Sturm-Liouvillesches Eigenwertproblem
Ronny Polley
ich hab ein Problem bei einem Vortrag den ich vorbereite. Es geht um das
oben genannte Thema. Dabei gilt ja:
Lu=(pu')'+qu=0
\label(1)
Durch die sogenannte Prüfertransformation kommt man allgemein auf die
Argumentfunktion:
\phi ' = 1/p cos^2(\phi) + q*sin^2(\phi) \label(2)
Nun sind folgende drei Eigenschaften gegeben:
a) u(x_0)=0 \Leftrightarrow \phi(x_0)=k\pi und u'(x_0)=0 \Leftrightarrow
\phi(x_0)=k\pi + 1/2*\pi
b) Die Funktion \phi_1(x)=\phi(x) + \pi ist eine Argumentfunktion für -u
c) \phi_2(x)=\phi(x) + k*\pi ist ebenfalls Lösung von \phi '
Mein Problem ist, dass ich folgendes Beispiel nicht nachvollziehen kann:
u''+w^2u=0
Daraus folgt, das p=1 und q=w^2 ist, richtig? (\ref(1))
Das bedeutet aber auch, dass \phi ', wenn man \ref(2) benutzt, folgendes
ist:
\phi ' = \cos ^2( \phi) + w^2 \sin ^2( \phi )
Wobei gilt, dass \phi abhänig ist von x und \phi(0)=0.
Wie kommt man von \phi ' auf \phi? Als Lösung von \phi war gegeben:
\phi ( x ) = \arctan ( w^(- 1) \tan ( wx ))
Würde mich freuen, wenn mir jemand erklären kann, wie man von der Funktion
in die Ableitung oder umgedreht kommt!
Und wie zeigt man |\phi(x)-wx|<\pi/2 in R
Bitte dringend um Hilfe!!
Ronny