Eureka: quais são as escalas mais consonantes

[felipe cardoso]

Pitágoras diz que os intervalos mais consonantes envolvem os menores
números; mas nesses intervalos devemos pegar os números de forma
irredutível, pois 6/3 é o mesmo intervalo que 2/1, porém 2/1 envolve
menores números, e é a irredutível. Disso decorre que a menor soma
indicará o intervalo mais consonante. Por exemplo, 2/1 é mais
consonante que 3/2, pois 2+1 é menor que 3+2 (3<5). Sendo isso
verdade, então alguns intervalos serão igualmente consonantes, como
4/1 e 3/2, pois 4+1 é igual a 3+2 (5=5).

Com as escalas deve ocorrer o mesmo: tomando todos os números em todos
os intervalos irredutíveis da escala, a soma que der o menor resultado
indicará a escala mais consonante. Por exemplo, os acordes dó/mi/sol e
mi/sol/dó (pois os acordes são escalas). No primeiro, há os seguintes
intervalos irredutíveis: 5/4, 6/5 e 3/2, e somando todos estes números
o resultado é 25, pois 5+4+6+5+3+2 é igual a 25; no segundo acorde,
porém, há os seguintes intervalos: 6/5, 5/4 e 8/5, cuja soma total é
31, pois 6+5+4+3+8+5 é igual a 31. Logo, dó/mi/sol é mais consonante
que mi/sol/dó, pois 25 é menor que 31, e menores somas indicam escalas
mais consonantes. E da mesma forma que nos intervalos, também deve
existir escalas igualmente consonantes, mas não tenho exemplo.

Disso decorrem muitas coisas: que o acorde menor e o maior são
igualmente consonantes, pois possuem os mesmos três intervalos, IIIM,
IIIm e V, embora em ordens distintas, e portanto ambas somas são
iguais (foi comentado em outro post como encontrar o número total de
ntervalos em uma escala de n notas, não lembro onde). Essas
observações também respondem uma questão levantada em outro post, se
escalas que se diferenciam em número de notas podem ser igualmente
consonantes. Provavelmente elas existem, mas não tenho um exemplo, se
alguém encontrar avisa!

Abraço

[felipe cardoso]

Porém disso resultam discordâncias entre os teóricos. O exposto sobre
as somas decorre diretamente da afirmação pitagórica de que as maiores
consonâncias envolvem os menores números, e se este é um princípio
verdadeiro, então o que decorre dele também o será; porém isso entra
em conflito com o que Euclides, Ptolomeu, nós modernos e outros dizem:
pois para Euclides e Ptolomeu, primeiramente, os intervalos epimóricos
são mais consonantes que os epiméricos, e para pitágoras decorreria o
contrário, os epiméricos seriam mais consonantes. Com um exemplo isso
fica claro, a terça maior 5/4 é epimórica, e a sexta maior 5/3
epimérica: assim, para Euclides, Ptolomeu, e outros, a terça maior
seria mais consonante que a sexta maior, já que 5/4 é epimórico, e os
epimóricos são mais consonantes que os epiméricos; porém, para os
pitagóricos se daria o contrário: a sexta maior seria mais consonante,
pois 5+3 é menor que 5+4, e como os intervalos consonantes envolvem os
menores números, então a menor soma de numerador e denominador indica
o intervalo mais consonante, que no caso é a sexta 5/3. Por outro
lado, nós modernos temos que a terça maior é mais consonante que a
sexta maior, devido aos harmonicos, pois 5/4 envolve um harmonico que
abre uma banda de oitava,o denominador 4, enquanto 5/3 não envolve
harmônico que abre uma banda de oitava, e por isso seria mais
dissonante que 5/4. O problema persiste também de outras maneiras:
para os pitagóricos 6/1 seria igualmente consonante a 5/2, pois ambas
somas dão 7, mas para os euclidianos 6/1 seria mais consonante, pois
6/1 é múltiplo, mas 5/2 epimérico, e para eles os múltiplos são mais
consonantes que os peiméricos. Para nós modernos, no entanto, diríamos
que 6/1 é mais consonante, pois 6 corresponde ao harmonico sol, para a
fundamental dó, e sol aparece primeiro que mi nas bandas de oitava,
na fundamental dó: sol aparece primeiro no harmônico 3, metade de 6, e
mi aparece primeiro em 5, onde 6 e 5 são os numeradores dos intervalos
que observamos, 6/1 e 5/2. Por outro lado, tomando os denominadores,
6/1 seria mais consonante que 5/2 pois contém a fundamental, 1. Enfim,
se a verdade fosse algo decidido por voto, então 6/1 seria mais
consonante que 5/2, dois contra um; porém a verdade não é votada,
independe disso, seria anterior a qualquer voto (pois, por exemplo, a
terra gira em torno do sol independente da vontade ou da imaginação
humana). Resta nos esforçar para encontrar a verdade, e com ela
descobriremos quem está certo e por quê; mas, ainda que a verdade
fosse decidida por voto, para alcançá-la de forma mais genuína
deveríamos conhecer todas as teorias de todos os teóricos em todas as
épocas, chineses, japoneses, maias, egipcios, antigos e modernos, e
ainda considerar a opinião de todos os vulgos, que são maioria que não
entende de Harmonia, e em seguida contar todos os votos, e assim
decidir. Mas isso seria impossível e pouco inteligente; a verdade
independe disso: uma só mente seria capaz de encontrá-la, embora
muitas pessoas juntas tenham mais olhos, ouvidos e atenção, o que faz
ser mais fácil encontrá-la em grupo.
Ironicamente, talvez o temperamento musical nos ajude, por trazer
outras dificuldades: pois, para nós, Aristoxenus e outros, o tom é um
intervalo incomensurável, impossível de ser escrito em números
naturais, enquanto para Euclides, Ptolomeu, Pitágoras, e muitos outros
o tom é mensurável, 9/8, diferença entre a quinta 3/2 e a quarta 4/3.
E a dificuldade a que me refiro está no seguinte: se quisermos
aproximar os intervalos incomensuráveis a intervalos numéricos, então
os intervalos numéricos que mais se aproximarão a eles serão os que
envolverem os maiores números, não os menores; então, por limite, os
pitagóricos concluiriam que todos os intervalos incomensuráveis são
extremamente dissonantes, pois evolveriam números infinitamente
grandes; de fato essa é a postura de Ptolomeu, que tenta evitar em
suas escalas o leimma, 256/243, por exemplo. Porém isso não ocorre na
prática, já que nossos intervalos temperados são incomensuráveis e
alguns deles consonantes, como nossa quinta (mas nossa oitava é
mensurável, 2/1). Além disso, os intervalos temperados não podem ser
múltiplos, epimóricos, nem epiméricos, seguindo os euclididanos, pois
envolvem grandezas incomensuráveis entre si, enquanto esses termos se
aplicam a grandezas ou números comensuráveis, e apesar disso uns são
consonantes, outros dissonantes. Também a teoria moderna dos
harmônicos não se aplica a esses intervalos, a não ser de forma
aproximada, como também as outras teorias fazem: pois os harmônicos
são todos comensuráveis com a fundamental, enquanto os intervalos
temperados são todos incomensuráveis (menos a oitava).
Enfim, parece que o buraco é mais embaixo; acho que resposta está na
origem da consonância e da dissonância, que não é claramente exposta
em nenhuma dessas teorias (ou talvez seja e não vi). Se a origem do
som é a colisão, então a origem da consonância e da dissonância deve
estar também na colisão. Mas onde, exatamente?