Ayrık bağımsız olay

[Ali Ogretmen]

Ayrık olay ve bağımsız olayın matematiksel tanımları nelerdir? Örnek
uzaylar aynı olabilir mi bağımsız olaylarda? Bu konuda örneklerle
açıklayıcı bir döküman bulamadım.

[Vahit]

Aynı örnek uzaya ait imkansız olmayan iki olay A ve B olsun.

Eğer bu olaylar ayrık ise P(A ∩ B) = 0 dır.

Eğer bu olaylar bağımsız ise P(A ∩ B) = P(A).P(B) dir. (Olayları imkansız olaydan farklı varsaydığımız için P(A) veya P(B) sıfır olamayacağından bu sonuçta 0 değildir. Yani A ve B olayları ayrık değillerdir.)

Gerçekleşmeleri birbirini etkilemeyen olaylara bağımsız olaylar denir. Örneğin bir madeni para ve bir zar aynı anda atılması deneyinde örnek uzayımız 12 elemanlıdır. A olayı paranın yazı gelmesi, B olayı da zarın 6 gelmesi olsun. Bu olayların gerçekleşmeleri birbirinie etkilemezler. 

A olay kümesi = { (Y,1) , (Y,2) , (Y,3) , (Y,4) , (Y,5) , (Y,6) } olacağından P(A) = 6/12 = 1/2 dir. 

B olay kümesi = { (Y,6) , (T,6) } olacağından P(B) = 2/12 = 1/6 dır. 

Böylece P(A ∩ B) = 1/12 bulunur. ( A ∩ B = { (Y,6) } olduğu görülürse aynı sonuca ulaşılır.)

Oysa bir çoğumuz P(A) yı hesaplarken sadece paraya bakar (bakmakta sakınca yoktur, çünkü olaylar bağımsızdır ve dolayısıyla zar onu etkilemez.) Aynı biçimde P(B) yi hesaplarken de sadece zara bakar. İşte bu nedenle zihinde tam oturmaz ve sanki ayrı örnek uzaylar üzerinden hesap yapılırmış gibi düşünülür. Oysa yukarıdaki olay kümeleri dikkatli incelenirse tabiiki tek bir örnek uzay altında iki olayı inceliyoruzdur.

Ayrık olaylara örnek vermek gerekirse aynı deneyde A olayı paranın tura ve zarın asal gelmesi, B olayı da paranın tura ve zarın 1 gelmesi olayı olsun. 

A olay kümesi = { (T,2) , (T,3) , (T,5) } iken

B olay kümesi = { (T,1)} dir. Bu olaylar için görüldüğü üzere P(A ∩ B) = 0 dır. 

Özünde ayrık bu iki olay aslında bir bakıma bağımlı olaylardır. Çünkü birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmemesine sebeptir.

Umarım sürç-i lisan etmemişimdir:) 

23 Şubat 2013 Cumartesi 22:22:16 UTC+2 tarihinde Ali Ogretmen yazdı:

[Mesut Topal]

Güzel açıklamışsınız, teşekkürler

[Muharrem Şahin]

Vahit Hocam;

Yoğun işlerim nedeniyle, 

bugün TMOZ'a girmeyecektim. 

Ama; bu güzel açıklamanızı okuyunca dayanamadım.

Bu güzelliğin altının çizilmesi gerekirdi.

Çok teşekkürler.

Daha sık görüşebilme dileği ile...

Sevgiler, saygılar.

[Ali Ogretmen]

Teşekkürler. Ayrık-bağımsız, ayrık olmayan-bağımsız, ayrık-bağımlı,
ayrık olmayan-bağımlı bu 4 örnek de mevcut mudur? Yoksa bazıları
geçersiz midir? Birini verdiniz yazınızda. Yazınız açıklayıcı ama hala
konu netleşmedi kafamda. Bir çok öğretmen için de bu konunun sancılı
olduğunu biliyorum.

