Gibt es Zahlen größer als alle natürlichen Zahlen, aber kleiner aleph_0?
sbw...@gmx.de
verzeiht, daß ich mal wieder geistigen Spam produziere. In einem
dieser Cantor-Threads hatte Herbert Newman gezeigt, wie man die
natürlichen Zahlen mittels Strichlisten darstellen kann ( |, ||,
|||, ... ) und dann auf aleph_0 = |||... kommt. Meine
Verständnisproblem war, wie es unendlich viele endliche natürliche
Zahlen geben kann, und was aleph_0 - 1 ist. Herbert hatte mir
geantwortet, daß aleph_0-1=aleph_0 ist bzw. das eine Subtraktion für
aleph_0 undefiniert ist. Ich habe in der Zwischenzeit immer mal wieder
über das Thema nachgedacht, ein wenig gelesen, und würde gerne wissen,
ob es denn nicht doch einen Bereich unterscheidbarer Objekte zwischen
den endlichen Zahlen und aleph_0 gibt.
Ich habe ein intuitives Verständnis von einer endlichen Zahl. Bei den
Strichlisten könnte ich mir ein zählendes Programm vorstellen, daß in
jedem Schritt einen weiteren Strich produziert. Zu jedem einzelnen
Schritt wird eine natürliche, endliche Zahl "erzeugt". Sinniert man
jedoch über das Programm als ganzes, "sieht" man die unendliche
Strichliste |||... welche die Menge aller dieser Zahlen darstellt.
Ist es zulässig, aus |||... auf die binäre Darstellung 111... zu
kommen (über (|)(||)(||||)...=2^0+2^1+2^2+...)? Dann wären doch auch
Zahlen denkbar, die größer als jede endliche Zahl sind, aber kleiner
als 111..., z.B. 011... . Oder Zahlen wie 000...1000..., wo also eine
1 an einer nicht-endlichen Stelle erscheint, aber unendlich viele 0
folgen.
Besten Dank für Eure Hilfe und gute Nacht
Sebastian
Uwe Bosse
Die Unendlichkeiten gehören in der Tat zu den faszinierendsten Objekten der
Mathematik. Hilbert (ich glaub er war es) hat gesagt: "Aus dem Paradies,
das Cantor uns geschaffen hat, wird uns niemand mehr vertreiben können."
> Ich habe in der Zwischenzeit immer mal wieder
> über das Thema nachgedacht, ein wenig gelesen, und würde gerne wissen,
> ob es denn nicht doch einen Bereich unterscheidbarer Objekte zwischen
> den endlichen Zahlen und aleph_0 gibt.
>
per definitionem ist aleph_0 die kleinste unendliche Kardinalzahl, d.h.
kleinere Kardinalzahlen sind endlich. Also ist Deine Frage ganz klar
mit "Nein" zu beantworten.
> Ich habe ein intuitives Verständnis von einer endlichen Zahl.
... und vermutlich noch kein geschärftes Verständnis für unendliche Zahlen.
> Bei den
> Strichlisten könnte ich mir ein zählendes Programm vorstellen, daß in
> jedem Schritt einen weiteren Strich produziert. Zu jedem einzelnen
> Schritt wird eine natürliche, endliche Zahl "erzeugt". Sinniert man
> jedoch über das Programm als ganzes, "sieht" man die unendliche
> Strichliste |||... welche die Menge aller dieser Zahlen darstellt.
Hier bist Du an einen entscheidenden Punkt gekommen, der in der historischen
Diskussion über Cantors "Paradies" auch eine wesentliche Rolle gespielt
hat: Darf man (die Kardinalität) unendlicher Mengen als eigenständige
Objekte betrachten (sozusagen Dein Programm als "Zahl" auffassen) oder kann
man Unendlichkeit lediglich als ein Potential auffassen: Dein Programm ist
potentiell in der Lage beliebig viele Striche zu erzeugen.
Zum Paradies wurde die Beschäftigung mit der Unendlichkeit dadurch, dass die
Mathematiker irgendwann eine Zahl wie aleph_0 als handhabbares
mathematisches Objekt akzepiert haben - freilich erst, nachdem die Regeln,
wie sie zu handhaben sind und wie nicht, klar gefasst wurden.
>
> Ist es zulässig, aus |||... auf die binäre Darstellung 111... zu
> kommen (über (|)(||)(||||)...=2^0+2^1+2^2+...)? Dann wären doch auch
> Zahlen denkbar, die größer als jede endliche Zahl sind, aber kleiner
> als 111..., z.B. 011... . Oder Zahlen wie 000...1000..., wo also eine
> 1 an einer nicht-endlichen Stelle erscheint, aber unendlich viele 0
> folgen.
Hier wechselst Du vom Gebiet der Kardinalzahlen in das der Ordinalzahlen,
indem Du nicht mehr Mächtigkeiten, sondern Reihenfolgen - also Ordnungen -
betrachtest.
Der Unterschied ist der: eine Kardinalzahl beschreibt die Mächtigkeit einer
Menge. Alle Mengen haben die gleiche Kardinalität, zwischen denen es eine
Bijektion gibt. Eine Menge A hat kleinere Kardinalität als B, wenn es eine
Injektion von A in B gibt. So kann man Kardinalzahlen ordnen. "Sieben
Kartoffeln sind weniger als Neun, weniger als aleph_0" aber "aleph_0
Kartoffeln und zwei sind immer noch aleph_null kartoffeln". Diese Aussage
würde man durch Angabe einer Bijektion beweisen. (Übung!)
Ordinalzahlen stellen Reihenfolgen her nach dem Motto: "Du bist der erste,
Du bist der siebte, später kommt der neunte, irgendwann der omega-te und
dann der omaga-plus-eins-te." Gemeint könnten damit die Kartoffeln von oben
sein. Der Sack mit aleph_0 vielen Kartoffeln wird wie Deine Striche
aufgereiht, und zwei Kartoffeln darunter gelegt. Das wären dann die
omega-te und die omaga-plus-eins-te Kartoffel.
Du könntest die Kartoffeln anders hinlegen, so dass die Reihenfolge wie
omega+omega aussieht.
Deine vorgeschlagene Reihenfolge von 0-1-Folgen geht in diese Richtung.
Du bedienst Dich offenbar zum Nummerieren der Stellenzahl einer Ordinalzahl
größer als omega, dann möchtest Du sie ordnen, und zwar so, dass von zwei
0-1-Folgen die die kleinere ist, die an der ersten Stelle, in der sie sich
unterscheiden, eine Null hat. Damit kommst Du zu einer interessanten
Ordnung, die allerdings nicht taugt, um Unendlichkeiten zu vergleichen.
Du könntest genausogut die ganzen Zahlen hinter die natürlichen Zahlen
hängen. Dann gäbe es zu jeder ganzen Zahl (die ja in der Reihenfolge hinter
den unendlich vielen natürlichen läge) eine kleinere.
Gruß Uwe.
Sebastian
vielen Dank für die ausführliche Antwort.
> per definitionem ist aleph_0 die kleinste unendliche Kardinalzahl, d.h.
> kleinere Kardinalzahlen sind endlich. Also ist Deine Frage ganz klar
> mit "Nein" zu beantworten.
Damit ist eigentlich alles gesagt. Ich verstehe, daß in der Mathematik
Strukturen von Axiomen und formaler Ableitung untersucht werden, die
unabhängig von intuitiven Vorstellungen oder realitätsbezug sind. Ich
bin Laie und verstehe die Dinge eher auf eine nichtformale, vielleicht
entfernt bildhafte Art, und bin wohl im Grunde etwas skeptisch
gegenüber dem Formalismus. Nicht dahingehend, daß die Mechanik und
Logik innerhalb eines formalen Systems nicht zulässig und zwingend
wäre, sondern ich habe eher den Eindruck, daß die geistig erfaßbaren
oder nur undeutlich erahnten Objekte und Vorstellungen, um die es bei
den natürlichen Zahlen geht, außerhalb "existieren" und durch die
axiomatische Beschreibung nur angenähert werden.
Ein schönes Beispiel dafür ist für mich die Beziehung zwischen dem
endlichen Zählen und aleph_0. Ich kann die Definitionen noch so oft
lesen, aber der Schlüssel zum (zugegebenermaßen sehr unvollständigen)
Verständnis war für mich erst die Unterscheidung zwischen der
Durchführung eines Prozesses (Zählen, dynamisch) und dem Betrachten
des Prozesses als ganzes (das Programm, statisch). Dieses zum
Verstehen Notwendige ist im Formalismus nicht enthalten.
> > Ich habe ein intuitives Verständnis von einer endlichen Zahl.
>
> ... und vermutlich noch kein geschärftes Verständnis für unendliche Zahlen.
wohl wahr ;-)
Aber welche Objekte betritt man dann, wenn man von aleph_0
zurückzählt? Sind das dann natürliche Zahlen? Es ist mir leider noch
immer nicht ganz klar.
Das mit der Bijektion verstehe ich und auch wieder nicht. Ich sehe
ein, daß man 1->2, 2->3, 3->4, ... abbilden kann, für alle endlichen
Zahlen. Aber wenn man sich dem unendlichen nähert, gilt das dann auch
noch? Beispielsweise, wenn man alle geraden Zahlen den natürlichen
Zahlen gegenüberstellt in der Art
1->2, 2->4, 3->6, ...
das ist klar. Aber wenn ich sie so darstelle:
0101010101... - nur gerade Zahlen
also jede Stelle steht für eine Zahl, dann ist klar, daß es nur halb
so viele 1 wie Stellen gibt, dazu braucht ja nur ein einziges Element
des Musters 01 betrachten. Oder anders, wenn man die Abstände immer
größer werden läßt:
0100100001000000001....
dann würden doch die 1 unendlich ausgedünnter sein.
Der entscheidende Unterschied hierbei für mich ist: In der dynamischen
Prozesssicht des endlichen Zählens hat die Bijektion für mich bestand.
Mache ich aber einen ähnlichen geistigen Schritt wie vom dynamischen
Zählen hin zu aleph_0, statisch "von oben" betrachtet, dann komme ich
um das Muster nicht umhin und "sehe" unterschiedlich große
Unendlichkeiten kleiner aleph_0, weil aleph_0 sozusagend die
"Grundtaktung" vorgibt. Die Bijektion kann es nicht auflösen, aber das
heißt doch nicht, daß es unsinn ist, oder doch?
Besten Dank für eine Antwort
Sebastian
Peter Niessen
> Der Unterschied ist der: eine Kardinalzahl beschreibt die Mächtigkeit einer
> Menge. Alle Mengen haben die gleiche Kardinalität, zwischen denen es eine
> Bijektion gibt.
Das ist richtig.
> Eine Menge A hat kleinere Kardinalität als B, wenn es eine
> Injektion von A in B gibt.
Das ist falsch.
|A|<|B| bedeutet das es unter allen Abbildungen f: A -> B keine surjektive Abbildung gibt.
--
Mit freundlichen Grüssen:
Peter Niessen
Peter Niessen
> Hallo zusammen,
>
> verzeiht, daß ich mal wieder geistigen Spam produziere. In einem
> dieser Cantor-Threads hatte Herbert Newman gezeigt, wie man die
> natürlichen Zahlen mittels Strichlisten darstellen kann ( |, ||,
> |||, ... ) und dann auf aleph_0 = |||... kommt. Meine
> Verständnisproblem war, wie es unendlich viele endliche natürliche
> Zahlen geben kann, und was aleph_0 - 1 ist. Herbert hatte mir
> geantwortet, daß aleph_0-1=aleph_0 ist bzw. das eine Subtraktion für
> aleph_0 undefiniert ist. Ich habe in der Zwischenzeit immer mal wieder
> über das Thema nachgedacht, ein wenig gelesen, und würde gerne wissen,
> ob es denn nicht doch einen Bereich unterscheidbarer Objekte zwischen
> den endlichen Zahlen und aleph_0 gibt.
So kommst du nicht weit
Beschäftige dich mal mit der Theorie der Ordinalzahlen, dann lösen sich
deine Fragen in Rauch auf. Leider kenne ich keinen wirklich brauchbaren
Link für Anfänger. Bei Wiki http://de.wikipedia.org/wiki/Ordinalzahl muss
man schon vorher wissen worin der Witz liegt. Ein gutes Buch zur Einführung
in die Mengenlehre hilft da mehr.
Uwe Bosse
> Uwe Bosse <wers...@ich.ms> writes:
>>Eine Menge A hat kleinere Kardinalität als B, wenn es eine
>>Injektion von A in B gibt.
>
> Hat dann die Menge der natürlichen Zahlen N eine kleinere
> Kardinalität als die Menge der natürlichen Zahlen N? (Es
> gibt ja eine injektive Abbildung von N nach N, nämlich die
> Identität.)
Klar, meine Definition war Unsinn. Es muss natürlich heißen |A|<|B| wenn es
eine Injektion von A nach B aber keine Surjektion von A nach B gibt.
Aber das ist für das hier diskutierte Problem nicht relevant.
Christopher Creutzig
> Aber welche Objekte betritt man dann, wenn man von aleph_0
> zurückzählt? Sind das dann natürliche Zahlen? Es ist mir leider noch
> immer nicht ganz klar.
Ich befürchte, da musst Du Dich erst einmal auf den Formalismus
einlassen, um von da aus eine Intuition zu entwickeln, die Du im
Endlichen ja schon aus dem alltäglichen Umgang mit endlichen Anzahlen
hast. Und vom Standpunkt des Formalismus aus ist die Antwort recht
einfach: Definiere erst einmal, was denn dieses „Zurückzählen“ sein
soll, dann können wir ausrechnen, was man dabei bekommt.
Im Endlichen kommt man von n auf n-1, grob gesagt, ganz einfach
dadurch, dass man aus einer Menge der Kardinalität n ein Element
entfernt und die Kardinailität der neuen Menge anschaut. (*) Wenn Du das
mit einer Menge der Kardinalität aleph_0 machst, kommt wieder eine Menge
der gleichen Kardinalität heraus. In diesem Sinne ist also ganz klar
aleph_0-1 = aleph_0. (Z.B. ist es für die Kardinalität der natürlichen
Zahlen völlig irrelevant, ob sie bei 0 oder bei 1 anfangen.)
(*) Streng genommen sollte die Erklärung weniger prozedural aussehen und
nur von statischen Mengen sprechen, aber das ist schlechter lesbar. So
etwas in der Art „Sei M eine Menge mit |M| = n > 0. Dann existiert ein x
e M. Definiere n-1 := |M \ {x}|.“ Dann fehlt noch ein Beweis, dass das
Ergebnis unabhängig davon ist, welches x gewählt wurde (ist nicht
schwierig). Um zu schauen, wie das Ganze im einfachsten unendlichen Fall
aussieht, setz in diese Definition einfach M=N (natürliche Zahlen) und
z.B. x=5 ein.
> Das mit der Bijektion verstehe ich und auch wieder nicht. Ich sehe
> ein, daß man 1->2, 2->3, 3->4, ... abbilden kann, für alle endlichen
> Zahlen. Aber wenn man sich dem unendlichen nähert, gilt das dann auch
> noch? Beispielsweise, wenn man alle geraden Zahlen den natürlichen
N enthält keine unendlichen Zahlen. Wie Du bereits schriebst,
funktioniert das Ganze für alle endlichen Zahlen, Etwas Anderes gibt es
in N nicht. Und man „nähert sich“ ja nicht dem Unendlichen –
10^(10^(10^10)) ist weit, weit, jenseits der Anzahl subatomarer Partikel
im Universum, aber aus Sicht der Mathematik auch nicht „dichter“ an
„unendlich“ als 4.
> Zahlen gegenüberstellt in der Art
> 1->2, 2->4, 3->6, ...
> das ist klar. Aber wenn ich sie so darstelle:
> 0101010101... - nur gerade Zahlen
> also jede Stelle steht für eine Zahl, dann ist klar, daß es nur halb
> so viele 1 wie Stellen gibt, dazu braucht ja nur ein einziges Element
> des Musters 01 betrachten. Oder anders, wenn man die Abstände immer
> größer werden läßt:
> 0100100001000000001....
> dann würden doch die 1 unendlich ausgedünnter sein.
Richtig. Zahlentheoretiker untersuchen durchaus auch solche Dinge;
wimre ist das Stichwort hier die asymptotische Dichte. Die asymptotische
Dichte der geraden Zahlen in den natürlichen Zahlen ist natürlich 1/2,
die der Quadratzahlen ist 0, und die der Zahlen größer als 7 ist 1. Und
trotzdem gibt es genau „gleich viele“ gerade Zahlen, Quadratzahlen, und
natürliche Zahlen größer als 7.
> Der entscheidende Unterschied hierbei für mich ist: In der dynamischen
> Prozesssicht des endlichen Zählens hat die Bijektion für mich bestand.
Die Bijektion n -> 2*n ist aber kein Prozess, oder anders gesagt nicht
nur ein solcher. Sie ist die statische Menge {(1,2), (2,4), (3,6), …}.
Und die einzige Frage ist, ob sie existiert – tut sie in diesem Fall.
Das mag unbefriedigend sein. Meines Wissens ist das aber bislang der
einzige Ansatz zum Umgang mit unendlichen Mengen geblieben, bei dem
keine inneren Widersprüche bekannt sind. Deshalb hat sich das ja auch
durchgesetzt.
--
Das Hosten fremder Trojaner ist eine Straftat. Auf deutsche Rechner
gehört der Bundestrojaner. (C.T. in dsrm)
Philipp Klaus Krause
> Hallo zusammen,
>
> verzeiht, daß ich mal wieder geistigen Spam produziere. In einem
> dieser Cantor-Threads hatte Herbert Newman gezeigt, wie man die
> natürlichen Zahlen mittels Strichlisten darstellen kann ( |, ||,
> |||, ... ) und dann auf aleph_0 = |||... kommt. Meine
> Verständnisproblem war, wie es unendlich viele endliche natürliche
> Zahlen geben kann, und was aleph_0 - 1 ist. Herbert hatte mir
> geantwortet, daß aleph_0-1=aleph_0 ist bzw. das eine Subtraktion für
> aleph_0 undefiniert ist. Ich habe in der Zwischenzeit immer mal wieder
> über das Thema nachgedacht, ein wenig gelesen, und würde gerne wissen,
> ob es denn nicht doch einen Bereich unterscheidbarer Objekte zwischen
> den endlichen Zahlen und aleph_0 gibt.
Nun, Du könntest ein Nichtstandardmodell der Peanoaxiome betrachten.
Darin hättest Du dann von "außen" betrachtet mit den
Nichtsstandardelementen durchaus solche Zahlen, die unterscheidbar und
von "außen" betrachtet unendlich sind. Von "innen" gesehen sind sie aber
auch nicht anders als die anderen natürlichen Zahlen.
Philipp
WM
> Hallo zusammen,
>
> verzeiht, daß ich mal wieder geistigen Spam produziere. In einem
> dieser Cantor-Threads hatte Herbert Newman gezeigt, wie man die
> natürlichen Zahlen mittels Strichlisten darstellen kann ( |, ||,
> |||, ... ) und dann auf aleph_0 = |||... kommt. Meine
> Verständnisproblem war, wie es unendlich viele endliche natürliche
> Zahlen geben kann, und was aleph_0 - 1 ist. Herbert hatte mir
> geantwortet, daß aleph_0-1=aleph_0 ist bzw. das eine Subtraktion für
> aleph_0 undefiniert ist. Ich habe in der Zwischenzeit immer mal wieder
> über das Thema nachgedacht, ein wenig gelesen, und würde gerne wissen,
> ob es denn nicht doch einen Bereich unterscheidbarer Objekte zwischen
> den endlichen Zahlen und aleph_0 gibt.
Nein.
Der einzige widerspruchsfreie Umgang mit unendlichen Mengen ist der
über Jahrtausende gepflegte, nämlich die potentielle Unendlichkeit.
Die folgende Liste
0,0
0,1
0,11
0,111
...
enthält keine Zahl mit unendlich vielen Einsen, aber zu jeder Zahl mit
n Einsen gibt es eine Zahl mit n+1 Einsen. Natürlich gibt es so
niemals eine vollständige unendlich Liste und auch keine vollständige
Diagonalzahl der Form 0,111...
Die statische (aktuale) Unendlichkeit verlangt dagegen, dass in der
Liste alle Zahlen mit endlich vielen Einsen enthalten und von der
Diagonalzahl 0,111... mit unendlich vielen Einsen 0,111... verschieden
sind. Es gibt demnach eine Zahl mit aleph_0 Einsen, die mehr Einsen
als jede Zahl der Liste enthält. Deshalb sagt man, aleph_0 sei größer
als jede natürliche Zahl.
Bei der potentiellen Interpretation der Unendlichkeit wäre das nicht
der Fall, und damit gibt es auch keine Möglichkeit ins Überabzählbare
vorzustoßen.
Die aktuale Interpretation unterscheidet 0,111... von jeder Zahle der
Liste. Da in der Liste aber bereits alle natürlichen Indizes mit
Einsen belegt sind, muss die von allen unterschiedene Diagonalzahl
0,111... mindestens eine 1 an einer nicht natürlich indizierten Stelle
besitzen. Denn merke: Dezimaldarstellungen von Zahlen unterscheiden
sich durch Ziffern, nicht durch diarrhöetische Ziffernproduktion -
insbesondere wenn sowieso alles statisch ist.
Betrachtet wir aber nun die Darstellungen aller reellen Zahlen des
Einheitsintervalls als Pfade im unendlichen binären Baum, dann erleben
wir eine Enttäuschung. Es ist unmöglich, dass überabzählbar viele
unterscheidbare Pfade nebeneinander und unabhängig voneinander im
binären Baum existieren, denn der binäre Baum besitzt nur abzählbar
viele Knoten bzw. Kanten. Selbst wenn wir alle seine Kanten
nebeneinanderlegen wollten, kämen wir nicht auf überabzählbar viele
Pfade. Hier müssen wir wieder auf Grenzwerte und potentielle
Unendlichkeit zurückgreifen. Doch damit versagt die Interpretation der
Grenzwerte als Zahlen mit eigenständigen Dezimaldarstellungen, wie sie
für eine Cantor-Liste benötigt werden.
Also können nicht alle reellen Zahlen des Einheitsintervalls als
eigenständige Ziffernfolgen existieren. Also gibt es gar nicht
überabzählbar viele. Und deshalb gibt es auch nicht aktual unendlich
viele, denn welche der überabzählbar vielen sollten das Privileg
besitzen, im binären Baum existieren zu dürfen? Es gibt kein aleph_0.
Und deshalb gibt es auch keine Zahl zwischen den natürlichen Zahlen
und aleph_0.
Gruß, WM
WM
wrote:
> Richtig. Zahlentheoretiker untersuchen durchaus auch solche Dinge;
> wimre ist das Stichwort hier die asymptotische Dichte. Die asymptotische
> Dichte der geraden Zahlen in den natürlichen Zahlen ist natürlich 1/2,
> die der Quadratzahlen ist 0, und die der Zahlen größer als 7 ist 1. Und
> trotzdem gibt es genau „gleich viele“ gerade Zahlen, Quadratzahlen, und
> natürliche Zahlen größer als 7.
Das ist falsch.
*Wenn* man annimmt, dass eine Bijektion zwischen zwei Mengen etwas
über die Anzahl der Elemente dieser Mengen aussagt, *dann* kann man
behaupten, dass es genau „gleich viele“ gerade Zahlen, Quadratzahlen,
und natürliche Zahlen größer als 7 gibt.
Wenn man das aber nicht annimmt, dann kann man das nicht behaupten.
Im Unendlichen ist keine der beiden Annahmen per se vorzuziehen. Daher
kann man mit gleichem Recht die asymptotische Dichte als Kriterium
heranziehen.
Dies haben kluge Männer schon vor langer Zeit erkannt: "Classical
logic was abstracted from the mathematics of finite sets and their
subsets .... Forgetful of this limited origin, one afterwards mistook
that logic for something above and prior to all mathematics, and
finally applied it, without justification, to the mathematics of
infinite sets. ... As Brouwer pointed out this is a fallacy, the Fall
and Original sin of set theory even if no paradoxes result from
it." [H. Weyl]
> Das mag unbefriedigend sein. Meines Wissens ist das aber bislang der
> einzige Ansatz zum Umgang mit unendlichen Mengen geblieben, bei dem
> keine inneren Widersprüche bekannt sind. Deshalb hat sich das ja auch
> durchgesetzt.
Der einzige widerspruchsfreie Umgang mit unendlichen Mengen ist der
Trotzdem frohe Ostern!
Gruß, WM
Uwe Bosse
>
> Damit ist eigentlich alles gesagt. Ich verstehe, daß in der Mathematik
> Strukturen von Axiomen und formaler Ableitung untersucht werden, die
> unabhängig von intuitiven Vorstellungen oder realitätsbezug sind.
Das stimmt nicht ganz. Ausgangspunkt der meisten formalen Definitionen sind
intuitive Vorstellungen davon, was man eigentlich beschreiben will.
Intuition und Kreativität sind der eigentliche Motor der Mathematik. Doch
bleibt man beim intuitiven Verständnis und beim Operieren
mit "anschaulichen" Vorstellungen, dann befindet man sich sehr schnell auf
unsicherem Boden und bricht durch dünnes Eis. Gerade die Beschäftigung mit
der Unendlichkeit ist ein hervorragendes Beispiel dafür. Da tauchen dann
Fragen auf, wie: kann es denn sein, dass es ebensoviele ganze Zahlen gibt,
wie es natürliche Zahlen gibt? Die Intuition sagt: nein! Keine Menge kann
so mächtig wie eine echte Teilmenge sein! Nun kann man entweder aufhören
oder man bedient sich eines schärferen Operationsbestecks: klarer
eindeutige Definitionen mit exakten Beweisen. Hierbei versucht der
Mathematiker sich durch seine Intuition leiten zu lassen, der Gradmesser
für Währheit ist aber nun kein Gefühl mehr sondern der Beweis.
Formalismus gibt Sicherheit und steht stets im Dienste mathematischer
Kreativität.
Ich glaube, wenn man Deine "Intuitionen" versucht mit dem Operationsbesteck
des Mathematikers zu behandeln, dann wirst Du genau auf den Unterschied
zwischen Ordinalzahlen (hier wird gezählt und in eine Reihenfolge gepackt)
und Kardinalzahlen (hier werden Mächtigkeiten verglichen) geführt.
Vielleicht nehme ich mir mal Zeit, eine Einführung zu Ordinalzahlen zu
schreiben. Aber nicht mehr heute.
Viel Vergnügen noch beim Nachdenken! Es lohnt sich.
Gruß, U. Bosse.
Uwe Bosse
> *Wenn* man annimmt, dass eine Bijektion zwischen zwei Mengen etwas
> über die Anzahl der Elemente dieser Mengen aussagt, *dann* kann man
> behaupten, dass es genau „gleich viele“ gerade Zahlen, Quadratzahlen,
> und natürliche Zahlen größer als 7 gibt.
> Wenn man das aber nicht annimmt, dann kann man das nicht behaupten.
> Im Unendlichen ist keine der beiden Annahmen per se vorzuziehen. Daher
> kann man mit gleichem Recht die asymptotische Dichte als Kriterium
> heranziehen.
>
Wenn man die asymptotische Dichte zum Vergleich der "Mächtigkeiten" etwa von
Teilmengen von N heranzieht, dann muss man akzeptieren, dass durch
schlichtes Umsortieren eine Menge eine andere "Mächtigkeit" bekommt.
Besser lassen wir asymptotische Dichte das sein, was sie ist und Mächtigkeit
so definiert wie sie es ist.
>
> Der einzige widerspruchsfreie Umgang mit unendlichen Mengen ist der
> über Jahrtausende gepflegte, nämlich die potentielle Unendlichkeit.
Das ist Unsinn. Natürlich kann nicht bewiesen werden, dass Cantors
Mengenlehre widerspruchsfrei ist (die Existenz eines solchen Beweises wäre
ein Beweis für ihre Widersprüchlichkeit, wenn ich Gödel richtig verstehe),
aber daraus abzuleiten, dass die Annahme des aktual unendlichen falsch ist,
hieße die Mathematik um eines ihrer spannendsten Kapitel zu verarmen.
>
> Bei der potentiellen Interpretation der Unendlichkeit wäre das nicht
> der Fall, und damit gibt es auch keine Möglichkeit ins Überabzählbare
> vorzustoßen.
>
Welche Verarmung!
>
> Betrachtet wir aber nun die Darstellungen aller reellen Zahlen des
> Einheitsintervalls als Pfade im unendlichen binären Baum, dann erleben
> wir eine Enttäuschung. Es ist unmöglich, dass überabzählbar viele
> unterscheidbare Pfade nebeneinander und unabhängig voneinander im
> binären Baum existieren, denn der binäre Baum besitzt nur abzählbar
> viele Knoten bzw. Kanten. Selbst wenn wir alle seine Kanten
> nebeneinanderlegen wollten, kämen wir nicht auf überabzählbar viele
> Pfade. Hier müssen wir wieder auf Grenzwerte und potentielle
> Unendlichkeit zurückgreifen. Doch damit versagt die Interpretation der
> Grenzwerte als Zahlen mit eigenständigen Dezimaldarstellungen, wie sie
> für eine Cantor-Liste benötigt werden.
>
> Also können nicht alle reellen Zahlen des Einheitsintervalls als
> eigenständige Ziffernfolgen existieren. Also gibt es gar nicht
> überabzählbar viele.
>
Ist das jetzt ironisch gemeint?
frohe Ostern, Uwe
WM
> WM wrote:
> > *Wenn* man annimmt, dass eine Bijektion zwischen zwei Mengen etwas
> > über die Anzahl der Elemente dieser Mengen aussagt, *dann* kann man
> > behaupten, dass es genau „gleich viele“ gerade Zahlen, Quadratzahlen,
> > und natürliche Zahlen größer als 7 gibt.
> > Wenn man das aber nicht annimmt, dann kann man das nicht behaupten.
> > Im Unendlichen ist keine der beiden Annahmen per se vorzuziehen. Daher
> > kann man mit gleichem Recht die asymptotische Dichte als Kriterium
> > heranziehen.
>
> Wenn man die asymptotische Dichte zum Vergleich der "Mächtigkeiten" etwa von
> Teilmengen von N heranzieht, dann muss man akzeptieren, dass durch
> schlichtes Umsortieren eine Menge eine andere "Mächtigkeit" bekommt.
> Besser lassen wir asymptotische Dichte das sein, was sie ist und Mächtigkeit
> so definiert wie sie es ist.
>
>
>
> > Der einzige widerspruchsfreie Umgang mit unendlichen Mengen ist der
> > über Jahrtausende gepflegte, nämlich die potentielle Unendlichkeit.
>
> Das ist Unsinn. Natürlich kann nicht bewiesen werden, dass Cantors
> Mengenlehre widerspruchsfrei ist
Aber es ist bewiesen worden, dass sie widersprüchlich ist. Leider
hast Du einen solchen Beweis gelöscht.
> (die Existenz eines solchen Beweises wäre
> ein Beweis für ihre Widersprüchlichkeit, wenn ich Gödel richtig verstehe),
und wenn das für Gödels Beweis erforderliche aktual Unendliche
existierte, was es aber nicht tut.
> aber daraus abzuleiten, dass die Annahme des aktual unendlichen falsch ist,
> hieße die Mathematik um eines ihrer spannendsten Kapitel zu verarmen.
Letzteres ist Ansichtssache. Meines Erachtens muss Mathematik vor
allem richtig sein, nicht unbedingt spannend. Aber ersteres ist eine
Verdrehung. "Daraus" habe ich nichts abgeleitet.
>
> > Bei der potentiellen Interpretation der Unendlichkeit wäre das nicht
> > der Fall, und damit gibt es auch keine Möglichkeit ins Überabzählbare
> > vorzustoßen.
>
> Welche Verarmung!
>
Purifikation. Reinigung der Mathenmatik von Tand und Flitter, die
selbst nach Ansicht ihrer Apologeten zu nichts nütze sind - außerhalb
der Mathematik.
>
>
>
>
>
> > Betrachtet wir aber nun die Darstellungen aller reellen Zahlen des
> > Einheitsintervalls als Pfade im unendlichen binären Baum, dann erleben
> > wir eine Enttäuschung. Es ist unmöglich, dass überabzählbar viele
> > unterscheidbare Pfade nebeneinander und unabhängig voneinander im
> > binären Baum existieren, denn der binäre Baum besitzt nur abzählbar
> > viele Knoten bzw. Kanten. Selbst wenn wir alle seine Kanten
> > nebeneinanderlegen wollten, kämen wir nicht auf überabzählbar viele
> > Pfade. Hier müssen wir wieder auf Grenzwerte und potentielle
> > Unendlichkeit zurückgreifen. Doch damit versagt die Interpretation der
> > Grenzwerte als Zahlen mit eigenständigen Dezimaldarstellungen, wie sie
> > für eine Cantor-Liste benötigt werden.
>
> > Also können nicht alle reellen Zahlen des Einheitsintervalls als
> > eigenständige Ziffernfolgen existieren. Also gibt es gar nicht
> > überabzählbar viele.
>
> Ist das jetzt ironisch gemeint?
Nein, wenn Du meinen Beweis nachvollziehen und eine andere Lösung
finden kannst, bin ich Dir sehr verbunden. Bisher habe ich allerdings
nur folgende "Lösungen" gehört:
Im binären Baum gilt nicht SUM[n = 1 --> oo] 0 < aleph_0.
Pfade des binären Baums, können sich vermehren, wenn sie unbeobachtet
sind.
Pfade sind mehr als nur die Folgen bestimmter Knoten.
Et derlei cetera.
Gruß, WM
Ralf Bader
> WM wrote:
>
>
>> *Wenn* man annimmt, dass eine Bijektion zwischen zwei Mengen etwas
>> über die Anzahl der Elemente dieser Mengen aussagt, *dann* kann man
>> behaupten, dass es genau „gleich viele“ gerade Zahlen, Quadratzahlen,
>> und natürliche Zahlen größer als 7 gibt.
>> Wenn man das aber nicht annimmt, dann kann man das nicht behaupten.
>> Im Unendlichen ist keine der beiden Annahmen per se vorzuziehen. Daher
>> kann man mit gleichem Recht die asymptotische Dichte als Kriterium
>> heranziehen.
Man kann auch einfach die Klappe halten, wenn nur Blödsinn herauskommt.
> Wenn man die asymptotische Dichte zum Vergleich der "Mächtigkeiten" etwa
> von Teilmengen von N heranzieht, dann muss man akzeptieren, dass durch
> schlichtes Umsortieren eine Menge eine andere "Mächtigkeit" bekommt.
> Besser lassen wir asymptotische Dichte das sein, was sie ist und
> Mächtigkeit so definiert wie sie es ist.
Ja. Insbesondere ist keiner der Begriffe durch den anderen ersetzbar. Beide
haben ihre Berechtigung und Notwendigkeit.
>> Der einzige widerspruchsfreie Umgang mit unendlichen Mengen ist der
>> über Jahrtausende gepflegte, nämlich die potentielle Unendlichkeit.
>
> Das ist Unsinn. Natürlich kann nicht bewiesen werden, dass Cantors
> Mengenlehre widerspruchsfrei ist (die Existenz eines solchen Beweises wäre
> ein Beweis für ihre Widersprüchlichkeit, wenn ich Gödel richtig verstehe),
Eher nicht. Auch ein Widerspruchsfreiheitsbeweis (WFB) benötigt
Voraussetzungen, und ist insofern nur relativ. Die Art von WFB
für /formale/ Theorien T, um die es bei Gödel geht, funktioniert so, daß
man die metasprachliche Aussage "T ist konsistent" in eine formale Aussage
f in T übersetzt, und dann in T dieses f ableitet. Eine echte Erkenntnis
hinsichtlich Widerspruchsfreiheit hat man damit aber trivialerweise nur
dann gewonnen, wenn die im Beweis von f verwendeten Mittel nicht ganz T
ausschöpfen, sondern nur einen Teil T'; dann wäre die Konsistenz von T auf
die von T' zurückgeführt. Beziehungsweise ist f in T ja insbesondere dann
ableitbar, wenn T inkonsistent ist. Gödel hat gezeigt, daß man für einen
WFB einer Theorie T (von mehr als minimaler Ausdrucksstärke) Mittel
braucht, die außerhalb von T liegen. Das heißt aber nicht, daß ein WFB
unmöglich wäre. So hat Gentzen die WF der "reinen" Arithmetik (Induktion
bis omega) gezeigt unter Verwendung von Induktion bis zu der sehr viel
größeren (aber abzählbaren) Ordinalzahl epsilon_0. Sinnvoll wird dieser
Beweis dadurch, daß er nicht alle in der reinen Arithmetik zur Verfügung
stehenden Mittel einsetzt (Gentzens sehr lesbare Arbeit ist beim Göttinger
Digitalisierungsserver erhältlich). Die Intention in Hilberts Programm war,
WFB mit den Mitteln des "finiten Standpunkts" zu führen. Der "finite
Standpunkt" umfaßte das, was sich auf anschauliches Operieren mit realen
Gegenständen zurückführen ließ; insbesondere war da nichts "unendlich", da
sich das der Anschaulichkeit entzieht. Seine Überzeugungskraft hätte so ein
WFB aus der Evidenz der Anschauung gewonnen. In der ursprünglich
beabsichtigten Form ging das nach den Resultaten von Gödel nicht mehr;
allerdings betrachtete Hilbert den finiten Standpunkt als variabel.
> aber daraus abzuleiten, dass die Annahme des aktual unendlichen falsch
> ist, hieße die Mathematik um eines ihrer spannendsten Kapitel zu verarmen.
>
>>
>> Bei der potentiellen Interpretation der Unendlichkeit wäre das nicht
>> der Fall, und damit gibt es auch keine Möglichkeit ins Überabzählbare
>> vorzustoßen.
>>
>
> Welche Verarmung!
>
>>
>> Betrachtet wir aber nun die Darstellungen aller reellen Zahlen des
>> Einheitsintervalls als Pfade im unendlichen binären Baum, dann erleben
>> wir eine Enttäuschung. Es ist unmöglich, dass überabzählbar viele
>> unterscheidbare Pfade nebeneinander und unabhängig voneinander im
>> binären Baum existieren, denn der binäre Baum besitzt nur abzählbar
>> viele Knoten bzw. Kanten. Selbst wenn wir alle seine Kanten
>> nebeneinanderlegen wollten, kämen wir nicht auf überabzählbar viele
>> Pfade. Hier müssen wir wieder auf Grenzwerte und potentielle
>> Unendlichkeit zurückgreifen. Doch damit versagt die Interpretation der
>> Grenzwerte als Zahlen mit eigenständigen Dezimaldarstellungen, wie sie
>> für eine Cantor-Liste benötigt werden.
>>
>> Also können nicht alle reellen Zahlen des Einheitsintervalls als
>> eigenständige Ziffernfolgen existieren. Also gibt es gar nicht
>> überabzählbar viele.
