[Algebra] LINEALMENTE DEPENDIENTES
Roque
dependientes, quiere decir que al menos uno de ellos es combinación lineal
de los demás, me gustaría saber si hay alguna forma de saber cual es
combinación lineal de los demás sin tener que probar con todos, si es que es
posible.
Saludos,
Deschamps
Roque ha comentado:
>> [..] al menos uno de ellos es combinación lineal
>> de los demás, me gustaría saber si hay alguna forma
>> de saber cual es combinación lineal de los demás
>> sin tener que probar con todos[..]
Si son linealmente dependientes, cualquiera de ellos puede expresarse
como combinación lineal de los demás. No hay que buscar ninguno
concreto. Según la definición, si los vectores A, B y C son l.d., es
que existen escalares x,y,z (no todos igual a 0) tales que xA + yB +
zC = 0. Entonces, cualquiera de ellos (A,B,C) puede expresarse en
función del resto. Por ejemplo B = -(xA+zC)/y
Resumiendo: puedes elegir cualquier vector, ya que si son l.d. seguro
que podrás expresarlo como combinación lineal del resto.
Un saludo!
--
Serge Deschamps
deschamps en canarias.org
monly
de cero linelmente independientes
"Deschamps" <[NOSPAM]@canarias.org> escribió en el mensaje
news:Xns9420821AD45F23...@62.204.192.39...
Javier P.
es útil hallar el rango de la matriz formada por los vectores. Si restas
dicho rango del número total de vectores, obtendrás cuántos son linealmente
dependientes.
garrobo
> Si son linealmente dependientes, cualquiera de ellos puede expresarse
> como combinación lineal de los demás. No hay que buscar ninguno
> concreto. Según la definición, si los vectores A, B y C son l.d., es
> que existen escalares x,y,z (no todos igual a 0) tales que xA + yB +
> zC = 0. Entonces, cualquiera de ellos (A,B,C) puede expresarse en
> función del resto. Por ejemplo B = -(xA+zC)/y
>
> Resumiendo: puedes elegir cualquier vector, ya que si son l.d. seguro
> que podrás expresarlo como combinación lineal del resto.
Salvo que en el conjunto se encuentre el neutro de la suma (0,0,0...), en
dicho caso puede no darse esto...
Un saludo
--
==GARROBO==
Roque
dos quiere decir que uno de ellos es combinación lineal de los
demás,supongamos que V1 es combinación lineal de los demás, entonces podemos
escribir V1= L1V2+L2V3, y siendo L distinto de 0, esta es la relación de
dependencia y no cualquier otra, como dice Deschamps en su mensaje. Mi
pregunta es como saber (si el rango es 2) que V1 es combinación lineal de
los demás y no cualquier otro.
Creo que lo que pregunto tiene sentido pues si te dicen que vectores forman
una base has de poner los que son linealmente independientes y no otros.
Gracias por vuestras respuestas,
Deschamps
>> [..] esta es la relación de dependencia y no cualquier
>> otra, como dice Deschamps en su mensaje. Mi pregunta
>> es como saber (si el rango es 2) que V1 es combinación
Creo que no acabas de tenerlo claro.
Si v1 = x·v2 + y·v3, con x distinto de 0, también puedes expresar
la dependencia como v2 = (v1 - y·v3)/x, es decir, que la relación
de dependencia "NO ES ÚNICA". Si son l.d. cualquiera podrá
expresarse como combinación lineal de los demás.
Volviendo a lo anterior... Si los conceptos de rango de la matriz
y determinante ya los conoces, puedes hacerlo "a huevo". Me
explico con un ejemplo:
Considera los vectores v1=(1,1,1), v2=(1,0,0), v3=(0,1,1) de R3.
Evidentemente no son l.i. (por ejemplo, v1=v2+v3), y es evidente
también que el rango de la matriz asociada es 2, que será la
dimensión del subespacio que generan. ¿Cuáles 2 de ellos debemos
seleccionar para formar una base? Pues como dije en mi respuesta
anterior, cualesquiera 2 de ellos, con la única condición de que
sean l.i.
Es decir, que v2 y v3 forman base, pero v1 y v2 también forman
base y además generan el mismo subespacio, y v1 y v3 exactamente
igual (forman base del mismo subespacio).
Cuando calculas el rango de la matriz, y compruebas que es menor
al número de vectores que te dan, es porque algunas de las filas
(después de hacer los cálculos) están compuestas enteramente por
ceros. Pues basta con seleccionar todos los vectores que
corresponden a las filas que no se "anulan" para asegurar que
forman base.
Roque
saludos,