Skin-Effekt - wie quantifizierbar? HILFE!
Joachim Schmid
Ich bräuchte dringend eine Formel, wie man die Auswirkung des sog.
Skin-Effekts, also der Verdrängung eines elektrischen Wechselstroms an
den Rand des Leiters, quantifizieren kann. Da Maschinenbauer, habe ich
keinen kurzfristigen Zugang zu geeigneter Literatur.
Das einzige, was ich bisher hierzu gefunden habe, war in der Newsgroup
ger.ct:
> kreisfoermiger massiver Leiter:
>
> Eindringtiefe = (omega*kappa*mue)^1/2
>
> omega = Kreisfrequenz
> kappa = Leitfaehigkeit
> mue = Permeabilitaet (nur bei Ferromagnetika > mue0)
>
> Bei Kupfer und 50 Hz folgt daraus eine Eindringtiefe von 1 cm.
Was mich hierbei wundert ist:
- Die Einheitenprobe geht nicht auf (die Formel würde 1/mm ergeben statt
mm)
- Der Skin-Effekt ist asymptotisch und keine Sprungfunktion, daher ist
die Angabe einer absoluten Eindringtiefe systematisch fragwürdig. Wenn
diese Formel jedoch die Tiefe angibt, unterhalb der eine bestimmte
relative Stromstärke unterschritten wird, stellt sich die Frage: Wie ist
diese definiert?
- Ich finde in meinen Tabellenwerken keine Angabe zur Permeabilität von
Kupfer, kann also die Zahlenangabe nicht verifizieren
Der Verfasser ist nicht mehr erreichbar. Für Aufklärung jeder Art wäre
ich sehr dankbar. (Hintergrund: Es geht darum, warum in
Hochspannungs-Fernleitungen Bündelleitungen eingesetzt werden).
Joachim
P.S.: Bitte um Entschuldigung fürs Multi-Posting. Ich bin mir nicht
sicher, wo diese Frage am besten hingehört.
Gernot Schmidt
Eines gleich vorneweg: ich habe keine detaillierte Formel zu bieten und
kenne den Skin-Effekt nur aus einem Nebensatz in unserer EDynamik-VL.
Aber vielleicht kann ich die 'Widerspr"uche' erkl"aren...
> Ich bräuchte dringend eine Formel, wie man die Auswirkung des sog.
> Skin-Effekts, also der Verdrängung eines elektrischen Wechselstroms an
> den Rand des Leiters, quantifizieren kann. Da Maschinenbauer, habe ich
> keinen kurzfristigen Zugang zu geeigneter Literatur.
>
> Das einzige, was ich bisher hierzu gefunden habe, war in der Newsgroup
> ger.ct:
> > kreisfoermiger massiver Leiter:
> >
> > Eindringtiefe = (omega*kappa*mue)^1/2
> >
> > omega = Kreisfrequenz
> > kappa = Leitfaehigkeit
> > mue = Permeabilitaet (nur bei Ferromagnetika > mue0)
> >
> > Bei Kupfer und 50 Hz folgt daraus eine Eindringtiefe von 1 cm.
>
> Was mich hierbei wundert ist:
> - Die Einheitenprobe geht nicht auf (die Formel würde 1/mm ergeben statt
> mm)
> - Der Skin-Effekt ist asymptotisch und keine Sprungfunktion, daher ist
Da der Effekt, wie du selbst sagst, keine Sprungfunktion ist, ist die
'Eindringtiefe' wohl so zu verstehen das sie im Exponenten einer
Exponentialfunktion stehen wird, die die Feldst"arke im Inneren des
Leiters in Abh"angigkeit von der Tiefe angibt, also etwas in der Art:
Intensit"at = Konst. * exp(-'Eindringtiefe' * Tiefe)
Hier ist dann, wie so oft bei asymptotischen Problemen, die
'Eindringtiefe' dar"uber erkl"art, das das resziproke von ihr, in diesem
Fall also
(omega*kappa*mue)^(-1/2)
gerade die Strecke ist, nach der die Feldst"arke auf das e^(-1) fache
gesunken ist.
Diese reziproke Gr"o"se h"atte dann auch richtig sch"on die Einheit mm,
wie verlangt.
Wie gesagt, das sind nur Vermutungen "uber das, was der urspr"ungliche
Poster (hihi, sch"one Sprache) eigentlich sagen wollte.
> die Angabe einer absoluten Eindringtiefe systematisch fragwürdig. Wenn
> diese Formel jedoch die Tiefe angibt, unterhalb der eine bestimmte
> relative Stromstärke unterschritten wird, stellt sich die Frage: Wie ist
> diese definiert?