>>
>
> Ist das jetzt ironisch gemeint?
Nein, Herr Professor(!) Mückenheim meint das, und einen Haufen weiteren
Unsinns, cf.
http://arxiv.org/find/all/1/all:+Mueckenheim/0/1/0/all/0/1
ganz ernst, und geht damit seit Jahren hier und anderswo hausieren. M.a.W.,
weitere Diskussion ist überflüssig. Unter richtigen Mathematikern kommt er
dabei nicht so wahnsinnig gut an, siehe z.B.
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2009-March/013491.html
und die Reaktionen darauf. Seine Studenten zu verblöden, und in
(unmoderierten) Newsgruppen Endlosdiskussionen zu generieren, schafft er
jedoch.
Zum ursprünglichen Thema dieses Threads: Es lassen sich schon Zahlbereiche
bilden, in denen man "von aleph_0 rückwärts" zählen kann; natürlich kommt
man da nicht zu Ordinalzahlen. Cf.
http://www.tondering.dk/claus/sur15.pdf
Levitz, Hilbert: NON-STANDARD ANALYSIS: AN EXPOSITION
L'Enseignement Mathématique, Vol.20 (1974), erhältlich bei
http://retro.seals.ch/
Ralf
--
How lucky we are that Cantor introduced curly brackets! But it was no[t]
he who introduced the silly distinction between a and {a} that enables
so called mathematicians to build card houses on nothing.
(Prof. Dr. W. Mückenheim, mathematical mastermind of "Augsburg University of
Applied Science" , in sci.math)
Christopher Creutzig
> On 10 Apr., 14:23, Christopher Creutzig <christop...@creutzig.de>
> wrote:
>
>> Richtig. Zahlentheoretiker untersuchen durchaus auch solche Dinge;
>> wimre ist das Stichwort hier die asymptotische Dichte. Die asymptotische
>> Dichte der geraden Zahlen in den natürlichen Zahlen ist natürlich 1/2,
>> die der Quadratzahlen ist 0, und die der Zahlen größer als 7 ist 1. Und
>> trotzdem gibt es genau „gleich viele“ gerade Zahlen, Quadratzahlen, und
>> natürliche Zahlen größer als 7.
>
> Das ist falsch.
Nein, ist es nicht. Es entspricht nur einfach nicht Deiner
Interpretation der Worte „gleich viele“. Es gibt aber keinen Grund, die
für irgendwie besser zu halten als die von mir verwendete. Andererseits
gibt es einen recht guten, außermathematematischen, Grund, die von mir
verwendete Interpretation vorzuziehen: Sie ist einfach verbreiteter, und
die Worte so zu verwenden wie die weit überwiegende Mehrheit der Leute,
die irgend etwas gehaltvolles über Mathematik sagen, erleichtert die
Kommunikation.
> *Wenn* man annimmt, dass eine Bijektion zwischen zwei Mengen etwas
> über die Anzahl der Elemente dieser Mengen aussagt, *dann* kann man
> behaupten, dass es genau „gleich viele“ gerade Zahlen, Quadratzahlen,
> und natürliche Zahlen größer als 7 gibt.
Eben. Und diese „Annahme“ wird in der Regel nicht als „Annahme“
angesehen, sondern allenfalls als leicht unschöne vereinfachte
Formulierung für „gleiche Mächtigkeit“. Und dass zwei Mengen, zwischen
denen eine Bijektion besteht, die gleiche Mächtigkeit haben, ist nun
wirklich keine Ansicht oder Annahme, sondern schlichtweg die Definition
des Begriffs Mächtigkeit.
> Wenn man das aber nicht annimmt, dann kann man das nicht behaupten.
Tja. Ich tue das aber, und damit ist meine Behauptung eben nicht falsch.
> Im Unendlichen ist keine der beiden Annahmen per se vorzuziehen. Daher
> kann man mit gleichem Recht die asymptotische Dichte als Kriterium
> heranziehen.
Für Teilmengen natürlicher Zahlen, ja. Wenn man damit leben kann, dass
plötzlich die Elemente einer Menge eine Reihenfolge haben, die einen
ganz massiven Einfluss darauf hat, „wie viele“ Elemente eine Teilmenge
hat. Beides finde ich massivst unbefriedigend.
> Der einzige widerspruchsfreie Umgang mit unendlichen Mengen ist der
> über Jahrtausende gepflegte, nämlich die potentielle Unendlichkeit.
Ich kenne weder ein Beispiel für Widersprüche im üblichen Umgang mit
Unendlichkeiten (Deine Konstruktionsversuche sind hier bislang
ausnahmslos widerlegt worden, auch wenn Du immer Tausende von Postings
lang behauptet hast, die Widerlegungen seien nicht stichhaltig), noch
eine brauchbare (d.h. stringent formalisierte) Definition, was denn eine
potentielle Unendlichkeit sein soll und wie sie sich von einer
„aktualen“ Unendlichkeit unterscheidet.
> Die folgende Liste
>
> 0,0
> 0,1
> 0,11
> 0,111
> ...
>
> enthält keine Zahl mit unendlich vielen Einsen, aber zu jeder Zahl mit
> n Einsen gibt es eine Zahl mit n+1 Einsen. Natürlich gibt es so
> niemals eine vollständige unendlich Liste und auch keine vollständige
> Diagonalzahl der Form 0,111...
Das sind vier Behauptungen, von denen ich der ersten und zweiten
problemlos zustimmen kann und die vierte nicht wirklich verstehe. Wenn
ich sie interpretiere als „die Liste enthält keine Zahl der Form
0,111...“, dann ist das schlicht die erste Behauptung, geschenkt.
Die dritte Behauptung ist natürlich falsch, denn die Liste ist ja
vollständig determiniert (z.B. durch das Bildungsgesetz
a(n)=a(n-1)+10^(n-1)). Damit sind sämtliche (unendlich vielen) Elemente
bereits festgelegt und es ist vollkommen irrelevant, durch welchen
Prozess man sie erzeugen würde, wenn man das denn täte. Was soll
mathematische Existenz denn noch brauchen? Dass irgendein Beobachter
einen konkreten Eintrag tatsächlich aufgeschrieben hat? Sorry, aber wir
betreiben hier keine quantenmechanischen Experimente.
> Die statische (aktuale) Unendlichkeit verlangt dagegen, dass in der
> Liste alle Zahlen mit endlich vielen Einsen enthalten und von der
Falsch. Genauso wenig wie die statische Menge aller natürlichen Zahlen
irgendeine unendliche Zahl enthält.
Widerlegung fertig.
> Trotzdem frohe Ostern!
Gleichfalls.
Sebastian
Nochmals vielen Dank für die Antworten, ich muß das erstmal sacken
lassen. Es ist wirklich ein sehr schwieriges, aber auch faszinierendes
Gebiet, weil grundlegend. Gerade weil ich versuche, eigenständig über
das Thema nachzudenken, komme ich auf vermutlich recht kindlich
anmutende Ideen. Als Laie mit begrenzten Ressourcen habe ich oft den
Eindruck, das die eigentlichen Ideen und Hintergründe gut versteckt
sind. In den sehr knappen, fast rein formalen Texten fehlt mir oft
eine ergänzende Erklärung, z.B. für die Gründe, Einordnung in einen
größeren Zusammenhang und vielleicht von Kritikern genannten Probleme
um einzelne Axiome und implizite Annahmen, denn genau da setzt bei mir
oft das eigentliche Verständnisproblem an. In den
populärwissenschaftlichen Büchern dagegen werden zum Teil für mein
Empfinden haarsträubende Behauptungen ohne weitere Diskussion oder
Begründung vorgetragen, da lagen mir Fränkel und Kampke schon mehr.
Wikipedia ist eine sehr angenehme Quelle, weil es einen guten
Überblick gibt und auch Randbemerkungen zuläßt, aber nicht in
unendliche Nebendiskussionen ausartet wie diese Newsgroup. Nur leider
läßt Wikipedia so manches offen. Ich finde auch WMs Kritik lesenswert;
es wäre interessant, den ganzen Komplex in einer Art erweiterten
Wikipedia inklusiv Kritiken und Erwiderungen, sachlich reduziert,
lesen zu können. Aber das ist vermutlich erstmal Fiktion ;-)
Christopher Creutzig
> läßt Wikipedia so manches offen. Ich finde auch WMs Kritik lesenswert;
Lesenswert durchaus. Allerdings jeweils nur beim ersten Mal, die n+1-te
Wiederholung enthält nur in Ausnahmefällen noch irgend etwas, was vorher
noch nicht widerlegt wurde.
> es wäre interessant, den ganzen Komplex in einer Art erweiterten
> Wikipedia inklusiv Kritiken und Erwiderungen, sachlich reduziert,
> lesen zu können. Aber das ist vermutlich erstmal Fiktion ;-)
Ich bezweifele, dass so ein Ansatz allen Standpunkten gerecht werden
könnte. Von einem durchschnittlichen Mathematiker verfasst, würden die
Argumente WMs vermutlich recht dürftig aussehen, weil sie sich nur sehr
schwer gleichzeitig mathematisch sauber und halbwegs plausibel
formulieren lassen. Von WM formuliert, sähe der „traditionelle“
mathematische Ansatz vermutlich sehr abenteuerlich aus, weil das von
seinem Standpunkt aus nun einmal einfach so zu sein scheint. Und da wir
es vermutlich nicht schaffen werden, dass jemand vom Schlage eines Ian
Stewart die Zeit investiert, diese nicht ganz neue Debatte zwischen
intuitionsgeleiteten Laien (was keine Abwertung beinhalten soll!) und an
die etablierten Standards gewöhnten Fachmenschen mundgerecht
aufzuarbeiten, hast Du wohl absolut recht: Das ist vermutlich erst mal
Fiktion.
Herbert Newman
> Nochmals vielen Dank für die Antworten, ich muß das erstmal sacken
> lassen. Es ist wirklich ein sehr schwieriges, aber auch faszinierendes
> Gebiet, weil grundlegend.
In der Tat. Das ganze Gebiet hat durchaus was. Denn zum einen ist
Mengenlehre eine mathematische Theorie wie jede andere, zum anderen führt
sie mitten hinein in die "Grundlagenproblematik" der Mathematik.
> Gerade weil ich versuche, eigenständig über das Thema nachzudenken,
> komme ich auf vermutlich recht kindlich anmutende Ideen.
Ja, das ist in Bezug auf die Mengenlehre wohl nur natürlich. Um so mehr
zeigt es, welch "gigantische" Leistung CANTOR, der Begründer der
Mengenlehre, (praktisch im Alleingang) vollbracht hat!
> Als Laie mit begrenzten Ressourcen habe ich oft den Eindruck, dass
> die eigentlichen Ideen und Hintergründe gut versteckt sind.
Das ist bei vielen ausgearbeiteten mathematischen Theorien so. [...]
> In den sehr knappen, fast rein formalen Texten fehlt mir oft
> eine ergänzende Erklärung, z.B. für die Gründe, Einordnung in einen
> größeren Zusammenhang und vielleicht von Kritikern genannten Probleme
> um einzelne Axiome und implizite Annahmen, denn genau da setzt bei mir
> oft das eigentliche Verständnisproblem an. In den
> populärwissenschaftlichen Büchern dagegen werden zum Teil für mein
> Empfinden haarsträubende Behauptungen ohne weitere Diskussion oder
> Begründung vorgetragen, da lagen mir Fraenkel und Kamke schon mehr.
In diesem Fall kann ich Dir wirklich auch den Deiser empfehlen:
Mengenlehren-Experte, der eine Einführung heschrieben hat, die "naiv"
beginnt (um ein grundlegendes Verständnis für die Mengenlehre zu wecken),
um später dann zur ZFC überzuleiten - eingebettet in historische
Anmerkungen! :-)
Und mit über 500 Seiten alles andere als knapp... :-)
Siehe:
http://tinyurl.com/c9lgfc
> Wikipedia ist eine sehr angenehme Quelle, weil es einen guten
> Überblick gibt und auch Randbemerkungen zuläßt, aber nicht in
> unendliche Nebendiskussionen ausartet wie diese Newsgroup. Nur leider
> läßt Wikipedia so manches offen.
Ja. Um mal schnell was nachzusehen, gelegentlich ganz hilfreich. Aber eben
kein Ersatz für ein systematisch aufgebautes Lehrwerk.
Herbert
Ralf Bader
> Sebastian wrote:
>
>> läßt Wikipedia so manches offen. Ich finde auch WMs Kritik lesenswert;
>
> Lesenswert durchaus. Allerdings jeweils nur beim ersten Mal, die n+1-te
> Wiederholung enthält nur in Ausnahmefällen noch irgend etwas, was vorher
> noch nicht widerlegt wurde.
>
>> es wäre interessant, den ganzen Komplex in einer Art erweiterten
>> Wikipedia inklusiv Kritiken und Erwiderungen, sachlich reduziert,
>> lesen zu können. Aber das ist vermutlich erstmal Fiktion ;-)
>
> Ich bezweifele, dass so ein Ansatz allen Standpunkten gerecht werden
> könnte. Von einem durchschnittlichen Mathematiker verfasst, würden die
> Argumente WMs vermutlich recht dürftig aussehen, weil sie sich nur sehr
> schwer gleichzeitig mathematisch sauber und halbwegs plausibel
> formulieren lassen.
Aber wenn man auf das Erfordernis der Plausibilität verzichtete, dann
könnte man sie zumindest mathematisch sauber formulieren? Wie sähe so
eine Formulierung aus?
Ralf
Peter Niessen
> Nein.
>
> Der einzige widerspruchsfreie Umgang mit unendlichen Mengen ist der
> über Jahrtausende gepflegte, nämlich die potentielle Unendlichkeit.
> Die folgende Liste
>
> 0,0
> 0,1
> 0,11
> 0,111
> ...
>
> enthält keine Zahl mit unendlich vielen Einsen, aber zu jeder Zahl mit
> n Einsen gibt es eine Zahl mit n+1 Einsen. Natürlich gibt es so
> niemals eine vollständige unendlich Liste und auch keine vollständige
> Diagonalzahl der Form 0,111...
Du wirst es wohl nie begreifen:
Obiges ist die (abgekürzte) Darstellung endlicher! Zahlen durch Folgen
(resp. Reihen) und die Menge aller solcher Folgen (Reihen) ist nun mal
nicht abzählbar. Falls du mir eine unendliche reelle Zahl nennen kannst,
schenke ich dir ein Osterei.
WM
wrote:
> WM wrote:
> > On 10 Apr., 14:23, Christopher Creutzig <christop...@creutzig.de>
> > wrote:
>
> > Die folgende Liste
>
> > 0,0
> > 0,1
> > 0,11
> > 0,111
> > ...
>
> > enthält keine Zahl mit unendlich vielen Einsen, aber zu jeder Zahl mit
> > n Einsen gibt es eine Zahl mit n+1 Einsen. Natürlich gibt es so
> > niemals eine vollständige unendlich Liste und auch keine vollständige
> > Diagonalzahl der Form 0,111...
>
> Das sind vier Behauptungen, von denen ich der ersten und zweiten
> problemlos zustimmen kann und die vierte nicht wirklich verstehe. Wenn
> ich sie interpretiere als „die Liste enthält keine Zahl der Form
> 0,111...“, dann ist das schlicht die erste Behauptung, geschenkt.
>
> Die dritte Behauptung ist natürlich falsch, denn die Liste ist ja
> vollständig determiniert
Sie ist determiniert, aber es gibt keine Instanz, nach der man sagen
könnte: fertig!
> (z.B. durch das Bildungsgesetz
> a(n)=a(n-1)+10^(n-1)). Damit sind sämtliche (unendlich vielen) Elemente
> bereits festgelegt und es ist vollkommen irrelevant, durch welchen
> Prozess man sie erzeugen würde, wenn man das denn täte. Was soll
> mathematische Existenz denn noch brauchen? Dass irgendein Beobachter
> einen konkreten Eintrag tatsächlich aufgeschrieben hat? Sorry, aber wir
> betreiben hier keine quantenmechanischen Experimente.
Wir versuchen potentielle und aktuale Unendlichkeit zu unterscheiden.
Im übrigen hat Mathematik mit Erkenntnis zu tun, und Erkenntnis ist
auf die Naturgesetze angewiesen, u.a., auch auf die QM.
>
> > Die statische (aktuale) Unendlichkeit verlangt dagegen, dass in der
> > Liste alle Zahlen mit endlich vielen Einsen enthalten und von der
>
> Falsch. Genauso wenig wie die statische Menge aller natürlichen Zahlen
> irgendeine unendliche Zahl enthält.
>
> Widerlegung fertig.
Durch Löschen des Argumentes?
Die statische (aktuale) Unendlichkeit verlangt dagegen, dass in der
Liste alle Zahlen mit endlich vielen Einsen enthalten und von der
Diagonalzahl 0,111... mit unendlich vielen Einsen 0,111...
verschieden
sind.
Warum? Weil sonst diese Liste ihre Diagonalzahl enthielte.
Es gibt demnach eine Zahl mit aleph_0 Einsen, die mehr Einsen
als jede Zahl der Liste enthält. Deshalb sagt man, aleph_0 sei größer
als jede natürliche Zahl.
Gruß, WM
WM
Ja, aber das rechtfertigt nicht Deine obige falsche Aussage: "trotzdem
gibt es genau „gleich viele“ gerade Zahlen, Quadratzahlen, und
natürliche Zahlen größer als 7."
>
> > Wenn man das aber nicht annimmt, dann kann man das nicht behaupten.
>
> Tja. Ich tue das aber, und damit ist meine Behauptung eben nicht falsch.
>
> > Im Unendlichen ist keine der beiden Annahmen per se vorzuziehen. Daher
> > kann man mit gleichem Recht die asymptotische Dichte als Kriterium
> > heranziehen.
>
> Für Teilmengen natürlicher Zahlen, ja. Wenn man damit leben kann, dass
> plötzlich die Elemente einer Menge eine Reihenfolge haben, die einen
> ganz massiven Einfluss darauf hat, „wie viele“ Elemente eine Teilmenge
> hat. Beides finde ich massivst unbefriedigend.
Ebenso unbefriedigend ist es, dass die Anzahl aller natürlichen Zahlen
größer als 7 genau so groß wie die aller natürlichen Zahlen größer als
8 sein soll. Deswegen sagte ich:
> > Der einzige widerspruchsfreie Umgang mit unendlichen Mengen ist der
> > über Jahrtausende gepflegte, nämlich die potentielle Unendlichkeit.
>
> Ich kenne weder ein Beispiel für Widersprüche im üblichen Umgang mit
> Unendlichkeiten (Deine Konstruktionsversuche sind hier bislang
> ausnahmslos widerlegt worden,
Das Problem ist, dass diese "Widerlegungen" bislang aus apodiktischen
Sätzen bestand, wie etwa: Die Beweise sind einfach aber falsch. Oder:
One can argue directly that there are 2^N paths and N nodes. Aber in
der letzten Zeit haben einige Kühne doch tatsächlich gewagt, sich in
Argumente zu verstricken, unter anderem in einer Gruppe, die sich
Fools Of Matheology oder so ähnlich nennt, jedenfalls sehr naiv und
natürlich ohne Widerspruch zuzulassen (weshalb ich auch schleunigst
das Abonnement wieder gekündigt habe). Ich werde diese und andere
Argumente mit Quellenangabe demnächst einmal hier zusammenstellen,
aber der Bedeutung des Ereignisses gemäß in einem eigenen Thread. Du
wirst überrascht sein, wie schlagend diese Argumente sind. Dann kannst
Du Dir aussuchen, welcher argumentativen Linie Du folgen willst, oder
ob Dir selbst etwas dazu einfällt.
Gruß, WM
WM
wrote:
Danke. Ich werde das Thema in Kürze hier in einem Thread: Argumente
zum binären Baum zusammenfassen.
Gruß, WM
Rainer Willis
{...]
> Wir versuchen potentielle und aktuale Unendlichkeit zu unterscheiden.
Wozu?
> Im übrigen hat Mathematik mit Erkenntnis zu tun, und Erkenntnis ist
> auf die Naturgesetze angewiesen, u.a., auch auf die QM.
[...]
Warum schreibst du solch einen Unsinn, Wolfgang? Mathematik ist auf die
natürlichen Zahlen angewiesen, nicht auf Naturgesetze. Dass Naturgesetze
mathematischen Regeln gehorchen ist erstaunlich genug, der Umkehrschluss
gilt jedenfalls nicht.
Gruß Rainer
WM
> WM schrieb:
>
> {...]
>
> > Wir versuchen potentielle und aktuale Unendlichkeit zu unterscheiden.
>
> Wozu?
Um den Mengenlehreren die Augen dafür zu öffnen, dass sie leeren
Unsinn lehren.
>
> > Im übrigen hat Mathematik mit Erkenntnis zu tun, und Erkenntnis ist
> > auf die Naturgesetze angewiesen, u.a., auch auf die QM.
>
> [...]
>
> Warum schreibst du solch einen Unsinn, Wolfgang? Mathematik ist auf die
> natürlichen Zahlen angewiesen, nicht auf Naturgesetze.
Mathematik ist / basiert auf Erkenntnis und Kommunikation.
> Dass Naturgesetze
> mathematischen Regeln gehorchen ist erstaunlich genug,
Keineswegs. Mathematik wurde am Beispiel der Realität gebildet. Ohne
Sinneseindrücke wäre Denken unmöglich. Sollte sich das in de
Psychologie noch nicht herumgesprochen haben?
Gruß, WM
Rainer Willis
> On 17 Apr., 14:41, Rainer Willis <rainerwil...@web.de> wrote:
>> WM schrieb:
>>
>> {...]
>>
>>> Wir versuchen potentielle und aktuale Unendlichkeit zu unterscheiden.
>> Wozu?
>
> Um den Mengenlehreren die Augen dafür zu öffnen, dass sie leeren
> Unsinn lehren.
Also gewissermaßen eine Mission, ok.
Du hast AFAIR mit deinem binären Baum versucht, die Abzählbarkeit von R
zu zeigen, was gründlich daneben ging. Deine Beweisidee ist dabei nicht
schlecht, nur sie funktioniert eben nicht.
Auf der einen Seite lehnst du die Differenzierung unendlicher Mengen ab,
auf der anderen Seite willst du zwischen potentieller und aktualer
Unendlichkeit unterscheiden. Erstere kann ich einsehen, weil ich immer
die Potenzmenge bilden kann, letztere erscheint mir völlig überflüssig.
BTW: Macht es dich nicht stutzig, dass praktisch alle Mathematiker die
Mengenlehre akzeptieren? Wir sind uns hoffentlich darüber einig, dass es
sich nicht um lauter Dummköpfe handeln kann.
>>> Im übrigen hat Mathematik mit Erkenntnis zu tun, und Erkenntnis ist
>>> auf die Naturgesetze angewiesen, u.a., auch auf die QM.
>> [...]
>>
>> Warum schreibst du solch einen Unsinn, Wolfgang? Mathematik ist auf die
>> natürlichen Zahlen angewiesen, nicht auf Naturgesetze.
>
> Mathematik ist / basiert auf Erkenntnis und Kommunikation.
D'accord. Aber sie ist keine naturwissenschaftliche Erkenntnis.
>> Dass Naturgesetze
>> mathematischen Regeln gehorchen ist erstaunlich genug,
>
> Keineswegs. Mathematik wurde am Beispiel der Realität gebildet. Ohne
> Sinneseindrücke wäre Denken unmöglich. Sollte sich das in de
> Psychologie noch nicht herumgesprochen haben?
Natürlich hat sich Denken und Mathematik an der Realität gebildet, woran
auch sonst? Aber es geht doch um die Abstraktion von der Realität,
Sprache ist ein erster Schritt, Mathematik der nächste, nämlich radikale
Formalisierung. Es gibt in der Realität keine Zahlen, erst recht keine
Unendlichkeiten. Dennoch kann man damit herumspielen ... oder Maschinen
bauen, die an Zauberei grenzen.
Gruß Rainer
WM
> Du hast AFAIR mit deinem binären Baum versucht, die Abzählbarkeit von R
> zu zeigen, was gründlich daneben ging.
Nein, ich zeige nicht die Abzählbarkeit von R, sondern die
Nichtexistenz des aktual Unendlichen. Was daneben ging, ist nämlich
genau dieses. Ich habe es schon mehrfach erwähnt, aber von Dir ist ja
leider keine Argument zu hören:
Die Liste
0,0
0,1
0,11
0,111
...
muss wie jede andere eine Diagonalzahl besitzen, die nicht in ihr
vorhanden ist. Das ist die Zahl
0,111...
mit mehr Einsen als jede Listenzahl enthält. Da dieses "mehr" aufgrund
der Struktur der Listenzahlen nicht am Anfang oder in der Mitte
möglich ist, muss es am Ende auftreten. Es muss eine Eins in der
Diagonalzahl geben, die in keiner Listenzahl enthalten ist, *wenn* es
das aktual Unendliche gibt --- und wenn es das nicht gibt, dann gibt
es überhaupt keine irrationale Zahl in Dezimaldarstellung und damit
auch kein Cantor-Argument.
> Deine Beweisidee ist dabei nicht
> schlecht, nur sie funktioniert eben nicht.
Das ist eines der Argumente, die ich nicht in meine demnächst hier
erscheinende Sanmmlung aufnehme, denn von dieser Art gibt es mehr als
genug.
> Auf der einen Seite lehnst du die Differenzierung unendlicher Mengen ab,
> auf der anderen Seite willst du zwischen potentieller und aktualer
> Unendlichkeit unterscheiden. Erstere kann ich einsehen, weil ich immer
> die Potenzmenge bilden kann, letztere erscheint mir völlig überflüssig.
Die Potenzmenge einer endlichen Menge ist endlich. Damit die
Potenzmenge einer unendlichen Menge wie N überabzählbar sein kann,
muss *ganz* N existieren. Alle natürlichen Zahlen. Seid Ihr alle da?
Jaaaa.
>
> BTW: Macht es dich nicht stutzig, dass praktisch alle Mathematiker die
> Mengenlehre akzeptieren?
Macht es Dich nicht stutzig, dass alle Nichtmathematiker meine
Argumente verstehen können?
> Wir sind uns hoffentlich darüber einig, dass es
> sich nicht um lauter Dummköpfe handeln kann.
Auch die spanische Inquisition bestand nicht aus lauter Dummköpfen.
Trotzdem haben die Leute Dummes getan. Und viele tun es noch. Es ist
eine Sache der Indoktrination.
>
> >>> Im übrigen hat Mathematik mit Erkenntnis zu tun, und Erkenntnis ist
> >>> auf die Naturgesetze angewiesen, u.a., auch auf die QM.
> >> [...]
>
> >> Warum schreibst du solch einen Unsinn, Wolfgang? Mathematik ist auf die
> >> natürlichen Zahlen angewiesen, nicht auf Naturgesetze.
>
> > Mathematik ist / basiert auf Erkenntnis und Kommunikation.
>
> D'accord. Aber sie ist keine naturwissenschaftliche Erkenntnis.
Mathematik ist eine Abteilung der Physik. Ohne das, was wir hier
schreiben (und was vergleichbare Leute an vergleichbaren Orten
unternehmen) gäbe es keine Mathematik.
>
> >> Dass Naturgesetze
> >> mathematischen Regeln gehorchen ist erstaunlich genug,
>
> > Keineswegs. Mathematik wurde am Beispiel der Realität gebildet. Ohne
> > Sinneseindrücke wäre Denken unmöglich. Sollte sich das in de
> > Psychologie noch nicht herumgesprochen haben?
>
> Natürlich hat sich Denken und Mathematik an der Realität gebildet, woran
> auch sonst? Aber es geht doch um die Abstraktion von der Realität,
> Sprache ist ein erster Schritt, Mathematik der nächste, nämlich radikale
> Formalisierung. Es gibt in der Realität keine Zahlen,
Doch. Zahlen sind je nach Definition Mengen von Elementen mit gewissen
Eigenschaften oder etwas, das beim Zählen im Gehirn passiert und
sicher noch auf viele andere Arten erkennbar. Nur eines sind sie
nicht: Zahlen sind nicht Bestandteile eines platonischen Ideenhimmels.
Ohne Materie und ohne greifbare und ansehbare Mengen von drei Sachen
gäbe es keine Zahl 3. Du hast Recht, es geht um Abstraktion, aber
dabei darf man nicht das, wovon abstrahiert wurde, vergessen.
> erst recht keine
> Unendlichkeiten. Dennoch kann man damit herumspielen ...
Man kann nicht. Man kann jede gesetzte endliche Schranke
überschreiten. Trotzdem landet man bei einer endlichen Schranke.
Doch wie heißt es gleich: Was du tun willst, das tue bald. Deshalb
werde ich jetzt hier nicht weiter diskutieren, sondern meine Argumente-
Sammlung vervollständigen.
Gruß, WM
Ralf Bader
> WM schrieb:
>> On 17 Apr., 14:41, Rainer Willis <rainerwil...@web.de> wrote:
>>> WM schrieb:
>>>
>>> {...]
>>>
>>>> Wir versuchen potentielle und aktuale Unendlichkeit zu unterscheiden.
>>> Wozu?
>>
>> Um den Mengenlehreren die Augen dafür zu öffnen, dass sie leeren
>> Unsinn lehren.
>
> Also gewissermaßen eine Mission, ok.
> Du hast AFAIR mit deinem binären Baum versucht, die Abzählbarkeit von R
> zu zeigen, was gründlich daneben ging. Deine Beweisidee ist dabei nicht
> schlecht,
Welche Beweisidee? Zwischen einer Beweisidee und wishful thinking ist ein
gewisser Unterschied.
> nur sie funktioniert eben nicht.
> Auf der einen Seite lehnst du die Differenzierung unendlicher Mengen ab,
> auf der anderen Seite willst du zwischen potentieller und aktualer
> Unendlichkeit unterscheiden.
Das ist kein Widerspruch, da es ersteres (was auch immer es dort genau sein
mag) im Mückenheimschen Universum gibt, letzteres hingegen
nicht. "Potentiell unendlich" bedeutet so etwas wie "ich habe keine Ahnung,
wie groß es ist, außer daß es endlich ist".
> Erstere kann ich einsehen, weil ich immer
> die Potenzmenge bilden kann, letztere erscheint mir völlig überflüssig.
Daß es eine Vielfalt von Modellen von ZFC gibt, liegt nicht zuletzt daran,
daß die Potenzmengenbildung durch die Axiome von ZFC alles andere als
eindeutig festgelegt ist. Insofern ist es bereits naiv, "DIE Potenzmenge"
zu sagen.
Was das potentiell und aktual Unendliche betrifft, so kann man sich z.B. die
Produktionen der Mathematiker daraufhin ansehen, welche Rolle "das
Unendliche" dabei spielt, bzw. wie vom "Unendlichen" Gebrauch gemacht wird,
und dann entdeckt man schon Sachen, die an die hergebrachte philosophische
Unterscheidung von aktual und potentiell erinnern. Allerdings derart, daß
die Mathematik über diese Arten des "Unendlichen" belehrt, und nicht
umgekehrt Philosophen der Mathematik darüber Bedeutsames mitzuteilen
hätten. So kann man einmal anfangen, allgemein "Prozeduren" zu betrachten,
in denen aus gewissen "Eingangsdaten" nach bestimmten
Verfahrensweisen "Ausgangsdaten" gewonnen werden.
Beispiel 1: Cantorsches Diagonalverfahren zur Erzeugung
einer "Antidiagonalzahl" aus einer "Liste" reeller Zahlen. Dabei sind
endliche Anfangsstücke in der Dezimalentwicklung der Antidiagonalzahl
bereits durch endliche Anfangsstücke der "Liste" bestimmt.
Beispiel 2: Grenzwert einer konvergenten Folge reeller Zahlen. Dabei sagen
beliebige endliche Anfangsstücke der Folge über den Grenzwert exakt
überhaupt nichts aus.
Insofern ist in diesen beiden Beispielen ein signifikanter Unterschied zu
erkennen. Die "Prozedur" von Beispiel 1 ist "potentiell unendlich" (wenn
man das so nennen will), die von Beispiel 2 ist es nicht. Die
mathematischen Umgangsweisen mit dem "Unendlichen" sind allerdings durch
diese beiden Beispiele keineswegs erschöpft.
> BTW: Macht es dich nicht stutzig, dass praktisch alle Mathematiker die
> Mengenlehre akzeptieren? Wir sind uns hoffentlich darüber einig, dass es
> sich nicht um lauter Dummköpfe handeln kann.
>
>>>> Im übrigen hat Mathematik mit Erkenntnis zu tun, und Erkenntnis ist
>>>> auf die Naturgesetze angewiesen, u.a., auch auf die QM.
>>> [...]
>>>
>>> Warum schreibst du solch einen Unsinn, Wolfgang? Mathematik ist auf die
>>> natürlichen Zahlen angewiesen, nicht auf Naturgesetze.
>>
>> Mathematik ist / basiert auf Erkenntnis und Kommunikation.
>
> D'accord. Aber sie ist keine naturwissenschaftliche Erkenntnis.
Die Mückenheimsche Verwechslung von Inhalt und Medium ist von schwer
überbietbarer Lächerlichkeit, wie nahezu alles, was von diesem
Geistesriesen zusammenklabustert wird.
Ralf
--
How lucky we are that Cantor introduced curly brackets! But it was no
he who introduced the silly distinction between a and {a} that enables
so called mathematicians to build card houses on nothing.
(Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim, FH Augsburg, in sci.math, 03/13/09)
Christopher Creutzig
>> Widerlegung fertig.
>
> Durch Löschen des Argumentes?
Sorry, ich hatte tatsächlich einen Lesefehler drin und an der falschen
Stelle widersprochen.
> Die statische (aktuale) Unendlichkeit verlangt dagegen, dass in der
> Liste alle Zahlen mit endlich vielen Einsen enthalten und von der
> Diagonalzahl 0,111... mit unendlich vielen Einsen 0,111...
> verschieden
> sind.
Bis auf das Verb „verlangt“ soweit richtig.
> Warum? Weil sonst diese Liste ihre Diagonalzahl enthielte.
Nein, die Begründung ist, dass die Liste eben so konstruiert ist. Sie
enthält alle Zahlen der Form 0,[endlich viele 1en] und nur diese. *Das*
ist der Grund, dass sie genau „alle Zahlen mit endlich vielen Einsen“
enthält. Dass jede dieser Zahlen von der Zahl 0,[unendlich viele 1en]
verschieden ist, ist offensichtlich richtig. (Notfalls kann ich es aber
auch gerne noch detailliert auswalzen.)
> Es gibt demnach eine Zahl mit aleph_0 Einsen, die mehr Einsen
> als jede Zahl der Liste enthält. Deshalb sagt man, aleph_0 sei größer
> als jede natürliche Zahl.
Wobei Du hier das „mehr“ wieder in dem Sinne benutzt, den Du mir
angekreidet hast (und das „deshalb“ wohl im Sinne von „das ist eines der
vielen Beispiele, warum es sinnvoll ist“ zu verstehen ist).
Bis hierhin also kein Widerspruch. Der hätte weiter unten folgen
sollen, wo Du zum wiederholten Male aus der Abzählbarkeit der
Unterscheidungsstellen folgern wolltest, es könne nur abzählbar viele
voneinenader unterschiedene Elemente geben. Dieser Schluss basiert nach
wie vor auf einer unzulässigen Vertauschung logischer Operatoren.
--
Es gibt keine klassischen chinesischen Zitate,
weil Chinesisch nicht zum westlichen Bildungskanon gehört. (Ralf Kusmierz)
Christopher Creutzig
> Die Liste
> 0,0
> 0,1
> 0,11
> 0,111
> ...
>
> muss wie jede andere eine Diagonalzahl besitzen, die nicht in ihr
> vorhanden ist. Das ist die Zahl
> 0,111...
> mit mehr Einsen als jede Listenzahl enthält. Da dieses "mehr" aufgrund
> der Struktur der Listenzahlen nicht am Anfang oder in der Mitte
> möglich ist, muss es am Ende auftreten.
In gewisser Weise richtig, wobei ich in dem „am Ende“ eine sprachliche
Falle sehe. Die gesuchte Zahl hat ja kein Ende, genau das ist der
Unterschied zu den Zahlen in der Liste.
> Es muss eine Eins in der
> Diagonalzahl geben, die in keiner Listenzahl enthalten ist, *wenn* es
Wieso? (Die Frage ist absolut ernst gemeint. Ich sehe dafür wirklich
keinen Grund.) Die Zahl muss sich nur von allen Listenelementen
unterscheiden, und das tut sie. Beispielsweise unterscheidet sie sich
vom n-ten Eintrag dadurch, dass dieser an der n+5-ten Nachkommastelle
eine 0 hat, die neue Zahl aber eine 1. Ja, es gibt eine *andere* Zahl in
der Liste, die dort ebenfalls eine 1 hat – na und? Unsere neue Zahl
unterscheidet sich auch von dieser. Überhaupt von jeder, denn jede Zahl
in der Liste steht an so einer stelle n, für passendes n.
Und jetzt behaupte bitte nicht wieder, das sei keine Widerlegung Deines
Arguments. Der gerade eben zitierte Halbsatz dürfte wohl ein zentraler
Gedanke Deines Konstrukts sein, und ich habe ihn soeben detilliert
widerlegt.
>> BTW: Macht es dich nicht stutzig, dass praktisch alle Mathematiker die
>> Mengenlehre akzeptieren?
>
> Macht es Dich nicht stutzig, dass alle Nichtmathematiker meine
> Argumente verstehen können?
Wie kommst Du auf den Gedanken, Mathematiker könnten das nicht? Sie
gehen nur, wie hoffentlich auch einige Nichtmathematiker, weiter und
überlegen, ob das Ganze greift – und einige machen sich sogar die Mühe
und schreiben Dir, warum nicht und wo Du Denkfehler in der Argumentation
hast.
> Auch die spanische Inquisition bestand nicht aus lauter Dummköpfen.
Vergleich bitte mal das europäische Rechtssystem vor, während, und nach
der Inquisition, bevor Du sie als Vergleich für irgend etwas heranziehst.
> Mathematik ist eine Abteilung der Physik. Ohne das, was wir hier
Nope.
> schreiben (und was vergleichbare Leute an vergleichbaren Orten
> unternehmen) gäbe es keine Mathematik.
Right. Ohne Menschen aber auch nicht, und das macht die Mathematik noch
lange nicht zu einer Abteilung der Biologie oder der Psychologie.
>> Formalisierung. Es gibt in der Realität keine Zahlen,
>
> Doch. Zahlen sind je nach Definition Mengen von Elementen mit gewissen
> Eigenschaften oder etwas, das beim Zählen im Gehirn passiert und
Es gibt in der Realität auch keine Mengen.
Christopher Creutzig
> Ja, aber das rechtfertigt nicht Deine obige falsche Aussage: "trotzdem
> gibt es genau „gleich viele“ gerade Zahlen, Quadratzahlen, und
> natürliche Zahlen größer als 7."
