@gmx.de> wrote:
>
> > Hallo,
>
> > ist das nicht äquivalent zu der Aussage, dass es nur abzählbar viele
> > reelle
> > Zahlen gäbe?
>
> Ja, das ist es. Allerdings ist der Fall nicht ganz so einfach.
>
> Die Frage ist, ob es *alle* reellen Zahlen gibt. Die Konstruktion des
> Baums zeigt, dass ganz sicher alle Knoten und damit nach meiner
> Meinung auch alle Pfade mit Hilfe einer abzählbaren Pfadmenge (ich
> benutze ja nur alle "endenden" Rationalzahlen) konstruiert werden. Die
> Alternative ist, wie das Argument über das "Einschleichen" nahelegt,
> dass mit einer abzählbaren Anzahl von Konstruktionsschritten eine
> überabzählbare Anzahl von *unterscheidbaren* Pfaden konstruiert
> werden. (Unterscheidbar voneinander und von jedem der zur Konstruktion
> benutzten Pfade.)
>
> #Letzteres erscheint auch mir sinnvoll: Die Knotemenge und die Kantenmenge
> des Graphen sind abzählbar, jedoch
> #nicht die Menge der Pfade, auch wenn man den Baum mit abzählbar vielen
> Konstruktionsschritten erhalten kann.
Man kann mit abzählbar vielen Unterscheidungen nicht überabzählbar
viele Elemente unterscheiden. Es geht hier nicht um
Kombinationsmöglichkeiten wie bei der Potenzmenge von N sondern um
Konstruktionsschritte. Es geht also um die Konstruktion von linear
geordneten Mengen; a, ab, abc, nicht um nichtlineare Mengen wie ac,
bc.
>
> Was heißt aber "alle" reellen Zahlen? Da jede Definition
> (Konstruktionsvorschrift) einer Zahl endlich sein muss, da es nur
> abzählbar viele endliche Wörter über einem endlichen Alphabet gibt, da
> es nur abzählbar viele Sprachen über jedem endlichen Alphabet gibt, da
> es nur abzählbar viele endliche Alphabete gibt, und da (auch bei
> Einsatz abzählbar vieler weiterer Abzählbarkeiten) jedes kartesische
> Produkt abzählbarer Mengen abzählbar ist, gibt nur eine abzählbare
> Menge definierbarer Zahlen --- und das ist, im Gegensatz zur
> "Lehrmeinung" einiger "Logiker", ganz unabhängig von der verwendeten
> Sprache.
>
> #Du arguementierst, das es in einer endlichen Sprache nur endlich viele
> Repräsentationen von Zahlen geben kann. Die
> #Abhängigkeit von Zahlen von ihrer Repräsentation ist schon lange überholt,
nicht in einer Mathematik, die mit Zahlen unterscheiden will
> es gibt auch Zahlen, die nicht mit einem
> #endlichen Alphabet repräsentiert werden können.
Wo gibt es die? Woher weiß man, dass es sich dabei um Zahlen handelt?
> Wie sollte sonst allgemein
> die "Vervollständigung" von Räumen
> #funktionieren? Auch R ist _per Definition_ über solch eine
> "Vervollständigung" von Q konstruiert und das zeigt, das
> #Zahlen als Grenzwerte von Folgen existieren, deren Flgenglieder in Q
> liegen, deren Grenzwert jedoch nicht und
> #diesen Grenzwert _definieren_ wir als neue Zahl.
wobei jede dieser Zahlen eine ganze Äquivalenzklasse von endlich
definierten Folgen "ist".
> Dir wird sicher als Dozent
> bekannt sein, das Mathematik nicht viel
> #mit Intuition zu tun hat. Es werden dinge konstruiert bzw. definiert, so
> auch die reellen Zahlen und ob dieses Konstrukt
> #nun in der Realität existiert oder nicht, kann es trotzdem gewisse
> Eigenschaften besitzen.
Aber keine Eigenschaften, die unendliche Definitionen bedürfen. Nicht
in der Mathematik. Weshalb sind es denn gerade einige "führende"
Logiker, die die Notwendigkeit unendlicher Definitionen verneinen?
>
> Deswegen ist in der folgenden Liste
>
> 0
> 1
> 00
> 01
> 10
> 11
> ...
> all und jedes inklusive aller Grammatiken und Thesauren und natürlich
> inklusive aller Definitionen von reellen Zahlen enthalten.
>
> Eine Diagonalzahl kann man hier nicht konstruieren, denn jede Liste,
> die wirklich Zahlendefinitionen enthält und nicht bloß Hochstapler,
> die mit drei Pünktchen enden, ist nicht diagonalisierbar.
>
> Alles also, was sich den Anschein von Überabzählbarkeit gibt, ist in
> Wirklichkeit gar nicht vorhanden, und der Streit um Cantor besitzt
> denselben Gehalt wie der um des Kaisers neue Kleider.
>
> #Diese Liste enthält auch keine irrationalen bzw. tranzendenten Zahlen,
O doch. Sie enthält "Wurzel aus 2", "Basis der natürlichen
Logarithmen", und überhaupt alle reellen Zahlen, die benennbar sind.
Die Zahl pi ist mindestens unendlich oft enthalten, nämlich in der
Form pi plus 1, pi plus 2 usw., außerdem natürlich in Form diverser
Reihen und Grenzwerten von Folgen, modularen Identitäten,
Kettenbrüchen usw. usw.
> deren Dezimal- bzw. Dualdarstellung niemals abbricht und eine
> #solche Liste kann niemals gleichzeitig abzählbar und vollständig sein, das
> zeigt das Diagonalargument.
Die Zahl 1/9 ist in meiner Liste ebenso wie die Zahl 0,111... mitsamt
den drei Pünktchen, wobei jeder Mathematiker weiß, was gemeint ist.
> #Ich glaube ich verstehe, was du mit "des Kaisers neue Kleider" meinst und
> betone deshalb nocheinmal die Unabhängigkeit Existenz von Zahlen
> #von ihrer Repräsentation.
Diese Unabhängigkeit darf nicht zu weit gefasst werden. Ich meine,
eine Zahl, die keinerlei Repräsentation besitzt, ist keine Zahl.
>
> > Ich denke die Lehrmeinung ist hier allgemein bekannt
> > (Cantorsches Diagonalargument), dennoch fällt es mir schwer zu erkennen,
> > welche Argumentationen fehlerhaft sind
>
> Mich würde insbesondere Deine Ansicht zu den Contra-Argumenten
> interessieren. Sie stammen überwiegend von professionellen
> Mathematikern.
>
> #Mir erscheint das von dir zitierte Argument von hier sinnvoll:
> #http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2009-March/013493.html
Das erste, nehme ich an. Es setzt aber das gewünschte Ergebnis voraus.
>
> #Wie du siehst, habe ich mich wirklich bemüht mich selber in diese
> Argumentation hineinzudenken,
Das unterscheidet Dich wohltuend von der Masse. Danke.
Gruß, WM
WM
wrote:
> WM wrote:
> > viele Pfade. Der Baum enthält alle Pfade, wenn man davon ausgehen
> > kann, dass Pfade allein durch Knoten definiert werden. Zum Beispiel
>
> Was ist die inhaltliche Bedeutung des letzten Halbsatzes? Wie wird ein
> Pfad „allein durch Knoten definiert“?
Ein Pfad ist nur ein anderes Bild für die Binärdarstellung einer
reellen Zahl aus dem Einheitsintervall.
Wenn alle Knoten eines Pfades gegeben sind (durch Kanten verbunden
sind), dann gibt es nichts weiter, was zu seiner Existenz erforderlich
wäre.
>
> > ist jeder Knoten des Pfades 0,010101... vorhanden.
>
> Richtig. Das bedeutet allerdings nicht, dass dieser Pfad in der Menge
> der bei der Konstruktion benutzten Pfade auftauchen würde. Tut er ja
> auch nicht.
Aber wenn er existeirt, so ist er nach erfolgetr Konstruktion
vorhanden. Er und überabzählbar viele Pfade wurden durch eine
abzählbare Menge von Schritten erzeugt. Das ist nicht möglich, wenn
alle diese Pfade unterscheidbar sein sollen.
>
> > Die Anzahl der Linienunterscheidungen ist abzählbar.
>
> Richtig.
>
> > Die Anzahl der Linien beschränkt die Anzahl der Pfade.
>
> Wieso? (Ich mein, siehe oben: Da hast Du selbst einen Pfad angegeben,
> der im Baum ist, obwohl sämtliche Linien im Baum schon durch ein Menge
> von Pfaden „angefahren“ werden, die diesen Pfad nicht enthält.)
Der Pfad 0.010101... stellt eine Linie dar, die nicht zu den für die
Konstruktion benutzten gehört.Diese Linie enthält nur (maximal) einen
Pfad, nämlich binär 1/3.
>
> >http://groups.google.com/group/sci.logic/browse_frm/thread/393003b1fb...
> > Du behauptest durch das Konstruieren von unendlich vielen Pfaden mit
> > nur endlich vielen Einsen pro Pfad alle Pfad konstruiert zu haben,
> > auch die mit unendlich vielen Einsen. Das ist falsch.
> > __________________________________________
> > Welcher Pfad fehlt denn im nach A oder B konstruierten Baum?
>
> Der o.g. Pfad ist nicht in der Menge der betrachteten Pfade enthalten.
> *Obwohl* alle seine Knoten da sind. Wer darin einen Widerspruch zu
> erkennen glaubt, sollte allerdings detailliert zeigen, *wozu* das ein
> Widerspruch sein soll.
Die Existenz von X unterscheidbaren Elementen bei Y < X
Unterscheidungsmerkmalen ist ein Widerspruch.
>
> > Richtig. Du hast explizit nur eine abzählbare Anzahl von Pfaden
> > hinzugefügt, aber eine überabzählbare Anzahl haben sich am Ende
> > eingeschlichen, weil von jedem der kläglich abzählbar vielen explizit
> > eingefügten eine Kante [Verbindung zwischen zwei Knoten] beigetragen
> > hat.
> > ______________________________________________
> > Eine überabzählbare Menge unterschiedlicher Pfade kann durch abzählbar
> > viele Schritte entstehen?
>
> Ja.
Wenn alle unendlich vielen Pfade der Form 0.111...111 mit endlich
vielen Einsen konstruiert sind, dann hat sich zusätzlich der eine Pfad
0.111... eingeschlichen. Du akzeptierst aber sogar, dass sich mehr
Pfade einschleichen, als zur Konstruktion verwendet werden?
Wie unterscheidet man alle? (Nicht nur den einen vom anderen, sondern
alle auf einmal, was ja möglich sein muss, wenn alle auf einmal da
sind.)
>
> > So viel zu den Argumenten für und gegen den binären Baum. Es tut mir
> > wirklich Leid, dass ich kein einziges (für mich) nachvollziehbares
> > Gegenargument bringen konnte. Ich habe noch keines gesehen, würde mich
> > aber freuen, wenn eines käme.
>
> Es tut mir ebenfalls leid, dass Du die Gegenargumente nicht
> nachvollziehen konntest. Sowohl für Dich als auch für Deine Studenten
> als auch für diese Newsgroup.
Ja, es ist schade, dass Mathematik nicht mehr eindeutig ist, wie sie
es zu Gauß' Zeiten noch war.
Gruß, WM
Herbert Newman
> Die Existenz von X unterscheidbaren Elementen bei Y < X
> Unterscheidungsmerkmalen ist ein Widerspruch.
Immer wieder so ein Schwachsinn.
Es gibt 4 (!) 2-bitige Zahlen. D. h. 2 "Unterscheidungsmerkmale" - 1. Bit
(0 oder 1), 2. Bit (0 oder 1) - führen zu 4 unterscheidbaren "Elementen":
00
01
10
11
Herbert
Herbert Newman
"Wenn alle unendlich vielen Pfade der Form 0.111...111 mit endlich vielen
Einsen konstruiert sind, dann hat sich zusätzlich der eine Pfad 0.111...
eingeschlichen."
No comment.
Christopher Creutzig
> On 18 Apr., 21:09, Christopher Creutzig <christop...@creutzig.de>
> wrote:
>> WM wrote:
>>> viele Pfade. Der Baum enthält alle Pfade, wenn man davon ausgehen
>>> kann, dass Pfade allein durch Knoten definiert werden. Zum Beispiel
>> Was ist die inhaltliche Bedeutung des letzten Halbsatzes? Wie wird ein
>> Pfad „allein durch Knoten definiert“?
>
> Ein Pfad ist nur ein anderes Bild für die Binärdarstellung einer
> reellen Zahl aus dem Einheitsintervall.
>
> Wenn alle Knoten eines Pfades gegeben sind (durch Kanten verbunden
> sind), dann gibt es nichts weiter, was zu seiner Existenz erforderlich
> wäre.
Das ist keine Antwort. Wodurch ist ein Pfad ganz konkret definiert?
>>> ist jeder Knoten des Pfades 0,010101... vorhanden.
>> Richtig. Das bedeutet allerdings nicht, dass dieser Pfad in der Menge
>> der bei der Konstruktion benutzten Pfade auftauchen würde. Tut er ja
>> auch nicht.
>
> Aber wenn er existeirt, so ist er nach erfolgetr Konstruktion
> vorhanden.
Was heißt vorhanden? Wo vorhanden? In der Menge der Pfade, die am
Anfang hineingesteckt wurden? Nein. In der Menge der Pfade, die man im
Baum durchlaufen kann? Ja.
> Er und überabzählbar viele Pfade wurden durch eine
> abzählbare Menge von Schritten erzeugt. Das ist nicht möglich, wenn
> alle diese Pfade unterscheidbar sein sollen.
Warum nicht?
>>> Die Anzahl der Linienunterscheidungen ist abzählbar.
>> Richtig.
>>
>>> Die Anzahl der Linien beschränkt die Anzahl der Pfade.
>> Wieso? (Ich mein, siehe oben: Da hast Du selbst einen Pfad angegeben,
>> der im Baum ist, obwohl sämtliche Linien im Baum schon durch ein Menge
>> von Pfaden „angefahren“ werden, die diesen Pfad nicht enthält.)
>
> Der Pfad 0.010101... stellt eine Linie dar, die nicht zu den für die
> Konstruktion benutzten gehört.Diese Linie enthält nur (maximal) einen
> Pfad, nämlich binär 1/3.
Sorry, ich hatte Linien als „Linien der Länge 1 irgendwo im Baum“
gelesen. Hier ist „Linie“ anscheinend auf einmal das Gleiche wie „Pfad“?
>> Der o.g. Pfad ist nicht in der Menge der betrachteten Pfade enthalten.
>> *Obwohl* alle seine Knoten da sind. Wer darin einen Widerspruch zu
>> erkennen glaubt, sollte allerdings detailliert zeigen, *wozu* das ein
>> Widerspruch sein soll.
>
> Die Existenz von X unterscheidbaren Elementen bei Y < X
> Unterscheidungsmerkmalen ist ein Widerspruch.
Ich wiederhole mich: Ein Widerspruch *wozu* soll denn das sein? Also zu
welcher Behauptung? (Widersprüche existieren nicht im luftleeren Raum.
Schon sprachlich kann A nur ein Widerspruch zu B sein, „Widerspruch
sein“ ohne Antagonisten geht einfach nicht.)
>>> Eine überabzählbare Menge unterschiedlicher Pfade kann durch abzählbar
>>> viele Schritte entstehen?
>> Ja.
>
> Wenn alle unendlich vielen Pfade der Form 0.111...111 mit endlich
> vielen Einsen konstruiert sind, dann hat sich zusätzlich der eine Pfad
> 0.111... eingeschlichen. Du akzeptierst aber sogar, dass sich mehr
> Pfade einschleichen, als zur Konstruktion verwendet werden?
Ich akzeptiere üblicherweise alles, was ich beweisen kann. In diesem
Fall stimmt es sogar mit meiner Intuition überein, auch wenn das nun
wahrlich kein Kriterium für Wahrheit sein kann.
> Wie unterscheidet man alle? (Nicht nur den einen vom anderen, sondern
> alle auf einmal, was ja möglich sein muss, wenn alle auf einmal da
> sind.)
Paarweise. Und das macht man abstrakt, also mit Platzhaltern, und
beweist damit in endlich vielen Schritten, dass sich alle paarweise
voneinander unterscheiden. Was auch immer „alle auf einmal
unterscheiden“ bedeuten soll: Es geht ja nicht darum, ob irgendein
„Beobachter“ Unterschiede „sehen“ kann, sondern ob die Dinger
verschieden *sind*.
Herbert Newman
Ähem... Oder vielleicht noch einfacher: 1 (!) Unterscheidungsmerkmal unter-
scheidet (mindestens) 2 (!) "Elemente". Betrachte eine Grundmenge mit den
(zwei) Elementen a, b:
G = {a, b}
Unterscheidungsmerkmal sei "ist Element der Menge H".
Es gelte dann:
a e H ("a ist Element der Menge H".)
und
b !e H. ("a ist nicht Element der Menge H".)
Damit können wir a von b unterschieden. (Wenn x e G ist, und x e H ist,
dann ist x = a; gilt aber für x e G: x !e H, dann ist x = b.)
Wenn wir zwei Männer betrachten, wobei der eine Haare auf dem Kopf hat, und
der andere nicht, dann genügt ebenfalls lediglich 1 (!) Unterscheidungs-
merkmal (Haare auf dem Kopf oder nicht), um die 2 (!) Männer zu unterschei-
den.
Was also bleibt da von Mückenheims Diktum: "Die Existenz von X unter-
scheidbaren Elementen bei Y < X Unterscheidungsmerkmalen ist ein Wider-
spruch." ???
Herbert
WM
wrote:
> Wodurch ist ein Pfad ganz konkret definiert?
Ein Pfad ist durch die Folge seiner Knoten definiert, genau so wie
eine Binärzahl durch die Folge ihrer Bits definiert ist.
> Was heißt vorhanden? Wo vorhanden? In der Menge der Pfade, die am
> Anfang hineingesteckt wurden? Nein. In der Menge der Pfade, die man im
> Baum durchlaufen kann? Ja.
Genau. Wie durch einen Zauber sind alle Folgen der Form {0, 1}^N im
Baum vorhanden.
>
> > Er und überabzählbar viele Pfade wurden durch eine
> > abzählbare Menge von Schritten erzeugt. Das ist nicht möglich, wenn
> > alle diese Pfade unterscheidbar sein sollen.
>
> Warum nicht?
Weil jede Aktion (nach Plan A) genau einen Pfad hinzufügt. Das ist
eine Variante des Dirichletschen Schubfachprinzips. Das ist übrigens
auch der Grund, weshalb eine lineare Menge wie die Anfangsabschnitte
eines Pfades, z. B.
0,1
0,11
0,111
...
also im Wesentlichen die natürlichen Zahlen in Unärdarstellung, genau
so viele Unterscheidungsmerkmale (Einsen) benötigt, wie sie Elemente
besitzt.
Mit X Einsen kann man X Anfangsabschnitte unterscheiden - aber keinen
weiteren.
> > Der Pfad 0.010101... stellt eine Linie dar, die nicht zu den für die
> > Konstruktion benutzten gehört. Diese Linie enthält nur (maximal) einen
> > Pfad, nämlich binär 1/3.
>
> Sorry, ich hatte Linien als „Linien der Länge 1 irgendwo im Baum“
> gelesen. Hier ist „Linie“ anscheinend auf einmal das Gleiche wie „Pfad“?
Linen der Länge 1 wären Kanten.
Unter Linie verstehe ich einfach eine geometrische Linie, die sich vom
Wurzelknoten ins Unendliche erstreckt. Es ist nur eine Frage der
Sprechweise. Ich nenne die Linie, die durch einen Knoten verläuft,
nicht Pfad, weil immer wieder behauptet wird, dass durch jeden Knoten
unendlich viele Pfade verlaufen (was richtig ist), weil ich aber von
einer geometrisch eindeutig definierten Linie sprechen möchte. In
jeden Knoten läuft genau eine Linie, die sich teilt, so dass aus dem
Knoten zwei Linien hervorgehen. Das ist der geometrische Aspekt. Wie
viele Pfade eine Linie enthält, ist dabei ohne Bedeutung. Doch eine
Linie, die sich vom Wurzelknoten bis ins Unendliche erstreckt, enthält
genau einen Pfad und ist deshalb genau ein Pfad.
>
> >> Der o.g. Pfad ist nicht in der Menge der betrachteten Pfade enthalten.
> >> *Obwohl* alle seine Knoten da sind. Wer darin einen Widerspruch zu
> >> erkennen glaubt, sollte allerdings detailliert zeigen, *wozu* das ein
> >> Widerspruch sein soll.
>
> > Die Existenz von X unterscheidbaren Elementen bei Y < X
> > Unterscheidungsmerkmalen ist ein Widerspruch.
>
> Ich wiederhole mich: Ein Widerspruch *wozu* soll denn das sein? Also zu
> welcher Behauptung? (Widersprüche existieren nicht im luftleeren Raum.
> Schon sprachlich kann A nur ein Widerspruch zu B sein, „Widerspruch
> sein“ ohne Antagonisten geht einfach nicht.)
Die Behauptung, mit drei gleichartigen Symbolen vier natürliche Zahlen
in Unärdarstellung darstellen zu können, ist ein Widerspruch, denn (im
Gegensatz zur Binär- oder Dezimaldarstellung) kann man mit drei
Symbolen maximal drei Zahlen darstellen, nämlich o, oo, ooo, also 1, 2
und 3.
Dies ist das Dirichletsche Schubfachprinzip.
>
> Ich akzeptiere üblicherweise alles, was ich beweisen kann. In diesem
> Fall stimmt es sogar mit meiner Intuition überein, auch wenn das nun
> wahrlich kein Kriterium für Wahrheit sein kann.
Nenne mir bitte eine mathematische Tatsache (außerhalb der Lehre von
den unendlichen Mengen), die nicht mit der Intuition übereinstimmt.
>
> > Wie unterscheidet man alle? (Nicht nur den einen vom anderen, sondern
> > alle auf einmal, was ja möglich sein muss, wenn alle auf einmal da
> > sind.)
>
> Paarweise. Und das macht man abstrakt, also mit Platzhaltern, und
> beweist damit in endlich vielen Schritten, dass sich alle paarweise
> voneinander unterscheiden.
> Was auch immer „alle auf einmal
> unterscheiden“ bedeuten soll: Es geht ja nicht darum, ob irgendein
> „Beobachter“ Unterschiede „sehen“ kann, sondern ob die Dinger
> verschieden *sind*.
Genau. Zur Unterscheidung eines aktual existierenden unendlichen
Pfades p_0 von allen anderen Pfaden p_alpha des Baums ist ein Knoten
erforderlich, der zu dem Pfad p_0 gehört und zu keinem der Pfade
p_alpha. Denn die übliche Art der Unterscheidung, die Du meinst,
unterscheidet nur zwischen einer potentiell unendlichen Menge von
Pfaden p_k und p_0. Dazu bedarf es aber keines vollständigen, aktual
unendlichen Pfades p_0, sondern lediglich der Menge aller seiner
endlichen Anfangsabschnitte. Diese sind aber alle von p_0 verschieden,
nach Deiner Ansicht. Und vor allem bilden alle endlichen
Anfangsabschnitte aller Pfade des Baums (also aller reellen Zahlen des
Einheitsintervalls) eine abzählbare Menge.
Wozu also überhaupt über aktual unendliche Pfade diskutieren, wenn Du
mit der Menge aller endlichen Anfangsabschnitte zufrieden bist, nach
dem Motto:
Zu jedem Pfad p_k gibt es einen Knoten des Pfades p_0, der nicht zu
p_k gehört.
Nochmals: Für dieses Spielchen ist p_0 absolut uninteressant. Es
genügt die Menge aller endlichen Anfangsabschnitte von p_0 --- und
diese ist abzählbar, nicht nur für p_0 sondern: Die Menge aller
endlichen Anfangsabschnitte aller Pfade des binären Baums ist
abzählbar (es ist im Wesentlichen die Menge aller Knoten des Baums)
--- und mehr benutzt Du nirgendwo für Deine Unterscheidungen!
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
>
> Nenne mir bitte eine mathematische Tatsache (außerhalb der Lehre von
> den unendlichen Mengen), die nicht mit der Intuition übereinstimmt.
Hallo Wolfgang,
mir ist gerade heute eine solche über den Weg gelaufen, und ich nutze
die Gelegenheit, sie hier zu präsentieren. Wir haben mit Freunden an
den Oster-Feiertagen das Spiel "Blokus" gespielt, bei dem die Spielsteine
aus gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt sind. Es gibt dabei für
die Anzahlen n=1 bis n=6 alle möglichen Formen. Ich zeige hier die ersten
Formen für n=1 bis 4:
. . - . . - .
/ \ / \ / / \ / \
. - . . - . . - . - .
_____________________________________________________________
n=1 einmal n=2 einmal n=3 einmal
vorhanden vorhanden vorhanden
. . - .
/ \ / \ / \
. - . . - . - . . - . - .
/ \ / \ / \ / \ / \ /
. - . - . . - . - . .
______________________________________________________________
n=4 mit 3 verschiedenen Formen
Die Formenanzahlen zu n=1,2,3,4,5,6 sind: a=1,1,1,3,4,12.
Wir fingen an uns zu überlegen, wie stark die Formenanzahl mit
wachsendem n wohl wächst. Von Hand liess sich das aber nicht mehr
realisieren, und so habe ich mir eine hübsche Programmierübung
in Maple daraus gemacht. Damit kam ich dann auf die Fortsetzung der
Anzahlen bis n=10: a=1,1,1,3,4,12,27,82,228,733 und Pi-mal-Daumen
deutete das auf einen Wachstumsfaktor in der Nähe von 3.7 hin.
Was sagt die Intuition?
Gruss, . - .
Rainer / \ / \
_________________________ . - . - . __________________________
Rainer Rosenthal \ / r.ros...@web.de
.
Norbert Marrek
Anderes Beispiel:
Die Intuition sagt mir, dass es nur ein unwesentlicher Verlust ist, wenn
der Wassergehalt einer Frucht von 99% durch Austrocknung auf 98% fällt.
Real gehen mir aber 50% des Gewichts verlustig.
Aloha,
Norbert
Rainer Rosenthal
> Anderes Beispiel:
>
> Die Intuition sagt mir, dass es nur ein unwesentlicher Verlust ist, wenn
> der Wassergehalt einer Frucht von 99% durch Austrocknung auf 98% fällt.
>
> Real gehen mir aber 50% des Gewichts verlustig.
>
Jau, hatte ich gerade gestern einem Gymi-Lehrer erklärt, der Bio und Chemie
gibt. Der hat ganz schön gestaunt :-!
Übrigens noch ein kleiner Trost: es gehen Dir zwar 50% verlustig, aber dafür
bleibt Dir auch ebenso viel :-)
Gruss,
RR
Albrecht
Norbert Marrek schrieb:
> Rainer Rosenthal schrieb:
> > WM schrieb:
> >> Nenne mir bitte eine mathematische Tatsache (auï¿œerhalb der Lehre von
> >> den unendlichen Mengen), die nicht mit der Intuition ï¿œbereinstimmt.
> >
> > Hallo Wolfgang,
> >
> > mir ist gerade heute eine solche ï¿œber den Weg gelaufen, und ich nutze
> > die Gelegenheit, sie hier zu prï¿œsentieren. Wir haben mit Freunden an
> > den Oster-Feiertagen das Spiel "Blokus" gespielt, bei dem die Spielsteine
> > aus gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt sind. Es gibt dabei fï¿œr
> > die Anzahlen n=1 bis n=6 alle mï¿œglichen Formen. Ich zeige hier die ersten
> > Formen fï¿œr n=1 bis 4:
> >
> > . . - . . - .
> > / \ / \ / / \ / \
> > . - . . - . . - . - .
> > _____________________________________________________________
> > n=1 einmal n=2 einmal n=3 einmal
> > vorhanden vorhanden vorhanden
> >
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> > ______________________________________________________________
> > n=4 mit 3 verschiedenen Formen
> >
> > Die Formenanzahlen zu n=1,2,3,4,5,6 sind: a=1,1,1,3,4,12.
> > Wir fingen an uns zu ï¿œberlegen, wie stark die Formenanzahl mit
> > wachsendem n wohl wï¿œchst. Von Hand liess sich das aber nicht mehr
> > realisieren, und so habe ich mir eine hï¿œbsche Programmierï¿œbung
> > in Maple daraus gemacht. Damit kam ich dann auf die Fortsetzung der
> > Anzahlen bis n=10: a=1,1,1,3,4,12,27,82,228,733 und Pi-mal-Daumen
> > deutete das auf einen Wachstumsfaktor in der Nï¿œhe von 3.7 hin.
> >
> > Was sagt die Intuition?
> >
> > Gruss, . - .
> > Rainer / \ / \
> > _________________________ . - . - . __________________________
> > Rainer Rosenthal \ / r.ros...@web.de
> > .
>
> Anderes Beispiel:
>
> Die Intuition sagt mir, dass es nur ein unwesentlicher Verlust ist, wenn
> der Wassergehalt einer Frucht von 99% durch Austrocknung auf 98% fï¿œllt.
>
> Real gehen mir aber 50% des Gewichts verlustig.
>
>
Na, na, na. Von welchem Gewicht den? Vom Trockengewicht?
Diese Diskussion scheint mir aber auch etwas unsinnig. Natuerlich gibt
es unintuitive Ergebnisse in der Mathematik. Es gibt sogar unintuitive
Tatsachen im taeglichen Leben. Und was beweist denn das? Dass mit der
Realitaet etwas nicht stimmt?
Im Kern geht es m.E. doch darum, ob man mithilfe der Mathematik
sinnvolle Modelle der Realitaet bilden koennen will (auch wenn das den
"reinen Mathematikern" nicht passt). Und das endet fuer mich z.B. da,
wo bestimmte Volumina durch Zerlegung und wiederzusammenfuegen
beliebig große andere Volumina bilden koennen.
Natuerlich kommt jetzt wieder jemand und sagt: Dann darf eine endliche
Flaeche auch nicht von einer unendlich langen Linie begrenzt sein
koennen, usw.
Ich kann dann fuer mich nur sagen: Cantors Mengenlehre stellt fuer
mich keine befriedigende Loesung all dieser Phaenomene dar, die m.E.
letzten Endes alle damit zusammenhaengen, dass endliche Definitionen
unendliche Informationsmengen kodieren koennen (Irrationalzahlen in
z.B. Dezimalschreibweise).
Gruss
Albrecht
Martin Vaeth
> Anzahlen bis n=10: a=1,1,1,3,4,12,27,82,228,733 und Pi-mal-Daumen
> deutete das auf einen Wachstumsfaktor in der Nähe von 3.7 hin.
Du hast speziell nach Intuition gefragt, also gebe ich mal meine
(bewusst ohne ernsthaftes mathematisches Überlegen):
Pi mal Daumen deutet schon die Problemstellung für mich
darauf hin - rein nach Bauchgefühl - dass sich die Symmetrien
bei kleinem n sehr viel stärker bemerkbar machen als bei großem
und sich daher erst für sehr große n das Wachstumsverhalten auch numerisch
wiederspiegelt. Das ist vermutlich ähnlich wie bei den Bernoulli-Zahlen,
die am Anfang auch sehr unregelmäßig sind, dann aber irgendwann
doch sehr schnell wachsen (was ihrem asymptotischen Verhalten entspricht).
Vermutlich handelt es sich asymptotisch auch nicht um einen "Wachstumsfaktor"
(also exponentielles Wachstum) sondern eher um ein Wachstum wie n!/x^n
(der Zähler für die "Kombinationen", der Nenner für die Symmetrien).
Da die kleinsten Symmetriegruppen schon nicht allzu klein ist
(Drittel-Drehungen und Spiegelungen sind sicher dabei - also sicher
mindestens 6 Elemente), ist vermutlich auch x nicht allzu klein, so
dass die "Numerik" bis n=10 vermutlich noch wenig aussagt.
Aber wie gesagt: Reines Bauchgefühl...
Rainer Rosenthal
>
> Norbert Marrek schrieb:
>> Die Intuition sagt mir, dass es nur ein unwesentlicher Verlust ist, wenn
>> der Wassergehalt einer Frucht von 99% durch Austrocknung auf 98% fï¿œllt.
>>
>> Real gehen mir aber 50% des Gewichts verlustig.
>>
>>
>
> Na, na, na. Von welchem Gewicht den? Vom Trockengewicht?
>
Das Trockengewicht spielt bei der geistigen Durchdringung dieses
Paradebeispiels der Prozentrechnung eine durchaus nicht uner-
hebliche Rolle. Eine charakteristische Eigenschaft des Trocken-
gewichts ist aber gerade die, dass es sich bei Austrocknung nicht
verändert (sozusagen eine Austrocknungsinvariante darstellt).
Mit "Gewicht" war ganz einfach das Gewicht gemeint.
Tröste Dich, ich habe vor einigen Jahren auch nicht schlecht
gestaunt, als ich die Aufgabe vorgesetzt bekam. Darum habe ich sie
mir ja auch so gut gemerkt (in meinem Fall war von Erdbeeren die
Rede, es war also nicht gar so brutal abstrakt wie oben), und so
konnte ich mit ihr auch vorgestern einen Bio-/Chemie-Lehrer ver-
blüffen.
Es gibt auch, wie mir heute früh einfiel, eine gute Anwendung auf
unsere dsm-Threads: wenn der Unsinnsgehalt von 99 Prozent auf
98 Prozent sinkt, werden gewisse Threads nur noch halb so lang.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Rainer Rosenthal
gesetzt. Es gibt dabei für die Anzahlen n=1 bis n=6 alle möglichen Formen.
Ich zeige hier die ersten Formen für n=1 bis 4, wobei zu sehen ist, dass es
erst ab n=4 wesentlich verschiedene Formen gibt, also solche, die nicht durch
Drehen, Schieben oder Umklappen ineinander überführt werden können:
:
: . . - . . - .
: / \ / \ / / \ / \
: . - . . - . . - . - .
: _____________________________________________________________
: n=1 einmal n=2 einmal n=3 einmal
: vorhanden vorhanden vorhanden
:
:
: . . - .
: / \ / \ / \
: . - . . - . - . . - . - .
: / \ / \ / \ / \ / \ /
: . - . - . . - . - . .
: ______________________________________________________________
: n=4 mit 3 verschiedenen Formen
:
:____________________________________________________________________________
:
: Figur 1 - Alle Dreiecks-Polynomios mit bis zu 4 Elementen
:
Die Formenanzahlen zu n=1,2,3,4,5,6 sind: a=1,1,1,3,4,12.
Beim Spielen fingen wir an zu überlegen, wie stark die Formenanzahl mit
wachsendem n wohl wächst. Von Hand liess sich das aber nicht mehr
realisieren, und so habe ich mir eine hübsche Programmierübung
in Maple daraus gemacht. Damit kam ich dann auf die Fortsetzung der
Anzahlen(*) bis n=10: a=1,1,1,3,4,12,27,82,228,733 und Pi-mal-Daumen
deutete das auf einen Wachstumsfaktor in der Nähe von 3.7 hin.
Was sagt die Intuition?
***
Soweit war das Thema von mir an anderer Stelle vorgestellt worden, wo
es aber nicht sinnvoll weiter diskutiert werden kann. Die Antwort von
Martin Vaeth, für die ich ihm schon mal danke, möchte ich darum hierher
setzen:
.
Martin Vaeth schrieb:
>
> Du hast speziell nach Intuition gefragt, also gebe ich mal meine
> (bewusst ohne ernsthaftes mathematisches Überlegen):
> Pi mal Daumen deutet schon die Problemstellung für mich
> darauf hin - rein nach Bauchgefühl - dass sich die Symmetrien
> bei kleinem n sehr viel stärker bemerkbar machen als bei großem
> und sich daher erst für sehr große n das Wachstumsverhalten auch numerisch
> wiederspiegelt. Das ist vermutlich ähnlich wie bei den Bernoulli-Zahlen,
> die am Anfang auch sehr unregelmäßig sind, dann aber irgendwann
> doch sehr schnell wachsen (was ihrem asymptotischen Verhalten entspricht).
> Vermutlich handelt es sich asymptotisch auch nicht um einen "Wachstumsfaktor"
> (also exponentielles Wachstum) sondern eher um ein Wachstum wie n!/x^n
> (der Zähler für die "Kombinationen", der Nenner für die Symmetrien).
> Da die kleinsten Symmetriegruppen schon nicht allzu klein ist
> (Drittel-Drehungen und Spiegelungen sind sicher dabei - also sicher
> mindestens 6 Elemente), ist vermutlich auch x nicht allzu klein, so
> dass die "Numerik" bis n=10 vermutlich noch wenig aussagt.
> Aber wie gesagt: Reines Bauchgefühl...
(*) Meine Rechnung war, wie ich inzwischen feststellen musste, zwar ganz
pfiffig angefangen worden, aber die Grundidee muss noch mit einer Bedingung
ergänzt werden, wodurch die Zahlen ab n=7 nicht gar so gross sind.
Meine oben genannten Zahlen führten zur OEIS-Folge
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000207
Wenn ich jetzt gleich darangehe, die entsprechende Zusatzbedingung in mein
Maple-Programm einzubauen (um Figuren-Überlappungen zu vermeiden), erhoffe
ich mir anschliessend die gewünschte Folge reproduzieren zu können, also
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A070765
(Der daraus ablesbare Wachstumsfaktor scheint mir stramm gegen 3 zu marschieren!)
Das OEIS war mal wieder ein Quell der Freude für mich, weil ich in der
Fangemeinde (Mailingliste SeqFan) des OEIS einen Fehler in Folge A000207
melden konnte (das Maple-Programm dort funktionierte nicht) und sofort
Reparaturen vorgeschlagen wurden (die beste von Peter Luschny wird dort
bald erscheinen) und - noch schöner: weil mich die Leute darauf hinwiesen,
dass ich ein wenig auf dem Holzweg war mit Folge A000207. Der Autor der
relevanten Folge A070765, Joseph Myers, hat sich sogar in die Diskussion
eingeschaltet. Ich habe ihn bereits fragen können, wie um Himmels willen
man die absurde Zahl von 49302121747 möglichen Formen für Blokus-Spielsteine
aus 28 Dreiecken berechnet hat, und ob man den Sport noch weiter zu treiben
gedenkt.
Mein Ansatz zur Aufzählung der Formen gefällt mir sehr gut, und jetzt werde
ich ja bald sehen, ob meine Reparatur funktioniert.
Albrecht
Rainer Rosenthal schrieb:
> Albrecht schrieb:
> >
> > Norbert Marrek schrieb:
>
> >> Die Intuition sagt mir, dass es nur ein unwesentlicher Verlust ist, wenn
> >> der Wassergehalt einer Frucht von 99% durch Austrocknung auf 98% fï¿œllt.
> >>
> >> Real gehen mir aber 50% des Gewichts verlustig.
> >>
> >>
> >
> > Na, na, na. Von welchem Gewicht den? Vom Trockengewicht?
> >
>
> Das Trockengewicht spielt bei der geistigen Durchdringung dieses
> Paradebeispiels der Prozentrechnung eine durchaus nicht uner-
> hebliche Rolle. Eine charakteristische Eigenschaft des Trocken-
> gewichts ist aber gerade die, dass es sich bei Austrocknung nicht
> verï¿œndert (sozusagen eine Austrocknungsinvariante darstellt).
Gemeint war: Bezogen auf welches Gewicht? (Prozentangaben beziehen
sich ja wohl immer auf etwas, oder?)
Wenn der "Wassergehalt" eines Behaeltnisses, sagen wir mit 100 mL
Volumen, von 99% auf 98% faellt, so geht exakt 1 mL Wasser verlustig.
Bei annaehernd vernachlaessigbarem Gefaessgewicht gehen mir etwa 1%
des Gewichtes verlustig.
Also rueckt einfach mit der Definition des Wassergehalts raus anstatt
so ein riessen Gewaess um diese mickrige Sache zu machen.
Gruss
AS
>
> Mit "Gewicht" war ganz einfach das Gewicht gemeint.
>
> Trï¿œste Dich, ich habe vor einigen Jahren auch nicht schlecht
> gestaunt, als ich die Aufgabe vorgesetzt bekam. Darum habe ich sie
> mir ja auch so gut gemerkt (in meinem Fall war von Erdbeeren die
> Rede, es war also nicht gar so brutal abstrakt wie oben), und so
> konnte ich mit ihr auch vorgestern einen Bio-/Chemie-Lehrer ver-
> blï¿œffen.
>
> Es gibt auch, wie mir heute frï¿œh einfiel, eine gute Anwendung auf
> unsere dsm-Threads: wenn der Unsinnsgehalt von 99 Prozent auf
> 98 Prozent sinkt, werden gewisse Threads nur noch halb so lang.
>
> Gruss,
> Rainer Rosenthal
> r.ros...@web.de
Viel interessanter scheint mir die Diskussion der ignorierten Teile
meines Beitrags:
Rainer Rosenthal
>>> Norbert Marrek schrieb:
>>>> ... der Wassergehalt einer Frucht von 99% ... auf 98% faellt.
>>>>
>>>> Real gehen mir aber 50% des Gewichts verlustig.
>>>>
>>>>
>>> Na, na, na. Von welchem Gewicht den? Vom Trockengewicht?
>>>
>
> Gemeint war: Bezogen auf welches Gewicht? (Prozentangaben beziehen
> sich ja wohl immer auf etwas, oder?)
>
Mit Gewicht war das Gewicht gemeint. Dein Vorschlag mit dem Trockengewicht
war eine alberne Variante. Es ist wie beim Diagonalbeweis: Du suchst nach
Problemen, wo keine sind.
A propos: wie weit sind Deine neuerlichen Widerlegungsversuche gediehen?
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Stefan Kirchner
> Rainer Rosenthal schrieb:
> > Albrecht schrieb:
> > >
> > > Norbert Marrek schrieb:
> >
> > >> Die Intuition sagt mir, dass es nur ein unwesentlicher Verlust ist, wenn
> > >> der Wassergehalt einer Frucht von 99% durch Austrocknung auf 98% fï¿oellt.
> > >>
> > >> Real gehen mir aber 50% des Gewichts verlustig.
> > >
> > > Na, na, na. Von welchem Gewicht den? Vom Trockengewicht?
> >
> > Das Trockengewicht spielt bei der geistigen Durchdringung dieses
> > Paradebeispiels der Prozentrechnung eine durchaus nicht uner-
> > hebliche Rolle. Eine charakteristische Eigenschaft des Trocken-
> > gewichts ist aber gerade die, dass es sich bei Austrocknung nicht
> > verï¿oendert (sozusagen eine Austrocknungsinvariante darstellt).
>
> Gemeint war: Bezogen auf welches Gewicht? (Prozentangaben beziehen
> sich ja wohl immer auf etwas, oder?)
Vom Gesamtgewicht, das sich aus dem Wasser- und Nichtwasseranteil
zusammensetzt. 99% des Gewichts der Frucht (ich kenne es mit einer
Weintraube) ist Wasser, 1% Nichtwasser. Wieviel die Frucht nun genau
wiegt, ist egal; es geht ja um Verhältnisse.
> Wenn der "Wassergehalt" eines Behaeltnisses, sagen wir mit 100 mL
> Volumen, von 99% auf 98% faellt, so geht exakt 1 mL Wasser verlustig.
> Bei annaehernd vernachlaessigbarem Gefaessgewicht gehen mir etwa 1%
> des Gewichtes verlustig.
Intuition oder Mathematik?
Angenommen es geht ein 1mL Wasser verloren, also hat man
1ml Nichtwasser 98 ml Wasser
(Jetzt beträgt der Wasseranteil natürlich nicht 98%, das wäre z.B. bei
2ml Nichtwasser 98 ml Wasser oder
1ml Nichtwasser 49 ml Wasser der Fall
)
Um die Prozentangabe zu erhalten, müssen sich die beiden Werte auf 100
addieren, Dreisatz macht es möglich
1 * 100/99 98 * 100/99 = 98,p98
Der Wasseranteil ist also gerade mal auf 98,p98% gesunken, beträgt also
fast immer noch 99% und ist weit entfernt von Deinen postulierten 98%.
> Also rueckt einfach mit der Definition des Wassergehalts raus anstatt
> so ein riessen Gewaess um diese mickrige Sache zu machen.
Alle notwendigen Angaben stehen da, sogar die Lösung.
Stefan
(in der Hoffnung, dass sich jetzt kein über Jahre andauernder
Monsterthread mit "Erfinder der Prozentrechung hat sich geirrt"
losgetreten wird.)
Albrecht
Stefan Kirchner schrieb:
> On Mon, 20 Apr 2009, Albrecht wrote:
>
> > Rainer Rosenthal schrieb:
> > > Albrecht schrieb:
> > > >
> > > > Norbert Marrek schrieb:
> > >
> > > >> Die Intuition sagt mir, dass es nur ein unwesentlicher Verlust ist, wenn
> > > >> der Wassergehalt einer Frucht von 99% durch Austrocknung auf 98% fï¿oellt.
> > > >>
> > > >> Real gehen mir aber 50% des Gewichts verlustig.
> > > >
> > > > Na, na, na. Von welchem Gewicht den? Vom Trockengewicht?
> > >
> > > Das Trockengewicht spielt bei der geistigen Durchdringung dieses
> > > Paradebeispiels der Prozentrechnung eine durchaus nicht uner-
> > > hebliche Rolle. Eine charakteristische Eigenschaft des Trocken-
> > > gewichts ist aber gerade die, dass es sich bei Austrocknung nicht
> > > verï¿oendert (sozusagen eine Austrocknungsinvariante darstellt).
> >
> > Gemeint war: Bezogen auf welches Gewicht? (Prozentangaben beziehen
> > sich ja wohl immer auf etwas, oder?)
>
> Vom Gesamtgewicht, das sich aus dem Wasser- und Nichtwasseranteil
> zusammensetzt. 99% des Gewichts der Frucht (ich kenne es mit einer
> Weintraube) ist Wasser, 1% Nichtwasser. Wieviel die Frucht nun genau
> wiegt, ist egal; es geht ja um Verhältnisse.
>
> > Wenn der "Wassergehalt" eines Behaeltnisses, sagen wir mit 100 mL
> > Volumen, von 99% auf 98% faellt, so geht exakt 1 mL Wasser verlustig.
> > Bei annaehernd vernachlaessigbarem Gefaessgewicht gehen mir etwa 1%
> > des Gewichtes verlustig.
>
> Intuition oder Mathematik?
Ich wuerde es vorsichtig "Rechnen" nennen. Der Begriff "Mathematik"
ist, intuitiv gesehen, etwas zu gross fuer dieses Thema.
Aber, auf die Gefahr hin, mich zu wiederholen: Das ist alles gut und
schoen, und vielleicht findet manch einer das vorgefuehrte Ergebnis
tatsaechlich erstaunlich und unintuitiv. Ich finde einfach, dass es
nicht weiter der Rede wert ist.
Es soll Leute geben die es intuitiv finden, dass 100% der reellen
Zahlen durch Zahlen repraesentiert werden, die wir nicht angeben,
nicht bennenen, nicht berechnen koennen, ja, auf die wir nicht einmal
zeigen koennen.
Andererseits spielt sich z.B. das obig vorgefuehrte Rechnen auf genau
den 0% der reellen Zahlen ab - naemlich eben jene reellen Zahlen die
fuer uns zugaenglich sind.
Darauf eine Weintraube mit 97% Feuchte.
Gruss
Albrecht
Ulrich Lange
>
>> Ich akzeptiere üblicherweise alles, was ich beweisen kann. In diesem
>> Fall stimmt es sogar mit meiner Intuition überein, auch wenn das nun
>> wahrlich kein Kriterium für Wahrheit sein kann.
>
> Nenne mir bitte eine mathematische Tatsache (außerhalb der Lehre von
> den unendlichen Mengen), die nicht mit der Intuition übereinstimmt.
Warum nur eine? Das wird (mindestens) mal wieder eine Top-Ten-Liste.
Ohne lange nachzudenken, sind mir schon mal vier(-einhalb) eingefallen:
Geometrie:
Das euklidische Parallelenpostulat ist unabhängig von den den Axiomen
der absoluten Geometrie, obwohl die Mathematiker über 2000 Jahre lang
"intuitiv" sicher waren, dass dies nicht der Fall sein könne.
Stochastik:
Das Geburtstagsparadoxon, sowie unzählige ähnlich unintuitive
elementar(!)-stochastische Aussagen
http://de.wikipedia.org/wiki/Geburtstagsparadoxon
Spieltheorie:
Das Braess-Paradox: Die Erweiterung der Kapazität eines endlichen(!)
(Straßen-)Netzwerks kann auch bei gleichbleibendem Verkehrsaufkommens
ggf. dazu führen, daß sich für alle Fahrer die Fahrzeit verlängert.
http://de.wikipedia.org/wiki/Braess-Paradox
Nochmal Spieltheorie:
Die Paradoxien von Wahlverfahren (letzten Sommer hatten wir hier in dsm
eine IMHO interessante Diskussion dazu). Ein Beipiel ist das
Condorcet-Paradoxon: Das Abstimmungsergebnis einer Gruppe kann zyklisch
(d.h. nicht transitiv) sein, obwohl alle individuellen Präferenzen
transitiv sind: http://de.wikipedia.org/wiki/Condorcet-Paradoxon
Mathematische Physik:
Das Stokessche Paradoxon. Die Stokes-Gleichungen für die viskose
Umströmung einer Kugel sind lösbar. Für das (vermeintlich leichtere)
Problem der Umströmung eines Zylinders sind sie allerdings *nicht*
lösbar (siehe z.B.: Van Dyke, M.: Perturbaton Methods in Fluid
Mechanics, Academic Press 1964.)
Das Stokes-Paradoxon läuft ausser Konkurrenz, da hier das Unendliche
*doch* eine gewisse Rolle spielt. Ich finde trotzdem, daß es hier in die
Diskussion paßt, weil gerade die Auflösung des Paradoxons durch die
Methode der angepaßten asymptotischen Entwicklungen ein schönes Beipiel
dafür ist, daß auch "for practical purposes" ein intuitiver Umgang mit
Unendlichkeiten in die Sackgasse führen kann, der angemessene Umgang mit
Unendlichkeiten aber nicht. ;-)
--
Gruß, Ulrich Lange
(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)
WM
> .
Hallo Rainer,
die Intuition sagt mir jedenfalls nicht, dass Dein Ergebnis falsch
ist. Damit ist es sicher nicht bewiesen, aber möglich, jedenfalls ist
es nicht kontraintuitiv.
Gruß, WM
WM
> > Nenne mir bitte eine mathematische Tatsache (außerhalb der Lehre von
> > den unendlichen Mengen), die nicht mit der Intuition übereinstimmt.
>
> Warum nur eine? Das wird (mindestens) mal wieder eine Top-Ten-Liste.
> Ohne lange nachzudenken, sind mir schon mal vier(-einhalb) eingefallen:
>
> Geometrie:
> Das euklidische Parallelenpostulat ist unabhängig von den den Axiomen
> der absoluten Geometrie, obwohl die Mathematiker über 2000 Jahre lang
> "intuitiv" sicher waren, dass dies nicht der Fall sein könne.
Es gilt in jedem Euklidischen Raum. (Der Wunsch nach Beweis aus den
anderen Axiomen war nicht durch Intuition begründet sondern durch die
komplizierte Formulierung des Axioms.)
>
Auch Deine übrigen "Paradoxa" kann man so verständlich machen und
durchdringen, dass sie nicht mehr gegen die Intuition verstoßen. Wie
der erste Beitrag zeigt, ist dies bei den Argumenten zum binären Baum
nicht möglich. Alle von mir bisher gesammelten Kontra-Argumente sind
im Wesentlichen lächerlich und erklären nichts, was kein Wunder ist,
wenn nichts zu erklären ist.
Gruß, WM
Ulrich Lange
> On 20 Apr., 15:02, Ulrich Lange <ulrich.la...@invalid.invalid> wrote:
>
>>> Nenne mir bitte eine mathematische Tatsache (außerhalb der Lehre von
>>> den unendlichen Mengen), die nicht mit der Intuition übereinstimmt.
>> Warum nur eine? Das wird (mindestens) mal wieder eine Top-Ten-Liste.
>> Ohne lange nachzudenken, sind mir schon mal vier(-einhalb) eingefallen:
>>
>> Geometrie:
>> Das euklidische Parallelenpostulat ist unabhängig von den den Axiomen
>> der absoluten Geometrie, obwohl die Mathematiker über 2000 Jahre lang
>> "intuitiv" sicher waren, dass dies nicht der Fall sein könne.
>
> Es gilt in jedem Euklidischen Raum. (Der Wunsch nach Beweis aus den
> anderen Axiomen war nicht durch Intuition begründet sondern durch die
> komplizierte Formulierung des Axioms.)
Da war vielleicht bei vielen die Motivation für die Beweisversuche.
Das ein solcher Beweis möglich sein müsse, wurde aber lange Zeit von
niemanden in Frage gestellt.
Meines Wissens war der ältere Bolyai der Erste, der sich (nach vielen
eigenen, vergeblichen Beweisversuchen) damit begnügte, elegantere
Formulierungen des 5.Axioms zu finden.
> Auch Deine übrigen "Paradoxa" kann man so verständlich machen und
> durchdringen, dass sie nicht mehr gegen die Intuition verstoßen.
Umgekehrt wird ein Schuh draus: Die (mathematische) Durchdringung der
"Paradoxa" bedingt auch eine *Schulung der Intuition*. Wenn ich als Kind
nach 12mal würfeln immer noch keine Sechs hatte, habe ich auch mit den
Füßen aufgestampft, die Fairness des Würfels angezweifelt, meine
Mitspieler des Mogelns verdächtigt, etc. Andere Erklärungen konnte es
doch gar nicht geben! Nachdem ich mich mit elementarer Stochastik
beschäftigt habe, bin ich beim "Mensch-ärgere-dich-nicht" doch viel
ruhiger geworden. :-)
Mit anderen Worten: Ob etwas "intuitiv einsichtig" ist oder nicht, hängt
halt individuell von der Durchdringung des jeweiligen Themengebiets ab.
Das gilt aber auch für den Umgang mit unendlichen Mengen: Auch hier läßt
sich die Intuition schulen, wenn man die Phase des Fußaufstampfens mal
hinter sich gelassen hat. :-)
Bobo
> WM schrieb:
>> On 19 Apr., 17:42, Christopher Creutzig <christop...@creutzig.de>
>>
>> [...Der Frühling ist da. Die Bäume schlagen wieder aus...]
>>
>>> Ich akzeptiere üblicherweise alles, was ich beweisen kann. In diesem
>>> Fall stimmt es sogar mit meiner Intuition überein, auch wenn das nun
>>> wahrlich kein Kriterium für Wahrheit sein kann.
>>
>> Nenne mir bitte eine mathematische Tatsache (außerhalb der Lehre von
>> den unendlichen Mengen), die nicht mit der Intuition übereinstimmt.
>
> Warum nur eine? Das wird (mindestens) mal wieder eine Top-Ten-Liste.
> Ohne lange nachzudenken, sind mir schon mal vier(-einhalb) eingefallen:
Möglicherweise ist es müßig darüber zu sprechen, was in der Mathematik
intuitiv sei und was nicht; mit dem Sprachverständnis (der
mathematischen Sprache) und dem Wissen, welches sich anhäuft, verändert
sich auch die Intuition; manches wird sozusagen fast selbstverständlich.
Ich hoffe, Du verstehst, was ich meine.
Bobo
Bobo
> WM schrieb:
>> On 19 Apr., 17:42, Christopher Creutzig <christop...@creutzig.de>
>>
>> [...Der Frühling ist da. Die Bäume schlagen wieder aus...]
>>
>>> Ich akzeptiere üblicherweise alles, was ich beweisen kann. In diesem
>>> Fall stimmt es sogar mit meiner Intuition überein, auch wenn das nun
>>> wahrlich kein Kriterium für Wahrheit sein kann.
>>
>> Nenne mir bitte eine mathematische Tatsache (außerhalb der Lehre von
>> den unendlichen Mengen), die nicht mit der Intuition übereinstimmt.
>
> Warum nur eine? Das wird (mindestens) mal wieder eine Top-Ten-Liste.
> Ohne lange nachzudenken, sind mir schon mal vier(-einhalb) eingefallen:
Möglicherweise ist es müßig darüber zu sprechen, was in der Mathematik
intuitiv sei und was nicht; mit dem Sprachverständnis (der
mathematischen Sprache) und dem Wissen, welches sich anhäuft, verändert
sich auch die Intuition; manches, was vor "Urzeiten" nicht intuitiv war,
wird sozusagen mit fortschreitendem Wissen fast selbstverständlich. Ich
Bobo
Nachtrag: Ich glaube, auch zum Beweis des Banach-Tarski-Paradoxons
gehört eine gewisse Intuition - eine mathematische Intuition, eine Idee
-, die eben nicht von ungefähr kommt, sondern an ein mathematisches
Wissen gebunden ist.
Bobo
Ulrich Lange
> Bobo <nom...@nomail.invalid> wrote:
>> Ulrich Lange <ulrich...@invalid.invalid> wrote:
>>> WM schrieb:
>>>> On 19 Apr., 17:42, Christopher Creutzig <christop...@creutzig.de>
>>>>
>>>> [...Der Frühling ist da. Die Bäume schlagen wieder aus...]
>>>>
>>>>> Ich akzeptiere üblicherweise alles, was ich beweisen kann. In diesem
>>>>> Fall stimmt es sogar mit meiner Intuition überein, auch wenn das nun
>>>>> wahrlich kein Kriterium für Wahrheit sein kann.
>>>> Nenne mir bitte eine mathematische Tatsache (außerhalb der Lehre von
>>>> den unendlichen Mengen), die nicht mit der Intuition übereinstimmt.
>>> Warum nur eine? Das wird (mindestens) mal wieder eine Top-Ten-Liste.
>>> Ohne lange nachzudenken, sind mir schon mal vier(-einhalb) eingefallen:
>>
>> Möglicherweise ist es müßig darüber zu sprechen, was in der Mathematik
>> intuitiv sei und was nicht; mit dem Sprachverständnis (der
>> mathematischen Sprache) und dem Wissen, welches sich anhäuft, verändert
>> sich auch die Intuition; manches, was vor "Urzeiten" nicht intuitiv war,
>> wird sozusagen mit fortschreitendem Wissen fast selbstverständlich. Ich
>> hoffe, Du verstehst, was ich meine.
Hallo Bobo,
ich denke, ich verstehe was Du meinst und sehe das genauso. Meine
Antwort auf WM's Reaktion auf meine Liste geht IMHO in eine ähnliche
Richtung. WM ist mir ja auch brav in die Falle getappt mit seinem
Einwand, "meine" Paradoxa wären gar nicht mehr unintuitiv, wenn man sich
erstmal näher mit ihnen beschäftigt hat. ;-)
> Nachtrag: Ich glaube, auch zum Beweis des Banach-Tarski-Paradoxons
> gehört eine gewisse Intuition - eine mathematische Intuition, eine Idee
> -, die eben nicht von ungefähr kommt, sondern an ein mathematisches
> Wissen gebunden ist.
Ja. Es gibt natürlich auch sowas wie innermathematische Intuition. Ich
fürchte, WM würde die aber eher als "dogmatische Verblendung" oder so
ähnlich bezeichnen.
Christopher Creutzig
> On 20 Apr., 15:02, Ulrich Lange <ulrich.la...@invalid.invalid> wrote:
>
>> Geometrie:
>> Das euklidische Parallelenpostulat ist unabhängig von den den Axiomen
>> der absoluten Geometrie, obwohl die Mathematiker über 2000 Jahre lang
>> "intuitiv" sicher waren, dass dies nicht der Fall sein könne.
>
> Es gilt in jedem Euklidischen Raum. (Der Wunsch nach Beweis aus den
> anderen Axiomen war nicht durch Intuition begründet sondern durch die
> komplizierte Formulierung des Axioms.)
Stimmt, die ursprüngliche Formulierung war ziemlich missglückt. Aber
dass aus den ersten vier Axiomen zwar unglaublich viel Geometrie folgt,
aber nicht das fünfte: „Es gibt ein Rechteck“, ist irgendwie schon
verblüffend.
> Auch Deine übrigen "Paradoxa" kann man so verständlich machen und
> durchdringen, dass sie nicht mehr gegen die Intuition verstoßen. Wie
Ja? Mach mal.
Rainer Rosenthal
>
> Ich wuerde es vorsichtig "Rechnen" nennen. Der Begriff "Mathematik"
> ist, intuitiv gesehen, etwas zu gross fuer dieses Thema.
> Aber, auf die Gefahr hin, mich zu wiederholen: Das ist alles gut und
> schoen, und vielleicht findet manch einer das vorgefuehrte Ergebnis
> tatsaechlich erstaunlich und unintuitiv. Ich finde einfach, dass es
> nicht weiter der Rede wert ist.
>>> Also rueckt einfach mit der Definition des Wassergehalts raus anstatt
>>> so ein riessen Gewaess um diese mickrige Sache zu machen.
^^^^^^^^^^^^^^
Schau mal Spuch Nummer 1 hier an:
http://www-user.tu-chemnitz.de/~klm/sprueche.htm
Gruss,
Rainer
--
Mangel an Beweisen wirkt in der Mathematik nicht strafmildernd.
Herbert Newman
WM schrieb:
"Nenne mir bitte eine mathematische Tatsache (außerhalb der Lehre von den
unendlichen Mengen), die nicht mit der Intuition übereinstimmt."
> Hallo Wolfgang,
> mir ist gerade heute eine solche über den Weg gelaufen [...].
Ich finde, man könnte hier auch _das Ziegenproblem_ (Drei-Türen-Problem,
Monty-Hall-Problem, Monty-Hall-Dilemma) nennen.
Zitat: "Das Ziegenproblem [...] ist eine Problemstellung aus der
Wahrscheinlichkeitstheorie. Es wird oft als Beispiel dafür herangezogen,
dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das
Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht."
Quelle:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem
Gerade die Wahrscheinlichkeitstheorie bietet eine Vielzahl an Beispielen,
wo die gewöhnliche "Intuition" kläglich versagt. (Für mich ist Mückenheims
obige Äußerung wieder mal ein Beleg dafür, dass er von Mathematik ungefähr
so viel versteht, wie ein Fisch vom Fahradfahren.)
Hier noch ein Beispiel - _das Geburtstagsparadoxon_:
Zitat: "Das Geburtstagsparadoxon, manchmal auch als Geburtstagsproblem
bezeichnet, ist ein Beispiel dafür, dass bestimmte Wahrscheinlichkeiten
(und auch Zufälle) intuitiv häufig falsch abgeschätzt werden."
Na, passt das nicht wie die Faust aufs Auge - als Antwort auf WMs (wie
üblich) schwachsinnigen Einwand? :-)
Quelle:
http://de.wikipedia.org/wiki/Geburtstagsparadoxon
Gruß,
Herbert
Herbert Newman
WM schrieb:
"Nenne mir bitte eine mathematische Tatsache (außerhalb der Lehre von den
unendlichen Mengen), die nicht mit der Intuition übereinstimmt."
> Geometrie: [...]
Wie wär's dann damit, dass Geometrien "denkmöglich" sind, in denen es durch
einen Punkt, der nicht auf einer best. Geraden g liegt, mehrere (oder auch
keine) Parallele zu g gibt. Ich finde nicht, dass diese _mathematische
Tatsache_ sonderlich "intuitiv" ist. :-)
Aber unser GRÖMAZ (Größter Mathematiker aller Zeiten) wird da vermutlich
wieder anderer Meinung sein...
MfG,
Herbert
Herbert Newman
WM schrieb:
"Auch Deine übrigen "Paradoxa" kann man so verständlich machen und
durchdringen, dass sie nicht mehr gegen die Intuition verstoßen."
> Umgekehrt wird ein Schuh draus: Die (mathematische) Durchdringung der
> "Paradoxa" bedingt auch eine *Schulung der Intuition*. [...]
>
> Mit anderen Worten: Ob etwas "intuitiv einsichtig" ist oder nicht, hängt
> halt individuell von der Durchdringung des jeweiligen Themengebiets ab.
> Das gilt aber auch für den Umgang mit unendlichen Mengen: Auch hier läßt
> sich die Intuition schulen [...] :-)
Genau so ist es! Auch der Philosoph Peter Suber sieht das (genau) so. Hier
die Conclusion seines Aufsatzes "Infinite Reflections":
Conclusion
Properly understood, the idea of a completed infinity is no longer a
problem in mathematics or philosophy. It is perfectly intelligible and
coherent. Perhaps it cannot be imagined but it can be conceived; it is not
reserved for infinite omniscience, but knowable by finite humanity; it may
contradict intuition, but it does not contradict itself. To conceive it
adequately we need not enumerate or visualize infinitely many objects, but
merely understand self-nesting. We have an actual, positive idea of it, or
at least with training we can have one; we are not limited to the idea of
finitude and its negation. In fact, it is at least as plausible to think
that we understand finitude as the negation of infinitude as the other way
around. The world of the infinite is not barred to exploration by the
equivalent of sea monsters and tempests; it is barred by the equivalent of
motion sickness. The world of the infinite is already open for exploration,
but to embark we must unlearn our finitistic intuitions which instill fear
and confusion by making some consistent and demonstrable results about the
infinite literally counter-intuitive. Exploration itself will create an
alternative set of intuitions [...].
Source:
http://www.earlham.edu/~peters/writing/infinity.htm
Eine bemerkenswerte Übereinstimmung, finde ich:
P. Suber: "Exploration itself will create an alternative set of
intuitions..."
U. Lange: "Durchdringung der "Paradoxa" bedingt auch eine *Schulung der
Intuition*."
Herbert
Herbert Newman
> [...] WM ist mir ja auch brav in die Falle getappt mit seinem
> Einwand, "meine" Paradoxa wären gar nicht mehr unintuitiv, wenn
> man sich erstmal näher mit ihnen beschäftigt hat. ;-)
In der Tat. Denn für den Umgang mit dem Unendlichen (unendlichen Mengen)
gilt das gleichermaßen:
"The world of the infinite is already open for exploration, but to embark
we must unlearn our finitistic intuitions which instill fear and confusion
by making some consistent and demonstrable results about the infinite
literally counter-intuitive. Exploration itself will create an alternative
set of intuitions [...]."
(Peter Suber, Infinite Reflections)
Herbert
Rainer Willis
[...]
> Hier noch ein Beispiel - _das Geburtstagsparadoxon_:
>
> Zitat: "Das Geburtstagsparadoxon, manchmal auch als Geburtstagsproblem
> bezeichnet, ist ein Beispiel dafür, dass bestimmte Wahrscheinlichkeiten
> (und auch Zufälle) intuitiv häufig falsch abgeschätzt werden."
>
> Na, passt das nicht wie die Faust aufs Auge - als Antwort auf WMs (wie
> üblich) schwachsinnigen Einwand? :-)
>
> Quelle:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Geburtstagsparadoxon
Soweit muss man nicht mal gehen: leider hab ich den Artikel nicht mehr,
er war vor 25 Jahren im "Journal of Mathematical Psychology" erschienen
und es ging darum, dass die Entwicklung von Exponentialfunktionen
grundsätzlich unterschätzt wird.
Versuchsaufbau: eine Basis und ein Exponent wurden vorgegeben und das
ungefähre Resultat sollte unter Zeitbegrenzung notiert werden.
Ergebnis: praktisch alle Versuchspersonen (und das waren u.a.
Mathematiker und Physiker) kamen auf einen zu niedrigen Wert.
Also nix mit Intuition.
Gruß Rainer
Herbert Newman
WM: "Nenne mir bitte eine mathematische Tatsache (außerhalb der Lehre von
den unendlichen Mengen), die nicht mit der Intuition übereinstimmt."
> Warum nur eine? Das wird (mindestens) mal wieder eine Top-Ten-Liste.
> Ohne lange nachzudenken, sind mir schon mal vier(-einhalb) eingefallen:
>
> [...]
Ich hätte da auch noch eine ganz trivial Beobachtung. Bekanntlich
konvergiert die Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + ..., aber die harmonische
Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + ... konvergiert nicht. Obwohl die ersten paar
Partialsummen nicht gerade so aussehen, als ob die Folge dieser
Partialsummen "über alle Schranken" wachsen würde:
n = 10, Summe = 2,93
n = 20, Summe = 3,60
n = 30, Summe = 4,00
:
n = 100, Summe = 5,19
:
Damit die Summe > 20 wird, braucht es mehr als 100000000 Terme!
Ich bin mir nun nicht ganz sicher, ob ein Schüler/Laie, der nicht mit der
"höheren Mathematik" (Analysis) vertraut ist, intuitiv annehmen würde, dass
die harmonische Reihe
1 + 0,5 + 0,333... + 0,25 + ...
divergiert. Insbesondere wenn man ihn zuvor mit dem Umstand vertraut macht,
dass z. B. die Reihe
1 + 0,5 + 0,25 + ...
konvergiert und die Summe 2 hat (und ihn mit dem Taschenrechner die ersten
paar Partialsummen der harmonischen Reihe ausrechnen ließe).
Herbert
P.S. Wäre an Mückenheims hirnrissige Äußerung etwas dran, dann könnte man
in der Mathematik ja auf Beweise verzichten, und diese durch _Intuition_
ersetzen - das scheint auch die Art und Weise zu sein, in der Herr
Professor Mückenheim "Mathematik" betreibt. (Bekanntlich werden manche
mathematischen _Vermutungen_ aber nicht nur nicht bewiesen, sondern sogar
widerlegt.)
Ulrich Lange
> Am Mon, 20 Apr 2009 15:02:41 +0200 schrieb Ulrich Lange:
>
> WM: "Nenne mir bitte eine mathematische Tatsache (außerhalb der Lehre von
> den unendlichen Mengen), die nicht mit der Intuition übereinstimmt."
>
>> Warum nur eine? Das wird (mindestens) mal wieder eine Top-Ten-Liste.
>> Ohne lange nachzudenken, sind mir schon mal vier(-einhalb) eingefallen:
>>
>> [...]
>
> Ich hätte da auch noch eine ganz trivial Beobachtung. Bekanntlich
> konvergiert die Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + ..., aber die harmonische
> Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + ... konvergiert nicht. Obwohl die ersten paar
> Partialsummen nicht gerade so aussehen, als ob die Folge dieser
> Partialsummen "über alle Schranken" wachsen würde:
>
> Damit die Summe > 20 wird, braucht es mehr als 100000000 Terme!
Hallo Herbert,
zu diesem Thema hatten wir hier ja vor kurzem den Thread "Langsamste
Divergenz", wo sogar eine Reihe gefunden wurde, die langsamer als jeder
verschachtelte Logarithmus (also ln(ln(...(ln(n)...)) divergiert.
WM wird das Beispiel nicht gelten lassen (weil das Unendliche hier ja
eine wesentliche Rolle spielt), aber das ist ja auch wurscht: die vielen
endlichen Beispiele, die im hier gezeigt wurden, läßt er ja auch nicht
gelten ;-)
[...]
> P.S. Wäre an Mückenheims hirnrissige Äußerung etwas dran, dann könnte man
> in der Mathematik ja auf Beweise verzichten, und diese durch _Intuition_
> ersetzen - das scheint auch die Art und Weise zu sein, in der Herr
> Professor Mückenheim "Mathematik" betreibt. (Bekanntlich werden manche
> mathematischen _Vermutungen_ aber nicht nur nicht bewiesen, sondern sogar
> widerlegt.)
WM betreibt keine Mathematik, er redet bloß drüber.
Ulrich Lange
> Am Mon, 20 Apr 2009 16:24:46 +0200 schrieb Ulrich Lange:
>
> WM schrieb:
>
> "Auch Deine übrigen "Paradoxa" kann man so verständlich machen und
> durchdringen, dass sie nicht mehr gegen die Intuition verstoßen."
>
>> Umgekehrt wird ein Schuh draus: Die (mathematische) Durchdringung der
>> "Paradoxa" bedingt auch eine *Schulung der Intuition*. [...]
>>
>> Mit anderen Worten: Ob etwas "intuitiv einsichtig" ist oder nicht, hängt
>> halt individuell von der Durchdringung des jeweiligen Themengebiets ab.
>> Das gilt aber auch für den Umgang mit unendlichen Mengen: Auch hier läßt
>> sich die Intuition schulen [...] :-)
>
Ich glaube, das sieht jeder so, der mal ernsthaft Mathematik betrieben
hat: Für mich persönlich war es schon immer das Spannendste überhaupt an
Mathematik, dass sie Erkenntnisse ermöglicht, die ich "intuitiv" gar
nicht wahrhaben "wollte" (und zwar definitiv nicht nur, wenn es um
Unendlichkeiten ging, auch wenn Cantor diese Erfahrung in dem
Zusammenhang treffend formuliert hat: "Ich sehe es, aber ich glaube es
nicht").
Herbert Newman
>> Ich hätte da auch noch eine ganz trivial Beobachtung. Bekanntlich
>> konvergiert die Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + ..., aber die harmonische
>> Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + ... konvergiert nicht; obwohl die ersten paar
>> Partialsummen nicht gerade so aussehen, als ob die Folge dieser
>> Partialsummen "über alle Schranken" wachsen würde: [...]
>>
>> Damit die Summe > 20 wird, braucht es mehr als 100000000 Terme!
>>
> WM wird das Beispiel nicht gelten lassen (weil das Unendliche hier ja
> eine wesentliche Rolle spielt) [...].
Ha, darüber habe ich auch nachgedacht. In diesem Fall muss er es aber doch
gelten lassen, weil man hier mit dem potentiell Unendlichen auskommt! :-)
Denn auch die ""potentiell unendliche"" (endliche) Summe
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
"wächst über alle Grenzen", wenn ich nur n groß genug mache. :-)
Aber natürlich: "...das ist ja auch wurscht: die vielen endlichen
Beispiele, die im hier gezeigt wurden, läßt er ja auch nicht
gelten."
Eh.
Herbert
Herbert Newman
WM schrieb:
"Nenne mir bitte eine mathematische Tatsache (außerhalb der Lehre von den
unendlichen Mengen), die nicht mit der Intuition übereinstimmt."
> Warum nur eine? Das wird (mindestens) mal wieder eine Top-Ten-Liste.
> Ohne lange nachzudenken, sind mir schon mal vier(-einhalb) eingefallen:
>
> [...]
>
> Das Geburtstagsparadoxon, sowie unzählige ähnlich unintuitive
> elementar(!)-stochastische Aussagen.
> http://de.wikipedia.org/wiki/Geburtstagsparadoxon
Ha, das ist mir auch eingefallen. Das Beste an diesem Beispiel ist ja m. E.
der entsprechende Kommentar dazu in der Wikipedia:
| Das Geburtstagsparadoxon, manchmal auch als Geburtstagsproblem
| bezeichnet, ist ein Beispiel dafür, dass bestimmte Wahrscheinlichkeiten
| (und auch Zufälle) intuitiv häufig falsch abgeschätzt werden."
Passt doch als Antwort auf WMs Äußerung wie die Faust aufs Auge. :-)
Und -wie Du richtig anmerkst- gerade die Wahrscheinlichkeitstheorie bietet
eine Vielzahl an Beispielen, wo die gewöhnliche "Intuition" kläglich
versagt.
Ein anderes schönes Beispiel ist ja auch _das Ziegenproblem_
(Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem, Monty-Hall-Dilemma):
"Das Ziegenproblem [...] ist eine Problemstellung aus der Wahrscheinlich-
keitstheorie. Es wird oft als Beispiel dafür herangezogen, dass der
menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von
Wahrscheinlichkeiten geht."
Quelle:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem
Bemerkenswert ist m. E. auch, dass es sich bei all diesen Beispielen um
""kombinatorische"" Probleme handelt: die sich also auf lediglich endlich
viele Objekte beziehen (deren Anzahl zudem in obigen Beispielen noch
ziemlich gering ist).
Herbert
P.S. Aber vermutlich ist der Herr Professor Mückenheim als GRÖMAZ (Größter
Mathematiker aller Zeiten) mit seiner überragenden Intuition in der Lage,
all diese Probleme intuitiv korrekt zu "beurteilen".
Herbert Newman
> Möglicherweise ist es müßig darüber zu sprechen, was in der Mathematik
> intuitiv sei und was nicht; mit dem Sprachverständnis (der mathe-
> matischen Sprache) und dem Wissen, welches sich anhäuft, verändert
> sich auch die Intuition; manches, was vor "Urzeiten" nicht intuitiv war,
> wird sozusagen mit fortschreitendem Wissen fast selbstverständlich. Ich
> hoffe, Du verstehst, was ich meine.
Ja, Bobo, das ist gut verständlich. Ich schließe mich da Ulrich Langes
Meinung an, dass "das jeder so sieht, der mal ernsthaft Mathematik be-
trieben hat".
Gruß,
Herbert
WM
CONTRA-Argument, ergänzt am 21. 4. 2009.
(PRO-Argumente: s. ersten Beitrag)
V. Pratt:
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2009-March/013493.html
Im finiten Fall eines Baums der Höhe h laufen durch jeden Knoten, der
den Abstand d vom Wurzelknoten besitzt, 2^(h-d) Pfade. Mit
zunehmendem h laufen durch jeden Knoten in eine exponentiell
ansteigende Anzahl von Pfaden. Im Grenzfall sind das 2^N Pfade pro
Knoten. Man mag argumentieren, dass auch die Anzahl der Knoten sich
mit jedem Niveau verdoppelt. So haben wir zu fragen, ob dieses
Wachstum der Knotenanzahl stark genug ist, die Anzahl der durch einen
Knoten laufenden Pfade zu aufzuwiegen. Im Grenzfall ist jeder Pfad
auf
N Knoten verteilt, aber das lässt 2^N/N Pfade pro Knoten, und das
kann
nicht N sein, weil N^2 abzählbar ist und 2^N nicht.
_______________________________________
Man kann mit drei Knoten 6 unterscheidbare Pfade bilden, nämlich abc,
acb, bac, bca, cab, cba. Doch dazu muss man die Knoten geschickt
kombinieren. Im binären Baum ist das nicht möglich. n unterscheidbare
Pfade unterscheiden sich durch mindestens n Knoten. aleph_1 Pfade
kann
man nicht mit alep_0 Knoten unterscheiden.
_________________________________________
V. Pratt:
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2009-March/013493.html
Für Bäume der Höhe h finden wir eine Kardinalitätslücke, nämlich 2^h
-
1 Knoten gegenüber 2^h Pfaden. Warum sollte der Übergang zum
Grenzfall
diese Lücke schließen?
_______________________________________
Dann lassen wir den Baum doch mit einem Vorwurzelknoten beginnen:
o
|
o
/ \
...
und schon ist die Lücke weg. Ansonsten, gutes Argument: Warum sollte
beim Übergang zum Grenzfall eine Lücke entstehen, wenn vorher keine
da
ist?
___________________________________________
D.C. Ullrich
http://groups.google.com/group/sci.logic/browse_frm/thread/393003b1fb...
Du sagst immer wieder:
"Diese Prozedur, selbst wenn unendlich oft angewandt, kann nur das
Resultat 0 ergeben, das heißt eine abzählbare Anzahl von Linien.
aber das ist einfach nicht wahr.
_______________________________________
Dies bezieht sich auf Argument B, das in meinen Augen ein äußerst
mathematisches ist. Die Akzeptanz einer überabzählbaren Anzahl von
Pfaden erfordert demnach die Akzeptanz von
SUM[n = 1 --> oo] 0 > aleph_0
_________________________________________
Virgil
http://groups.google.com/group/sci.logic/browse_frm/thread/393003b1fb...
Du behauptest durch das Konstruieren von unendlich vielen Pfaden mit
nur endlich vielen Einsen pro Pfad alle Pfad konstruiert zu haben,
auch die mit unendlich vielen Einsen. Das ist falsch.
__________________________________________
Welcher Pfad fehlt denn im nach A oder B konstruierten Baum?
_____________________________________________
Calvin Ostrum
http://groups.google.com/group/sci.logic/browse_frm/thread/393003b1fb...
[Wenn der Baum nach Beendigiung der Konstruktion alle Knoten enthält,
dann enthält er auch alle Pfade.]
Richtig. Du hast explizit nur eine abzählbare Anzahl von Pfaden
hinzugefügt, aber eine überabzählbare Anzahl haben sich am Ende
eingeschlichen, weil von jedem der kläglich abzählbar vielen explizit
eingefügten eine Kante [Verbindung zwischen zwei Knoten] beigetragen
hat.
______________________________________________
Eine überabzählbare Menge unterschiedlicher Pfade kann durch
abzählbar
viele Schritte entstehen?
___________________________________________
Alle folgenden mit CC markierten CONTRA-Argumente stammen von
Christopher Creutzig
http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/msg/a35c36864fd75c82?hl=de&dmode=source
CC1) Ein Pfad wird nicht durch einen einzelnen Knoten definiert,
sondern durch eine unendliche Anzahl dieser. Damit ist die Anzahl der
Knoten keine obere Schranke für die Anzahl der Pfade, jedenfalls nicht
automatisch.
_________________________________________________
Jeder Pfad kann durch einen einzigen Knoten von allen *vorgelegten*
Pfaden unterschieden werden. Unterscheidet sich der Pfad p_0 am Knoten
n von Pfad p_n und am Knoten m von Pfad p_m und sei oBdA m > n, so
unterscheidet er sich von beiden Pfaden am Knoten m. Durch Induktion
sehen wir, dass für einen vollständig existierenden Pfad nur ein
Knoten benötigt wird, egal von wie vielen Pfaden man ihn unterscheiden
möchte. (Selbstverständlich müssen die vorgelegten Pfade zunächst
festgelegt werden, wie das in der Logik üblicherweise gefordert wird.)
_________________________________________________
CC2) Alle Versuche, explizit eine Surjektion von der Menge der Knoten
auf die Menge der Pfade zu konstruieren, sind durch explizite Angabe
nicht erreichter Pfade widerlegt worden.
_________________________________________________
Das ist richtig, es können nur abzählbar viele Pfade nummeriert
werden. Aber zur Konstruktion aller Knoten und Kanten des Baums sind
auch nur abzählbar viele erforderlich.
Folgerung: Die anderen Pfade schleichen sich bei oder nach der
Konstruktion ein (s. oben). Wenn also ein Pfad nach
Konstruktionsvorschrift eingefügt wird, so entsteht ungewollt ein
anderer mit. Genau genommen entstehen dann oder wann sogar
überabzählbar viele mit, mindestens einmal jedenfalls.
____________________________________________________
CC3) Sämtliche Knoten des Baums werden bereits durch die abzählbare
Menge der Pfade, die zu abbrechenden Binärzahlen gehören, erreicht.
Das sind nicht einmal alle rationalen Zahlen. Denen an dieser Stelle
einfach die Existenz abzusprechen, führt dazu, dass Du nicht im Rahmen
der Mengenlehre argumentierst, also gegebenenfalls auftretende
Widersprüche nicht der Mengenlehre anlasten kannst, sondern allenfalls
der modifizierten Version, die Du in der Argumentation verwendet hast.
______________________________________________________
Auch hier gilt: Die Beobachtung ist richtig. Ich benutze nur die
"abbrechenden" Rationalzahlen in Form von Pfaden für die Konstruktion.
Im Rahmen dieser Konstruktion entstehen aber alle Pfade, die überhaupt
existieren (denn nach erfolgter Konstruktion sind alle da). Ich halte
dies für ein Argument dafür, dass die reellen Zahlen nicht *in der
Form von Binärfolgen* existieren. 1/sqrt2 ist sicher eine Zahl, die
existiert, denn wir können uns darüber verständigen. Aber sie
existiert nicht als Binärfolge und kann deswegen auch nicht als
Diagonalzahl in Cantors Liste vorkommen.
_____________________________________________________
CC4) Aus der Beobachtung, dass es zu einem Pfad p für jeden anderen
Pfad q einen Knoten n(p,q) gibt, ab dem sie sich unterscheiden, zu
folgern, es müsse einen Knoten n(p) geben, ab dem sich p von jedem
anderen Pfad q unterscheidet, ist genau das oben angesprochene
Problem: Vertauschung der Quantoren. Außerdem ist es offensichtlich
falsch.
___________________________________________________
Um nicht in Versuchung zu kommen, Quantoren zu vertauschen, sollten
wir alle Pfade q, die wir mit p vergleichen wollen, festlegen. Nachdem
dies geschehen ist, können wir einen Knoten finden, an dem sich p von
allen Pfaden q unterscheidet.
Unqualifiziert von "allen Pfaden" zu sprechen, erscheint mir nicht
gerechtfertigt.
_________________________________________________________
CC5) Die Begriffe, die Du verwendest, scheinen im Laufe der
Argumentation immer wieder mal ihre Bedeutung zu verändern, zumindest
taten sie das vor vier Jahren noch.
__________________________________________________________
Das mag so sein, denn damals war mir das alles noch recht neu.
Inzwischen sollte sich die Terminologie gefestigt haben. Pfade im Baum
mit ihren Knoten sind lediglich anschauliche Bilder für
Binärdarstellungen von reellen Zahlen des Einheitsintervalls mit ihren
Bits.
_________________________________________________________
Für weitere Argumente wäre ich dankbar, denn ich gedenke, die Sammlung
so umfangreich wie nur möglich zu gestalten, um allen Interessenten
eine bequeme Entscheidungshilfe für die Wahl ihres mathematischen
Standpunktes zur Verfügung zu stellen. Für Quellen zur Verwendung des
binären Baums in früheren Diskussionen zur Mengenlehre wäre ich
ebenfalls dankbar.
Von der Diskussion sachfremder Themen (ohne Bezug zum binären Baum) in
diesem Thread bitte ich freundlichst abzusehen.
Gruß, WM
Klaus Cammin
> Im Kern geht es m.E. doch darum, ob man mithilfe der Mathematik
> sinnvolle Modelle der Realitaet bilden koennen will (auch wenn das den
> "reinen Mathematikern" nicht passt). Und das endet fuer mich z.B. da,
> wo bestimmte Volumina durch Zerlegung und wiederzusammenfuegen
> beliebig große andere Volumina bilden koennen.
>
> Natuerlich kommt jetzt wieder jemand und sagt: Dann darf eine endliche
> Flaeche auch nicht von einer unendlich langen Linie begrenzt sein
> koennen, usw.
Nein, es kommt jemand, der darauf hinweist, daß der Läufer in Zenon's
Paradoxon die Schildkröte überholt. Ich finde, die Realität ist hier durch
potentielle Unendlichkeit beschissen abgebildet worden und ich vermute, das
ist auch allgemein so.
D.h. die Realität wird durch die heutigen mathematischen Werkzeuge besser
abgebildet als früher. Bei einem Motorrad sieht der Schlüssel auch merkwürdig
aus, mit dem man die Vorspannung der Federbeine einstellt. Soll ich darauf
verzichten, Federbeine einzustellen, nur weil der Schlüssel scheiße aussieht?
Deine Denkfähigkeit beschränkt sich auf ein ideologisches Vorurteil.
Viele Grüße
Klaus
WM
> D.h. die Realität wird durch die heutigen mathematischen Werkzeuge besser
> abgebildet als früher.
>
> Deine Denkfähigkeit beschränkt sich auf ein ideologisches Vorurteil.
Von jeder Stelle der Zahl 0,111... führt eine endliche Einserkette zur
ersten Stelle
0,1
0,11
0,111
...
Diese Menge besitzt kein Maximum. Sie ist potentiell unendlich.
Die Behauptung der vollendeten Unendlichkeit zwingt zu der Annahme,
dass die Überlagerung aller endlichen Einserketten (es müssten dann ja
alle vorhanden sein) eine aktual unendlich Einserkette ergibt, d.h.
eine Einserkette, die länger als alle an der Überlagerung beteiligten
ist.
Um diese Überlegung zu "beweisen", wird die "Logik" herangezogen, bei
der geflissentlich zwischen aktual und potentiell unendlich
unterschieden wird. Es wird nämlich die aktual unendliche Einserkette
0,111... akzeptiert bzw. vorausgesetzt, die aktual unendliche Liste
aber nicht, sondern dort darf immer nur eine Zahl herausgepickt
werden, von der dann sehr formal gezeigt werden kann, dass sie nicht
aktual unendlich viele Einsen enthält und dass es natürlich eine
größere gibt, die aber immer, leider leider, noch nicht aktual
unendlich viele Einsen enthält.
Das ist Mathemagie --- nichts als ein Taschenspielertrick.
Man könnte nämlich ebenso eine Ziffer der Zahl 0,111... herausgreifen
und zeigen, dass sie von einer endlichen Folge von Einsen aus der
Liste überdeckt wird. Natürlich gibt es eine weitere 1, die in
0,111... an einer späteren Stelle steht, die aber, leider leider,
immer noch nicht jeder Überdeckung durch eine endliche Folge von
Einsen aus der Liste entgeht.
Damit ist erwiesen, was die Mengenlehrer ja auch nicht leugnen, dass
jede Ziffer aus 0,111... durch eine endliche Kette von Einsen mit der
ersten verbunden ist - und alle kleineren natürlich auch. Nur leugnen
sie, dass die zweite Betrachtungsweise berechtigt sei, und zwar nach
Regeln einer Logik, die zu diesem Zwecke anhand von intuitiven
Betrachtungen über Tänzer und Tänzerinnen und Bestandteile von Pferden
herausgebildet wurde und mit dem Verhalten linearer Mengen nicht das
Geringste zu tun hat.
"Jede und alle kleineren" ist aber nichts anderes als "alle". Und
damit ist die aktuale Unendlichkeit ad absurdum geführt.
Es gibt keine letzte Ziffer in 0,111..., aber für jede, die es gibt,
gilt:
Jede und alle kleineren = alle.
Mit anderen Worten: Die Mengenlehrer müssen annehmen, dass eine Menge
von endlichen Strecken, nebeneinandergelegt, eine aktual unendliche
Strecke (die obige Liste) ergibt, also eine, die *länger als jede der
zu ihr beitragenden* ist --- wenn es nur genug endliche Strecken sind.
Diese Annahme ist durch nichts gerechtfertigt. Ich werde sie
jedenfalls nicht akzeptieren und werde weiterhin versuchen, möglichst
vielen Menschen die Absurdität dieser Idee zu erklären.
Einfaches Gegenbeispiel: Unendliche viele Strecken der Länge 1
nebeneinandergelegt werden niemals eine Lücke der Größe 2 überbrücken.
Die Anzahl hat offenbar keinen Einfluss auf die erreichte Länge. Eine
Folge der Form 0, 0, 0, ... wird niemals den Grenzwert 1 ergeben,
nicht einmal die Reihe 0 + 0 + 0 + ... tut dies (wenn man mit einigem
Recht vom endlichen aufs Unendliche schließen kann).
Genau solche Annahmen wie 0, 0, 0, ... --> oo oder Summe 0 + 0 + 0
+ ... > oo benötigt man aber, um das vollendete Unendliche
"widerspruchsfrei" verwenden zu können (s. den Aufbau des binären
Baums aus seinen Elementen oder die Folge der Anfangsabschnitte der
positiven geraden Zahlen im Vergleich mit ihren Kardinalzahlen).
Jeder mag selbst entscheiden, wie er zu diesen Dingen steht. In der
Regel werden die zu schluckenden Kröten aber von den Meistern der
Mengenlehre sorgfältig im Verborgenen gehalten. Ich finde, aus Gründen
der Fairness sollte man den Delinquenten vorher "die Instrumente
zeigen". Das wurde selbst im Mittelalter so gehandhabt.
Gruß, WM
WM
vernehmen möchten:
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU12.PPT#335,24,Folie 24
Gruß, WM
WM
1. WM Profil anzeigen
Weitere Optionen 17 Apr., 18:06
Newsgroups: de.sci.mathematik
Von: WM <mueck...@rz.fh-augsburg.de>
Datum: Fri, 17 Apr 2009 09:06:59 -0700 (PDT)
Lokal: Fr. 17 Apr. 2009 18:06
Betreff: Argumente zum binären Baum
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Die Diskussion um ein Gegenargument von Cantor selbst ergänzt. (6. 5.
09)
These: Der unendliche binäre Baum besitzt nur abzählbar viele Pfade.
0.
/ \
0 1
/ \ / \
0 10 1
...
PRO
A) Konstruiere den binären Baum beginnend mit einem "Baum", der nur
aus einem einzigen Pfad p_0 = 0.000... 0 besteht:
0,
|
0
|
0
|
0
...
Füge sämtlich Pfade hinzu, die mit unendlich vielen Nullen enden.
Jeder noch zu konstruierende Pfadendabschnitt beginnt an einem Knoten
des Pfades p_0 oder an einem Knoten eines anderen bereits
konstruierten Pfades. Der Baum ist vollständig konstruierbar, da eine
Konstruktionsvorschrift gegeben werden kann. Zum Beispiel
(abschließende Nullen werden unterdrückt)
0,1
0,01
0,11
...
Der auf diese Weise konstruierte Baum enthält alle Knoten (es sind
abzählbar viele). Jeder Knoten wurde bei der Konstruktion benutzt, um
einen Pfadendabschnitt anzubringen. Der Baum enthält also abzählbar
viele Pfade. Der Baum enthält alle Pfade, wenn man davon ausgehen
kann, dass Pfade allein durch Knoten definiert werden. Zum Beispiel
ist jeder Knoten des Pfades 0,010101... vorhanden.
B) Der binäre Baum besteht ausschließlich aus Elementarzellen der
Form
|
o
/ \
(außer der Wurzel). In jede Elementarzelle läuft eine Linie ein und
zwei unterscheidbare Linien laufen heraus.
Die Anzahl der herauslaufenden Linien minus Anzahl der einlaufenden
Linien minus Anzahl der Knoten ist:
2 - 1 - 1 = 0.
Die Anzahl der Knoten ist abzählbar. Die Anzahl der Linien ist daher
auch abzählbar, wenn sie nicht größer als die der Knoten ist, wenn
also die Summe über alle Elementarzellen
SUM[n = 1 --> oo] 0 = 0
oder wenigstens
SUM[n = 1 --> oo] 0 =< aleph_0
ist.
Die Anzahl der Linienunterscheidungen ist abzählbar.
Die Anzahl der Linien beschränkt die Anzahl der Pfade.
C) Betrachte alle Knoten nebeneinander aufgereiht. Diese Reihe
begrenzt die Anzahl unterscheidbarer Pfade auf aleph_0. Es gibt
keinen
weiteren Knoten zur Unterscheidung weiterer Pfade.
Visualisierung:
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU12.PPT#335,24,Folie 24
CONTRA
V. Pratt:
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2009-March/013493.html
V. Pratt:
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2009-March/013493.html
D.C. Ullrich
http://groups.google.com/group/sci.logic/browse_frm/thread/393003b1fb...
Du sagst immer wieder:
[Wenn der Baum nach Beendigung der Konstruktion alle Knoten enthält,
dann enthält er auch alle Pfade.]
Richtig. Du hast explizit nur eine abzählbare Anzahl von Pfaden
hinzugefügt, aber eine überabzählbare Anzahl haben sich am Ende
eingeschlichen, weil von jedem der kläglich abzählbar vielen explizit
eingefügten eine Kante [Verbindung zwischen zwei Knoten] beigetragen
hat.
______________________________________________
Eine überabzählbare Menge unterschiedlicher Pfade kann durch
abzählbar
viele Schritte entstehen?
___________________________________________
Alle im Folgenden mit CC markierten CONTRA-Argumente stammen von
Christopher Creutzig
http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/msg/a35c36864fd75c82...
Georg Cantor
Brief an Vivanti vom 3. 12. 1885
Georg Cantor diskutiert eine Konstruktion des binären Baums aus
endlichen Pfaden:
z_n = (a_1)/2 + (a_2)/2^2 + ... + (a_(n-1))/2^(n-1) + 1/2^n
wo a_k die Werthe 0 oder 1 haben kann, so ist die Anzahl dieser Zahlen
z_n = 2^(n-1).
Läßt man nun n die Werthe 1, 2, 3, ... in inf. durchlaufen, so erhält
man:
1+ 2 + 4 + 8 + ... in inf. z {z_1, z_2, z_3, ...}
d. h. eine Unendlichkeit von Zahlen z von der ersten Mächtigkeit
(abzählbar im _engeren_ Sinne, d. h. abzählbar durch Zahlen der
zweiten Zahlenclasse).
Diese Zahlen bilden aber doch nur einen sehr kleinen, fast möchte ich
sagen verschwindenden Theil des Inbegriffs aller Zahlen, die sich in
der Form:
z_n = (a_1)/2 + (a_2)/2^2 + ... + (a_n)/2^n + ... in inf.
präsentiren, welche das Linearcontinuum (0 ... 1) ausmachen und deren
Mächtigkeit wie ich u. a. in Borchardts J. Bd. 76, pag. 260 [gemeint
ist Bd. 77 - [W], S. 117] bewiesen habe, eine höhere ist, als die
erste.
Die scheinbare Schwierigkeit löst sich also einfach darin auf, dass
die Mächtigkeit der Gesammtheit aller Zahlen des Intervalls (0...1)
_nicht_ als Grenze der Mächtigkeiten aller Zahlen z_n für n = oo
aufgefasst werden darf; diese Grenze ist die _erste_ Mächtigkeit,
nicht aber die _zweite_. Die Mächtigkeit des Linearcontinuums kann
eben schlechterdings nicht als Grenze niederiger Mächtigkeiten
betrachtet werden, ebensowenig wie die Zahl 2 die Grenze von kleineren
_ganzen_ Zahlen ist.
__________________________________________________
Wenn die reellen Zahlen _nicht_ durch einen Grenzprozess aus den
rationalen entstehen, so kann _auch die Zahl 0,111... nicht_ durch
einen Grenzprozess aus den Zahlen der Folge
0,1
0,11
0,111
...
entstehen.
Damit versagt Cantors Diagonal-Konstruktion, denn eine von allen
Listeneinträgen verschiedene Diagonalzahl erscheint nicht. Und
natürlich versagt auch der in Borchardts J. dargestellte Beweis, denn
die Intervallschachtelung führt auch nur als Grenzprozess zu einem
Ende, will sagen zur Vollständigkeit.
___________________________________________________
Für weitere Argumente wäre ich dankbar, denn ich gedenke, die
Sammlung
so umfangreich wie nur möglich zu gestalten, um allen Interessenten
eine bequeme Entscheidungshilfe für die Wahl ihres mathematischen
Standpunktes zur Verfügung zu stellen.
Von der Diskussion sachfremder Themen (ohne Bezug zum binären Baum)
fiesh
> [..]
> F�r weitere Argumente w�re ich dankbar, denn ich gedenke, die
> Sammlung
> so umfangreich wie nur m�glich zu gestalten, um allen Interessenten
> eine bequeme Entscheidungshilfe f�r die Wahl ihres mathematischen
> Standpunktes zur Verf�gung zu stellen.
Dann habe ich nur einen Verweis zu
http://home.in.tum.de/~weissch/wm_quotes
hinzuzufuegen. Dieser koennte bei der Wahl des Standpunkts auch
durchaus hilfreich sein.
--
fiesh
WM
______________________________
These: Der unendliche binäre Baum
/ \
0 1
/ \ / \
0 10 1
...
PRO
A) Konstruiere den binären Baum beginnend mit einem "Baum", der nur
aus einem einzigen Pfad p_0 = 0,000... besteht:
0,
|
0
|
0
|
0
...
Füge sämtlich Pfade hinzu, die mit unendlich vielen Nullen enden.
Jeder noch zu konstruierende Pfadendabschnitt beginnt an einem Knoten
des Pfades p_0 oder an einem Knoten eines anderen bereits
konstruierten Pfades. Der Baum ist vollständig konstruierbar, da eine
Konstruktionsvorschrift gegeben werden kann. Zum Beispiel
(abschließende Nullen werden unterdrückt)
0,1
0,01
0,11
...
Der auf diese Weise konstruierte Baum enthält alle Knoten (es sind
abzählbar viele). Jeder Knoten wurde bei der Konstruktion benutzt, um
einen Pfadendabschnitt anzubringen. Der Baum enthält also abzählbar
viele Pfade. Der Baum enthält alle Pfade, wenn man davon ausgehen
kann, dass Pfade allein durch Knoten definiert werden. Zum Beispiel
ist jeder Knoten des Pfades 0,010101... vorhanden.
B) Der binäre Baum (mit Ausnahme der Wurzel) besteht ausschließlich
aus Elementarzellen der Form
|
o
/ \
In jede Elementarzelle läuft eine Linie ein, und zwei unterscheidbare
Linien laufen heraus. Die Anzahl der herauslaufenden Linien minus
Anzahl der einlaufenden Linien minus Anzahl der Knoten ist:
2 - 1 - 1 = 0.
Die Anzahl der Knoten ist abzählbar. Die Anzahl der Linien ist daher
auch abzählbar, wenn sie nicht größer als die der Knoten ist, wenn
also die Summe über alle Elementarzellen
SUM[n = 1 --> oo] 0 = 0
oder wenigstens
SUM[n = 1 --> oo] 0 =< aleph_0
ist.
Die Anzahl der Linienunterscheidungen ist abzählbar.
Die Anzahl der Linien beschränkt die Anzahl der Pfade.
C) Betrachte alle Knoten nebeneinander aufgereiht. Diese Reihe
begrenzt die Anzahl unterscheidbarer Pfade auf aleph_0. Es gibt keinen
weiteren Knoten zur Unterscheidung weiterer Pfade.
Visualisierung der Konstruktion des binären Baums:
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU12.PPT#335,24,Folie 24
CONTRA
===========================
V. Pratt
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2009-March/013493.html
Im finiten Fall eines Baums der Höhe h laufen durch jeden Knoten, der
den Abstand d vom Wurzelknoten besitzt, 2^(h-d) Pfade. Mit
zunehmendem h laufen durch jeden Knoten in eine exponentiell
ansteigende Anzahl von Pfaden. Im Grenzfall sind das 2^N Pfade pro
Knoten. Man mag argumentieren, dass auch die Anzahl der Knoten sich
mit jedem Niveau verdoppelt. So haben wir zu fragen, ob dieses
Wachstum der Knotenanzahl stark genug ist, die Anzahl der durch einen
Knoten laufenden Pfade zu aufzuwiegen. Im Grenzfall ist jeder Pfad auf
N Knoten verteilt, aber das lässt 2^N/N Pfade pro Knoten, und das kann
nicht N sein, weil N^2 abzählbar ist und 2^N nicht.
____________________________
Man kann mit drei Knoten 6 unterscheidbare Pfade bilden, nämlich abc,
acb, bac, bca, cab, cba. Doch dazu muss man die Knoten geschickt
kombinieren. Im binären Baum ist das nicht möglich. n unterscheidbare
Pfade unterscheiden sich durch mindestens n Knoten. aleph_1 Pfade kann
man nicht mit aleph_0 Knoten unterscheiden.
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V. Pratt
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2009-March/013493.html
Für Bäume der Höhe h finden wir eine Kardinalitätslücke, nämlich 2^h -
1 Knoten gegenüber 2^h Pfaden. Warum sollte der Übergang zum Grenzfall
diese Lücke schließen?
____________________________
Dann lassen wir den Baum doch mit einem Vorwurzelknoten beginnen:
o
|
o
/ \
...
und schon ist die Lücke weg. Ansonsten, gutes Argument: Warum sollte
beim Übergang zum Grenzfall eine Lücke entstehen, wenn vorher keine da
ist?
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D.C. Ullrich
http://groups.google.com/group/sci.logic/browse_frm/thread/393003b1fb...
Du sagst immer wieder: "Diese Prozedur, selbst wenn unendlich oft
angewandt, kann nur das Resultat 0 ergeben, das heißt eine abzählbare
Anzahl von Linien" aber das ist einfach nicht wahr.
____________________________
Dies bezieht sich auf Argument B, das in meinen Augen ein äußerst
mathematisches ist. Die Akzeptanz einer überabzählbaren Anzahl von
Pfaden erfordert demnach die Akzeptanz von
SUM[n = 1 --> oo] 0 > aleph_0
===========================
Virgil
http://groups.google.com/group/sci.logic/browse_frm/thread/393003b1fb...
Du behauptest durch das Konstruieren von unendlich vielen Pfaden mit
nur endlich vielen Einsen pro Pfad alle Pfad konstruiert zu haben,
auch die mit unendlich vielen Einsen. Das ist falsch.
____________________________
Welcher Pfad fehlt denn im nach A oder B konstruierten Baum?
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Calvin Ostrum
http://groups.google.com/group/sci.logic/browse_frm/thread/393003b1fb...
[Wenn der Baum nach Beendigung der Konstruktion alle Knoten enthält,
dann enthält er auch alle Pfade.]
Richtig. Du hast explizit nur eine abzählbare Anzahl von Pfaden
hinzugefügt, aber eine überabzählbare Anzahl haben sich am Ende
eingeschlichen, weil von jedem der kläglich abzählbar vielen explizit
eingefügten eine Kante [Verbindung zwischen zwei Knoten] beigetragen
hat.
____________________________
Eine überabzählbare Menge unterschiedlicher Pfade kann durch abzählbar
viele Schritte entstehen?
===========================
Alle im Folgenden mit CC markierten CONTRA-Argumente stammen von
Christopher Creutzig
http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/msg/a35c36864fd75c82...
CC1) Ein Pfad wird nicht durch einen einzelnen Knoten definiert,
sondern durch eine unendliche Anzahl dieser. Damit ist die Anzahl der
Knoten keine obere Schranke für die Anzahl der Pfade, jedenfalls nicht
automatisch.
____________________________
Jeder Pfad kann durch einen einzigen Knoten von allen *vorgelegten*
Pfaden unterschieden werden. Unterscheidet sich der Pfad p_0 am Knoten
n von Pfad p_n und am Knoten m von Pfad p_m und sei oBdA m > n, so
unterscheidet er sich von beiden Pfaden am Knoten m. Durch Induktion
(die alle aleph_0 Knoten eines Pfades erreicht) sehen wir, dass für
einen vollständig existierenden Pfad nur ein Knoten benötigt wird,
egal von wie vielen Pfaden man ihn unterscheiden möchte.
(Selbstverständlich müssen die vorgelegten Pfade zunächst festgelegt
werden, wie das in der Logik üblicherweise gefordert wird.)
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CC2) Alle Versuche, explizit eine Surjektion von der Menge der Knoten
auf die Menge der Pfade zu konstruieren, sind durch explizite Angabe
nicht erreichter Pfade widerlegt worden.
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Das ist richtig, es können nur abzählbar viele Pfade nummeriert
werden. Aber zur Konstruktion aller Knoten und Kanten des Baums sind
auch nur abzählbar viele erforderlich. Folgerung: Die anderen Pfade
schleichen sich bei oder nach der
Konstruktion ein (s. oben). Wenn also ein Pfad nach
Konstruktionsvorschrift eingefügt wird, so entsteht ungewollt ein
anderer mit. Genau genommen entstehen dann oder wann sogar
überabzählbar viele mit, mindestens einmal jedenfalls.
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CC3) Sämtliche Knoten des Baums werden bereits durch die abzählbare
Menge der Pfade, die zu abbrechenden Binärzahlen gehören, erreicht.
Das sind nicht einmal alle rationalen Zahlen. Denen an dieser Stelle
einfach die Existenz abzusprechen, führt dazu, dass Du nicht im Rahmen
der Mengenlehre argumentierst, also gegebenenfalls auftretende
Widersprüche nicht der Mengenlehre anlasten kannst, sondern allenfalls
der modifizierten Version, die Du in der Argumentation verwendet
hast.
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Auch hier gilt: Die Beobachtung ist richtig. Ich benutze nur die
"abbrechenden" Rationalzahlen in Form von Pfaden für die Konstruktion.
Im Rahmen dieser Konstruktion entstehen aber alle Pfade, die überhaupt
existieren (denn nach erfolgter Konstruktion sind alle da). Ich halte
dies für ein Argument dafür, dass die reellen Zahlen nicht *in der
Form von Binärfolgen* existieren. 1/sqrt2 ist sicher eine Zahl, die
existiert, denn wir können uns darüber verständigen. Aber sie
existiert nicht als Binärfolge und kann deswegen auch nicht als
Diagonalzahl in Cantors Liste vorkommen.
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CC4) Aus der Beobachtung, dass es zu einem Pfad p für jeden anderen
Pfad q einen Knoten n(p,q) gibt, ab dem sie sich unterscheiden, zu
folgern, es müsse einen Knoten n(p) geben, ab dem sich p von jedem
anderen Pfad q unterscheidet, ist genau das oben angesprochene
Problem: Vertauschung der Quantoren. Außerdem ist es offensichtlich
falsch.
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Um nicht in Versuchung zu kommen, Quantoren zu vertauschen, sollten
wir alle Pfade q, die wir mit p vergleichen wollen, festlegen. Nachdem
dies geschehen ist, können wir einen Knoten finden, an dem sich p von
allen Pfaden q unterscheidet. Unqualifiziert von "allen Pfaden" zu
sprechen, erscheint mir nicht gerechtfertigt.
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Georg Cantor
Brief an Vivanti vom 3. 12. 1885
Georg Cantor diskutiert eine Konstruktion des binären Baums aus
endlichen Pfaden:
z_n = (a_1)/2 + (a_2)/2^2 + ... + (a_(n-1))/2^(n-1) + 1/2^n
wo a_k die Werthe 0 oder 1 haben kann, so ist die Anzahl dieser
Zahlen
z_n = 2^(n-1).
Läßt man nun n die Werthe 1, 2, 3, ... in inf. durchlaufen, so erhält
man:
1+ 2 + 4 + 8 + ... in inf. z == {z_1, z_2, z_3, ...}
d. h. eine Unendlichkeit von Zahlen z von der ersten Mächtigkeit
(abzählbar im _engeren_ Sinne, d. h. abzählbar durch Zahlen der
zweiten Zahlenclasse).
Diese Zahlen bilden aber doch nur einen sehr kleinen, fast möchte ich
sagen verschwindenden Theil des Inbegriffs aller Zahlen, die sich in
der Form:
z_n = (a_1)/2 + (a_2)/2^2 + ... + (a_n)/2^n + ... in inf.
präsentiren, welche das Linearcontinuum (0 ... 1) ausmachen und deren
Mächtigkeit wie ich u. a. in Borchardts J. Bd. 76, pag. 260 [gemeint
ist Bd. 77 - [W], S. 117] bewiesen habe, eine höhere ist, als die
erste.
Die scheinbare Schwierigkeit löst sich also einfach darin auf, dass
die Mächtigkeit der Gesammtheit aller Zahlen des Intervalls (0...1)
_nicht_ als Grenze der Mächtigkeiten aller Zahlen z_n für n = oo
aufgefasst werden darf; diese Grenze ist die _erste_ Mächtigkeit,
nicht aber die _zweite_. Die Mächtigkeit des Linearcontinuums kann
eben schlechterdings nicht als Grenze niederiger Mächtigkeiten
betrachtet werden, ebensowenig wie die Zahl 2 die Grenze von kleineren
_ganzen_ Zahlen ist.
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Wenn die reellen Zahlen _nicht_ durch einen Grenzprozess aus den
rationalen entstehen, so kann _auch die Zahl 0,111... nicht_ durch
einen Grenzprozess aus den Zahlen der Folge
0,1
0,11
0,111
...
entstehen, erzeugt, konstruiert, realisiert, erhalten werden. Damit
versagt Cantors Diagonal-Konstruktion, denn eine von allen
Listeneinträgen verschiedene Diagonalzahl erscheint nicht. Und
natürlich versagt auch der in Borchardts J. dargestellte Beweis, denn
die Intervallschachtelung führt auch nur als Grenzprozess zu einem
Ende, will sagen zur Vollständigkeit.
Cantor hat diesen Grenzporozess selbst verwendet: Er schreibt in
"Bemerkungen mit Bezug auf den Aufsatz: Zur Weierstraß-Cantorschen
Theorie der Irrationalzahlen" (Werke p. 114): Wurzel(3) ist also nur
ein Zeichen für eine Zahl, welche erst noch gefunden werden soll,
nicht aber deren Definition. Letztere wird jedoch in meiner Weise etwa
durch (1,7, 1,73, 1,732, ...) befriedigend gegeben.
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Georg Cantor
Brief an Pater Ignatius Jeiler Orden S. Franc. vom 13. 10. 1895
Die Resultate, zu denen ich gelangt bin, sind diese: Ein solches
Transfinitum, sowohl wenn es in concreto, wie auch in abstracto
gedacht wird, ist widerspruchsfrei, also möglich und von Gott
erschaffbar, so gut wie ein Finitum.
Brief an Kardinal Franzelin vom 17. 12. 1885
Ein Beweis geht vom Gottesbegriff aus und schließt zunächst aus der
höchsten Vollkommenheit Gottes Wesens auf die Möglichkeit der
Schöpfung eines Transfinitum ordinatum, sodann aus seiner Allgüte und
Herrlichkeit auf die Notwendigkeit der tatsächlich erfolgten Schöpfung
eines Transfinitum.
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Also das Argument der Scholstiker: Gott kennt alle Zahlen.
In welcher Form merkt er sich aber die reellen?
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Für weitere Argumente wäre ich dankbar, denn ich gedenke, die Sammlung
WM
Doppeldarstellungen entfernt, die Konsequenzen von Cantors Argument
verdeutlicht.
PRO
SUM[n = 1 --> oo] 0 =< SUM[n = 1 --> oo] 1/2^n =<aleph_0
http://groups.google.com/group/sci.logic/msg/82cd07114d4e6d7e?hl=de&dmode=source
Du sagst immer wieder: "Diese Prozedur, selbst wenn unendlich oft
angewandt, kann nur das Resultat 0 ergeben, das heißt eine abzählbare
Anzahl von Linien" aber das ist einfach nicht wahr.
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Dies bezieht sich auf Argument B, das in meinen Augen ein äußerst
mathematisches ist. Die Akzeptanz einer überabzählbaren Anzahl von
Pfaden erfordert demnach die Akzeptanz von
SUM[n = 1 --> oo] 0 > aleph_0
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Virgil
http://groups.google.com/group/sci.logic/msg/5839bd6427920b33?hl=de&dmode=source
Du behauptest durch das Konstruieren von unendlich vielen Pfaden mit
nur endlich vielen Einsen pro Pfad alle Pfad konstruiert zu haben,
auch die mit unendlich vielen Einsen. Das ist falsch.
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Welcher Pfad fehlt denn im nach A oder B konstruierten Baum?
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Calvin Ostrum:
http://groups.google.com/group/sci.logic/msg/52c1b3a5e2fbde58?hl=de&dmode=source
[Wenn der Baum nach Beendigung der Konstruktion alle Knoten enthält,
dann enthält er auch alle Pfade.]
Richtig. Du hast explizit nur eine abzählbare Anzahl von Pfaden
hinzugefügt, aber eine überabzählbare Anzahl haben sich am Ende
eingeschlichen, weil von jedem der kläglich abzählbar vielen explizit
eingefügten eine Kante [Verbindung zwischen zwei Knoten] beigetragen
hat.
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Eine überabzählbare Menge unterschiedlicher Pfade kann durch abzählbar
viele Schritte entstehen?
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Christopher Creutzig:
http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/msg/a35c36864fd75c82?dmode=source
Ein Pfad wird nicht durch einen einzelnen Knoten definiert, sondern
durch eine unendliche Anzahl dieser. Damit ist die Anzahl der Knoten
keine obere Schranke für die Anzahl der Pfade, jedenfalls nicht
automatisch.
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Jeder Pfad kann durch einen einzigen Knoten von allen *vorgelegten*
Pfaden unterschieden werden. Unterscheidet sich der Pfad p_0 am Knoten
n von Pfad p_n und am Knoten m von Pfad p_m und sei oBdA m > n, so
unterscheidet er sich von beiden Pfaden am Knoten m. Durch Induktion
(die alle aleph_0 Knoten eines Pfades erreicht) sehen wir, dass für
einen vollständig existierenden Pfad nur ein Knoten benötigt wird,
egal von wie vielen Pfaden man ihn unterscheiden möchte.
(Selbstverständlich müssen die vorgelegten Pfade zunächst festgelegt
werden, wie das in der Logik üblicherweise gefordert wird.)
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Christopher Creutzig:
http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/msg/a35c36864fd75c82?dmode=source
Alle Versuche, explizit eine Surjektion von der Menge der Knoten auf
die Menge der Pfade zu konstruieren, sind durch explizite Angabe nicht
erreichter Pfade widerlegt worden.
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Das ist richtig, es können nur abzählbar viele Pfade nummeriert
werden. Aber zur Konstruktion aller Knoten und Kanten des Baums sind
auch nur abzählbar viele erforderlich. Folgerung: Die anderen Pfade
schleichen sich bei oder nach der Konstruktion ein (s. oben). Wenn
also ein Pfad nach Konstruktionsvorschrift eingefügt wird, so entsteht
ungewollt ein anderer mit. Genau genommen entstehen dann oder wann
sogar überabzählbar viele mit, mindestens einmal jedenfalls.
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Georg Cantor, Brief an Vivanti vom 3. 12. 1885
Vivanti hatte offenbar bereits ein PRO-Argument antizipiert. Cantor
antwortet:
Die scheinbare Schwierigkeit löst sich also einfach darin auf, dass
die Mächtigkeit der Gesammtheit aller Zahlen des Intervalls (0...1)
_nicht_ als Grenze der Mächtigkeiten aller Zahlen z_n [aller endlichen
Anfangsabschnitte der unendlichen Binärdarstellungen] für n = oo
aufgefasst werden darf.
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Nach Cantor entsteht z. B. der Pfad Wurzel(3) des binären Baums als
Grenzprozess aus einer Fundamentalfolge, also aus seinen endlichen
Anfangsabschnitten. Jedoch entstehen nicht alle Pfade des binären
Baums aus ihren endlichen Anfangsabschnitten.
Wer entscheidet, wie viele Pfade des binären Baums aus endlichen
Anfangsabschnitten entstehen? Einer ja mindestens, nämlich Wurzel(3).
Aber darf's auch etwas mehr sein, zwei oder drei oder 10, 100,
aleph_0?
Diese Willkür verletzt die Objektivität der Mathematik. Ganz oder gar
nicht! Entweder entstehen alle Binärdarstellungen reeller Zahlen als
Grenzprozesse oder es gibt keine einzige und damit auch keine
Diagonalzahl in Cantors Liste.
Wie man es auch wendet. Es gibt nicht überabzählbar viele
Binärdarstellungen reeller Zahlen.
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Für weitere Argumente und Stellungnahmen wäre ich dankbar, denn ich
WM
Obwohl ich meine bisher veröffentlichten Beweise zum binären Baum und
der Unmöglichkeit des aktual Unendlichen gegenüber den verschiedenen
in diesem Thread ausführlich besprochenen Einwendungen noch heute
vollkommen aufrecht erhalte, dürfte doch der hier folgende neue Beweis
desselben Theorems nicht ohne Interesse sein.
Wir betrachten eine Menge Q von abbrechenden binären
Rationalzahldarstellungen q aus dem Einheitsintervall und eine nicht
darin enthaltene Rationalzahldarstellung wie etwa p = 1/3 = 0.010101…
Falls das Unendliche aktualer Natur ist, kann mit Hilfe des
Cantorschen Diagonalverfahrens gezeigt werden, dass die Menge Q nicht
alle reellen Zahldarstellungen des Einheitsintervalls enthält.
Dazu verwenden wir die aus Q erzeugte Liste:
0.1000…
0.01000…
0.11000…
0.001000…
…
Außerdem gilt dann auch unabhängig vom Diagonalargument die Aussage,
dass p nicht in der Menge Q enthalten ist.
Nun schreiben wir die obige Liste in etwas Platz und Tinte sparender
Form, indem die führende 0 nur einmal hingeschrieben wird und die
anschließenden, in allen Binärdarstellungen identischen Ziffern 0 bzw.
1 auch jeweils nur einmal hingeschrieben werden. Das Ergebnis ist eine
baumartige Darstellung:
0
/ \
0 1
/ \ / \
0 1 0 1
…
der binäre Baum. Man beachte, dass durch diese vereinfachte
Darstellung die Menge Q in keiner Weise verändert worden ist.
Nun ist es nicht mehr möglich, irgendeine Binärdarstellung wie p (oder
sonst einer reellen Zahl des Einheitsintervalls) von allen Elementen
aus Q zu unterscheiden.
Den Beweis dafür folgt unter anderem daraus, dass die baumartige
Darstellung unverändert bleibt, wenn anstelle der Menge Q eine andere
abzählbare Menge von Binärdarstellungen verwendet wird, etwa alle
diejenigen, die anstelle der Periode 000… die Periode 010101… als
Endung besitzen und damit die Darstellung von p selbst enthalten.
Fazit: Vor der Baumkonstruktion gilt die Aussage:
p kann von jedem Element aus Q unterschieden werden.
Nach der Baumkonstruktion gilt aber bei unveränderter Menge Q:
p kann nicht von jedem Element aus Q unterschieden werden.
Eine der beiden Aussagen muss also falsch sein. Da es die zweite nicht
ist, ist es die erste, in die implizit die Annahme einer vollständig
existierenden (aktual unendlichen) Ziffernfolge eingeht. Daraus folgt,
dass eine aktual unendlich Folge von Binärziffern, etwa der Form
010101… nicht existiert.
Gruß, WM