Re: Le théorème de Pythagore par l'analyse dimensionelle...
Stef JM
Je crossposte chez vous une démonstration du théorème de Pythagore par
analyse dimensionnelle, donnée sur fsp par Valmont.
Je trouve cette démonstration très belle tant elle est simple.
Je propose un crosspost sur les deux groupes fsm et fsp, sans suivi, vu
qu'on ne séparera pas maths et physiques sur un tel sujet.
Cordialement.
"Valmont" a écrit
>
> Dans ce message je reprends une démonstration amusante
> du théorème de Pythagore à partir de considérations liées
> à l'analyse dimensionelles. Elle m'a été demandée dans un
> autre fil par un internaute (que je salue au passage !).
> Je crois que j'ai dû la connaitre à l'origine dans un
> Landau mais je ne sais plus lequel...
>
>
> Soit un triangle rectangle (c'est un bon début pour
> montrer le théorème de Pythagore !!!) ABC avec A, B et C
> les sommets et a = BC, b = AC et c = AB. L'angle droit
> est sur le sommet C. Ainsi :
>
>
> B
>
> |\
> | ---
> | \ c
> a | ---
> | \
> |- ---
> |_|__________\
>
> C b A
>
>
>
> Un tel triangle peut etre caractérisé par c et l'angle
> du sommet A, noté theta. Il faut ici réfléchir quelques
> secondes éventuellement en faisant un dessin. Si on fixe
> l'hypothénuse et l'angle theta, il n'y a qu'un seul triangle
> rectangle possible.
>
> Donc la surface d'un tel triangle est entierement
> caractérisée par theta et c. Mais la seule longueur est ici
> c (theta est un angle qui n'est pas homogène à une longueur).
> Donc la surface s'écrit en pratique :
>
> S = c^2 * f(theta) (e)
>
> f est une fonction qui ne dépend que de théta qui est sans
> dimension. f ne peut dépendre de c car une fonction d'une
> distance ne peut donner un nombre sans dimension que si la
> distance est divisée par une autre distance dans le calcul.
> Or il n'y a qu'une distance dans le problème, c. Donc f ne
> dépend bien que de theta.
>
> Nous ne chercherons pas à expliciter ici f(theta). Ce
> n'est pas necessaire pour établir le théorème de Pythagore.
>
> Considérons la hauteur issue de C dans le triangle
> rectangle. Elle coupe AB en H. Elle sépare donc le triangle
> rectangle ABC en deux triangles rectangles aussi CBH et CAH.
>
> D'après l'équation (e), la surface de CAH est
>
> S(CAH) = b^2 * f(theta)
>
> puisque theta est par définition l'angle au sommet A. De
> même la surface de CBH est
>
> S(CBH) = a^2 * f(pi/2-theta)
> = a^2 * f(theta)
>
> car un triangle rectangle caractérisé par a et pi/2-theta
> a la même surface qu'un triangle rectangle caractérisé par
> a et theta, vu que c'est son symétrique....
>
> Nous avons donc :
>
> S = S(CBH) + S(CAH)
>
> Soit :
>
> c^2 * f(theta) = a^2 * f(theta) + b^2 * f(theta)
>
> D'où le théorème de Pythagore :
>
> c^2 = a^2 + b^2
>
babacio
> Je crossposte chez vous une démonstration du théorème de Pythagore par
> analyse dimensionnelle, donnée sur fsp par Valmont.
>
> Je trouve cette démonstration très belle tant elle est simple.
C'est en effet très joli. Merci beaucoup (très sincèrement).
> > S = c^2 * f(theta) (e)
> >
> > f est une fonction qui ne dépend que de théta qui est sans
> > dimension. f ne peut dépendre de c car une fonction d'une
> > distance ne peut donner un nombre sans dimension que si la
> > distance est divisée par une autre distance dans le calcul.
> > Or il n'y a qu'une distance dans le problème, c. Donc f ne
> > dépend bien que de theta.
Ce passage est foireux. En effet il pourrait y avoir une constante
fondamentale munie d'une unité qui interviendrait dans le calcul de
f. Ça n'est pas rare en physique !
Il faut donc selon moi écrire f(theta,c), puis dire que si on fixe
theta et on fait varier c, ça revient à prendre l'image du rectangle
ABC par une homothétie, de rapport, disons, alpha ; le nouveau
rectangle a une surface égale d'une part à S·alpha², d'autre part à
alpha²·c²·f(theta,alpha·c), d'où
pour tout alpha, f(theta,c) = f(thera,alpha·c)
donc f ne dépend bien que de theta, enfin au moins pour c>0 ;)
De plus cela éclaircit le passage précédent (la seule longueur est ici
c « donc » la surface s'écrit...), en fait je préfère poser f(theta,c)
= S(theta,c)/c², c'est une fonction sans dimension, et on montre
que sa valeur ne dépend que theta.
--
Bé erre hue ixe eu elle, Bruxelles.
Patrick Coilland
> Ce passage est foireux. En effet il pourrait y avoir une constante
> fondamentale munie d'une unité qui interviendrait dans le calcul de
> f. Ça n'est pas rare en physique !
>
>
Si on admet la possibilité de constante fondamentale, ce avec quoi je suis
plutôt d'accord, il faudrait même envisager des cas comme
S=c^3/(c+k)f(theta,c,, ...) + k^2g(theta,c) ... .
Pour éviter ces cas, il faut alors, comme le dit babacio, passer par la
proportionnalité de la surface avec le carré du côté en cas d'homothétie.
Mais en fait, en se fatiguant à traiter ces cas, on devient vite plus
compliqué que la démonstration directe :
- dans une famille de triangles semblables, la surface est k.c^2, avec le
même k pour la famille
- les trois triangles évoqués sont semblables, d'où le résultat.
Le passage par les équations aux dimensions donne une allure effectivement
impressionnante mais me paraît plutôt surfait (en fait on tourne en rond)
Cela me rappelle, une preuve de l'infinité des nombtres premiers trouvée
dans le livre "raisonnements divins" et fondée sur une topologie
particulière. La démonstration est époustouflante mais, en fait elle
n'utilise quasiment rien des caractéristiques d'une topologie. Elle se
contente (?) d'habiller une démonstration belle en elle-même avec un
vocabulaire de topologie. Je pense que c'était dommage.
babacio
> > Ce passage est foireux. En effet il pourrait y avoir une constante
> > fondamentale munie d'une unité qui interviendrait dans le calcul de
> > f. Ça n'est pas rare en physique !
> >
> > Il faut donc selon moi écrire f(theta,c), ...
> >
> Si on admet la possibilité de constante fondamentale, ce avec quoi je suis
> plutôt d'accord, il faudrait même envisager des cas comme
> S=c^3/(c+k)f(theta,c,, ...) + k^2g(theta,c) ... .
Je ne comprends pas pourquoi ? S est fonction de theta et de c, et si
tu poses f(theta,c)= S(theta,c) / c², c'est bien une fonction sans
dimension... qu'on montre ne dépendre que de theta. C'est ça qui est
spectaculaire, et je ne vois pas où est la faille.
Patrick Coilland
>> S=c^3/(c+k)f(theta,c,, ...) + k^2g(theta,c) ... .
>
> Je ne comprends pas pourquoi ? S est fonction de theta et de c, et si
> tu poses f(theta,c)= S(theta,c) / c², c'est bien une fonction sans
> dimension... qu'on montre ne dépendre que de theta. C'est ça qui est
> spectaculaire, et je ne vois pas où est la faille.
>
reprendre ton argument :
Tu écris S = f(c, theta).
Tu écris que S/c^2 ne dépend pas de c, et son caractère sans dimension n'a
strictement aucune importance (sauf que c'est vrai, bien sûr); Tu viens
simplement de dire que "dans une famille de triangles semblables, la surface
est k.c^2, avec le même k pour la famille".
L'aspect "analyse dimensionnelle" est un détail de l'histoire, qui n'apporte
rien à la démonstration.
babacio
> Tu écris que S/c^2 ne dépend pas de c, et son caractère sans dimension n'a
> strictement aucune importance (sauf que c'est vrai, bien sûr);
Je suis entièrement d'accord.
> Tu viens
> simplement de dire que "dans une famille de triangles semblables, la surface
> est k.c^2, avec le même k pour la famille".
Ouaip.
> L'aspect "analyse dimensionnelle" est un détail de l'histoire, qui n'apporte
> rien à la démonstration.
Encore d'accord. C'est un bien grand mot pour le peu qu'on en fait :
l'analyse dimensionnelle est un outil puissant en physique, certes ;
cette preuve est jolie, en effet ; mais l'analyse dimensionnelle n'y
joue pas un rôle déterminant...
Disons qu'elle peut donner l'idée de diviser par c², quoi.
LD
> Je trouve cette démonstration très belle tant elle est simple.
Il s'agit là d'une reformulation de la démonstration (très jolie en effet)
due à Henri Lebesgue. Sa formulation d'origine était à peu près la suivante
: si l'on construit trois figures semblables sur les trois côtés d'un
triangle rectangle, leurs aires R,S,T seront proportionnelles aux carrés
des côtés en question, donc a^2+b^2=c^2 est équivalent à R+S=T (le cas du
théorème lui-même étant celui où les figures sont des carrés). En prenant
pour figures les triangles semblables ACH (sur AC), BCH (sur BC) et ABC
(sur AB), la relation R+S=T est alors évidente.
S'il a fallu attendre Lebesgue pour penser à une idée aussi simple, c'est
sans doute aussi à cause d'une barrière psychologique : il fallait penser à
construire des figures en les tournant vers l'INTERIEUR du triangle !
LD
Stef JM
> C'est en effet très joli. Merci beaucoup (très sincèrement).
De rien.
C'est surtout Valmont qui nous apporte cette démonstration sur un plateau
qu'il faut remercier.
> > > Valmont
> > > S = c^2 * f(theta) (e)
> > >
> > > f est une fonction qui ne dépend que de théta qui est sans
> > > dimension. f ne peut dépendre de c car une fonction d'une
> > > distance ne peut donner un nombre sans dimension que si la
> > > distance est divisée par une autre distance dans le calcul.
> > > Or il n'y a qu'une distance dans le problème, c. Donc f ne
> > > dépend bien que de theta.
>
> Ce passage est foireux. En effet il pourrait y avoir une constante
> fondamentale munie d'une unité qui interviendrait dans le calcul de
> f. Ça n'est pas rare en physique !
>
> Il faut donc selon moi écrire f(theta,c), puis dire que si on fixe
> theta et on fait varier c, ça revient à prendre l'image du rectangle
> ABC par une homothétie, de rapport, disons, alpha ; le nouveau
> rectangle a une surface égale d'une part à S·alpha², d'autre part à
> alpha²·c²·f(theta,alpha·c), d'où
>
> pour tout alpha, f(theta,c) = f(thera,alpha·c)
>
> donc f ne dépend bien que de theta, enfin au moins pour c>0 ;)
>
> De plus cela éclaircit le passage précédent (la seule longueur est ici
> c « donc » la surface s'écrit...), en fait je préfère poser f(theta,c)
> = S(theta,c)/c², c'est une fonction sans dimension, et on montre
> que sa valeur ne dépend que theta.
C'est effectivement prudent d'envisager le cas d'une constante (donc non
variable) physique cachée dans la fonction f.
Et montrer que sa valeur ne dépend pas de théta.
Mais pourrait-il en être autrement?
Pour un physicien, c'est "évident" que non, puisqu'on caractérise le
problème avec une seule grandeur dimensionnée.
Curieusement, les problèmes de non-linéarité éventuelle n'interfère pas avec
la notion de dimension. (Ils sont décrit par la fonction f, sans dimension.)
Evidement, tout cela rejoint mes interrogations sur le statut privilégier
des fonctions puissances rationnelles pour les dimensions, pour lesquelles
il est inutile d'adimentionner les grandeurs avant de les passer à la
fonction.
Ex : Une surface (m^2) à la puissance 3/2 donne un volume (m^3).
(Oh le vilain exemple pythagoricien, mais vu le titre... ;-))
Un autre problème connexe à celui-ci :
On connaît une longueur L, d'une corde fermée dans le plan.
Estimer par analyse dimensionnelle la surface de la corde.
On ne peut trouver que la borne supérieure de l'estimation. (L^2/(4pi) ?)
La borne inférieure est nulle ce qui n'a que peu d'intérêt.
--
StefJM
Stef JM
> oui, effectivement. J'utilisais le f de l'expression initiale. Pour
> reprendre ton argument :
> Tu écris S = f(c, theta).
> Tu écris que S/c^2 ne dépend pas de c, et son caractère sans dimension n'a
> strictement aucune importance (sauf que c'est vrai, bien sûr); Tu viens
> simplement de dire que "dans une famille de triangles semblables, la
surface
> est k.c^2, avec le même k pour la famille".
Il me semble que c'est bien là qu'est la force de l'analyse dimensionnelle,
car le critère est plus général.
A moins que l'on puisse exhiber un contre-exemple où les dimensions seraient
différentes?
Un tel contre-exemple me paraitrait bien curieux, d'un point de vu physique.
> L'aspect "analyse dimensionnelle" est un détail de l'histoire, qui
n'apporte
> rien à la démonstration.
C'est un peu le débat.
Est-ce que l'analyse dimensionnelle est un détail qui n'apporte rien ou
est-ce au contraire un détail nécessaire?
En fait, l'exemple de Pythagore est anecdotique, je cherche à savoir tout ce
que l'on peut démontrer en mathématique en postulant l'analyse
dimensionnelle.
Cela ferait un pont entre mathématique et physique des plus intéressants.
Dans le cas de Pythagore, je comprendrais peut-être enfin ce qu'est une
surface pour un mathématicien? ;-)
--
StefJM
babacio
> Mais pourrait-il en être autrement?
> Pour un physicien, c'est "évident" que non, puisqu'on caractérise le
> problème avec une seule grandeur dimensionnée.
Ça n'a rien d'évident. En tout cas cet argument est très mauvais.
babacio
> Est-ce que l'analyse dimensionnelle est un détail qui n'apporte rien ou
> est-ce au contraire un détail nécessaire?
Pour moi la réponse ne fait aucun doute. On a dérangé l'analyse
dimensionnelle pour peu de chose.
Patrick Coilland
> Est-ce que l'analyse dimensionnelle est un détail qui n'apporte rien ou
> est-ce au contraire un détail nécessaire?
>
beaucoup impressionné il y des années.
Ce que je dis, c'est qu'ici, tout le raisonnement s'appuie sur "dans une
immédiate (sans même avoir à envisager les carrés appuyés sur les côtés).
Donc :
- soit l'analyse dimensionnelle permet d'écrire cela (""dans une famille de
- soit elle ne le permet pas (ce que dit Babacio, et ce à quoi j'adhère) et
permet seulement d'écire S=c^2g(theta,c) et il faut démontrer que g est
indépendant de c. Pour ce faire, on s'appuie sur les propriétés des surfaces
au travers d'une homothétie, c'est à dire sur la propriété "dans une famille
passer par l'analyse dimensionnelle.
babacio
> Loin de moi l'idée de dénigrer l'analyse dimensionnelle, qui m'avait
> beaucoup impressionné il y des années.
> Ce que je dis, c'est qu'ici, tout le raisonnement s'appuie sur "dans une
> famille de triangles semblables, la surface est k.c^2, avec le même k pour
> la famille". Une fois ceci admis, la démonstration de Pythagore est
> immédiate (sans même avoir à envisager les carrés appuyés sur les côtés).
> Donc :
> - soit l'analyse dimensionnelle permet d'écrire cela (""dans une famille de
> triangles semblables, la surface est k.c^2, avec le même k pour la
> famille"), ce que dit Valmont
> - soit elle ne le permet pas (ce que dit Babacio, et ce à quoi j'adhère) et
> permet seulement d'écire S=c^2g(theta,c) et il faut démontrer que g est
> indépendant de c. Pour ce faire, on s'appuie sur les propriétés des surfaces
> au travers d'une homothétie, c'est à dire sur la propriété "dans une famille
> de triangles semblables, la surface est k.c^2, avec le même k pour la
> famille" et je dis que l'on tourne en rond, et qu'il n'éyait pas utile de
> passer par l'analyse dimensionnelle.
J'adhère à 100%.
Stef JM
> Encore d'accord. C'est un bien grand mot pour le peu qu'on en fait :
> l'analyse dimensionnelle est un outil puissant en physique, certes ;
> cette preuve est jolie, en effet ; mais l'analyse dimensionnelle n'y
> joue pas un rôle déterminant...
>
> Disons qu'elle peut donner l'idée de diviser par c², quoi.
Que doit-on comprendre?
L'AD donne l'unique solution compatible (il faut diviser par c^2) mais elle
n'est pas déterminante?
Des jours, j'ai du mal à suivre un raisonnement de maths...
L'AD est mal aimé en maths car on n'est pas obliger de définir des
dimensions.
En physique, elle agace car on comprend mal pourquoi cela marche. (et
comment ça marche...)
--
StefJM
babacio
> > Encore d'accord. C'est un bien grand mot pour le peu qu'on en fait :
> > l'analyse dimensionnelle est un outil puissant en physique, certes ;
> > cette preuve est jolie, en effet ; mais l'analyse dimensionnelle n'y
> > joue pas un rôle déterminant...
> >
> > Disons qu'elle peut donner l'idée de diviser par c², quoi.
>
> Que doit-on comprendre?
>
> L'AD donne l'unique solution compatible
Que signifie « compatible » ici ?
> (il faut diviser par c^2) mais elle n'est pas déterminante?
À peu près. Comprendre que pour penser qu'une surface a de bonnes
chances d'être proportionnelle au carré d'une longueur, on peut en
effet invoquer l'analyse dimensionnelle, mais que c'est un bien grand
mot pour une idée simplissime ; et que l'analyse dimensionnelle seule
ne suffit pas à montrer qu'on a bien S = c²·f(theta), il faut invoquer
les propriétés des homothéties. Je pense que le raisonnement que tu as
posté avait réellement une petite faille à cet endroit.
> L'AD est mal aimé en maths
Mais non !
> car on n'est pas obliger de définir des dimensions.
Mais non ! Ça dépend ce qu'on fait ! Le problème ça n'est pas qu'on
n'est pas obligé, mais que la plupart du temps ça n'aurait aucun
sens !
Je me souviens, alors que je faisais TD à des bios, qu'il y avait dans
la feuille d'exos (faite par le prof d'amphi) quelques prétextes
physiques à des calculs d'intégrales ou des résolutions d'équa diff ;
avec des équations non homogènes ! C'est la seule fois où j'ai dit du
mal devant les élèves...
Valmont
Je viens de lire avec intérêt les remarques
suscitées par la démonstration du théorième de
Pythagore par une approche dimensionelle que
j'avais découverte à l'époque, je crois, dans
un Landau. Je remercie d'ailleurs au passage LD
qui nous a précisé que cette démonstration était
un cas particulier d'un théorème du à Lebesgue.
S'il a des références plus précises, je suis
preneur !
Quelques remarques utiles néanmoins. Tout d'abord
sur la rétiscence à qualifier d'analyse dimensionelle
une telle démonstration. Je suis parfaitement
conscient que pour établir le théorème de Pythagore,
l'aspect dimensionnel est tout à fait marginal. Il
est utilisé dans cette démonstration (j'y reviendrai
plus loin), mais il ne s'agit pas ici d'expliciter
le théorème de Pythagore (connu déjà depuis un
certain temps...) mais plutôt de donner un exemple
original de ce type de raisonnement, très "physicien"
dans l'esprit, en mathématiques.
Sur le fond, je voudrais insister sur LE point
essentiel qui a été apparemment mal compris par
plusieurs internautes. Je crois que chacun s'est
rendu compte que la démonstration reposait sur
l'expression suivante de l'aire d'un rectangle
(voir les notations dans mon précédent message) :
S = c^2 * f(theta)
La quasi-totalité des critiques consistait à
refuser le fait que f était un simple fonction de
theta puisqu'elle pouvait être aussi fonction de
c ou d'autres paramètres (cachés). C'est justement
pour établir le fait que f ne dépende QUE de theta
que l'on fait appel à l'analyse dimensionelle comme
on va le voir.
1ère étape : f ne dépend que de theta et de c.
C'est une conséquence directe du fait qu'il n'y a
pas de variable caché. S'il y avait un autre
paramètre (k ?) dans la formule, cela voudrait
dire que c et theta ne suffisent pas pour définir
un triangle rectangle, ce qui est faux : un triangle
rectangle est entièrement caractérisé par c et
theta. La présence de variables cachées ne peut
se concevoir que si on sort du cadre de la géométrie
euclidienne. Autrement dit on change de problème.
Cette remarque un peu évidente n'est peut-être pas
si inutile que ça : l'analyse dimensionelle "marche"
en physique quand on est à même de bien définir le
problême. Si vous trouvez des variables cachées, ce
n'est pas l'analyse dimensionelle qui est mise en
défaut car un raisonnement mathématique à partir des
équations permet de retrouver toujours les résultats
de l'analyse dimensionelle (il suffit en pratique
simplement de les a-dimentionaliser). S'il y a des
variables cachées, ce qui est mis en défaut c'est
le modèle lui-même (il oublie un aspect de la réalité)
et l'analyse dimensionelle n'y est pour rien.
Dans notre exemple de géométrie euclidienne, s'il y
a des variables cachées, ce n'est pas notre
raisonnement sur les dimensions qui est faux mais
l'hypothèse de départ (le triangle n'est pas rectangle
ou il y a une courbure dans la surface, etc...).
2ème étape f(theta,c) = f(theta). C'est là où
les considérations sur les dimensions sont utiles.
D'après leurs définitions, theta et f sont des nombres
purs (sans dimension) et c est une longueur. On veut
trouver un lien entre c, theta et f. Et bien, le seul
lien possible est f = fonction simple de theta.
Intuitivement, cela vient du fait que toutes les
formules que vous écrirez en f(theta, c) ne sont
pas homogènes. Exemple
f = theta*c ---> pas homogène
f = theta * exp(c) ---> pas homogène (argument d'exp)
etc etc... Certains d'entre vous on proposé quelque
chose du style
f = theta * exp (c/k) avec k longueur
qui est homogène mais qui rajoute une variable
cachée, k. Et on a vu qu'il n'y en avait pas. On peut
le comprendre plus rigoureusement peut-être en écrivant
un développement de f(theta,c) :
f = Somme_i,j a_ij c^i theta ^j (e)
Ici i et j peuvent être des entiers mais il n'y a pas
d'obligation. Tout développement peut convenir.
f n'a pas d'unité et theta non plus (dimension = 1).
Chaque terme de la série n'a pas non plus d'unité.
Les a_ij ont aussi 1 pour dimension car sinon ils
dépendraient du système d'unité : il y aurait alors des
variables cachées en plus (ce serait le cas avec par
exemple f = theta * exp (c/k)). Ainsi la formule
(e) ne peut être homogène que si i = 0, autrement dit
si f ne dépend pas de c mais que de theta.
Pour conclure, je voudrais insister sur ce point
qui est LE point fondamental sur les raisonnements
par analyse aux dimensions. Pourquoi marchent-ils ?
S'ils peuvent donner des résultats, c'est parce qu'IL
N'Y A QU'UNE SEULE ECHELLE PAR DIMENSION DANS LE
PROBLEME. Ici cela marche parce que l'on n'a qu'une
seule longueur, c. S'il y avait plusieurs longueurs
pour caractériser un triangle rectangle (theta étant
choisi), par exemple k, on ne pourrait rien dire car
f pourrait dépendre de theta, c et k, des formules
du genre f = theta*c/k convenant parfaitement.
Ainsi, en théorie, on ne devrait essayer une
analyse dimensionelle que dans les cas où il n'y a
qu'une échelle par grandeur physique dans le problème
considéré. L'approche n'est donc sensée marcher que
pour ces problèmes très simples. Dans ces cas en
effet, en adimensionnant les équations de départ
(par changement de variable du type x'=x/x0 ou
t'=t/t0 pour ceux qui sont des habitués...), on
obtient directement les lois d'échelle que l'on
peut retrouver par l'analyse dimensionelle.
En pratique néanmoins, il arrive que l'on
mette en oeuvre ce genre d'approche dans des cas
où plusieurs échelles cohabitent. Le raisonnement
est alors bien moins rigoureux puisqu'il consiste
à négliger des échelles pour n'en considérer qu'une
seule. Ce type d'approche est devenu très courant
en physique théorique depuis au moins une cinquantaine
d'année ; les travaux de physiciens comme de Gennes
par exemple en utilisent souvent.
Mais mettons-nous bien d'accord une fois pour
toutes sur ces extensions de la méthode de l'analyse
dimensionelles : le choix des échelles à négliger peut
toujours paraitre arbitraire au profane. Il résulte
en effet d'une analyse pratique de la situation
expérimentale qui invoque toujours, in fine, le sens
physique. Les mathématiciens ou les théoriciens
purs et durs sont tout à fait en droit de refuser
ce type de raisonnement, qui nécessite toujours
une vérification. Mais ne soyons pas trop pessimistes
cependant. En pratique, il apparait bien souvent que
ces lois (obtenues par ces analyses dimensionelles
qui négligent des échelles) se justifient rigoureusement
à partir des équations de départ. Elles constituent
alors un cas limite où seule une échelle est mise
en jeu.
Ce bémol sur l'applicabilité et la rigueur de
ce genre de raisonnement ayant été rappellé, j'aimerais
conclure en insistant encore sur le fait qu'il ne
s'applique pas à la démonstration du théorème de
Pythagore. Il y a ici, en effet, une seule échelle
de longueur et la démonstration est tout à fait
valide.
babacio
> C'est une conséquence directe du fait qu'il n'y a
> pas de variable caché.
Je suppose que ce que tu appels variable cachée, c'est une constante
munie d'une dimension.
> S'il y avait un autre
> paramètre (k ?) dans la formule, cela voudrait
> dire que c et theta ne suffisent pas pour définir
> un triangle rectangle, ce qui est faux : un triangle
> rectangle est entièrement caractérisé par c et
> theta.
Pourquoi est-ce que ça voudrait dire ça ? Si la valeur de k était
réellement sujette à variation, ok, mais si c'est une constante...
> f = theta * exp (c/k) avec k longueur
>
> qui est homogène mais qui rajoute une variable
> cachée, k.
Pas une *variable*, une constante.
> Et on a vu qu'il n'y en avait pas.
Je n'ai rien vu du tout. Je ne trouve pas tes arguments à ce sujet
très convaincants. Bien sûr la chose que tu veux montrer est vraie !
Et on le sait presque d'instinct, il suffit d'avoir pratiqué un peu la
géométrie euclidienne. Mais la raison de cette chose c'est
l'invariance de S/c^2 sous l'action des homothéties.
Patrick Coilland
>> S'il y avait un autre
>> paramètre (k ?) dans la formule, cela voudrait
>> dire que c et theta ne suffisent pas pour définir
>> un triangle rectangle, ce qui est faux : un triangle
>> rectangle est entièrement caractérisé par c et
>> theta.
>
> Pourquoi est-ce que ça voudrait dire ça ? Si la valeur de k était
> réellement sujette à variation, ok, mais si c'est une constante...
>
totalement déterminée par un temps t et une vitesse v, cela peut être
x=kvt
mais aussi
x=kvt*(1+alphav^2/c^2)^beta, avec c vitesse de la lumière, considérée comme
une constante dimensionnée et alpha et beta sans dimensions.
Dans les deux cas, la présence ou l'absence de c n'enlèvent pas le fait que
x est totalement déterminé par v et t.
babacio
> A l'appui des dires de babacio (AMHA) : si j'ai une longueur x qui est
> totalement déterminée par un temps t et une vitesse v, cela peut être
> x=kvt
> mais aussi
> x=kvt*(1+alpha·v^2/c^2)^beta, avec c vitesse de la lumière, considérée comme
> une constante dimensionnée et alpha et beta sans dimensions.
>
> Dans les deux cas, la présence ou l'absence de c n'enlèvent pas le fait que
> x est totalement déterminé par v et t.
Merci, je cherchais un exemple physique de ce type, mais je me suis
dégonflé d'écrire quoi que ce soit...
Valmont
J'ai bien compris votre objection à laquelle
j'ai en fait répondu largement dans mon (long)
message précédent. Voici quelques précisions
qui vous seront, je l'espère, bien utiles !
En résumé, votre objection ne tient pas car vous
mélangez modèle et théorie. Le modèle est l'image, (souvent
mathématique !) de la réalité que l'on se donne
pour traiter le problème physique. La théorie
correspond au modèle mais aussi à sa méthode de
résolution (très souvent approximative, d'ailleurs).
Ici, il n'y a pas à chercher midi à 14H, c'est
de la géométrie. Il n'y a pas d'étape de "modélisation".
Notre système (=modèle), c'est un triangle rectangle
dans le plan euclidien. Point final.
A partir de là, il n'y a pas de variable cachée.
Ou de constante caché, comme vous l'avez supposé :
il est bien évident qu'ici, cela revient au même.
Votre objection repose sur le fait que vous trouvez
possible l'existence d'une constante k (qui ne dépend
pas du triangle rectangle), homogène à une longueur
(il faut qu'elle soit homogène à une longueur pour
que votre objection tienne afin d'"annuler"
l'influence de c dans f en écrivant des termes
du genre c/k). Je n'ai rien contre cette idée dans
l'absolue, sauf qu'alors nous ne sommes plus dans le
cadre de la géométrie euclidienne... Si l'expression
de l'aire d'un rectangle dépend d'une longueur de
référence indépendante de sa géométrie, c'est que
l'espace est caractérisé en plus par une longueur
k indispensable pour définir les surfaces. Et cette
idée est intéressante, mais elle est totalement
incompatible avec la géométrie euclidienne. Ce n'est
donc pas l'étape de l'analyse dimensionelle qui est
remise en cause mais bien celle de l'établissement du
modèle. Vous cherchez à définir un autre système en
introduisant un nouveau paramètre, k. Si k est une
variable, elle dépend du triangle rectangle et c'est
la géométrie de l'objet que vous essayez de changer ;
si k est une constante, elle caractérise l'espace et
c'est le plan euclidien que vous voulez remettre en
question.
Par conséquent, dans tous les cas, vous essayez
de changez de modèle. Vous remettez en question
l'énoncé du problème, pas sa solution...
Dans le même ordre d'idée, je peux reprendre
l'image de la mécanique classique et de la mécanique
relativiste que vous avez essayé d'apporter comme
objection. Elle ne tient pas non plus et c'est
exactement la même confusion.
Par exemple, placons nous en mécanique classique
en considérant une particule ponctuelle de vitesse
v et de masse m et supposons que son énergie
est une grandeur dont la dimension est M L^2 /T^2.
Alors la seule valeur acceptable est bien en m v^2
(avec un coefficient de proportionalité egal à 1/2
comme on sait). Il n'y a pas d'erreur sur l'analyse
dimensionelle ici car c'est la seule formule homogène
avec les grandeurs du problème. Insistons bien sur le
fait que ce résultat suppose que nous sommes dans
le cadre de la mécanique classique car c'est le modèle
que nous nous sommes donné.
Maintenant, c'est vrai que l'on peut toujours,
en suivant les principes d'Einstein, refuser ce modèle
classique et passer au cas de la mécanique relativiste.
Il y a alors (principe de relativité) une grandeur
en plus qui est c, homogène à une vitesse. C'est une
constante, autrement dit elle ne caractérise pas la
particule mais l'espace-temps. Alors en effet, si
on suppose toujours que l'énergie est homogène à
M L^2 /T^2 (c'est toujours le cas en relativité), on
ne connait plus son expression. L'analyse en dimension
nous fait dire qu'elle est de la forme m Y^2 avec
Y une vitesse qui dépend de v et de c mais il est
absolument impossible de la calculer a priori. Seul
le calcul DANS CE NOUVEAU MODELE de mécanique relativiste
est à même de donner la valeur finale qui est c^2(g-1)
avec g = 1/sqrt(1-v^2/c^2).
Voilà : en conclusion, en analysant plus précisément
votre objection et l'exemple que vous avez donné, on
voit qu'elle est basée sur une confusion entre modèle
et résolution.
Tout ceci confirme ce que j'avais essayé de
bien mettre en évidence dans mon précédent message.
Una analyse aux dimensions n'est rigoureusement
applicable qu'à deux conditions :
(1) le problème doit être bien défini, afin de
ne pas oublier de variables (ou constantes) cachées
(2) il doit y avoir une seule échelle par grandeur
physique (sinon l'analyse dimensionelle ne peut pas
faire grand chose !)
babacio
Je renonce à vous répondre.
Denis Feldmann
Mais alors, la notion d'analyse dimensionnelle n'a plus de sens...
>
> A partir de là, il n'y a pas de variable cachée.
> Ou de constante caché, comme vous l'avez supposé :
> il est bien évident qu'ici, cela revient au même.
> Votre objection repose sur le fait que vous trouvez
> possible l'existence d'une constante k (qui ne dépend
> pas du triangle rectangle), homogène à une longueur
> (il faut qu'elle soit homogène à une longueur pour
> que votre objection tienne afin d'"annuler"
> l'influence de c dans f en écrivant des termes
> du genre c/k). Je n'ai rien contre cette idée dans
> l'absolue, sauf qu'alors nous ne sommes plus dans le
> cadre de la géométrie euclidienne...
Mais qu'en sait-on, sauf à avoir déjà les résultats de celle-ci? L'analyse
dimensionnelle montre, justement, que k "peut" exister et avoir les
dimension d'une longueur ; surprise, k est le rayon de courbure, qui
caractérise en effet une géométrie non-euclidienne typique (et l'analogie
relativiste tient parfaitement, car c "infini" (mécanique classique)
correspond à k "infini" (géométrie euclidienne). ) Bon, tout ça est assez
trivial; je renonce donc, comme babacio, à vous répondre plus longuement...
Stef JM
>
> Je renonce à vous répondre.
Cette déclaration laconique n'est pas digne d'un débat scientifique.
Que vous soyez convaincu du bien fondé de vos arguments
Que vos arguments soit corrects,
ne change pas le fait que Valmont et moi ne sommes pas convaincu pour
autant.
Evidement, la réciproque est valable aussi.
Je savais en crosspostant sur fsm que le débat serait intéressant. Ce serait
dommage qu'il reste bloqué en ce point.
Si chacun repart avec ses convictions plus ou moins justifiées, on ne sera
pas plus avancé pour autant.
Pour moi (et pour pas mal de physicien), il me semble que l'analyse
dimensionnelle permet de démontrer que l'aire s'écrit c^2 * f(théta) si on
est en hypothèse euclidienne. (dans le cas contraire, je ne m'avance pas, je
sais encore moins caractériser une surface...)
Je suis prêt à changer d'avis, mais pas sans comprendre la bonne raison qui
va avec...
Cordialement.
--
StefJM
Stef JM
Je savais qu'un tel sujet produirait des discussions scientifiques
intéressantes.
"Valmont" a écrit
Il ne me semble pas que babacio ait chercher à changer l'énoncer du
problème. Patrick C et lui ont juste dit que l'AD ne suffisait pas à
démontrer que la fonction f ne dépend que de théta. C'est cette évidence de
la géométrie euclidienne qu'il faut démontrer.
Le problème n'est sans doute pas si simple que cela :
Je l'ai soumis à des physiciens (enseignants chercheurs) qui trouvent que la
démo de Valmont est ok sur toute la ligne.
Les mathématiciens sont systématiquement plus réservé.
> Dans le même ordre d'idée, je peux reprendre
> l'image de la mécanique classique et de la mécanique
> relativiste que vous avez essayé d'apporter comme
> objection. Elle ne tient pas non plus et c'est
> exactement la même confusion.
Je suis incapable de faire une AD en méca relativiste.
L'AD fonctionne bien quand on joue avec des produits. Lorsqu'on introduit
des sommes, voir des différences et des racines carrés, impossible de s'y
retrouver?
Le fait que la relativité assimile l'espace au temps par x=c*t ne permet
plus de faire une AD correcte.
> Tout ceci confirme ce que j'avais essayé de
> bien mettre en évidence dans mon précédent message.
> Una analyse aux dimensions n'est rigoureusement
> applicable qu'à deux conditions :
> (1) le problème doit être bien défini, afin de
> ne pas oublier de variables (ou constantes) cachées
> (2) il doit y avoir une seule échelle par grandeur
> physique (sinon l'analyse dimensionelle ne peut pas
> faire grand chose !)
Le point 2 est important mais délicat.
C'est quoi une grandeur physique?
Ex : en relativité, on n'a qu'une seule constante c pour deux grandeurs
physique T et L.
Cordialement.
--
StefJM
Olivier Miakinen
Le 03/11/2004 01:34, Denis Feldmann a écrit :
> [plein de choses citées]
>
> Mais alors, la notion d'analyse dimensionnelle n'a plus de sens...
>
> [...] je renonce donc, comme babacio, à vous répondre plus longuement...
>
>> [plein d'autres choses citées]
Denis, j'apprécie beaucoup tes interventions, mais la qualité de ce que
tu écris ne devrait pas te dispenser des règles habituelles dans la
hiérarchie, par exemple de supprimer tout ce à quoi tu ne réponds pas
(en l'occurrence plusieurs dizaines de lignes ici).
D'avance, merci.
Olivier Miakinen
[ suivi dans ma boîte ]
babacio
> > Je renonce à vous répondre.
>
> Cette déclaration laconique n'est pas digne d'un débat scientifique.
Valmont n'a fait que répéter ce qu'il avait dit en changeant
« variable » en « constante » (tout en prétendant que cela revenait au
même), et sur un ton que j'ai trouvé très condescendant (mon petit,
tout va bien, je vais t'expliquer, tu confonds modèle et théorie et
résolution...).
De plus il noie tout ça dans des messages fleuves. Faire un effort
pour condenser ce qu'on a à dire est la moindre des choses. Un tel
flux de paroles pour aussi peu de contenu n'est pas plus digne d'un
débat d'aucune sorte que ne l'est ma déclaration laconique. Cette
dernière a au moins le mérite de se lire rapidement.
Bref : je trouve cette discussion totalement vaine, je l'abandonne
donc.
> Que vous soyez convaincu du bien fondé de vos arguments, Que vos
> arguments soit corrects, ne change pas le fait que Valmont et moi ne
> sommes pas convaincu pour autant.
J'ai donné mon avis, ça me suffit. Vous pouvez être convaincu ou pas,
je n'en fais pas une affaire.
> Je savais en crosspostant sur fsm que le débat serait intéressant.
J'ai pointé ce qui est pour moi une erreur. La preuve est
intéressante. À aucun moment le « débat » qui s'est ensuivi ne m'a
paru intéressant.
> Pour moi (et pour pas mal de physicien), il me semble que l'analyse
> dimensionnelle permet de démontrer que l'aire s'écrit c^2 * f(théta)
> si on est en hypothèse euclidienne.
Et qu'est-ce qui fait que la preuve n'est pas valable en géométrie
sphérique ? La donnée de c et theta suffit à déterminer un triangle
rectangle à isométrie prêt, non ?
Alors en géométrie sphérique on va se méfier parce qu'on sait que le
rayon de la sphère peut intervenir. Trrrrrrrrrès bien.
Mais comment sait-on qu'il n'y a rien de tel en géométrie
euclidienne ? Qu'il n'y a pas quelque part une grandeur métrique
cachée qui pourrait jouer un rôle similaire au rayon d'une sphère ?
On peut faire appel à l'intuition, certes, tout le monde est convaincu
que la formule est vraie (puisqu'elle l'est). On peut dire « il est
bien connu qu'en géométrie euclidienne rien de tel n'arrive » ---
c'est ce à quoi se ramène le blabla de Valmont.
Mais si on veut le *prouver*, c'est par la propriété des homothéties que
nous avons invoqué, ou par une autre façon géométrique.
Voilà. Si tu veux me répondre, fais le en privé, mais n'espère pas de
réponse de ma part sur ce groupe.
Patrick Coilland
> En résumé, votre objection ne tient pas car vous
> mélangez modèle et théorie.
mathématicien (humblement dit), on a l'impression que l'on tourne en rond :
Que, pour la surface d'un triangle dans le modèle "géométrie Euclidienne",
il n'y ait pas à hésiter entre kc^2 et kc^2(1+c^2/R^2) avec R constante
universelle quelconque homogène à une longueur, relève - me semble t il - de
ce que notre étude de la géométrie euclidienne nous a déjà conduit à kc^2.
L'AD n'a rien apporté.
Lorsque j'ai vu quelques rudiments d'AD il y a de nombreuses années de cela
(30 à peu près), j'avais plutôt compris cela sous la forme suivante :
Dans certains cas (une seule grandeur par unité, ...), la connaissance des
grandeurs déterminantes + l'AD donne la formule la plus simple probable qui
peut orienter la vérification expérimentale ou la recherche de la
"démonstration" dans le cadre du modèle.
Je pense que ceci est de ma part affreusement réducteur mais explique assez
bien les différences de perception concernant l'AD entre mathématiciens et
physiciens.
Valmont
>> Ici, il n'y a pas à chercher midi à 14H, c'est
>>de la géométrie. Il n'y a pas d'étape de "modélisation".
>>Notre système (=modèle), c'est un triangle rectangle
>>dans le plan euclidien. Point final.
>
> Mais alors, la notion d'analyse dimensionnelle n'a plus de sens...
En fait, c'est exactement le contraire ! Je sais que
cela peut surprendre certaines personnes (car les
physiciens ont une certaine tendance à éviter prudemment
de rentrer dans des analyses mathématiques disons...
risquées !), mais une analyse dimensionelle n'a un sens
précis que si le problème est bien posé mathématiquement
(on connait les équations à résoudre), sinon, on peut
toujours tout inventer.
> Mais qu'en sait-on, sauf à avoir déjà les résultats de celle-ci? L'analyse
> dimensionnelle montre, justement, que k "peut" exister et avoir les
> dimension d'une longueur ; surprise, k est le rayon de courbure, qui
> caractérise en effet une géométrie non-euclidienne typique (et l'analogie
> relativiste tient parfaitement, car c "infini" (mécanique classique)
> correspond à k "infini" (géométrie euclidienne). ) Bon, tout ça est assez
> trivial; je renonce donc, comme babacio, à vous répondre plus longuement...
Ici, vous ne faites que résumer ce que je raconte dans
le message précédent. Je ne vois donc pas ce qui vous
choque sur le fond...
Valmont
> Je crois que je comprends, mais le problème est que, vu du côté
> mathématicien (humblement dit), on a l'impression que l'on tourne en rond :
> Que, pour la surface d'un triangle dans le modèle "géométrie Euclidienne",
> il n'y ait pas à hésiter entre kc^2 et kc^2(1+c^2/R^2) avec R constante
> universelle quelconque homogène à une longueur, relève - me semble t il - de
> ce que notre étude de la géométrie euclidienne nous a déjà conduit à kc^2.
> L'AD n'a rien apporté.
Là, je suis presque d'accord sur le fond avec ce que
vous ecrivez ! C'est une question de point de vue. On peut
même définir un espace euclidien par le théorème de Pythagore
(qui est alors un axiome) et alors toute démonstration devient
bien inutile. Par contre, on ne tourne pas en rond. L'AD
corrèle deux fait : le fait que l'aire d'un triangle rectangle
du plan euclidien est entièrement caratérisée par c et theta
implique le théorème de Pythagore. Votre conclusion est ainsi
un peu péremptoire...
> Lorsque j'ai vu quelques rudiments d'AD il y a de nombreuses années de cela
> (30 à peu près), j'avais plutôt compris cela sous la forme suivante :
> Dans certains cas (une seule grandeur par unité, ...), la connaissance des
> grandeurs déterminantes + l'AD donne la formule la plus simple probable qui
> peut orienter la vérification expérimentale ou la recherche de la
> "démonstration" dans le cadre du modèle.
>
> Je pense que ceci est de ma part affreusement réducteur mais explique assez
> bien les différences de perception concernant l'AD entre mathématiciens et
> physiciens.
Non, ceci n'est pas du tout réducteur car c'est en fait
presque exactement ce que j'ai écrit (je vois quand même
que j'ai du mal m'exprimer !). Il n'y a pas de mystère avec
l'analyse dimensionelle. On n'obtient même pas la forme la plus
probable mais la vraie forme (avec toujours un préfacteur
inconnu qui est une constante numérique) par analyse
dimensionelle, qui est en fait triviale car elle revient
à adimensionaliser les équations. Les mathématiciens ont
souvent un ragard un peu méprisant sur l'AD car tout cela
n'est guère étonant (et quelque part ils ont raison). En
math appli d'ailleurs, toutes les publis de matheux que
j'ai vues (n'exagérons rien je n'ai pas du en voir tant que
ça des publis de math apli de matheux vu que c'est pas mon
truc mais bon!) étaient déjà adimensionnalisées et l'étape
d'analyse dimensionelle déjà explicitée. Cela dit, en passant
rapidement sur cette étape triviale, ils "oublient" que
pour les physiciens elle est déjà intéressante : elle revient
à l'AD. Elle donne la forme des lois en fonction des paramètres
du systèmes.
C'est en fait un problème de culture : en étant provoquant
mais ca correspond très bien à mon expérience perso !) devant
une équation les matheux cherchent à montrer que la solution
existe et qu'elle est unique. Les physiciens cherchent
à la résoudre en oubliant sougneusement tous les problèmes
de définition...
Valmont
> Je suis incapable de faire une AD en méca relativiste.
> L'AD fonctionne bien quand on joue avec des produits. Lorsqu'on introduit
> des sommes, voir des différences et des racines carrés, impossible de s'y
> retrouver?
Oui, c'est la même idée que celle de dire qu'il y a
plusieurs échelles pour une même grandeur (une somme
additionne deux échelles de la même grandeur).
>>Una analyse aux dimensions n'est rigoureusement
>>applicable qu'à deux conditions :
>> (1) le problème doit être bien défini, afin de
>>ne pas oublier de variables (ou constantes) cachées
>> (2) il doit y avoir une seule échelle par grandeur
>>physique (sinon l'analyse dimensionelle ne peut pas
>>faire grand chose !)
>
>
> Le point 2 est important mais délicat.
> C'est quoi une grandeur physique?
Une vraie question à laquelle il m'est impossible
de répondre rapidement en un message...
> Cordialement.
Pareil !
V.
Denis Feldmann
Désolé, je tente en général de m'y conformer, mais là, un clic de souris
malencontreux m'a fait envoyer mon message avant d'avoir fini de l'éditer -(