102年 交大 數學 第10題

[jcyz]

請問第10題該怎麼算才對?

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我算第9題時，直接拿A解 (A^T)Ax = (A^T)b，

解得x為無限多解，

我取其中一解，算出各個 ||Ax - c|| 與 min. ||Ax - b|| 比較。

但我拿任意取的x算第10題時，每個選項都不合題目要求，

請問我哪邊的觀念還是作法錯了？

謝謝。

[林立宇]

這題不容易, 我們在題庫班時講了很多有關 shortest least-square solution 的問題

正課時也有講一個例題

若是要找 shortest least-square solution

因為他要在所有 least-square sol 中找長度最小的, 所以不能隨便取一個

想法是先找出 b 在 R(A) 的投影向量 p

然後再解 Ax = p 的 minimal solution

(相當於從 Ax = p 的解集合中找個長度最小的向量)

然而, 這題若每個選項都這樣算就太花時間了

想法是若 Ax = b 與 Ax = c 具相同的 least-square solution x'

=>  Ax = b 與 Ax = c 在 R(A) 的投影向量相同, 令其為 p

=> b - c is in per(R(A)) = N(A^T)  (可畫個投影圖出來想想看)

=> A^T (b - c) = 0

這條件往回推也會是對的

所以每個選向只要檢查是否滿足 A^T (b - c) = 0 即可

答案是 (a), (c), (d)

[jcyz]

老師你說的 b - c is in per(R(A)) = N(A^T)  (可畫個投影圖出來想想看)

是不是大概是這個樣子?

另外，想再請問老師第9題，

將每個選項中的向量投影到N(A^T)，求此投影向量的長度以作比較，

是不是算起來會比較快?

謝謝老師的解說!

[林立宇]

是滴, 你理解的都沒錯