Wie gesagt, das obige sind meine Gedanken dazu.
HTH
Gernot
--
* Gernot Schmidt Physik-Student 4. Semester *
* Vett...@bigfoot.de ICQ: 16423463 *
* http://physik.phy.tu-dresden.de/~gs1 *
J. Berkan
> - Ich finde in meinen Tabellenwerken keine Angabe zur Permeabilität von
> Kupfer, kann also die Zahlenangabe nicht verifizieren
>
> Der Verfasser ist nicht mehr erreichbar. Für Aufklärung jeder Art wäre
> ich sehr dankbar. (Hintergrund: Es geht darum, warum in
> Hochspannungs-Fernleitungen Bündelleitungen eingesetzt werden).
>
> Joachim
>
> P.S.: Bitte um Entschuldigung fürs Multi-Posting. Ich bin mir nicht
> sicher, wo diese Frage am besten hingehört.
Zunächst einmal: was definierst du als "Bündelleitung"? Meinst du das
Geflecht einer einzelnen Leitung; außen gute elektrische Leiter, z.B. Al
und innen eine tragfähige Stahlsehne um die Zugkräfte aufzunehmen oder
meinst du, daß z.B. für 220kV zwei Leiterbahnen in geringem Abstand und bei
400kV vier Leiterbahnen in geringem Abstand nebeneinander geführt werden?
Zum erstgenannten: Bei 50 Hz Netzfrequenz ist das mit dem Skineffekt noch
nicht so tragisch, eher zu vernachlässigen. Hier geht es primär um die
Kombination aus Tragfähigkeit und elektrischer Leitfähigkeit. Natürlich
packt man die tragfähigen, aber elektrisch weniger gut leitenden Anteile in
die Mitte des Leiters.
Wenn du aber die Zweier-, bzw. Viererbündelung meinst, das hat seine
Ursachen in der Verteilung der elektrischen Feldstärke um den Leiter herum.
Ab einem gewissen
Spannungspotential bekommt man nämlich kleine Durchschläge, Blitze in den
unmittelbaren Luftraum um den Leiter herum und damit Verluste, die Geld
kosten. Die elektrische Feldstärke ist dabei auch von dem Radius der
Oberfläche des Leiters abhängig. Durch Bündelung mehrerer Leiter schafft
man sozusagen einen "Ersatzleiter" aus Kabeln und Luft, der einen größeren
effektiven Radius zur Verfügung stellt. Damit lassen sich die Verluste
verringern und die Spannung erhöhen.
J. Berkan
Ber...@irm.tu-clausthal.de
Frank Klemm
>Hallo alle zusammen!
>
>Ich bräuchte dringend eine Formel, wie man die Auswirkung des sog.
>Skin-Effekts, also der Verdrängung eines elektrischen Wechselstroms an
>den Rand des Leiters, quantifizieren kann. Da Maschinenbauer, habe ich
>keinen kurzfristigen Zugang zu geeigneter Literatur.
>
>Das einzige, was ich bisher hierzu gefunden habe, war in der Newsgroup
>ger.ct:
>> kreisfoermiger massiver Leiter:
>>
>> Eindringtiefe = (omega*kappa*mue)^1/2
>>
>> omega = Kreisfrequenz
>> kappa = Leitfaehigkeit
>> mue = Permeabilitaet (nur bei Ferromagnetika > mue0)
>>
>> Bei Kupfer und 50 Hz folgt daraus eine Eindringtiefe von 1 cm.
>
>Was mich hierbei wundert ist:
>- Die Einheitenprobe geht nicht auf (die Formel würde 1/mm ergeben statt
>mm)
>- Der Skin-Effekt ist asymptotisch und keine Sprungfunktion, daher ist
>diese Formel jedoch die Tiefe angibt, unterhalb der eine bestimmte
>relative Stromstärke unterschritten wird, stellt sich die Frage: Wie ist
>diese definiert?
>Kupfer, kann also die Zahlenangabe nicht verifizieren
>
>Der Verfasser ist nicht mehr erreichbar. Für Aufklärung jeder Art wäre
>ich sehr dankbar. (Hintergrund: Es geht darum, warum in
>Hochspannungs-Fernleitungen Bündelleitungen eingesetzt werden).
