我也出个题，一道空间几何题，我们该如何思考？

[dailiangren]

一个空间四边形A1A2A3A4，它的四条边A1A2, A2A3, A3A4, A4A1都与一个给定的球相切。求证，这四个切点共面。

[dailiangren]

我觉得这个问题要有个前提条件，即空间位置成异面直线的两对线段的长度和应该相等，否则是不可能的。

 

---

dailiangren

2008-05-06

---

发件人： dailiangren

发送时间： 2008-05-06 19:56:17

收件人： TopLanguage

抄送：

主题： [TopLanguage] 我也出个题，一道空间几何题，我们该如何思考？

[hayate]

如果是这样，也不算是前提条件，只能算是由题意的推论。

 

另外，赤果果的数学题也要在这里讨论吗？XD

2008/5/6 dailiangren <daili...@gmail.com>:

[dailiangren]

你有你的观点，我有我的角度。
我觉得这道题，自有其特点，所以才转载。

On May 6, 9:58 pm, hayate <hayate...@gmail.com> wrote:
> 如果是这样，也不算是前提条件，只能算是由题意的推论。
>
> 另外，赤果果的数学题也要在这里讨论吗？XD
>

> 2008/5/6 dailiangren <dailiang...@gmail.com>:
>
> > 我觉得这个问题要有个前提条件，即空间位置成异面直线的两对线段的长度和应该相等，否则是不可能的。
>
> > ------------------------------
> > dailiangren
> > 2008-05-06
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> > *抄送：*
> > *主题：* [TopLanguage] 我也出个题，一道空间几何题，我们该如何思考？

[王磊]

反证

在08-5-7，dailiangren <daili...@gmail.com> 写道：

[张鹏程]

多年不玩空间几何了，已经废了。当年学的时候就不是很好。呵呵。

在08-5-7，王磊 <wangle...@gmail.com> 写道：

[windstorm]

这道题纯用空间几何不好证啊

lz难道有什么绝世妙招？

[王磊]

想了一会还是不能理清思路,到了空间里面脑袋不够用了.

可否假设不公面再推论出第四点到其它点所在面的距离为0,只是空间四边形的构成想不明白如何利用成有力的条件.

等达人证明一下.

在08-5-7，windstorm <likunar...@gmail.com> 写道：

[王刚]

呵呵，这不是一道标准的立体几何题么？忘得差不多了。

 

说下我的思路吧：

(1) 尽可能多的找出能证明四点共面的定理和公理(包括间接能证明的)。

(2) 结合已知条件对上一步的结果进行筛选。

(3) 试错与联想。

2008/5/7 王磊 <wangle...@gmail.com>:

[up duan]

还得有个限制条件吧。要求是欧氏空间。估计双曲和球面空间都会有变异吧。

2008/5/7 王刚 <ynm...@gmail.com>:

[hayate]

汗 应该是欧式空间吧

2008/5/7 up duan <fix...@gmail.com>:

[张鹏程]

别把问题复杂化吧，到非欧空间不是更不能想像了，而且在非欧任何里，是不是有共面的概念都不知道呢。
 

没看到pongba发言啊，他不是学数学的吗？

 

只要第四个点到另三个点所组成的面的距离是0，就是证明了四点共面了吧？看似应该是个思路。可以应用空间解析任何做一下。

 

不过，有个问题，是怎么个相切呢？内切？外切？要是外切，是不能证明的啊！
 

在08-5-7，hayate <haya...@gmail.com> 写道：

[windstorm]

要证明这个四点共面，用距离无法证吧？

我觉得应该从两点同线，两线共面可能更有戏一点。

[windstorm]

谁要能证明一下对角切点的连线通过球心，就可以了

[hayate]

直线和球相切好像只有一种吧

如果用解析几何的话，很容易就陷入到计算的汪洋大海里了

 

如果假设球是单位球的话，球心为原点，那么4条直线与球相切的充要条件就是到原点的距离为1，如果不怕繁琐，直线的方程，垂足什么的都是可以表达出来的，只不过....

2008/5/7 张鹏程 <holme...@gmail.com>:

[hayate]

嗯 基本证明了....果然陷入汪洋大海了..-_-

 

没有什么思路，主要是死算。考虑单位球，以球心为原点，则到4条直线的距离为1，连接原点O和四边形的顶点，以及4个垂足，可以得到8条向径，OA,OB,OC....etc 然后用点积叉积混合积什么的表达出共面的充要条件，然后就算算算.....

