Economia Y Matematicas
Tarja Rabito
En una serie de entradas voy a presentar una breve gua de recomendaciones para aprender mtodos cuantitativos en economa. Mi objetivo principal es que tal gua sea til para aquellos estudiantes que sientan la necesidad de completar la escasa formacin en esta rea que ofrecen muchos de los planes de estudios de grado de las facultades de economa de Espaa. Un objetivo secundario es que la gua pueda servir a terceras personas interesadas en estos temas, desde economistas que hace tiempo se dedican a otros menesteres a lectores de diversos campos del conocimiento.
Durante los ltimos aos me he encontrado a menudo con la peticin de tal gua. Sin ir ms lejos, la semana pasada y a raz de mi entrada sobre aprendizaje automtico, varios lectores dejaron comentarios indicando el inters por la misma. Es una labor que encaro con cierto temor pues es una tarea ms compleja de lo que parece.
Primero, por el mero tamao del empeo. En el espacio de una entrada en NeG no podr ms que rascar la superficie de los mltiples temas a tratar y corro el peligro de confundir ms que ayudar si no soy cuidadoso en mis recomendaciones.
Segundo, por la amplia variedad de libros y recursos existentes. Existen, por ejemplo, muchsimos ms libros de calidad en anlisis real que en macroeconoma. Mientras si uno quiere aprender, pongamos, teora del crecimiento moderna, solo hay 3 o 4 libros que hace falta manejar, circulan en este momento un par de docenas de libros de anlisis real muy buenos. Seleccionar uno u otro es ms fruto de la experiencia personal (qu libro empleo yo?) que de la clara superioridad de un texto sobre los restantes. Pido por ello a los lectores especial cautela en valorar mis recomendaciones ms lejos de lo que se merecen. Esta gua podra ser re-escrita con libros totalmente diferentes y ser mucho mejor.
Tercero, y quizs el motivo principal, porque aprender mtodos cuantitativos es un reto si se ha de hacer solo. Si un estudiante quiere aprender, pongamos, historia econmica mundial, la labor es ms sencilla. Leyendo con cuidado una seleccin de 5 o 6 libros se puede llegar con cierta facilidad a un conocimiento ms que adecuado del rea, por ejemplo, para comenzar un programa de doctorado en este campo con garantas. Por supuesto que es mejor poderse sentar en la clase de algunos de los lderes de esta rea y aprender directamente de ellos. Pero si las circunstancias impiden tal fortuna, el remedio de lectura cubre la situacin con cierta solvencia. En comparacin, sin nadie que le explique a uno las sutilezas de un teorema o cmo escribir una prueba correctamente, es mucho ms difcil alcanzar la soltura y madurez matemtica necesaria. Cuando miro mis propias clases a lo largo de mi carrera universitaria recuerdo como mucho ms importantes a mis profesores de econometra sealndome una idea o la otra que a mis profesores de organizacin industrial haciendo lo mismo. Y no porque esta segunda rea sea menos importante o mis profesores fueran peores, simplemente por el ms alto porcentaje de valor aadido de las clases sobre el contenido total de la asignatura en econometra que en a organizacin industrial. Quizs por ello, no hay casi MOOCs suficientemente avanzados sobre temas cuantitativos.
Dos, voy a citar libros en ingls. Ya en otras ocasiones he expresado mi escepticismo con muchos de los manuales escritos en espaol (o traducidos). Para todas aquellas reas del conocimiento que sean internacionales (y el anlisis real es el mismo en Espaa, China o Kenia), la opcin debera siempre emplear manuales de reconocido prestigio a nivel mundial y en ingls. As nos ahorraramos ms de un disgusto en esta universidad espaola nuestra tan castiza.
Despus de estas advertencias, puedo comenzar. Hoy voy a cubrir el material que la dara a un estudiante de grado una excelente formacin en matemticas junto con ciertos temas ms avanzados. Esta formacin es el conocimiento necesario para afrontar con xito el estudio de los temas tratados en las entradas posteriores de esta serie y ms propiamente cuantitativos. En la segunda entrada cubrir probabilidad (incluida teora de la medida), estadstica y econometra. En la tercera entrada tratar mtodos numricos. Finalmente, en dos entradas finales, me centrar en informtica. No cubrir en la serie, solo por delimitar el terreno a magnitudes ms manejables, asignaturas eminentemente formales como teora de juegos pero que son ms propiamente de economa substantiva que de mtodos puros. Quizs alguno de mis co-editores se anime a ello.
El cimiento de cualquier formacin es conseguir un buen nivel de clculo. Y, adems, este ha de estar ms centrado en la comprensin de los conceptos que en la capacidad de resolver rpidamente integrales o derivadas. Esto es debido tanto a que el clculo ser el fundamento de posteriores asignaturas como por la existencia de programas que solucionan muchas de las operaciones que anteriormente se hacan a mano. Mientras que alcanzar destreza en las meras manipulaciones es importante (contrario a lo que se afirma a veces, no creo que exista verdadera comprensin de un concepto hasta que se ha empleado repetidamente, muchas veces de manera mecnica), no tiene mucho sentido para un economista pasarse horas y horas completando largas listas de ejercicios de integrales como las que aparecen en muchos libros.
