Matematici

[Regulo Akers]

TYJOUR

AU - Sorrentino, Alfonso

TI - I matematici giocano ... a biliardo!

JO - Matematica, Cultura e Societ. Rivista dell'Unione Matematica Italiana

DA - 2019/8//

PB - Unione Matematica Italiana

VL - 4

IS - 2

SP - 131

EP - 144

AB - Quest'articolo si propone di offrire una panoramica sullo studio dei biliardi matematici. Ci concentreremo su una particolare classe, i cosiddetti Biliardi di Birkhoff, in cui il tavolo costituito da una regione del piano limitata, strettamente convessa e con bordo regolare. Le propriet dinamiche di questi modelli matematici sono strettamente legate alla forma del tavolo che si considera: comprendere fino a che punto la conoscenza di certi aspetti dinamici permetta di ricostruire la forma del biliardo, alla base di importanti congetture al centro di intense attivit di ricerca. In quest'articolo discuteremo alcune di queste problematiche e descriveremo recenti contributi verso la loro soluzione.

LA - ita

UR -

ER -

Introdurre i concetti della meccanica lagrangiana e hamiltoniana nel moderno linguaggio geometrico-differenziale, con enfasi sugli aspetti di interesse fisico-teorico (strutture geometriche, principi variazionali, leggi di conservazione e simmetrie, parentesi di Poisson), inclusa la formulazione lagrangiana della particella relativistica carica. Introdurre la descrizione meccanico-statistica classica dell'equilibrio termodinamico a partire dalla meccanica hamiltoniana.

Introducing Lagrangian and Hamiltonian mechanics in the modern language of differential geometry, with emphasis on topics of general interest in theoretical physics (geometric structures, variational principles, symmetries and conservation laws, Poisson brackets), including the Lagrangian dynamics of a charged relativistic particle. Introducing the fundamental ideas of classical statistical mechanics to derive the description of the thermodynamic equilibrium from hamiltonian mechanics.

- comprensione della formulazione lagrangiana e hamiltoniana della meccanica classica, a partire dall'equivalenza con la dinamica newtoniana dei sistemi di punti materiali per giungere alla possibilit di formulare i postulati della teoria sotto forma di principio variazionale;

- comprensione del legame fra simmetrie di un sistema fisico e leggi di conservazione, attraverso il teorema di Noether e l'algebra di Poisson; comprensione delle propriet intrinseche di linearit/nonlinearit/integrabilit/separabilit di un sistema olonomo;

- comprensione del concetto di macrostato meccanico-statistico di un sistema e di entropia di un macrostato; deduzione delle propriet dell'equilibrio termodinamico (classico) a partire dalle propriet dei sistemi hamiltoniani.

- saper individuare le configurazioni di equilibrio e discutere la loro stabilit; saper linearizzare e diagonalizzare un sistema di equazioni; saper individuare leggi di conservazione e calcolare le parentesi di Poisson fra osservabili;

- saper riconoscere le strutture matematiche (oggetti e operazioni) utilizzate nella modellizzazione di un sistema fisico, con particolare attenzione agli elementi basilari di algebra multilineare, geomeria differenziale, calcolo variazionale, geometria simplettica, teoria della misura, anche in vista di estensioni alle teorie di campo;

- of the lagrangian and the hamiltonian formulations of classical mechanic, from their deduction from the newtonian mechanics of systems of point particles to the more general deduction from an action principle;

- of the connection between symmetries and conservation laws, represented by Noether's theorem and by commutation relations in the Poisson algebra. Understanding the respective intrinsic (coordinate-independent) characterization of linear, integrable, separable holonomic systems;

- solving standard problems in Lagrangian and Hamiltonian mechanics for systems of constraind point particles, using generic coordinates; manipulating tensor formulae; solving basic problems of relativistic kinematics and of relativistic dynamics of point particles;

- finding equilibrium configuration and assessing their stability; computing linearized equations and diagonalizing them; finding conservation laws for Lagrangian and Hamiltonisn systems; writing the Hamilton-Jacobi equation for a given holonomic system;

- using the appropriate mathematical definitions and properties (from linear and multilinear algebra, differential geometry, variational calculus, symplectic geometry, measure theory) for objects and operations involved in modelling a physical system.

ItalianoEnglishMeccanica lagrangiana: richiami di dinamica del punto materiale e dei sistemi. Spazio delle configurazioni, coordinate lagrangiane, equazioni di Lagrange. Linguaggio geometrico-differenziale: variet, spazi tangenti e cotangenti, sottovariet, diffeomorfismi, strutture metriche, simboli di Christoffel, tensori e forme differenziali su variet. Simmetrie e costanti del moto: teorema di Noether. Moto in un campo di forze centrali. Equilibrio meccanico, stabilit, teoria delle piccole oscillazioni. Principio d'azione stazionaria. Meccanica lagrangiana della particella relativistica.

