Dérivée de sin(x)
Sylvain77
Je cherche à démontrer que la dérivée de sin(x) est cos(x) en partant de
la définition (1ere S):
sin(x) ' = lim(h--->0) (sin(x+h)-sin(x))/h
Je ne peux donc pas utiliser un résultat du type lim (h-->0) sin(h)/h =1
Connaissez vous une "astuce" pour arriver au résultat sans utilisation
de théorèmes ou de limites hors programme ?
Merci d'avance et bon WE
Sethy
Esnuite passer à la limite.
Sethy
sotwafits
> Bonjour,
>
> Je cherche à démontrer que la dérivée de sin(x) est cos(x) en partant de
> la définition (1ere S):
>
> sin(x) ' = lim(h--->0) (sin(x+h)-sin(x))/h
>
> Je ne peux donc pas utiliser un résultat du type lim (h-->0) sin(h)/h =1
Bonjour
Je ne pense pas qu'on puisse se passer de la limite en 0 de (sin x)/x
(ne serait-ce que pour montrer que sin est dérivable en 0 !)
Si on ne veut pas l'admettre, on peut l'obtenir géométriquement, en
incluant un secteur circulaire entre deux triangles :
C'est bien plus facile à comprendre avec un dessin qu'en l'expliquant !
on suppose pour simplifier que x est entre 0 et pi/2, et on considère
(dans un repère orthonormé (O,i,j), le point A(1,0) et le point B(sin
x,cos x).
Notons C le projeté orthogonal de B sur (Ox), et D le point
d'intersection de (OB) avec la perpendiculaire en A à (Oy).
L'aire du secteur circulaire (partie du disque unité) de centre O,
d'extrémités A et B, est x/2
L'aire du triangle OCB est (sin x)(cos x)/2
L'aire du triangle OAD est (tan x)/2
Par inclusion de ces trois ensembles, on a :
(sin x)(cos x) < x < tan x
Ce qui permet de montrer facilement que (sin x)/x tend vers 1 en 0
Sylvain77
Merci à tous !
lavau....@nospamlaposte.net
>L'aire du secteur circulaire (partie du disque unité) de centre O,
>d'extrémités A et B, est x/2
Oui, mais pour prouver que cette aire vaut x/2, on utilise
implicitement le fait que sin(x)/x -> 0.
Lavau Gérard
sotwafits
Non : si on admet que le disque unité a comme aire pi, en faisant une
simple proportionnalité, on obtient qu'un secteur circulaire d'angle x a
pour aire x/2
De toute façon, on est bien obligé d'admettre quelque chose
Ken Pledger
Sylvain77 <no....@merci.fr> wrote:
> Bonjour,
>
> Je cherche à démontrer que la dérivée de sin(x) est cos(x) en partant de
> la définition (1ere S):
>
> sin(x) ' = lim(h--->0) (sin(x+h)-sin(x))/h
> ....
sin(a) - sin(b) = 2.cos((a+b)/2).sin((a-b)/2).
Soit a = x+h, b = x.
Ken Pledger.
Gilles Robert
> Sylvain77 <no....@merci.fr> wrote:
>> Je cherche à démontrer que la dérivée de sin(x) est cos(x) en partant de
>> la définition (1ere S):
>>
>> sin(x) ' = lim(h--->0) (sin(x+h)-sin(x))/h
>
>
> Soit a = x+h, b = x.
... et on est ramené à étudier sin(h/2)/(h/2) quand h tend vers 0, or
"Je ne peux donc pas utiliser un résultat du type lim (h-->0) sin(h)/h
=1" (message d'origine).
--
Gilles
lavau....@nospamlaposte.net
>lavau....@NOSPAMlaposte.net a écrit :
>> Oui, mais pour prouver que cette aire vaut x/2, on utilise
>> implicitement le fait que sin(x)/x -> 1.
>Non : si on admet que le disque unité a comme aire pi, en faisant une
>simple proportionnalité, on obtient qu'un secteur circulaire d'angle x a
>pour aire x/2
>De toute façon, on est bien obligé d'admettre quelque chose
Si on **définit** pi comme le rapport de la circonférence au diamètre,
alors le fait que l'aire du disque a comme aire pi se **démontre**. Ce
n'est pas par hasard que le même nombre pi intervient à la fois pour
la circonférence et pour l'aire.
On peut l'admettre, certes, mais cela occulte une démonstration, et,
sauf erreur, cette démonstration utilise le fait que sin(x)/x tend
vers 1. Donc admettre que l'aire du disque est pi, c'est admettre que
sin(x)/x tend vers 1 quand x tend vers 0.
**Définir** pi comme aire du disque unité ne change rien au problème
car l'angle x est défini par la **longueur** de l'arc x et dans ce
cas, il faudra prouver que la longueur de la circonférence est 2*pi.
Dans tous les cas, il faut prouver à un moment ou un autre que c'est
le même pi qui intervient dans l'aire et dans la circonférence.
Lavau Gérard
lavau....@nospamlaposte.net
>Oui, mais pour prouver que cette aire vaut x/2, on utilise
>implicitement le fait que sin(x)/x -> 0.
correction : sin(x)/x -> 1 quand x -> 0
Lavau Gérard