Un libro de texto muy comn es Calculus (8th Edition) de James Stewart. Este otro sospechoso habitual es el que se da, por ejemplo, en el departamento de matemticas de Penn. Ambos libros cubren desde los contenidos que anteriormente se daban en el bachillerato (funciones de una variable, introduccin al clculo diferencial e integral) hasta un tratamiento bsico de ecuaciones diferenciales.
Trabajar bien estos libros es el equivalente de dos o tres semestres/cuatrimestre de clase segn el nivel inicial de cada uno (los semestres/cuatrimestres en esta entrada son definidos como en muchas universidades espaolas como 15 semanas de clases, que descontadas las fiestas, que viene a corresponder a unas 56 horas presenciales; en Penn, un semestre tiene 28 sesiones lectivas de 80 minutos ms 14 sesiones de prcticas de 50 minutos, en ambos casos ya descontados los 10 minutos de cambiarse de clase).
El material de clculo bsico puede ser completado con un buen libro de ecuaciones diferenciales (este de Morris Tenenbaum y Harry Pollard es barato y a pesar de sus aos cubre lo que uno tiene que saber) y otro de ecuaciones de diferencias (como este de Saber Elaydi). El material esencial se puede dar en un semestre adicional. Una clase en ecuaciones en derivadas parciales es menos importante para los economistas. De todas maneras un libro de texto standard sencillo es este.
El segundo paso es aprender lgebra lineal y, adems, hacerlo bien. Muchos libros y la mayora de las clases sobre el tema machacan a los pobres estudiantes con matrices sin explicar nunca de verdad que es una matriz o un autovector. La solucin es el precioso libro Linear Linear Algebra Done Right (Third Edition) de Sheldon Axler. El libro cubre con soltura un semestre de clase.
Algebra abstracta es menos importante en economa, pero ciertas partes de la misma (como las bases de Grbner) aparecen a menudo en econometra y en macro. El libro que yo estudi en su da con Andy McLennan (en una edicin anterior) es Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra (Fourth Edition) de David A Cox, John Little y Donal O'Shea.
Los economistas nos pasamos la vida entera tomando condiciones de primer orden y resolviendo problemas de optimizacin. A First Course in Optimization Theory de Rangarajan K. Sundaram cubre de manera perfecta lo que uno tiene que saber.
La ms importante de todas ellas, con muchsima diferencia, es anlisis real. El libro que nosotros empleamos en Penn es Understanding Analysis de Stephen Abbott. Otros clsicos son el Rudin, el Apostol de anlisis y, bien barato, el Kolmogorov-Fomin. El material requiere, casi con seguridad, dos semestres de estudio.
A los estudiantes que requieren ms prcticas con los problemas de anlisis, les suelo recomendar Problems in Real Analysis, Second Edition (2nd Edition), de Charalambos D. Aliprantis y Owen Burkinshaw, Problems in Mathematical Analysis I, II y III de W. J. Kaczor y M. T. Nowak, Berkeley Problems in Mathematics (3rd Edition) de Paulo Ney de Souza y Jorge-Nuno Silva y la coleccin de prelims de Princeton.
Primero, teora de conjuntos. The Joy of Sets de Keith Devlin es todava el libro que veo ms. Se puede completar con topologa. Ms avanzado es Topology from a Differentiable Point of View de John Milnor.
Quizs en grado de economa sea muy agresivo excepto para los ms aventurados, pero saber algo de anlisis funcional es muy util. Por ejemplo, Linear Functional Analysis de Bryan Rynne y M.A. Youngson. Para los que quieran estudiar este tema a nivel de maestra o doctorado, est el Rudin de Anlisis Funcional y el de Lax.
Finalmente, un tratamiento extenso, desde anlisis bsico a funcional, harmnico y complejo aparece en las Princeton Lectures in Analysis. Yo tengo los cuatro volmenes siempre en la oficina de casa por si acaso.
Sobre temas de dinmica catica (y aunque yo he explicado en esta entrada mi relativamente escptica posicin al respecto), Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering (2nd Edition) de Steven H. Strogatz es una buena introduccin.
En optimizacin, tenemos libros ms avanzados, desde el clsico Convex Analysis de Tyrell Rockafellar al casi igual clsico blue book con el que han estudiado tantas generaciones de economistas en Minnesota y Chicago. Adems, Dimitri Bertsekas tiene muchos de sus libros gratis en la red. En tiempo continuo, Foundations of Dynamic Economic Analysis: Optimal Control Theory and Applications de Michael R. Caputo no me emociona en exceso, pero es de lo ms facil de seguir.
Si yo tuviese que disear un programa de grado de economa, dado los contenidos actuales del bachillerato, incluira como asignaturas obligatorias de matemticas (recuerdo, sin entrar todava en probabilidad, estadstica o econometra):
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