約七Ｏ年代左右，數學家 Benoit Mandelbrot 在一篇幾乎算是他思想轉捩點的論文「英國的海岸線有多長？」中，發展出了新的維度觀念 ── 幾何學：碎形。 三十年間，碎形幾何，與混沌理論，複雜性科學共同匯合，試圖解釋過去科學家們所忽略的非線性現象，與大自然的複雜結構，把觸角伸入，除了物理、化學之外的生理學、經濟學、社會學、氣象學，乃至於天文學所談及的星體分布。 搖身一變，碎形幾何已經變成了主要能描述大自然的幾何學了。這些研究開拓了人們對於維度、尺度、結構的新看法，筆者大致歸納如下： ◆碎形具有分數維度：不同於整數維度的一維線段，二維矩形，碎形所
具有的維度是分數的，例如無窮擴張三分之四的卡區曲線，其維
度是 1.2618。 ◆碎形具有尺度無關性：對於「同一個」碎形結構，以不同大小的量尺
來量度「可觀察的區域」，碎形會具有一致的碎形維度。例如，
如果我們不同程度地放大或縮小 Mandelbrot Set，我們會發現圖形
的複雜度，或摺疊程度，或粗糙程度並未因此而改變。 ◆碎形具有自我模仿性：對於「同一個」碎形結構，自我模仿就是尺度
一層一層縮小的結構重複性，它們不僅在越來越小的尺度裡重複
細節，而且是以某種固定的方式將細節縮小尺寸，造成某種循環
重現的複雜現象。 ◆碎形代表有限區域的無限結構：例如，卡區的雪花曲線，是一條無限
長，而結構不斷重複的線段，被限制在最初三角形的正圓區域內
。例如，原本是一固定線段的 Cantor Set，最後變成一系列數量
無窮，但總長度卻為零的點集合。 ◆碎形隱含一種整體性：我們可以從某一尺度的碎形，來推知另一尺度
的「同一個」碎形的大致樣子，這意味著一種整體性，小細節的
傾向可以透露大細節的傾向，大細節的絲毫改變可以令所有小細
節全面改觀，再造成整個碎形圖形的變化。 ◆碎形是觀察手段的相對結果：回到 Mandelbrot 的那篇論文「英國的海
岸線有多長？」，作為碎形結構的海岸線本身，在某種意義下是
無限長，但是對於不同的觀察者而言，海岸線長度卻端視其手中
的量尺（不同的觀察手段）而定，Mandelbrot 說：「數據結果是
依觀察者與其對象而改變。」也正是這個觀念，才促使他發展出
不同於過去科學家的維度量度的新理論。 ◆碎形是非線性動力過程的結果：大自然的外貌、結構是非線性動力過
程所造成的結果，我們也只能在非線性現象中，才能找到碎形的
蹤跡，於是碎形幾何與非線性動力學有著密不可分的關係。
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├─ 典型的碎形
｜ ├─ Pythagorean Trees
｜ ├─ Cantor Set
｜ ├─ Sierpinski Gasket And Carpet
｜ ├─ Koch Curve
｜ ├─ Cesaro Curve
｜ ├─ Levy Curve
｜ ├─ Dragon Curve
｜ ├─ Peano Curve
｜ ├─ Hilbert Curve
｜ ├─ H-Fractal
｜ └─ Tree Fractal
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├─ 繪製碎形的方法
｜ ├─ 起始元與生成元疊代法（Initiator and Generator Iteration Method）
｜ ｜ ├─ 起始元與生成元疊代法
｜ ｜ ├─ L-System Method（1）
｜ ｜ ├─ L-System Method（2）
｜ ｜ └─ L-Systems Java Applet
｜ ├─ 幾何變換疊代函數系統（Deterministic Iterated Function System）
｜ ｜ ├─ 平面幾何變換
｜ ｜ ├─ 幾何變換疊代函數系統（1）
｜ ｜ ├─ 幾何變換疊代函數系統（2）
｜ ｜ └─ MRCM 與 貼片理論（MRCM and Collage Theorem）
｜ ├─ 隨機疊代函數系統（Random Iterated Function Systems）
｜ ｜ ├─ Chaos Game
｜ ｜ ├─ 隨機疊代函數系統（1）
｜ ｜ ├─ 隨機疊代函數系統（2）
｜ ｜ └─ Random IFS Java Applet
｜ └─ 規範疊代函數系統（Formula Iterated Function Systems）
｜ ├─ 規範疊代函數系統（1）
｜ ├─ 規範疊代函數系統（2）
｜ ├─ 混沌與奇異吸子（1）（Strange Attractors 1）
｜ ├─ 混沌與奇異吸子（2）（Strange Attractors 2）
｜ └─ 混沌與奇異吸子（3）（Strange Attractors 3）
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├─ 碎形維度
｜ ├─ 英國的海岸線有多長？
｜ ├─ 自我相似維度（Self-Similarity Dimension）
｜ ├─ 盒子維度（Box-Counting Dimension）
｜ ├─ Hausdorff 維度（Hausdorff Dimension）
｜ └─ 碎形維度的進階計算
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├─ Mandelbrot Set and Julia Sets
｜ ├─ 複數與其疊代
｜ ├─ Julia Sets
｜ ｜ ├─ 吸引流域（1）（Basin of Attraction_1）
｜ ｜ ├─ 吸引流域（2）（Basin of Attraction_2）
｜ ｜ ├─ 閥值半徑與束縛圍集（Threshold Radius and Encirclement）
｜ ｜ ├─ Julia Sets Family
｜ ｜ ├─ Julia Sets 的性質
｜ ｜ └─ Julia Sets 與 Chaos Game
｜ └─ Mandelbrot Set
｜ ├─ Mandelbrot Set 的定義
｜ ├─ Mandelbrot Set 的性質
｜ ├─ Mandelbrot Set 與 Julia Sets 的關係（1）
｜ ├─ Mandelbrot Set 與 Julia Sets 的關係（2）
｜ ├─ Mandelbrot Set 與 PI
｜ └─ 其他形式的 Mandelbrot Set
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├─ 隨機的碎形結構（Random Fractals）
｜ ├─ 從自然界的碎形結構談起
｜ ├─ 自我相似的隨機性分布（Self-Similar Distributions）
｜ ├─ L-System 的隨機型模擬
｜ ├─ 布朗運動（Brownian Motion）
｜ └─ Diffusion-Limited Aggregation
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├─ 碎形幾何的深入探討
｜ ├─ 碎形幾何的哲學意義
｜ ├─ 碎形、混沌與動力學（1）
｜ ├─ 碎形、混沌與動力學（2）
｜ └─ 碎形與藝術的相遇
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├─ 系列主題
｜ ├─ 談碎形與藝術：自我相似之結構套嵌 NEW
｜ ├─ 談碎形與藝術：絕美 Mandelbrot Set NEW
｜ ├─ 談碎形與藝術：她的終點是秩序美？ NEW
｜ ├─ 碎形幾何內涵與 Logo 程式繪圖 NEW
｜ └─ Logo 小海龜實現碎形繪圖程序
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├─ 相關論文
｜ ├─ Logo 小海龜實現碎形繪圖程序（1）NEW
｜ ├─ Logo 小海龜實現碎形繪圖程序（2）NEW
｜ └─ 回應〈殘形宇宙學足以推翻大霹靂學說！？〉一文
吳文成老師的個人網頁 [最新完整 ]： http://www.fractal-wu.com/
吳文成老師的系列演講影片： http://www.youtube.com/user/sinner66s
二維L-系統簡介
L-系統的第一個字母L源於美國生物學家A.Lindenmayer（1929~1989）姓氏中的L字母。
開始是作為描述植物的形態與生長的一種方法，繼而發展成計算機圖形學的一種模擬大自然景物的有效方法。當然也是一種重要的分形圖形生成方法。
文法構圖算法是仿照語言學中的語法生成方法來構造圖形的一種算法。 任何語言都是由一個字母集和一些構成有意義語句的文法規則組成的。 著名語言學家N.Chomsky在20世紀50年代給出了遞歸生成語法的方法，指定一個或幾個初始字母和一組“生成規則”，將生成規則反復作用到初始字母和新生成的字母上，產生出整個語言。比如： 字母表：A, B 生成規則：A->AB 初始字母：A那麼會有以下的生成過程：A->AB->AAB->AAAB->AAAAB->…… L-System(LS)是形式語言的一個重要分支，被引入到算機圖形學領域之後，LS成為文法構圖算法中的一種。它的核心概念是重寫，LS文法用字母表和符號串來表達生成對象的初始形式，然後根據一組產生式重寫規則，將初始形式的每個字符依次替換為新的字符形式，以此過程反复替換重寫，最後生成圖形。 在二維平面上，LS文法的繪圖過程，可以看成是一支筆在程序的控制下行動，每一次“行動”可以分為幾種情況： F ：前進並畫線 f ：前進但不畫線 + ：逆時針旋轉一個角度 - ：順時針旋轉一個角度 [ ：將當前的方向和位置信息壓棧 ] ：從棧中彈出上一次壓入的方向和位置信息 |：反向180度 #：按線段寬度的增量要求增加線段的寬度 !：按線段寬度的減量要求減少線段的寬度 @：按線段寬度作半徑畫一個點 >：按線段長度的比例因子乘線長 <：按線段長度的比例因子除線長 &：交換+和-的意義 (：按轉動角度的增量減少角度的轉動量 )：按轉動角度的增量增加角度的轉動量
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