Meccanica hamiltoniana: trasformazione di Legendre, spazio delle fasi, equazioni di Hamilton. Parentesi di Poisson e forma simplettica. Trasformazioni canoniche. Sistemi hamiltoniani con simmetrie. Sistemi completamente integrabili: teorema di Arnold-Liouville. Conservazione della forma volume e sue conseguenze.

Meccanica statistica classica: microstati, macrostati ed entropia. Potenziali termodinamici. Ipotesi ergodica. Ensemble microcanonico e definizione meccanico-statistica dell'entropia e della temperatura. Ensemble canonico, funzione di partizione e deduzione delle equazioni di stato. Equipartizione dell'energia. Paradosso di Gibbs.

Lagrangian mechanics: overview of the dynamics of point particles and of systems. Configuration space, lagrangian coordinates, Lagrange equations. Mathematical framework from differential geometry (manifolds, tangent and cotangent bundles, submanifolds, diffeomorphisms, metric structures, Christoffel symbols, tensors and differential forms on manifolds). Symmetries, constants of motion and Noether theorem. Motion in a central force field. Mechanical equilibrium, stability, theory of small oscillations. Action functional. Lagrangian mechanics for a relativistic particle.

Hamiltonian mechanics: Legendre transformations, phase space, Hamilton equations. Poisson brackets, symplectic structure. Canonical transformations. Hamiltonian systems with symmetries. Completely integrable systems: Arnold-Liouville theorem. Preservation of volume in the phase space and its consequences.

Classical statistical mechanics: microstates, macrostates and entropy. Thermodynamic potentials. Ergodic hypothesis. Microcanonical ensemble and definition of entropy and temperature. Canonical ensemble, partition function and equations of state. Equipartition theorem. Gibbs paradox.

Una prima valutazione della capacit di applicare i metodi presentati nel corso alla risoluziopne di problemi standard data da una prova su computer, divisa in due parti. Ognuna delle due parti (meccanica lagrangiana e metodi geometrico-differenziali; meccanica hamiltoniana) consta di 10/12 domande a risposta multipla chiusa, somministrate via computer. I due test possono essere sostenuti, indipendentemente l'uno dall'altro, durante il corso o prima della prova scritta e possono essere ripetuti fino al superamento. Il punteggio ottenuto nei test non concorre al voto finale. Una versione di autovalutazione per ciascuno dei due test liberamente disponibile attraverso la piattaforma moodle.

Una volta superati i due test su computer si pu accedere alla prova scritta, che consiste in uno o due problemi di meccanica analitica e che verifica la capacit di individuare la corretta strategia di risoluzione e scegliere in modo appropriato le coordinate in cui rappresentare il sistema. La prova scritta dura 120'; durante la prova scritta non ammesso l'uso di calcolatrici, cellulari, tablet o appunti, ma possibile consultare alla cattedra le dispense fornite dal docente. I problemi proposti, pur riguardando di regola sistemi olonomi con uno o due gradi di libert, non sono "esercizi standard" ma richiedono, almeno per alcune delle domande proposte, capacit di "problem solving". La prova scritta, se superata, valutata su una scala A-D. Il punteggio A determina un aumento di 1 punto rispetto al voto della prova orale, B lascia invariato il punteggio dell'orale, C determina la perdita di 1 punto e D la perdita di 2 punti. Le prove superate valgono per l'intera sessione d'esame, ma se classificate A o B restano valide per 12 mesi. In caso di ripetizione di una prova scritta gi superata, la seconda viene considerata solo se migliora il voto della precedente. Sulla piattaforma moodle sono disponibili i testi di prove scritte date in anni precedenti, con le relative soluzioni.

La prova orale, a cui si accede dopo il superamento della prova scritta, consiste nella risposta a tre domande teoriche: una di meccanica lagrangiana (classica e relativistica), una di meccanica hamiltoniana o geometria differenziale e una di meccanica statistica. Le domande sono estratte in modo casuale da un elenco pubblicato alla fine del corso attraverso la piattaforma moodle. Per ciascuna risposta il tempo disponibile 10'. Il voto dell'orale dato dalla somma dei voti delle tre risposte, ciascuna valutata da 0 a 10.

First, the ability to cope with standard exercises is checked by two multiple-choiche tests (on mathematical methods and on Lagrangian and Hamiltonian mechanics). The tests can be taken, independently from each other, during the course or before the exam sessions. Test scores do not affect the final exam grading. A training version of both tests is freely available on the moodle platform.

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