Trojkaty o dlugosciach bokow i polu powierzchni calkowitym
Mateusz Kwasnicki
Jesli trojkat ma wierzcholki w punktach kratowych (tzn. w punktach o obu
wspolrzednych calkowitych) plaszczyzny, to oczywiscie jego pole
powierzchni jest wielokrotnoscia 1/2. Jesli dodatkowo zalozymy, ze ma
boki o dlugosciach calkowitych, to wzor Herona powie nam, ze jego pole
powierzchni rowniez jest liczba calkowita.
Zalozmy teraz, ze mamy dany trojkat, ktorego boki maja dlugosci
calkowite i ktorego pole powierzchni jest liczba calkowita. Czy wowczas
ten trojkat jest przystajacy do pewnego trojkata o wierzcholkach w
punktach kratowych?
Wszystko podpowiada, ze tak jest w istocie, lecz nie umiem tego
udowodnic. Proponuje konkurs z symboliczna nagroda: osobe, ktora poda i
uzasadni odpowiedz na postawione wyzej pytanie, gotow jestem zaprosic na
ciasto i herbate.
--
Serdecznie pozdrawiam,
Mateusz Kwasnicki
Lech Duraj
> Zalozmy teraz, ze mamy dany trojkat, ktorego boki maja dlugosci
> calkowite i ktorego pole powierzchni jest liczba calkowita. Czy wowczas
> ten trojkat jest przystajacy do pewnego trojkata o wierzcholkach w
> punktach kratowych?
Weźmy trójkąt o bokach 7,10,15 i polu 864. Ciężko jest dobrać dwa punkty
kratowe tak, żeby ich odległość była równa 7 - trzeba rozłożyć 49 na
sumę dwóch kwadratów, co można zrobić tylko w jeden sposób: 49 = 0+49.
To oznacza, że bok o długości 7 musi być odcinkiem położonym pionowo lub
poziomo. Ponieważ 10^2 rozkłada się na dwa sposoby: 100 = 36+64 = 0+100,
są tylko 3 (można sprawdzić) możliwości "doczepienia" boku 10 tak, żeby
trzeci wierzchołek wypadł w punkcie kratowym. Wydaje mi się, że żaden
nie da trzeciego boku równego 15.
--
Pozdrawiam
Lech Duraj
Mateusz Kwasnicki
Lechu, na ciasto i herbate chetnie sie z Toba umowie, kiedy tylko wpadne
do Krakowa, ale Twoj przyklad jest bledny. Trojkat o bokach 7, 10, 15
ma pole 12\sqrt{6} -- niecalkowite. A juz na pewno mniejsze od 150 ,
pola prostokata o bokach 10 i 15 .
Sprawdzilem dla wszystkich trojkatow o bokach nie przekraczajacych 100
i (jesli nie popelnilem bledu w programie) przy takim ograniczeniu
odpowiedz na moje pytanie jest pozytywna.
--
Z serdecznymi pozdrowieniami,
Mateusz Kwasnicki
Lech Duraj
> Trojkat o bokach 7, 10, 15
> ma pole 12\sqrt{6} -- niecalkowite. A juz na pewno mniejsze od 150 ,
> pola prostokata o bokach 10 i 15 .
>
> Sprawdzilem dla wszystkich trojkatow o bokach nie przekraczajacych 100
> i (jesli nie popelnilem bledu w programie) przy takim ograniczeniu
> odpowiedz na moje pytanie jest pozytywna.
Super. Zapomniałem pierwiastka we wzorze Herona. Nic, pomyślę jeszcze.
--
Pozdrawiam
Lech Duraj
Jurek - apple
> wspolrzednych calkowitych) plaszczyzny, to oczywiscie jego pole
> powierzchni jest wielokrotnoscia 1/2. Jesli dodatkowo zalozymy, ze ma
> boki o dlugosciach calkowitych, to wzor Herona powie nam, ze jego pole
> powierzchni rowniez jest liczba calkowita.
>
> Zalozmy teraz, ze mamy dany trojkat, ktorego boki maja dlugosci
> calkowite i ktorego pole powierzchni jest liczba calkowita. Czy wowczas
> ten trojkat jest przystajacy do pewnego trojkata o wierzcholkach w
> punktach kratowych?
Mój kandydat na kontrprzyklad do trójkat o bokach 13, 14 i 15
pole wówczas wynosi 84
a o ile sie nie myle, to jedyny sposób uzykania odleglosci 14 i 15 miedzy
punktami kratowymi to wybranie punktów o wspólnej jednej wspólrzednej
Jurek
Jurek - apple
Jurek
Jurek - apple
> > i (jesli nie popelnilem bledu w programie) przy takim ograniczeniu
> > odpowiedz na moje pytanie jest pozytywna.
Nie popełniłeś! Sam sprawdziłem dla boków nie większych niż 1000 i twoja hip
oteza się potwierdziła (sprawdzam teraz dla nie większych niż 100000).
Co do dowodu wydaje mi się, że można by było spróbować rozbić na III przypad
ki
I) 2 odcinki leżą na prostych wyznaczonych przez punkty kraty
II) 1 odcinek leży na prostych wyznaczonych przez punkty kraty
III) żaden odcinek nie leży na w/w prostych.
Zastanawiam się czy istnieje taka trójka długości, by należała do III przypa
dku.
Jeśli nie, wydaje mi się, że twój problem mógłby się okazać znacznie prostsz
y.
Jurek
Mateusz Kwasnicki
> > > Sprawdzilem dla wszystkich trojkatow o bokach nie przekraczajacych 100
> > > i (jesli nie popelnilem bledu w programie) przy takim ograniczeniu
> > > odpowiedz na moje pytanie jest pozytywna.
>
> Nie popełniłeś! Sam sprawdziłem dla boków nie większych niż 1000 i twoja hip
> oteza się potwierdziła (sprawdzam teraz dla nie większych niż 100000).
Twardziel! :-)
A powaznie:
> Co do dowodu wydaje mi się, że można by było spróbować rozbić na III przypadki
> I) 2 odcinki leżą na prostych wyznaczonych przez punkty kraty
> II) 1 odcinek leży na prostych wyznaczonych przez punkty kraty
> III) żaden odcinek nie leży na w/w prostych.
>
> Zastanawiam się czy istnieje taka trójka długości, by należała do III przypa
> dku.
Tak, na przyklad trojka 5, 29, 30 .
Mozna jednak pokazac (bezposrednim rachunkiem), ze dla kazdej trojki
bokow a, b, c spelniajacej warunek calkowitego pola, trojkat o bokach
2a^2, 2ab, 2ac (a wiec 2a -krotnie powiekszony) mozna ulozyc na
plaszczyznie tak, by wierzcholki byly w punktach kratowych, zas bok
dlugosci 2a^2 byl poziomy. Stad juz chyba tylko krok do pelnego
rozwiazania.
--
Pozdrawiam,
Mateusz Kwasnicki