Bir Vektör Uzayını Germe

[Muharrem Şahin]

Bir vektör uzayını germe üzerine sorulara verebildiğim cevaplarım:

"Germe" sözcüğü, İngilizce "span" sözcüğünün

karşılığı olarak getirilmiştir.

"Span" Türkçede isim olarak "karış", fiil olarak "karışlama"

anlamlarına gelir.

I.

v = k.v1

eşitliğinde, k reel sayısına sonsuz değişik değer verilerek,

v1 doğrultusundaki sayı doğrusunun her noktası elde edilebilir.

Bu sayı doğrusunun noktalarına karşılık gelen vektörlerin kümesi,

(Bir boyutlu vektör uzayı) bu v1 vektörü ile elde edilmiş olur.

- bu bir boyutlu uzay v1 vektörü ile üretilmiş olur.

- bu bir boyutlu uzayın her noktası  v1 "karış"ı ile "karışlanmış" olur.

- v1 vektörü ile bu bir boyutlu uzayın her noktası taranmış olur.

- v1 vektörü bu bir boyutlu uzayı germiş olur.

- v1 vektörü bu bir boyutlu uzayın bir "taban"ıdır. Bir "baz"ıdır.

II.

v1 ve v2 vektörleri doğrusal bağımlı olsunlar.

Örneğin; v1 = (1,2) ve v2 = (2,4) olsun.

v2 = 2.v1 olup vektörler doğrusal bağımlıdır.

Bu durumda "k.v1" ve  "k.v2" uzayları aynı uzay olurlar.

"v1" ve "v2" vektörleri ayrı ayrı bu bir boyutlu uzayın birer

tabanı (birer bazı) olurlar.

Aynı bir boyutlu uzay, "k1.v1 + k2.v2" toplamında k1 ve k2 'ye

sınırsız sayıda değer verilerek de elde edilebilir.

Bu durumda da {v1,v2} kümesi aynı bir boyutlu uzayı "germiş"

ya da "üretmiş" olur. Ama; bu kümeye 

- gereksiz eleman bulundurduğu için olacak -  "taban" denmez.

{v1}, {v2}, {v1,v2} kümelerinden {v1} ve {v2} birer taban;

 {v1,v2} ise sadece "üreteç"tir.

III.

  

v1 = (x1,y1) ve v2 = (x2,y2) vektörleri doğrusal bağımsız ise

-yani 1. dereceden bir denklemle aralarında bir bağıntı kurulamıyorsa-

R^2 nin her noktasını,  v = k1.v1 + k2.v2  eşitliğindeki k1 ve k2

kat sayılarına uygun değerler vererek elde edebiliriz.

Bu durumda, R^2 nin elemanlarından kurulu {v1, v2, v3} gibi,

ikiden fazla elemanlı her kümenin doğrusal bağımlı olacağı açıktır.

IV.

v1 = (x1,y1,z1) ve v2 = (x2,y2,z2) vektörleri doğrusal bağımsız ise 

tüm "k1.v1 + k2.v2" vektörlerinin kümesi, yine 2 boyutlu bir uzaydır.

{v1,v2} kümesi yine 2 boyutlu bir uzayı gerer.

Bu 2 boyutlu uzay R^2 değil, R^3 'ün bir alt uzayıdır.

Yani; 3 boyutlu uzaydaki konumu bilinen bir düzlemdir.

Bu durumda, {v1,v2,v3} kümesi doğrusal bağımlı da olabilir, bağımsız da.

Genel olarak; n boyutlu uzayın vektörlerinden oluşan n+1 elemanlı

bir küme kesinlikle doğrusal bağımlı olur.

V. 

1. v = (4) vektörü bir boyutlu uzayın sıfırdan farklı bir vektörüdür.

-Bu vektör, 1 boyutlu uzayın bir tabanıdır.

- (4) vektörü, içinde bulunduğu uzayı gerer. 

2. v = (1,2) vektörü iki boyutlu uzayın bir vektörüdür.

Tüm "k.v" vektörlerinin kümesi R^2 nin bir alt uzayı olan

1 boyutlu bir uzayı gerer.

{(1,2)} kümesi, içinde bulunduğunu bildiğimiz uzayı germez.

Şöyle söyleyelim:

v = (1,2) vektörü, içinde bulunduğu 2 boyutlu uzayı germez;

bunun bir alt uzayını gerer.

3.  v1 = (1,3) ve v2= (2,-1) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin

içinde bulunduğu uzayı gerer.  (v1 ve v2 doğrusal bağımsız olduğu için)

4.  v1 = (1,3) ve v2 = (2,6) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin içinde bulunduğu

iki boyutlu uzayı germez. R^2 nin bir alt uzayını gerer.

5.  v1 = (1,0,-2) ve v2 = (-2,0,4) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin içinde

bulunduğu 3 boyutlu uzayı germez. R^3 ün 1 boyutlu bir alt uzayını gerer.

6.  v1 = (1,0,-2) ve v2 = (2,3,1) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin içinde

bulunduğu R^3 uzayını germez. R^3 ün 2 boyutlu bir alt uzayını gerer.

7.  v1 = (1,2,3),  v2 = (2,-1,0),  v3 = (0, -2, 1),  v4 = (-1,3,-2) olmak üzere

{v1,v2,v3} kümesi R^3 uzayını gerer.

{v1,v2,v3,v4} kümesi R^3 uzayını gerer. 

Önceki açıklamalarım da yararlı olabilir:

1. R^2 nin bir bazı olarak e1 = (1,0) ve e2 = (0,1) vektörleri alınabileceği gibi;

    v1 = (2,4) ve v2 = (-1,1) vektörleri de alınabilir. 

   Herhangi bir (x,y) noktasını x.e1 + y.e2 toplamı ile gösterebileceğimiz gibi;

   a.v1 + b.v2 toplamı ile de elde edebiliriz.

2. Koordinat eksenleri dik olmak zorunda değildir.

    Örneğin; doğrusal bağımsız vektörlerden,

    v1 = (2,4)'ü taşıyan doğru x ekseni,

    v2 = (-1.1)'i taşıyan doğru y ekseni olarak alınabilir.

    Böyle bir koordinat sisteminde her bir (x,y) noktası

    x.v1 + y.v2 toplam vektörünün gösterdiği bir vektöre

    karşılık gelir.

3.  (2,4) = k.(1,2) eşitliğini sağlayan bir k değeri var 

    olduğundan (2,4) ve (1,2) vektörleri lineer bağımlıdır.

    (2,4) = k.(3,1) eşitliğini sağlayan bir k değeri  

    bulunmadığından (2,4) ve (3,1) vektörleri lineer bağımsızdır.

    a.(2,4) + b.(3,1) = (-1,-7) eşitliğini sağlayan a ve b değerleri

    bulunabileceğinden (2,4), (3,1), (-1,-7) vektörleri lineer bağımlıdır.

4. R^2 uzayının her (x,y) noktası 

   (x,y) = a.(2,4) + b.(3,1) toplamı ile elde edilebileceği gibi,

   (x,y) = c.(2,4) + d.(3,1) + e.(-1,-7) toplamı ile de elde edilebilir.

   (2,4), (3,1) vektörleri R^2'yi gererler. Bunlar lineer bağımsız 

   olduğundan bir baz oluştururlar.

   (2,4), (3,1), (-1,-7) vektörleri de R^2 uzayını gererler. Ancak;

   bunlar lineer bağımlı olduklarından bir baz oluşturmazlar.

   Bunlara "üreteç" denir. "Baz" denmez.

Benim açıklamayı unuttuğum bir husus var ise hatırlatınız.

[Muharrem Şahin]

Yazıklar olsun bana!

Çok sayıda değerli öğretmenimin yakındığı bir konuda

uzun uzun açıklamalar yapıyorum;

bir tek öğretmenime bile anlatmak istediğimi anlatamıyorum.

Eğer becerebilmiş olsaydım; biri döner teşekkür ederdi.

Çünkü; her birinin emeğe saygılı birer insan olduğunu biliyorum.

Yazıklar olsun bana!

Ben, en iyisi, becerebildiğim işlerle uğraşayım.

