關於ker(B)=ker(AB)及CS(AB)=CS(A)

[蔡承達]

看到版上有人提出這個問題，但跟我理解及上課筆記不太一樣，想請問一下:
我筆記的是當"A" is nonsigular時 ker(B)=ker(AB)
個人理解:
對於"所有的" x屬於ker(B) ， 所以Bx=0 ， 左邊同乘A ，得ABx = 0 也就是 (AB)x = 0， 所以x必屬於ker(AB)， 因此ker(B)包含於ker(AB)
又當 A is nonsigular時， 對"所有的" x屬於ker(AB) ，ABx = 0 ，A^-1ABx = A^-1*0，所以Bx = 0 ，x必屬於ker(B)，因此ker(AB)包含於ker(B)
上兩行得ker(B)=ker(AB)
第二部分是
我抄的是當B is nonsigular 時CS(AB)=CS(A)
個人理解:

對所有的y屬於CS(AB)，ABx=y for some x，又Bx也可當成一向量，所以A(Bx) = y ，所以y必會屬於CS(A)，因此CS(AB)包含於CS(A)
又當B is nonsigular時，Bz = 0只有0解，即z不等於0時Bz不等於0。對所有的y屬於CS(A)，Ax=y，for some x，x可表示成Bz(這邊不太確定)，所以A(Bz)=y，所以y必會屬於CS(AB)，因此CS(A)包含於CS(AB)
所以CS(AB)=CS(A)
想請問一下我這樣的想法對不對，還有我是不是抄錯，勞煩各位了

[月戀星辰]

您好：

         kernel 部分是對的。  

         第二部分，「對所有的y屬於CS(A)，Ax=y，for some x，x可表示成Bz(這邊不太確定)」，for some x ，但 x 未必屬於 CS(B) ，所以您這樣寫是不對的。

         以上淺見..

[蔡承達]

謝謝月戀星辰，可以再請問一下，對於錯誤那部分如果我改成:
因為B is nonsigular所以A可寫成ABB^-1，因此ABB^-1x=y，設B^-1x = z，所以(AB)z=y，for some z。所以y必會屬於CS(AB)，因此CS(A)包含於CS(AB)
這樣的想法正確嗎?

[月戀星辰]

您好：

        這裡有一點需要注意，B 為 nonsingular 不代表B是方陣，所以也不代表B可逆。

以上淺見..

[billyking]

非常感謝月戀星辰撥空幫我解惑。老師上課時好像沒說到A和B是否為方陣，這樣似乎整個證明都不太嚴謹了，感覺要全部重想了。可以請問一下在不知是否為方陣的情況下，A is nonsigular時 ker(B)=ker(AB)以及B is nonsigular 時CS(AB)=CS(A)有辦法用兩邊包含於的方式證明嗎??還是有其他更好的證明方式呢??
不好意思，問題好像越來越多了@@

[月戀星辰]

您好：

        抱歉，我才疏學淺，一時居然不知道(或者忘記了，我忘記我是忘記還是根本沒證明過了)怎麼證明了，來，我們歡迎助教登場，燈燈燈燈！

以上淺見..

[林立宇(wynne)]

被樓上強者cue到了就來說明一下!!

甚麼時候CS(AB) = CS(A)成立, 

首先左邊包含於右邊這同學應該都理解了

至於另一邊的包含於, 您之前寫的地方有不嚴謹處, 

上面學長都有幫你點出來了

關鍵的確就在於這裡寫可逆或寫nonsingular差很多

前面kernel的部分沒問題, 前提是 "A : nonsingular"

但後面行空間的地方, 前提的 "B : nonsingular" 要改成 "B : 可逆"

(check一下, 在你的筆記裡這個Note的(3)和(4)前提都要改成 "B : 可逆")

只有nonsingular不會對, 例如取 A 為2x2單位矩陣, B = [1 0]^t

則B為nonsingular, CS(AB) = span{[1 0]^t}, 但CS(A) = R^2

子嘉老師上課時應該是這樣解釋他的想法:

For all y in CS(A), 則存在 x 使得 y = Ax, 

因此取z = (B^-1)x

=> y = Ax = A(Bz) = (AB)z ∈ CS(AB)

這就是為什麼要取 B 為可逆

另外老師也應該也有提醒大家, 像這個前提考試時會給各式各樣的排列組合

這麼多前提假設同學是不可能通通都背起來的

同學們一定要不斷地思考到全部都通透才行

真的都想通就沒有東西是需要背的了

[月戀星辰]

感謝助教的解答，難怪我怎麼證都證不出來...

不過我這裡偷偷說一件事，剛剛我翻了一下我的筆記，我也是抄「當 B:nonsingular 時，CS(AB)=CS(A)」，結果證了一個晚上...

看來我上課也是沒帶大腦去的。

大家加油囉。

[billyking]

謝謝助教和月戀星辰，都凌晨了還幫忙解惑真的是非常感謝，終於了解大致上的想法了