IBTD. Die Anführungszeichen an „gleich viele“ sind ein recht deutlicher
Hinweis auf einen leichten Notationsmißbrauch, und in dem Sinne, wie
„gleich viele“ praktisch überall in der Mathematik in laxer Redensart
verwendet wird, ist die Aussage komplett richtig.
>> Für Teilmengen natürlicher Zahlen, ja. Wenn man damit leben kann, dass
>> plötzlich die Elemente einer Menge eine Reihenfolge haben, die einen
>> ganz massiven Einfluss darauf hat, „wie viele“ Elemente eine Teilmenge
>> hat. Beides finde ich massivst unbefriedigend.
>
> Ebenso unbefriedigend ist es, dass die Anzahl aller natürlichen Zahlen
> größer als 7 genau so groß wie die aller natürlichen Zahlen größer als
> 8 sein soll. Deswegen sagte ich:
Ansichtssache.
>>> Der einzige widerspruchsfreie Umgang mit unendlichen Mengen ist der
>>> über Jahrtausende gepflegte, nämlich die potentielle Unendlichkeit.
Etwas als unbefriedigend anzusehen, ist eine völlig andere Baustelle
als die Behauptung eines Widerspruchs.
> Das Problem ist, dass diese "Widerlegungen" bislang aus apodiktischen
> Sätzen bestand, wie etwa: Die Beweise sind einfach aber falsch. Oder:
Abgesehen von ein paar Dutzend Beispielen detaillierter mathematischer
Beweise, versteht sich. Ich suche die jetzt aber nicht noch einmal heraus.
> wirst überrascht sein, wie schlagend diese Argumente sind. Dann kannst
> Du Dir aussuchen, welcher argumentativen Linie Du folgen willst, oder
> ob Dir selbst etwas dazu einfällt.
Danke, ich habe vor einiger Zeit selbst argumentiert. Fundiert, nur
leider unverstanden. Die Zeit spare ich mir inzwischen.
Christopher Creutzig
> Christopher Creutzig wrote:
>> könnte. Von einem durchschnittlichen Mathematiker verfasst, würden die
>> Argumente WMs vermutlich recht dürftig aussehen, weil sie sich nur sehr
>> schwer gleichzeitig mathematisch sauber und halbwegs plausibel
>> formulieren lassen.
>
> Aber wenn man auf das Erfordernis der Plausibilität verzichtete, dann
> könnte man sie zumindest mathematisch sauber formulieren? Wie sähe so
> eine Formulierung aus?
Für welches seiner Beispiele? (Es geht sicherlich nicht mit allen.)
(Ich hoffe mal, Du forderst dann nicht auf einmal ein
Plausibilitätskriterium wie Konsistenz in der Argumentation, nachdem
Plausibilität ja gerade nicht gefordert sein soll …)
Ralf Bader
> Ralf Bader wrote:
>> Christopher Creutzig wrote:
>
>>> könnte. Von einem durchschnittlichen Mathematiker verfasst, würden die
>>> Argumente WMs vermutlich recht dürftig aussehen, weil sie sich nur sehr
>>> schwer gleichzeitig mathematisch sauber und halbwegs plausibel
>>> formulieren lassen.
>>
>> Aber wenn man auf das Erfordernis der Plausibilität verzichtete, dann
>> könnte man sie zumindest mathematisch sauber formulieren? Wie sähe so
>> eine Formulierung aus?
>
> Für welches seiner Beispiele? (Es geht sicherlich nicht mit allen.)
> (Ich hoffe mal, Du forderst dann nicht auf einmal ein
> Plausibilitätskriterium wie Konsistenz in der Argumentation, nachdem
> Plausibilität ja gerade nicht gefordert sein soll …)
Nein, Konsistenz in der Argumentation subsumiere ich unter "mathematisch
sauber".
Ralf
WM
wrote:
Die Liste
0,0
0,1
0,11
0,111
...
enthält nicht 0,111...
> > Warum? Weil sonst diese Liste ihre Diagonalzahl enthielte.
>
> Nein, die Begründung ist, dass die Liste eben so konstruiert ist. Sie
> enthält alle Zahlen der Form 0,[endlich viele 1en] und nur diese. *Das*
> ist der Grund, dass sie genau „alle Zahlen mit endlich vielen Einsen“
> enthält. Dass jede dieser Zahlen von der Zahl 0,[unendlich viele 1en]
> verschieden ist, ist offensichtlich richtig. (Notfalls kann ich es aber
> auch gerne noch detailliert auswalzen.)
Die Liste wurde konstruiert, und zwar so, dass es für jeden mit einer
natürlichen Zahl indizierten Platz eine Zahl gibt, die dort und
überall vorher eine 1 aufweist.
Wenn also eine Zahl aus lauter Einsen nicht in der Liste enthalten
ist, dann kann es keine Zahl sein, die nur an natürlich indizierten
Plätzen Einsen enthält, denn alle diese Zahlen sind bereits in der
Liste --- per Konstruktion.
>
> > Es gibt demnach eine Zahl mit aleph_0 Einsen, die mehr Einsen
> > als jede Zahl der Liste enthält. Deshalb sagt man, aleph_0 sei größer
> > als jede natürliche Zahl.
>
> Wobei Du hier das „mehr“ wieder in dem Sinne benutzt, den Du mir
> angekreidet hast (und das „deshalb“ wohl im Sinne von „das ist eines der
> vielen Beispiele, warum es sinnvoll ist“ zu verstehen ist).
>
> Bis hierhin also kein Widerspruch. Der hätte weiter unten folgen
> sollen, wo Du zum wiederholten Male aus der Abzählbarkeit der
> Unterscheidungsstellen folgern wolltest, es könne nur abzählbar viele
> voneinenader unterschiedene Elemente geben. Dieser Schluss basiert nach
> wie vor auf einer unzulässigen Vertauschung logischer Operatoren.
Nein. Es ist im Allgemeinen unzulässig, Quantoren zu vertauschen. Für
die folgende Liste gilt zum Beispiel: an jeder Stelle gibt es eine
Eins, aber es gibt keine Zahl mit Einsen an jeder Stelle:
0,1
0,01
0,001
...
Das ist ebenso klar wie die banauseum Geschichte mit den Tänzerinnen:
für jeden Tänzer gibt es eine, aber es gibt nicht eine für alle
Tänzer.
Um dieses Problem zu umgehen, habe ich die oben wiedergegebene
spezielle Liste erdacht (meines Wissens hat sie noch niemand sonst
verwendet, aber für Quellenangaben wäre ich dankbar, ebenso zum
binären Baum, von dem ich bisher auch vermute, dass ihn noch niemand
unter dem Aspekt der Abzählbarkeit betrachtet hat --- und erst recht
nicht zu Cantors Zeit, denn dann wäre die ganze Mengenlehre so
vergessen, dass allenfalls Mathematik-Historiker sich dunkel daran
erinnern würden.)
Diese Liste enthält für jede Stelle mit natürlichem Index eine Zahl,
die an dieser Stelle und an allen vorhergehenden Stellen eine 1
aufweist. Für derartige lineare Mengen ist die Quantorenvertauschung
berechtigt. Es sei denn, Du willst behaupten, dass
jede und alle kleineren =/= alle
(Selbstverständlich wirst Du es behaupten, aber ich vermute, dass
viele, die diese Konsequenz des aktual Unendlichen bisher nicht in
aller Deutlichkeit erkannt haben, doch zu zweifeln beginnen.)
Gruß, WM
WM
wrote:
> WM wrote:
> > Die Liste
> > 0,0
> > 0,1
> > 0,11
> > 0,111
> > ...
>
> > muss wie jede andere eine Diagonalzahl besitzen, die nicht in ihr
> > vorhanden ist. Das ist die Zahl
> > 0,111...
> > mit mehr Einsen als jede Listenzahl enthält. Da dieses "mehr" aufgrund
> > der Struktur der Listenzahlen nicht am Anfang oder in der Mitte
> > möglich ist, muss es am Ende auftreten.
>
> In gewisser Weise richtig, wobei ich in dem „am Ende“ eine sprachliche
> Falle sehe. Die gesuchte Zahl hat ja kein Ende, genau das ist der
> Unterschied zu den Zahlen in der Liste.
Mit dem flapsigen am Ende meine ich: Nicht an einer Stelle, die einen
natürlichen Index enthält.
>
> > Es muss eine Eins in der
> > Diagonalzahl geben, die in keiner Listenzahl enthalten ist, *wenn* es
>
> Wieso? (Die Frage ist absolut ernst gemeint. Ich sehe dafür wirklich
> keinen Grund.) Die Zahl muss sich nur von allen Listenelementen
> unterscheiden, und das tut sie. Beispielsweise unterscheidet sie sich
> vom n-ten Eintrag dadurch, dass dieser an der n+5-ten Nachkommastelle
> eine 0 hat, die neue Zahl aber eine 1. Ja, es gibt eine *andere* Zahl in
> der Liste, die dort ebenfalls eine 1 hat – na und? Unsere neue Zahl
> unterscheidet sich auch von dieser. Überhaupt von jeder, denn jede Zahl
> in der Liste steht an so einer Stelle n, für passendes n.
Ja, denn Du setzt aktual unendlich viele Einsen in 0,111... voraus und
vergleichst mit der potentiell unendlichen Menge der Listeneinträge.
Das ist eine einseitige Betrachtungsweise, und ich vermute, dass sich
Weyls Hinweis auf solche Fälle bezieht:
"... classical logic was abstracted from the mathematics
of finite sets and their subsets .... Forgetful of this limited
origin,
one afterwards mistook that logic for something above and prior to
all
mathematics, and finally applied it, without justification, to the
mathematics of infinite sets. ... As Brouwer pointed out this is a
fallacy, the Fall and Original sin of set theory even if no paradoxes
result from it."
Warum argumentierst Du nicht in ebenso berechtigter Weise:
Zu jeder 1 in 0,111... gibt es eine Zahl der Liste, die diese 1 und
alle vorhergehenden enthält?
>
> Und jetzt behaupte bitte nicht wieder, das sei keine Widerlegung Deines
> Arguments. Der gerade eben zitierte Halbsatz dürfte wohl ein zentraler
> Gedanke Deines Konstrukts sein, und ich habe ihn soeben detailliert
> widerlegt.
Unter der Voraussetzung aktualer Unendlichkeit für 0.111... und nicht
aktualer für die Liste.
Wenn Du auch für die Liste aktuale Unendlichkeit zulässt, dann findest
Du, dass sie aleph_0 Zeilen und aleph_0 Spalten besitzt (und die
Diagonalzahl aleph_0 Ziffern).
Aleph_0 Spalten können aber nur existieren, wenn die Liste eine Zahl
mit aleph_0 Einsen enthält. (Auch die Diagonalzahl kann nur dann
existiere --- allein aleph_0 Zeilen reichen nicht aus.)
Nun denke bitte nicht, dass ich daraus auf die Existenz von 0,111...
als Listenzahl schließen will. Ganz im Gegenteil, 0,111... existiert
weder in der Liste noch außerhalb als eine aktual unendliche
Ziffernfolge, die man im Sinne von Cantor für irgendwelche
Überabzählbarkeitsbeweise verwenden könnte.
Alle Unendlichkeit ist potentiell. Damit ist Cantors Liste niemals
vollständig und niemals vollständig durchsucht.
>
> >> BTW: Macht es dich nicht stutzig, dass praktisch alle Mathematiker die
> >> Mengenlehre akzeptieren?
>
> > Macht es Dich nicht stutzig, dass alle Nichtmathematiker meine
> > Argumente verstehen können?
>
> Wie kommst Du auf den Gedanken, Mathematiker könnten das nicht? Sie
> gehen nur, wie hoffentlich auch einige Nichtmathematiker, weiter und
> überlegen, ob das Ganze greift – und einige machen sich sogar die Mühe
> und schreiben Dir, warum nicht und wo Du Denkfehler in der Argumentation
> hast.
Einige dieser Argumente zum binären Baum habe ich gesammelt. Welches
davon würdest Du den goutieren?
>
> > Auch die spanische Inquisition bestand nicht aus lauter Dummköpfen.
>
> Vergleich bitte mal das europäische Rechtssystem vor, während, und nach
> der Inquisition, bevor Du sie als Vergleich für irgend etwas heranziehst.
Na gut, dann ziehe ich die Inquisition zurück und verweise auf die
Pythagoreer, die mit Sicherheit auch sehr intelligent waren, und
trotzdem mit größter Dummheit das Pentagramm, die Widerlegung Ihres
Hauptsatzes "alles ist Zahl", als Logo stolz herumtrugen.
>
> > Mathematik ist eine Abteilung der Physik. Ohne das, was wir hier
>
> Nope.
>
> > schreiben (und was vergleichbare Leute an vergleichbaren Orten
> > unternehmen) gäbe es keine Mathematik.
>
> Right. Ohne Menschen aber auch nicht, und das macht die Mathematik noch
> lange nicht zu einer Abteilung der Biologie oder der Psychologie.
Biologie und Psychologie sind ebenso auf die Physik angewiesen wie die
Mathematik. Bei genügender Detailkenntnis würden Sie nicht mehr
benötigt. Alles ließe sich aus den physikalischen Gesetzen ableiten.
>
> >> Formalisierung. Es gibt in der Realität keine Zahlen,
>
> > Doch. Zahlen sind je nach Definition Mengen von Elementen mit gewissen
> > Eigenschaften oder etwas, das beim Zählen im Gehirn passiert und
>
> Es gibt in der Realität auch keine Mengen.
Doch, eine ganze Menge.
Gruß, WM
Herbert Newman
> Na gut, dann ziehe ich die Inquisition zurück und verweise auf die
> Pythagoreer, die mit Sicherheit auch sehr intelligent waren, und
> trotzdem mit größter Dummheit das Pentagramm, die Widerlegung Ihres
> Hauptsatzes "alles ist Zahl", als Logo stolz herumtrugen.
??? Es war auch ein Pythagoreer, der schließlich entdeckte, dass es
inkommensurable Strecken (insbesondere auch im Pentagramm) gibt. So etwas
nennt man mathematischen Fortschritt. (Eine Vorstellung, die Dir fremd zu
sein scheint.)
"Die Existenz von inkommensurablen Strecken war eine Entdeckung der
Pythagoreer, die der Legende nach von Hippasos von Metapont (um 450 v.
Chr.) verraten wurde, und löste eine Grundlagenkrise der antiken Mathematik
aus."
Quelle:
http://de.wikipedia.org/wiki/Inkommensurabilit%C3%A4t_(Mathematik)
Herbert
Christopher Creutzig
>> der Liste, die dort ebenfalls eine 1 hat – na und? Unsere neue Zahl
>> unterscheidet sich auch von dieser. Überhaupt von jeder, denn jede Zahl
>> in der Liste steht an so einer Stelle n, für passendes n.
>
> Ja, denn Du setzt aktual unendlich viele Einsen in 0,111... voraus und
> vergleichst mit der potentiell unendlichen Menge der Listeneinträge.
Nein, ich vergleiche mit den Elementen der statischen, also aktual
unendlichen, Menge der Listeneinträge. Jeder Listeneintrag steht an
einer endlichen Position n.
> Das ist eine einseitige Betrachtungsweise, und ich vermute, dass sich
In gewisser Weise ist jede Betrachtungsweise einseitig. In
mathematischen Diskussionen den Definitionen (entweder den angegebenen
oder implizit den allgemein üblichen) zu folgen, ist sicherlich
einseitig, hat aber den enormen Vorteil, nicht im luftleeren Raum
inhaltslose Worthülsen abzusondern, sondern bietet die Möglichkeit,
konkrete, überprüfbare Aussagen zu bilden.
Es ist übrigens erheiternd, dass Du mir einerseits vorwirfst, zwei
Dinge verschieden zu behandeln, das aber andererseits als „einseitig“
bezeichnest.
> Warum argumentierst Du nicht in ebenso berechtigter Weise:
> Zu jeder 1 in 0,111... gibt es eine Zahl der Liste, die diese 1 und
> alle vorhergehenden enthält?
Das ist absolut richtig, und das habe ich auch nie bestritten. Im
Gegenteil, genau das *habe* ich gesagt:
| Ja, es gibt eine *andere* Zahl in der Liste, die dort ebenfalls eine
| 1 hat – na und?
Mir vorzuwerfen, ich würde so nicht argumentieren, nachdem ich genau
das gesagt habe, ist unredlich. Außerdem ist das kein Argument, sondern
lediglich eine zutreffende Beobachtung. Ein Argument wird daraus erst,
wenn man noch eine These aufstellt, die durch diese Beobachtung belegt
werden soll.
Also, wir haben zwei wahre Aussagen; zum genaueren Untersuchen einmal
formalisiert:
(I)
a) Zu jeder Stelle i in 0,111...
b) existiert ein n,
so dass der n-te Listeneintrag an Stelle i ebenfalls eine 1 enthält,
genau wie 0,111...
(II)
a) Zu jedem n
b) existiert eine Stelle i in 0,111...
so dass der n-te Listeneintrag an Stelle i keine 1 enthält, im
Gegensatz zu 0,111...
Das wird vermutlich niemand hier bestreiten wollen?
Menschen ohne logische Vorbildung könnten jetzt auf den Gedanken
kommen, die beiden folgenden Aussagen ebenfalls für wahr zu halten:
(Ia)
b) Es existiert ein n,
a) so dass zu jeder Stelle i in 0,111...
der n-te Listeneintrag an Stelle i ebenfalls eine 1 enthält, genau wie
0,111...
(IIa)
b) Es existiert eine Stelle i in 0,111...
a) so dass zu jedem n
der n-te Listeneintrag an Stelle i keine 1 enthält, im Gegensatz zu
0,111...
Keine dieser beiden Aussagen folgt aus (I) oder (II). (Noch genauer
gesagt: (Ia) und (IIa) sind schlichtweg falsch – ich habe jetzt keine
Lust, dazu einen Beweis auszuformulieren, und beschränke mich im Moment
auf den Hinweis, dass die Aussage nicht aus (I) und (II) folgt.)
Nun ist (IIa) aber genau Deine Aussage aus
<019c3c4b-11c7-4c42...@u8g2000yqn.googlegroups.com>:
|| Es muss eine Eins in der
|| Diagonalzahl geben, die in keiner Listenzahl enthalten ist,
(Der Vollständigkeit halber: Die Bedingung
|| *wenn* es das aktual Unendliche gibt
hast Du im Kontext m.E. so erklärt, dass Du das einfach nur als
Voraussetzung für die Existenz von 0,1111... siehst – was ich gar nicht
bestreiten mag. Nur sehe ich damit einfach keine Probleme.)
Aussage (II) ist übrigens das Gleiche wie „0,111... ist nicht in der
Liste enthalten“, denn die Liste besteht genau aus den Einträgen an
allen Stellen n e IN, wobei IN die (statische, aktual unendliche) Menge
der natürlichen Zahlen ist.
> Wenn Du auch für die Liste aktuale Unendlichkeit zulässt, dann findest
> Du, dass sie aleph_0 Zeilen und aleph_0 Spalten besitzt (und die
> Diagonalzahl aleph_0 Ziffern).
Die Liste hat keine Spalten. Sie hat aleph_0 Einträge oder Elemente,
unbestritten. Aber alle sind endlich lang.
> Aleph_0 Spalten können aber nur existieren, wenn die Liste eine Zahl
> mit aleph_0 Einsen enthält. (Auch die Diagonalzahl kann nur dann
Wieso? Du scheinst irgendwie immer zu glauben, eine Liste könne nur
dann unendlich viele Einträge haben, wenn sie einen „unendlichsten“
Eintrag hat. Also eine letzte Zeile oder so. Warum sollte das so sein?
Es hat eben nicht alles ein Ende.
> Alle Unendlichkeit ist potentiell. Damit ist Cantors Liste niemals
> vollständig und niemals vollständig durchsucht.
Es kann sein, dass man mit diesem Ansatz irgendwie auch Mathematik
betreiben kann. Dieses Credo alleine genügt aber nicht, um irgendeinen
Widerspruch in der Mathematik mit aktualen Unendlichkeiten zu postulieren.
> Na gut, dann ziehe ich die Inquisition zurück und verweise auf die
> Pythagoreer, die mit Sicherheit auch sehr intelligent waren, und
> trotzdem mit größter Dummheit das Pentagramm, die Widerlegung Ihres
> Hauptsatzes "alles ist Zahl", als Logo stolz herumtrugen.
Dass Du sqrt(5) nicht als Zahl akzeptierst, zwingt doch niemanden
sonst, diesen eigentlich recht einfachen Gedankenschritt zu machen.
Zumal er ja nicht zu irgendwelchen bekannten Widersprüchen führt, wenn
man nicht willkürliche andere Einschränkungen an den Zahlenbegriff macht.
> Biologie und Psychologie sind ebenso auf die Physik angewiesen wie die
> Mathematik. Bei genügender Detailkenntnis würden Sie nicht mehr
> benötigt. Alles ließe sich aus den physikalischen Gesetzen ableiten.
Rein prinzipiell, und wenn man das physikalische Weltbild des 19.
Jahrhunderts zugrunde legt, klar. Diese Weltsicht erlaubt aber auch
keinen freien Willen, keine nicht a priori determinierten Gedankengänge
etc. Damit wären natürlich auch Philosophie, Anglistik und Mathematik
Teil der Physik. Dann solltest Du aber bitte auch die Folgerungen aus
diesem Gedankengang konsequent durchziehen und nicht auf einmal von
einem der tausenden betroffener Gebiete daraus einen stärkeren Bezug zur
beobachtbaren physikalischen Realität ziehen.
>> Es gibt in der Realität auch keine Mengen.
>
> Doch, eine ganze Menge.
Schwaches Wortspiel. Ich habe noch *keine* Menge (im Sinne des
mathematischen Begriffs) in der Realität gesehen, obwohl ich aus einem
der Jahrgänge stamme, wo der Mathematikunterricht in der Grundschule mit
Mengenlehre begann. Mengen entstehen erst im Kopf des Betrachters.
Herbert Newman
> Der Vollständigkeit halber: Die Bedingung
>
> *wenn* es das aktual Unendliche gibt
>
> hast Du im Kontext m.E. so erklärt, dass Du das einfach nur als
> Voraussetzung für die Existenz von 0,111... siehst – was ich gar nicht
> bestreiten mag. Nur sehe ich damit einfach keine Probleme.
>
Aber Hallo! Herr Professor Mückenheim kann BEWEISEN, dass 0.111... nicht
existiert!
"All aleph_0 natural numbers can be constructed.
All places indexed by natural numbers can be constructed.
The infinite list
0.1
0.11
0.111
...
can be constructed.
There all places indexed by natural numbers are occupied by 1's.
As 0.111... is not constructed when constructing the list, either
0.111... does not exist or it contains places that are not indexed by
natural numbers. The latter is nonsense, so only the former alternative can
be true." (WM, sci.logic)
[Mithin gibt es also auch das aktual Unendliche nicht!]
Herbert
WM
wrote:
> WM wrote:
> >> der Liste, die dort ebenfalls eine 1 hat – na und? Unsere neue Zahl
> >> unterscheidet sich auch von dieser. Überhaupt von jeder, denn jede Zahl
> >> in der Liste steht an so einer Stelle n, für passendes n.
>
> > Ja, denn Du setzt aktual unendlich viele Einsen in 0,111... voraus und
> > vergleichst mit der potentiell unendlichen Menge der Listeneinträge.
>
> Nein, ich vergleiche mit den Elementen der statischen, also aktual
> unendlichen, Menge der Listeneinträge. Jeder Listeneintrag steht an
> einer endlichen Position n.
Und jede 1 in 0,111… steht an einer endlichen Position.
>
> > Das ist eine einseitige Betrachtungsweise, und ich vermute, dass sich
>
> In gewisser Weise ist jede Betrachtungsweise einseitig. In
> mathematischen Diskussionen den Definitionen (entweder den angegebenen
> oder implizit den allgemein üblichen) zu folgen, ist sicherlich
> einseitig, hat aber den enormen Vorteil, nicht im luftleeren Raum
> inhaltslose Worthülsen abzusondern, sondern bietet die Möglichkeit,
> konkrete, überprüfbare Aussagen zu bilden.
>
> Es ist übrigens erheiternd, dass Du mir einerseits vorwirfst, zwei
> Dinge verschieden zu behandeln, das aber andererseits als „einseitig“
> bezeichnest.
Was ist daran kontraintuitiv? Du behandelst 0,111… als aktual
unendlich und meine Liste als potentiell unendlich.
>
> > Warum argumentierst Du nicht in ebenso berechtigter Weise:
> > Zu jeder 1 in 0,111... gibt es eine Zahl der Liste, die diese 1 und
> > alle vorhergehenden enthält?
>
> Das ist absolut richtig, und das habe ich auch nie bestritten. Im
> Gegenteil, genau das *habe* ich gesagt:
>
> | Ja, es gibt eine *andere* Zahl in der Liste, die dort ebenfalls eine
> | 1 hat – na und?
>
> Mir vorzuwerfen, ich würde so nicht argumentieren, nachdem ich genau
> das gesagt habe, ist unredlich. Außerdem ist das kein Argument, sondern
> lediglich eine zutreffende Beobachtung. Ein Argument wird daraus erst,
> wenn man noch eine These aufstellt, die durch diese Beobachtung belegt
> werden soll.
Es gibt für *jede* Stelle von 0,111… eine andere Zahl die an dieser
und allen kleineren Stellen eine 1 enthält.
„Jede und alle kleineren“ ist für mich identisch mit „alle“.
>
> Also, wir haben zwei wahre Aussagen; zum genaueren Untersuchen einmal
> formalisiert:
>
> (I)
> a) Zu jeder Stelle i in 0,111...
> b) existiert ein n,
> so dass der n-te Listeneintrag an Stelle i ebenfalls eine 1 enthält,
> genau wie 0,111...
>
> (II)
> a) Zu jedem n
> b) existiert eine Stelle i in 0,111...
> so dass der n-te Listeneintrag an Stelle i keine 1 enthält, im
> Gegensatz zu 0,111...
>
> Das wird vermutlich niemand hier bestreiten wollen?
>
> Menschen ohne logische Vorbildung könnten jetzt auf den Gedanken
> kommen, die beiden folgenden Aussagen ebenfalls für wahr zu halten:
>
> (Ia)
> b) Es existiert ein n,
> a) so dass zu jeder Stelle i in 0,111...
> der n-te Listeneintrag an Stelle i ebenfalls eine 1 enthält, genau wie
> 0,111...
Das hat nichts mit (oder ohne) logischer Vorbildung zu tun, sondern
mit einseitiger Betrachtungsweise.
Es gibt keine Stelle von 0,111…, die nicht, samt allen vorhergehenden
Stellen, identisch zu einer Listenzahl wäre.
Es gibt keine solche Stelle.
> || Es muss eine Eins in der
> || Diagonalzahl geben, die in keiner Listenzahl enthalten ist,
>
> (Der Vollständigkeit halber: Die Bedingung
>
> || *wenn* es das aktual Unendliche gibt
>
> hast Du im Kontext m.E. so erklärt, dass Du das einfach nur als
> Voraussetzung für die Existenz von 0,1111... siehst – was ich gar nicht
> bestreiten mag. Nur sehe ich damit einfach keine Probleme.)
>
> Aussage (II) ist übrigens das Gleiche wie „0,111... ist nicht in der
> Liste enthalten“, denn die Liste besteht genau aus den Einträgen an
> allen Stellen n e IN, wobei IN die (statische, aktual unendliche) Menge
> der natürlichen Zahlen ist.
Für die unendliche Folge der Teillisten gilt: Länge = Breite =
Diagonale.
1
1
11
1
11
111
…
Das wird unsymmetrisch, beim Grenzübergang?
Dann wird auch x/x unsymmetrisch beim Grenzübergang und l’Hospital
gilt nicht mehr in Deiner Mathematik.
>
> > Wenn Du auch für die Liste aktuale Unendlichkeit zulässt, dann findest
> > Du, dass sie aleph_0 Zeilen und aleph_0 Spalten besitzt (und die
> > Diagonalzahl aleph_0 Ziffern).
>
> Die Liste hat keine Spalten. Sie hat aleph_0 Einträge oder Elemente,
> unbestritten. Aber alle sind endlich lang.
Die Liste ist quadratisch. Sie besitzt genau so viele Zeilen wie
Spalten. Andernfalls könnte keine „Diagonalzahl“ existieren. Die Wahl
zwischen Cantor und l’Hospital fällt mir nicht schwer.
>
> > Aleph_0 Spalten können aber nur existieren, wenn die Liste eine Zahl
> > mit aleph_0 Einsen enthält. (Auch die Diagonalzahl kann nur dann
>
> Wieso? Du scheinst irgendwie immer zu glauben, eine Liste könne nur
> dann unendlich viele Einträge haben, wenn sie einen „unendlichsten“
> Eintrag hat. Also eine letzte Zeile oder so. Warum sollte das so sein?
> Es hat eben nicht alles ein Ende.
Weder nach unten noch nach links. Doch in jedem Falle sind beide
Dimensionen gleich, sofern eine Diagonale existiert. Und damit ist
neben der vertikalen Dimension auch die horizontale unendlich. Doch
die Liste existiert natürlich nur dadurch, dass sie von den Zahlen
aufgespannt wird. Also muss zumindest eine der Zahlen unendlich lang
sein. Es sei denn, Du wolltest behaupten, dass eine Anzahl von
endlichen Längen, nebeneinander hingelegt, eine unendliche Länge
ergibt.
>
> > Alle Unendlichkeit ist potentiell. Damit ist Cantors Liste niemals
> > vollständig und niemals vollständig durchsucht.
>
> Es kann sein, dass man mit diesem Ansatz irgendwie auch Mathematik
> betreiben kann. Dieses Credo alleine genügt aber nicht, um irgendeinen
> Widerspruch in der Mathematik mit aktualen Unendlichkeiten zu postulieren.
Dafür habe ich den binären Baum konzipiert.
>
> > Na gut, dann ziehe ich die Inquisition zurück und verweise auf die
> > Pythagoreer, die mit Sicherheit auch sehr intelligent waren, und
> > trotzdem mit größter Dummheit das Pentagramm, die Widerlegung Ihres
> > Hauptsatzes "alles ist Zahl", als Logo stolz herumtrugen.
>
> Dass Du sqrt(5) nicht als Zahl akzeptierst, zwingt doch niemanden
> sonst, diesen eigentlich recht einfachen Gedankenschritt zu machen.
> Zumal er ja nicht zu irgendwelchen bekannten Widersprüchen führt, wenn
> man nicht willkürliche andere Einschränkungen an den Zahlenbegriff macht.
Es geht nicht darum was ich als Zahl akeptiere, sondern was die
Pythagoreer als Zahl ansahen. Dazu gehörte nichts, was alogos war.
Hippasos hat das Credo der Pythagoreer ad absurdum geführt und wurde
dafür streng bestraft, oder sollte es jedenfalls werden. Die Mär
spricht von ertränken und in Abwesenheit begraben. Die Pythagoreer
haben versucht, die Augen vor der Erkenntnis ihres Irrtums zu
verschließen, genau so wie heute die Mengenlehrer.
>
> > Biologie und Psychologie sind ebenso auf die Physik angewiesen wie die
> > Mathematik. Bei genügender Detailkenntnis würden Sie nicht mehr
> > benötigt. Alles ließe sich aus den physikalischen Gesetzen ableiten.
>
> Rein prinzipiell, und wenn man das physikalische Weltbild des 19.
> Jahrhunderts zugrunde legt, klar. Diese Weltsicht erlaubt aber auch
> keinen freien Willen, keine nicht a priori determinierten Gedankengänge
> etc. Damit wären natürlich auch Philosophie, Anglistik und Mathematik
> Teil der Physik. Dann solltest Du aber bitte auch die Folgerungen aus
> diesem Gedankengang konsequent durchziehen und nicht auf einmal von
> einem der tausenden betroffener Gebiete daraus einen stärkeren Bezug zur
> beobachtbaren physikalischen Realität ziehen.
Das ist richtig, aber Mathematik ist einfacher als Philosophie oder
Anglistik (bezogen auf die physikalisch darstellbaren Bausteine).
>
> >> Es gibt in der Realität auch keine Mengen.
>
> > Doch, eine ganze Menge.
>
> Schwaches Wortspiel. Ich habe noch *keine* Menge (im Sinne des
> mathematischen Begriffs) in der Realität gesehen, obwohl ich aus einem
> der Jahrgänge stamme, wo der Mathematikunterricht in der Grundschule mit
> Mengenlehre begann. Mengen entstehen erst im Kopf des Betrachters.
„Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten
wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens
zu einem Ganzen.“ Dass diese Zusammenfassung im Kopf passieren muss,
hat er nicht gesagt. Die Spielsteine, die Du wohl in der ersten Klasse
bewegen musstest, waren Objekte der Anschauung und Elemente von
Mengen. Und nach ZF ist überhaupt nicht definiert, was eine Menge sei.
Nicht einmal die Unterscheidbarkeit der Elemente wird mehr gefordert.
Gruß, WM
Herbert Newman
> Und jede 1 in 0,111… steht an einer endlichen Position.
Sehr richtig, per definitionem.
> Du behandelst 0,111… als aktual unendlich und meine Liste als
> potentiell unendlich.
Brabbel nicht so einen Unsinn. Im Kontext der Mengenlehre -das ist der hier
relevante Kontext- ist nur die "aktuale" Unendlichkeit relevant. Sowohl die
(unendliche) Folge der 1en (der Dezimaldarstellung) der Zahl 0,111... als
auch die (unendliche) Folge der Zahlen 0; 0,1; 0,11; ... (also Deine Liste)
werden in diesem Sinne gleich "behandelt".
> Die Liste ist quadratisch. Sie besitzt genau so viele Zeilen wie
> Spalten.
Wenn man sie SO schreibt:
0,0000...
0,1000...
0,1100...
0,1110...
. .
: .
dann kann man das so sehen/sagen, ja.
>>> Aleph_0 Spalten können aber nur existieren, wenn die Liste eine Zahl
>>> mit aleph_0 Einsen enthält. (Auch die Diagonalzahl kann nur dann
Quatsch. In obiger Liste besitzt JEDE darin vorkommende Zahl (nach
Konstruktion der Liste) lediglich ENDLICH VIELE 1en (in ihrer
Dezimaldarstellung).
>> [...] Du scheinst irgendwie immer zu glauben, eine Liste könne nur
>> dann unendlich viele Einträge haben, wenn sie einen „unendlichsten“
>> Eintrag hat.
Es handelt sich dabei um einen für viel ML-Cranks typische "Glaubenssatz"
> [...] Es sei denn, Du wolltest behaupten, dass eine Anzahl von
> endlichen Längen, nebeneinander hingelegt, eine unendliche Länge
> ergibt.
Genau das wollen wir -wenn ich Deine Analogie for the sake of the argument
mal aufgreife- "behaupten". Die Anzahl der dabei benutzten "endlichen
Längen" muss dazu allerdings unendlich sein.
{1} u {1,2} u {1,2,3} u ... = {1, 2, 3, ...} = IN.
Die Vereinigung der unendlich vielen _endlichen_ Mengen der Form {1,...,n}
(mit n e IN) ist eine unendliche Menge (nämlich IN selbst).
> Es geht nicht darum was ich als Zahl akzeptiere, sondern was die
> Pythagoreer als Zahl ansahen. Dazu gehörte nichts, was alogos war.
> Hippasos hat das Credo der Pythagoreer ad absurdum geführt und wurde
> dafür streng bestraft, oder sollte es jedenfalls werden. Die Mär
> spricht von ertränken und in Abwesenheit begraben. Die Pythagoreer
> haben versucht, die Augen vor der Erkenntnis ihres Irrtums zu
> verschließen, genau so wie heute die Mengenlehrer.
Ja, sicher. Und Du bist quasi ein Hippasos der Mengenlehre, genau!!!
(Dazu wär's aber nicht schlecht, dass Du Dich erst einmal ein wenig mit den
Grundbegriffen der Mathematik im allgemeinen und der Mengenlehre im
Besonderen vertraut machst. Auch ein Update Deines Logik-Moduls wäre in
diesem Zusammenhang nicht schlecht. Insbesondere solltest Du Dich mal ein
wenig mit der logisch korrekten Anwendung von Quantoren beschäftigen.)
Herbert
Christopher Creutzig
> Und jede 1 in 0,111… steht an einer endlichen Position.
Richtig.
>> Es ist übrigens erheiternd, dass Du mir einerseits vorwirfst, zwei
>> Dinge verschieden zu behandeln, das aber andererseits als „einseitig“
>> bezeichnest.
> Was ist daran kontraintuitiv? Du behandelst 0,111… als aktual
> unendlich und meine Liste als potentiell unendlich.
Wie kommst Du auf „kontraintuitiv“? Einmal abgesehen davon, dass ich
Unendlichkeiten immer und überall als aktuale Unendlichkeiten behandele.
>> Mir vorzuwerfen, ich würde so nicht argumentieren, nachdem ich genau
>> das gesagt habe, ist unredlich. Außerdem ist das kein Argument, sondern
>> lediglich eine zutreffende Beobachtung. Ein Argument wird daraus erst,
>> wenn man noch eine These aufstellt, die durch diese Beobachtung belegt
>> werden soll.
>
> Es gibt für *jede* Stelle von 0,111… eine andere Zahl die an dieser
> und allen kleineren Stellen eine 1 enthält.
>
> „Jede und alle kleineren“ ist für mich identisch mit „alle“.
Also: Für alle Stellen in 0,11... gibt es Einträge in der Liste, die
dort 1en enthalten. Und was soll daraus jetzt folgern? Mit Sicherheit
nicht, dass es einen gemeinsamen solchen Eintrag gäbe.
>> Also, wir haben zwei wahre Aussagen; zum genaueren Untersuchen einmal
>> formalisiert:
>>
>> (I)
>> a) Zu jeder Stelle i in 0,111...
>> b) existiert ein n,
>> so dass der n-te Listeneintrag an Stelle i ebenfalls eine 1 enthält,
>> genau wie 0,111...
>>
>> (II)
>> a) Zu jedem n
>> b) existiert eine Stelle i in 0,111...
>> so dass der n-te Listeneintrag an Stelle i keine 1 enthält, im
>> Gegensatz zu 0,111...
>>
>> Das wird vermutlich niemand hier bestreiten wollen?
>>
>> Menschen ohne logische Vorbildung könnten jetzt auf den Gedanken
>> kommen, die beiden folgenden Aussagen ebenfalls für wahr zu halten:
>>
>> (Ia)
>> b) Es existiert ein n,
>> a) so dass zu jeder Stelle i in 0,111...
>> der n-te Listeneintrag an Stelle i ebenfalls eine 1 enthält, genau wie
>> 0,111...
>
> Das hat nichts mit (oder ohne) logischer Vorbildung zu tun, sondern
> mit einseitiger Betrachtungsweise.