 

昨天在网上看到这道题时，出处使用的是一种物理证明，不过实在不能接受物理定理证明数学定理.....XD

 

另外，谨慎怀疑这个问题可以用射影几何更好的解释

2008/5/7 hayate <haya...@gmail.com>:

[windstorm]

hayate居然还记得这些解析几何......佩服

[hayate]

不完全是解析几何，没有使用坐标。

不过这种算几页纸的证明挺ugly的

2008/5/7 windstorm <likunar...@gmail.com>:

[张鹏程]

管他呢，不过，至少已经有一个合理可行的思路能证明了啊。

在08-5-7，hayate <haya...@gmail.com> 写道：

[sanachilleus]

A1A2A3A4写起来太麻烦，改成ABCD。
设与AB、BC、CD、DA都相切的球心为O，四个切点分别为P、Q、R、S。
容易得到：AP = AS, CQ = CR, BP = BQ, DR = DS,
所以(AP/PB) * (DS/SA) = (CQ/QB) * (DR/RC), AB - AD = CB - CD
设直线PS与直线DB相交于点M（平行则视为交于无穷远点），直线QR与直线BD相交与点N。
由平面几何中的梅涅劳斯定理，(AP/PB) * (BM/MD) * (DS/SA) = 1 = (CQ/QB) * (BN/ND) *
(DR/RC)
所以 BM/MD = BN/ND，由于AB - AD = CB - CD，所以点M和点N位于线段BD同一端。所以点M与点N重合。
所以直线PS与直线RQ相交。

On 5月8日, 上午11时26分, "张鹏程" <holmesco...@gmail.com> wrote:
> 管他呢，不过，至少已经有一个合理可行的思路能证明了啊。
>

> 在08-5-7，hayate <hayate...@gmail.com> 写道：
>
>
>
>
>
> > 不完全是解析几何，没有使用坐标。
> > 不过这种算几页纸的证明挺ugly的
>
> > 2008/5/7 windstorm <likunarmstr...@gmail.com>:
>
> > > hayate居然还记得这些解析几何......佩服

>
> > > On 5/7/08, hayate <hayate...@gmail.com> wrote:
> > > > 嗯 基本证明了....果然陷入汪洋大海了..-_-
>

> > > 没有什么思路，主要是死算。考虑单位球，以球心为原点，则到4条直线的距离为1，连接原点O和四边形的顶点，以及4个垂足，可以得到8条向径，OA,OB,OC-....etc

> > > > 然后用点积叉积混合积什么的表达出共面的充要条件，然后就算算算.....
>
> > > > 昨天在网上看到这道题时，出处使用的是一种物理证明，不过实在不能接受物理定理证明数学定理.....XD
>
> > > > 另外，谨慎怀疑这个问题可以用射影几何更好的解释

> > > > 2008/5/7 hayate <hayate...@gmail.com>:
>
> > > > > 直线和球相切好像只有一种吧
> > > > > 如果用解析几何的话，很容易就陷入到计算的汪洋大海里了
>
> > > 如果假设球是单位球的话，球心为原点，那么4条直线与球相切的充要条件就是到原点的距离为1，如果不怕繁琐，直线的方程，垂足什么的都是可以表达出来的，只不过-....
>
> > > > > 2008/5/7 张鹏程 <holmesco...@gmail.com>:

>
> > > > > > 别把问题复杂化吧，到非欧空间不是更不能想像了，而且在非欧任何里，是不是有共面的概念都不知道呢。
>
> > > > > > 没看到pongba发言啊，他不是学数学的吗？
>
> > > > 只要第四个点到另三个点所组成的面的距离是0，就是证明了四点共面了吧？看似应该是个思路。可以应用空间解析任何做一下。
>
> > > > > > 不过，有个问题，是怎么个相切呢？内切？外切？要是外切，是不能证明的啊！
>

> > > > > > 在08-5-7，hayate <hayate...@gmail.com> 写道：
>
> > > > > > > 汗 应该是欧式空间吧
>
> > > > > > > 2008/5/7 up duan <fixo...@gmail.com>:

