数论-北大-1061

[china_sjc]

#include<iostream.h>
#define int64 __int64

void ExtEuclid(int64 a,int64 b,int64& d,int64& x,int64& y)
{ int64 temp;
if (b==0)
{d=a; x=1; y=0;
return;
}
ExtEuclid(b,a%b,d,x,y);
temp=x-y*(a/b);
x=y; y=temp;
}

int main()
{int64 x,y,m,n,l,a,b,d,u,v,ans;
cin>>x>>y>>m>>n>>l;
a=(l+m-n)%l; b=(l+y-x)%l;
ExtEuclid(a,l,d,u,v);
if (b%d!=0)
cout<<"Impossible"<<endl;
else
{ans=(u*(b/d)%l);
if (ans<0) ans+=l;
ans=ans%(l/d);
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}

[china_sjc]

　　此题其实就是扩展欧几里德算法－求解不定方程，线性同余方程。

　　设过s步后两青蛙相遇，则必满足以下等式：

　　　　(x+m*s)-(y+n*s)=k*l(k=0,1,2....)

　　稍微变一下形得：

　　　　(n-m)*s+k*l=x-y

令n-m=a,k=b,x-y=c,即

　　　　a*s+b*l=c

　　只要上式存在整数解，则两青蛙能相遇，否则不能。

　　首先想到的一个方法是用两次for循环来枚举s,l的值，看是否存在s,l的整数解，若存在则输入最小的s，

但显然这种方法是不可取的，谁也不知道最小的s是多大，如果最小的s很大的话，超时是明显的。

　　其实这题用欧几里德扩展原理可以很快的解决，先来看下什么是欧几里德扩展原理：

　　欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

　　定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

　　证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

　　假设d是a,b的一个公约数，则有

　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　　因此d是(b,a mod b)的公约数

　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

　　d | b , d |r ，但是a = kb +r

　　因此d也是(a,b)的公约数

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

　　欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：

　　int Gcd(int a, int b)
　　{
　　if(b == 0)
　　return a;
return Gcd(b, a % b);
　　}

　　当然你也可以写成迭代形式：

　　int Gcd(int a, int b)
　　{
　　while(b != 0)
　　{
　　int r = b;
　　 b = a % b;
　　 a = r;
　　}
　　return a;
　　}

　　本质上都是用的上面那个原理。

　　补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧
几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使

用C++的实现：

　　int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
　　{
　　if(b == 0)
　　{
　　x = 1;
　　y = 0;
　　 return a;
　　}
　　int r = exGcd(b, a % b, x, y);
　　int t = x;
　　x = y;
　　y = t - a / b * y;
　　 return r;
　　}

　　把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。

　　可以这样思考:

　　对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')

　　由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)

　　那么可以得到:

　　a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
　　bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
　　ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)

　　因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y).

　　在网上看了很多关于不定方程方程求解的问题，可都没有说全，都只说了一部分，看了好多之后才真正弄清楚不定方程的求解全过程，步骤如下：

　　求a * x + b * y = n的整数解。

　　1、先计算Gcd(a,b)，若c不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a'
* x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;

2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是
方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；

　　3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：

x = n' * x0 + b' * t
y = n' * y0 - a' * t
(t为整数)

　　　 上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。

　　下面来看看我这题的代码：

　　# include <stdio.h>
　　__int64 gcd(__int64 a,__int64 b)//求a,b的最大公约数
　　{
if(b==0)
return a;
return gcd(b,a%b);
　　}
　　void exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &m,__int64 &n)//求a * x + b *
y = Gcd(a,b)的一组整数解，结果储存在m,n中
　　{
if(b==0)
{
m=1;
n=0;
return ;
}
exgcd(b,a%b,m,n);
__int64 t;
t=m;
m=n;
n=t-a/b*n;
　　}
　　int main()
　　{
__int64 x,y,m,n,l,a,b,c,k1,k2,r,t;
while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF)
{
a=n-m;
b=l;
c=x-y;
r=gcd(a,b);
if(c%r)//如果c不能被r整除，则由数论中的相关定理可知整数解一定不存在
{
printf("Impossible\n");
continue;
}
a/=r;
b/=r;
c/=r;
exgcd(a,b,k1,k2);//求a*k1+b*k2=Gcd(a,b)的整数解，此时Gcd(a,b)=1
t=c*k1/b;//见注1
k1=c*k1-t*b;
if(k1<0)
k1+=b;
printf("%I64d\n",k1);
}
return 0;
　　}

　　注1：
　　　　此时方程的所有解为:x = c * k1 + b * t，令x=0可求出当x最小时的t的取值，这样求出的x可能小于0，当其小于0时加上
b即可。

[china_sjc]

　青蛙的约会 http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1061

[china_sjc]

typedef unsigned long long int64 // g++
int64 exgcd(int64 m,int64 & x,int64 n,int64 & y) // Extend Euclid
{ int64 x1,y1,x0,y0;
x0=1;y0=0;
x1=0;y1=1;
int64 r=(m%n+n)%n;
int64 q=(m-r)/n;
x=0;y=1;
while(r)
{ x=x0-q*x1;y=y0-q*y1; x0=x1;y0=y1;
x1=x;y1=y;
m=n;n=r;r=m%n;
q=(m-r)/n;
}
return n;
}
int main()
{ int64 r,t;
int64 x,y,m,n,l;

cin>>x>>y>>m>>n>>l;

int64 ar,br;
int64 M=exgcd(n-m,ar,l,br);
if((x-y)%M||m==n)
cout<<"Impossible"<<endl;
else
{ int64 s=l/M;
ar=ar*((x-y)/M);
ar=(ar%s+s)%s;
cout<<ar<<endl;
}
return 0;
}