limit x -> 0 sin(x) / x = 1 Demonstration ?
Arthur Meunier
Le seul hic c'est que j'utilise que la surface du cercle est pi.r².
Comment démontrer donc ( au choix )
limit x -> 0 sin(x) / x = 1 ou bien
S = pi. r²
( Parce que pour la surface on utilise me semble-t-il des intégrales qui
font intervenir asin(x) et comme on ne sais pas que (sin(x))' = cos(x) ....
( ce résultat dépend de sin(x) / x = 1 )
Bref comment fais-t'on rigoureusement ???
Arnaud Rivoira
calculer et on peut retrouver toutes les formules de géométrie classique.
Sans cela je pense qu'effectivement on est condamné à tourner en rond.
Arthur Meunier <arthur....@freesbee.fr> a écrit dans le message :
W1kg4.166$IN4...@nnrp2.none.net...
bernard.lesbats
sin x = x + o(x)
Donc sin x ~ x quand x->0
Donc (sin x)/x ~ 1 quand x->0
Donc lim (sin x)/x = 1
x->0
Il existe une autre méthode qui utilise des encadrements et des dérivées,
mais je ne m'en souviens plus...
Babats
Arthur Meunier
Ah ca mais !
Les développements limités utilisent les dérivées nième de sin(x) !
Or pour montrer que la dérivée de sin(x) est cos(x) il faut connaître sin(x)
/ x= 1
Fonzy
tourne en rond.
Pour ma part, j'ai appris: Soit la série entière
Sum((z^n)/n!,o,inf) On montre que son rayon de convergence est infini dans
C. Sa limite sera notée exp(z). Si z est imaginaire pur, (z=iyxx réel), exp
(ix)= (1-x2/2+x^4/24...)+i(x-x^3/3+x^5/120...). Le terme réel converge et
sera noté cos(x), le terme imaginaire pur sera noté isin(x). Pour moi, c le
DSE (donc le DL) de sin qui est donné par définition. Je n'ai aucun scrupule
à l'utiliser dans ce cas car il n'y a pas un pb de définition récursive
incomplète.
--
Fonzy
Arthur Meunier <arthur....@freesbee.fr> a écrit dans le message :
Jhpg4.183$IN4...@nnrp2.none.net...
Fonzy
--
Fonzy
Jacques Lethuaut
> J'en vois bien une avec la géométrie !
> Le seul hic c'est que j'utilise que la surface du cercle est pi.r².
>
> Comment démontrer donc ( au choix )
>
>
> limit x -> 0 sin(x) / x = 1 ou bien
> S = pi. r²
>
>
> ( Parce que pour la surface on utilise me semble-t-il des intégrales qui
> font intervenir asin(x) et comme on ne sais pas que (sin(x))' = cos(x)
....
> ( ce résultat dépend de sin(x) / x = 1 )
>
>
> Bref comment fais-t'on rigoureusement ???
>
On se sert des propriétés de la fonction sinus dont on sait/démontre qu'elle
continument dérivable au voisinage de 0
et donc la limite du taux d'accroissement...
lucien Marie
>Comment démontrer donc ( au choix )
>
>limit x -> 0 sin(x) / x = 1 ou bien
>S = pi. r²
>
On considère le cercle trigonométrique (en fait, le quart de cercle) de
centre O et A le point (1,0).
Soit M le point du quart de cercle tel que (OA,OM) =x (angle).
Soit P la projection de M sur (OA) et T l'intersection de (OM)et de la
tangente au cercle issue de A. (dessin classique)
On a donc OP = cos x ; PM = sin x ; arc AM = x et AT = tan x
De manière évidente (comparer les aires) on a
PM <= arc AM <= AT
d'où sin x <= x <= tan x (inégalité classique)
Si x<> 0 on peut diviser chacun par sin x et il vient
1 <= x/sin x <= 1/cos x et en prenant les inverses
cos x <= sin x /x <= 1
Je te laisse terminer pour x tend vers 0
lucien Marie
guillaume RENIER
(geometrie, partie imaginaire de exp(ix), série. Et de quelles
équivalences tu disposes.
Sinon en posant
sin(x)=sin(x)-sin(0) et x=x-0 tu arrive facilement au resultat
(sin'(o)).
NAlec wrote:
> laurens à raison, il suffit d'encadrer l'arc de cercle en rouge dans le
> document attaché de la manière suivante:
>
> sin x <= x <= tanx ce qui amène à l'inégalité suivante :
>
>
> cosx <= sinx/x <= 1 au voisinage de zéro.
>
> Cela convient il comme démonstration, ou nous sommes nous mordu la queue ?
>
>