نماذج احصائية
Christian Erdmann
النموذج الإحصائي هو تصنيف لنموذج رياضي يجسّد مجموعة من الفرضيات الإحصائية فيما يتعلق بتكوين عينة إحصائية وبيانات شبيهة من مجتمع إحصائي أكبر. يمثّل النموذج الإحصائي عملية تكوين البيانات.تصف الافتراضات التي يجسدها النموذج الإحصائي مجموعة من توزيعات حتمال يفترض أن بعضها يقارب التوزيع الذي أخذت منه عيّنة بيانات معينة. توزيعات الاحتمال المتأصلة في النماذج الإحصائية هي ما يميّز النماذج الإحصائية عن بعضها البعض وعن النماذج غير الإحصائية وعن النماذج الرياضية.عادة ما يُحدَّد النموذج الإحصائي من خلال المعادلات الرياضية التي تربط متغير عشوائي أو أكثر وربما متغيرات غير عشوائية أخرى. على هذا النحو النموذج الإحصائي هو تمثيل أساسي لنظرية (هيرمان أدير نقلاً عن كينيث بولين).[1]
جميع اختبارات الفرضية الإحصائية وجميع المقدرات مشتقّة من النماذج الإحصائية. بشكل عام النماذج الإحصائية هي جزءٌ من أساس الاستدلال الإحصائي.
الحدس من هذا التعريف هو كما يلي. يُفترض أنه هناك توزيع احتمالي حقيقي ناتج عن عملية تكوين البيانات المُشَاهَدة. نختار P \displaystyle \mathcal P لتمثيل مجموعة التوزيعات التي تتضمن توزيعاً يُقارب
استخدمتُ التعبير نموذج إحصائي في أماكن مختلفة في هذا الكتاب حتى الآن دون تحديد ما أعنيه. النموذج الإحصائي هو تمثيل أو وصف بسيط لشيء أو نظام يخضع للدراسة. وربما ينطوي النموذج البسيط للغاية على جانب واحد فحسب من الطبيعة. وفي الواقع رأينا أمثلة على ذلك في الفصل الرابع عندما تناولنا توزيعات المتغيرات المفردة. وعمومًا يمكن بالفعل أن تكون النماذج الإحصائية مفصَّلة للغاية إذ ربما تحتوي على آلاف المتغيرات المرتبطة بطرق معقدة للغاية. وعلى سبيل المثال سوف يستخدم الاقتصاديون الذين يحاولون توجيه قرارات أي بنك مركزي مثل هذه النماذج الكبيرة.
ويمكن تقسيم النماذج الإحصائية على نحو ملائم إلى نوعَيْن يُسمَّيَان غالبًا النماذج الآلية والنماذج التجريبية. يَستَنِد النموذج الآلي على بعض النظريات الأساسية الصلبة لكيفية ارتباط الأشياء على سبيل المثال ربما تُخبِرنا نظريةٌ ما في الفيزياء كيف أن سرعة سقوط الأجسام تزيد مع زيادة الزمن الذي تقع فيه. أو ربما تخبرنا نظرية أخرى حول كيفية انتشار العقاقير في أنحاء الجسم. في كلتا هاتين الحالتين سوف تستند النماذج إلى نظريات حول كيفية عمل الأشياء فعليًّا في الواقع سوف تستند النماذج على المعادلات الرياضية التي تَصِفُ هذه النظريات والبيانات التي نجمعها لتقييم نماذجنا سوف تكون قِيَم المتغيرات المستخدمة في هذه النظريات مثل السرعة والزمن (في حالة سقوط الشيء) والتركيز والزمن (في حالة انتشار العقاقير) ومن ثَمَّ النماذج الآلية هي طرق رياضية مباشِرة لوصف النظريات.
في المقابل النماذج التجريبية هي مجرد محاولات لتوفير ملخصات ملائمة للجوانب المهمة من البيانات المرصودة. قد لا يكون لدينا أي نظرية تقول إن الأجسام الساقطة تزيد سرعتها مع مرور الزمن ولكننا قد نلاحظ وجود علاقة بين الزمن والسرعة وعلى أساس هذا نُخمِّن وجود علاقة طردية. وإذا لم يوجد أي قاعدة نظرية أساسية لهذه العلاقة المقترحة فإن النموذج يكون نموذجًا تجريبيًّا.
أحيانًا ما يكون من المفيد التمييز بين مختلف الاستخدامات الممكنة للنماذج الإحصائية. أحد أمثلة هذا التمييز يكون بين الاستكشاف والتأكيد ففي الاستكشاف نبحث عن العلاقات أو الأنماط بينما في التأكيد نهدف إلى معرفة ما إذا كانت البيانات تدعم تفسيرًا مقترحًا أم لا لذلك على سبيل المثال في دراسة استكشافية ربما نبحث عن المتغيرات التي ترتبط معًا ارتباطًا وثيقًا. فربما يأخذ متغير واحد قيمة عالية كلما فعل ذلك متغير آخر أو ربما تأخذ مجموعات من المتغيرات قيمًا متشابهة جدًّا مع أشياء مختلفة وما إلى ذلك. من ناحية أخرى ربما نستخدم البيانات في الدراسات التأكيدية لتقدير معلمات نموذج إحصائي مقترح وإجراء اختبار إحصائي لمعرفة ما إذا كان التقدير قريبًا بما فيه الكفاية ممَّا توقعتْه نظريتنا. أصبحتِ الأساليب الإحصائية لاستكشاف البيانات ذات أهمية متزايدة في السنوات الأخيرة مع تراكم مجموعات من البيانات أكبر وأكبر. وينطبق هذا على التطبيقات العلمية (مثل فيزياء الجسيمات وعلم الفلك) وكذلك التطبيقات التجارية (مثل قواعد البيانات التي تحتوي على تفاصيل المشتريات من المتاجر أو المكالمات الهاتفية أو بيانات تدفق النقر على الإنترنت).
ثمة تمييز آخر مهم في النمذجة الإحصائية بين الوصف والتنبؤ فعند وصف مجموعة من البيانات يتمثل الهدف في تلخيصها بطريقة مريحة على سبيل المثال إذا كانت مجموعة البيانات تتكون من ملاحظات لعشرة متغيرات (الطول والوزن والزمن المستغرق في التوجه للعمل وما إلى ذلك) لكل شخص من مليون شخص فسنحتاج لكي نبدأ في فهمها إلى تقليل حجمها إلى حجم معقول على سبيل المثال يمكننا تلخيصها من خلال المتوسط الحسابي والانحرافات المعيارية لكل متغير وكذلك عن طريق قياسات مدى ترابطها. حينها سيكون لدينا بعض الأمل في فهْمِ ما يجري حيث إننا وصفنا الخصائص العامة للبيانات على نحو مريح. وبالإشارة إلى هذا كما رأينا في الفصل الثاني فإن هذه الملخصات الوصفية لا تخلو من المخاطر. فإنها بحكم طبيعتها تبسط التعقيد الهائل لمجموعة البيانات بأكملها لذلك يجب أن ننتبه لاحتمال أنَّ وصفنا الموجز أغفل شيئًا مهمًّا على سبيل المثال ربما فشل نموذجنا في الوضع في الاعتبار حقيقةَ وجود مجموعتَين وراثيتين متميزتين في المجموعة الكاملة الخاضعة للدراسة لذلك يلزم وجود نموذج أكثر تفصيلًا لتمثيل ذلك.
أما هدفنا في التنبؤ فهو استخدام بعض المتغيرات للتنبؤ بقيم متغيرات أخرى على سبيل المثال قد يكون لدينا مجموعة من البيانات التي تبيِّن تفاصيل النظام الغذائي في الطفولة لعينة من الأشخاص وطولهم بعد البلوغ. يمكننا باستخدام هذه البيانات بناء نموذج يربط الطول بعد البلوغ بالنظام الغذائي في الطفولة ثم نستخدم النموذج للتنبؤ بالطول المستقبلي المحتمل لطفل يتبع نظامًا غذائيًّا معينًا. لاحظ أن جانبًا أساسيًّا من البيانات لازمٌ لهذه النماذج إذ إننا نحتاج لقِيَمٍ لكلٍّ من المتغيرات المتنبِّئة والمتغير المتنبَّأ به من عينتنا. وسوف يتضح أن هذا تمييز مهم جدًّا بين النماذج التنبُّئية والنماذج الوصفية كما سنرى فيما يلي:
ومرة أخرى ليس التمييز واضحًا دائمًا وضوح الشمس فربما نكون ببساطة مهتمِّين بوصف العلاقة بين النظام الغذائي في الطفولة والطول بعد البلوغ مع عدم وجود نية لاستخدام النموذج للتنبؤ بأحدهما عن طريق الآخر.
يوجد نوع آخر مهم من التنبؤ هو التوقع وفيه نستخدم بيانات من الماضي لبناء نموذج يمكن استخدامه كأساس للتنبؤ بالقيم المحتملة لملاحظات لم تُرصد بعدُ على سبيل المثال ربما نفحص النمط الشهري لمبيعات أجهزة التلفاز على مدى السنوات الخمس الماضية ونقدِّر استقرائيًّا نزعةَ المبيعات والتفاوت الموسمي من أجْل توقُّع المَبِيعات المحتملة خلال الاثني عشر شهرًا التالية.
03c5feb9e7