Konkavlık ve Konvekslik

[nht]

Anlamadığım bir konu var.

Kısaca anlatmaya çalışacağım:

Fonksiyonun ikinci türevi f''(x) < 0 ise fonksiyon konkav, f''>0 ise
fonksiyonun konveks olduğunu biliyoruz.

Örneğin: y=x^2 parabölünün ikinci türevi sıfırdan büyük olduğu için,
konveks oluyor.
y=-x'2 parabölünün ikinci türevi sıfırdan küçük olduğu
için, konkav oluyor.

Buraya da kadar bir sorum yok aslında.Asıl sorum, konkavlık nedir,
konvekslik nedir.Bir büküm söz konusu ama, hangi eksenden baktığımız
önemli de değil mi?

y=x^2 parabölü konveks, yani dış bükey. Bu dış bükeylik hangi eksene
göre oluyor.Bakma açımıza göre bu konvekslik değişmez mi?

Teşekkürler...

[eky]

hocam hangi eksenden bakarsanız bakın neticede konveks ve konkav
şekillerini birbirinden ayıt edecek kendinize göre aklınızda
tutabilecek birşeyler düşünebilirsiniz...
Örneğin ben aklımda tutarken hep çukurluk açağı, çukurluk yukarı diye
düşünürüm. Bunu düşünürken de sizin sorunuza göre x eksenini baz almış
olduğum anlaşılıyor. ÖYS bilgi sınavı derdik bu konuda şekilsiz bir
soru sormuşlardı yani ezbere dayalı konkav mı, konveks mi bilgisini
sorgulayan. Oysa bu kavramların hepsi grafikleri birbirinden ayırt
etmek için ortaya atılmış kavramlar. Temennim eskiden ÖYS de
sordukları o ezber türü soruların neslinin tükenmesi. Aksi halde
ezberletmeyelim diyenler sınavlarda bu tür sorularla ezbere çanak
tutmaya devam etmiş olacaklar...

[deniz karadag]

Aslına bakarsanız herkesin kişisel yorumu ayrı olmakla beraber.Bence konkav ve konvekslik her tanımda olduğu gibi ezber bilgi içerir.Ama bu konuyu hiç ezber olarak düşünmedim;

 

 f(x)'i yol zaman

f'(x) 'i hız zaman

f''(x)'i ivme zaman  grafiklerine benzetirsek.

 

f"(x)<0 olması ne anlama gelir tabii ki harekete zıt yönlü kuvvetin olduğu buç durumda f(x) gittikçe yavaşlayacak bir süre sonra ters yönde hızlanacak. (Aklımızda canlandırısak çukurluk yönü aşağı olur)

 

f"(x)>0 olması ne anlama gelir tabii ki hareketle aynı  yönlü kuvvetin olduğu bu durumda f(x) gittikçe hızlanacak ve daha hızlı tırmanacak. (Aklımızda canlandırısak çukurluk yönü yukarı  olur)

 

Ama elbette bu soru eşit ağırlık öğrencisine biraz zor açıklanır.Amacım muhalif olmak değildir olaya farklı açılardan bakarak aslında olayın ezber olmadıığını ifa etmektir.

 

[deniz karadag]

ifade diyecektim.Özür

[eky]

hocam farklı şeylerden bahsediyoruz konu konkav - konveksliğin türev
ilişkisiyle ilgili değildi. Farklı bir yöntem kullanarak türev
ilişkisini akılda tutmaya güzel bir örnek vermişsiniz.

Kısaca şunu ifade etmek istemiştim; bir grafiği görünce bile
çuğurluğun yönünde hiçbir tereddütümüz olmadığı halde konkav mı
diyecektik yoksa konveks mi diyecektik diye tereddüt yaşanmasından
bahsediyorum. Yoksa birinci türev ikinci türev işaretlerini incelemede
zaten sıkıntı yaşanmıyor. Çünkü daha önceden geometride kullandığımız
veya kümelerde bahsedilen konvesk konkav fikrini grafiklerde birebir
göremiyorsunuz ve kendimize göre akılda tutma yöntemleri geliştirmek
zorunda kalıyoruz ki işte bu bana ezbermiş gibi geliyor. Bu insanın
ismini ezberlemek gibi birşey ismini bilmeden de ona ait bazı şeyleri
biliyor olmak gibi :)
Ben hiç karıştırmam diyenler çıkacaktır ki onlar sağlam bir benzetme
yapmış demektir...

On 6 Haziran, 10:46, "deniz karadag" <karadagde...@gmail.com> wrote:
> ifade diyecektim.Özür

[deniz karadag]

Sizi yanlış anlamışım Eyüp Hocam.Tanımların akılda birbiri ile karıştığını ifade etmişsiniz.İşin bütünüyle ezber olmadığı anlatmak istemiştim.İyi çalışmalar.

[hburak yalcin]

Birini akılda tutsak....mesela konveks

 

--
Dünyayı Güzellik Kurtaracak...

[sinan aşık]

[s.a]

[rasim zencir]

Bir çokgenin konveksliği(konkavlığı) ile bir fonksiyonun
konveksliği(konkavlığı) arasındaki ilişki nedir?

2008/6/8 sinan aşık <asik....@gmail.com>:
> [s.a]
>
>
>
> >
>

--
evrenin meyvası beyin,
beynin meyvası matematiktir.

[hburak yalcin]

içe bükülmüş olması ...olabilir mi ?

2008/6/8 rasim zencir <rsm...@gmail.com>:

--
Dünyayı Güzellik Kurtaracak...

[eky]

Rasim hocam aslında elimdeki çeviri kitapları (yüksek matematik
kitaplarını) az önce tekrar gözden geçirdim. Belli ki grafiklerde
konkavlık-konvekslik kavramı tamamen uydurmadan ibaret. Bazı
çevirilerde konveks kavramı hiç kullanılmamış her iki durumu da
konkavlık aşağı konkavlık kavramlarıyla vermiş. Bazısı ise yukarı
bükey- aşağı bükey kavramı kullanmış. MEB kitaplarına belli bir
dönemde tesiri olmuş mustafa balcının kitabında ise neden konkav neden
konveks dediğini açıklamış (grafiğin üst kısmında bulunan bölge
konveks ise fonksiyona konveks, altındaki bölge konveks ise konkav
fonksiyon demiş ve şekille izah etmiş) Keşke bu iki kavram hiç
kullanılmamış olsaydı neticede yukarı bükey, aşağı bükey kavramları
çok çok daha güzel ve hiçbir karışıklığa meydan vermiyor. Karışıklık
olması çok doğal, dr. ünvanlı hocalarımızın öys döneminde yazdığı
yöntem yayınlarının lise 3 kitabında MEB in kullandığının tam zıttına
kavramlar kullanmış.

MEB'in geçen yılki kitabına göre özetlersek;
Çukurluğun yönü yukarı = yukarı bükey = konvesk [relax :) bunu da
güzeldi sinan hocam] = bir eğrinin teğet olduğu nokta hariç diğer tüm
noktaları teğetin üstündedir.
Çukurluğun yönü aşağı = aşağı bükey = konkav= bir eğrinin teğet olduğu
nokta hariç diğer tüm noktaları teğetin altındadır.

Demek ki bu konuyu kapsayan bir TMOZ dosyasına da ihtiyaç var. Bu
konuda bir dosya hazırlayalım ilk fırsatta...

On 8 Haziran, 03:04, "rasim zencir" <rsmz...@gmail.com> wrote:
> Bir çokgenin konveksliği(konkavlığı) ile bir fonksiyonun
> konveksliği(konkavlığı) arasındaki ilişki nedir?
>

> 2008/6/8 sinan aşık <asik.si...@gmail.com>:

[deniz karadag]

Bir de bu lise ders kitarları da öss hazırlık kaynaklarına benzemeye
başladı.Konunun ôzu nerden gelir. Ozelliklerin ispatı pek lise ders
kaynaklarında yok.(Nesibe Aydın -AYDIN YAYINLARINI bu soylediklerimin
dısında tutarım. Pekcok ispatı bulabiliyoruz.)Elinizde bu şekilde
liseye yönelik (Yöntem Yayınlarının ismini cok duymaya basladım. ama
inceleme fırsatı bulamadım.) kapsamlı bır yayın var mıdır yada bu
yöntem yayınlarını nasıl temin edebilim. Eky hocamızınde bu yayının
digital ortamda bir nushası varsa ve kisisel kullanım icin sunabilirse
bu konulardaki bazı eksikliklerin giderilmesi sağlanacaktır.(Kotu
cumleler icin kusura bakmayın.)

--
~Sadece bilmek yetmez~

[rasim zencir]

eky hocam,

siz varken google'a ne gerek var?

TMOZ dosyası konusundaki görüşünüze katılıyorum. Çok iyi olurdu.

Benim için şu kavramlar net değil.

1. Konvekslik ve konkavlık kavramı eğrilerle mi, bölgelerle mi ilgili
bir kavram? Konveks dörtgen derken dörtgeni mi, dörtgensel bölgeyi mi
nitelendiriyoruz? Konveks eğri derken
eğriyi mi, eğrinin üst veya altındaki bölgeyi mi nitelendiriyoruz?

2.Konveks kelimesinin Türkçe karşılığı tam olarak dışa doğru bükülmüş
mü demek? Yoksa matematiksel bir terim olarak belli bir durumu ifade
etmek için kullanılmış bir kelime midir?

3. Konvekslik, fonksiyonlar ve çokgenler için aynı anlamda mı
kullanılıyor? Yoksa farklı kavramları mı ifade ediyor?

4. Bir fonksiyonun tanımlandığı bir aralıkta ikinci türevi pozitif
olsa ama sadece bir nokta için ikinci türevi sıfır olsa konveksliği
bozulur mu? Ya da bir örnek vermek gerekirse y=x^3 fonksiyonunun
konveks olduğu aralık (0,sonsuz) mu yoksa [0,sonsuz) mu?

Güzel bir gün geçirmeniz dileğiyle...

08 Haziran 2008 Pazar 03:48 tarihinde eky <eyupkamil...@gmail.com> yazdı:

[eky]

Hocam baktım dijital kütüphanemizde yokmuş...

On 8 Haziran, 11:34, "deniz karadag" <karadagde...@gmail.com> wrote:
> Bir de bu lise ders kitarları da öss hazırlık kaynaklarına benzemeye
> başladı.Konunun ôzu nerden gelir. Ozelliklerin ispatı pek lise ders
> kaynaklarında yok.(Nesibe Aydın -AYDIN YAYINLARINI bu soylediklerimin
> dısında tutarım. Pekcok ispatı bulabiliyoruz.)Elinizde bu şekilde
> liseye yönelik (Yöntem Yayınlarının ismini cok duymaya basladım. ama
> inceleme fırsatı bulamadım.) kapsamlı bır yayın var mıdır yada bu
> yöntem yayınlarını nasıl temin edebilim. Eky hocamızınde bu yayının
> digital ortamda bir nushası varsa ve kisisel kullanım icin sunabilirse
> bu konulardaki bazı eksikliklerin giderilmesi sağlanacaktır.(Kotu
> cumleler icin kusura bakmayın.)
>

[eky]

Bu konuda veri toplamaya başlayalım...

Araştırmacı matematiçiler iş başına...

On 8 Haziran, 12:07, "rasim zencir" <rsmz...@gmail.com> wrote:
> eky hocam,
>
> siz varken google'a ne gerek var?
>
> TMOZ dosyası konusundaki görüşünüze katılıyorum. Çok iyi olurdu.
>
> Benim için şu kavramlar net değil.
>
> 1. Konvekslik ve konkavlık kavramı eğrilerle mi, bölgelerle mi ilgili
> bir kavram? Konveks dörtgen derken dörtgeni mi, dörtgensel bölgeyi mi
> nitelendiriyoruz? Konveks eğri derken
> eğriyi mi, eğrinin üst veya altındaki bölgeyi mi nitelendiriyoruz?
>
> 2.Konveks kelimesinin Türkçe karşılığı tam olarak dışa doğru bükülmüş
> mü demek? Yoksa matematiksel bir terim olarak belli bir durumu ifade
> etmek için kullanılmış bir kelime midir?
>
> 3. Konvekslik, fonksiyonlar ve çokgenler için aynı anlamda mı
> kullanılıyor? Yoksa farklı kavramları mı ifade ediyor?
>
> 4. Bir fonksiyonun tanımlandığı bir aralıkta ikinci türevi pozitif
> olsa ama sadece bir nokta için ikinci türevi sıfır olsa konveksliği
> bozulur mu? Ya da bir örnek vermek gerekirse y=x^3 fonksiyonunun
> konveks olduğu aralık (0,sonsuz) mu yoksa [0,sonsuz) mu?
>
> Güzel bir gün geçirmeniz dileğiyle...
>

> 08 Haziran 2008 Pazar 03:48 tarihinde eky <eyupkamilyesily...@gmail.com> yazdı:

[sinan aşık]

[s.a]

"faydası olur belki..."

[Saygın Dinçer]

Grafiği elimizde olan bir fonksiyonun konkevks-konkavlığına bakarken y eksenine göre bakma hakkımız yoktur. Fonksiyonlar için Konveks-Konkav tanımından sonra bu daha iyi anlaşılacaktır.

 

Rasim Hocam,

 

1. Konvekslik ve konkavlık kavramı eğrilerle mi, bölgelerle mi  ilgili
bir kavram? Konveks dörtgen derken dörtgeni mi, dörtgensel bölgeyi mi
nitelendiriyoruz? Konveks eğri derken
eğriyi mi, eğrinin üst veya altındaki bölgeyi mi nitelendiriyoruz?

Konveks-konkav kavramı kümeler, eğriler, fonksiyonlar, bölgeler için de kullanılır. Konveks dörtgen derken dörtgensel bölgeyi kast ediyoruz. Konveks fonksiyon birinci türev fonksiyonunun artan olması demektir. Bu da  bir fonksiyon bir aralıkta konveks ise onun hem türevlenebilir olduğu hem de fonksiyon grafiğinin teğet doğrularının yukarısında kaldığı anlamına gelir. Aynı zamanda fonksiyonun herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçasının grafiğin yukarısında kaldığı anlamına gelir.

 

2.Konveks kelimesinin Türkçe karşılığı tam olarak dışa doğru bükülmüş
 mü demek? Yoksa matematiksel bir terim olarak belli bir durumu ifade
 etmek için kullanılmış bir kelime midir?

 

Rahmetli Doğan Çoker hocamızın Matematik Terimleri sözlüğü vardı. Bir ara elimde vardı ama şu an var mı bilmiyorum :( Bir arkadaşımızda bu sözlük varsa ve bizi bilgilendirirse harika olur. Başka sözlüklerde var fakat Doğan hocanın sözlüğü saf Türkçeydi. Bunu dışında Lawrence Michael Brown ve (yanlış hatırlamıyorsam) Timur Karaçay hocalarımın Mat. terimleri sözlükleri vardı. Bu da harika olur.

 

3. Konvekslik, fonksiyonlar ve çokgenler için aynı anlamda mı
kullanılıyor? Yoksa farklı kavramları mı ifade ediyor?
 

Hocam aşağıdaki, konveks küme tanımından sonra fonksiyonlar ve çokgenler için tanımlanan konvekslik kavramları arasında bir paralellik olduğunu göreceksiniz.

 

4. Bir fonksiyonun tanımlandığı bir aralıkta ikinci türevi pozitif
olsa ama sadece bir nokta için ikinci türevi sıfır olsa konveksliği
bozulur mu? Ya da bir örnek vermek gerekirse y=x^3 fonksiyonunun
konveks olduğu aralık (0,sonsuz) mu yoksa [0,sonsuz) mu?

[0, ∞). Çünkü y' türev fonksiyonunun artan olduğu (en geniş) aralık bu.

 

Konveks Küme : S reel lineer bir uzay olsun. Her λ , 0 <  λ <  1 ve her x,y eleman S için λx + (1-λ)y eleman S oluyorsa, S kümesine konveks küme denir. (Bu tanım kümeye ait iki noktayı birleştiren doğru parçasının yine küme içinde kaldığını söylüyor).

 

Örneğin, [0, 1] kapalı aralığı konveks kümedir.  Ya da R² de birim disk konveks kümedir.  

 

Konveks Fonksiyon : f fonksiyonu konveks S kümesi üzerinde tanımlı olsun. Her x,y eleman S ve her λ , 0 <  λ <  1 ve için f(λx + (1-λ)y) <= λf(x) + (1-λ)f(y) eşitsiliği sağlanıyorsa, f ye konveks fonksiyon denir.

 

(a, b) aralığında f tek değişkenli ve türevlenebilir bir fonksiyon olsun. f, (a, b) de konvekstir <==> f' türev fonksiyonu artandır. Bu da fonksiyon grafiğinin teğet doğrularının yukarısında kaldığı anlamına gelir.

 

İyi çalışmalar.

 

08.06.2008 tarihinde eky <eyupkamil...@gmail.com> yazmış:

[eky]

...Aynı zamanda fonksiyonun herhangi iki noktasını birleştiren doğru
parçasının
grafiğin yukarısında kaldığı anlamına gelir...

Bu ifade bir çok kitapta kullanılmış fakat anlaşılmıyor. Bunun
açıklaması hakkında görüş beyan edecek arkadaşımız var mı?

> *Konveks Küme : *S reel lineer bir uzay olsun. Her λ , 0 <  λ <  1 ve her

> x,y eleman S için λx + (1-λ)y eleman S oluyorsa, S kümesine konveks küme
> denir. (Bu tanım kümeye ait iki noktayı birleştiren doğru parçasının yine
> küme içinde kaldığını söylüyor).
>
> Örneğin, [0, 1] kapalı aralığı konveks kümedir.  Ya da R² de birim disk
> konveks kümedir.
>

> *Konveks Fonksiyon :* f fonksiyonu konveks S kümesi üzerinde tanımlı olsun.

> Her x,y eleman S ve her λ , 0 <  λ <  1 ve için f(λx + (1-λ)y) <= λf(x) +
> (1-λ)f(y) eşitsiliği sağlanıyorsa, f ye konveks fonksiyon denir.
>
> (a, b) aralığında f tek değişkenli ve türevlenebilir bir fonksiyon olsun. f,
> (a, b) de konvekstir <==> f' türev fonksiyonu artandır. Bu da fonksiyon
> grafiğinin teğet doğrularının yukarısında kaldığı anlamına gelir.
>
> İyi çalışmalar.
>

> > > beynin meyvası matematiktir.- Alıntıyı gizle -
>
> - Alıntıyı göster -

[Saygın Dinçer]

...

[eky]

Taşlar yavaş yavaş oturmaya başlıyor...
Saygın hocam eline aklına sağlık.



Not:

TMOZ Dosyasında zaman zaman gündeme getirilen
Kritik nokta, ekstamum nokta, max, min, dönüm, ... gibi kavramları
içine alan ayrıntılı bir dosya için durumu uygun olan arkadaşların
araştıralarını bekliyoruz. Özellikle piyasadaki kaynaklardan yapılan
alıntılar mümkünse taratılmalı veya kaynak isimlerinin olmasına özen
gösterilmeli. Çelişkili veya farklı kaynaklara yer verildiği gibi MEB
ders kitaplarında da kullanılan ifadelere yer verilerek okuyucunun
önce kıyas etmesine müsait bir yazı olacağı unutulmamalıdır.
Kaynaklardaki alıntılarla meslektaşlarımızın yorumları birbirinden
ayırt edecek biçimde yazılacağı için kişisel yorumlarınızı ayırt
edilebilecek şekilde gönderilmesi işleri kolaylaştıracaktır.
Durumu uygun olan tüm arkadaşlarımızın katılması dileğiyle...

On 9 Haziran, 17:34, "Saygın Dinçer" <dincersay...@gmail.com> wrote:
> ...

> cnvx1.JPG
> 130KGörüntüleİndir
>
> cnvx2.JPG
> 103KGörüntüleİndir

[rasim zencir]

Saygın HOCAM,

Ne de güzel açıklamışsınız...

Çok teşekkür ederim.

İyi akşamlar dilerim.

09 Haziran 2008 Pazartesi 18:56 tarihinde eky
<eyupkamil...@gmail.com> yazdı: