抛硬币问题

[yi wang]

大家好！

      请教大家一个问题。

      众所周知，抛一枚硬币n次，m次正面朝上的概率服从二项分布。在此基础上，如果观察硬币面时存在观察值不等于实际值的情况（比如，硬币实际正面朝上，观察却看成反面朝上），那么观察到m次正面朝上的概率应该怎样计算呢？我想，直观的办法是在二项分布基础上乘以每次观测正确的概率。但不太确定。恳请大家指教。谢谢！ 

祝好！
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Yi Wang,
Assistant Researcher,
Institute of genetics and developmental biology,
Chinese Academy of Sciences, Beijing, China.
100101

[03sqq]

偶觉得是不是这样，记p(+\-)为一次抛把正面观察为反面的概率；记p(-\+)为一次抛把反面察为正面的概率；

则，0.5(1-p(+/-))为一次抛观察正面出现的概率；

则n次抛，观察为有m次正面的概率为：C(n,m)[0.5(1-p(+/-))]^m*[0.5(1-p(-/+))]^(n-m),即 

不知是不是这样?

 

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[li zhenping]

在观察有误的情况下，如果想求出观察到m次为正面的概率（不论实际情况是不是m次正面），我认为，应该先求出一次抛硬币观察为正面的概率p（可以利用全概率公式求,假设把正面观察为反面的概率为p_1,把反面观察为正面的概率为p_2，则一次抛硬币观察到正面的概率为p=0.5*（1-p_1）+0.5*p_2   ），然后再利用二项分布求出抛n次观察到m次为正面的概率。
不知是否正确，供讨论。

祝好！

李珍萍

[王若钊]

我是这样想的。

抛一枚硬币n次，m次朝上的概率(p1)为服从二项分布，即：p1 = C(n,m)  * (0.5)^m * (0.5)^n。

但是作为抛硬币的主体，人可能会看错，使观察值不等于实际值。

 

问题演变成，抛一枚硬币n次，在肉眼可能出错的情况下，观察到有m次朝上的概率(p2)是多少？

 

记一次观察中，把正面看成反面的概率为p(+/-)，把反面看成正面的概率为p(-/+)

那么，抛一次硬币，

实际值为正，观察值为正的概率为 0.5*(1- p(+/-));

实际值为正，观察值为反的概率为0.5* p(+/-);

实际值为反，观察值为正的概率为0.5*p(-/+);

实际值为反，观察值为反的概率为0.5*(1- p(-/+));

这样，抛一次硬币，

观察值为正的概率为0.5 * (1 - p(+/-) + p(-/+));

观察值为负的概率为0.5 * (1 – p(-/+) + p(+/-))

故：p2 = C(n,m) [0.5 * (1 - p(+/-) + p(-/+))]^m * [0.5 * (1 – p(-/+) + p(+/-)]^n

 

一般可以认为p(+/-) = p(-/+)；那么 p1 = p2

2012/2/18 03sqq <03...@163.com>

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[03sqq]

very,good！分析的全面。

[yi wang]

非常清楚了，感谢大家！

[yi wang]

继续拓展这个问题，请教之。

基本问题：抛一枚硬币n次，m次观察到正面向上的概率。硬币出现正面朝上的概率为p。

扩展1：引入了观测值不等于实际值的概率，得到了更新的二项分布。如大家共识，

P(m|p,n)= C(n,m) [pq1+(1-p)(1-q2)]^m * [(1-p)q2+p(1-q1)]^(n-m)

其中　q1=实际正面朝上时观测正确率 q2＝实际反面朝上时观测正确率

容易证明，这的确是二项概率分布。

扩展2，假如每次观测错误的概率不同，这样写出的公式

应该不再是概率分布了。（这相当于是抛n次不同的硬币出现m次正面朝上的概率P(m|n,p1:n)）

这时的概率分布是怎样的呢？

谢谢各位参与讨论帮助。我概率基础还是很不够牢固，请教大家了！

祝好！

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Yi Wang,

Institute of genetics and developmental biology,
Chinese Academy of Sciences, Beijing, China.
100101