> --
> https://groups.google.com/forum/?hl=tr&fromgroups#!categories/tmoz
>
> Tüm üyelerimiz, kendi gönderilerini ve arşivdeki diğer gönderileri
> etiketleyebilir. TMOZ arşivinden herkesin daha iyi istifade etmesi için her
> üyemiz yetkilidir. Yeni üyelerin mesajlarını denetleme ve onaylama yetkisi
> ve görevi her üyenin gruba bir minnet borcudur. Hem mesleki bilgi, hemde
> mesleki duyuru ve öneriler genel ahlak kurallarına uygun olduğu sürece
> paylaşılabilir, yine ahlaki ve medeni çerçevede karşıt görüşlerle insanların
> olaylara bakış açısının gelişmesine katkı sağlanabilir. Öğretmenlik
> mesleğine yakışır davranıldığı sürece hiçkimse bir başkasının
> paylaşımlarını, fikirlerini aşağılayamaz fakat medenice eleştirmesi de
> doğaldır burası kamuya açık bir platform olduğu için takdir ya da eleştiriye
> açık olduğu dikkate alınmalıdır.
>
> http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
> ---
> Bu e-postayı Google Grupları'ndaki "TMOZ" adlı gruba abone olduğunuz için
> aldınız.
> Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için
> tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
> Daha fazla seçenek için, https://groups.google.com/groups/opt_out adresiniz
> ziyaret edin.
>
>
>

[Vahit]

Ali hocam ben bir duruma değil iki duruma örnek verdim esasında.

1. örnekte geçen A ve B bağımsız olayları aynı zamanda ayrık olmayan olaylardır.

2. örnekte geçen A ve B ayrık olayları ise aynı zamanda bağımlı olaylardır.

3. bir örnekte şöyle vereyim:

A olayı paranın tura ve zarın çift gelmesi = { (T,2), (T,4), (T,6) }

B olayı paranın tura ve zarın asal gelmesi = { (T,2), (T,3), (T,5) } olayları ayrık değildir çünkü kesişimler { (T,2) } dir. Yani  P(A ∩ B) = 1/12 dir. Ama bağımsız de değillerdir, çünkü bağımsız olsalardı  P(A ∩ B) = 3/12 . 3/12 = 1/16 olmalıydı. Sözel olarak A nın olası durumlarından kesişimde yer almayanların gerçekleşmesi B nin gerçekleşmemesine sebeptir. Bu nedenle bağımlıdırlar. Özetle, bu örnekle hem ayrık olmayan hem de bağımlı olan iki olay vermiş oldum.

Ayrık olma veya olmama ile bağımlı olma veya olmama kavramları içiçe geçebilir. Belki şu genellemeler yapılabilir:

1. Ayrık iki olay bağımlıdır.

2. Bağımsız iki olay ayrık değildir.

3. Bu önermelerin tersleri doğru olmayabilir. Örneğin verdiğim 3.örnek her iki önermenin tersini çürütmektedir. Yani bağımlı iki olay ayrık olmak zorunda değildir. Ayrık olmayan iki olay bağımsız olmak zorunda değildir. 

Bir de tabii ilk mesajınızda gözümden kaçmış "Ayrık olay ve bağımsız olayın matematiksel tanımları nelerdir? Örnek uzaylar aynı olabilir mi bağımsız olaylarda?" cümlenizde geçen "Örnek uzaylar aynı olabilir mi bağımsız olaylarda?" ifadesi çok hatalıdır. Her zaman bağımlı/bağımsız veya ayrık/ayrık olmayan iki olaydan bahsederken aynı örnek uzayın olaylarını inceliyoruzdur. 

Önceki mesajım için yapılan güzel değerlendirmeler için teşekkür ediyorum. Tekrar sürç-i lisan ettiysem affola..

24 Şubat 2013 Pazar 10:14:37 UTC+2 tarihinde Ali Ogretmen yazdı: