3 Häuser - 3 Kraftwerke - Problem
Christian Schneider
>
> Ist es möglich 3 Häuser und 3 Kraftwerke (Strom, Gas und Wasser) die sich
> gegenüber stehen so mit Linien zu verbinden, dass jedes Haus mit jedem
> Kraftwerk verbunden ist, ohne dass sich dabei zwei Linien kreuzen?
> Das ganze sollte auf einer Ebene stattfinden (also keine Körper oder
> sonstige Tricks wie Loch im Papier).
>
> Mit einem Satz von Euler dachten wir, wäre bewiesen, dass es unmöglich ist
> Anzahl_Flächen - Anzahl_Linien + Anzahl_Punkte = 2 ),
Das sehe ich auch so.
> aber unser
> Kunstlehrer sagt, er kenne eine Lösung, will sie aber nicht verraten ("da
> muss jeder selbst draufkommen...")
Das kann eigentlich nur eine "Tricklösung" sein.
Gruß,
Christian
Christian Möller
> > Kunstlehrer sagt, er kenne eine Lösung, will sie aber nicht verraten
("da
> > muss jeder selbst draufkommen...")
>
> Das kann eigentlich nur eine "Tricklösung" sein.
Man stelle die Häuser und die Kraftwerke auf einen Torus.
MfG Christian
Thomas Beringer
ich besuche die 11. Klasse eines mahtematischen Gymnasiums. Um den
Nachmittagsunterricht im Fach Kunst etwas interessanter zu gestalten,
stellen wir (ich und ein paar Klassenkammeraden) uns immer
Knobelaufgaben....
nach spätestens 90 minuten (= ein Nachmittag) sind diese Aufgaben dann
meistens auch gelöst. Aber eine Aufgabe beschäftigt uns nun schon seit 2
Monaten:
Ist es möglich 3 Häuser und 3 Kraftwerke (Strom, Gas und Wasser) die sich
gegenüber stehen so mit Linien zu verbinden, dass jedes Haus mit jedem
Kraftwerk verbunden ist, ohne dass sich dabei zwei Linien kreuzen?
Das ganze sollte auf einer Ebene stattfinden (also keine Körper oder
sonstige Tricks wie Loch im Papier).
Mit einem Satz von Euler dachten wir, wäre bewiesen, dass es unmöglich ist
Anzahl_Flächen - Anzahl_Linien + Anzahl_Punkte = 2 ), aber unser
Kunstlehrer sagt, er kenne eine Lösung, will sie aber nicht verraten ("da
muss jeder selbst draufkommen...")
Kann uns jemand helfen? ... oder einen Tipp geben....?
Danke
Thomas
PS: Bitte sende eine Kopie deiner Antwort an : SXBHTF...@spammotel.com
Thomas Beringer
Stefan Müllmann
ich weiß zwar nicht WIE es geht, nur dass es geht (irgendwie musste man über
das rechteck hinaus die striche ziehen (diagonalen) usw). bin mir sicher
DASS es geht
stef.
Hermann Kremer
Stefan Müllmann schrieb in Nachricht <9a00sb$70g$03$1...@news.t-online.com>...
In der Ebene geht es NICHT ... siehe z.B.
http://www.math.lsa.umich.edu/~mathsch/summ97/graph/graph5/
Es ginge aber auf Henkelflächen, z.B. auf einem Torus.
MfG
Hermann
--
>
>stef.
>
>
Hermann Kremer
Hermann Kremer schrieb in Nachricht <9a040q$8fb$1...@news.online.de>...
>
....
>
>In der Ebene geht es NICHT ... siehe z.B.
>http://www.math.lsa.umich.edu/~mathsch/summ97/graph/graph5/
.... und natürlich die dsm-FAQ
http://www.informatik.uni-oldenburg.de/~tjark/dsm/faq.html
Tjark, entschuldige bitte ;-))
Gruß
Hermann
--
>>
Stefan Kirchner
Christian Schneider schrieb:
> Thomas Beringer schrieb:
> >
> > Ist es möglich 3 Häuser und 3 Kraftwerke (Strom, Gas und Wasser) die sich
> > gegenüber stehen so mit Linien zu verbinden, dass jedes Haus mit jedem
> > Kraftwerk verbunden ist, ohne dass sich dabei zwei Linien kreuzen?
> > Das ganze sollte auf einer Ebene stattfinden (also keine Körper oder
> > sonstige Tricks wie Loch im Papier).
> >
> > Mit einem Satz von Euler dachten wir, wäre bewiesen, dass es unmöglich ist
> > Anzahl_Flächen - Anzahl_Linien + Anzahl_Punkte = 2 ),
>
> Das sehe ich auch so.
So weit ich es kenne, laeuft es ein wenig anders:
mit Hilfe des Satzes von Euler kommt man fuer kreuzungsfreie Graphen auf die
Ungleichung
Anzahl_Linien <= g / (g-2) * (Anzahl_Punkte - 2) (*)
wobei g die Laenge des kuerzesten Kreises in dem Graphen ist.
Fuer den obigen Graphen gilt:
Anzahl_Linien = 9
und Anzahl_Punkte = 6
und g = 4
Wenn man die Werte in (*) einsetzt erhaelt man 9<=8. Das bedeutet, dass der
Graph nicht planar (in jeder Darstellung in der Ebene kreuzen sich mindestens
zwei Kanten) ist. Diesen obigen Graphen bezeichnet man auch mit K_3,3.
