Fotone, quantità di moto, energia e radiometro di Crookes
anto.max
Supponiamo di possedere un radiometro di Crookes nel quale è stato fatto
un vuoto molto spinto, con le palette perfettamente riflettenti da un
lato e perfettamente assorbenti dall'altro, senza attriti e leggerissimo
così da spostarsi se colpito da un singolo fotone. Un tale radiometro
può ruotare, se investito da un fascio di luce, solo per la "pressione
di radiazione" (il movimento che osserviamo nei comuni radiometri a
causa dello scorrimento termico del gas rarefatto non è possibile perchè
abbiamo fatto un vuoto molto spinto).
Ora supponiamo che un singolo fotone con energia hv colpisca
perpendicolarmente il lato riflettente di una paletta.
Per quello che so io:
-Il fotone ha quantità di moto +hv/c e viene riflesso.
-Il fotone riflesso avrà quantità di moto -hv/c.
-Alla paletta sarà trasferita una quantità di moto +2hv/c e si muoverà
con una certa velocità.
La paletta avrà quindi acquisito anche una certa energia cinetica che
deve aver ricevuto dal fotone.
Ma allora il fotone riflesso non potrà avere la frequenza v ma una
frequenza minore v'.
Quindi un raggio di luce riflesso ha sempre una frequenza minore di
quello incidente e se fosse monocromatico lo dovrei vedere di colore
diverso.
Qual'è la spiegazione giusta?
Grazie e ciao.
Giorgio Bibbiani
> Supponiamo di possedere un radiometro di Crookes nel quale è stato
> fatto un vuoto molto spinto, con le palette perfettamente riflettenti
> da un lato e perfettamente assorbenti dall'altro, senza attriti e
> leggerissimo così da spostarsi se colpito da un singolo fotone. Un
> tale radiometro può ruotare, se investito da un fascio di luce, solo
> per la "pressione di radiazione" (il movimento che osserviamo nei
> comuni radiometri a causa dello scorrimento termico del gas rarefatto
> non è possibile perchè abbiamo fatto un vuoto molto spinto).
> Ora supponiamo che un singolo fotone con energia hv colpisca
> perpendicolarmente il lato riflettente di una paletta.
> Per quello che so io:
> -Il fotone ha quantità di moto +hv/c e viene riflesso.
> -Il fotone riflesso avrà quantità di moto -hv/c.
> -Alla paletta sarà trasferita una quantità di moto +2hv/c e si
> muoverà con una certa velocità.
Questo e' vero se la paletta e' tenuta fissa, altrimenti
il valore di v cambiera' nella riflessione.
> La paletta avrà quindi acquisito anche una certa energia cinetica che
> deve aver ricevuto dal fotone.
> Ma allora il fotone riflesso non potrà avere la frequenza v ma una
> frequenza minore v'.
> Quindi un raggio di luce riflesso ha sempre una frequenza minore di
> quello incidente e se fosse monocromatico lo dovrei vedere di colore
> diverso.
Per valori ragionevoli della velocita' della paletta il cambiamento
di frequenza e' rilevabile solo con metodi strumentali, non
si puo' "vedere".
> Qual'è la spiegazione giusta?
Se la paletta e' tenuta fissa il raggio riflesso ha la stessa
frequenza di quello incidente, se la paletta e' libera di muoversi
il raggio riflesso ha frequenza minore (si chiama effetto
Doppler oppure indifferentemente trasformazione
relativistica delle componenti del quadrivettore
energia-impulso del fotone).
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
cometa_luminosa
> Quindi un raggio di luce riflesso ha sempre una frequenza minore di
> quello incidente e se fosse monocromatico lo dovrei vedere di colore
> diverso.
Se f è la frequenza della luce nel riferimento del laboratorio, c è
la velocità della luce e v è la velocità della paletta (in direzione
opposta al raggio riflesso), la luce riflessa ha frequenza f' data da:
f' = f*Rad[(c-v)/(c+v)]
tenuto conto di quanto può essere v (dagli un valore ragionevole, che
so, qualche centimetro al secondo), prova a calcolare f'/f.
Tommaso Russo, Trieste
> Quindi un raggio di luce riflesso ha sempre una frequenza minore di
> quello incidente e se fosse monocromatico lo dovrei vedere di colore
> diverso.
Scusa, non capisco la consequenzialita' di quel "sempre". Se un fotone
viene riflesso da uno specchio inamovibile non gli cede alcun impulso
ne' energia e conserva la frequenza. E *in pratica* tutti gli specchi e
specchietti di cui disponiamo sono "inamovibili" per un fotone: per
ipotizzare uno specchio che possa essere messo in movimento da un
singolo fotone hai dovuto supporlo "leggerissimo". Ma *quanto*
leggerissimo? Prova ad assegnargli la massa di *un atomo* di un
qualsiasi metallo e a calcolare il delta nu (relativo) per un fotone nel
visibile (prendilo pure nel violetto).
Quello che hai descritto e' l'effetto Compton, ma e' misurabile se lo
"specchio" e' un elettrone e il fotone e' almeno un X o un gamma.
ciao
--
TRu-TS
Giorgio Bibbiani
> Se f è la frequenza della luce nel riferimento del laboratorio, c è
> la velocità della luce e v è la velocità della paletta (in direzione
> opposta al raggio riflesso), la luce riflessa ha frequenza f' data da:
> f' = f*Rad[(c-v)/(c+v)]
C'e' una radice quadrata di troppo, la formula
corretta e':
f' = f*(c-v)/(c+v)
questo perche' bisogna applicare due volte la formula
dell'effetto Doppler, la prima per trovare la frequenza
dell'onda incidente nel riferimento dello specchio, che
e':
f1 = f*Rad[(c-v)/(c+v)],
la seconda per trovare la frequenza dell'onda riflessa nel
riferimento del laboratorio:
f' = f1 * Rad[(c-v)/(c+v)] = f*(c-v)/(c+v).
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
anto.max
Grazie sei stato molto chiaro ma non capisco una cosa. Tu dici che se un
fotone viene riflesso da uno specchio inamovibile non gli cede alcun
impulso ne' energia e conserva la frequenza. Ma la quantità di moto come
si conserva se il fotone viene riflesso e la sua velocità ha quindi
direzione opposta a quella incidente?
Ciao.
Tommaso Russo, Trieste
> Grazie sei stato molto chiaro ma non capisco una cosa. Tu dici che se un
> fotone viene riflesso da uno specchio inamovibile non gli cede alcun
> impulso ne' energia e conserva la frequenza. Ma la quantità di moto come
> si conserva se il fotone viene riflesso e la sua velocità ha quindi
> direzione opposta a quella incidente?
Scusa, ho sintetizzato troppo e quindi sono stato impreciso. Inamovibile" vuol
dire "di massa tendente all'infinito" (o, in pratica, talmente grande rispetto
alle forze in gioco da poter considerare le sue variazioni di velocita'
inferiori a qualsiasi soglia misurabile). Vettorialmente l'impulso del fotone
varia, eccome! Ma dalle formule dell'urto elastico fra due corpi di massa
diversa vedi che, per m<<M, l'energia cinetica (e quindi il *valore assoluto*
dell' impulso) di m rimane invariata. Riscrivendo le stesse formule in termini
di quantita' di moto anziche' di masse e velocita' verifichi che lo stesso vale
anche per un fotone.
--
TRu-TS
cometa_luminosa
(sei un fenomeno!)
Ciao.
Pangloss
> C'e' una radice quadrata di troppo, la formula
> corretta e':
> f' = f*(c-v)/(c+v)
> questo perche' bisogna applicare due volte la formula
> dell'effetto Doppler, la prima per trovare la frequenza
> dell'onda incidente nel riferimento dello specchio, che
> e':
> f1 = f*Rad[(c-v)/(c+v)],
> la seconda per trovare la frequenza dell'onda riflessa nel
> riferimento del laboratorio:
> f' = f1 * Rad[(c-v)/(c+v)] = f*(c-v)/(c+v).
Si perviene allo stesso risultato anche senza usare la teoria (delicata)
del doppio effetto Doppler prodotto da uno specchio mobile.
Il fotone cede alla paletta l'energia dE=hf-hf' e l'impulso dp=hf/c+hf'/c.
Se la paletta si muove con velocita' v le leggi dinamiche fondamentali
implicano che debba essere: dE = v*dp. Per sostituzione si ha subito:
f'*(c+v)=f*(c-v)
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
Elio Fabri
> Si perviene allo stesso risultato anche senza usare la teoria
> (delicata) del doppio effetto Doppler prodotto da uno specchio mobile.
Ricordo di aver chiesto spesso agli esami come si spiegava questo...
> Il fotone cede alla paletta l'energia dE=hf-hf' e l'impulso
> dp=hf/c+hf'/c.
