Legendre-Polynome und Rodrigues-Formel

[Markus Hilt]

Hallo,

ich habe folgendes Problem:

Ich muß zeigen, das die sog. Rodrigues-Formel:

P_l(x):=1/(2^l*l!)* (d/dx)^l (x^2-1)^l

eine geschlossene Darstellung der Legendre-Polynome ist.
Diese sind als Potenzreihe sum(a_k*x^k, k=0..infinity) definiert
deren Koeffizienten a_k rekursiv definiert sind als:

a_(k+2):=(k*(k+1)-l(l+1))/((k+2)*(k+1))*a_k

(a_0 und a_1 gegeben (eines davon immer gleich Null))

Sie sind außerdem die Loesung der Legendre-Differentialgleichung:

d/dx[(1-x^2)*dP_l/dx(x)]+l*(l+1)*P_l(x)=0

Es waere toll, wenn mir jemand sagen koennte, wie man moeglichst
einfach (ohne komplizierten Umweg ueber hypergeometr. Reihen,
Gamma-Fkt. und dergleichen) zeigen kann, dass entweder die
Rodrigues-Formel gleich der Reihendarstellung ist, oder dass
die mit der Rodrigues-Formel definierte Fkt. eine Loesung der
Legendre-Differentialgleichung gegeben ist.

Im Voraus bereits vielen Dank fuer die Hilfe

Gruss
Markus

[upenski]

Markus Hilt schrieb in Nachricht <7gnom4$d3d$1...@hades.rz.uni-sb.de>...

Hallo,
einsetzen von P_l(x) und dessen erster Abl. liefert :

d/dx[(1-x^2) * 1/(2^l*l!)* (d/dx)^(l+1) (x^2-1)^l ]
+ l*(l+1) * 1/(2^l*l!)* (d/dx)^l (x^2-1)^l = 0

<=>

1/(2^l*l!) * d/dx[(1-x^2) * (d/dx)^(l+1) (x^2-1)^l ]
+ l*(l+1) * 1/(2^l*l!)* (d/dx)^l (x^2-1)^l = 0

ausklammern von k = 1/(2^l*l!) :

<=>
k * { d/dx[(1-x^2) * (d/dx)^(l+1) (x^2-1)^l ]
+ l*(l+1) * (d/dx)^l (x^2-1)^l } = 0

da k<>0 ist, muss "nur noch" gezeigt werden:
d/dx[(1-x^2) * (d/dx)^(l+1) (x^2-1)^l ]
+ l*(l+1) * (d/dx)^l (x^2-1)^l = 0

Produktregel für d/dx :

<=>
d/dx(1-x^2) * (d/dx)^(l+1) (x^2-1)^l + (1-x^2) * (d/dx)^(l+2) (x^2-1)^l
+ l*(l+1) * (d/dx)^l (x^2-1)^l = 0

<=>
-2*x * (d/dx)^(l+1) (x^2-1)^l + (1-x^2) * (d/dx)^(l+2) (x^2-1)^l
+ l*(l+1) * (d/dx)^l (x^2-1)^l = 0

ich hoffe, dass man ab hier wieder weiter weiss ...

Grüße,
U. Penski (pen...@uumail.de)
Polynomableitungs- und Quadrierungssoftware (^2 ; ^3) auf
"http://uuhome.de/penski/xsoft.htm"
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auf Anfrage)