>
> > > > > > > > 还得有个限制条件吧。要求是欧氏空间。估计双曲和球面空间都会有变异吧。
>
> > > > > > > > 2008/5/7 王刚 <ynm...@gmail.com>:
>
> > > > > > > > > 呵呵，这不是一道标准的立体几何题么？忘得差不多了。
>
> > > > > > > > > 说下我的思路吧：
> > > > > > > > > (1) 尽可能多的找出能证明四点共面的定理和公理(包括间接能证明的)。
> > > > > > > > > (2) 结合已知条件对上一步的结果进行筛选。
> > > > > > > > > (3) 试错与联想。
>

> > > > > > > > > 2008/5/7 王磊 <wanglei830...@gmail.com>:
>
> > > > > > > > > > 想了一会还是不能理清思路,到了空间里面脑袋不够用了.
>
> > > > 可否假设不公面再推论出第四点到其它点所在面的距离为0,只是空间四边形的构成想不明白如何利用成有力的条件.
>
> > > > > > > > > > 等达人证明一下.
>
> > > > > > > > > > 在08-5-7，windstorm <likunarmstr...@gmail.com> 写道：
>
> > > > > > > > > > > 这道题纯用空间几何不好证啊
>
> > > > > > > > > > > lz难道有什么绝世妙招？

>
> > > > > > > > > > > On 5/7/08, 张鹏程 <holmesco...@gmail.com> wrote:
> > > > > > > > > > > > 多年不玩空间几何了，已经废了。当年学的时候就不是很好。呵呵。
>

> > > > > > > > > > > > 在08-5-7，王磊 <wanglei830...@gmail.com> 写道：
> > > > > > > > > > > > > 反证
>
> > > > > > > > > > > > > 在08-5-7，dailiangren <dailiang...@gmail.com> 写道：

>
> > > > > > > > > > > > > > 你有你的观点，我有我的角度。
> > > > > > > > > > > > > > 我觉得这道题，自有其特点，所以才转载。
>
> > > > > > > > > > > > > > On May 6, 9:58 pm, hayate <hayate...@gmail.com>
> > > wrote:
> > > > > > > > > > > > > > > 如果是这样，也不算是前提条件，只能算是由题意的推论。
>
> > > > > > > > > > > > > > > 另外，赤果果的数学题也要在这里讨论吗？XD
>
> > > > > > > > > > > > > > > 2008/5/6 dailiangren <dailiang...@gmail.com>:
>
> > > > 我觉得这个问题要有个前提条件，即空间位置成异面直线的两对线段的长度和应该相等，否则是不可能的。
>
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> > > > > > > > > > > > > > > > dailiangren
> > > > > > > > > > > > > > > > 2008-05-06
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>
> > > > > > > > > > > > > > > > 一个空间四边形A1A2A3A4，它的四条边A1A2, A2A3, A3A4,

> > > > > > > > > A4A1都与一个给定的球相切。求证，这四个切点共面。- 隐藏被引用文字 -
>
> - 显示引用的文字 -

[hayate]

 太cool了! it's amazing. 简单明了 

可以用梅涅劳斯定理啊，果然是射影几何。

2008/5/8 sanachilleus <sanach...@gmail.com>:

[88250]

隐约记得这个题目是某年的高中数学联赛试题。。。。

2008/5/8 hayate <haya...@gmail.com>:

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My Blog: http://blog.csdn.net/DL88250
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Open Source, Open Mind, Open Sight, Open Future !

[hayate]

这样说来 我也觉得眼熟呢

2008/5/8 88250 <dl8...@gmail.com>:

[sanachilleus]

弱弱的问一句，"射影几何"是什么东东啊？难道是吧立体问题映射到平面上的系统理论？



On 5月8日, 下午2时52分, hayate <hayate...@gmail.com> wrote:
> 这样说来 我也觉得眼熟呢
>
> 2008/5/8 88250 <dl88...@gmail.com>:
>
>
>
> > 隐约记得这个题目是某年的高中数学联赛试题。。。。
>
> > 2008/5/8 hayate <hayate...@gmail.com>:

>
> > 太cool了! it's amazing. 简单明了
> > > 可以用梅涅劳斯定理啊，果然是射影几何。
>

> > > 2008/5/8 sanachilleus <sanachill...@gmail.com>:

>
> > > A1A2A3A4写起来太麻烦，改成ABCD。
> > > > 设与AB、BC、CD、DA都相切的球心为O，四个切点分别为P、Q、R、S。
> > > > 容易得到：AP = AS, CQ = CR, BP = BQ, DR = DS,
> > > > 所以(AP/PB) * (DS/SA) = (CQ/QB) * (DR/RC), AB - AD = CB - CD
> > > > 设直线PS与直线DB相交于点M（平行则视为交于无穷远点），直线QR与直线BD相交与点N。
> > > > 由平面几何中的梅涅劳斯定理，(AP/PB) * (BM/MD) * (DS/SA) = 1 = (CQ/QB) * (BN/ND) *
> > > > (DR/RC)
> > > > 所以 BM/MD = BN/ND，由于AB - AD = CB - CD，所以点M和点N位于线段BD同一端。所以点M与点N重合。
> > > > 所以直线PS与直线RQ相交。
>
> > > > On 5月8日, 上午11时26分, "张鹏程" <holmesco...@gmail.com> wrote:
> > > > > 管他呢，不过，至少已经有一个合理可行的思路能证明了啊。
>
> > > > > 在08-5-7，hayate <hayate...@gmail.com> 写道：
>
> > > > > > 不完全是解析几何，没有使用坐标。
> > > > > > 不过这种算几页纸的证明挺ugly的
>
> > > > > > 2008/5/7 windstorm <likunarmstr...@gmail.com>:
>
> > > > > > > hayate居然还记得这些解析几何......佩服
>
> > > > > > > On 5/7/08, hayate <hayate...@gmail.com> wrote:
> > > > > > > > 嗯 基本证明了....果然陷入汪洋大海了..-_-
>

> > > > 没有什么思路，主要是死算。考虑单位球，以球心为原点，则到4条直线的距离为1，连接原点O和四边形的顶点，以及4个垂足，可以得到8条向径，OA,OB,OC--....etc

> > > > > > > > 然后用点积叉积混合积什么的表达出共面的充要条件，然后就算算算.....
>
> > > > > > > > 昨天在网上看到这道题时，出处使用的是一种物理证明，不过实在不能接受物理定理证明数学定理.....XD
>
> > > > > > > > 另外，谨慎怀疑这个问题可以用射影几何更好的解释
> > > > > > > > 2008/5/7 hayate <hayate...@gmail.com>:
>
> > > > > > > > > 直线和球相切好像只有一种吧
> > > > > > > > > 如果用解析几何的话，很容易就陷入到计算的汪洋大海里了
>

> > > > 如果假设球是单位球的话，球心为原点，那么4条直线与球相切的充要条件就是到原点的距离为1，如果不怕繁琐，直线的方程，垂足什么的都是可以表达出来的，只不过--....

> > Open Source, Open Mind, Open Sight, Open Future !- 隐藏被引用文字 -
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[hayate]

不是的 我也不熟悉 说不好

射影几何是研究在射影变换下有哪些几何量不变的分支，射影变换简单的说就是类似各种投影

你刚才提到如果平行就理解为相交于无穷远点正是射影几何的公理之一，射影空间其实就是在欧氏空间中加入无穷远点形成的

 

而梅涅劳斯定理还包括一个塞瓦定理都可以视作射影几何的古典定理，它们的特点是不考虑长度角度这些度量关系，而是考虑共线共点这些射影不变量。

就知道这么多了...呵呵

2008/5/8 sanachilleus <sanach...@gmail.com>:

[dailiangren]

我就差一步

 

---

dailiangren

2008-05-08

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发件人： hayate

发送时间： 2008-05-08 14:43:11

收件人： pon...@googlegroups.com

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主题： [TopLanguage] Re: 我也出个题，一道空间几何题，我们该如何思考？

[pongba]

2008/5/7 张鹏程 <holme...@gmail.com>:

别把问题复杂化吧，到非欧空间不是更不能想像了，而且在非欧任何里，是不是有共面的概念都不知道呢。
 

没看到pongba发言啊，他不是学数学的吗？

 

只要第四个点到另三个点所组成的面的距离是0，就是证明了四点共面了吧？看似应该是个思路。可以应用空间解析任何做一下。

 

不过，有个问题，是怎么个相切呢？内切？外切？要是外切，是不能证明的啊！

汗，我是半路出家。而且，到了大学里面数学就基本没平面/立体几何的事了..

