Vandermonde Matrix proof issue

[Lawrence]

有先參考以下文章：
2018/01/02 作者：Doris
2016/10/06 作者：彭大維
2013/05/29 作者：surtax
但還是有些不懂

目前大致上了解f(t)=C0+C1t+C2t^2+......+Cn-1t^(n-1)
也知道因為A Matrix具兩列相同(或成倍數), det(A)=0
所以f(X1)=f(X2)=......=f(Xn-1)=0
等於f(t)有n-1個相異根X1,X2......Xn-1

但接下來的這一行就看不懂了

f(t) = Cn-1 * (t - X1) * (t - X2) * ...... * ( t - Xn-1)

後面的(t - X1) * ...... * ( t - Xn-1)這邊我懂
但最前面的 Cn-1 還是不知道怎麼來的

我有自行舉一個例子：
x^2 + 3x + 4 = 2
因式分解 => ( x - 1 ) * ( x - 2 ) = 0
x = 1 or 2 為方程式的兩個根

但從自己舉的例子
也看不出為何多一個Cn-1的常數項

再麻煩老師或助教協助解惑
謝謝

[徐賢翰]

f(t)=V(x1,x2,...,xn-1,t)的矩陣對最後一行展開做det會得到C0+C1t+C2t^2+......+Cn-1t^(n-1)

因為最高次項為Cn-1t^(n-1) 利用根做因式分解得到n-1個根

可以寫成(t - X1) * (t - X2) * ...... * ( t - Xn-1)

而此時乘開最高次項為1* t^n-1 因此前面多*Cn-1(常數) 讓他符合一開始得到的det(f(t)) = C0+C1t+C2t^2+......+Cn-1t^(n-1) (這裡預估的C0~Cn-1都是常數)

[Lawrence]

這邊大概懂為什麼要乘上Cn-1了
就是(t-X1)(t-X2)*......*(t-Xn-1)乘開的最高次向1*t^(n-1)
為了要與原式的最高次向Cn-1*t^(n-1)一樣
所以再乘上Cn-1即跟原始一樣

但為什麼C0,C1,C2,......,Cn-2這些常數不用特別去考慮？
就是t,t^2,t^3......t^(n-2)前面所乘上的常數

謝謝