Components of a tensor in a 2+2 decomposition

[Álvaro Castilla González]

Hi everyone,

I am pretty new to xAct, so maybe this question is really simple. I'm doing a project for which I am using a perturbed Schwarzschild metric (in Eddington-Finkelstein coords). I want to test that the expression for the perturbation of the metric (given in the paper https://arxiv.org/abs/0906.1366) satisfies the linearized Einstein equations. I did the calculation by hand before I discovered xAct, but I made some mistake and could not find it, so I want to test the solution using xAct. 

The perturbation is written in terms of spherical harmonics, so naturally I defined two manifolds, M2 and S2. That way I can define the spherical harmonics in S2 and use the covariant derivatives of S2 to define the vectorial and tensorial spherical harmonics (D_A Ylm, D_AD_B Ylm, etc).

My objective right now is to write a tensor p with components:

p_vv=h(r)*Ylm,

p_vA=j(r)*Ylm_A,

p_AB=k(r)*Ylm_AB,

where A,B are the indices for the S2 manifold.

My problem is that I don't know how to insert the components into the tensor p. I have defined it in a 4-dim manifold M4=M2+S2. However, I'm not sure how to insert those values into the tensor p. 

Is there some way of doing something like: p[-alpha->-A, -beta->-B]=k(r)*YlmAB[-A,-B]? 

Or do I have to specify a basis and write each component individually and insert the spherical harmonics like YlmAB[-theta, -theta], YlmAB[-theta, -phi], etc?

I hope that my question is clear and that you can help me. 

Thanks in advance,

Álvaro

PS: I have attached the mathematica notebook where I'm doing this test.

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