这玩意缺乏知识储备有点大海捞针的感觉，所以干脆闪一边了~

从sanachilleus牛给出的答案来马后炮，我发现就算我花上一天时间估计也是证不出来，有些步骤不是演绎、试错、联想、类比等等这些启发式手法所能及的。

熟悉相关知识的，短时间就能想到关键，不熟悉的，前面仿佛有无数种可能性，但就是没有一种是靠谱的。。。

--
刘未鹏(pongba)|C++的罗浮宫
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TopLanguage
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[pongba]

2008/5/8 pongba <pon...@gmail.com>:

2008/5/7 张鹏程 <holme...@gmail.com>:

别把问题复杂化吧，到非欧空间不是更不能想像了，而且在非欧任何里，是不是有共面的概念都不知道呢。
 

没看到pongba发言啊，他不是学数学的吗？

 

只要第四个点到另三个点所组成的面的距离是0，就是证明了四点共面了吧？看似应该是个思路。可以应用空间解析任何做一下。

 

不过，有个问题，是怎么个相切呢？内切？外切？要是外切，是不能证明的啊！

汗，我是半路出家。而且，到了大学里面数学就基本没平面/立体几何的事了..

这玩意缺乏知识储备有点大海捞针的感觉，所以干脆闪一边了~

从sanachilleus牛给出的答案来马后炮，我发现就算我花上一天时间估计也是证不出来，有些步骤不是演绎、试错、联想、类比等等这些启发式手法所能及的。

熟悉相关知识的，短时间就能想到关键，不熟悉的，前面仿佛有无数种可能性，但就是没有一种是靠谱的。。。

我当时只试了几种可能性，最后落在一个思路上：

不失一般性地构造出其中的三个切点，然后试图证明最后一个切点肯定位于前三个切点所确定的平面上。

但还是那句话，几何证明不像数论证明，后者用到的知识往往不是很多，几何证明往往可能的路径一大把，就是不知道那条能通往答案。如果要加辅助线的话更是要人老命的事，很多都不是可以系统化运用一些方法来求解的。这也是为什么在数学里面发现比证明要容易得多的原因，因为发现只涉及观察，归纳和一定的演绎，都是"正"着搞的过程。而证明却是"反"着搞。

BTW. 如果有人也和我一样的思路并且走出结果的麻烦告诉我，嘿嘿:)

[张鹏程]

我觉得，数学里，证明是最难的，是一个考智商的玩意儿。

在08-5-8，pongba <pon...@gmail.com> 写道：

[windstorm]

智商和知识面缺一不可

[hayate]

智商高可以弥补知识的缺乏

知识反过来也可以 如果目标是问题的解决的话

2008/5/8 windstorm <likunar...@gmail.com>:

[hayate]

我把我冗长的证明也写一下。

符号还是采用前述
设四边形为ABCD。

设与AB、BC、CD、DA都相切的球心为O，四个切点分别为P、Q、R、S。

容易得到并设：|AP| = |AS| = a, |CQ| = |CR| = b, |BP| = |BQ| = c, |DR| = |DS| = d

PSRQ共面的充要条件可以理解成，由PSR决定一个平面，Q满足平面的方程。于是

((OS - OP) , (OQ - OP) , (OR - OQ)) = 0, 这里O*都是向量，整体表示3个向量的混合积为0，这个等式是我们需要验证的

 

再考虑OA OB OC OD与 OS OP OQ OR的关系，易得，

OS = (a/(a+d))OA + (d/(a+d))OD

OP OS OQ可以相仿得出

 

那么代入上式化简，最终可以得到形如 a1(OA,OB,OC) + a2(OA,OB,OD) + a3(OB,OC,OD) + a4(OA,OC,OD) 的式子
最后经过漫长的化简，你会发现,a1=a2=a3=a4=0，于是得证

 

这就说明了知识或者说高级的工具可以减少智力的负担，整个过程很有目的性，就是验证结果。不需要辅助线，甚至可以脱离几何直观，用纯代数的手段证明。

从精巧和优雅上来说，那个初等证明很好很强大，需要更高的技巧和智慧。

后者就机械的多，但是却更容易操作，使得一般人也可以轻易找到思路。

 

2008/5/8 hayate <haya...@gmail.com>: