Re: Soal Program Linear Grafik Himpunan Penyelesaian

[Harold Yengo]

Soal Program Linear Grafik Himpunan Penyelesaian

Program linear adalah salah satu topik yang sering dipelajari dalam matematika. Program linear adalah metode untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan optimalisasi fungsi linear dengan batasan-batasan tertentu. Program linear dapat digunakan untuk berbagai aplikasi, seperti ekonomi, pertanian, perdagangan, dan lain-lain.

Dalam program linear, kita perlu menentukan fungsi objektif yang ingin dioptimalkan, baik itu maksimum atau minimum. Fungsi objektif biasanya berbentuk f(x,y) = ax + by, di mana x dan y adalah variabel keputusan. Selain itu, kita juga perlu menentukan sistem pertidaksamaan linear yang menjadi batasan atau kendala dari masalah. Sistem pertidaksamaan linear biasanya berbentuk g(x,y) c atau g(x,y) c, di mana g(x,y) adalah fungsi linear dan c adalah konstanta.

Soal Program Linear Grafik Himpunan Penyelesaian

DOWNLOAD https://tweeat.com/2ySEJm

Untuk menyelesaikan program linear, kita dapat menggunakan metode grafik. Metode grafik adalah cara untuk mencari titik-titik potong antara garis-garis yang merepresentasikan sistem pertidaksamaan linear. Titik-titik potong ini merupakan kandidat solusi dari program linear. Dari titik-titik potong ini, kita dapat mencari nilai fungsi objektif di setiap titik dan membandingkannya untuk menentukan nilai optimal dan titik optimal.

Untuk lebih memahami program linear dan metode grafik, mari kita lihat beberapa contoh soal program linear dan penyelesaiannya dengan menggunakan grafik himpunan penyelesaian.

Contoh Soal 1

Seorang petani akan menanam jagung dan singkong dengan lahan yang dibutuhkan tidak lebih dari 50 petak. Petani tersebut membutuhkan pupuk sebanyak 30 kg per petak untuk memupuk jagung dan 60 kg perpetak untuk memupuk singkong. Jumlah pupuk yang tersedia adalah 2.400 kg. Jika keuntungan dari lahan jagung Rp 4.000.000,00 per petak dan lahan singkong Rp 6.000.000,00 per petak dalam sekali tanam, keuntungan maksimum petani tersebut adalah

• A. Rp 460 juta

• B. Rp 360 juta

• C. Rp 325 juta

• D. Rp 260 juta

• E. Rp 160 juta

Penyelesaian

Langkah-langkah penyelesaian soal ini adalah sebagai berikut:

• Ubah persoalan kedalam bentuk model matematika.

• Membuat sistem pertidaksamaan dan fungsi tujuan berdasarkan model matematika.

• Membuat grafik dan menentukan titik-titik potong pada grafik.

• Hitung nilai fungsi tujuan berdasarkan titik-titik potong yang ditentukan.

• Bandingkan nilai fungsi tujuan untuk mencari nilai maksimum dan titik maksimum.

Berikut adalah penjelasan setiap langkah secara lebih rinci:

• Ubah persoalan kedalam bentuk model matematika.
  

Misalkan x adalah jumlah petak lahan jagung dan y adalah jumlah petak lahan singkong yang ditanam oleh petani. Maka model matematika dari persoalan ini adalah sebagai berikut:

- Fungsi objektif: f(x,y) = 4.000.000x + 6.000.000y (keuntungan maksimum)

- Sistem pertidaksamaan:

x + y 50 (luas lahan tidak lebih dari 50 petak)

30x + 60y 2400 (jumlah pupuk tidak lebih dari 2400 kg)

x 0 (jumlah petak lahan jagung tidak negatif)

y 0 (jumlah petak lahan singkong tidak negatif)

• Membuat sistem pertidaksamaan dan fungsi tujuan berdasarkan model matematika.
  

Sistem pertidaksamaan dan fungsi tujuan sudah diberikan pada langkah sebelumnya, yaitu:

f(x,y) = 4.000.000x + 6.000.000y

x + y 50

30x + 60y 2400

x 0

y 0

• Membuat grafik dan menentukan titik-titik potong pada grafik.
  

Untuk membuat grafik, kita perlu mencari titik-titik potong antara garis-garis yang merepresentasikan sistem pertidaksamaan. Caranya adalah dengan menyamakan dua persamaan garis dan menyelesaikan sistem persamaan tersebut. Berikut adalah hasilnya:

- Titik potong antara x + y = 50 dan x = 0 adalah (0,50)

- Titik potong antara x + y = 50 dan y = 0 adalah (50,0)

- Titik potong antara x + y = 50 dan 30x + 60y = 2400 adalah (20,30)

- Titik potong antara x = 0 dan 30x + 60y = 2400 adalah (0,40)

- Titik potong antara y = 0 dan 30x + 60y = 2400 adalah (80,0)

Berikut adalah grafik yang menggambarkan sistem pertidaksamaan dan titik-titik potongnya:

Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan, yaitu daerah yang memenuhi semua batasan atau kendala.

• Hitung nilai fungsi tujuan berdasarkan titik-titik potong yang ditentukan.
  

Untuk mencari nilai fungsi tujuan di setiap titik potong, kita tinggal mengganti nilai x dan y dengan koordinat titik potong tersebut. Berikut adalah hasilnya:

- f(0,50) = 4.000.000(0) + 6.000.000(50) = 300.000.000

- f(50,0) = 4.000.000(50) + 6.000.000(0) = 200.000.000

- f(20,30) = 4.000.000(20) + 6.000.000(30) = 260.000.000

- f(0,40) = 4.000.000(0) + 6.000.000(40) = 240.000.000

- f(80,0) = 4.000.000(80) + 6.000.000(0) = 320.000.000

• Bandingkan nilai fungsi tujuan untuk mencari nilai maksimum dan titik maksimum.
  

Dari nilai fungsi tujuan di setiap titik potong, kita dapat melihat bahwa nilai maksimum adalah 320 juta rupiah yang terjadi pada titik (80,0). Artinya, keuntungan maksimum petani adalah Rp 320 juta jika ia menanam 80 petak lahan jagung dan tidak menanam lahan singkong.

Jadi, jawaban yang benar adalah E.

Contoh Soal ...

...

6500f7198a