> Se la paletta si muove con velocita' v le leggi dinamiche fondamentali
> implicano che debba essere: dE = v*dp. Per sostituzione si ha subito:
>
> f'*(c+v)=f*(c-v)
OK. Anche se a rigore si potrebbe fare un'obiezione: tu hai usato una
relazione fra dE e dP che ha carattere differenziale, mentre impulso
ed energia ceduti da un fotone sono finiti, per quanto piccoli...
Ma ora propongo una soluzione diversa, che non fa uso di fotoni,
ed e' assolutamente classica: prerelativistica e prequantistica.
L'onda incidente ha la forma
A*cos(k(x-ct))
e l'onda riflessa dall specchio in modo avra' la forma
A'*cos(k'(x+ct)+phi)
(occorre per prudenza ipotizzare uno sfasamento).
Supponiamo che l'eq. oraria dello specchio sia x = -vt: se imponiamo
che sullo specchio l'ampiezza dell'onda si annulli, abbiamo
A*cos(k(c+v)t) + A'*cos(k'(c-v)t+phi) = 0.
Dato che questa relazione deve valere a tutti i tempi, ne segue
k' = k*(c+v)/(c-v)
e siccome k e' prop. alla frequenza (k = 2*pi*f/c) si ritrova il
solito risultato.
Pero' in questo ragionamento c'e' un errore, come si vede dal fatto
che dovrebbe anche essere A' = A, e che quindi l'onda riflessa
dovrebbe avere la stessa intensita' di quella incidente, il che e'
manifestamente falso.
Dov'e' l'errore?
Lascio a voi di scoprirlo, ma anticipo che scrivendo le cose corrette
la conclusione sulla frequenza resta vera, ma poi si trova
A' A*(c+v)/(c-v)
e quindi l'intensita' aumenta come il quadrato di (c+v)/(c-v).
A questo si poteva arrivare anche coi fotoni: come?
--
Elio Fabri
cometa_luminosa
> Ma ora propongo una soluzione diversa, che non fa uso di fotoni,
> ed e' assolutamente classica: prerelativistica e prequantistica.
> L'onda incidente ha la forma
> A*cos(k(x-ct))
> e l'onda riflessa dall specchio in modo avra' la forma
> A'*cos(k'(x+ct)+phi)
> (occorre per prudenza ipotizzare uno sfasamento).
> Supponiamo che l'eq. oraria dello specchio sia x = -vt: se imponiamo
> che sullo specchio l'ampiezza dell'onda si annulli, abbiamo
> A*cos(k(c+v)t) + A'*cos(k'(c-v)t+phi) = 0.
> Dato che questa relazione deve valere a tutti i tempi, ne segue
> k' = k*(c+v)/(c-v)
> e siccome k e' prop. alla frequenza (k = 2*pi*f/c) si ritrova il
> solito risultato.
> Pero' in questo ragionamento c'e' un errore, come si vede dal fatto
> che dovrebbe anche essere A' = A, e che quindi l'onda riflessa
> dovrebbe avere la stessa intensita' di quella incidente, il che e'
> manifestamente falso.
> Dov'e' l'errore?
Ci provo, anche se è probabile che mi sbagli. (Sbagliando
s'impara...). L'ampiezza dell'onda è nulla nel riferimento dello
specchio ma non in quello del laboratorio per la trasformazione
relativistica dei campi?
> Lascio a voi di scoprirlo, ma anticipo che scrivendo le cose corrette
> la conclusione sulla frequenza resta vera, ma poi si trova
> A' = A*(c+v)/(c-v)
> e quindi l'intensita' aumenta come il quadrato di (c+v)/(c-v).
> A questo si poteva arrivare anche coi fotoni: come?
L'intensità è l'energia attraversata nell'unità di superficie per
unità di tempo, la quale a sua volta è uguale al numero di fotoni che
passano in quella superficie nell'unità di tempo moltiplicato
l'energia del singolo fotone; entrambe queste quantità sono
proporzionali a (c+v)/(c-v) quindi l'intensità va come il quadrato di
quest'ultima.
cometa_luminosa
> L'intensità è l'energia attraversata nell'unità di superficie per
> unità di tempo, la quale a sua volta è uguale al numero di fotoni che
> passano in quella superficie nell'unità di tempo moltiplicato
> l'energia del singolo fotone; entrambe queste quantità sono
> proporzionali a (c+v)/(c-v) quindi l'intensità va come il quadrato di
> quest'ultima.
Incidentalmente questo mi sembra che dimostri (classicamente) il fatto
che l'energia di un singolo fotone sia proporzionale alla frequenza.
Elio Fabri
> Ci provo, anche se =E8 probabile che mi sbagli. (Sbagliando
> s'impara...). L'ampiezza dell'onda =E8 nulla nel riferimento dello
> specchio ma non in quello del laboratorio per la trasformazione
> relativistica dei campi?
Se ne puo' fare a meno, osservando che se lo specchio si muove gli
elettroni di conduzione sono soggetia nche alla forza di Lorentz, e
quindi per non avere corrente non si deve annullare E, ma E + vxB.
Questa e' la condizione al contorno da imporre.
> L'intensit=E0 =E8 l'energia attraversata nell'unit=E0 di superficie
> per unit=E0 di tempo, la quale a sua volta =E8 uguale al numero di
> fotoni che passano in quella superficie nell'unit=E0 di tempo
> moltiplicato l'energia del singolo fotone; entrambe queste quantit=E0
> sono proporzionali a (c+v)/(c-v) quindi l'intensit=E0 va come il
> quadrato di quest'ultima.
Perfetto.
> On 9 Ott, 20:42, Elio Fabri <elio.fa...@tiscali.it> wrote:
>
>> Ma ora propongo una soluzione diversa, che non fa uso di fotoni,
>> ed e' assolutamente classica: prerelativistica e prequantistica
> [....]
>> e siccome k e' prop. alla frequenza (k =3D 2*pi*f/c) si ritrova il
>> solito risultato.
>
> B=E8, questa assunzione non mi sembra proprio prequantistica e
> prerelativistica.
E perche' mai?
L'onda si propaga con velocita' c, quindi nel suo argomento kx-wt si
deve avere k = w/c.
Dove sta la relativita'?
> Incidentalmente questo mi sembra che dimostri (classicamente) il fatto
> che l'energia di un singolo fotone sia proporzionale alla frequenza.
A me pare un punto delicato, nel senso chenon e' facile capire che
cosa si assume e che cosa si dimostra.
Certamente ha valore euristico: se uno comincia a pensare ai fotoni,
tutte queste relazioni rafforzano l'idea.
--
Elio Fabri
cometa_luminosa
> cometa_luminosa ha scritto:>
> > Ci provo, anche se e' probabile che mi sbagli. (Sbagliando
> > s'impara...). L'ampiezza dell'onda e' nulla nel riferimento dello
> > specchio ma non in quello del laboratorio per la trasformazione
> > relativistica dei campi?
> E' giusto, ma questa e' una spiegazione relativistica :)
> Se ne puo' fare a meno, osservando che se lo specchio si muove gli
> elettroni di conduzione sono soggetti anche alla forza di Lorentz, e
> quindi per non avere corrente non si deve annullare E, ma E + vxB.
> Questa e' la condizione al contorno da imporre.
Esercizio molto interessante!
> > Be', questa assunzione non mi sembra proprio prequantistica e
> > prerelativistica.
>
> E perche' mai?
> L'onda si propaga con velocita' c, quindi nel suo argomento kx-wt si
> deve avere k = w/c.
> Dove sta la relativita'?
>
Hai ragione. (Infatti avevo cancellato il post; ti sembrerà strano, ma
rifletto meglio sulle cose che scrivo dopo averle viste pubblicate).
>
> > Incidentalmente questo mi sembra che dimostri (classicamente) il fatto
> > che l'energia di un singolo fotone sia proporzionale alla frequenza.
>
> A me pare un punto delicato, nel senso che non e' facile capire che
> cosa si assume e che cosa si dimostra.
> Certamente ha valore euristico: se uno comincia a pensare ai fotoni,
> tutte queste relazioni rafforzano l'idea.
Abbiamo visto che la frequenza si trasforma come
f' = f*(c+v)/(c-v)
(caso in cui lo specchio si muove in direzione opposta della luce) e
questo lo si dimostra classicamente. Poi abbiamo visto, sempre
classicamente, che l'energia (che attraversa nell'unità di tempo
l'unità di superficie) si trasforma come
E' = E*[(c+v)/(c-v)]^2
Interpretando il flusso di energia come un flusso di N particelle (per
unità di tempo e superficie) ognuna di energia e, si ha:
N'e' = Ne*[(c+v)/(c-v)]^2
abbiamo anche visto, sempre classicamente, che il numero di particelle
si trasforma come:
N' = N*[(c+v)/(c-v)]
sostituendo quest'ultima nella precedente:
N*[(c+v)/(c-v)]e' = Ne*[(c+v)/(c-v)]^2
semplifico:
e' = e*[(c+v)/(c-v)]
ovvero
e'/f' = e/f
quindi la quantità e/f è invariante cioè e = k*f.
E' corretto?
Ciao.