台大102期末考 對角化

[murasaki0110]

助教你好，問題有點多，麻煩你了

第一題   看不懂題目想問什麼...

第二題   請問A*是指什麼，是reflexive transitive closure嗎?

第四題   查wiki這個矩陣看起來符合所謂的circulant matrix的定義  http://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix
             但數學式看得不是很了解
             可以以此題為例，演算一次eigenvalue、eigenvector、和determinant讓我當範例嗎

第五題   我的想法是，要讓對角矩陣中eigenvalue交換，就是讓Q中的column交換
             所以取一個(permutation matrix)乘Q
             這樣是ok的嗎?
 
第十題   am(2)=2，gm(2)=1，所以A不可對角化
             那B又是什麼呢

[frappuccino]

第四題eigenvalue、eigenvector、和determinant

講義5-67頁有類似題

第十題

B應該是Jordan Form

[林立宇 (wynne助教)]

1. 就是做第三型列運算

把列基本矩陣算出來, 算反矩陣

再把其相對應的行基本矩陣寫出來即可

2. A*應該是adj(A)

4. eigenvalue這你應該本來就會, 我們上課有教過, 就是 n-1 個 1 還有 1 個 n+1

wiki有把數學家用其他方法證出來此種矩陣型式的eigenvalue都寫給你看了

一個是

= 2 + 1 + 1 + ... + 1 = n+1

另外n-1個是

因為為 1 之nth root of unity, for i = 1, ..., n-1

至於orthogonal eigenvectors, 

wiki也有把上述的那些eigenvalue所對應的eigenvector都寫給你看

我再打出來也還是會長得一模一樣, 那已經是最美的型式, 不會再有更好看的了

利用root of unity的性質不難證明這些eigenvectors會彼此互為orthogonal

如果看不懂是基於對單位根的不熟悉, 

您可能得自己找一些有談基本複數性質的書來看看

5. OK

6. A本身就是Jordan form, B就是一個相似於A的矩陣

因此 B 的Jordan form就是A

我們上課時有談過很多 "相似矩陣具有相同的OOOXXX..."

p.s. 很多同學會拿他校的期中期末考題來問我, 

但往後對於這類的問題我可能會不回應噢

一方面是我沒有時間一題一題解給大家看

再者是黃老師有和我聊過, 我們不希望同學們養成凡事上網找答案的習慣

[murasaki0110]

因為沒時間了所以很想趕快知道答案，不好意思我會注意!

第四題除了右上和左下那兩個1，其他都是0哦，所以和上課講的那型不太一樣

不過上課那型這樣看來也是circulant