Nun, logische Vorbildung könnte davor schützen, diesen Schritt zu
gehen, ohne (Ia) auf andere Weise nachzuweisen.
> Es gibt keine Stelle von 0,111…, die nicht, samt allen vorhergehenden
> Stellen, identisch zu einer Listenzahl wäre.
>
> Es gibt keine solche Stelle.
Richtig. Aber das n ist für jede dieser Stellen einzeln zu bestimmen,
es gibt kein n, das für alle Stellen funktioniert, und es gibt auch
keinen Grund, warum es ein solches n geben sollte.
> Für die unendliche Folge der Teillisten gilt: Länge = Breite =
> Diagonale.
Wenn man so will …
>
> 1
>
> 1
> 11
> 1
> 11
> 111
> …
>
> Das wird unsymmetrisch, beim Grenzübergang?
Nö, aber es gibt einfach keine letzte Zeile.
>> Eintrag hat. Also eine letzte Zeile oder so. Warum sollte das so sein?
>> Es hat eben nicht alles ein Ende.
>
> Weder nach unten noch nach links. Doch in jedem Falle sind beide
> Dimensionen gleich, sofern eine Diagonale existiert. Und damit ist
Und?
> neben der vertikalen Dimension auch die horizontale unendlich. Doch
Klar, das ist genau die Aussage (I) von oben:
(I)
a) Zu jeder Stelle i in 0,111...
b) existiert ein n,
so dass der n-te Listeneintrag an Stelle i ebenfalls eine 1 enthält,
genau wie 0,111...
> die Liste existiert natürlich nur dadurch, dass sie von den Zahlen
> aufgespannt wird. Also muss zumindest eine der Zahlen unendlich lang
> sein. Es sei denn, Du wolltest behaupten, dass eine Anzahl von
> endlichen Längen, nebeneinander hingelegt, eine unendliche Länge
> ergibt.
Nein, es gibt einfach kein Ende. Genau das ist doch der Ursprung des
Wortes „unendlich“: Es gibt kein Ende. Siehe Aussage (I). Dafür ist
keine unendlich lange Zahl nötig.
>> betreiben kann. Dieses Credo alleine genügt aber nicht, um irgendeinen
>> Widerspruch in der Mathematik mit aktualen Unendlichkeiten zu postulieren.
>
> Dafür habe ich den binären Baum konzipiert.
Den dort behaupteten Widerspruch haben schon vor Ewigkeiten mehrere
Leute, u.a. ich, auf verschiedene Weise widerlegt. Ich befürchte, das
wird mir wieder zu blöd hier. EOT.
WM
wrote:
> WM wrote:
> > Und jede 1 in 0,111… steht an einer endlichen Position.
>
> Richtig.
>
> >> Es ist übrigens erheiternd, dass Du mir einerseits vorwirfst, zwei
> >> Dinge verschieden zu behandeln, das aber andererseits als „einseitig“
> >> bezeichnest.
> > Was ist daran kontraintuitiv? Du behandelst 0,111… als aktual
> > unendlich und meine Liste als potentiell unendlich.
>
> Wie kommst Du auf „kontraintuitiv“? Einmal abgesehen davon, dass ich
> Unendlichkeiten immer und überall als aktuale Unendlichkeiten behandele.
Das tust Du leider nicht.
>
> >> Mir vorzuwerfen, ich würde so nicht argumentieren, nachdem ich genau
> >> das gesagt habe, ist unredlich. Außerdem ist das kein Argument, sondern
> >> lediglich eine zutreffende Beobachtung. Ein Argument wird daraus erst,
> >> wenn man noch eine These aufstellt, die durch diese Beobachtung belegt
> >> werden soll.
>
> > Es gibt für *jede* Stelle von 0,111… eine andere Zahl die an dieser
> > und allen kleineren Stellen eine 1 enthält.
>
> > „Jede und alle kleineren“ ist für mich identisch mit „alle“.
>
> Also: Für alle Stellen in 0,11... gibt es Einträge in der Liste, die
> dort 1en enthalten. Und was soll daraus jetzt folgern? Mit Sicherheit
> nicht, dass es einen gemeinsamen solchen Eintrag gäbe.
Aber die Zahl 0,111... mit allen Einsen gibt es? Genau die logische
Falle: Verwendung verschiedener Unendlichkeiten.
> >> b) Es existiert ein n,
> >> a) so dass zu jeder Stelle i in 0,111...
> >> der n-te Listeneintrag an Stelle i ebenfalls eine 1 enthält, genau wie
> >> 0,111...
>
> > Das hat nichts mit (oder ohne) logischer Vorbildung zu tun, sondern
> > mit einseitiger Betrachtungsweise.
>
> Nun, logische Vorbildung könnte davor schützen, diesen Schritt zu
> gehen, ohne (Ia) auf andere Weise nachzuweisen.
*Sagen wir lieber: logische Ver*bildung.
>
> > Es gibt keine Stelle von 0,111…, die nicht, samt allen vorhergehenden
> > Stellen, identisch zu einer Listenzahl wäre.
>
> > Es gibt keine solche Stelle.
>
> Richtig. Aber das n ist für jede dieser Stellen einzeln zu bestimmen,
Man kann mit den Mitteln der Mathematik zuweilen nachweisen, dass in
gewissen Mengen gewisse Zahlen mit gewissen Eigenschaften existieren,
ohne diese Zahlen zu kennen oder identifizieren zu können.
> es gibt kein n, das für alle Stellen funktioniert, und es gibt auch
> keinen Grund, warum es ein solches n geben sollte.
Es ist erwiesen, dass es für *jede* und alle kleineren Stellen eine
Zahl in der Liste gibt, die alle Stellen von 0.111... reproduziert.
Es ist einfach widersinnig, behaupten zu wollen, dass es so ist und
doch nicht so ist.
>
> > Für die unendliche Folge der Teillisten gilt: Länge = Breite =
> > Diagonale.
>
> Wenn man so will …
>
>
>
> > 1
>
> > 1
> > 11
> > 1
> > 11
> > 111
> > …
>
> > Das wird unsymmetrisch, beim Grenzübergang?
>
> Nö, aber es gibt einfach keine letzte Zeile.
Es gibt auch keine letzte Spalte. Trotzdem sprichst Du von allen
Ziffern in 0,111....
>
> >> Eintrag hat. Also eine letzte Zeile oder so. Warum sollte das so sein?
> >> Es hat eben nicht alles ein Ende.
>
> > Weder nach unten noch nach links. Doch in jedem Falle sind beide
> > Dimensionen gleich, sofern eine Diagonale existiert. Und damit ist
>
> Und?
>
> > neben der vertikalen Dimension auch die horizontale unendlich. Doch
>
> Klar, das ist genau die Aussage (I) von oben:
>
> (I)
> a) Zu jeder Stelle i in 0,111...
> b) existiert ein n,
> so dass der n-te Listeneintrag an Stelle i ebenfalls eine 1 enthält,
> genau wie 0,111...
und an allen vorhergehenden. Jede Stelle und alle vorhergehenden
stimmen überein. Das bedeutet, es gibt eine Zahl in der Liste, die mit
0,111... übereinstimmt, WENN es die Zahl 0,111... gibt. Natürlich ist
es nicht so. Aber die Existenz von 0,111... aktual zu behaupten, die
Identität von "jede und alle vorhergehenden" mit "alle" aber zu
leugnen, das ist widersinning.
>
> > die Liste existiert natürlich nur dadurch, dass sie von den Zahlen
> > aufgespannt wird. Also muss zumindest eine der Zahlen unendlich lang
> > sein. Es sei denn, Du wolltest behaupten, dass eine Anzahl von
> > endlichen Längen, nebeneinander hingelegt, eine unendliche Länge
> > ergibt.
>
> Nein, es gibt einfach kein Ende. Genau das ist doch der Ursprung des
> Wortes „unendlich“: Es gibt kein Ende. Siehe Aussage (I). Dafür ist
> keine unendlich lange Zahl nötig.
Dann gibt es auch kein Ende in 0,111... und es ist sinnlos, von
"allen" Ziffern sprechen zu wollen.
>
> >> betreiben kann. Dieses Credo alleine genügt aber nicht, um irgendeinen
> >> Widerspruch in der Mathematik mit aktualen Unendlichkeiten zu postulieren.
>
> > Dafür habe ich den binären Baum konzipiert.
>
> Den dort behaupteten Widerspruch haben schon vor Ewigkeiten mehrere
> Leute, u.a. ich, auf verschiedene Weise widerlegt. Ich befürchte, das
> wird mir wieder zu blöd hier. EOT.
Das ist wieder einmal der typische Baum-Fäller: Elleneange
Diskussionsbeiträge schreiben und viele Widerlegungen behaupten, aber
einen Verweis darauf oder eine kurze Darstellung ablehnen.
Ich habe alle einigermaßen sinnvollen Gegenargumente im
Originalbeitrag zu diesem Thread gesammelt und objektiv dargestellt.
Weitere sind mir leider nicht bekannt geworden.
Gruß, WM
Christopher Creutzig
>> es gibt kein n, das für alle Stellen funktioniert, und es gibt auch
>> keinen Grund, warum es ein solches n geben sollte.
>
> Es ist erwiesen, dass es für *jede* und alle kleineren Stellen eine
> Zahl in der Liste gibt, die alle Stellen von 0.111... reproduziert.
> Es ist einfach widersinnig, behaupten zu wollen, dass es so ist und
> doch nicht so ist.
Und wer tut das? Aber die Behauptung, es gebe ein gemeinsames n, das
für alle Stellen funktioniert, ist schlicht und ergreifend das
Vertauschen der Reihenfolge logischer Quantoren. Und dass *das* zu
Problemen führt, gehört zum Grundstoff der Logik, ob man das nun
Vorbildung, Verbildung, Erkenntnis oder einfach Bildung nennt.
>> Nö, aber es gibt einfach keine letzte Zeile.
>
> Es gibt auch keine letzte Spalte. Trotzdem sprichst Du von allen
> Ziffern in 0,111....
Richtig. Genauso wie ich von allen Einträgen der Liste rede. Ich tue
also in beiden Fällen genau das Gleiche, auch wenn Du noch so oft
postulierst, ich würde verschiedene Formen der Unendlichkeit behandeln.
Es gibt nur halt keine letzte 1 in 0,111..., genauso wie es keine letzte
Zeile der Liste gibt.
>> (I)
>> a) Zu jeder Stelle i in 0,111...
>> b) existiert ein n,
>> so dass der n-te Listeneintrag an Stelle i ebenfalls eine 1 enthält,
>> genau wie 0,111...
>
> und an allen vorhergehenden. Jede Stelle und alle vorhergehenden
> stimmen überein.
Richtig.
> Das bedeutet, es gibt eine Zahl in der Liste, die mit
> 0,111... übereinstimmt, WENN es die Zahl 0,111... gibt. Natürlich ist
Wieso das? Ich verstehe diesen Gedankenschritt wirklich nicht. Kannst
Du ihn einmal kleinschrittiger aufdröseln?
>>> Dafür habe ich den binären Baum konzipiert.
>> Den dort behaupteten Widerspruch haben schon vor Ewigkeiten mehrere
>> Leute, u.a. ich, auf verschiedene Weise widerlegt. Ich befürchte, das
>> wird mir wieder zu blöd hier. EOT.
>
> Das ist wieder einmal der typische Baum-Fäller: Elleneange
> Diskussionsbeiträge schreiben und viele Widerlegungen behaupten, aber
> einen Verweis darauf oder eine kurze Darstellung ablehnen.
Zu den vielen sinnvollen Gegenargumenten, die Du lieber ignoriert hast,
gehören:
* Ein Pfad wird nicht durch einen einzelnen Knoten definiert, sondern
durch eine unendliche Anzahl dieser. Damit ist die Anzahl der Knoten
keine obere Schranke für die Anzahl der Pfade, jedenfalls nicht
automatisch. Alle Versuche, explizit eine Surjektion von der Menge der
Knoten auf die Menge der Pfade zu konstruieren, sind durch explizite
Angabe nicht erreichter Pfade widerlegt worden.
* Sämtliche Knoten des Baums werden bereits durch die abzählbare Menge
der Pfade, die zu abbrechenden Binärzahlen gehören, erreicht. Das sind
nicht einmal alle rationalen Zahlen. Denen an dieser Stelle einfach die
Existenz abzusprechen, führt dazu, dass Du nicht im Rahmen der
Mengenlehre argumentierst, also gegebenenfalls auftretende Widersprüche
nicht der Mengenlehre anlasten kannst, sondern allenfalls der
modifizierten Version, die Du in der Argumentation verwendet hast.
* Aus der Beobachtung, dass es zu einem Pfad p für jeden anderen Pfad q
einen Knoten n(p,q) gibt, ab dem sie sich unterscheiden, zu folgern, es
müsse einen Knoten n(p) geben, ab dem sich p von jedem anderen Pfad q
unterscheidet, ist genau das oben angesprochene Problem: Vertauschung
der Quantoren. Außerdem ist es offensichtlich falsch.
* Die Begriffe, die Du verwendest, scheinen im Laufe der Argumentation
immer wieder mal ihre Bedeutung zu verändern, zumindest taten sie das
vor vier Jahren noch. Damit ist die ganze Argumentation aber ohnehin
nicht geeignet, irgend etwas zu zeigen oder zu widerlegen. Klare
Definitionen von Begriffen wie „Pfad“ habe ich damals von Dir nicht gesehen.
> Ich habe alle einigermaßen sinnvollen Gegenargumente im
> Originalbeitrag zu diesem Thread gesammelt und objektiv dargestellt.
> Weitere sind mir leider nicht bekannt geworden.
Dann lies bitte gründlicher.
WM
wrote:
> WM wrote:
> >> es gibt kein n, das für alle Stellen funktioniert, und es gibt auch
> >> keinen Grund, warum es ein solches n geben sollte.
>
> > Es ist erwiesen, dass es für *jede* und alle kleineren Stellen eine
> > Zahl in der Liste gibt, die alle Stellen von 0.111... reproduziert.
> > Es ist einfach widersinnig, behaupten zu wollen, dass es so ist und
> > doch nicht so ist.
>
> Und wer tut das? Aber die Behauptung, es gebe ein gemeinsames n, das
> für alle Stellen funktioniert,
Hiermit tust Du es. Du merkst es schon gar nicht mehr. Neben "jeder"
Stelle gibt es nichts mehr. *Wenn* es jede Stelle gibt, dann gibt es
natürlich auch eine endliche Verbindung zwischen dem Komma und jeder
Stelle. Diese Verbindung kann durch natürlich Zahlen indiziert werden
und kann ebensogut durch Einsen besetzt werden. Und damit wird jede
Stelle (die ja eine endliche Stelle ist) durch eine endliche Sequenz
von Einsen erreicht. Natürlich sind alle Stellen dazwischen auch mit
Einsen besetzt. Es bleibt einfach nichts mehr übrig.
Doch Du behauptest frohgemut, dass es nach jeder Stelle noch eine
gibt. --- Und damit hast Du sogar recht. Nur scheint Dir hier der
aktual unendliche Mut zu schwinden, zuzugeben, dass auch für diese
nächste und alle noch folgenden Stellen gilt: es gibt eine Verbindung
von Einsen, die bei 0, anfängt, und bis zu jeder Stelle reicht. Da ist
keine Lücke möglich, weder am Anfang, noch später.
Da kannst Du mit Deiner Logik oder mit anderer Logik oder mit was auch
immer argumentieren: Wenn sie das nicht hergibt, dann ist sie dummes
Zeug.
> ist schlicht und ergreifend das
> Vertauschen der Reihenfolge logischer Quantoren.
Nein, diese Vertauschung liegt bereits in der Behauptung einer Anzahl,
die größer als jede endliche ist. Schon die Behauptung der Existenz
von 0,111... beinhaltet die Vertauschung logischer Quantoren.
Mein Hinweis darauf, dass eine Zahl, die für jede Stelle und alle
kleineren mit 0,111... übereinstimmt, in der Liste aller endlichen
Folgen von 0,111...1 enthalten ist, deckt dies nur auf. Natürlich kann
ich sie nicht angeben, aber ich kann beweisen, dass sie existiert,
wenn 0,111... existiert und eine Einserkette von 0, bis zu jeder 1 aus
0,111... existiert.
> Und dass *das* zu
> Problemen führt, gehört zum Grundstoff der Logik, ob man das nun
> Vorbildung, Verbildung, Erkenntnis oder einfach Bildung nennt.
Die Quantorenvertauschung liegt bereits in der Annahme einer Menge,
die größer als jede endliche Menge ist, aber nur aus endlichen Zahlen
besteht.
Und das obige ist ja nicht das einzige Problem, dass sich daraus
ergibt.
Du musst annehmen, dass die Vereinigung aller endlichen Pfadabschnitte
einen unendlichen Pfad ergibt. Du musst also annehmen, dass endliche
Sequenzen der Form
1
11
111
...
die unendlich Sequenz 111... ergeben, obwohl keine selbst unendlich
wird. Das ist genau so falsch wie die Vermutung, dass die Vereinigung
von Dreiersequenzen
111
111
111
...
eine Zehnersequenz ergibt, wenn man nur genügend (= unendlich viele)
davon hernimmt. Das ist offenbar Unsinn. Es kommt nicht auf die Menge
an, sondern auf die Länge. Selbst unendlich viele endliche Längen,
nebeneinandergelegt, führen nicht auf eine aktual unendlich Länge,
d.h. auf eine Länge, die größer ist, als jede der
nebeneinandergelegten.
>
> >> Nö, aber es gibt einfach keine letzte Zeile.
>
> > Es gibt auch keine letzte Spalte. Trotzdem sprichst Du von allen
> > Ziffern in 0,111....
>
> Richtig. Genauso wie ich von allen Einträgen der Liste rede. Ich tue
> also in beiden Fällen genau das Gleiche,
Nein. Du siehst dass jeder Listeneintrag von einer 1 aus 0,111...
übertroffen wird. Du akzeptierst aber nicht, dass *jede* 1 aus
0,111... von einem Listeneintrag übertroffen wird, so dann keine mehr
übrig bleibt.
Du willst immer einen festen Listeneintrag wählen, den Du dann leicht
übertreffen kannst --- und damit ist für Dich das Übertreffen der
Listeneinträge durch 0,111... beschlossenen Sache. Dass es genau so
gut möglich wäre, eine 1 aus 0,111... herausgreifen zu müssen und dann
zu schließen, dass die Listeneinträge jede übertreffen, das kommt Dir
gar nicht in den Sinn. Man hat Dir diese Einseitigkeit so
eingetrichtert, dass Du sei gar nicht mehr erkennst.
>
> >> (I)
> >> a) Zu jeder Stelle i in 0,111...
> >> b) existiert ein n,
> >> so dass der n-te Listeneintrag an Stelle i ebenfalls eine 1 enthält,
> >> genau wie 0,111...
>
> > und an allen vorhergehenden. Jede Stelle und alle vorhergehenden
> > stimmen überein.
>
> Richtig.
>
> > Das bedeutet, es gibt eine Zahl in der Liste, die mit
> > 0,111... übereinstimmt, WENN es die Zahl 0,111... gibt. Natürlich ist
>
> Wieso das? Ich verstehe diesen Gedankenschritt wirklich nicht. Kannst
> Du ihn einmal kleinschrittiger aufdröseln?
Nimm doch einfach das Gegenteil an. Nimm an, dass es eine Ziffer von
0,111... gibt, die nicht von einer Listenzahl ganz abgedeckt wird.
Wenn das nicht möglich ist --- und offenbar ist es nicht möglich, dann
gibt es keine Ziffer in 0,111... die nicht von einer Listenzahl
abgedeckt wird. Und das bedeutet, dass jede Ziffer und alle
vorhergehenden abgedeckt werden. Und zwar von einer Listenzahl, denn
jede Einserfolge beginnt bei "0,".
>
> >>> Dafür habe ich den binären Baum konzipiert.
> >> Den dort behaupteten Widerspruch haben schon vor Ewigkeiten mehrere
> >> Leute, u.a. ich, auf verschiedene Weise widerlegt. Ich befürchte, das
> >> wird mir wieder zu blöd hier. EOT.
>
> > Das ist wieder einmal der typische Baum-Fäller: Elleneange
> > Diskussionsbeiträge schreiben und viele Widerlegungen behaupten, aber
> > einen Verweis darauf oder eine kurze Darstellung ablehnen.
>
> Zu den vielen sinnvollen Gegenargumenten, die Du lieber ignoriert hast,
> gehören:
Danke. Ich werde Deine Argumente zu den anderen hinzufügen und alle
noch einmal gemeinsam veröffentlichen. Aber im dafür vorgesehenen
Thread: Argumente zum binären Baum. Eine rege Diskussion dieser
Sammlung wäre mir sehr willkommen.
Gruß, WM
Christopher Creutzig
Nichts von dem bestreite ich. Zu jeder Stelle i gibt es ein n(i), so
dass der n(i)-te Listeneintrag alle 1en bis zur Stelle i enthält. n(i)
hängt allerdings von i ab.
> Da kannst Du mit Deiner Logik oder mit anderer Logik oder mit was auch
> immer argumentieren: Wenn sie das nicht hergibt, dann ist sie dummes
> Zeug.
Richtig. Glücklicherweise gibt die von mir verwendete Logik das her.
Was sie nicht hergibt, was Du in dem Text da oben auch nicht folgerst,
ist die Behauptung, es gebe ein von i unabhängiges n, mit dem das für
alle i funktioniert.
> Nein, diese Vertauschung liegt bereits in der Behauptung einer Anzahl,
> die größer als jede endliche ist. Schon die Behauptung der Existenz
> von 0,111... beinhaltet die Vertauschung logischer Quantoren.
Bitte etwas detaillierter. Es würde helfen, wenn Du die Operatoren, von
denen Du hier redest, einmal explizit aufschreiben könntest. Das habe
ich weiter oben mit meinen Aussagen (I), (II), (Ia) und (IIa) ja auch
gemacht. Schade, dass Du das lieber ignorierst, noch offensichtlicher
kann man das Vertauschen kaum machen.
> Mein Hinweis darauf, dass eine Zahl, die für jede Stelle und alle
> kleineren mit 0,111... übereinstimmt, in der Liste aller endlichen
> Folgen von 0,111...1 enthalten ist, deckt dies nur auf. Natürlich kann
Diese Zahl existiert nicht. Es gibt für jede Stelle eine Zahl, die bis
dahin übereinstimmt, aber es gibt keine Zahl, die für jede Stelle
übereinstimmt. Das ist nun wirklich etwas völlig Anderes.
> Du musst annehmen, dass die Vereinigung aller endlichen Pfadabschnitte
> einen unendlichen Pfad ergibt. Du musst also annehmen, dass endliche
> Sequenzen der Form
>
> 1
> 11
> 111
> ...
>
> die unendlich Sequenz 111... ergeben, obwohl keine selbst unendlich
> wird.
Wenn ich das nicht annehmen wollte, könnte ich die Behauptung natürlich
auch sauber aufschreiben und dann beweisen. Das führt i.A. zu deutlich
weniger Problemen, als irgend etwas einfach so anzunehmen. Insbesondere
müsste ich dafür etwas genauer beschreiben, was es denn heißen soll,
dass Sequenzen eine Sequenz „ergeben“. Und wenn meine formulierung auf
etwas hinausläuft, das i.E. äquivalent ist zu „die Vereinigung aller
Anfangsabschnitte von IN ergibt eine unendliche Menge“, dann kann ich
das in der Tat beweisen.
> an, sondern auf die Länge. Selbst unendlich viele endliche Längen,
> nebeneinandergelegt, führen nicht auf eine aktual unendlich Länge,
> d.h. auf eine Länge, die größer ist, als jede der
> nebeneinandergelegten.
Äh, doch, natürlich. Selbst endlich viele von Null verschiedene Längen
ergeben, aneinandergelegt, eine Länge, die größer ist als jede der
einzelnen Längen.
>>>> Nö, aber es gibt einfach keine letzte Zeile.
>>> Es gibt auch keine letzte Spalte. Trotzdem sprichst Du von allen
>>> Ziffern in 0,111....
>> Richtig. Genauso wie ich von allen Einträgen der Liste rede. Ich tue
>> also in beiden Fällen genau das Gleiche,
>
> Nein. Du siehst dass jeder Listeneintrag von einer 1 aus 0,111...
> übertroffen wird. Du akzeptierst aber nicht, dass *jede* 1 aus
> 0,111... von einem Listeneintrag übertroffen wird, so dann keine mehr
> übrig bleibt.
Doch, natürlich akzeptiere ich das. Ich habe es sogar schon mehrfach
selbst geschrieben.
> Du willst immer einen festen Listeneintrag wählen, den Du dann leicht
> übertreffen kannst --- und damit ist für Dich das Übertreffen der
> Listeneinträge durch 0,111... beschlossenen Sache. Dass es genau so
Meine Behauptung ist:
(I) „Jeder einzelne Listeneintrag ist von 0,111... verschieden.“
Das ist sprachlich-logisch genau das Gleiche wie
(II) „0,111... steht nicht in der Liste.“
Und wie soll ich denn (I) anders untersuchen, als mir einen beliebigen,
aber festen, Listeneintrag zu nehmen und zu untersuchen, ob er
vielleicht gleich 0,111... sein könnte?
> gut möglich wäre, eine 1 aus 0,111... herausgreifen zu müssen und dann
> zu schließen, dass die Listeneinträge jede übertreffen, das kommt Dir
> gar nicht in den Sinn. Man hat Dir diese Einseitigkeit so
> eingetrichtert, dass Du sei gar nicht mehr erkennst.
Sagen wir mal so: Man hat mir eingetrichtert, genau das aufzuschreiben,
was ich meine, und das zu lesen, was da irgendwo steht. Wenn ich wissen
will, ob 0,111... in der Liste steht, dann untersuche ich natürlich
nicht, ob ich es irgendwie aus der Liste zusammenpuzzeln könnte, sondern
ob es in der Liste steht.
>
>>>> (I)
>>>> a) Zu jeder Stelle i in 0,111...
>>>> b) existiert ein n,
>>>> so dass der n-te Listeneintrag an Stelle i ebenfalls eine 1 enthält,
>>>> genau wie 0,111...
>>> und an allen vorhergehenden. Jede Stelle und alle vorhergehenden
>>> stimmen überein.
>> Richtig.
>>
>>> Das bedeutet, es gibt eine Zahl in der Liste, die mit
>>> 0,111... übereinstimmt, WENN es die Zahl 0,111... gibt. Natürlich ist
>> Wieso das? Ich verstehe diesen Gedankenschritt wirklich nicht. Kannst
>> Du ihn einmal kleinschrittiger aufdröseln?
>
> Nimm doch einfach das Gegenteil an. Nimm an, dass es eine Ziffer von
> 0,111... gibt, die nicht von einer Listenzahl ganz abgedeckt wird.
Das ist nicht das Gegenteil. Das Gegenteil von
a) „Es gibt eine Zahl in der Liste, die mit 0,111... übereinstimmt“
ist
b) „Es gibt keine Zahl in der Liste, die mit 0,111... übereinstimmt“.
Das ist das Gleiche wie
c) „Jede (einzelne) Zahl in der Liste unterscheidet sich von 0,111...“,
und das ist das Gleiche wie
d) „Für jede (einzelne) Zahl in der Liste gibt es (mindestens) eine
Stelle, an der diese Zahl nicht mit 0,111... übereinstimmt.“
Dass es zu jeder 1 in 0,111... unendlich viele Listeneinträge gibt,
die dort ebenfalls eine 1 haben, habe ich nie bestritten. Nur ist
Aussage d) korrekt, und von dort können wir problemlos rückwärts gehen
und schließen, dass a) falsch ist.
Ich vermute, Du hast irgendwie Probleme beim Schritt von b) nach c).
Daher noch ein anderer Weg dahin:
a) „Es gibt eine Zahl in der Liste, die mit 0,111... übereinstimmt.“
ist das Gleiche wie
a') „Es gibt eine einzelne Zahl in der Liste, die mit 0,111...
übereinstimmt.“
Das Gegenteil dieser Aussage ist
c') „Es gibt keine einzelne Zahl in der Liste, die mit 0,11....
übereinstimmt.“
Und das ist offensichtlich das Gleiche wie c). Jedenfalls hoffe ich,
dass das hinreichend offensichtlich für Dich ist.
Albrecht
Christopher Creutzig schrieb:
> WM wrote:
> > On 21 Apr., 07:28, Christopher Creutzig <christop...@creutzig.de>
> > wrote:
> >> WM wrote:
<snip>
Klassischer Fall von aneinander vorbeigeredet:
WM:
> > an, sondern auf die Laenge. Selbst unendlich viele endliche Laengen,
> > nebeneinandergelegt, fuehren nicht auf eine aktual unendlich Laenge,
> > d.h. auf eine Laenge, die groesser ist, als jede der
> > nebeneinandergelegten.
>
CC:
> Aeh, doch, natuerlich. Selbst endlich viele von Null verschiedene Laengen
> ergeben, aneinandergelegt, eine Laenge, die groesser ist als jede der
> einzelnen Laengen.
WM redet von Laengen die _nebeneinander_ gelegt werden. Vielleicht
veranschaulicht folgendes diesen Begriff:
_
__
___
____
Wenn man diese Laengen neben- oder vielleicht besser gesagt,
aufeinander legt, von einem gemeinsamen Punkt aus beginnend, so
erhaelt man:
____
Das Ergebnis ist offensichtlich nicht laenger als jede Ausgangslaenge.
CC redet von _aneinander_ gelegten Laengen. Die oberen Laengen
aneinander gelegt ergeben wohl
__________
Das Ergebnis ist offensichtlich laenger als jede Ausgangslaenge.
Vielleicht hilft das ein wenig :-)
AS
WM
wrote:
> > Nein, diese Vertauschung liegt bereits in der Behauptung einer Anzahl,
> > die größer als jede endliche ist. Schon die Behauptung der Existenz
> > von 0,111... beinhaltet die Vertauschung logischer Quantoren.
>
> Bitte etwas detaillierter. Es würde helfen, wenn Du die Operatoren, von
> denen Du hier redest, einmal explizit aufschreiben könntest. Das habe
> ich weiter oben mit meinen Aussagen (I), (II), (Ia) und (IIa) ja auch
> gemacht. Schade, dass Du das lieber ignorierst, noch offensichtlicher
> kann man das Vertauschen kaum machen.
Ich habe es bereits gezeigt: Man kann jede Ziffer der Zahl 0,111...
herausgreifen und zeigen, dass sie von einer endlichen Folge von
Einsen aus der Liste überdeckt wird. Was für jede Ziffer von 0,111...
gilt, gilt es für alle. "Jede und alle kleineren" ist aber nichts
anderes als "alle".
Es gibt keine letzte Ziffer in 0,111..., aber für jede, die es gibt,
gilt:
Jede und alle kleineren = alle.
>
> > Mein Hinweis darauf, dass eine Zahl, die für jede Stelle und alle
> > kleineren mit 0,111... übereinstimmt, in der Liste aller endlichen
> > Folgen von 0,111...1 enthalten ist, deckt dies nur auf. Natürlich kann
>
> Diese Zahl existiert nicht. Es gibt für jede Stelle eine Zahl, die bis
> dahin übereinstimmt, aber es gibt keine Zahl, die für jede Stelle
> übereinstimmt. Das ist nun wirklich etwas völlig Anderes.
Nach Regeln einer Logik, die zu diesem Zwecke anhand von intuitiven
Betrachtungen über Tänzer und Tänzerinnen und Bestandteile von Pferden
herausgebildet wurde und mit dem Verhalten linearer Mengen nicht das
Geringste zu tun hat, mag das so sein. Für lineare Menge gilt: Jede
und alle kleineren = alle.
Wer die Ungleichheit leugnet, sollte ein Gegenbeispiel bereithalten.
Es geht nicht um die Behauptung, dass es eine natürliche Zahl gäbe,
die größer als der Index jeder 1 in 0,111... wäre. Es geht um die
Behauptung, dass keiner dieser Indizes größer als jede natürliche Zahl
ist und dass damit die Anzahl alle Einsen auch nicht größer als jede
natürliche Zahl ist.
>
> > Du musst annehmen, dass die Vereinigung aller endlichen Pfadabschnitte
> > einen unendlichen Pfad ergibt. Du musst also annehmen, dass endliche
> > Sequenzen der Form
>
> > 1
> > 11
> > 111
> > ...
>
> > die unendlich Sequenz 111... ergeben, obwohl keine selbst unendlich
> > wird.
>
> Wenn ich das nicht annehmen wollte, könnte ich die Behauptung natürlich
> auch sauber aufschreiben und dann beweisen. Das führt i.A. zu deutlich
> weniger Problemen, als irgend etwas einfach so anzunehmen. Insbesondere
> müsste ich dafür etwas genauer beschreiben, was es denn heißen soll,
> dass Sequenzen eine Sequenz „ergeben“. Und wenn meine Formulierung auf
> etwas hinausläuft, das i.E. äquivalent ist zu „die Vereinigung aller
> Anfangsabschnitte von IN ergibt eine unendliche Menge“, dann kann ich
> das in der Tat beweisen.
>
> > an, sondern auf die Länge. Selbst unendlich viele endliche Längen,
> > nebeneinandergelegt, führen nicht auf eine aktual unendlich Länge,
> > d.h. auf eine Länge, die größer ist, als jede der
> > nebeneinandergelegten.
>
> Äh, doch, natürlich. Selbst endlich viele von Null verschiedene Längen
> ergeben, aneinandergelegt, eine Länge, die größer ist als jede der
> einzelnen Längen.
Es geht nicht ums Aneindanderlegen sondern ums Nebeneinanderlegen in
der Form
1
11
111
...
mit dem Ergebnis einer Breite, die *größer als jede der zu ihr
beitragenden* ist .
Diese Annahme ist durch nichts gerechtfertigt. Ich werde sie
jedenfalls nicht akzeptieren und werde weiterhin versuchen, möglichst
vielen Menschen die Absurdität dieser Idee zu erklären.
Einfaches Gegenbeispiel: Unendliche viele Strecken der Länge 1
nebeneinandergelegt werden niemals eine Lücke der Größe 2 überbrücken.
Die Anzahl hat offenbar keinen Einfluss auf die erreichte Länge. Eine
Folge der Form 0, 0, 0, ... wird niemals den Grenzwert 1 ergeben,
nicht einmal die Reihe 0 + 0 + 0 + ... tut dies (wenn man mit einigem
Recht vom Endlichen aufs Unendliche schließen kann).
>
> > Du willst immer einen festen Listeneintrag wählen, den Du dann leicht
> > übertreffen kannst --- und damit ist für Dich das Übertreffen der
> > Listeneinträge durch 0,111... beschlossenen Sache. Dass es genau so
>
> Meine Behauptung ist:
> (I) „Jeder einzelne Listeneintrag ist von 0,111... verschieden.“
> Das ist sprachlich-logisch genau das Gleiche wie
> (II) „0,111... steht nicht in der Liste.“
Die Breite der gesamten Liste ist größer als jede einzelne Breite. Das
ist für lineare Mengen nicht möglich.
>
> Und wie soll ich denn (I) anders untersuchen, als mir einen beliebigen,
> aber festen, Listeneintrag zu nehmen und zu untersuchen, ob er
> vielleicht gleich 0,111... sein könnte?
Du könntest zum Beispiel versuchen zu beweisen, dass jede einzelne 1
von 0,111... von einer Listenzahl abgedeckt wird. Du könntest dann
zeigen, dass auch alle Einsen links von dieser 1 in der Listenzahl
vorkommen. Beides akzeptierst Du ja. Wenn das für alle Einsen so ist,
dann ist 0,111... in der Liste enthalten, oder etwas genauer
ausgedrückt: alle Einsen, die in 0,111... untersucht wurden, sind in
Listenzahlen enthalten. Aber alle Einsen, die in Listenzahlen
enthalten sind, sind auch in *einer* Listenzahl enthalten. (Es sei
denn, Du wüsstest zwei Einsen aus der Liste, die nicht in ein und
derselben Listenzahl enthalten sind.)
Und damit wäre gezeigt, dass alle Einsen in 0,111..., die untersucht
wurden, also alle Einsen in 0,111..., für die eine Untersuchung
möglich ist, also alle Einsen, die es in 0,111... gibt, in ein und
derselben Listenzahl enthalten sind.
>
> > gut möglich wäre, eine 1 aus 0,111... herausgreifen zu müssen und dann
> > zu schließen, dass die Listeneinträge jede übertreffen, das kommt Dir
> > gar nicht in den Sinn. Man hat Dir diese Einseitigkeit so
> > eingetrichtert, dass Du sei gar nicht mehr erkennst.
>
> Sagen wir mal so: Man hat mir eingetrichtert, genau das aufzuschreiben,
> was ich meine, und das zu lesen, was da irgendwo steht.
Also das Axiom über die Existenz des aktual Unendlichen, das Du als
Mengenlehrer ja akzeptierst (es gibt eine Menge ...), sagt aus, dass
jede Folge von Einsen, die sich auf natürlich indizierte Stellen
beschränkt, in der Liste drin ist. Die Liste ist nämlich nichts
anderes eine unäre Repräsentation dieser per Axiom gesicherten Menge.
Was bedarf da noch eines Beweises? Die Tatsache, dass 0,111... nur
Einsen an natürlich indizierten Stellen enthält etwa?
> Wenn ich wissen
> will, ob 0,111... in der Liste steht, dann untersuche ich natürlich
> nicht, ob ich es irgendwie aus der Liste zusammenpuzzeln könnte, sondern
> ob es in der Liste steht.
Du willst aber nicht wissen, ob die Existenz des vollendeten
Unendlichen überhaupt möglich ist?
Oben habe ich gezeigt, zugegeben mit einer etwas mathematisch
verwickelten Überlegung, dass alle Einsen, die es in 0,111... gibt, in
ein und derselben Listenzahl enthalten sind.
Deine Annahme führt auf die Notwendigkeit 0, 0, 0, ... --> oo oder
Summe 0 + 0 + 0 + ... > oo zu akzeptieren (s. den Aufbau des binären
Baums aus seinen Elementen oder die Folge der Anfangsabschnitte der
positiven geraden Zahlen im Vergleich mit ihren Kardinalzahlen).
> > Nimm doch einfach das Gegenteil an. Nimm an, dass es eine Ziffer von
> > 0,111... gibt, die nicht von einer Listenzahl ganz abgedeckt wird.
>
> Das ist nicht das Gegenteil.
Für lineare Mengen ist es das Gegenteil. Es gibt hier zwei
Alternativen:
a) Jede Ziffer von 0,111... wird durch eine Listenzahl abgedeckt.
b) Nicht jede Ziffer wird durch eine Listenzahl abgedeckt.
Du stimmst (a) zu, behauptest aber, dass für zwei verschiedene Ziffern
zwei verschiedene Listenzahlen benötigt würden. Per Induktion ist
einfach zu zeigen, dass diese Behauptung falsch ist.
> Das Gegenteil von
>
> a) „Es gibt eine Zahl in der Liste, die mit 0,111... übereinstimmt“
>
> ist
>
> b) „Es gibt keine Zahl in der Liste, die mit 0,111... übereinstimmt“.
>
> Das ist das Gleiche wie
>
> c) „Jede (einzelne) Zahl in der Liste unterscheidet sich von 0,111...“,
>
> und das ist das Gleiche wie
>
> d) „Für jede (einzelne) Zahl in der Liste gibt es (mindestens) eine
> Stelle, an der diese Zahl nicht mit 0,111... übereinstimmt.“
Das ist wieder potentielle Unendlichkeit für die Liste, aktuale
Unendlichkeit für die Zahl 0,111....
Umgekehrt kann man genau so berechtigt eine Ziffer der Zahl 0,111...
herausgreifen und zeigen, dass sie von einer endlichen Folge von
Einsen aus der Liste überdeckt wird. Natürlich gibt es eine weitere 1,
die in 0,111... an einer späteren Stelle steht, die aber, immer noch
nicht jeder Überdeckung durch eine endliche Folge von Einsen aus der
Liste entgeht. Da hätte man die aktual unendliche Liste und die
potentiell unendliche Zahl 0,111...
>
> Dass es zu jeder 1 in 0,111... unendlich viele Listeneinträge gibt,
> die dort ebenfalls eine 1 haben, habe ich nie bestritten. Nur ist
> Aussage d) korrekt, und von dort können wir problemlos rückwärts gehen
> und schließen, dass a) falsch ist.
>
> Ich vermute, Du hast irgendwie Probleme beim Schritt von b) nach c).
> Daher noch ein anderer Weg dahin:
>
> a) „Es gibt eine Zahl in der Liste, die mit 0,111... übereinstimmt.“
>
> ist das Gleiche wie
>
> a') „Es gibt eine einzelne Zahl in der Liste, die mit 0,111...
> übereinstimmt.“
Da fehlt etwas Entscheidendes: a') Es gibt eine einzelne Zahl der
Liste, die mit 0,111... übereinstimmt, wenn 0,111... nur an natürlich
indizierten Stellen Ziffern 1 besitzt.
Und diese Aussage ist richtig. Alle Zahlen der Liste decken alle
natürlich indizierten Stellen mit Ziffer 1 ab. So ist die Liste
konstruiert.
>
> Das Gegenteil dieser Aussage ist
>
> c') „Es gibt keine einzelne Zahl in der Liste, die mit 0,11....
> übereinstimmt.“
Und diese Aussage ist falsch, wenn 0,111... nur an natürlich
indizierten Stellen Einsen besitzt. So ist die Liste konstruiert.
>
> Und das ist offensichtlich das Gleiche wie c). Jedenfalls hoffe ich,
> dass das hinreichend offensichtlich für Dich ist.
Was von der Zahl 0,111... an natürlich indizierten Stellen existiert,
wird von einer einzigen Listenzahl abgedeckt.
Gruß, WM
Albrecht
Albrecht schrieb:
PS:
Es waere zu untersuchen, ob die Unterscheidung zwischen neben- /
aufeinander gelegt und aneinander gelegt im Unendlichen ueberhaupt
noch eine Rolle spielen kann.
Nur so kurz in den Raum geworfen:
1 + 1 + 1 + 1 + ... (ad infinitum)
und
1 + 2 + 3 + 4 + ... (ad infinitum)
macht nach gaengigen Definitionen keinen Unterschied.
Nur bestimmte unendliche Summen
a_1 + a_2 + a_3 + ... (ad infinitum)
, naemlich so genannte Reihen, machen aufgrund spezieller Definitionen
hier eine Ausnahme.
AS
WM
> Es waere zu untersuchen, ob die Unterscheidung zwischen neben- /
> aufeinander gelegt und aneinander gelegt im Unendlichen ueberhaupt
> noch eine Rolle spielen kann.
>
> Nur so kurz in den Raum geworfen:
>
> 1 + 1 + 1 + 1 + ... (ad infinitum)
> und
> 1 + 2 + 3 + 4 + ... (ad infinitum)
>
> macht nach gaengigen Definitionen keinen Unterschied.
>
> Nur bestimmte unendliche Summen
>
> a_1 + a_2 + a_3 + ... (ad infinitum)
>
> , naemlich so genannte Reihen, machen aufgrund spezieller Definitionen
> hier eine Ausnahme.
"Spezielle Definitionen" sind überflüssig. Es ist nichts weiter nötig
als die intuitiv richtige Anwendung des potentiell Unendlichen. Das
haben schon Euklid und Archimedes richtig gehandhabt. Erst manche
modernen Mathematiker behaupten, dass es spezieller Defiitionen
bedürfe, um die unendliche Summe
SUMME 1/2^n
zu bestimmen, nämlich als Entschuldigung, weil viele ihrer Ergebnisse
Unsinn machen, wenn die Definition nicht dabei steht. Dieser
Definiernotwendigkeitswahn führt zu dem Ergebnis, dass manche meinen,
sie könnten auch
SUMME n = 0
definieren (weil Euler mal irrtümlich in einem speziellen
Grenzübergang -1/12 dafür erhalten hat) oder
Lim[n --> oo] 1/2 = oo
oder
SUMME 1/2^n = beliebig.
Nein , das ist nicht Mathematik sondern Unsinn.
Lim[n --> oo] 1/2 = 1/2
und
SUMME[n = 1 --> oo] 1/2^n = 1.
Man kann nämlich ewig von einer Torte essen, ohne sie aufzubrauchen
und ohne eine festgelegte Menge übrig zu lassen, wenn man immer nur
die Hälfte von dem isst, was noch übrig bleibt.
Das haben heute sogar die Girls verstanden, die noch nie mit dem
Unendlichen zu tun hatte.
Gruß, WM
Albrecht
WM schrieb:
> On 23 Apr., 10:16, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>
> > Es waere zu untersuchen, ob die Unterscheidung zwischen neben- /
> > aufeinander gelegt und aneinander gelegt im Unendlichen ueberhaupt
> > noch eine Rolle spielen kann.
> >
> > Nur so kurz in den Raum geworfen:
> >
> > 1 + 1 + 1 + 1 + ... (ad infinitum)
> > und
> > 1 + 2 + 3 + 4 + ... (ad infinitum)
> >
> > macht nach gaengigen Definitionen keinen Unterschied.
> >
> > Nur bestimmte unendliche Summen
> >
> > a_1 + a_2 + a_3 + ... (ad infinitum)
> >
> > , naemlich so genannte Reihen, machen aufgrund spezieller Definitionen
> > hier eine Ausnahme.
>
> "Spezielle Definitionen" sind überflüssig.
Ich finde es durchaus nicht falsch, dass durch die Definition der
unendlichen Reihe mit einem Ausdruck wie 0.9999... oder auch 0.3333...
so gerechnet werden kann, wie man es intuitiv erwartet. Einige
Beispiele dieser Art des intuitiven Rechnens mit solchen Zahlen
wurden hier ja genannt.
Gefaehrlich finde ich Tendenzen diese Ausdruecke als aktual unendliche
Objekte misszuverstehen.
Gruss
Albrecht
Peter Niessen
Wir üben das nochmal:
> Es waere zu untersuchen, ob die Unterscheidung zwischen neben- /
> aufeinander gelegt und aneinander gelegt im Unendlichen ueberhaupt
> noch eine Rolle spielen kann.
>
> Nur so kurz in den Raum geworfen:
>
> 1 + 1 + 1 + 1 + ... (ad infinitum)
> und
> 1 + 2 + 3 + 4 + ... (ad infinitum)
Im Bereich der reellen Zahlen sind obige Reihen divergent und stellen somit
keine Zahl dar. Interpretieren wir obiges als eine Summe von Ordinalzahlen,
wobei eine saubere Notation nicht schaden könnte, ist das Ergebniss in
beiden Fällen gleich \omega. Der Beweis ist simpel und dir überlassen.
> macht nach gaengigen Definitionen keinen Unterschied.
Mache dich bitte klug was eine "gängige" Definition ist. So wirklich klar
ist dir das nicht.
> Nur bestimmte unendliche Summen
>
> a_1 + a_2 + a_3 + ... (ad infinitum)
>
> , naemlich so genannte Reihen, machen aufgrund spezieller Definitionen
> hier eine Ausnahme.
Was ist denn die "spezielle Definition" im Gegensatz zu obigen?
--
Mit freundlichen Grüssen:
Peter Niessen
Rainer Rosenthal
> Gefaehrlich finde ich Tendenzen diese Ausdruecke als aktual unendliche
> Objekte misszuverstehen.
Verstehe ich richtig, dass es um die von WM genannten unendlichen
Summen geht, von denen im Posting davor die Rede war:
WM: Erst manche modernen Mathematiker behaupten, dass es
WM: spezieller Definitionen bedürfe, um die unendliche Summe
WM:
WM: SUMME 1/2^n
WM:
WM: zu bestimmen, nämlich als Entschuldigung, weil viele ihrer Ergebnisse
WM: Unsinn machen, wenn die Definition nicht dabei steht.
Wenn es um eine unendliche Reihe wie diese geht, also
Summe{n=0..oo} 1/2^n
dann kommt nach landläufiger Meinung 2 heraus. Die Summation geht
über *alle* ganzen Zahlen grösser oder gleich 0. Das sind unendlich
viele. Nimmt man nur endlich viele dieser Zahlen zur Summation hinzu,
dann hat man aktual nur eine Teilsumme, die notwendig kleiner ist
als 2. Man benötigt aktual alle, um aktual 2 als Summe zu bekommen.
Betrachtet man nur die Teilsummen
T_k = Summe{n=0..k} 1/2^n
so sieht mander Folge dieser Teilsummen die Möglichkeit an, gegen 2
zu konvergieren. Und dass diese Möglichkeit genutzt wird, entnimmt
man der Definition des Grenzwertes. Damit G Grenzwert der Folge der
T_k ist, muss es zu jeder noch so kleinen Umgebung der Zahl G eine
Zahl K geben, so dass alle T_k in dieser Umgebung liegen, für welche
k > K ist. Man kann nachrechnen, dass G=2 diese Bedingung erfüllt.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Christopher Creutzig
> On 22 Apr., 18:31, Christopher Creutzig <christop...@creutzig.de>
> wrote:
>
>
>>> Nein, diese Vertauschung liegt bereits in der Behauptung einer Anzahl,
>>> die größer als jede endliche ist. Schon die Behauptung der Existenz
>>> von 0,111... beinhaltet die Vertauschung logischer Quantoren.
>> Bitte etwas detaillierter. Es würde helfen, wenn Du die Operatoren, von
>> denen Du hier redest, einmal explizit aufschreiben könntest. Das habe
>> ich weiter oben mit meinen Aussagen (I), (II), (Ia) und (IIa) ja auch
>> gemacht. Schade, dass Du das lieber ignorierst, noch offensichtlicher
>> kann man das Vertauschen kaum machen.
>
> Ich habe es bereits gezeigt: Man kann jede Ziffer der Zahl 0,111...
> herausgreifen und zeigen, dass sie von einer endlichen Folge von
> Einsen aus der Liste überdeckt wird. Was für jede Ziffer von 0,111...
> gilt, gilt es für alle. "Jede und alle kleineren" ist aber nichts
> anderes als "alle".
Keine Probleme. Aber der Schritt von „für jede Stelle gibt es eine
Zahl, so dass ...“ zu „Es gibt eine Zahl, so dass jede Stelle ...“ ist
halt falsch, und genau *darum* ging es in den genannten Aussagen. Und
genau *das* ist es, was man gemeinhain als „Vertauschen von Operatoren“
bezeichnet.
>>> Mein Hinweis darauf, dass eine Zahl, die für jede Stelle und alle
>>> kleineren mit 0,111... übereinstimmt, in der Liste aller endlichen
>>> Folgen von 0,111...1 enthalten ist, deckt dies nur auf. Natürlich kann
>> Diese Zahl existiert nicht. Es gibt für jede Stelle eine Zahl, die bis
>> dahin übereinstimmt, aber es gibt keine Zahl, die für jede Stelle
>> übereinstimmt. Das ist nun wirklich etwas völlig Anderes.
>
> Nach Regeln einer Logik, die zu diesem Zwecke anhand von intuitiven
> Betrachtungen über Tänzer und Tänzerinnen und Bestandteile von Pferden
> herausgebildet wurde und mit dem Verhalten linearer Mengen nicht das
> Geringste zu tun hat, mag das so sein. Für lineare Menge gilt: Jede
> und alle kleineren = alle.
Ich habe keine Ahnung, was das besagen soll.
> Wer die Ungleichheit leugnet, sollte ein Gegenbeispiel bereithalten.
0,111... ist nicht in der Liste der 0,111...1 enthalten. Was stört Dich
an diesem Gegenbeispiel?
> Es geht nicht um die Behauptung, dass es eine natürliche Zahl gäbe,
> die größer als der Index jeder 1 in 0,111... wäre. Es geht um die
> Behauptung, dass keiner dieser Indizes größer als jede natürliche Zahl
> ist und dass damit die Anzahl alle Einsen auch nicht größer als jede
> natürliche Zahl ist.
Dafür braucht man natürlich erst einmal eine passende Definition von
„größer“. Mit der üblichen „gröer“-Definition für Kardinalzahlen ist die
Aussage allerdings richtig.
Behauptung: Die Anzahl der 1en in 0,111... ist im Sinne der Ordnung auf
Kardinalzahlen größer als jede natürliche Zahl.
Beweis: Zu jeder natürlichen Zahl n hat 0,111... in den ersten n
Stellen bereits n Einsen. Danach kommt aber noch eine weitere, die
Anzahl der Einsen in 0,111... ist also mindestens n+1. Da natürliche
Zahlen endlich sind, ist n+1>n. Q.E.D.
Ja, damit ist die Aussage bewiesen. Das Argument greift nämlich für
jede natürliche Zahl, und wenn jemand mitten drin auf einmal die Zahl
ändern wollte, müsste er wieder von vorne anfangen. Ohne über LOS zu
ziehen und ohne 400 FRZ einzusammeln.
>>> an, sondern auf die Länge. Selbst unendlich viele endliche Längen,
>>> nebeneinandergelegt, führen nicht auf eine aktual unendlich Länge,
>>> d.h. auf eine Länge, die größer ist, als jede der
>>> nebeneinandergelegten.
>> Äh, doch, natürlich. Selbst endlich viele von Null verschiedene Längen
>> ergeben, aneinandergelegt, eine Länge, die größer ist als jede der
>> einzelnen Längen.
>
> Es geht nicht ums Aneindanderlegen sondern ums Nebeneinanderlegen in
> der Form
>
> 1
> 11
> 111
> ...
Das ist nicht nebeneinander, das ist übereinander.
> mit dem Ergebnis einer Breite, die *größer als jede der zu ihr
> beitragenden* ist .
Äh, ja, es gilt limit(n, n=infinity) = infinity, obwohl darin nur
endliche Werte von n behandelt werden.
> Diese Annahme ist durch nichts gerechtfertigt. Ich werde sie
> jedenfalls nicht akzeptieren und werde weiterhin versuchen, möglichst
> vielen Menschen die Absurdität dieser Idee zu erklären.
Sei Dir unbenommen. Nur wirst Du mit den bislang vorgebrachten
Argumenten nur Leute, die nicht selbständig abstrakt denken mögen,
überzeugen können.
> Einfaches Gegenbeispiel: Unendliche viele Strecken der Länge 1
> nebeneinandergelegt werden niemals eine Lücke der Größe 2 überbrücken.
Und die oben genannten Längen übersteigen jede beliebige endliche
Schranke, obwohl sie alle endlich sind.
>>> Du willst immer einen festen Listeneintrag wählen, den Du dann leicht
>>> übertreffen kannst --- und damit ist für Dich das Übertreffen der
>>> Listeneinträge durch 0,111... beschlossenen Sache. Dass es genau so
>> Meine Behauptung ist:
>> (I) „Jeder einzelne Listeneintrag ist von 0,111... verschieden.“
>> Das ist sprachlich-logisch genau das Gleiche wie
>> (II) „0,111... steht nicht in der Liste.“
>
> Die Breite der gesamten Liste ist größer als jede einzelne Breite. Das
> ist für lineare Mengen nicht möglich.
Das ist eine Behauptung, die mit meiner Aussage schlicht nichts zu tun
hat. Warum setzt Du sie unter dieses Zitat?
>> Und wie soll ich denn (I) anders untersuchen, als mir einen beliebigen,
>> aber festen, Listeneintrag zu nehmen und zu untersuchen, ob er
>> vielleicht gleich 0,111... sein könnte?
>
> Du könntest zum Beispiel versuchen zu beweisen, dass jede einzelne 1
> von 0,111... von einer Listenzahl abgedeckt wird. Du könntest dann
Das habe ich nie bestritten. Aber wenn ich die Frage untersuchen will,
ob die Zahl in der Liste ist, sollte ich untersuchen, ob sie in der
Liste ist. Nicht, ob man sie irgendwie aus den Bausteinen in der Liste
zusammenpuzzeln könnte.
> zeigen, dass auch alle Einsen links von dieser 1 in der Listenzahl
> vorkommen. Beides akzeptierst Du ja. Wenn das für alle Einsen so ist,
> dann ist 0,111... in der Liste enthalten, oder etwas genauer
Das ist nicht der Fall.
> ausgedrückt: alle Einsen, die in 0,111... untersucht wurden, sind in
> Listenzahlen enthalten. Aber alle Einsen, die in Listenzahlen
Das ist wiederum richtig.
> enthalten sind, sind auch in *einer* Listenzahl enthalten. (Es sei
Das ist falsch. Ich kann zu jeder Listenzahl eine 1 angeben, die nicht
drin steht.
> Und damit wäre gezeigt, dass alle Einsen in 0,111..., die untersucht
> wurden, also alle Einsen in 0,111..., für die eine Untersuchung
> möglich ist, also alle Einsen, die es in 0,111... gibt, in ein und
> derselben Listenzahl enthalten sind.
Mit Hilfe einer Vertauschung logischer Operatoren, die durch nichts
weiter als ein „Wolfgang will das aber so“ gerechtfertigt ist.
>> Sagen wir mal so: Man hat mir eingetrichtert, genau das aufzuschreiben,
>> was ich meine, und das zu lesen, was da irgendwo steht.
>
> Also das Axiom über die Existenz des aktual Unendlichen, das Du als
> Mengenlehrer ja akzeptierst (es gibt eine Menge ...), sagt aus, dass
> jede Folge von Einsen, die sich auf natürlich indizierte Stellen
> beschränkt, in der Liste drin ist. Die Liste ist nämlich nichts
Nö. Die Liste enthält ausschließlich Zahlen, die nur endlich viele
Einsen enthalten.
> anderes eine unäre Repräsentation dieser per Axiom gesicherten Menge.
aleph_0 ist aber nicht in N enthalten, weißt Du? Die Existenz der Menge
der Listenzahlen habe ich übrigens auch nirgends bestritten.
> Was bedarf da noch eines Beweises? Die Tatsache, dass 0,111... nur
> Einsen an natürlich indizierten Stellen enthält etwa?
Der Schritt von
Zu jeder Stelle i
gibt es ein n(i)
so dass alle Einsen bis zur i-ten Stellen in der Listenzahl in Zeile
n(i) enthalten sind.
zu
Es gibt ein n (= n(?)?),
so dass für alle i
alle Einsen bis zur i-ten Stelle in der Listenzahl in Zeile n enthalten
sind.
natürlich. Das habe ich hier doch bestimmt schon drei- bis dreißigmal
gesagt. Dieser Schritt ist schlicht nicht gerechtfertigt, und da hilft
auch alles Händewedeln, Verweis auf Tänzer oder irgendwelche „lineare
Mengen“ nichts. Es gibt schlicht keinen Grund, diesen Schritt gedanklich
zuzulassen. Und das hat noch nicht einmal etwas mit Mengenlehre zu tun.
>> Wenn ich wissen
>> will, ob 0,111... in der Liste steht, dann untersuche ich natürlich
>> nicht, ob ich es irgendwie aus der Liste zusammenpuzzeln könnte, sondern
>> ob es in der Liste steht.
>
> Du willst aber nicht wissen, ob die Existenz des vollendeten
> Unendlichen überhaupt möglich ist?
Wenn es dagegen ein Argument gäbe, würde ich das gerne hören.
> Oben habe ich gezeigt, zugegeben mit einer etwas mathematisch
> verwickelten Überlegung, dass alle Einsen, die es in 0,111... gibt, in
> ein und derselben Listenzahl enthalten sind.
Daran war absolut nichts verwickelt. Viel simpler geht es in der
Mathematik selten zu. Es ist nur schlichtweg falshc, und warum, habe ich
gerade eben ein weiteres mal geschrieben.
>>> Nimm doch einfach das Gegenteil an. Nimm an, dass es eine Ziffer von
>>> 0,111... gibt, die nicht von einer Listenzahl ganz abgedeckt wird.
>> Das ist nicht das Gegenteil.
>
> Für lineare Mengen ist es das Gegenteil. Es gibt hier zwei
> Alternativen:
> a) Jede Ziffer von 0,111... wird durch eine Listenzahl abgedeckt.
> b) Nicht jede Ziffer wird durch eine Listenzahl abgedeckt.
>
> Du stimmst (a) zu, behauptest aber, dass für zwei verschiedene Ziffern
> zwei verschiedene Listenzahlen benötigt würden. Per Induktion ist
> einfach zu zeigen, dass diese Behauptung falsch ist.
Das ist keineswegs meine Behauptung. Meine Behauptung ist, dass es zu
jeder Listenzahl eine 1 gibt, die dort nicht drinsteht. Leg mir doch
nicht irgendwelchen Humbug in den Mund, nur weil der sich so schön
leicht wderlegen lässt.
>> Das Gegenteil von
>>
>> a) „Es gibt eine Zahl in der Liste, die mit 0,111... übereinstimmt“
>>
>> ist
>>
>> b) „Es gibt keine Zahl in der Liste, die mit 0,111... übereinstimmt“.
>>
>> Das ist das Gleiche wie
>>
>> c) „Jede (einzelne) Zahl in der Liste unterscheidet sich von 0,111...“,
>>
>> und das ist das Gleiche wie
>>
>> d) „Für jede (einzelne) Zahl in der Liste gibt es (mindestens) eine
>> Stelle, an der diese Zahl nicht mit 0,111... übereinstimmt.“
>
> Das ist wieder potentielle Unendlichkeit für die Liste, aktuale
> Unendlichkeit für die Zahl 0,111....
Nein, das ist nur eine Umformung logischer Aussagen. An dieser Stelle
ist noch nichts darüber ausgesagt, welche dieser Aussagen richtig sind
etc. Lediglich beim Schritt von c nach d fließt die Definition ein, wann
sich zwei Zahlen untesrcheiden.
Insbesondere habe ich, außer durch die Verwendung der Symbolkette
„0,111...“, an keiner Stelle irgendeine Form von Unendlichkeit benutzt.
Gar keine. Ersetz diese Symbolkette durch ein „a“, und es steht
keinerlei Unendlichkeit mehr da.
>> Dass es zu jeder 1 in 0,111... unendlich viele Listeneinträge gibt,
>> die dort ebenfalls eine 1 haben, habe ich nie bestritten. Nur ist
>> Aussage d) korrekt, und von dort können wir problemlos rückwärts gehen
>> und schließen, dass a) falsch ist.
>>
>> Ich vermute, Du hast irgendwie Probleme beim Schritt von b) nach c).
>> Daher noch ein anderer Weg dahin:
>>
>> a) „Es gibt eine Zahl in der Liste, die mit 0,111... übereinstimmt.“
>>
>> ist das Gleiche wie
>>
>> a') „Es gibt eine einzelne Zahl in der Liste, die mit 0,111...
>> übereinstimmt.“
>
> Da fehlt etwas Entscheidendes: a') Es gibt eine einzelne Zahl der
> Liste, die mit 0,111... übereinstimmt, wenn 0,111... nur an natürlich
> indizierten Stellen Ziffern 1 besitzt.
Da letzteres ohnehin der Fall ist, ist das das Gleiche.
> Und diese Aussage ist richtig. Alle Zahlen der Liste decken alle
> natürlich indizierten Stellen mit Ziffer 1 ab. So ist die Liste
> konstruiert.
Aha. Und welche einzelne(!!) Zahl in der Liste soll das sein?
> Was von der Zahl 0,111... an natürlich indizierten Stellen existiert,
> wird von einer einzigen Listenzahl abgedeckt.
Von welcher?
Albrecht
Rainer Rosenthal schrieb:
> Albrecht schrieb:
>
> > Gefaehrlich finde ich Tendenzen diese Ausdruecke als aktual unendliche
> > Objekte misszuverstehen.
>
> Verstehe ich richtig, dass es um die von WM genannten unendlichen
> Summen geht, von denen im Posting davor die Rede war:
>
> WM: Erst manche modernen Mathematiker behaupten, dass es
> WM: spezieller Definitionen bedï¿œrfe, um die unendliche Summe
> WM:
> WM: SUMME 1/2^n
> WM:
> WM: zu bestimmen, nï¿œmlich als Entschuldigung, weil viele ihrer Ergebnisse
> WM: Unsinn machen, wenn die Definition nicht dabei steht.
>
> Wenn es um eine unendliche Reihe wie diese geht, also
>
> Summe{n=0..oo} 1/2^n
>
> dann kommt nach landlï¿œufiger Meinung 2 heraus. Die Summation geht
> ï¿œber *alle* ganzen Zahlen grï¿œsser oder gleich 0. Das sind unendlich
> viele. Nimmt man nur endlich viele dieser Zahlen zur Summation hinzu,
> dann hat man aktual nur eine Teilsumme, die notwendig kleiner ist
> als 2. Man benï¿œtigt aktual alle, um aktual 2 als Summe zu bekommen.
Das ist alles schoen und intuitiv. Aendert aber nichts an der
Tatsache, dass unendliche Summen algebraisch nicht definiert sind.
>
> Betrachtet man nur die Teilsummen
>
> T_k = Summe{n=0..k} 1/2^n
>
> so sieht mander Folge dieser Teilsummen die Mï¿œglichkeit an, gegen 2
> zu konvergieren. Und dass diese Mï¿œglichkeit genutzt wird, entnimmt
> man der Definition des Grenzwertes. Damit G Grenzwert der Folge der
> T_k ist, muss es zu jeder noch so kleinen Umgebung der Zahl G eine
> Zahl K geben, so dass alle T_k in dieser Umgebung liegen, fï¿œr welche
> k > K ist. Man kann nachrechnen, dass G=2 diese Bedingung erfï¿œllt.
>
>
Man definiert sinnvollerweise die Grenzwerte von konvergenten Folgen
so.
Aber ganz allgemein und weit ueber diesen Punkt hinaus:
Man weiss seit Goedel, dass wir von einer hinreichend maechtigen
Mathematik nicht wissen koennen ob sie widerspruchsfrei ist.
Aber deshalb muss man den Kopf in Hinblick auf diese Frage nicht in
den Sand stecken. Ich glaube, dass man die Mathematik durch einen
Abgleich mit der erfassbaren Realitaet sicher machen kann. Und genau
so ein Abgleich kann mittels scheinbar trivialer Logik und anhand von
scheinbar trivialen Gegenstaenden wie z.B. die unitaeren Zahlen oder
Einheitsstrecken, wie es hier von WM und mir vorgemacht wird,
erreichen.
Die Gretchenfrage ist nicht:
Will man lieber reine Mathematik oder lieber angewandte Mathematik.
Die Gretchenfrage ist:
Moechte man lieber tragfaehige Mathematik oder lieber Hoffen-das-alles-
gut-geht-Mathematik.
ZFC ist m. E. eine Mathematik der letzteren Art.
Gruss
Albrecht
Rainer Rosenthal
>
> Rainer Rosenthal schrieb:
>> Albrecht schrieb:
>>
>>> Gefaehrlich finde ich Tendenzen diese Ausdruecke als aktual unendliche
>>> Objekte misszuverstehen.
>>
>>
>>
>> dann kommt nach landlaeufiger Meinung 2 heraus. Die Summation geht
>> ueber *alle* ganzen Zahlen groesser oder gleich 0. Das sind unendlich
>> viele. Nimmt man nur endlich viele dieser Zahlen zur Summation hinzu,
>> dann hat man aktual nur eine Teilsumme, die notwendig kleiner ist
>
> Das ist alles schoen und intuitiv. Aendert aber nichts an der
> Tatsache, dass unendliche Summen algebraisch nicht definiert sind.
Ich hatte gehofft, etwas zum Thema potentiell/aktual beitragen zu
können. Kern der Aussage: Die Menge, über die in (1) summiert wird,
ist unendlich. Man darf auch getrost sagen: aktual unendlich.
Ich möchte gleich einem berechtigten Einwand zuvorkommen, der besagt,
dass bei der Reihen-Summation die Reihenfolge eine Rolle spielt. Im
obigen Fall handelt es sich aber um eine absolut konvergente Reihe, d.h.
der Reihenwert ist bei beliebiger Umordnung der Menge M = {1/2^n | n >= 0}
stets existent und gleich dem Wert 2. Es ist also in diesem Falle zulässig,
davon zu sprechen, dass über diese Menge M summiert wird. Anders ausge-
drückt: ist m_1, m_2, m_3, ... eine Auflistung der Menge M, dann gilt
Summe{i=1..oo} m_i = 2.
M ist (aktual) unendlich und gleichmächtig zu N.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
WM
> Rainer Rosenthal schrieb:
>
>
>
>
>
> > Albrecht schrieb:
>
> > > Gefaehrlich finde ich Tendenzen diese Ausdruecke als aktual unendliche
> > > Objekte misszuverstehen.
>
> > Verstehe ich richtig, dass es um die von WM genannten unendlichen
> > Summen geht, von denen im Posting davor die Rede war:
>
> > WM: Erst manche modernen Mathematiker behaupten, dass es
> > WM:
> > WM: SUMME 1/2^n
> > WM:
> > WM: Unsinn machen, wenn die Definition nicht dabei steht.
>
> > Wenn es um eine unendliche Reihe wie diese geht, also
>
> > Summe{n=0..oo} 1/2^n
>
> > ￜber *alle* ganzen Zahlen grￜsser oder gleich 0. Das sind unendlich
> > viele. Nimmt man nur endlich viele dieser Zahlen zur Summation hinzu,
> > dann hat man aktual nur eine Teilsumme, die notwendig kleiner ist
>
> Das ist alles schoen und intuitiv. Aendert aber nichts an der
> Tatsache, dass unendliche Summen algebraisch nicht definiert sind.
Es geht doch auch nur um die Frage, ob das Ergebnis von beliebig
vielen Termen immer näher an die 2 heranrückt und niemals darüber
hinaus, ob also 2 die kleinste reelle Zahl ist, die von den
Partialsummen nicht übertroffen wird. Ganz ohne algebraische
Definition und ohne formale Mathematik kann das "jeder verstehen,
welcher das besitzt, was man den gesunden Menschenverstand nennt;
philososophische oder mathematische Schulkenntnisse sind dazu nicht im
geringsten erforderlich."
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/
>
> Man weiss seit Goedel, dass wir von einer hinreichend maechtigen
> Mathematik nicht wissen koennen ob sie widerspruchsfrei ist.
Die Argumentation von Goedel basiert ebenso wie die von Cantor auf der
Annahme der Existenz des aktual Unendlichen. Daher ist sie
glücklicherweise ohne Belang für die richtige Mathematik. Die ist
schon deswegen widerspruchsfrei, weil sie ist ein Abbild der Realität
ist --- und die ist mit oder ohne Goedel widerspruchsfrei.
Gruß, WM
WM
> Albrecht schrieb:
>
>
>
>
>
>
>
> > Rainer Rosenthal schrieb:
> >> Albrecht schrieb:
>
> >>> Gefaehrlich finde ich Tendenzen diese Ausdruecke als aktual unendliche
> >>> Objekte misszuverstehen.
>
> >> Wenn es um eine unendliche Reihe wie diese geht, also
>
> >> Summe{n=0..oo} 1/2^n (1)
>
> >> dann kommt nach landlaeufiger Meinung 2 heraus. Die Summation geht
> >> ueber *alle* ganzen Zahlen groesser oder gleich 0. Das sind unendlich
> >> viele. Nimmt man nur endlich viele dieser Zahlen zur Summation hinzu,
> >> dann hat man aktual nur eine Teilsumme, die notwendig kleiner ist
> >> als 2. Man benoetigt aktual alle, um aktual 2 als Summe zu bekommen.
>
> > Das ist alles schoen und intuitiv. Aendert aber nichts an der
> > Tatsache, dass unendliche Summen algebraisch nicht definiert sind.
>
> Ich hatte gehofft, etwas zum Thema potentiell/aktual beitragen zu
> können. Kern der Aussage: Die Menge, über die in (1) summiert wird,
> ist unendlich. Man darf auch getrost sagen: aktual unendlich.
>
> Ich möchte gleich einem berechtigten Einwand zuvorkommen, der besagt,
> dass bei der Reihen-Summation die Reihenfolge eine Rolle spielt. Im
> obigen Fall handelt es sich aber um eine absolut konvergente Reihe, d.h.
> der Reihenwert ist bei beliebiger Umordnung der Menge M = {1/2^n | n >= 0}
> stets existent und gleich dem Wert 2. Es ist also in diesem Falle zulässig,
> davon zu sprechen, dass über diese Menge M summiert wird.
Ja, das meine ich auch. Deshalb wird der Wert einer absolut
konvergenten Reihe auch mit Fug und Recht ihre Summe genannt.
> Anders ausge-
> drückt: ist m_1, m_2, m_3, ... eine Auflistung der Menge M, dann gilt
>
> Summe{i=1..oo} m_i = 2.
>
> M ist (aktual) unendlich und gleichmächtig zu N.
Ob aktual oder potentiell unendlich hat wohl keinen großen Einfluss
auf das Ergebnis.
2 ist die kleinste Zahl, die nicht übertroffen werden kann. Ob und in
welcher Form sie erreicht wird, ist eine andere Frage.
Gruß, WM
WM
wrote:
> WM wrote:
> > On 22 Apr., 18:31, Christopher Creutzig <christop...@creutzig.de>
> > wrote:
> > Ich habe es bereits gezeigt: Man kann jede Ziffer der Zahl 0,111...
> > herausgreifen und zeigen, dass sie von einer endlichen Folge von
> > Einsen aus der Liste überdeckt wird. Was für jede Ziffer von 0,111...
> > gilt, gilt es für alle. "Jede und alle kleineren" ist aber nichts
> > anderes als "alle".
>
> Keine Probleme. Aber der Schritt von „für jede Stelle gibt es eine
> Zahl, so dass ...“ zu „Es gibt eine Zahl, so dass jede Stelle ...“ ist
> halt falsch, und genau *darum* ging es in den genannten Aussagen. Und
> bezeichnet.
Das ist ein inhaltsloses Schlagwort. Du überträgst etwas aus seinem
Gültigkeitsbereich in einen Bereich, in dem es nicht gilt. Betrachte
einfach Cantors Liste:
Zu jedem Listeneintrag gibt es eine Ziffer, die ihn von der
Diagonalzahl unterscheidet.
Es gibt aber (in der Regel) keine Ziffer, die die Diagonalzahl von
allen Listeneinträgen unterscheidet.
Wer das behaupten wollte, würde zu Recht kritisiert.
Dies gilt gleichermaßen für endliche wie unendliche Listen.
Nun betrachte die folgende endliche Cantor-Liste mit "linearen" Zahlen
000
100
110
Die Diagonalzahl 111 enthält eine Stelle, nämlich die letzte, an der
sie sich notwendig von jeder Listenzahl unterscheidet.
Es ist merkwürdig: Die Cantorianer lassen kaum eine Gelegenheit aus,
zu rühmen, dass die Idee Ihres Meisters nicht nur für unendliche
Listen gilt, sondern schon für endliche. Wo bleibt nun dieser Aspekt?
Die Zahl 11111 ist von vorn und hinten gelesen identisch. In der Regel
spielt es eine Rolle, ob man Zahlen von links oder von rechts liest.
Hier aber nicht!
Dasselbe gilt für mein Argument. Wenn alle natürlichen Zahlen durch
Einsen dargestellt werden, und wenn die Zahl 0,111... nur Einsen an
natürlich indizierten Stellen besitzt (und wenn sie aktual existiert,
das heißt, wenn sich nicht nach Abschluss einer Operation weitere
Einsen wie die Köpfe der Hydea potentiell entwickeln), dann reicht die
Liste bis zu jeder Eins von 0,111..., es gibt keine Folge von Einsen
in 0,111..., die in der Liste fehlt, da die Liste jede Folge enthält.
Die Lösung des Rätsels ist einfach: Die Behauptung der Existenz von
mehr natürlichen Zahlen als irgendeine natürliche Zahl angibt, ist
offensichtlich falsch, weil die natürlichen Zahlen die grundlegende
Eigenschaft besitzen, sich selbst zu nummerieren, nämlich zu zählen.
Die Behauptung von aktual allen, von unendlich vielen endlichen Zahlen
ist falsch, denn sie impliziert die falsche Folgerung, dass alle
Zahlen einer Folge, die von der ersten bis zu jeder Stelle von
0,111... reicht, von 0,111... verschieden sind.
[Den mittleren Teil Deines Beitrags zu beantworten, schaffe ich heute
nicht mehr.]
>
> > Alle Zahlen der Liste decken alle
> > natürlich indizierten Stellen mit Ziffer 1 ab. So ist die Liste
> > konstruiert.
>
> Aha. Und welche einzelne(!!) Zahl in der Liste soll das sein?
Nach dem Unendlichkeitsaxiom in ZF existieren alle diese Zahlen, jede
einzelne. Also muss es die gesuchte wohl auch geben.
Die Existenz der Stellen von 0,111... sollte doch nicht unabhängig von
der Existenz der Liste
0,1
0,11
0,111
...
sein? Deren erste Spalte enthält genau so viele Einsen wie die Zahl
0,111...
>
> > Was von der Zahl 0,111... an natürlich indizierten Stellen existiert,
> > wird von einer einzigen Listenzahl abgedeckt.
>
> Von welcher?
Da das aktual Unendliche in der vorhergehenden Diskussion ad absurdum
geführt wurde, können wir uns dem potentiell Unendlichen zuwenden.
Welche Zahl? Welche immer Du willst. Schreibe Sie nur hin oder
realisiere sie auf beliebige Art. Zahlen sind nicht im Großhandel des
Platonschen Indeenreiches verfügbar. Sie werden gemacht. Sie sind eine
freie Schöpfung des menschlichen Geistes.
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=46393
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
>>
>> Summe{i=1..oo} 1/2^i = 2.
>>
>> Die Menge der Summanden 1/2^i ist (aktual) unendlich.
>
> Ob aktual oder potentiell unendlich hat wohl keinen großen Einfluss
> auf das Ergebnis.