Jetzt kann man sich die Frage stellen, ob es Kriterien gibt, ob ein Graph planar
ist.
Dazu betrachten wir noch einen weiteren nichtplanaren Graphen: den K_5
Dieser besteht aus 5 Punkten und je zwei Punkte sind verbunden. Dann gilt:
Anzahl_Linien = 10
und Anzahl_Punkte = 5
und g = 3
Man erhaelt wieder in (*) eingesetzt 10<=9. Damit ist auch der K_5 nicht planar.
(Der K_n ist analog definiert, n ist die Anzahl der Punkte)
Es gilt der wunderschoene Satz von Kuratowski aus dem Jahre 1930:
Ein Graph ist genau dann planar, wenn er keine Unterteilung des K_5 oder K_3,3
enthaelt.
Das bedeutet, dass alle nichtplanaren Graphen aus diesen beiden Graphen
"entstehen" koennen oder anders ausgedrueckt, Du in jedem nichtplanaren Graphen
den K_3,3 oder den K_5 wiederfindest..
(G ist eine Unterteilung von H, wenn Du in G Punkte und Linien einfuegen kannst,
so dass Du damit H erhaelst.)
Den Beweis, den ich kenne, ist ein raffinierter Induktionsbeweis ueber die
Anzahl der Punkte. Er ist zwar elementar in dem Sinne, dass man keine "hoehere
Mathematik" braucht, aber nicht einfach.
> > aber unser
> > Kunstlehrer sagt, er kenne eine Lösung, will sie aber nicht verraten ("da
> > muss jeder selbst draufkommen...")
>
> Das kann eigentlich nur eine "Tricklösung" sein.
Wenn man die Ebene verlaesst und sich andere "Flaechen" anschaut, sieht es
anders aus:
Auf dem Torus (Rettungsring) kann man sogar den K_5, K_6 und K_7 kreuzungsfrei
einbetten, auf dem Moebiusband die Graphen K_3,3 , K_5 und K_6
(Mit dem Moebiusband kann man tolle Sachen machen: zerschneide doch einmal das
Band in der Mitte und schaue, was passiert. Damit kannst Du bestimmt Deinen
Kunstlehrer ueberraschen. Das Moebiusband erhaeltst Du, indem Du einen
Papierstreifen nimmst, jedoch ein Ende um 180° drehst und dann die beiden Enden
zusammenklebst.)
All das ging, jetzt ueber die Fragestellung heraus. Die Graphentheorie, die sich
mit solchen Aufgaben beschaeftigt, finde ich faszinierend, so dass ich Dich
vielleicht ermuntern kann, sich mit den Grundzuegen zu beschaeftigen. Es lohnt
sich!
Gruss Stefan
Martin G.B. Zielke
Das geht in einer Ebene nicht.
Allerdings kenne ich das Problem mit 3 Häusern, dem Wasserwerk, dem Gaswerk
und dem E-Werk.Lösungsvorschlag:
Auch Wasserwerk und Gaswerk brauchen E-Anschluß, also verbinden und die
E-Leitung dann auch durch die 3 Häuser legen.
........gut beschrieben hab´ich das nicht.
Gruß
-Martin
Hermann Kremer <hermann...@online.de> schrieb in im Newsbeitrag:
9a04bt$8ho$1...@news.online.de...
Christian Köhling
das
> Band in der Mitte und schaue, was passiert. Damit kannst Du bestimmt
Deinen
> Kunstlehrer ueberraschen. Das Moebiusband erhaeltst Du, indem Du einen
> Papierstreifen nimmst, jedoch ein Ende um 180° drehst und dann die beiden
Enden
> zusammenklebst.)
Was passiert denn da? Also wenn ich mir das Band gebastelt habe und es dann
durchschneide, habe ich wieder zwei Papierstückchen in der Hand... :-(
Ist mit "in der Mitte durchschneiden" vielleicht was anderes gemeint?
Was?
Gruß,
Christian
Tobias Deissler
[Möbiusband in der Mitte durchschneiden]
> Was passiert denn da? Also wenn ich mir das Band gebastelt habe und es dann
> durchschneide, habe ich wieder zwei Papierstückchen in der Hand... :-(
> Ist mit "in der Mitte durchschneiden" vielleicht was anderes gemeint?
> Was?
Parallel zum Rand, in längsrichtung, sowas in der Art. ;-)
Tobias (/\/)
--
Tobias Deißler *** eMail tdei...@gmx.de -+-
--l--,
"Never give up! Never surrender!" l )
-----´
Hermann Kremer
Christian Köhling schrieb in Nachricht <9a9mt2$h54$1...@news.nikoma.de>...
Ja, der Länge nach ...
Suche mal mit http://www.google.com nach dem Begriff möbiusband oder
moebiusband ...
MfG
Hermann
--
>Gruß,
>Christian
>
>
Fabrizio
Dann bekommst du zwei ineinander verhakte Ringe.
Ich glaube wenn du das Band zweimal drehst, bevor du es zusammenklebst,
bekommst du wieder was anderes. - Ich kann mich nicht mehr erinnern und habe
jetzt keine Zeit es auszuprobieren.
Also du musst das Band einfach längs in der Mitte durchschneiden. Es ist ein
wenig Fummelarbeit.
Christian Köhling <ck...@nikocity.de> schrieb in im Newsbeitrag:
9a9mt2$h54$1...@news.nikoma.de...