Question sur calcul dérivée sin(x)
olivier....@algosyn.com
J'ai une question qui va surement vous paraitre très simple, mais je
ne trouve pas la réponse !
Comment démontrer que la dérivée de sin(x) est cos(x) en partant de la
définition de la dérivée (passage à la limite) sans utiliser des
propriétés du style:
limite de sin(x)/x = 1 quand x tend vers 0.
J'arrive à démontrer ces propriétés en utilisant les développements
limités, mais comme eux-même utilisent des dérivées, ..., la poule et
l'oeuf !
Merci de me donner une piste,
Olivier
Mû
> J'arrive à démontrer ces propriétés en utilisant les développements
> limités, mais comme eux-même utilisent des dérivées, ..., la poule et
> l'oeuf !
On peut encadrer un secteur angulaire d'angle x entre deux triangles
rectangles, l'un d'aire sin(x)/2 et l'autre d'aire tan(x)/2, le secteur
étant d'aire x/2. Ceci donne déjà la limite de sin(x) quand x tend vers
0, d'où celle du cosinus et enfin de sin(x)/x.
--
Mû
Nicolas Bonneel
> Bonjour � tous,
>
> J'ai une question qui va surement vous paraitre tr�s simple, mais je
> ne trouve pas la r�ponse !
> Comment d�montrer que la d�riv�e de sin(x) est cos(x) en partant de la
> d�finition de la d�riv�e (passage � la limite) sans utiliser des
> propri�t�s du style:
> limite de sin(x)/x = 1 quand x tend vers 0.
> limit�s, mais comme eux-m�me utilisent des d�riv�es, ..., la poule et
> l'oeuf !
Quel est le probleme avec les DL ? Si on fait un developpement en serie
entiere de sin(x):
sin(x) = sum( (-1)^n x^(2n+1)/((2n+1)!) )
sin'(x) = sum( (-1)^n * (2n+1) x^2n/((2n+1)!) )
= sum( (-1)^n * x^2n/(2n)!) )
= cos(x)
non ? Ca ne se mord pas la queue...
--
Nicolas Bonneel
http://cs.ubc.ca/~nbonneel/
jojolapin
"Nicolas Bonneel" <nbon...@cs.ubc.ca> a écrit dans le message de news:
hv92i5$i15$1...@swain.cs.ubc.ca...
> olivier....@algosyn.com wrote:
>> Bonjour à tous,
>>
>> J'ai une question qui va surement vous paraitre très simple, mais je
>> ne trouve pas la réponse !
>> Comment démontrer que la dérivée de sin(x) est cos(x) en partant de la
>> propriétés du style:
>> limite de sin(x)/x = 1 quand x tend vers 0.
>> l'oeuf !
>
> Quel est le probleme avec les DL ? Si on fait un developpement en serie
> entiere de sin(x):
> sin(x) = sum( (-1)^n x^(2n+1)/((2n+1)!) )
> sin'(x) = sum( (-1)^n * (2n+1) x^2n/((2n+1)!) )
> = sum( (-1)^n * x^2n/(2n)!) )
> = cos(x)
> non ? Ca ne se mord pas la queue...
>
il pense que cela se mort la queue car pour avoir les divers coef de la
série (on a besoin de dérivées)
il faut voir quellle définition du sinus il a , en plus je ne pense pas
qu'il soit en prépa
olivier....@algosyn.com
>
> il pense que cela se mort la queue car pour avoir les divers coef de la
> série (on a besoin de dérivées)
> il faut voir quellle définition du sinus il a , en plus je ne pense pas
> qu'il soit en prépa
J'étais en prépa, il y a ... 30 ans !
;-)
En fait ma fille est en première (équivalent en Belgique).
Dans ce charmant petit pays, il y a des examens chaque année.
Hier, en maths, une question subsidiaire plus compliquée, était:
calculer la dérivée de f(x) = cos(3x) en utilisant la définition: (f(x
+h)-f(x))/h quand h tend vers 0.
Effectivement, il faudrait voir quelle est la définition du sinus. A
mon avis, ça a du être introduit avec le cercle unitaire. Donc la
solution géomètrique avec les deux triangles est une bonne piste
Olivier
olivier....@algosyn.com
> Quel est le probleme avec les DL ? Si on fait un developpement en serie
> entiere de sin(x):
> sin(x) = sum( (-1)^n x^(2n+1)/((2n+1)!) )
> sin'(x) = sum( (-1)^n * (2n+1) x^2n/((2n+1)!) )
> = sum( (-1)^n * x^2n/(2n)!) )
> = cos(x)
> non ? Ca ne se mord pas la queue...
>
> --
> Nicolas Bonneelhttp://cs.ubc.ca/~nbonneel/
Merci pour la réponse
Les coefficients du DL ne sont-il pas calculés grâce aux dérivées,
non ?
Olivier
jojolapin
<olivier....@algosyn.com> a écrit dans le message de news:
c1c67ccc-8ad1-4007...@u26g2000yqu.googlegroups.com...
-----------
Cela dépend de la définition que tu prends du sinus
Si par définition
sin(Z) = sum( (-1)^n Z^(2n+1)/((2n+1)!) )
tu n'as pas de calcul de dérivée
Autre exemple:
En TES, la définition de la fonction exponentielle : réciproque de la
fonction ln
En TS, la définition de la fonction exponentielle : la fonction qui vérifie
f' = f et f(0) = 1
En université , tu peux prendre comme définition la série
même si tu peux montrer que cela revient au même , les démonstrations ne
vont pas être les mêmes pour obtenir certains résultats
Valeri Astanoff
Je vous propose la justification géométrique élémentaire
et intuitive suivante :
Soit A ( cos a ,sin a ) un point du premier quadrant
du cercle trigonométrique, B ( cos b ,sin b )
le point voisin, et C de coordonnées ( cos b, sin a ).
Quand B tend vers A, AB devient la tangente en A,
sa longueur tend vers (b-a) et la mesure
de l'angle ABC tend vers a
(angles à côtés perpendiculaires).
On a donc alors (projection de AB sur BC) :
(b-a)*cos a -> sin b - sin a
soit
(sin b - sin a)/(b-a) -> cos a
et donc sin'a = cos a
--
V.Astanoff
lavau....@nospamlaposte.net
>On a donc alors (projection de AB sur BC) :
>(b-a)*cos a -> sin b - sin a
Quand b tend vers a, (b-a)*cos(a) tend vers 0.
Si tu veux dire que (b - a)*cos(a)/(sin(b) - sin(a)) tend vers 1, je
crains que tu es besoin de ce que tu veux prouver.
Lavau Gérard
lavau....@nospamlaposte.net
>On peut encadrer un secteur angulaire d'angle x entre deux triangles
>rectangles, l'un d'aire sin(x)/2 et l'autre d'aire tan(x)/2, le secteur
>étant d'aire x/2. Ceci donne déjà la limite de sin(x) quand x tend vers
>0, d'où celle du cosinus et enfin de sin(x)/x.
Je crains que, pour montrer que l'aire du secteur est x/2, on ait
besoin de ce qu'on veut prouver.
Lavau Gérard
lavau....@nospamlaposte.net
>Si tu veux dire que (b - a)*cos(a)/(sin(b) - sin(a)) tend vers 1, je
>crains que tu es besoin de ce que tu veux prouver.
que tu ais besoin...
Lavau Gérard
lavau....@nospamlaposte.net
>Comment démontrer que la dérivée de sin(x) est cos(x) en partant de la
>définition de la dérivée (passage à la limite) sans utiliser des
>propriétés du style:
>limite de sin(x)/x = 1 quand x tend vers 0.
Prouver que la dérivée de sin(x) est cos(x) est équivalent à prouver
que limite de sin(x)/x = 1 quand x tend vers 0.
Au niveau d'une classe de Première, je ne pense pas que ce soit
faisable sans cercle vicieux. La seule façon de s'en sortir à ce
niveau consiste peut-être à dire que cela résulte de la définition du
radian. La mesure des angles en radian est telle que, précisément,
limite de sin(x)/x = 1 quand x tend vers 0.
Lavau Gérard
Benoit RIVET
Pour démontrer que l'aire du secteur est x/2, il suffit de définir
correctement la notion d'aire d'un secteur angulaire et la notion
d'angle (ie: longueur parcourue sur le cercle).
Rien de plus élémentaire ;-)
Valeri Astanoff
Je ne comprends pas cette objection (votre honneur):
j'évalue de deux manières le segment BC
d'une part c'est sin b - sin a
d'autre part en projetant AB sur BC
c'est (b-a)cos a en assimilant l'hypoténuse à l'arc
ce qui me donne la 'justification' de sin' = cos
ça ne prétend pas être une démonstration, naturellement !
cela dit, il me semble que "que tu aies besoin"
est nettement préférable à "que tu ais besoin", non ?
je fais le taquin, il faut m'excuser !