Das meine ich ja auch. Nur scheint es mir, als würde manchmal das
aktual Unendliche als unmöglich erachtet. Ohne die aktual unendlich
vielen Elemente fehlt aber was am Wert 2.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Rainer Willis
[...]
> Die Argumentation von Goedel basiert ebenso wie die von Cantor auf der
> Annahme der Existenz des aktual Unendlichen. Daher ist sie
> glücklicherweise ohne Belang für die richtige Mathematik.
Definiere: richtige Mathematik. Ist das für dich die bis 1850? Hat
Riemann "richtige Mathematik" betrieben?
> Die ist
> schon deswegen widerspruchsfrei, weil sie ist ein Abbild der Realität
> ist
Wen interessiert die Realität? Die ist völlig belanglos.
> --- und die ist mit oder ohne Goedel widerspruchsfrei.
Klar, wär ja auch noch schöner, wenn es in der Realität Widersprüche
gäbe. Gödel hat über mathematische Systeme gesprochen, nicht über Realität.
Gruß Rainer
Christopher Creutzig
> Man weiss seit Goedel, dass wir von einer hinreichend maechtigen
> Mathematik nicht wissen koennen ob sie widerspruchsfrei ist.
Fast. Natürlich kann man von einer hinreichend mächtigen mathematischen
Struktur wissen, *dass* sie *nicht* widerspruchsfrei ist. Sobald man
einen Widerspruch gezeigt hat, z.B.
> Aber deshalb muss man den Kopf in Hinblick auf diese Frage nicht in
> den Sand stecken. Ich glaube, dass man die Mathematik durch einen
> Abgleich mit der erfassbaren Realitaet sicher machen kann. Und genau
Was soll hier der Begriff „sicher“ aussagen? Die allgemeine
Lebenserfahrung scheint mir eher dafür zu sprechen, dass die Realität,
soweit wir unsere Beobachtung zugrunde legen, nicht widerspruchsfrei ist.
Und beim „Abgleich mit der erfassbaren Realität“ kommen auch viele
unerwartete Dinge heraus – beispielsweise sind sich die Physiker recht
einig, dass die Geometrie des Universums *nicht* euklidisch ist. Gut,
dass Leute wie Lobachevsky und Gauss lange vor dieser physikalischen
Erkenntnis offensichtlich völlig nutzlose Gedankenspielereien mit
nichteuklidischen Geometrien gemacht haben. :-)
WM
Hallo Rainer,
In der Summe fehlt etwas am Wert 2. Doch ist dieses Fehlende nicht
durch eine endliche Schranke bestimmbar (so wie auch keine größte
Schranke für die potentiell unendlichen natürlichen Zahlen besteht).
Deswegen kann man unter jedem Aspekt sagen:
Jede Zahl kleiner als 2 kann übertroffen werden.
Jede Zahl größer als 2 lässt einen endlichen Rest.
Die einzige Zahl, die als Summe der Reihe zugeordnet werden kann, ist
2.
Das Supremum hat man schon ohne benutzt (würde ich mal vermuten, die
Historie dazu kenne ich leider nicht, im Zweifelsfalle würde ich auf
Cauchy oder Weierstraß tippen), als das aktual Unendliche noch nicht
von der Mehrheit akzeptiert wurde.
(Und auch bei aktualer Unendlichkeit "fehlt etwas". Betrachte als
einfachstes Beispiel nur die Folge
0,1
0,11
0,111
...,
die alle laut Unendlichkeitsaxiom existierenden natürlichen Zahlen in
Unärdarstellung (als Zahl der Einsen) enthält.
Der Grenzwert, die fertige Zahl 0,111... = 1/9, entspricht der Summe 2
der oben diskutierten geometrischen Reihe. 1/9 ist aber nicht in der
Folge aller Zahlen mit endlich vielen Einsen enthalten. Also scheint
auch hier etwas zu fehlen.)
Gruß, WM
Christopher Creutzig
>> halt falsch, und genau *darum* ging es in den genannten Aussagen. Und
>> genau *das* ist es, was man gemeinhin als „Vertauschen von Operatoren“
>> bezeichnet.
>
> Das ist ein inhaltsloses Schlagwort. Du überträgst etwas aus seinem
> Gültigkeitsbereich in einen Bereich, in dem es nicht gilt. Betrachte
Der Gültigkeitsbereich dieses Schlagwortes ist: Der Schritt von
Fur alle i existiert ein n, so dass Aussage A(i, n) gilt.
zu
Es existiert ein n, so dass zu jedem i die Aussage A(i, n) gilt.
Für irgendeine Aussageform A(i, n). Und genau da wende ich dieses
Schlagwort, oder genauer gesagt, diesen Begriff und was er bedeutet, an.
Außerdem drückst Du Dich nach wie vor darum, wenigstens zu versuchen,
einen Grund zu liefern, warum dieser Schritt gelten sollte.
> Zu jedem Listeneintrag gibt es eine Ziffer, die ihn von der
> Diagonalzahl unterscheidet.
> Es gibt aber (in der Regel) keine Ziffer, die die Diagonalzahl von
> allen Listeneinträgen unterscheidet.
> Wer das behaupten wollte, würde zu Recht kritisiert.
Richtig. Wobei der zweite Satz völlig irrelevant für das übliche
Argument ist. Für später merken wir uns: Der Satz enthält ein „in der
Regel“. Es ist unschädlich, wenn das doch mal vorkommt.
> Dies gilt gleichermaßen für endliche wie unendliche Listen.
D'accord.
> Nun betrachte die folgende endliche Cantor-Liste mit "linearen" Zahlen
>
> 000
> 100
> 110
>
> Die Diagonalzahl 111 enthält eine Stelle, nämlich die letzte, an der
> sie sich notwendig von jeder Listenzahl unterscheidet.
Richtig. Und? Das kann vorkommen. Das kann sogar im Unendlichen
vorkommen, betrachte einfach nur die Liste
0,01625476...
0,01276128...
0,07652376...
0,08712677...
...
> Es ist merkwürdig: Die Cantorianer lassen kaum eine Gelegenheit aus,
> zu rühmen, dass die Idee Ihres Meisters nicht nur für unendliche
> Listen gilt, sondern schon für endliche. Wo bleibt nun dieser Aspekt?
Ich verstehe nicht, was Du sagen willst.
> Die Zahl 11111 ist von vorn und hinten gelesen identisch. In der Regel
> spielt es eine Rolle, ob man Zahlen von links oder von rechts liest.
> Hier aber nicht!
Äh, ja, es gibt auch bei Zahlen Palindrome. Der Zusammenhang mit dem
Thema (Reihenfolge logischer Operatoren) ist mir wieder einmal völlig
unklar.
> Dasselbe gilt für mein Argument. Wenn alle natürlichen Zahlen durch
> Einsen dargestellt werden, und wenn die Zahl 0,111... nur Einsen an
> natürlich indizierten Stellen besitzt (und wenn sie aktual existiert,
> das heißt, wenn sich nicht nach Abschluss einer Operation weitere
> Einsen wie die Köpfe der Hydea potentiell entwickeln), dann reicht die
> Liste bis zu jeder Eins von 0,111..., es gibt keine Folge von Einsen
> in 0,111..., die in der Liste fehlt, da die Liste jede Folge enthält.
Das ist zweifelsfrei richtig, wenn man eine von zwei Verdeutlichungen
macht: Entweder „es gibt keine Folge von Einsen“ muss als „es gibt keine
endliche Folge von Einsen“ gelesen werden, oder „die in der Liste fehlt“
muss so gelesen werden, dass die nicht alle in einer Reihe zu stehen
brauchen.
>>> Alle Zahlen der Liste decken alle
>>> natürlich indizierten Stellen mit Ziffer 1 ab. So ist die Liste
>>> konstruiert.
>> Aha. Und welche einzelne(!!) Zahl in der Liste soll das sein?
>
> Nach dem Unendlichkeitsaxiom in ZF existieren alle diese Zahlen, jede
> einzelne. Also muss es die gesuchte wohl auch geben.
Nach dem Unendlichkeitsaxiom existieren unendlich viele endliche
Zahlen, genauer gesagt, eine unendliche Menge endlicher Zahlen. Was an
sich erst einmal kein Widerspruch zu irgend etwas ist. Die von Dir
gesuchte Zahl kann aber nicht endlich sein.
>>> Was von der Zahl 0,111... an natürlich indizierten Stellen existiert,
>>> wird von einer einzigen Listenzahl abgedeckt.
>> Von welcher?
>
> Da das aktual Unendliche in der vorhergehenden Diskussion ad absurdum
> geführt wurde, können wir uns dem potentiell Unendlichen zuwenden.
Ex falso, quodlibet.
> Welche Zahl? Welche immer Du willst. Schreibe Sie nur hin oder
Dann nehme ich die fünfte. Ups, dadurch wird die sechste Stelle ja gar
nicht abgedeckt. Also ist Deine Behauptung wohl falshc.
Übrigens waren wir in diesem Subthread eigentlich noch bei Quantoren
und ihrer Reihenfolge.
WM
> WM schrieb:
>
> [...]
>
> > Die Argumentation von Goedel basiert ebenso wie die von Cantor auf der
> > Annahme der Existenz des aktual Unendlichen. Daher ist sie
> > glücklicherweise ohne Belang für die richtige Mathematik.
>
> Definiere: richtige Mathematik. Ist das für dich die bis 1850? Hat
> Riemann "richtige Mathematik" betrieben?
Auf jeden Fall bis 1874, aber in vielen Bereichen erstreckt sie sich
bis in die Gegenwart.
>
> > Die ist
> > schon deswegen widerspruchsfrei, weil sie ist ein Abbild der Realität
> > ist
>
> Wen interessiert die Realität? Die ist völlig belanglos.
Mathematik gehört dazu (ich meine die richtige Mathematik).
>
> > --- und die ist mit oder ohne Goedel widerspruchsfrei.
>
> Klar, wär ja auch noch schöner, wenn es in der Realität Widersprüche
> gäbe. Gödel hat über mathematische Systeme gesprochen, nicht über Realität.
Da die richtige Mathematik per Definition richtig und damit
widerspruchsfrei ist, sind Gödels Ansichten dazu irrelevant.
Gruß, WM
WM
wrote:
> Albrecht wrote:
> > Man weiss seit Goedel, dass wir von einer hinreichend maechtigen
> > Mathematik nicht wissen koennen ob sie widerspruchsfrei ist.
>
> Fast. Natürlich kann man von einer hinreichend mächtigen mathematischen
> Struktur wissen, *dass* sie *nicht* widerspruchsfrei ist. Sobald man
> einen Widerspruch gezeigt hat, z.B.
>
> > Aber deshalb muss man den Kopf in Hinblick auf diese Frage nicht in
> > den Sand stecken. Ich glaube, dass man die Mathematik durch einen
> > Abgleich mit der erfassbaren Realitaet sicher machen kann. Und genau
>
> Was soll hier der Begriff „sicher“ aussagen? Die allgemeine
> Lebenserfahrung scheint mir eher dafür zu sprechen, dass die Realität,
> soweit wir unsere Beobachtung zugrunde legen, nicht widerspruchsfrei ist.
>
> Und beim „Abgleich mit der erfassbaren Realität“ kommen auch viele
> unerwartete Dinge heraus – beispielsweise sind sich die Physiker recht
> einig, dass die Geometrie des Universums *nicht* euklidisch ist.
Nach dem neuesten Stand kann man wohl nicht ausschließen, dass das
Universum im Großen euklidisch ist. (Ich habe zur Zeit kein Zitat
dafür, aber nachschlagen lohnt nicht, denn das kann sich leicht wieder
ändern.)
> Gut,
> dass Leute wie Lobachevsky und Gauss lange vor dieser physikalischen
> Erkenntnis offensichtlich völlig nutzlose Gedankenspielereien mit
> nichteuklidischen Geometrien gemacht haben.
Ist die nichteuklidische Geometrie zur Beschreibung der Realität
unbedingt erforderlich oder eher "nur" nützlich?
Gruß, WM
Herbert Newman
>> [...] Ich glaube, dass man die Mathematik durch einen Abgleich
>> mit der erfassbaren Realitaet sicher machen kann. (Albrecht)
Glaube ist schon was Schönen, vor allem, wenn er jeglicher rationalen
Grundlage entbehrt. :-)
> [...] Die allgemeine Lebenserfahrung scheint mir eher dafür zu sprechen,
> dass die Realität, soweit wir unsere Beobachtung zugrunde legen, nicht
> widerspruchsfrei ist.
Albert Einstein hat mal gesagt:
"Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind
sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf
die Wirklichkeit."
Aber wer ist schon ein Einstein im Vergleich zu einem solchen Geistesriesen
wie Albrecht, der sich ja insbesondere auf dem Gebiet der Physik und Mathe-
matik durch überragende Kompetenz (Kenntnisse, Wissen und Können) auszeich-
net. Ganz zu schweigen von seinem -Albrechts- philosophischen Tiefsinn!
Herbert
WM
wrote:
Fortsetzung:
> > Für lineare Menge gilt: Jede
> > und alle kleineren = alle.
>
> Ich habe keine Ahnung, was das besagen soll.
Das soll besagen, dass es in einer Folge von linearen Teilmengen A, B,
C, ... einer Menge keine Elemente a und b gibt, so dass a e A & b !e A
& b e B & b !e A.
Mit Bezug zum diskutierten Beispiel:
0,1
0,11
0,111
...
Es gibt keine zwei Stellen, a und b, von denen nur eine in der Zahl A
mit einer 1 belegt ist und nur die andere in der Zahl B mit einer 1
belegt ist. Zwei solche Stellen lassen sich nicht finden, daher
behaupten Mengenlehrer gern, es gäbe deren unendlich viele. Aber die
Behauptung der Existenz von unendlich vielen, wenn nicht einmal zwei
angegeben werden können... --- naja, diese Behauptung [*] mag mit
Deiner Logik vereinbar sein, mit meiner nicht.
>
> > Wer die Ungleichheit leugnet, sollte ein Gegenbeispiel bereithalten.
>
> 0,111... ist nicht in der Liste der 0,111...1 enthalten. Was stört Dich
> an diesem Gegenbeispiel?
Dass es nicht existiert. Wenn es existierte, erforderte es die
Richtigkeit der Behauptung [*].
>
> > Einfaches Gegenbeispiel: Unendliche viele Strecken der Länge 1
> > nebeneinandergelegt werden niemals eine Lücke der Größe 2 überbrücken.
>
> Und die oben genannten Längen übersteigen jede beliebige endliche
> Schranke, obwohl sie alle endlich sind.
Gegen das Übersteigen jeder beliebigen Schranke ist nichts zu sagen.
Trotzdem wird keine Unendlichkeit vollendet und daher ist auch nach
deren Vollendung ist keine Zahl vorhanden, die größer als jede
endliche Zahl ist.
>
> >>> Du willst immer einen festen Listeneintrag wählen, den Du dann leicht
> >>> übertreffen kannst --- und damit ist für Dich das Übertreffen der
> >>> Listeneinträge durch 0,111... beschlossenen Sache. Dass es genau so
> >> Meine Behauptung ist:
> >> (I) „Jeder einzelne Listeneintrag ist von 0,111... verschieden.“
> >> Das ist sprachlich-logisch genau das Gleiche wie
> >> (II) „0,111... steht nicht in der Liste.“
>
> > Die Breite der gesamten Liste ist größer als jede einzelne Breite. Das
> > ist für lineare Mengen nicht möglich.
>
> Das ist eine Behauptung, die mit meiner Aussage schlicht nichts zu tun
> hat. Warum setzt Du sie unter dieses Zitat?
Weil Du gerade oben festgestellt hattest: Äh, ja, es gilt limit(n,
n=infinity) = infinity, obwohl darin nur
endliche Werte von n behandelt werden.
>
>
> > zeigen, dass auch alle Einsen links von dieser 1 in der Listenzahl
> > vorkommen. Beides akzeptierst Du ja. Wenn das für alle Einsen so ist,
> > dann ist 0,111... in der Liste enthalten, oder etwas genauer
>
> Das ist nicht der Fall.
>
> > ausgedrückt: alle Einsen, die in 0,111... untersucht wurden, sind in
> > Listenzahlen enthalten. Aber alle Einsen, die in Listenzahlen
>
> Das ist wiederum richtig.
>
> > enthalten sind, sind auch in *einer* Listenzahl enthalten. (Es sei
>
> Das ist falsch. Ich kann zu jeder Listenzahl eine 1 angeben, die nicht
> drin steht.
Das ist doch total belanglos. Es geht nicht darum nachzuweisen, dass
es zu jeder Listenzahl eine größere gibt. Es geht darum das
Unendlichkeitsaxiom zu akzeptieren, das im Falle dieser Liste besagt,
dass es zu jeder natürlichen Zahl n eine Folge von n Einsen gibt, und
dass es in 0,111... keine Eins gibt, die nicht an einer natürlich
indizierten Stelle steht.
Dass diese Axiom Unsinn ist und nicht "alle" derartigen Zahlen zu
finden sind, steht auf einem anderen Blatt. Du akzeptierst das Axiom,
akzeptierst die unendliche Menge von Einsen in 0,111... aber nicht die
ebenso unendlich Menge von Listeneinträgen. Da willst Du immer eine
(notwendig endliche) herausgreifen, um dann stolz den Sieg gegen
0,111... zu feiern. Das ist Spiel mit gezinkten Karten.
>
> > Und damit wäre gezeigt, dass alle Einsen in 0,111..., die untersucht
> > wurden, also alle Einsen in 0,111..., für die eine Untersuchung
> > möglich ist, also alle Einsen, die es in 0,111... gibt, in ein und
> > derselben Listenzahl enthalten sind.
>
> Mit Hilfe einer Vertauschung logischer Operatoren, die durch nichts
> weiter als ein „Wolfgang will das aber so“ gerechtfertigt ist.
Siehe oben: lineare Mengen erlauben die Vertauschung.
>
> >> Sagen wir mal so: Man hat mir eingetrichtert, genau das aufzuschreiben,
> >> was ich meine, und das zu lesen, was da irgendwo steht.
>
> > Also das Axiom über die Existenz des aktual Unendlichen, das Du als
> > Mengenlehrer ja akzeptierst (es gibt eine Menge ...), sagt aus, dass
> > jede Folge von Einsen, die sich auf natürlich indizierte Stellen
> > beschränkt, in der Liste drin ist. Die Liste ist nämlich nichts
>
> Nö. Die Liste enthält ausschließlich Zahlen, die nur endlich viele
> Einsen enthalten.
Die Liste enthält zu jeder 1 von 0,111... eine Zahl die bis zu ihr
reicht, zu *jeder*.
>
> > anderes eine unäre Repräsentation dieser per Axiom gesicherten Menge.
>
> aleph_0 ist aber nicht in N enthalten, weißt Du?
Deswegen gibt es ja auch nicht aleph_0 natürliche Zahlen. denn die
zählen sich selbst ab.
> Die Existenz der Menge
> der Listenzahlen habe ich übrigens auch nirgends bestritten.
Aber die Existenz der Unendlichkeit. Wenn wir die Zahlen, wie im
binären Baum in einem Pfad, aufeinanderlegen, dann kommt 0,111...
dabei heraus. Wenn wir sie dagegen nebeneinanderlegen, wie in der
Liste, dann kommt nicht 0,111... dabei heraus.
>
> > Was bedarf da noch eines Beweises? Die Tatsache, dass 0,111... nur
> > Einsen an natürlich indizierten Stellen enthält etwa?
>
> Der Schritt von
>
> Zu jeder Stelle i
> gibt es ein n(i)
> so dass alle Einsen bis zur i-ten Stellen in der Listenzahl in Zeile
> n(i) enthalten sind.
>
> zu
>
> Es gibt ein n (= n(?)?),
> so dass für alle i
> alle Einsen bis zur i-ten Stelle in der Listenzahl in Zeile n enthalten
> sind.
>
> natürlich. Das habe ich hier doch bestimmt schon drei- bis dreißigmal
> gesagt.
Dadurch wird es nicht richtig. *Wenn* alle Einsen in 0,111... an
natürlich indizierten Stellen stehen, dann ist in der Liste diese Zahl
auch enthalten. Mein Problem ist dabei leider, dass die Prämisse
natürlich falsch ist, Du aber immer wieder zeigst, dass die Konklusion
falsch ist und damit implizieren möchtest meine Schlussweise versagt.
Für die Prämisse benutzt Du nämlich das Unendlichkeitsaxiom, das Du
für die Konklusion, den Vergleich mit der Liste nicht anwendest.
>
> > Du willst aber nicht wissen, ob die Existenz des vollendeten
> > Unendlichen überhaupt möglich ist?
>
> Wenn es dagegen ein Argument gäbe, würde ich das gerne hören.
Einige sind im Parallelthread zum binären Baum zusammengetragen. Es
gibt viele Menschen, die selbstständig denken können und die diese
Argumente verstehen, obwohl sie über die Ansicht der Mengenlehre dazu
vorab informiert wurden. Sie sind also in der Lage, darüber
hinauszublicken.
>
> > Für lineare Mengen ist es das Gegenteil. Es gibt hier zwei
> > Alternativen:
> > a) Jede Ziffer von 0,111... wird durch eine Listenzahl abgedeckt.
> > b) Nicht jede Ziffer wird durch eine Listenzahl abgedeckt.
>
> > Du stimmst (a) zu, behauptest aber, dass für zwei verschiedene Ziffern
> > zwei verschiedene Listenzahlen benötigt würden. Per Induktion ist
> > einfach zu zeigen, dass diese Behauptung falsch ist.
>
> Das ist keineswegs meine Behauptung.
Es resultiert aber direkt daraus.
> Meine Behauptung ist, dass es zu
> jeder Listenzahl eine 1 gibt, die dort nicht drinsteht.
Nein. Deine Behauptung besteht aus zweierlei, nämlich
1) dass es in 0,111... unendlich viele Einsen gibt, und
2) dass es zu jeder *herausgegriffenen* Listenzahl eine größere gibt.
Du verwechselst geflissentlich "jede" und "jede herausgegriffene".
Auch in (1) gilt, dass jede herausgegriffene Eins nur die Existenz von
endlich vielen Einsen beweist. Du akzeptierst die Existenz von
unendlich vielen per Axiom.
In (2) tust Du das nicht. Da willst Du jede einzelne auf Unendlichkeit
prüfen.
Das führt dann natürlich zu Widersprüchen mit der Logik linearer
Mengen, die Du einfach für falsch erklärst.
Gruß, WM
Christopher Creutzig
>> Gut,
>> dass Leute wie Lobachevsky und Gauss lange vor dieser physikalischen
>> Erkenntnis offensichtlich völlig nutzlose Gedankenspielereien mit
>> nichteuklidischen Geometrien gemacht haben.
>
> Ist die nichteuklidische Geometrie zur Beschreibung der Realität
> unbedingt erforderlich oder eher "nur" nützlich?
Nachdem auch Zahlen und sonstige Erfindungen der Mathematik nicht
unbedingt erforderlich sind, halte ich diese Frage für ziemlich nutzlos.
Aber die Erkenntnisse, die sich aus der ursprünglich eher ziel-freien
Betrachtung ergeben haben, sind sicherlich nützlich.
Christopher Creutzig
> Mit Bezug zum diskutierten Beispiel:
> 0,1
> 0,11
> 0,111
> ...
>
> Es gibt keine zwei Stellen, a und b, von denen nur eine in der Zahl A
> mit einer 1 belegt ist und nur die andere in der Zahl B mit einer 1
> belegt ist. Zwei solche Stellen lassen sich nicht finden,
Richtig.
> daher
> behaupten Mengenlehrer gern, es gäbe deren unendlich viele. Aber die
Falsch. Es dürfte wohl kaum irgendein ernsthafter Mathematiker die
Existenz von irgend etwas alleine deswegen behaupten, weil man damit zu
den erhofften Ergebnissen kommt. Das überlassen diese Menschen gerne den
Cranks, die z.B. behaupten, man dürfe hier aber Quantoren vertauschen,
weil die „Logik linearer Mengen“ das so gebiete.
Was aber richtig ist: Zu jeder Zahl B, und auch zu jedem Paar von
Zahlen A und B, lässt sich eine Stelle c finden, die dort keine 1
enthält. Das liegt schlichtweg daran, dass die Liste keinen letzten
Eintrag enthält. Gewissermaßen kein Ende hat – es ist naheliegend, das
als „unendlich“ zu bezeichnen.
> Behauptung der Existenz von unendlich vielen, wenn nicht einmal zwei
> angegeben werden können... --- naja, diese Behauptung [*] mag mit
> Deiner Logik vereinbar sein, mit meiner nicht.
Ich kann eine angeben. Du denkst nur nach wie vor in einer
unangemessenen Reihenfolge und siehst die Vertauschung nicht. Zu jeder
Zeile kann ich eine angeben.
>>> Wer die Ungleichheit leugnet, sollte ein Gegenbeispiel bereithalten.
>> 0,111... ist nicht in der Liste der 0,111...1 enthalten. Was stört Dich
>> an diesem Gegenbeispiel?
>
> Dass es nicht existiert. Wenn es existierte, erforderte es die
> Richtigkeit der Behauptung [*].
Du änderst ständig die Voraussetzungen. Voraussetzung war die Existenz
dieser Zahl, um damit bei einem Widerspruch anzukommen. Dass die
Existenz dieser Zahl im Widerspruch zu der Annahme steht, sie existiere
nicht, ist schlichtweg trivial.
>>> Einfaches Gegenbeispiel: Unendliche viele Strecken der Länge 1
>>> nebeneinandergelegt werden niemals eine Lücke der Größe 2 überbrücken.
>> Und die oben genannten Längen übersteigen jede beliebige endliche
>> Schranke, obwohl sie alle endlich sind.
>
> Gegen das Übersteigen jeder beliebigen Schranke ist nichts zu sagen.
Also gibt es keine endliche „Breite“, in die das ganze hineinpasst.
Also bezeichnet man die Breite als „unendlich“. Das ist doch genau das
Gleiche.
>> Das ist eine Behauptung, die mit meiner Aussage schlicht nichts zu tun
>> hat. Warum setzt Du sie unter dieses Zitat?
>
> Weil Du gerade oben festgestellt hattest: Äh, ja, es gilt limit(n,
> n=infinity) = infinity, obwohl darin nur
> endliche Werte von n behandelt werden.
Wenn Dich daran irgend etwas stört, dann schreib das bitte an die
richtige Stelle. Deine Gedanken sind hinreichend unstrukturiert, dass es
schon schwierig genug werden kann, den unmotivierten Sprüngen zu folgen,
wenn sie irgendwie angedeutet sind. Zusammenhanglose Behauptungen muss
ich nicht auch noch beantworten.
>>> enthalten sind, sind auch in *einer* Listenzahl enthalten. (Es sei
>> Das ist falsch. Ich kann zu jeder Listenzahl eine 1 angeben, die nicht
>> drin steht.
>
> Das ist doch total belanglos. Es geht nicht darum nachzuweisen, dass
Bitte was? Du behauptest A, ich schreibe, dass ich nicht-A beweisen
kann, und Du meinst, das sei total belanglos?
(I) Die Einsen sind alle in *einer* Listenzahl enthalten.
(II) Zu jeder Listenzahl gibt es eine Eins, die darin nicht enthalten ist.
(I) ist genau die Verneinung von (II). Wenn (II) wahr ist, ist (I)
falsch und umgekehrt.
> es zu jeder Listenzahl eine größere gibt. Es geht darum das
> Unendlichkeitsaxiom zu akzeptieren, das im Falle dieser Liste besagt,
> dass es zu jeder natürlichen Zahl n eine Folge von n Einsen gibt, und
> dass es in 0,111... keine Eins gibt, die nicht an einer natürlich
> indizierten Stelle steht.
Das ist vollkommen richtig. Es führt aber nicht zu Deiner Behauptung,
es gäbe eine Listenzahl, in der alle Einsen stehen. Das wäre allenfalls
dann der Fall, wenn die Liste einen letzten Eintrag hätte. Ein Ende
gewissermaßen.
> Dass diese Axiom Unsinn ist und nicht "alle" derartigen Zahlen zu
> finden sind, steht auf einem anderen Blatt. Du akzeptierst das Axiom,
> akzeptierst die unendliche Menge von Einsen in 0,111... aber nicht die
> ebenso unendlich Menge von Listeneinträgen. Da willst Du immer eine
Letzteres ist falsch. Immer noch, und es wird auch das nächste Mal,
wenn Du es behauptest, immer noch falsch sein.
> (notwendig endliche) herausgreifen, um dann stolz den Sieg gegen
> 0,111... zu feiern. Das ist Spiel mit gezinkten Karten.
Nö, das ist offene und ehrliche Argumentation. Wenn das Ding in der
Liste wäre, wäre es an einer endlichen stelle, weil die Liste eben nur
Einträge an endlichen stellen hat – davon (aktual) unendlich viele. Die
Annahme, 0,111... stehe an irgendeiner Stelle in der Liste, führt aber
auf einen Widerspruch, ist also falsch.
>> Mit Hilfe einer Vertauschung logischer Operatoren, die durch nichts
>> weiter als ein „Wolfgang will das aber so“ gerechtfertigt ist.
>
> Siehe oben: lineare Mengen erlauben die Vertauschung.
Da oben stand auch nur ein „Wolfgang will das so“.
>> Nö. Die Liste enthält ausschließlich Zahlen, die nur endlich viele
>> Einsen enthalten.
>
> Die Liste enthält zu jeder 1 von 0,111... eine Zahl die bis zu ihr
> reicht, zu *jeder*.
Richtig. Die stehen aber *alle* an endlichen Stellen. Es gibt keine
letzte. Und zu jeder gibt es eine spätere 1 in 1/9.
>>> Was bedarf da noch eines Beweises? Die Tatsache, dass 0,111... nur
>>> Einsen an natürlich indizierten Stellen enthält etwa?
>> Der Schritt von
>>
>> Zu jeder Stelle i
>> gibt es ein n(i)
>> so dass alle Einsen bis zur i-ten Stellen in der Listenzahl in Zeile
>> n(i) enthalten sind.
>>
>> zu
>>
>> Es gibt ein n (= n(?)?),
>> so dass für alle i
>> alle Einsen bis zur i-ten Stelle in der Listenzahl in Zeile n enthalten
>> sind.
>>
>> natürlich. Das habe ich hier doch bestimmt schon drei- bis dreißigmal
>> gesagt.
>
> Dadurch wird es nicht richtig. *Wenn* alle Einsen in 0,111... an
Nein, aber dadurch sollte klar werden, dass das fehlt. (Das heißt ja an
und für sich noch nicht, dass es falsch ist, aber eine Begründung fehlt.
Übrigens immer noch.)
> auch enthalten. Mein Problem ist dabei leider, dass die Prämisse
> natürlich falsch ist, Du aber immer wieder zeigst, dass die Konklusion
> falsch ist und damit implizieren möchtest meine Schlussweise versagt.
Wenn sie „natürlich“ falsch wäre, könntest Du das doch sicherlich
begründen? Und bitte nicht mit dem o.g. Schritt, ohne eine tragfähige
Begründung zu liefern, warum dieser Schritt denn funktinoieren sollte.
Argumentation auf endlichen Listen ist dafür, ganz offensichtlich, kein
sonderlich erfolgversprechender Ansatz. Formalismus ist gefragt.
>>> Du willst aber nicht wissen, ob die Existenz des vollendeten
>>> Unendlichen überhaupt möglich ist?
>> Wenn es dagegen ein Argument gäbe, würde ich das gerne hören.
>
> Einige sind im Parallelthread zum binären Baum zusammengetragen. Es
Keine unwiderlegten. Sorry.
> gibt viele Menschen, die selbstständig denken können und die diese
Richtig. Unter Anderem die Mehrheit der Mathematiker.
> Argumente verstehen, obwohl sie über die Ansicht der Mengenlehre dazu
> vorab informiert wurden. Sie sind also in der Lage, darüber
> hinauszublicken.
Tja, wer über diese Dinge tatsächlich selbst *ergebnisoffen*
nachgedacht hat, wird i.d.R. Deine Argumente *nicht* akzeptieren.
>>> Für lineare Mengen ist es das Gegenteil. Es gibt hier zwei
>>> Alternativen:
>>> a) Jede Ziffer von 0,111... wird durch eine Listenzahl abgedeckt.
>>> b) Nicht jede Ziffer wird durch eine Listenzahl abgedeckt.
>>> Du stimmst (a) zu, behauptest aber, dass für zwei verschiedene Ziffern
>>> zwei verschiedene Listenzahlen benötigt würden. Per Induktion ist
>>> einfach zu zeigen, dass diese Behauptung falsch ist.
>> Das ist keineswegs meine Behauptung.
>
>
> Es resultiert aber direkt daraus.
Aha? Kannst Du das zeigen?
>> Meine Behauptung ist, dass es zu
>> jeder Listenzahl eine 1 gibt, die dort nicht drinsteht.
>
> Nein. Deine Behauptung besteht aus zweierlei, nämlich
>
> 1) dass es in 0,111... unendlich viele Einsen gibt, und
> 2) dass es zu jeder *herausgegriffenen* Listenzahl eine größere gibt.
Richtig. Das ist aber das Gleiche.
> Du verwechselst geflissentlich "jede" und "jede herausgegriffene".
Keineswegs. Ich beachte nur die Reihenfolge logischer Operatoren. In
dem Moment, wo das „Zu jeder Listenzah“ vorbei ist, ist diese
willkürlich gewählte Listenzahl bis zum Rest der Aussage fixiert und
kann sich nicht ändern, ohne wieder ganz vorne anzufangen. Wenn Du das
irgendwie anders betrachtest, sei Dir das unbenommen, aber dann bist Du
nicht dazu in der Lage, grundlegende mathematische Aussagen
sinnerhaltend zu lesen und kannst nicht erwarten, in irgendeiner Form
von mathematischer Diskussion ernst genommen zu werden.
> Das führt dann natürlich zu Widersprüchen mit der Logik linearer
> Mengen, die Du einfach für falsch erklärst.
„Logik linearer Mengen“ (LLM) klingt schon einmal gut,
Marketingstrategen würden das bestimmt lieben. Einfach so zu
postulieren, da könne man Operatoren vertauschen, damit dann
nachzuweisen, dass ZFC+LLM widersprüchlich ist und daraus die
Widersprüchlichkeit von ZFC folgern zu wollen, ist allerdings dermaßen
hahnebüchen, dass ich es eher einem Journalisten zugetraut hätte als
jemand, der an irgendeiner Sorte von Bildungsinstitut tätig ist.
WM
wrote:
> WM wrote:
> > On 23 Apr., 18:15, Christopher Creutzig <christop...@creutzig.de>
> > wrote:
> >> halt falsch, und genau *darum* ging es in den genannten Aussagen. Und
> >> genau *das* ist es, was man gemeinhin als „Vertauschen von Operatoren“
> >> bezeichnet.
>
> > Das ist ein inhaltsloses Schlagwort. Du überträgst etwas aus seinem
> > Gültigkeitsbereich in einen Bereich, in dem es nicht gilt. Betrachte
>
> Der Gültigkeitsbereich dieses Schlagwortes ist: Der Schritt von
>
> Fur alle i existiert ein n, so dass Aussage A(i, n) gilt.
>
> zu
>
> Es existiert ein n, so dass zu jedem i die Aussage A(i, n) gilt.
>
> Für irgendeine Aussageform A(i, n). Und genau da wende ich dieses
> Schlagwort, oder genauer gesagt, diesen Begriff und was er bedeutet, an.
> Außerdem drückst Du Dich nach wie vor darum, wenigstens zu versuchen,
> einen Grund zu liefern, warum dieser Schritt gelten sollte.
In einer Folge von linearen Teilmengen A, B, C, ... einer Menge gibt
es keine zwei Elemente a und b, so dass a e A & b !e A & b e B & b !e
A.
Mit Bezug zum diskutierten Beispiel
0,1
0,11
0,111
...
bedeutet dies, dass *jede* Überdeckung mit Einsen durch zwei Zahlen
durch eine Überdeckung mit Einsen durch eine Zahl ersetzt werden kann.
Solange es sich also um natürliche Zahlen handelt, kann es nicht
anders sein. Die obige Liste enthält aber nur natürliche Anzahlen von
Einsen. Deshalb gilt, was von mehreren Listenzahlen überdeckt wird,
wird auch von einer einzigen überdeckt.
> > Nun betrachte die folgende endliche Cantor-Liste mit "linearen" Zahlen
>
> > 000
> > 100
> > 110
>
> > Die Diagonalzahl 111 enthält eine Stelle, nämlich die letzte, an der
> > sie sich notwendig von jeder Listenzahl unterscheidet.
>
> Richtig. Und? Das kann vorkommen.
Aber bei linearen Mengen *muss* es vorkommen!
> > Es ist merkwürdig: Die Cantorianer lassen kaum eine Gelegenheit aus,
> > zu rühmen, dass die Idee Ihres Meisters nicht nur für unendliche
> > Listen gilt, sondern schon für endliche. Wo bleibt nun dieser Aspekt?
>
> Ich verstehe nicht, was Du sagen willst.
Dein Argument gegen meine linearen Mengen ist im Endlichen sogar für
Dich einsehbar falsch.
>
> > Die Zahl 11111 ist von vorn und hinten gelesen identisch. In der Regel
> > spielt es eine Rolle, ob man Zahlen von links oder von rechts liest.
> > Hier aber nicht!
>
> Äh, ja, es gibt auch bei Zahlen Palindrome. Der Zusammenhang mit dem
> Thema (Reihenfolge logischer Operatoren) ist mir wieder einmal völlig
> unklar.
Es gibt dergleichen oder wenigstens Ähnliches auch in der Logik. Ein
Beispiel dafür sind die linearen Mengen.
>
> > Dasselbe gilt für mein Argument. Wenn alle natürlichen Zahlen durch
> > Einsen dargestellt werden, und wenn die Zahl 0,111... nur Einsen an
> > natürlich indizierten Stellen besitzt (und wenn sie aktual existiert,
> > das heißt, wenn sich nicht nach Abschluss einer Operation weitere
> > Einsen wie die Köpfe der Hydea potentiell entwickeln), dann reicht die
> > Liste bis zu jeder Eins von 0,111..., es gibt keine Folge von Einsen
> > in 0,111..., die in der Liste fehlt, da die Liste jede Folge enthält.
>
> Das ist zweifelsfrei richtig, wenn man eine von zwei Verdeutlichungen
> macht: Entweder „es gibt keine Folge von Einsen“ muss als „es gibt keine
> endliche Folge von Einsen“ gelesen werden, oder „die in der Liste fehlt“
> muss so gelesen werden, dass die nicht alle in einer Reihe zu stehen
> brauchen.
Richtig. Es gibt keine endliche Folge von Einsen, die in der Liste
fehlt. Das habe ich mir geschenkt weil als Ergebnis dieser Diskussion
folgt, es gibt überhaupt keine aktual unendlichen Folgen. Dein zweiter
Einwand ist falsch. Was nicht in einer Reihe steht, steht auch nicht
in der Liste.
Selbst wenn man von der Prämisse ausgeht, dass es unendlich viele
natürliche Zahlen gibt: Durch unendliche viele endliche Einserfolgen
wird keine unendliche Einserfolge erzeugt, denn sonst hätten wir ja
auch eine unendliche natürliche Zahl.
>
> >>> Alle Zahlen der Liste decken alle
> >>> natürlich indizierten Stellen mit Ziffer 1 ab. So ist die Liste
> >>> konstruiert.
> >> Aha. Und welche einzelne(!!) Zahl in der Liste soll das sein?
>
> > Nach dem Unendlichkeitsaxiom in ZF existieren alle diese Zahlen, jede
> > einzelne. Also muss es die gesuchte wohl auch geben.
>
> Nach dem Unendlichkeitsaxiom existieren unendlich viele endliche
> Zahlen, genauer gesagt, eine unendliche Menge endlicher Zahlen. Was an
> sich erst einmal kein Widerspruch zu irgend etwas ist. Die von Dir
> gesuchte Zahl kann aber nicht endlich sein.
>
> >>> Was von der Zahl 0,111... an natürlich indizierten Stellen existiert,
> >>> wird von einer einzigen Listenzahl abgedeckt.
> >> Von welcher?
>
> > Da das aktual Unendliche in der vorhergehenden Diskussion ad absurdum
> > geführt wurde, können wir uns dem potentiell Unendlichen zuwenden.
>
> Ex falso, quodlibet.
>
> > Welche Zahl? Welche immer Du willst. Schreibe Sie nur hin oder
>
> Dann nehme ich die fünfte. Ups, dadurch wird die sechste Stelle ja gar
> nicht abgedeckt. Also ist Deine Behauptung wohl falshc.
Die Liste enthält Zahlen mit mehr Einsen als in der Zahl 0,111...
vorkommen.
Beweis: Greife eine Einsen der Zahl 0,111... heraus. Dazu gibt es eine
Listenzahl mit mehr Einsen. Dies gilt für jede Eins in 0,111...
Folglich existiert in 0,111... nichts, was in der Lage wäre, alle
Listenzahlen zu übertreffen. QED.
>
> Übrigens waren wir in diesem Subthread eigentlich noch bei Quantoren
> und ihrer Reihenfolge.
In linearen Mengen spielen Sie keine Rolle.
Gruß, WM
WM
Korrektur:
In einer Folge von linearen Teilmengen A, B, C, ... einer Menge gibt
es keine zwei Elemente a und b, so dass a e A & b !e A & b e B & a !e
B.
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
RR: Summe{i=1..oo} 1/2^i = 2.
RR:
RR: Ohne die aktual unendlich vielen Elemente fehlt aber was am Wert 2.
> (Und auch bei aktualer Unendlichkeit "fehlt etwas". Betrachte als
> einfachstes Beispiel nur die Folge
> 0,1
> 0,11
> 0,111
> ...,
> die alle laut Unendlichkeitsaxiom existierenden natürlichen Zahlen in
> Unärdarstellung (als Zahl der Einsen) enthält.
> Der Grenzwert, die fertige Zahl 0,111... = 1/9, entspricht der Summe 2
> der oben diskutierten geometrischen Reihe. 1/9 ist aber nicht in der
> Folge aller Zahlen mit endlich vielen Einsen enthalten. Also scheint
> auch hier etwas zu fehlen.)
Ich würde Dir gerne, sofort und freudig zustimmen, wenn 1/9 eine der
zu summierenden Zahlen 1/2^i wäre. Wenn Du also oben 1/9 vermisst, kann
ich den Grund nicht erkennen. Müsstest Du dann nicht auch 1/7 vermissen
und 1/243 und viele andere mehr?
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
WM
wrote:
> WM wrote:
> > Mit Bezug zum diskutierten Beispiel:
> > 0,1
> > 0,11
> > 0,111
> > ...
>
> > Es gibt keine zwei Stellen, a und b, von denen nur eine in der Zahl A
> > mit einer 1 belegt ist und nur die andere in der Zahl B mit einer 1
> > belegt ist. Zwei solche Stellen lassen sich nicht finden,
>
> Richtig.
>
> > daher
> > behaupten Mengenlehrer gern, es gäbe deren unendlich viele. Aber die
>
> Falsch. Es dürfte wohl kaum irgendein ernsthafter Mathematiker die
> Existenz von irgend etwas alleine deswegen behaupten, weil man damit zu
> den erhofften Ergebnissen kommt.
Jedenfalls kann niemand zwei Einsen angeben, die nicht durch eine
Listenzahl abgedeckt werden können. Es wird aber behauptet, dass es
unendlich viele solche Einsen gäbe.
> Das überlassen diese Menschen gerne den
> Cranks, die z.B. behaupten, man dürfe hier aber Quantoren vertauschen,
> weil die „Logik linearer Mengen“ das so gebiete.
oder dass die Zahl 111 von hinten wie von vorn gelesen dasselbe
ergibt.
>
> Was aber richtig ist: Zu jeder Zahl B, und auch zu jedem Paar von
> Zahlen A und B, lässt sich eine Stelle c finden, die dort keine 1
> enthält. Das liegt schlichtweg daran, dass die Liste keinen letzten
> Eintrag enthält. Gewissermaßen kein Ende hat – es ist naheliegend, das
> als „unendlich“ zu bezeichnen.
Es gibt einen unterschied zwischen unendlich und aktual unendlich.
Wenn die Liste aktual unendlich ist, so wird jede 1 in 0,111... samt
allen ihren Vorgängerinnen durch eine Listenzahl abgedeckt.
>
> > Behauptung der Existenz von unendlich vielen, wenn nicht einmal zwei
> > angegeben werden können... --- naja, diese Behauptung [*] mag mit
> > Deiner Logik vereinbar sein, mit meiner nicht.
>
> Ich kann eine angeben. Du denkst nur nach wie vor in einer
> unangemessenen Reihenfolge und siehst die Vertauschung nicht. Zu jeder
> Zeile kann ich eine angeben.
Warum sollte es angemessener sein, zu behaupten, dass jedes Element
der Menge A von einem Element der Menge B übertroffen wird, als
umgekehrt zu behaupten, dass jedes Element der Menge B von einem
Element der Menge A übertroffen wird?
>
> >>> Wer die Ungleichheit leugnet, sollte ein Gegenbeispiel bereithalten.
> >> 0,111... ist nicht in der Liste der 0,111...1 enthalten. Was stört Dich
> >> an diesem Gegenbeispiel?
>
> > Dass es nicht existiert. Wenn es existierte, erforderte es die
> > Richtigkeit der Behauptung [*].
>
> Du änderst ständig die Voraussetzungen. Voraussetzung war die Existenz
> dieser Zahl, um damit bei einem Widerspruch anzukommen. Dass die
> Existenz dieser Zahl im Widerspruch zu der Annahme steht, sie existiere
> nicht, ist schlichtweg trivial.
Vorraussetzung ist die aktual Existenz dieser Zahl und die aktual
Existenz der Liste. Letzteres lehnst Du ab, denn Du willst die Liste
immer auf potentielle Unendlichkeit prüfen, die Zahl aber nicht. Doch
selbst in diesem Schluss benötigst Du ein Ergebnis, dass der Logik,
angewandt auf lineare Mengen, zuwiderläuft. Daher ist Deine Prämisse
zur aktualen Unendlichkeit von 0,111... falsch, und daher stört sie
mich.
>
> >>> Einfaches Gegenbeispiel: Unendliche viele Strecken der Länge 1
> >>> nebeneinandergelegt werden niemals eine Lücke der Größe 2 überbrücken.
> >> Und die oben genannten Längen übersteigen jede beliebige endliche
> >> Schranke, obwohl sie alle endlich sind.
>
> > Gegen das Übersteigen jeder beliebigen Schranke ist nichts zu sagen.
>
> Also gibt es keine endliche „Breite“, in die das ganze hineinpasst.
> Also bezeichnet man die Breite als „unendlich“. Das ist doch genau das
> Gleiche.
Es gibt potentiell unendlich und aktual unendlich.
Die Breite der Liste kann natürlich niemals größer sein als jede
Listenzahl, denn die Liste existiert nur aufgrund der Zahlen, die in
ihr stehen. Die Annahme des potentiell Unendlichen stimmt damit
überein, fixiert die Breite aber nicht. Die Annahme des aktual
Unendlichen erfordert eine Breite größer als jede einzelne Listenzahl.
Damit kommt das ins Spiel, was ich Matheologie nenne: Die Liste
existiert nicht nur aufgrund der in stehenden Zahlen.
>
>
> (I) Die Einsen sind alle in *einer* Listenzahl enthalten.
>
> (II) Zu jeder Listenzahl gibt es eine Eins, die darin nicht enthalten ist.
>
> (I) ist genau die Verneinung von (II). Wenn (II) wahr ist, ist (I)
> falsch und umgekehrt.
(II) ist aber nicht wahr, wenn die Liste aktual unendlich viele
Einträge besitzt, weil Du immer nur eine endliche Menge betrachtest,
nämlich eine Zahl, die zu einem endlichen Anfangsabschnitt der Liste
gehört. Unendlich viele Zahlen betrachtest Du nicht.
>
> > es zu jeder Listenzahl eine größere gibt. Es geht darum das
> > Unendlichkeitsaxiom zu akzeptieren, das im Falle dieser Liste besagt,
> > dass es zu jeder natürlichen Zahl n eine Folge von n Einsen gibt, und
> > dass es in 0,111... keine Eins gibt, die nicht an einer natürlich
> > indizierten Stelle steht.
>
> Das ist vollkommen richtig. Es führt aber nicht zu Deiner Behauptung,
> es gäbe eine Listenzahl, in der alle Einsen stehen. Das wäre allenfalls
> dann der Fall, wenn die Liste einen letzten Eintrag hätte. Ein Ende
> gewissermaßen.
Nein. Es wäre genau dann der Fall, wenn die Liste genau ebensoviele
Einträge besäße, wie die Zahl 0,111... Einsen besitzt. Es bedarf
keines Endes. Es genügt, dass *alle* da sind. Das ist eine Bijektion.
>
> > Dass diese Axiom Unsinn ist und nicht "alle" derartigen Zahlen zu
> > finden sind, steht auf einem anderen Blatt. Du akzeptierst das Axiom,
> > akzeptierst die unendliche Menge von Einsen in 0,111... aber nicht die
> > ebenso unendlich Menge von Listeneinträgen. Da willst Du immer eine
>
> Letzteres ist falsch. Immer noch, und es wird auch das nächste Mal,
> wenn Du es behauptest, immer noch falsch sein.
>
> > (notwendig endliche) herausgreifen, um dann stolz den Sieg gegen
> > 0,111... zu feiern. Das ist Spiel mit gezinkten Karten.
>
> Nö, das ist offene und ehrliche Argumentation. Wenn das Ding in der
> Liste wäre, wäre es an einer endlichen stelle, weil die Liste eben nur
> Einträge an endlichen stellen hat – davon (aktual) unendlich viele.
weil die Zahl eben nur Einsen an endlichen Stellen hat - davon
(aktual) unendlich viele
> Die
> Annahme, 0,111... stehe an irgendeiner Stelle in der Liste, führt aber
> auf einen Widerspruch, ist also falsch.
Die Annahme, 0,111... besitze mehr Einsen als jede Zahl in der Liste,
führt aber
auf einen Widerspruch, ist also falsch.
>
> > Die Liste enthält zu jeder 1 von 0,111... eine Zahl die bis zu ihr
> > reicht, zu *jeder*.
>
> Richtig. Die stehen aber *alle* an endlichen Stellen. Es gibt keine
> letzte. Und zu jeder gibt es eine spätere 1 in 1/9.
Auch dort gibt es keine letzte. Zu jeder in 1/9 gibt es eine später in
einer Listenzahl.
> Wenn sie „natürlich“ falsch wäre, könntest Du das doch sicherlich
> begründen? Und bitte nicht mit dem o.g. Schritt, ohne eine tragfähige
> Begründung zu liefern, warum dieser Schritt denn funktinoieren sollte.
> Argumentation auf endlichen Listen ist dafür, ganz offensichtlich, kein
> sonderlich erfolgversprechender Ansatz. Formalismus ist gefragt.
Du weigerst Dich, zu akzeptieren, dass grundsätzlich gilt
jede und alle vorhergehenden = alle.
Um das zu beweisen, nützt auch der ausgefeilteste Fromalismus nichts.
>
> >>> Für lineare Mengen ist es das Gegenteil. Es gibt hier zwei
> >>> Alternativen:
> >>> a) Jede Ziffer von 0,111... wird durch eine Listenzahl abgedeckt.
> >>> b) Nicht jede Ziffer wird durch eine Listenzahl abgedeckt.
> >>> Du stimmst (a) zu, behauptest aber, dass für zwei verschiedene Ziffern
> >>> zwei verschiedene Listenzahlen benötigt würden. Per Induktion ist
> >>> einfach zu zeigen, dass diese Behauptung falsch ist.
> >> Das ist keineswegs meine Behauptung.
>
> > Es resultiert aber direkt daraus.
>
> Aha? Kannst Du das zeigen?
Du gibst zu, dass alle Einsen von 0,111... von Listenzahlen überdeckt
werden, nur nicht von ein-und-derselben). Also werden mindestens zwei
Listenzahlen gebraucht.
Du weigerst Dich aber, zu akzeptieren, dass die Überdeckung durch zwei
Listenzahlen stets durch eine Listenzahl ersetzt werden kann. Das ist
aber offensichtlich, weil alle Listenzahlen endlich sind.
>
> >> Meine Behauptung ist, dass es zu
> >> jeder Listenzahl eine 1 gibt, die dort nicht drinsteht.
>
> > Nein. Deine Behauptung besteht aus zweierlei, nämlich
>
> > 1) dass es in 0,111... unendlich viele Einsen gibt, und
> > 2) dass es zu jeder *herausgegriffenen* Listenzahl eine größere gibt.
>
> Richtig. Das ist aber das Gleiche.
>
> > Du verwechselst geflissentlich "jede" und "jede herausgegriffene".
>
> Keineswegs. Ich beachte nur die Reihenfolge logischer Operatoren.
Du vertauschst einfach potentiell und aktual.
> In
> dem Moment, wo das „Zu jeder Listenzah“ vorbei ist, ist diese
> willkürlich gewählte Listenzahl bis zum Rest der Aussage fixiert und
> kann sich nicht ändern, ohne wieder ganz vorne anzufangen. Wenn Du das
> irgendwie anders betrachtest, sei Dir das unbenommen, aber dann bist Du
> nicht dazu in der Lage, grundlegende mathematische Aussagen
> sinnerhaltend zu lesen und kannst nicht erwarten, in irgendeiner Form
> von mathematischer Diskussion ernst genommen zu werden.
>
> > Das führt dann natürlich zu Widersprüchen mit der Logik linearer
> > Mengen, die Du einfach für falsch erklärst.
>
> „Logik linearer Mengen“ (LLM) klingt schon einmal gut,
> Marketingstrategen würden das bestimmt lieben. Einfach so zu
> postulieren, da könne man Operatoren vertauschen,
Du bist entweder nicht in der Lage oder jedenfalls nicht willens, zu
erkennen, dass in der Folge
1
11
111
...
*niemals* mehr als eine Zahl benötigt wird, um *jede* vorgegeben Menge
von Einsen zu überdecken.
Selbst der ausgefeilteste Formalismus wird Dir nicht helfen, dieses
Defizit Leuten klarzumachen, die vorurteilsfrei und ergebnisoffen über
Mathematik nachdenken.
Gruß, WM
Christopher Creutzig
>> Der Gültigkeitsbereich dieses Schlagwortes ist: Der Schritt von
>>
>> Fur alle i existiert ein n, so dass Aussage A(i, n) gilt.
>>
>> zu
>>
>> Es existiert ein n, so dass zu jedem i die Aussage A(i, n) gilt.
>>
>> Für irgendeine Aussageform A(i, n). Und genau da wende ich dieses
>> Schlagwort, oder genauer gesagt, diesen Begriff und was er bedeutet, an.
>> Außerdem drückst Du Dich nach wie vor darum, wenigstens zu versuchen,
>> einen Grund zu liefern, warum dieser Schritt gelten sollte.
>
> In einer Folge von linearen Teilmengen A, B, C, ... einer Menge gibt
> es keine zwei Elemente a und b, so dass a e A & b !e A & b e B & b !e
> A.
Soweit richtig.
> Mit Bezug zum diskutierten Beispiel
> 0,1
> 0,11
> 0,111
> ...
>
> bedeutet dies, dass *jede* Überdeckung mit Einsen durch zwei Zahlen
> durch eine Überdeckung mit Einsen durch eine Zahl ersetzt werden kann.
Ja.
> Solange es sich also um natürliche Zahlen handelt, kann es nicht
> anders sein. Die obige Liste enthält aber nur natürliche Anzahlen von
> Einsen. Deshalb gilt, was von mehreren Listenzahlen überdeckt wird,
> wird auch von einer einzigen überdeckt.
Nein. Das gilt für endlich viele. Beispielsweise leicht durch
vollständige Induktion zu beweisen – nur beweist vollständige Induktion
eine Aussage eben für alle (unendlich vielen) *endlichen* Zahlen. Du
versuchst aber, die Aussage für eine unendliche Anzahl anzuwenden, da
fehlt noch ein Argument, warum das funktionieren sollte.
>>> Nun betrachte die folgende endliche Cantor-Liste mit "linearen" Zahlen
>>> 000
>>> 100
>>> 110
>>> Die Diagonalzahl 111 enthält eine Stelle, nämlich die letzte, an der
>>> sie sich notwendig von jeder Listenzahl unterscheidet.
>> Richtig. Und? Das kann vorkommen.
>
> Aber bei linearen Mengen *muss* es vorkommen!
Beweis? (Hint: Für endliche „lineare Mengen“ ist das leicht zu
beweisen, aber mir fallen nur Beweise ein, die die Endlichkeit
voraussetzen.)
>>> Es ist merkwürdig: Die Cantorianer lassen kaum eine Gelegenheit aus,
>>> zu rühmen, dass die Idee Ihres Meisters nicht nur für unendliche
>>> Listen gilt, sondern schon für endliche. Wo bleibt nun dieser Aspekt?
>> Ich verstehe nicht, was Du sagen willst.
>
> Dein Argument gegen meine linearen Mengen ist im Endlichen sogar für
> Dich einsehbar falsch.
Häh? Ich habe nie behauptet, so eine gemeinsame Stelle könne es nicht
geben. Ich habe lediglich gesagt, dass es sie in der gegebenen Liste
nicht gibt. Die Aussage lässt sich wohl kaum durch Verweis auf
irgendeine andere Liste widerlegen.
> fehlt. Das habe ich mir geschenkt weil als Ergebnis dieser Diskussion
> folgt, es gibt überhaupt keine aktual unendlichen Folgen. Dein zweiter
Wenn Du während der Untersuchung ständig Dein Wunschergebnis als
gegeben annimmst, ist es kaum verwunderlich, dass es am Ende herauskommt.
> Selbst wenn man von der Prämisse ausgeht, dass es unendlich viele
> natürliche Zahlen gibt: Durch unendliche viele endliche Einserfolgen
> wird keine unendliche Einserfolge erzeugt, denn sonst hätten wir ja
> auch eine unendliche natürliche Zahl.
Was bedeutet hier das „Erzeugen“? Benutz doch nicht immer so schwammige
Worthülsen.
> Die Liste enthält Zahlen mit mehr Einsen als in der Zahl 0,111...
> vorkommen.
> Beweis: Greife eine Einsen der Zahl 0,111... heraus. Dazu gibt es eine
Falls das ein Versuch sein soll, den Beweis für das nicht-Vorhandensein
der 0,111... in der Liste abzuändern, ist er gescheitert. Das fängt
damit an, dass es in dem von mir angegebenen Beweis nicht um irgendeine
Anzahl geht, sondern schlicht um die Frage: „Ist 0,111... in der Liste
enthalten?“ Zur Untersuchung der Frage nach der Anzahl ist das
Betrachten einzelner Elemente nur in Ausnahmefällen geeignet.
>> Übrigens waren wir in diesem Subthread eigentlich noch bei Quantoren
>> und ihrer Reihenfolge.
>
> In linearen Mengen spielen Sie keine Rolle.
Der Beweis steht noch aus. Vielleicht kommt er ja bald, sonst werde ich
ihn wahrscheinlich nicht mehr lesen.
Christopher Creutzig
> Jedenfalls kann niemand zwei Einsen angeben, die nicht durch eine
> Listenzahl abgedeckt werden können. Es wird aber behauptet, dass es
> unendlich viele solche Einsen gäbe.
Falsch. Es wird behauptet, dass es keine Listenzahl gibt, die unendlich
viele Einsen „abdeckt“. Nicht, dass es unendlich viele Zahlen gebe, die
von keiner Listenzahl „abgedeckt“ würden. Da ist sie wieder, die
Reihenfolge in einem Satz …
>>> Behauptung der Existenz von unendlich vielen, wenn nicht einmal zwei
>>> angegeben werden können... --- naja, diese Behauptung [*] mag mit
>>> Deiner Logik vereinbar sein, mit meiner nicht.
>> Ich kann eine angeben. Du denkst nur nach wie vor in einer
>> unangemessenen Reihenfolge und siehst die Vertauschung nicht. Zu jeder
>> Zeile kann ich eine angeben.
>
> Warum sollte es angemessener sein, zu behaupten, dass jedes Element
> der Menge A von einem Element der Menge B übertroffen wird, als
> umgekehrt zu behaupten, dass jedes Element der Menge B von einem
> Element der Menge A übertroffen wird?
Schau Dir die jeweiligen Behauptungen noch einmal in Ruhe an,
insbesondere ihre Unterschiede. Denk vielleicht vor dem Posten mal etwas
darüber nach. Und löse Dich von dem Gedanken, Mathematiker könnten
irgend etwas tun, wenn sie nicht selbständig denken könnten. Das fängt
damit an, dass auch Mathe-Dozenten Fehler machen (und es einfach
essentiell ist, dass die Studenten sie darauf hinweisen) und hört nicht
damit auf, dass schätzungsweise 20% aller veröffentlichten Paper Fehler
enthalten, die in grob geschätzt 5-10% der Fälle die Ergebnisse schlicht
falsch werden lassn. Und das muss der Leser halt erkennen. Je nach
Publikationsmedium kann der Wert natürlich auch anders sein –
beispielsweise auf arxiv.org würde ich locker von guten 50% falscher
Ergebnisse ausgehen. Was nicht heißt, dass es nicht lohnen kann, da zu
stöbern.
>> Du änderst ständig die Voraussetzungen. Voraussetzung war die Existenz
>> dieser Zahl, um damit bei einem Widerspruch anzukommen. Dass die
>> Existenz dieser Zahl im Widerspruch zu der Annahme steht, sie existiere
>> nicht, ist schlichtweg trivial.
>
> Vorraussetzung ist die aktual Existenz dieser Zahl und die aktual
> Existenz der Liste. Letzteres lehnst Du ab, denn Du willst die Liste
> immer auf potentielle Unendlichkeit prüfen, die Zahl aber nicht. Doch
Falsch. Auch wenn Du das ignorierst: Dass die Liste nur endlich lange
Zahlen enthält, ändert nichts daran, dass sie statisch, aktual unendlich
ist. Und der Punkt wird langweilig. Ich habe ihn Dir mehrfach
auseinandergesetzt, Du wiederholst einfach nur das ewig Gleiche, ohne
auf meine Antwort inhaltlich auch nur im Geringsten einzugehen.
>> (I) Die Einsen sind alle in *einer* Listenzahl enthalten.
>>
>> (II) Zu jeder Listenzahl gibt es eine Eins, die darin nicht enthalten ist.
>>
>> (I) ist genau die Verneinung von (II). Wenn (II) wahr ist, ist (I)
>> falsch und umgekehrt.
>
> (II) ist aber nicht wahr, wenn die Liste aktual unendlich viele
> Einträge besitzt, weil Du immer nur eine endliche Menge betrachtest,
> nämlich eine Zahl, die zu einem endlichen Anfangsabschnitt der Liste
> gehört. Unendlich viele Zahlen betrachtest Du nicht.
Unendliche Mengen der Ordinalzahl omega haben es so an sich, dass jedes
ihrer Elemente zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört. Das ist
übrigens bei den Stellen der Zahl 0,111... auch nicht anders. Von daher
ist es völlig unmöglich, eine Zahl in der Liste zu betrachten, die nicht
zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört, einfach weil so eine Zahl
nicht existiert.
Und per Konstruktion enthält die Liste nur Einträge mit endlich vielen
Einsen. Damit ist (II) per Konstruktion der Liste wahr.
>>> es zu jeder Listenzahl eine größere gibt. Es geht darum das
>>> Unendlichkeitsaxiom zu akzeptieren, das im Falle dieser Liste besagt,
>>> dass es zu jeder natürlichen Zahl n eine Folge von n Einsen gibt, und
>>> dass es in 0,111... keine Eins gibt, die nicht an einer natürlich
>>> indizierten Stelle steht.
>> Das ist vollkommen richtig. Es führt aber nicht zu Deiner Behauptung,
>> es gäbe eine Listenzahl, in der alle Einsen stehen. Das wäre allenfalls
>> dann der Fall, wenn die Liste einen letzten Eintrag hätte. Ein Ende
>> gewissermaßen.
>
> Nein. Es wäre genau dann der Fall, wenn die Liste genau ebensoviele
> Einträge besäße, wie die Zahl 0,111... Einsen besitzt. Es bedarf
> keines Endes. Es genügt, dass *alle* da sind. Das ist eine Bijektion.
Die Bijektion existiert zweifelsohne, und es gibt sogar eine
ordnungserhaltende solche. Wenn es zusätzlich noch eine letzte Stelle
geben würde, gäbe es einen Listeneintrag, der alle Einsen enthält,
nämlich den, auf den diese letzte Stelle abgebildet würde. Umgekehrt
gilt aber: Wenn es so eine Zahl in der Liste geben würde, hätte sie in
der Liste keinen Nachfolger, also würde sie durch diese
ordnungserhaltende Bijektion auf die letzte Stelle von 0,111...
abgebildet. Weder enthält die Liste aber eine Zahl ohne Nachfolger, noch
hat 0,111... eine letzte Stelle.
>>> (notwendig endliche) herausgreifen, um dann stolz den Sieg gegen
>>> 0,111... zu feiern. Das ist Spiel mit gezinkten Karten.
>> Nö, das ist offene und ehrliche Argumentation. Wenn das Ding in der
>> Liste wäre, wäre es an einer endlichen stelle, weil die Liste eben nur
>> Einträge an endlichen stellen hat – davon (aktual) unendlich viele.
>
> weil die Zahl eben nur Einsen an endlichen Stellen hat - davon
> (aktual) unendlich viele
>
>> Die
>> Annahme, 0,111... stehe an irgendeiner Stelle in der Liste, führt aber
>> auf einen Widerspruch, ist also falsch.
>
> Die Annahme, 0,111... besitze mehr Einsen als jede Zahl in der Liste,
> führt aber
> auf einen Widerspruch, ist also falsch.
Nanu? Was Du da schreibst, ist ja richtig, aber warum wiederholst Du
mich wörtlich?
>>> Die Liste enthält zu jeder 1 von 0,111... eine Zahl die bis zu ihr
>>> reicht, zu *jeder*.
>> Richtig. Die stehen aber *alle* an endlichen Stellen. Es gibt keine
>> letzte. Und zu jeder gibt es eine spätere 1 in 1/9.
>
> Auch dort gibt es keine letzte. Zu jeder in 1/9 gibt es eine später in
> einer Listenzahl.
Richtig. Warum hast Du das jetzt hier geschrieben? Wenn Du meinst,
daraus würde irgend etwas folgen, benenne das bitte konkret, mit den
nötigen Details und Schritten, um dahin zu kommen.
> Du weigerst Dich, zu akzeptieren, dass grundsätzlich gilt
> jede und alle vorhergehenden = alle.
Ohne genauere Definition, was in diesem konkreten Zusammenhang „alle“
bedeuten soll: Ja, klar.
> Um das zu beweisen, nützt auch der ausgefeilteste Fromalismus nichts.
Dann ist die Aussage vermutlich im Rahmen einer mathematischen
Diskussion schlichtweg nicht zu gebrauchen.
> Du gibst zu, dass alle Einsen von 0,111... von Listenzahlen überdeckt
> werden, nur nicht von ein-und-derselben). Also werden mindestens zwei
> Listenzahlen gebraucht.
Ich gehe sogar noch weiter: Es werden unendlich viele gebraucht.
> Du weigerst Dich aber, zu akzeptieren, dass die Überdeckung durch zwei
> Listenzahlen stets durch eine Listenzahl ersetzt werden kann. Das ist
Keineswegs, das bestätige ich gerne ausdrücklich. Auch dass jede
Überdeckung durch endlich viele Listenzahlen durch eine davon (nämlich
die in der Liste als letzte aufegführte davon) ersetzt werden kann,
bestätige ich sofort. Nur die Verallgemeinerung auf unendlich viele kann
ich schlicht nicht bestätigen.
>>> Du verwechselst geflissentlich "jede" und "jede herausgegriffene".
>> Keineswegs. Ich beachte nur die Reihenfolge logischer Operatoren.
>
> Du vertauschst einfach potentiell und aktual.
Ich verwende potentielle Unendlichkeiten nicht einmal.
> Du bist entweder nicht in der Lage oder jedenfalls nicht willens, zu
> erkennen, dass in der Folge
> 1
> 11
> 111
> ...
> *niemals* mehr als eine Zahl benötigt wird, um *jede* vorgegeben Menge
> von Einsen zu überdecken.
Für endliche Mengen von Einsen stimme ich Dir da zu.
> Selbst der ausgefeilteste Formalismus wird Dir nicht helfen, dieses
> Defizit Leuten klarzumachen, die vorurteilsfrei und ergebnisoffen über
> Mathematik nachdenken.
Selbstgespräche? Ich sehe in meiner Argumentation da kein Defizit,
warum sollte ich es also irgendwem klarmachen?
Herbert Newman
Sag mal, Christopher, musst Du den Idioten weiter dazu ermuntern, weiterhin
seinen Müll hier zu posten? Durch die "Aufmerksamkeit", die ihm hier zuteil
wird, fühlt er sich m. E. nur in seiner unsäglichen Mission bestätigt - ALS
OB es hier etwas zu "debattieren" gäbe. (Gibt es zwar, aber auf einem ganz
anderen Level, als das, welches unserem GRÖMAZ zugänglich ist.)
MfG,
Herbert
Ralf Bader
> Albrecht wrote:
>> Man weiss seit Goedel, dass wir von einer hinreichend maechtigen
>> Mathematik nicht wissen koennen ob sie widerspruchsfrei ist.
>
> Fast.
Nein. Die Storzsche Behauptung ist, hmm, ich sage mal: unrichtig. Cf.
http://www.sm.luth.se/~torkel/eget/godel/second.html
> Natürlich kann man von einer hinreichend mächtigen mathematischen
> Struktur wissen, *dass* sie *nicht* widerspruchsfrei ist. Sobald man
> einen Widerspruch gezeigt hat, z.B.
Das auch.
>> Aber deshalb muss man den Kopf in Hinblick auf diese Frage nicht in
>> den Sand stecken. Ich glaube, dass man die Mathematik durch einen
>> Abgleich mit der erfassbaren Realitaet sicher machen kann. Und genau
>
> Was soll hier der Begriff „sicher“ aussagen? Die allgemeine
> Lebenserfahrung scheint mir eher dafür zu sprechen, dass die Realität,
> soweit wir unsere Beobachtung zugrunde legen, nicht widerspruchsfrei ist.
>
> Und beim „Abgleich mit der erfassbaren Realität“ kommen auch viele
> unerwartete Dinge heraus – beispielsweise sind sich die Physiker recht
> einig, dass die Geometrie des Universums *nicht* euklidisch ist. Gut,
> dass Leute wie Lobachevsky und Gauss lange vor dieser physikalischen
> Erkenntnis offensichtlich völlig nutzlose Gedankenspielereien mit
> nichteuklidischen Geometrien gemacht haben. :-)
Wer solche Reden über den „Abgleich mit der erfassbaren Realität“ schwingt,
müßte u.a. einige gewichtige Argumente in Freges Grundlagen d. A.
entkräften. Was u.a. einschließt, sich diese Argumente erst einmal
klarzumachen. Was wiederum das sinnfreie Herumschwadronieren in Grömaz
Mückenheims Manier erheblich behindern würde. Da ist es viel angenehmer und
einfacher, den depperten Sparren nochmals und nochmals und nochmals
wiederzukäuen.
R.B.
--
How lucky we are that Cantor introduced curly brackets! But it was no
he who introduced the silly distinction between a and {a} that enables
so called mathematicians to build card houses on nothing.
(Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim, FH Augsburg, in sci.math, 03/13/09)
Herbert Newman
> ... ALS OB es hier etwas zu "debattieren" gäbe. (Gibt es zwar, aber
> auf einem ganz anderen Level, als das, welches unserem GRÖMAZ zugäng-
> lich ist.)
Mal im Ernst: WORÜBER willst du mit jemandem -in einem mathematischen Kontext-
(ernsthaft) "diskutieren", dem nicht klar ist, dass man aus der Aussage
Für jedes Schloss x gibt es einen Schlüssel y, so dass gilt: y passt in x.
("Zu jedem Schloss gibt es einen passenden Schlüssel.")
(logisch) NICHT auf die Aussage
Es gibt einen Schlüssel y, so dass für jedes Schloss x gilt: y passt in x.
("Es gibt einen Schlüssel, der in jedes Schloss passt.")
schließen kann?
Herbert
WM
Hallo Rainer, mein Beispiel basiert auf dem Grenzwertn1/9 einer Folge
anstelle des Grenzwertes 2 einer Reihe, weil ich dachte, mein
prinzipieller Einwand würde hier ebenso deutlich wenn nicht
deutlicher: Die aktual unendliche Menge aller Zahlen aus obiger Liste
ist ein Bild für die aktual unendliche Menge der natürlichen Zahlen.
Die Zahl 1/9 ist zwar Grenzwert der Folge, aber sie steht außerhalb
der Folge (aller natürlichen Zahlen in Form von Unärdarstellungen).
Auch unter dem Aspekt der aktualen Unendlichkeit fehlt also etwas in
den aktual unendlich vielen natürlichen Zahlen.
Dieselbe Überlegung kann ich aber auch für die Summe der geometrischen
Reihe darstellen. Betrachten wir zunächst eine Partialsumme:
1
+ 1/2
+ 1/4
+ ...
+ 1/2^n
_________
= 2 - 1/2^n
Nach Hinzufügung des Terms 1/2^n fehlt noch der Rest 1/2^n am
Grenzwert 2. Nach Hinzufügen *aller* natürlichen Zahlen fehlt also
immer noch etwas, denn es gibt zwar keine letzte Zahl n und es gibt
damit keinen kleinsten Rest 1/2^n, aber wir wissen ja, dass jede
natürliche Zahl per Definition endlich ist und damit jeder
hinzugefügte Summand, selbst wenn es aktual unendlich viele geben
sollte, auch endlich ist und somit einen endlichen, wiewohl nicht
bestimmbaren Rest lässt.
Will sagen: Auch mit aktual unendlich vielen Elementen fehlt etwas am
Wert 2.
Gruß, WM
Ulrich Lange
> Christopher Creutzig wrote:
>
>> Albrecht wrote:
>>> Man weiss seit Goedel, dass wir von einer hinreichend maechtigen
>>> Mathematik nicht wissen koennen ob sie widerspruchsfrei ist.
>> Fast.
>
> Nein. Die Storzsche Behauptung ist, hmm, ich sage mal: unrichtig. Cf.
> http://www.sm.luth.se/~torkel/eget/godel/second.html
Hallo Ralf,
interessanter Link! Folgendes z.B. war für mich (mengentheoretisch
Halbgebildeten) neu:
"Consistency proofs for ZFC are essentially proofs by reflection,
meaning that we note, in some way or another, that since the axioms of
ZFC are true, they are consistent. For example, for every finite subset
A1,A2,..An of axioms of ZFC, it is provable in ZFC that these axioms
have a model, hence are consistent. We can then conclude that ZFC is
consistent, since any inconsistency in ZFC would be an inconsistency in
some finite subset of the axioms of ZFC." (Torkel Franzen)
Wenn ich das richtig verstanden habe, liegt die Messlatte für unsere
"Widerspruch-in-ZFC-Beweiser" also noch wesentlich höher als ich gedacht
hatte, was sie mit ihren ohnehin schon albernen Bäumchen und Listen
völlig lächerlich dastehen läßt.
--
Gruß, Ulrich Lange
(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)
WM
wrote:
> WM wrote:
> > In einer Folge von linearen Teilmengen A, B, C, ... einer Menge gibt
> > es keine zwei Elemente a und b, so dass a e A & b !e A & b e B & a !e
> > B.
>
> Soweit richtig.
>
> > Mit Bezug zum diskutierten Beispiel
> > 0,1
> > 0,11
> > 0,111
> > ...
>
> > bedeutet dies, dass *jede* Überdeckung mit Einsen durch zwei Zahlen
> > durch eine Überdeckung mit Einsen durch eine Zahl ersetzt werden kann.
>
> Ja.
>
> > Solange es sich also um natürliche Zahlen handelt, kann es nicht
> > anders sein. Die obige Liste enthält aber nur natürliche Anzahlen von
> > Einsen. Deshalb gilt, was von mehreren Listenzahlen überdeckt wird,
> > wird auch von einer einzigen überdeckt.
>
> Nein. Das gilt für endlich viele. Beispielsweise leicht durch
> vollständige Induktion zu beweisen – nur beweist vollständige Induktion
> eine Aussage eben für alle (unendlich vielen) *endlichen* Zahlen.
Richtig, für alle. Mein Beweis gilt für alle endlichen natürlichen
Zahlen --- und andere natürliche Zahlen gibt ja auch nicht. Jedenfalls
möchte ich sie nicht als Indizes verwenden. Sie wären zu nichts nütze.
> Du
> versuchst aber, die Aussage für eine unendliche Anzahl anzuwenden,
Keineswegs. Ich verwende gar nicht die "unendliche Anzahl". Sie kommt
in meinem Beweis gar nicht vor. Ich zeige nur, dass für jedes Paar von
endlichen natürlichen Zahlen Linearität gilt. Aus wie vielen ich dabei
zu wählen habe, ist, wie gesagt, unerheblich. Du magst Dir das
(nebenbei gesagt falsche) Argument zu eigen machen, dass es aktual
unendlich viele wären oder nur von potentiell unendlich vielen reden
oder gar nichts über die Anzahl aussagen.