>
ß = sqrt( omega/2 * mu * kappa )
ß Eindringtiefe,
I = I_0 * exp(-ßy) bei halbebenenmäßig unendlich
ausgedehntem Leiter,
y ist Normalenkomponente des Ortes
omega = 2 pi f f = Frequenz
mu = mu_0 * (1+x_m) mu_0 = 4 pi * 10^-7 H/m,
x_m(Al)=21*10^-6, x_m(Cu)=-9.7*10^-6, x_m(Fe)=8000
kappa, elektrische Leitfähigkeit,
kappa(Al)=37*10^6 S/m , kappa(Cu)=58*10^6 S/m,
kappa(Fe)=11.6*10^6 S/m
Kupfer, 50 Hz ergibt damit eine effektive Eindringtiefe von 9.3 mm.
Einheiten:
ß = sqrt( s^-1 * m * s^-2 * kg * A^-2 * m^-3 * s^3 * kg^-1 * A^2)
= sqrt( m^-2 )
= m^-1
Widerstandserhöhung bei Leitern mit Kreisquerschnitt:
Z(omega)/R(0) = K/2 J_0(K)/J_1(K) mit k = ß(1-j), j = sqrt(-1), K = kr
Für tiefe Frequenzen ergibt sich die Näherung:
J_0(x) = 1 - x^2/4 + ...
J_1(x) = x/2 - x^3/16 + ...
Z(omega)/R(0) = K/2 (1-K^2/4)/(K/2-K^3/16) = (1-K^2/4)/(1-K^2/8)
= 1+K^2/8 weiter genähert
= 1+(kr)^2/8 = 1 + [(1-j)ßr]² / 8 = 1 - jß²r²/4 irgendwo ist ein Vorzeichenfehler
= 1 + j omega/8 * mu * kappa * r²
Für hohe Frequenzen ergibt sich die Näherung (Herleitung weggelassen):
Z(omega)/R(0) = r/2 ß (1+j)
Ein *massives* Cu-Kabel von 2.5 mm² = 1.78 mm Durchmesser hat damit folgende
Widerstandszuwächse:
0 Hz: 1
20 Hz: 1.000145
50 Hz: 1.00036
1 kHz: 1.00725
12 kHz: 1.087
20 kHz: 1.145
Im Bereich zwischen 20 kHz und 10 MHz viel Spaß beim Berechnen der
komplexwertigen Besselfunktionen. Vielleicht berechnet mal jemand den
Verlauf mit Mathematica.
10 MHz: 6.75 + 6.75 j
1 GHz: 67.5 + 67.5 j
--
Frank Klemm
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Joachim Schmid
Postings und Emails geschrieben haben. Für meinen Bedarf ist das Problem
nunmehr völlig ausreichend beleuchtet. Was aber natürlich nicht an
weiteren Diskussionen hierüber hindern soll.
Joachim
CTC
noch mal dazu tun.
Mit einem Bündelleiter kann man gleich zwei Probleme lösen.
1. Wie schon gesagt wurde, wird die elektrische Feldstärke verringert. Das
kan man sich deutlich machen, indem man sich einen Leiter vorstellt, der den
selben durchmesser hat wie die Bündelanordnung. Nimmt man nun die Formel für
das Elektrische Feld einer Linienladung zur Hilfe, stellt man fest, daß das
elektrische Feld mit 1/r^2 r=Abstand vom Mittelpunkt abnimmt. Luft hat eine
elektrische Durchschlagfestigkeit von ca. 27 KV / cm. Man macht die den
Durchmesser des Bündels einfach so groß, daß die Feldstärke weit unter 27KV
/ cm kommt, um Koronaeffekte (das bedeutet erhebliche Verluste für das EVU)
zu vermeiden.
2. Im Gegensatz zu einem Volleitermit großem Durchmesser (nicht praktikabel
weil zu schwer und zu teuer) könnte man auch einen Holleiter verwenden. Aber
auch der ist nicht praktikabel weil zu teuer und wichtigster Grund die
Windlast wäre enorm (nicht tragbar).
Frank Klemm
>
>Ich bräuchte dringend eine Formel, wie man die Auswirkung des sog.
>Skin-Effekts, also der Verdrängung eines elektrischen Wechselstroms an
>den Rand des Leiters, quantifizieren kann. Da Maschinenbauer, habe ich
>keinen kurzfristigen Zugang zu geeigneter Literatur.
>
exotische, sehr reinen Metalle und tiefe Temperaturen neben dem normalen
Skineffekt auch noch der anormale Skineffekt auftritt. Er tritt auf, wenn
die Eindringtiefe in das Bereich der freien Weglänge der Elektronen kommt
und erhöht wieder etwas die Eindringtiefe