--
V.Astanoff
lavau....@nospamlaposte.net
>Je ne comprends pas cette objection (votre honneur):
>j'évalue de deux manières le segment BC
>d'une part c'est sin b - sin a
>d'autre part en projetant AB sur BC
>c'est (b-a)cos a en assimilant l'hypoténuse à l'arc
>ce qui me donne la 'justification' de sin' = cos
Pour faire cette assimiliation entre l'hypoténuse et l'arc, tu
utilises implicitement le fait que sin(x)/x tend vers 1.
Lavau Gérard
lavau....@nospamlaposte.net
><lavau....@NOSPAMlaposte.net> wrote:
>Pour démontrer que l'aire du secteur est x/2, il suffit de définir
>correctement la notion d'aire d'un secteur angulaire et la notion
>d'angle (ie: longueur parcourue sur le cercle).
Pour définir une aire ou une longueur d'une courbe, je ne vois pas
très bien comment faire sans utiliser du calcul intégral ou
différentiel. Mais je peux me tromper.
Peux-tu donc préciser comment tu définis l'aire d'un secteur angulaire
et comment tu définis la longueur d'un arc de cercle ?
Lavau Gérard
Lotre
<lavau....@NOSPAMlaposte.net> a écrit dans le message de news:
4c18dcb2$0$2947
> Pour fairecette assimiliation entre l'hypoténuse et l'arc, tu
> utilises implicitement le fait que sin(x)/x tend vers 1.
Pour prouver que le coef qui passe du diamètre au "périmètre"
et celui qui passe du carré-du-rayon à l'aire
et le même ( Pi ),
Archimède (aussi) utilisa cette idée "naturelle" :
quand l'angle au centre devient "aussi faible que l'on veut"
les longueurs de l'arc et de la corde sont "équivalentes"
Il n'est pas besoin d'avoir recours à la trigonométrie
pour avoir une telle " idée ".
Si l'on veut TOUT prouver de façon "rigoureuse"
il faut d'abord TOUT redéfinir...
et ça...
ce n'est pas sérieusement envisageable au lycée...
( contexte de la question initiale)
Donc la proposition de V. Astanoff est tout satisfaisante.
HB
olivier....@algosyn.com
>
> Prouver que la dérivée de sin(x) est cos(x) est équivalent à prouver
> que limite de sin(x)/x = 1 quand x tend vers 0.
>
> Au niveau d'une classe de Première, je ne pense pas que ce soit
> faisable sans cercle vicieux. La seule façon de s'en sortir à ce
> niveau consiste peut-être à dire que cela résulte de la définition du
> radian. La mesure des angles en radian est telle que, précisément,
> limite de sin(x)/x = 1 quand x tend vers 0.
>
> Lavau Gérard
Merci beaucoup pour toutes le réponses.
J'ai un gros doute tout à coup ! Ai-je un jour cassé ce cercle
vicieux ?
En première et terminale la dérivée de sin(x) est cos(x) et limite de
sin(x)/x = 1. A force de rabachage, cela devient une vraie vérité !
Après en Sup, on voit les DL, qui sont basés sur les dérivées, et
après on les utilise sans arrêt, pour éventuellement redémontrer la
limite !!!
Pas évident. Je ne vois pas de méthode pour casser ce cercle !
Olivier
Mich29
Mettons pi c'est quoi pour vous ?
Et d'un autre coté c'est incontournable.
Cependant, pour revenir à la question initiale, je pense qu'elle était :
Sachant que sin' (x) = cos (x) déterminer la dérivée de sin (3x)
Ce qui devient accessible ( ? )
Parce qu'avec les séries démontrer exp ( i pi ) = - 1 il faut fatalement
avoir l'esprit autoclair pour éviter les cercles...
Bref pi c'est quoi pour vous sans naïveté ?
Salut.
olivier....@algosyn.com
> Bon
> Mettons pi c'est quoi pour vous ?
3.14
;-)
> Et d'un autre coté c'est incontournable.
>
> Cependant, pour revenir à la question initiale, je pense qu'elle était :
> Sachant que sin' (x) = cos (x) déterminer la dérivée de sin (3x)
> Ce qui devient accessible ( ? )
Non, c'était la dérivée de sin(3x) en partant de la définition
utilisant la limite donc sans utiliser
sin'(x) = cos(x)
>
> Parce qu'avec les séries démontrer exp ( i pi ) = - 1 il faut fatalement
> avoir l'esprit autoclair pour éviter les cercles...
>
> Bref pi c'est quoi pour vous sans naïveté ?
Disons: 3.14159, parce que c'est vous !
:-)
Sérieusement, pi m'a été présenté la première fois comme le périmètre
d'un cercle divisé par son diamètre ...
>
> Salut.
Bonsoir
YBM
> Bref pi c'est quoi pour vous sans na�vet� ?
C'est le rapport constant entre le diam�tre d'un cercle et la limite
sup�rieure de l'ensemble des longueurs de suites de cordes connect�es
et compl�tes sur ce cercle.
Je sens que cette discussion, fort int�ressante, va nous attirer les
idioties de Mohwalibaba Marbou'dficelle...
Jean-Claude Arbaut
> Mich29 a écrit :
>> Bref pi c'est quoi pour vous sans naïveté ?
>
> C'est le rapport constant entre le diamètre d'un cercle et la limite
> supérieure de l'ensemble des longueurs de suites de cordes connectées
> et complètes sur ce cercle.
>
> Je sens que cette discussion, fort intéressante, va nous attirer les
> idioties de Mohwalibaba Marbou'dficelle...
>
Ou deux fois le plus petit zéro positif de la fonction cos. En partant
de la définition à l'aide d'une série, bien sûr.
On peut aussi partir de la primitive de 1/(1+x^2) qui s'annule en 0.
Lotre
<lavau....@NOSPAMlaposte.net> a écrit dans le message de news:
> "olivier....@algosyn.com" <olivier....@algosyn.com> wrote:
>
>
> Au niveau d'une classe de Première, (...)
Au niveau d'une classe de lycée, sin(x) et cos(x) sont définis comme
coordonnées du point d'angle polaire x qui se balade sur le cercle
qualifié dès lors de "trigonométrique".
Par ailleurs un élève "normal" sait que la longueur d'un arc est
proportionnelle à l'angle au centre, et que le coef est Pi si la
mesure est exprimée en radians ( unité introduite assez tard dans les
programmes français actuels)
Pour un élève de lycée, "prouver" que sin' est cos
ne peut pas se faire sans support géométrique
dans le cercle trigonométrique
ni sans admettre certaines "évidences"...
HB
Lotre
"Mich29" <Mic...@orrange.invalid> >
> Bref pi c'est quoi pour vous sans na�vet� ?
>
Historiquement, si je ne m'abuse,
pi est le coef de proportionnalit� p�rim�tre/diam�tre.
la "preuve" que le rapport [aire du disque]/rayon�
soit le m�me coef est due � Archim�de me semble-t-il.
On peut bien s�r "red�finir" pi de fa�on beaucoup plus savante
mais je pr�f�re la d�finition historique
qui poss�de l'avantage de la simplicit�.
( m�me si le fait qu'il y ait proportionnalit� est, dans ces cas l�,
admis...)
La "reconstruction int�grale" de fa�on progressive,
sans cercle vicieux ni zone d'ombre
existe
mais � ma connaissance, aucun cours de maths
ne proc�de ainsi...
...
HB
Mich29
> On Jun 16, 9:02 pm, Mich29<Mic...@orrange.invalid> wrote:
>
>> Bon
>> Mettons pi c'est quoi pour vous ?
> 3.14
> ;-)
>
>>
>> Cependant, pour revenir � la question initiale, je pense qu'elle �tait :
>> Sachant que sin' (x) = cos (x) d�terminer la d�riv�e de sin (3x)
>> Ce qui devient accessible ( ? )
> utilisant la limite donc sans utiliser
> sin'(x) = cos(x)
>
connaissant la limite de sin(x)/x
>>
>> Parce qu'avec les s�ries d�montrer exp ( i pi ) = - 1 il faut fatalement
>> avoir l'esprit autoclair pour �viter les cercles...
>>
>> Bref pi c'est quoi pour vous sans na�vet� ?
>
> Disons: 3.14159, parce que c'est vous !
> :-)
>
> d'un cercle divis� par son diam�tre ...
>
C'est une de ses d�finitions.
Pas forc�ment pratique pour attaquer exp( i pi)...
>>
>> Salut.
>
> Bonsoir
lavau....@nospamlaposte.net
>Pas �vident. Je ne vois pas de m�thode pour casser ce cercle !
Je ne pense pas qu'une telle m�thode soit faisable en Premi�re.
Le math�maticien Landau faisait comme suit en 1934 � l'Universit� de
G�ttingen.
On d�finit l'exponentielle complexe e^z par la s�rie sum z^n/n!
On d�finit sin(x) par la partie imaginaire de e^x, x, r�el
On d�finit cos(x) par la partie r�elle de e^x, x r�el
Il est alors facile de montrer que sin(x)/x tend vers 1 ou que la
d�riv�e de sin est cos.
On d�finit le nombre Pi/2 comme �tant le plus petit z�ro de cos.
On prouve que Pi est alors le fameux nombre intervenant dans le calcul
de l'aire du disque ou du p�rim�tre du cercle.
Cette pr�sentation est faite par exemple dans le livre de Rudin,
analyse r�elle et complexe, mais il est bon de savoir que, en 1934,
Landau a �t� chass� par les nazis de son poste � G�ttingen � la suite
d'une campagne men�e par son coll�gue Bieberbach accusant Landau
d'adopter un style anti-allemand dans son enseignement.
Lavau G�rard
lavau....@nospamlaposte.net
>Pour prouver que le coef qui passe du diamètre au "périmètre"
>et celui qui passe du carré-du-rayon à l'aire
>et le même ( Pi ),
>Archimède (aussi) utilisa cette idée "naturelle" :
>quand l'angle au centre devient "aussi faible que l'on veut"
>les longueurs de l'arc et de la corde sont "équivalentes"
L'angle se mesure dans une certaine unité (radian, degré, grade, ...).
La longueur se mesure dans une autre. La longueur de l'arc est
proportionnelle à la mesure de l'angle, mettons ax si x est la mesure
de l'angle, a dépendant de l'unité choisie. La longueur de la corde du
cercle de rayon 1 soutenu par un arc x est 2sin(x/2). Assimiler la
longueur de la corde à la longueur de l'arc revient à dire que la
limite de 2sin(x/2)/(ax) = 1 avec a dépendant de l'unité choisie.
C'est pourquoi je disais dans un précédent message que choisir que
cette relation est vraie pour a=1 rélève du choix d'une unité de la
mesure de l'angle. On définit le radian de façon que sin(x)/x a pour
limite 1. Ainsi, le fait que lim sin(x)/x = 1 ne se prouve pas. C'est
une définition lorsque l'on mesure les angles en radian.
La "preuve" d'Astanoff, pour satisfaisante qu'elle soit, devient alors
inutilement compliquée. Au lieu de prendre les points A et B repérés
par les angles a et b, il suffit de prendre les points A et B repérés
par les angles 0 et x. Mais alors on tombe directement sur la limite
de sin(x)/x en 0. C'est pourquoi je disais qu'il utilisait
implicitement cette limite.
Lavau Gérard
Mich29
> On Jun 16, 9:02 pm, Mich29<Mic...@orrange.invalid> wrote:
>
>> Bon
>> Mettons pi c'est quoi pour vous ?
> 3.14
> ;-)
>
>> Et d'un autre coté c'est incontournable.
>>
>> Cependant, pour revenir à la question initiale, je pense qu'elle était :
>> Sachant que sin' (x) = cos (x) déterminer la dérivée de sin (3x)
>> Ce qui devient accessible ( ? )
> Non, c'était la dérivée de sin(3x) en partant de la définition
> utilisant la limite donc sans utiliser
> sin'(x) = cos(x)
>
>>
>> Parce qu'avec les séries démontrer exp ( i pi ) = - 1 il faut fatalement
>> avoir l'esprit autoclair pour éviter les cercles...
>>
>> Bref pi c'est quoi pour vous sans naïveté ?
>
> Disons: 3.14159, parce que c'est vous !
> :-)
>
> Sérieusement, pi m'a été présenté la première fois comme le périmètre
> d'un cercle divisé par son diamètre ...
>
Pas forcément pratique pour étudier les fonctions trigo.
>>
>> Salut.
>
> Bonsoir
NotMe
> "olivier....@algosyn.com"<olivier....@algosyn.com> wrote:
>
>> Pas évident. Je ne vois pas de méthode pour casser ce cercle !
>
> Je ne pense pas qu'une telle méthode soit faisable en Première.
>
> Le mathématicien Landau faisait comme suit en 1934 à l'Université de
> Göttingen.
> On définit l'exponentielle complexe e^z par la série sum z^n/n!
> On définit sin(x) par la partie imaginaire de e^x, x, réel
> On définit cos(x) par la partie réelle de e^x, x réel
> Il est alors facile de montrer que sin(x)/x tend vers 1 ou que la
> On définit le nombre Pi/2 comme étant le plus petit zéro de cos.
> On prouve que Pi est alors le fameux nombre intervenant dans le calcul
>
> Cette présentation est faite par exemple dans le livre de Rudin,
> analyse réelle et complexe, mais il est bon de savoir que, en 1934,
> Landau a été chassé par les nazis de son poste à Göttingen à la suite
> d'une campagne menée par son collègue Bieberbach accusant Landau
> d'adopter un style anti-allemand dans son enseignement.
>
>
>
>
Ca sent le point Godwin
Michel Talon
> par les angles 0 et x. Mais alors on tombe directement sur la limite
> de sin(x)/x en 0. C'est pourquoi je disais qu'il utilisait
> implicitement cette limite.
>
Je persiste à penser que, si on ne cherche pas à pinailler dans des
questions de rigueur totalement dépourvues du moindre intérêt, x est par
définition la longueur d'un arc de cercle, et 2 sin (x/2) est la
longueur de la corde sous tendant cet arc, et qu'il est "évident" que
les deux deviennent égaux quand x devient petit. Si on veut être plus
rigoureux, il faut expliquer comment on mesure la longueur d'un courbe,
et alors on parviendra à montrer que la différence entre les deux est
bien O(x^2).
--
Michel TALON
ast
"YBM" <ybm...@nooos.fr.invalid> a écrit dans le message de
news:4c193458$0$18007$426a...@news.free.fr...
> Mich29 a écrit :
>> Bref pi c'est quoi pour vous sans naïveté ?
> C'est le rapport constant entre le diamètre d'un cercle et la limite
> supérieure de l'ensemble des longueurs de suites de cordes connectées
> et complètes sur ce cercle.
Encore faut-il démonter que le rapport ne dépend pas du cercle
Il y une démo sur le site d'Ilan Vardi ici:
http://www.lix.polytechnique.fr/Labo/Ilan.Vardi/pi-exists.html
lavau....@nospamlaposte.net
>Je persiste à penser que, si on ne cherche pas à pinailler dans des
>questions de rigueur totalement dépourvues du moindre intérêt, x est par
>définition la longueur d'un arc de cercle, et 2 sin (x/2) est la
>longueur de la corde sous tendant cet arc, et qu'il est "évident" que
>les deux deviennent égaux quand x devient petit.
Nous sommes bien d'accord. Au niveau Première, le fait que lim
sin(x)/x = 1 n'est que la traduction du fait que x est la longueur
d'un arc dont la mesure est donnée en radian. Il n'y a donc rien à
montrer.
Lavau Gérard
Benoit RIVET
> On prouve que Pi est alors le fameux nombre intervenant dans le calcul
> de l'aire du disque ou du périmètre du cercle.
Je serais curieux de savoir comment on prouve que Pi est ce fameux
nombre. J'imagine qu'il faut définir l'aire du disque et le périmètre du
cercle. Dans ce contexte, j'ai un peu de mal à voir comment la formule :
Aire(D)=int dxdy
et la formule :
L=int racine(x'^2+y'^2)(t)dt
sont justifiées. Certes, ce sont des «définitions» possibles de l'aire
et de la longueur, mais elles me semblent difficiles à justifier de
façon élémentaires à partir de la notion intuitive d'aire et de longueur
dans le plan.
Elle requièrent de surcroît un bagage théorique hors de portée de nos
élèves de lycée, puisqu'il faut définir au préalable l'intégrale et
l'intégrale double :-)
C'en est à se demander comment les grecs ont fait pour calculer le
nombre Pi.
Benoit RIVET
> benoit...@libre.fr.invalid (Benoit RIVET) wrote:
>
> ><lavau....@NOSPAMlaposte.net> wrote:
>
> >Pour démontrer que l'aire du secteur est x/2, il suffit de définir
> >correctement la notion d'aire d'un secteur angulaire et la notion
> >d'angle (ie: longueur parcourue sur le cercle).
>
> Pour définir une aire ou une longueur d'une courbe, je ne vois pas
> très bien comment faire sans utiliser du calcul intégral ou
> différentiel. Mais je peux me tromper.
La propriété de la borne supérieure suffit.
Si 0=a_0<a_1<...<a_n=t est une subdivision s de [0,t], on peut calculer
la longueur l(s) de la courbe formée des segments joignant les points
d'angle a_i (exprimé en degré) sur le cercle.
Si s' est une subdivision plus fine que s, l(s')>l(s) (c'est l'inégalité
triangulaire) et on définit la longueur de l'arc de cercle joignant les
points d'angle 0° à t° comme la borne supérieure des l(s). La seule
difficulté étant de vérifier que la borne supérieure est finie (mais il
suffit de comparer avec la longueur des segments joignant les points
correspondant sur le carré contenant le cercle).
L'intérêt, c'est que l'aire du domaine angulaire est facile à encadrer à
partir de la subdivision (faites un dessin) et on retrouve facilement à
la limite la relation entre l'aire du domaine angualire et l'angle
(exprimé en radian : la longueur parcourue sur le cercle)
Lotre
"Benoit RIVET" <benoit...@libre.fr.invalid> (...)
> C'en est à se demander comment les grecs ont fait pour calculer le
> nombre Pi.
;o)))))
ce fil est je trouve très significatif d'un malentendu persistant :
Jusqu'à une époque récente une "preuve" en maths
était une explication plus où moins longue susceptible de convaincre.
Tout n'était pas réellement explicité avec une grande
précision/rigueur .
Relisez Euclide et même Pascal et comparez avec
- les bouquins actuels ou récents .
- ce qui vient d'être doctement dit dans ce fil.
Alors qu'et-ce qu'une preuve ?
Exemple d'exo des années 60 :
Deux cordes perpendiculaires d'un cercle
sécantes en I à l'intérieur du disque
tourne d'un angle a inférieur à un quart de tour.
Exprimer l'aire balayée en fonction de a.
Solution d'un prof d'époque :
Etape 1. Si on nomme A, B, C et D les extrémités des deux cordes dans
leurs positions initiales,
on a, c'est bien connu(*) :
IA² + IB² + IC² + ID² = d² où d est le diamètre du cercle.
Etape 2 : On note F(a) l'aire en fixant un point I.
On peut encadrer [F(a+ h) - F(a) ]/h
Chacun des 4 morceaux est équivalent, pour h assez petit, à un secteur
circulaire...
On en déduit que [F(a+ h) - F(a) ]/h tend vers d²
Conclusion : F est donc affine.. et on finit.
(*) - bien guidé on peut le faire faire en classe de 4°.
- sans indication un bon Term S échoue
Bon.... maintenant, faut être un peut moins vague
dans le "on voit bien que"
et autre "on sait bien que" ;o)
HB
ast
<lavau....@NOSPAMlaposte.net> a écrit dans le message de
news:4c19d45d$0$2962$ba4a...@reader.news.orange.fr...
> "olivier....@algosyn.com" <olivier....@algosyn.com> wrote:
> On définit l'exponentielle complexe e^z par la série sum z^n/n!
> On définit sin(x) par la partie imaginaire de e^x, x, réel
e^ix non ?
> On définit cos(x) par la partie réelle de e^x, x réel
e^ix non ?
Oncle Dom
>> On d�finit l'exponentielle complexe e^z par la s�rie sum z^n/n!
>
> e^ix non ?
>
>> On d�finit cos(x) par la partie r�elle de e^x, x r�el
>
Ben � l'�cole, on m'a appris que e^ix= cos(x)+i*sin(x)
Si on n'a pas voulu me cacher qu'Euler avait dit des conneries, alors c'est
bon, non?
--
Oncle Dom
_________
http://www.oncle-dom.fr/
didier
On 17 juin, 19:50, "Oncle Dom" <onc...@orange.fr> wrote:
> >> On d finit l'exponentielle complexe e^z par la s rie sum z^n/n!
> >> On d finit sin(x) par la partie imaginaire de e^x, x, r el
> > e^ix non ?
> >> On d finit cos(x) par la partie r elle de e^x, x r el
> > e^ix non ?
>
> Ben l' cole, on m'a appris que e^ix= cos(x)+i*sin(x)
> Si on n'a pas voulu me cacher qu'Euler avait dit des conneries, alors c'est
> bon, non?
Ben non, Ast a eut raison de rectifier, puisque justement Jacques
n'avait pas écrit e^ix mais e^x. Une faute de frappe ou de distraction
sans doute.
Jean-Christophe
> Comment démontrer que la dérivée de sin(x) est cos(x)
Peut-etre en écrivant
sin(x) = [ exp(ix) - exp(-ix) ] / 2i
et ensuite dériver le terme de droite ?
lavau....@nospamlaposte.net
>Ben non, Ast a eut raison de rectifier, puisque justement Jacques
>n'avait pas �crit e^ix mais e^x. Une faute de frappe ou de distraction
>sans doute.
Effectivement. e^(ix) et non e^x. Mais je ne me pr�nomme pas Jacques.
Lavau G�rard
lavau....@nospamlaposte.net
>Elle requièrent de surcroît un bagage théorique hors de portée de nos
>élèves de lycée, puisqu'il faut définir au préalable l'intégrale et
>l'intégrale double :-)
Aussi avais-je pris soin de préciser dans mon message : "Je ne pense
pas qu'une telle méthode soit faisable en Première". Il en est de
même, me semble-t-il, de l'utilisation de la borne supérieure, un peu
hard en Première également. Bref, si les livres de Première en
mathématiques admettent la formule lim sin(x)/x = 1 (agrémentée au
besoin de "on voit bien que", ou "il est évident que"), ce n'est
certainement pas un hasard.
>C'en est à se demander comment les grecs ont fait pour calculer le
>nombre Pi.
La méthode par exhaustion, c'est quasiment du calcul intégral.
Lavau Gérard
Mich29
première est de démontrer avec recours à la définition la valeur de la
dérivée de s ---> sin(3x) en zéro connaissant la limite de sin(x)/x ou
un truc approchant sin'(0) = 1 par exemple.
D'autant que trois virgule quatorze cent cinquante neuf peut bien
ressembler à un pi raté ( En belgique ).
Mich29
première est de démontrer avec recours à la définition la valeur de la
sin(x)/x en zéro ou un truc approchant sin'(0) = 1 par exemple.
Oncle Dom
> Bonjour à tous,
>
> J'ai une question qui va surement vous paraitre très simple, mais je
> ne trouve pas la réponse !
> Comment démontrer que la dérivée de sin(x) est cos(x) en partant de la
> définition de la dérivée (passage à la limite) sans utiliser des
> propriétés du style:
> limite de sin(x)/x = 1 quand x tend vers 0.
(je dis un peu n'importe quoi, parce que j'ai la flemme de chercher)
Mû
> Pour définir une aire ou une longueur d'une courbe, je ne vois pas
> très bien comment faire sans utiliser du calcul intégral ou
> différentiel. Mais je peux me tromper.
>
> Peux-tu donc préciser comment tu définis l'aire d'un secteur angulaire
> et comment tu définis la longueur d'un arc de cercle ?
On peut en rester à des considérations de mesure de Lebesgue.
--
Mû
Achille Talon
Je répond tardivement en observant que si on fait tourner un rayon du
cercle trigonométrique de 90°, on permute x et y. Or la tangente au
cercle (la dérivée) est perpendiculaire au rayon.
Socratis
"Nicolas Bonneel" <nbon...@cs.ubc.ca> ha scritto nel messaggio
> olivier....@algosyn.com wrote:
>> Bonjour � tous,
>>
>> J'ai une question qui va surement vous paraitre tr�s simple, mais je
>> ne trouve pas la r�ponse !
>> Comment d�montrer que la d�riv�e de sin(x) est cos(x) en partant de la
>> d�finition de la d�riv�e (passage � la limite) sans utiliser des
>> propri�t�s du style:
>> limite de sin(x)/x = 1 quand x tend vers 0.
Car ; 0/0=1
Socratis.
Lotre
"Achille Talon" <a...@cubitus.at> a écrit dans le message de news:
4c210fee$0$23525$426a...@news.free.fr...
>
> Je répond tardivement en observant que si on fait tourner un rayon
> du
> cercle trigonométrique de 90°, on permute x et y. Or la tangente au
> cercle (la dérivée) est perpendiculaire au rayon.
Exact ! j'avais oublié ce souvenir dans un recoin d'un neurone ...
C'est ainsi que l'on m'a "présenté" ce résultat au lycée
il y a ... quelques temps ;o)
En utilisant le mouvement circulaire uniforme .
HB
jc_lavau
> didier<d.lau...@mrw.wallonie.be> wrote:
>
>> Ben non, Ast a eut raison de rectifier, puisque justement Jacques
>> sans doute.
>
> Effectivement. e^(ix) et non e^x. Mais je ne me prénomme pas Jacques.
>
>
> Lavau Gérard
Il y a plus de Lavau que je ne pensais, en France, aux Antilles, et
même au Québec.
--
La science se distingue ainsi des autres modes de transmission des
connaissances : nous croyons que les experts sont faillibles, que les
traditions charrient toutes sortes de fables et d'erreurs, et qu'il
faut vérifier, par des expériences.
didier
wrote:
> Il y a plus de Lavau que je ne pensais, en France, aux Antilles, et
Ah, tiens, c'est marrant ça, je n'avais pas relevé. Ca vient seulement
de faire tilt :-)