>
> >>> Nun betrachte die folgende endliche Cantor-Liste mit "linearen" Zahlen
> >>> 000
> >>> 100
> >>> 110
> >>> Die Diagonalzahl 111 enthält eine Stelle, nämlich die letzte, an der
> >>> sie sich notwendig von jeder Listenzahl unterscheidet.
> >> Richtig. Und? Das kann vorkommen.
>
> > Aber bei linearen Mengen *muss* es vorkommen!
>
> Beweis? (Hint: Für endliche „lineare Mengen“ ist das leicht zu
> beweisen, aber mir fallen nur Beweise ein, die die Endlichkeit
> voraussetzen.)
Der Beweis ist einfach: Wenn Deine Behauptung richtig wäre, dass zu
jeder 1 aus 0,111... eine sie überdeckende Listenzahl existiert, aber
nicht eine einzige zu allen existiert, dann muss die oben dargestellte
Linearität versagen. Dann werden mehr als zwei Listenzahlen benötigt,
um zwei Ziffern, a und b, abzudecken. Diese Argument bedarf aber eines
starken Glaubens an den unendlichen Zahlengott, der aktual alle Zahlen
kennt, und seinen Propheten Cantor, oder anders gesagt, es ist
offensichtlich falsch.
Es ist Dir und jedem anderen auch unmöglich, zwei solche Ziffern a und
b vorzuweisen, und der Verweis darauf, dass Du sogar unendlich viele
hättest, wird leicht als unmathematische Hochstapelei durchschaut ---
jedenfalls von Leuten, "die darüber hinaus sehen können".
>
> > Selbst wenn man von der Prämisse ausgeht, dass es unendlich viele
> > natürliche Zahlen gibt: Durch unendliche viele endliche Einserfolgen
> > wird keine unendliche Einserfolge erzeugt, denn sonst hätten wir ja
> > auch eine unendliche natürliche Zahl.
>
> Was bedeutet hier das „Erzeugen“? Benutz doch nicht immer so schwammige
> Worthülsen.
Die Breite der Liste wird durch die Zahlen, die darinstehen, erzeugt.
Ohne diese Zahlen ist die Liste und ihre Breite nämlich gar nicht da.
>
> > Die Liste enthält Zahlen mit mehr Einsen als in der Zahl 0,111...
> > vorkommen.
> > Beweis: Greife eine Einsen der Zahl 0,111... heraus. Dazu gibt es eine
>
> Falls das ein Versuch sein soll, den Beweis für das nicht-Vorhandensein
> der 0,111... in der Liste abzuändern, ist er gescheitert. Das fängt
> damit an, dass es in dem von mir angegebenen Beweis nicht um irgendeine
> Anzahl geht, sondern schlicht um die Frage: „Ist 0,111... in der Liste
> enthalten?“ Zur Untersuchung der Frage nach der Anzahl ist das
> Betrachten einzelner Elemente nur in Ausnahmefällen geeignet.
So ist es auch mit Deinem Beweis. Bei Annahme des aktual Unendlichen,
sind alle aktual existierenden indizierten Stellen durch Listenzahlen
mit Einsen abgedeckt. Also gibt es auch die Zahl, die für jeden
natürlichen Index eine 1 enthält. Zur Untersuchung dieser Frage ist
das
Betrachten einzelner Elemente nur in Ausnahmefällen geeignet.
>
> >> Übrigens waren wir in diesem Subthread eigentlich noch bei Quantoren
> >> und ihrer Reihenfolge.
>
> > In linearen Mengen spielen Sie keine Rolle.
>
> Der Beweis steht noch aus. Vielleicht kommt er ja bald, sonst werde ich
> ihn wahrscheinlich nicht mehr lesen.
Stell Dir einen Schlüssel a vor, der Schloss A schließt, einen
weiteren Schlüssel b, der die Schlösser A und B schließt, und, wenn
nötig, noch einen dritten Schlüssel c, der die Schlösser A, B und C
schließt. Wenn diese Schlüsselkette ohne Ende fortgesetzt wird, dann
gibt es einen Schlüssel, der jedes Schloss schließt, das von
mindestens einem der Schlüssel geschlossen wird.
A Schloss E Schlüssel ==> E Schlüssel A Schloss (im Falle linearer
Mengen)
Wenn Du das verstehst, dann hast Du Dein Schlüsselerlebnis gehabt und
wirst nicht mehr fragen, weshalb die Schnittmenge aus Logik und
Linearität Ergebnisse zeitigt, die aus einem der beiden Systeme allein
nicht abgeleitet werden können.
Gruß, WM
WM
> Wenn ich das richtig verstanden habe, liegt die Messlatte für unsere
> "Widerspruch-in-ZFC-Beweiser" also noch wesentlich höher als ich gedacht
> hatte,
Nein, das war schon immer klar (wenigstens seit Russell 1903): Den
Tort will man sich doch nicht noch einmal antun lassen. Die Messlatte
liegt bei aleph_0.
Gruß, WM
WM
wrote:
> WM wrote:
> > Jedenfalls kann niemand zwei Einsen angeben, die nicht durch eine
> > Listenzahl abgedeckt werden können. Es wird aber behauptet, dass es
> > unendlich viele solche Einsen gäbe.
>
> Falsch. Es wird behauptet, dass es keine Listenzahl gibt, die unendlich
> viele Einsen „abdeckt“. Nicht, dass es unendlich viele Zahlen gebe, die
> von keiner Listenzahl „abgedeckt“ würden. Da ist sie wieder, die
> Reihenfolge in einem Satz …
Die Liste ist ein gleichschenkliges, sogar gleichseitiges Dreieck.
*Wenn* die Höhe aktual existiert, dann auch die Breite. Die Liste
existiert aber nur, wo die Einsen ihrer Zahlen existieren. Daher kann
eine größere Breite als jeder Listenzahl entspricht, nicht vorkommen.
> Auch wenn Du das ignorierst: Dass die Liste nur endlich lange
> Zahlen enthält, ändert nichts daran, dass sie statisch, aktual unendlich
> ist.
Falsch. Die Liste, dort und soweit sie existiert, ist ein
gleichseitiges Dreieck. Aktuale Unendlichkeit manifestiert sich in
allen Seiten oder in keiner.
> Unendliche Mengen der Ordinalzahl omega haben es so an sich, dass jedes
> ihrer Elemente zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört. Das ist
> übrigens bei den Stellen der Zahl 0,111... auch nicht anders. Von daher
> ist es völlig unmöglich, eine Zahl in der Liste zu betrachten, die nicht
> zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört, einfach weil so eine Zahl
> nicht existiert.
Richtig. Und nun müsste selbst Dir die Konsequenz greifbar nahe sein,
dass es lediglich die Zahl omega ist, die nicht existiert.
>
> Und per Konstruktion enthält die Liste nur Einträge mit endlich vielen
> Einsen. Damit ist (II) per Konstruktion der Liste wahr.
Und damit ist es per Konstruktion (von Liste und gleichseitigem
Dreieck der Einsen) möglich, meinen Beweis zur Linearität (s.
Parallelbeitrag) anzuwenden.
> > Die Annahme, 0,111... besitze mehr Einsen als jede Zahl in der Liste,
> > führt aber
> > auf einen Widerspruch, ist also falsch.
>
> Nanu? Was Du da schreibst, ist ja richtig, aber warum wiederholst Du
> mich wörtlich?
Weil Du gleichzeitig das Gegenteil behauptest, nämlich dass aleph_0
(Zahl der Einsen in 0,111...) größer als jede endliche Zahl (Einsen in
den Listenzahlen) sei.
>
> > Du weigerst Dich, zu akzeptieren, dass grundsätzlich gilt
> > jede und alle vorhergehenden = alle.
>
> Ohne genauere Definition, was in diesem konkreten Zusammenhang „alle“
> bedeuten soll: Ja, klar.
alle heißt schlicht und ergreifend alle. Gemeint sind alle Stellen der
Zahl 0,111...
>
> > Um das zu beweisen, nützt auch der ausgefeilteste Formalismus nichts.
>
> Dann ist die Aussage vermutlich im Rahmen einer mathematischen
> Diskussion schlichtweg nicht zu gebrauchen.
Warum verwendest Du sie aber immer wieder?
>
> > Du gibst zu, dass alle Einsen von 0,111... von Listenzahlen überdeckt
> > werden, nur nicht von ein-und-derselben. Also werden mindestens zwei
> > Listenzahlen gebraucht.
>
> Ich gehe sogar noch weiter: Es werden unendlich viele gebraucht.
Dann zeige doch einfach mal zwei davon auf, also zwei, die nicht durch
andere ersetzt werden können. Du bist doch sonst ein Freund des
Konkreten, zum Beispiel wenn es um Listenzahlen geht. Hier verlässt
Dich die Tatkraft aber vermutlich?
>
> Für endliche Mengen von Einsen stimme ich Dir da zu.
Und an unendlichen Folgen von Einsen hast Du die Erfahrung gemacht,
dass das nicht mehr gilt? Wo hast Du denn eine solche Folge getroffen?
Aber sei getrost, die Listenzahlen enthalten nur endliche Mengen von
Einsen. Das ist eine Eigenschaft der natürlichen Zahlen, die hier unär
als Folgen von Einsen repräsentiert sind.
>
> > Selbst der ausgefeilteste Formalismus wird Dir nicht helfen, dieses
> > Defizit Leuten klarzumachen, die vorurteilsfrei und ergebnisoffen über
> > Mathematik nachdenken.
>
> Selbstgespräche? Ich sehe in meiner Argumentation da kein Defizit,
Das eben ist Dein Problem.
Gruß, WM
Herbert Newman
> Stell Dir einen Schlüssel a vor, der Schloss A schließt, einen
> weiteren Schlüssel b, der die Schlösser A und B schließt, [...]
> einen dritten Schlüssel c, der die Schlösser A, B und C schließt.
> Wenn diese Schlüsselkette ohne Ende fortgesetzt wird, dann
> gibt es einen Schlüssel, der jedes Schloss schließt, das von
> mindestens einem der Schlüssel geschlossen wird.
>
> A Schloss E Schlüssel ==> E Schlüssel A Schloss
> (im Falle linearer Mengen)
Es ist leicht, ein Gegenbeispiel anzugehen; womit diese idiotische
_Behauptung_ widerlegt ist.
Folge der Schlösser: S_1, S_2, S_3, ...
Folge der Schlüssel: s_1, s_2, s_3, ...
Wobei gelte: s_i schließt alle S_j mit j <= i, nicht aber S_i+1 (mit i,j e
IN).
Es gilt nun also, dass es zu jedem Schloss S einen Schlüssel s gibt, der S
schließt:
AnEm(s_m schließt S_n).
(Der einfache Beweis sei dem Leser als Übung überlassen.)
Es gilt aber NICHT, dass es einen Schlüssel s gibt, der jedes Schloss S
schließt:
EmAn(s_m schließt S_n).
Beweis für letztere Behauptung:
Angenommen es gelte EmAn(s_m schließt S_n). Sei nun m0 eine
natürliche Zahl, so dass für alle n gilt: s_m0 schließt S_n.
Dann gilt insbesondere: s_m0 schließt S_m0+1. Nach Voraus-
setzung gilt aber, dass s_m0 das Schloss S_m0+1 _nicht_ schließt.
Widerspruch. []
Damit ist gezeigt, dass
AnEm(s_m schließt S_n) => EmAn(s_m schließt S_n)
NICHT gilt. qed
Herbert
Herbert Newman
> Damit ist gezeigt, dass
>
> AnEm(s_m schließt S_n) => EmAn(s_m schließt S_n)
>
> NICHT gilt. qed
...trotz "Linearität" (WM).
Herbert
Herbert Newman
> Die Liste ist ein gleichschenkliges, sogar gleichseitiges Dreieck.
Wie kann etwas ein "Dreieck" (sic!) sein, das nur _zwei_ "Seiten" hat?
.
|\
| \
| \
: .
: .
---> Keine dritte "Seite", da es keine letzte Zeile in der (unendlichen!)
Liste gibt.
Der Rest des Unsinns in Deinem Beitrag folgt logisch aus dieser falschen
Behauptung:
Ex falso quodlibet. (Aus Falschem folgt Beliebiges.)
Herbert
Herbert Newman
Hier nochmal meine Antwort _im Kontext_:
CC: "Übrigens waren wir in diesem Subthread eigentlich noch bei Quantoren
und ihrer Reihenfolge."
WM: "In linearen Mengen spielen Sie keine Rolle."
Diese Behauptung führt WM dann wie folgt aus:
> Stell Dir einen Schlüssel a vor, der Schloss A schließt, einen
> weiteren Schlüssel b, der die Schlösser A und B schließt, [...]
> einen dritten Schlüssel c, der die Schlösser A, B und C schließt.
> Wenn diese Schlüsselkette ohne Ende fortgesetzt wird, dann
> gibt es einen Schlüssel, der jedes Schloss schließt, das von
> mindestens einem der Schlüssel geschlossen wird.
>
> A Schloss E Schlüssel ==> E Schlüssel A Schloss
> (im Falle linearer Mengen)
Es ist leicht, ein Gegenbeispiel anzugehen; womit diese idiotische
_Behauptung_ widerlegt ist.
Folge der Schlösser: S_1, S_2, S_3, ...
Folge der Schlüssel: s_1, s_2, s_3, ...
Wobei gelte: s_i schließt alle S_j mit j <= i, nicht aber S_i+1 (mit i,j e
IN).
Es gilt nun also, dass es zu jedem Schloss S einen Schlüssel s gibt, der S
schließt:
AnEm(s_m schließt S_n).
(Der einfache Beweis sei dem Leser als Übung überlassen.)
Es gilt aber NICHT, dass es einen Schlüssel s gibt, der jedes Schloss S
schließt:
EmAn(s_m schließt S_n).
Beweis für letztere Behauptung:
Angenommen es gelte EmAn(s_m schließt S_n). Sei nun m0 eine
natürliche Zahl, so dass für alle n gilt: s_m0 schließt S_n.
Dann gilt insbesondere: s_m0 schließt S_m0+1. Nach Voraus-
setzung gilt aber, dass s_m0 das Schloss S_m0+1 _nicht_ schließt.
Widerspruch. []
Damit ist gezeigt, dass
AnEm(s_m schließt S_n) => EmAn(s_m schließt S_n)
NICHT gilt ...trotz "Linearität" (WM). qed
"Learn some logic. Learn some mathematics. Or better yet, give up
mathematics and take up basket weaving."
(Bob Kolker, @Mückenheim, sci.math, 5 Jun. 2005)
Herbert
Ulrich Lange
> On 26 Apr., 12:17, Ulrich Lange <ulrich.la...@invalid.invalid> wrote:
>
>> Wenn ich das richtig verstanden habe, liegt die Messlatte für unsere
>> "Widerspruch-in-ZFC-Beweiser" also noch wesentlich höher als ich gedacht
>> hatte,
>
> Nein, das war schon immer klar (wenigstens seit Russell 1903):
ZFC wurde erst ab 1908 formuliert. Wie soll dann bitteschön 1903 schon
klar gewesen sein, daß die Widerspruchsfreiheit jeder Teiltheorie aus
endlich vielen Axiomen von ZFC *mit den Mitteln von ZFC* gezeigt werden
kann?
> Den
> Tort will man sich doch nicht noch einmal antun lassen. Die Messlatte
> liegt bei aleph_0.
Du hast Franzen nicht verstanden: Auch INF kann durchaus eins der
endlich vielen Axiome der widerspruchsfreien Teiltheorien sein.
Herbert Newman
> ... mit ihren ohnehin schon albernen Bäumchen und Listen ...
Hallo Ulrich!
Da hast Du natürlich Recht. Leute wie WM und/oder Albrecht stolpern ja
primär über ihr eigene mathematische Inkompetenz: einfachste mengen-
theoretische Sachverhalte werden von ihnen -in typischer Crank-Manier- in
völlig irriger Art und Weise aufgefasst bzw. "verstanden". (WM bekommt noch
nicht mal eine korrekte Verwendung von Quantoren auf die Reihe...).
Gruß,
Herbert
Albrecht
Rainer Rosenthal schrieb:
> WM schrieb:
>
> >>
> >> Summe{i=1..oo} 1/2^i = 2.
> >>
> >> Die Menge der Summanden 1/2^i ist (aktual) unendlich.
> >
> > Ob aktual oder potentiell unendlich hat wohl keinen groï¿œen Einfluss
> > auf das Ergebnis.
>
> Das meine ich ja auch. Nur scheint es mir, als wï¿œrde manchmal das
> aktual Unendliche als unmï¿œglich erachtet. Ohne die aktual unendlich
> vielen Elemente fehlt aber was am Wert 2.
>
>
So ist es ja auch. Das aktual Unendliche ist unmoeglich, da in sich
widerspruechlich. Wenn es eine akual unendliche (An-)Zahl gaebe,
muesste eine der natuerlichen Zahlen diese (An-)Zahl angeben, da es ja
aktual unendlich viele natuerliche Zahlen geben sollte. Die aktual
unendliche Anzahl der natuerlichen Zahlen erforderte eine aktual
unendliche Summation von Einsen und damit eine aktual unendliche
natuerliche Zahl. Dies widerspricht aber unserem Wissen, dass es keine
letzte oder groesste natuerliche Zahl geben kann und dass jede
natuerliche Zahl einen Nachfolger besitzt.
Dass man z.B. dem Verhaeltnis 1/3 die (endliche) Zeichenkette
0.3333... zuordnet ist reine Konvention (per Definition), die sich
dadurch begruendet, dass zum einen der Ausdruck 0.3333... algebraisch
nicht definiert (und damit unbelegt) ist und zum anderen mit diesem
Ausdruck intuitives Rechnen moeglich ist.
Dasselbe gilt natuerlich auch fuer die unendliche Summe 0.9999... oder
der Summe aller unendlich vielen 1/2^i.
Gruss
AS
Albrecht
Ralf Bader schrieb:
> Christopher Creutzig wrote:
>
> > Albrecht wrote:
> >> Man weiss seit Goedel, dass wir von einer hinreichend maechtigen
> >> Mathematik nicht wissen koennen ob sie widerspruchsfrei ist.
> >
> > Fast.
>
> Nein. Die Storzsche Behauptung ist, hmm, ich sage mal: unrichtig. Cf.
> http://www.sm.luth.se/~torkel/eget/godel/second.html
Na, es wurde aber wirklich Zeit diese bahnbrechende, umwaelzende
Erkentniss bekanntzugeben. Da werden aber einige Buecher umgeschrieben
werden muessen. Es gibt viel zu tun, pack's an. :-)
AS
Ulrich Lange
> Am Sun, 26 Apr 2009 12:17:05 +0200 schrieb Ulrich Lange:
>
>> ... mit ihren ohnehin schon albernen Bäumchen und Listen ...
>
Hallo Herbert,
daß ich *da* recht habe, ist nach Jahren des immergleichen Schwachsinns
offensichtlich.
Erstaunlich ist aber, daß man trotzdem hier immer mal wieder was lernt:
Dem von Ralf geposteten Link auf die Seite von Torkel Franzen
http://www.sm.luth.se/~torkel/eget/godel/second.html
habe ich entnommen, dass man mit dem heuristischen "Reflection
principle" dem (eigentlich natürlich unmöglichen) Beweis der
Widerspruchsfreiheit von ZFC *innerhalb von ZFC* doch recht nahe kommt.
Zumindest die Optionen zur Konstruktion eines Widerspruchs innerhalb von
ZFC werden dadurch doch drastisch eingeschränkt.
Es würde mich interessieren, ob ich mit dieser Interpretation von
Franzens Text auch "Recht habe".
P.S.:
Der Grund dafür, dass das "Reflection Principle" kein Satz in ZFC sein
kann, birgt eine gewisse Ironie. Zitat:
"Why can't this proof be carried out in ZFC? The answer lies in the
difference between
For every finite set A1,A2,..An of axioms of ZFC, it is
provable in ZFC that these axioms are consistent
and
It is provable in ZFC that for every finite set A1,A2,..An
of axioms of ZFC, these axioms are consistent
Only the first of these statements is true, not the second."
Wenn es also mit dem *Quantorenvertauschen* keine Probleme gäbe, wäre
auch das zweite Statement wahr und man hätte doch tatsächlich einen
echten Widerspruchsfreiheitsbeweis ;-)
Christopher Creutzig
> Christopher Creutzig wrote:
>
>> Albrecht wrote:
>>> Man weiss seit Goedel, dass wir von einer hinreichend maechtigen
>>> Mathematik nicht wissen koennen ob sie widerspruchsfrei ist.
>> Fast.
>
> Nein. Die Storzsche Behauptung ist, hmm, ich sage mal: unrichtig. Cf.
> http://www.sm.luth.se/~torkel/eget/godel/second.html
Nun, der Autor jener interessanten Seite stellt die Frage, ob Gödels
zweiter Unvollständigkeitssatz das aussagt, irgendwie ja selbst als
Glaubensfrage dar. (Wie so oft ist die Interpretation eines Ergebnisses
in außermathematischen Sätzen anscheinend auch hier schwieriger als der
Satz selbst – ohne seinen Beweis.) Und auch ein Konsistenzbeweis für ZFC
außerhalb von ZFC muss ja auf irgend etwas aufbauen, sagen wir auf X.
Nun lässt sich die Konsistenz von ZFC+X aber nicht innerhalb von ZFC+X
zeigen …
Da steckt jetzt vermutlich ein Denkfehler drin, sonst hättest Du das
oben zitierte ja nicht unbedingt geschrieben. Aber ich bin ja u.A. zum
Lernen hier, und Argumente vorbringen und entkräften lassen ist ja ein
recht probater Weg dafür … magst Du mich erhellen?
Christopher Creutzig
>> Nein. Das gilt für endlich viele. Beispielsweise leicht durch
>> vollständige Induktion zu beweisen – nur beweist vollständige Induktion
>> eine Aussage eben für alle (unendlich vielen) *endlichen* Zahlen.
>
> Richtig, für alle. Mein Beweis gilt für alle endlichen natürlichen
> Zahlen --- und andere natürliche Zahlen gibt ja auch nicht. Jedenfalls
Soweit gut. Wobei „für alle“ das Gleiche bedeutet wie „für jede
einzelne“. Die zu beweisende Aussage bezog sich allerdings auf eine
nicht-natürliche Zahl, nämlich die Anzahl der Einsen in 0,111... Schön,
dass wir uns einig sind, dass der offensichtliche und hier nirgends
vorgelegte Induktionsbeweis, den Du offensichtlich auch im Kopf hattest,
dabei nicht hilft.
>> Du
>> versuchst aber, die Aussage für eine unendliche Anzahl anzuwenden,
>
> Keineswegs. Ich verwende gar nicht die "unendliche Anzahl". Sie kommt
> in meinem Beweis gar nicht vor. Ich zeige nur, dass für jedes Paar von
Sie kommt in der Behauptung vor. Die Behauptung ist, es gebe eine
(einzelne) Listenzahl, die alle (unendlich vielen) Stellen von 0,111...
„abdeckt“. Und Du versuchst, einen Beweis, der für jede endliche Anzahl
greift, darauf anzuwenden. Ohne Begründung, warum das gehen sollte, ist
das zum Scheitern verurteilt. Also *sollte* im Beweis irgendwo die
unendliche Anzahl von Einsen in 0,11... vorkommen.
>>>>> Nun betrachte die folgende endliche Cantor-Liste mit "linearen" Zahlen
>>>>> 000
>>>>> 100
>>>>> 110
>>>>> Die Diagonalzahl 111 enthält eine Stelle, nämlich die letzte, an der
>>>>> sie sich notwendig von jeder Listenzahl unterscheidet.
>>>> Richtig. Und? Das kann vorkommen.
>>> Aber bei linearen Mengen *muss* es vorkommen!
>> Beweis? (Hint: Für endliche „lineare Mengen“ ist das leicht zu
>> beweisen, aber mir fallen nur Beweise ein, die die Endlichkeit
>> voraussetzen.)
>
> Der Beweis ist einfach: Wenn Deine Behauptung richtig wäre, dass zu
> jeder 1 aus 0,111... eine sie überdeckende Listenzahl existiert, aber
Wir sind gerade bei einer anderen Behauptung, für die ich nach einem
Beweis gefragt habe. Lern bitte gründlicher zu lesen. Aber gut,
ignorieren wir für den Moment meine Bitte um einen Beweis für obige
Behauptung.
> nicht eine einzige zu allen existiert, dann muss die oben dargestellte
> Linearität versagen. Dann werden mehr als zwei Listenzahlen benötigt,
> um zwei Ziffern, a und b, abzudecken.
Keineswegs. Das ist auch nicht meine Behauptung. Meine Behauptung ist,
dass man mehr als zwei, sogar mehr als endlich viele, Listenzahlen
braucht, um *unendlich* *viele* Einsen abzudecken. Jede beliebige
*endliche* Anzahl lässt sich trivialerweise durch eine einzelne
Listenzahl erledigen. Behaupte bitte nicht noch einmal, ich würde so
etwas auch nur im Ansatz für zwei Ziffern oder sonst irgendeine endliche
Anzahl sagen. Oder zeig mir, wo ich das getan hätte, damit ich meinen
Fehler korrigieren kann.
> Diese Argument bedarf aber eines
> starken Glaubens an den unendlichen Zahlengott, der aktual alle Zahlen
> kennt, und seinen Propheten Cantor, oder anders gesagt, es ist
> offensichtlich falsch.
Weißt Du, ich unterstelle Dir doch auch nicht ständig in albernster
Weise irgendwelchen unmotivierten Glauben. Dass Du das nötig zu haben
scheinst, lässt mich aber sehr an Deiner Selbstsicherheit, Fähigkeit zum
halbwegs wissenschaftlichen Disput, allgemeiner Bildung jenseits des
Fachlichen und Deiner Bereitschaft, Dich durch Sachargumente überzeugen
zu lassen zweifeln, um nur die ersten paar Dinge zu nennen, die mir
dabei durch den Kopf gehen. Geh doch bitte davon aus, dass ich keines
der genannten Argumente ohne eigenes Überlegen und langes Abwägen
akzeptiert habe. Es ist ja durchaus möglich, sogar wahrscheinlich, dass
ich durch die Auswahl der präsentierten Resultate und ihre Reihenfolge
stark geprägt wurde, und es ist durchaus möglich, dass ich bei meinen
Überlegungen vieles übersehen habe, aber mir da irgendeinen dumpfen
Aberglauben zu unterstellen wirkt irgendwie kindergartenmäßig.
> Es ist Dir und jedem anderen auch unmöglich, zwei solche Ziffern a und
> b vorzuweisen, und der Verweis darauf, dass Du sogar unendlich viele
> hättest, wird leicht als unmathematische Hochstapelei durchschaut ---
> jedenfalls von Leuten, "die darüber hinaus sehen können".
Ich behaupte nicht, „sogar“ unendlich viele zu haben. Im Gegentei, ich
habe diese Unterstellung(!) Deinerseits bereits mehrfach ausdrücklich
zurückgewiesen, und die Tatsache, dass Du das ignorierst, zeigt einen
massiven Mangel an intellektueller Integrität.
Ich behaupte, dass das Argument, man brauche nur weit genug in der
Liste nach hinten zu gehen, genau für jede endliche Anzahl greift. Damit
ist es an Dir, irgendein sachliches(!) Argument zu nennen, warum das
auch für unendlich viele Einsen gelten solle.
>>> Selbst wenn man von der Prämisse ausgeht, dass es unendlich viele
>>> natürliche Zahlen gibt: Durch unendliche viele endliche Einserfolgen
>>> wird keine unendliche Einserfolge erzeugt, denn sonst hätten wir ja
>>> auch eine unendliche natürliche Zahl.
>> Was bedeutet hier das „Erzeugen“? Benutz doch nicht immer so schwammige
>> Worthülsen.
>
> Die Breite der Liste wird durch die Zahlen, die darinstehen, erzeugt.
Aha. Das ist also so etwas wie die Kardinalität der Menge der
Listenelemente. Dann ist Deine Behauptung falsch. Du kannst gerne einen
Beweis dafür vorlegen, aber durch Wiederholung der Behauptung wird
nichts bewiesen, und ein Verweis auf irgendeine Anschauung oder
Intuition ersetzt auch keinen Beweis.
>>> Die Liste enthält Zahlen mit mehr Einsen als in der Zahl 0,111...
>>> vorkommen.
>>> Beweis: Greife eine Einsen der Zahl 0,111... heraus. Dazu gibt es eine
>> Falls das ein Versuch sein soll, den Beweis für das nicht-Vorhandensein
>> der 0,111... in der Liste abzuändern, ist er gescheitert. Das fängt
>> damit an, dass es in dem von mir angegebenen Beweis nicht um irgendeine
>> Anzahl geht, sondern schlicht um die Frage: „Ist 0,111... in der Liste
>> enthalten?“ Zur Untersuchung der Frage nach der Anzahl ist das
>> Betrachten einzelner Elemente nur in Ausnahmefällen geeignet.
>
> So ist es auch mit Deinem Beweis. Bei Annahme des aktual Unendlichen,
Ich untersuche keine Anzahl. Ich untersuche das Vorhandensein eines
Elementes in einer Liste. Und ein Element ist genau dann in einer Liste
enthalten, wenn es einen einzelnen eintrag gibt, der genau dieses
Element ist.
> sind alle aktual existierenden indizierten Stellen durch Listenzahlen
> mit Einsen abgedeckt. Also gibt es auch die Zahl, die für jeden
> natürlichen Index eine 1 enthält. Zur Untersuchung dieser Frage ist
> das
> Betrachten einzelner Elemente nur in Ausnahmefällen geeignet.
Das „also“ ist eine unbegründete Behauptung, und der letzte Satz ist
offensichtlicher Unsinn, denn ein Eintrag ist genau dann in einer Liste
enthalten, wenn es ein einzelnes Element gibt, das mit diesem Eintrag
identisch ist.
>>>> Übrigens waren wir in diesem Subthread eigentlich noch bei Quantoren
>>>> und ihrer Reihenfolge.
>>> In linearen Mengen spielen Sie keine Rolle.
>> Der Beweis steht noch aus. Vielleicht kommt er ja bald, sonst werde ich
>> ihn wahrscheinlich nicht mehr lesen.
>
> Stell Dir einen Schlüssel a vor, der Schloss A schließt, einen
> weiteren Schlüssel b, der die Schlösser A und B schließt, und, wenn
Ich vermute, zur Voraussetzung gehört, dass die Aufzählung der
Schlösser jeweils abschließend ist, also bspw. Schlüssel a nicht noch
Schloss C schließt?
> nötig, noch einen dritten Schlüssel c, der die Schlösser A, B und C
> schließt. Wenn diese Schlüsselkette ohne Ende fortgesetzt wird, dann
> gibt es einen Schlüssel, der jedes Schloss schließt, das von
> mindestens einem der Schlüssel geschlossen wird.
Angenommen, diese Behauptung wäre richtig. Den postulierten Schlüssel
nennen wir (das ist keinerlei Einschränkung, wir vergeben ja nur einen
Namen für etwas, das existiert) い. Da die „Schlüsselkette“ ohne Ende
fortgesetzt wird, gibt es in der Kette noch einen Schlüssel nach い.
Sagen wir ろ, und sein Schloss sei ロ. Mit der ergänzten Voraussetzung
hätten wir also einen Widerspruch, da Schlüssel い das Schloss ロ nicht
offnet.
Ohne diese ergänzende Annahme besteht allerdings kein Zusammenhang mehr
mit der Liste, und auch nicht mit „linearen Mengen“.
Abgesehen davon hast Du hier als „Beweis“ nur eine Umformulierung der
Behauptung gebracht, in linearen Mengen dürfe man die Reihenfolge von
Quantoren vertauschen, wobei Du den eigentlich zu beweisenden Schritt
wiederum nur vorausgesetzt hast. So eine Behauptung, wie Du sie nun
einmal allgemein aufgestellt hast, müsste auch ganz allgemein bewiesen
werden – oder in der gegebenen Allgemeinheit zurückgezogen, da bricht ja
auch niemand ein Zacken aus der Krone bei. Es ist in einem Disput ja
schließlich völlig normal, Dinge zurückzunehmen, die man behauptet hat.
Ach ja: Deine Behauptung mit den Schlüsseln und Schlössern ist
natürlich äquivalent zu der Behauptung, es gebe eine größte natürliche
Zahl. Das erleichtert den Gegenbeweis ziemlich. :-)
Christopher Creutzig
> Mal im Ernst: WORÜBER willst du mit jemandem -in einem mathematischen Kontext-
> (ernsthaft) "diskutieren", dem nicht klar ist, dass man aus der Aussage
Die Frage geistert mir irgendwie auch immer stärker im Kopf herum. Sorry.
fiesh
> Erstaunlich ist aber, daß man trotzdem hier immer mal wieder was lernt:
> Dem von Ralf geposteten Link auf die Seite von Torkel Franzen
> http://www.sm.luth.se/~torkel/eget/godel/second.html
> habe ich entnommen, dass man mit dem heuristischen "Reflection
> principle" dem (eigentlich natürlich unmöglichen) Beweis der
> Widerspruchsfreiheit von ZFC *innerhalb von ZFC* doch recht nahe kommt.
> Zumindest die Optionen zur Konstruktion eines Widerspruchs innerhalb von
> ZFC werden dadurch doch drastisch eingeschränkt.
Inwiefern werden denn hier Moeglichkeiten eingeschraenkt?
> Es würde mich interessieren, ob ich mit dieser Interpretation von
> Franzens Text auch "Recht habe".
>
> P.S.:
> Der Grund dafür, dass das "Reflection Principle" kein Satz in ZFC sein
> kann, birgt eine gewisse Ironie. Zitat:
Das Reflexionsprinzip ist "ein" Satz in ZFC, naemlich der erste der unten
genannten beiden. Das "ein" habe ich in Anfuehrungszeichen gesetzt,
denn es ist ein Schema von Saetzen, fuer je endliche viele Axiome gilt
der Satz.
> "Why can't this proof be carried out in ZFC? The answer lies in the
> difference between
> For every finite set A1,A2,..An of axioms of ZFC, it is
> provable in ZFC that these axioms are consistent
> and
> It is provable in ZFC that for every finite set A1,A2,..An
> of axioms of ZFC, these axioms are consistent
> Only the first of these statements is true, not the second."
>
> Wenn es also mit dem *Quantorenvertauschen* keine Probleme gäbe, wäre
> auch das zweite Statement wahr und man hätte doch tatsächlich einen
> echten Widerspruchsfreiheitsbeweis ;-)
Quantorenvertauschung ist hier im Prinzip nicht das richtige Wort, mehr
das Vertauschen der Beweisbarkeit mit dem Allquantor. Aus "fuer alle n
gilt T |- phi(n)" kann man eben nicht "T |- fuer alle n phi(n)" folgern.
Endlichkeit im Modell und ausserhalb sind verschieden.
--
fiesh
Peter Niessen
>> Das meine ich ja auch. Nur scheint es mir, als wï¿œrde manchmal das
>> aktual Unendliche als unmï¿œglich erachtet. Ohne die aktual unendlich
>> vielen Elemente fehlt aber was am Wert 2.
>>
>>
>
> So ist es ja auch. Das aktual Unendliche ist unmoeglich, da in sich
> widerspruechlich.
???
> Wenn es eine akual unendliche (An-)Zahl gaebe,
Es gibt sie!
> muesste eine der natuerlichen Zahlen diese (An-)Zahl angeben,
Nein!
Natürliche Zahlen sind bekanntlich endlich. Ergo: Das geht nicht.
> da es ja aktual unendlich viele natuerliche Zahlen geben sollte.
Was wohl stimmt.
> Die aktual unendliche Anzahl der natuerlichen Zahlen erforderte eine
> aktual unendliche Summation von Einsen und damit eine aktual unendliche
> natuerliche Zahl.
Nochmal: Nein!
> Dies widerspricht aber unserem Wissen, dass es keine letzte oder groesste
> natuerliche Zahl geben kann und dass jede natuerliche Zahl einen
> Nachfolger besitzt.
Halte dich an die Peano-Axiome. Da ist kristallklar formuliert was
mathematisch unter einer unendlichen Menge zu verstehen ist. Die Axiome von
ZFC verallgemeinern das nur und sonst nichts.
Das Geschwafel mit aktual und potentiell Unendlich ist mathematisch
unerheblich und auch philosopisch schlichte Steinzeit. Unendlich ist
Unendlich (zumindest wie bei Peano) und sonst nichts.
--
Mit freundlichen Grüssen:
Peter Niessen
Rainer Rosenthal
zur Aussage
RR: Summe{i=1..oo} 1/2^i = 2. (1)
RR:
RR: Die Menge der Summanden 1/2^i ist (aktual) unendlich.
RR: Ohne die aktual unendlich vielen Elemente fehlt aber
RR: was am Wert 2.
> So ist es ja auch. Das aktual Unendliche ist unmoeglich, da in sich
> widerspruechlich.
Kann es sein, dass sowohl Du, Albrecht, als auch WM sich
an der Aussage (1) stossen? Das ist konsequent, muss ich sagen.
Wer das (aktual) Unendliche ablehnt, muss konsequenterweise die
Aussage (1) ablehnen.
Damit habe ich immerhin eine klare Aussage von Euch beiden
Unendlichkeits-Gegnern, was mich erst einmal freut. Bevor ich
mich aber zu früh gefreut habe, möchte ich nur kurz rückfragen,
ob ich das nun wirklich richtig verstanden habe.
Ich sagte, dass man (1) nur mit dem Unendlichen haben kann, und
Ihr bestätigt es mir, indem Ihr sagt: das Unendliche existiert
nicht und folglich ist (1) falsch.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Martin Vaeth
>
> Das Reflexionsprinzip ist "ein" Satz in ZFC, naemlich der erste der unten
> genannten beiden.
Was mich hierbei interessieren wuerde:
Ist im selben schwachen Sinne auch die Konsistenz von
ZFC + "Inaccessible Cardinal" innerhalb von (nur) ZFC
plausibel begruendbar?
> Quantorenvertauschung ist hier im Prinzip nicht das richtige Wort, mehr
> das Vertauschen der Beweisbarkeit mit dem Allquantor. Aus "fuer alle n
> gilt T |- phi(n)" kann man eben nicht "T |- fuer alle n phi(n)" folgern.
> Endlichkeit im Modell und ausserhalb sind verschieden.
So hatte ich das auch aufgefasst: Das "n" von "ausserhalb" koennte
sozusagen aus einer anderen Menge stammen, als das "n" von "innerhalb".
Was ich mich nun frage: Wenn man nun "nur" wuesste, dass es ein
konsistentes Modell von N gibt, koennte man dieses dann nicht
sowohl ausserhalb als auch innerhalb "postulieren" ("innerhalb" beduerfte
das sicher einer aufwaendigen Konstruktion) und damit die Konsistenz von
ganz ZFC erhalten? Anders ausgedrueckt: Kann man von der Konsistenz der
Peano-Axiome auf die Konsistenz von ZFC schliessen?