[Mahmut Bektaş]

Sakin olun hocam. :) Ben tam teşekkür ediyordum. Çok çok çok teşekkürler. :))

29 Haziran 2012 Cuma 15:01:44 UTC+3 tarihinde Muharrem Şahin yazdı:

[ugurselcuk bayrakci]

Hocam haklısınız,bir konuda çoook haklısınız...bence de siz " becerebildiginiz işlerle uğraşin"! Çünkü çok iyi bir öğretmensiniz..teşekkürler.

Emin olun sadece bir zamanlama meselesi..malumun ilanına bazen gerek yok.çok sıkı fanlariniz olduğu ve çok sevildiginiz aşikar.vektorler uzayı gere dursun.siz verilmeyin.tmoz size olan sevgi ve saygısına kendinizi bırakın.
Enerjiniz kesilmesin.moraliniz bozulmasın.

29 Haz 2012 20:57 tarihinde "Muharrem Şahin" <muhar...@gmail.com> yazdı:

--
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
 
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
 
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
 
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf

[Durmuş DOĞDU]

Muharrem Hocam bugün şehir dışında olduğumdan mesajınızı yeni gördüm.

Zihninize sağlık hocam. Allah'ım sizi biz tmoz ailesinin başından eksik etmesin. Teşekkür ederim.

[H D]

teşekkürler

29 Haziran 2012 22:08 tarihinde Durmuş DOĞDU <ddog...@gmail.com> yazdı:

Muharrem Hocam bugün şehir dışında olduğumdan mesajınızı yeni gördüm.

Zihninize sağlık hocam. Allah'ım sizi biz tmoz ailesinin başından eksik etmesin. Teşekkür ederim.

--

[Şahin Danişman]

muharrem hocam çok incesiniz, zihninize sağlık :)

29 Haziran 2012 22:46 tarihinde H D <hasand...@gmail.com> yazdı:

--

www.sahinhoca.com

 

Şahin Danişman

Tokat-Matematik-Geometri Öğretmeni

 

Tohum saç, bitmezse toprak utansın...
Hedefe varmayan mızrak utansın...
Hey gidi küheylan,koşmana bak sen...
Çatlarsan doğuran kısrak utansın!...
....................................Necip Fazıl...

[Y Yılmaz]

Kıymetli Muharrem hocam, siz emek ve mesayinizi harcayarak bizlerle bu
ve bunun gibi bilgi dolu birikimlerinizi sınırsızca paylaşıyorsunuz.
Bunlardan faydalanamıyorsak sanırım bize yazık oluyordur.kendi adıma
böyle düşünüyorum. Paylaşımlarınız bir tarafa burada olduğunuz için
bile ayrıca teşekkür ederim.

[m m]

hocam konunun açıldığı ilk başlıkta arkadaş peşinen zaten tesekür etmiş bende ayrıca tesekür   ederi

29 Haziran 2012 20:57 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

muharrem hocam, 

bu konu üzerinde daha çok sohbet edeceğiz seninle. aslında bazı noktalar üzerinde biraz daha ayrıntılı duralım ve konuyu soyutluktan somuta indirgeyelim diyecektim. aslında bu akşam başlamayı düşünüyordum ama bir işim çıktı. yoksa 

teşekkür etmeden biraz daha sömürcez seni bu konuda.  :)

hem kızcaksan bize kız, niye kendine kızıyorsun. hata bizim.

ya da kızarsan kız. biz seni biliyoruz. kızgınlığın iki dakika sürmez nasıl olsa.  :) 

 

:b    :b    :b

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

29 Haziran 2012 23:24 tarihinde Y Yılmaz <yalci...@gmail.com> yazdı:

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

"Germe" sözcüğü, İngilizce "span" sözcüğünün

karşılığı olarak getirilmiştir.

"Span" Türkçede isim olarak "karış", fiil olarak "karışlama"

anlamlarına gelir.

bunu öğrenmek bile sizi kızdırmaya değer hocam. :)

"germe"  karışlamak demekse, karışlamak da ölçmek demektir.  ölçme de oranlamak  ile aynı anlamdadır.

zaten

v = k.v1

eşitliğinde, k reel sayısına sonsuz değişik değer verilerek,

v1 doğrultusundaki sayı doğrusunun her noktası elde edilebilir.

ifadesinde  v / v1= k oranı var.

bu da şu anlama geliyor. bir boyutlu uzayda her vektör, istenilen bir vektör cinsinden yazılabilir veya ölçülebilir.

ölçme kavramında birliktelik veya standartlık önemlidir. bu yüzden temel birim vektörler standartı sağlamak açısından önemli. her vektörü karışla değil de birim vektörle ölçmek gerek. tıpkı diğer çokluklarda birlikteliğin sağlandığı gibi. ağırlıklar kilo ile, uzunluklar metre ile ölçülür.

hatalı gördüğünüz noktaları belirtin lütfen hocam veya hocalarım.

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

29 Haziran 2012 23:42 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ <rsm...@gmail.com> yazdı:

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

Bu sayı doğrusunun noktalarına karşılık gelen vektörlerin kümesi,

(Bir boyutlu vektör uzayı) bu v1 vektörü ile elde edilmiş olur.

- bu bir boyutlu uzay v1 vektörü ile üretilmiş olur.

- bu bir boyutlu uzayın her noktası  v1 "karış"ı ile "karışlanmış" olur.

- v1 vektörü ile bu bir boyutlu uzayın her noktası taranmış olur.

- v1 vektörü bu bir boyutlu uzayı germiş olur.

- v1 vektörü bu bir boyutlu uzayın bir "taban"ıdır. Bir "baz"ıdır.

şimdi bundan sonra daha dikkatli olmamız lazım. sayı doğrusu üzerinde bir vektör alalım. örneğin P(3)  vektörü olsun. bunu 4 ile çarparsak 4.P(3)=P(12) vektörünü elde ederiz. 4 yerine başka sayılar da alınabilir. bu durumda sayı doğrusu üzerindeki her vektörü ifade etmek mümkün.buradaki her vektör çakışıktır. doğrultuları aynı,uzunlukları çarptığımız sayıya göre değişir. yönleri ya artı sonsuza ya da eksi sonsuza doğrudur.

böylece P(3) vektörü ile sayı doğrusunu belirlemiş oluyoruz.

Bu durumda sayı doğrusu P(3) ile belirlendiği için bir boyutlu uzayın üreticisi, sayı doğrusundaki her vektörü P(3) vektörü cinsinden yazabileceğimiz veya ölçebileceğimiz için P(3) vektörü taban vektörü olur.

öyleyse P(3)  yerine P(2) vektörünü de alsam aynı şeyler onun için de geçerli olacağından o da bir tabandır, üreteçdir.

genel olarak her P(x) vektörü sayı doğrusunun tabanıdır, belirleyicisidir.

işte burada germe olayı yine havada kalıyor. ben germe yerine belirleyici diyorum ama hata mı ediyorum ? bilmiyorum.

baz olayına şimdilik hiç girmiyorum.

 

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

29 Haziran 2012 23:59 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ <rsm...@gmail.com> yazdı:

[Fehmi Kayrak]

birbirindenn bağımsız n,bunlardan türetilen k  vektörün, n. boyutta bir uzayı gerdiğini varsayalım.( n bir sayma sayısı, k doğal sayı)

 

 

n+k  vektörlük  vektör kümesine ;

(i) k sayma sayısı    olursa  üreteç

(ii) k=0 olursa   baz (  taban) adını veririz. 

 

!üreteç takımına veya baz takımına ürettikleri vektörleri eklemek
bize boyut kazandırmaz.

naçizane anladığım...

muharrem hocam    size 1şey olmasın:)   kucak dolusu sevgiler...

30 Haziran 2012 00:25 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ <rsm...@gmail.com> yazdı:

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

v1 ve v2 vektörleri doğrusal bağımlı olsunlar.

Örneğin; v1 = (1,2) ve v2 = (2,4) olsun.

v2 = 2.v1 olup vektörler doğrusal bağımlıdır.

Bu durumda "k.v1" ve  "k.v2" uzayları aynı uzay olurlar.

"v1" ve "v2" vektörleri ayrı ayrı bu bir boyutlu uzayın birer

tabanı (birer bazı) olurlar.

Aynı bir boyutlu uzay, "k1.v1 + k2.v2" toplamında k1 ve k2 'ye

sınırsız sayıda değer verilerek de elde edilebilir.

Bu durumda da {v1,v2} kümesi aynı bir boyutlu uzayı "germiş"

ya da "üretmiş" olur. Ama; bu kümeye 

- gereksiz eleman bulundurduğu için olacak -  "taban" denmez.

{v1}, {v2}, {v1,v2} kümelerinden {v1} ve {v2} birer taban;

 {v1,v2} ise sadece "üreteç"tir.

burada sayı doğrusundan sonra, düzleme geçtik. düzlemde başka bir boyutlu uzaylar da var. örneğin A(1,2) vektörünün 

ürettiği, gerdiği (veya belirlediği ) y=2x doğrusu.

örneğin B(1,3) vektörünün  ürettiği, gerdiği(veya belirlediği) y=3x doğrusu

soru: doğrusal bağımlı olmak demek çakışık olması ve paralel olması demek midir? (demek istediğim tek boyutlu uzayda A(5) ve B(7) vektörlerini alalım. bunlar çakışıktır.  burada paralel iki vektör almak mümkün değil zaten.)

soru: v1 ve v2 vektörleri bir uzayı {v1,v2} kümesi de aynı uzayı gerer mi?   

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

30 Haziran 2012 00:25 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ <rsm...@gmail.com> yazdı:

Bu sayı doğrusunun noktalarına karşılık gelen vektörlerin kümesi,

[Muharrem Şahin]

"Germe" sözcüğü ile karşılanan "span" sözcüğü, aynı zamanda,

isim olarak "bir köprünün ardışık iki ayağı arasındaki kısmı";

fiil olarak da "köprünün iki ayağı arasındaki kısmının inşası"

anlamına gelir.

Sanıyorum; bu anlamı ile "bir vektör uzayının tabanı",

"bu tabanlar üzerine vektör uzayının kurulması" 

kavramları ile daha uyumlu olur.

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

o zaman germe kelimesi, yapılandırma, belirleme anlamına gelir diyebilir miyiz?

nasıl ki, n kenarlı bir çokgen 2n-3 elemanı ile belirli ise,    düzlem de, paralel olmayan (doğrusal bağımsız) 2 vektörü ile belirlidir  desek yanlış olur mu?

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

30 Haziran 2012 10:09 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

bu ara mail kirliliği yapıyorsak özelden devam edelim. 

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

30 Haziran 2012 10:52 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ <rsm...@gmail.com> yazdı:

[Muharrem Şahin]

"Ayakların üzerine köprünün gerilmesi"

Tam da söylediğin anlamda kullanılmış gibi görünüyor.

[mat4411]

tesekür ederim herkese mail kirliliği ne demek sayın hocam ilgi ile takip edip not alıyorum

30 Haziran 2012 11:03 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

"Ayakların üzerine köprünün gerilmesi"

Tam da söylediğin anlamda kullanılmış gibi görünüyor.

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

30 Haziran 2012 11:24 tarihinde mat4411 <geomet...@gmail.com> yazdı:

[Muharrem Şahin]

Karışıklık "doğrusal" sözcüğünden kaynaklanıyor.

Buradaki "doğrusal", "bir doğru üzerinde olma"

anlamında değil; 

"birinci dereceden denklemlerle birbirine bağlı olma" anlamında.

Örneğin; ax + by + cz = d eşitliği x, y, z arasında doğrusal bir bağıntıdır.

Aynı şekilde; 

k1.v1 + k2.v2 + k3.v3 = 0 eşitliği v1,  v2,  v3 vektörleri arasında doğrusal

bir bağıntıdır. v1,  v2,  v3 vektörleri bu doğrusal bağıntı ile birbirlerine bağlı ise

"bu vektörler doğrusal bağımlıdır." deriz.

[Muharrem Şahin]

Aynı şekilde; 

k1.v1 + k2.v2 + k3.v3 = 0 eşitliği v1,  v2,  v3 vektörleri arasında doğrusal

bir bağıntıdır. v1,  v2,  v3 vektörleri bu doğrusal bağıntı ile birbirlerine bağlı ise

"bu vektörler doğrusal bağımlıdır." deriz.

Tabi; k1, k2, k3 katsayılarının üçü birden sıfır değil ise.:)

[ibrahim Kuscuoglu]

bir katkıda benden gelsin bari:)     V={f| f,  [0,1] aralığında tanımlı sürekli fonksiyon}   IRxV------V
                                                                                                                           (k,f)-----(k.f)   
olarak tanımlanan çarpma işlemine göre V  IR üzerinde bir vektör uzayıdır. IR üzerinde V  nin boyutu sonsuz olup bir bazı {1,sinx,sin2x,sin3x,.....} tir.

30 Haziran 2012 12:58 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
 
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
 
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
 
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf

--

Deneme yayını ile  açıldı

 

www.idensu.com

[MEHMET GÜLEŞEN]

tesekürler  dostlar güzel bir paylaşım oldu

30 Haziran 2012 13:08 tarihinde ibrahim Kuscuoglu <ikus...@gmail.com> yazdı:

--

BURDUR  ANADOLU  LİSESİ**Matematik, bilim adamlarının anlaşılmaz konuşmaları ya da hayatımızın en güzel yıllarında başımıza bela olan bir ders değildir. Matematik bir yaşam biçimidir, hayata bakış açısıdır.

**Çalışmadan, öğrenmeden, yorulmadan rahat yaşamanın yollarını alışkanlık haline getirmiş milletler; önce onurlarını, sonra özgürlüklerini ve daha sonra da geleceklerini kaybetmeye mahkumdurlar.

Mustafa Kemal Atatürk

[mat4411]

fehmi hocanın genellemesi için ne diyorsunuz  hocalarım  bu durumda

30 Haziran 2012 13:15 tarihinde MEHMET GÜLEŞEN <mgule...@gmail.com> yazdı:

[Muharrem Şahin]

İbrahim Hocamın da işaret ettiği gibi,

nokta kümeleri ile kurduğumuz vektör uzayları

yanında; polinomlarla, fonksiyonlarla, ... kurulan

vektör uzayları da söz konusudur.

İlk temeller oturduktan sonra üstü kolay anlaşılır.

[Muharrem Şahin]

Fehmi Hocamın genellemesi doğru tabi.

Aynı şeyleri değişik biçimlerde söylüyoruz.

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

muharrem hocam, ibrahim hocam,

matematik biliminin temel amacı, evrenin yapısının bilimsel modelini oluşturmak. bunu matematik derslerinde önce kümeyi işledikten sonra,  kartezyen çarpım kümesini işliyoruz. daha sonra RxR  ile düzleme geçiyoruz. yani R den kartezyen çarpım yardımı ile, düzleme geçiş yapabiliyoruz. sonra istersek R^3  e geçebiliriz.  kısaca farklı boyuttaki uzaylara kartezyen çarpım kümesi ile geçiş yapabiliyoruz ya da onları yapılandırabiliyoruz. deyim yerindeyse gerebiliyoruz.

bu işlem vektörlerde nasıl yapılıyor?

 

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

30 Haziran 2012 13:27 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

o zaman doğrusal bağımlı olması, paralel olması anlamına gelmez mi diyorsunuz?

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

30 Haziran 2012 13:38 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ <rsm...@gmail.com> yazdı:

[Muharrem Şahin]

"Doğrusal bağımlı olmak", iki vektör söz konusu iken

"aynı doğrultuda olmak" anlamına da gelir.

Genel olarak,

k1.v1 + k2.v2 + k3.v3 + ... = 0 

eşitliğini sağlayan, en az biri sıfırdan farklı k1, k2, k3, ...

reel sayıları bulunabiliyorsa v1, v2, v3, ... vektörleri

doğrusal bağımlıdır denir.

Diğer, soruya gelince;

Vektörleri de reel sayı birlileri, ikilileri, ..., n'lileri

ile ifade ettiğimize göre temel yaklaşımlar tamamen aynıdır.

Ya da; ben soruyu anlayamamış olabilirim.:)

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

aynı doğrultuda olmak da paralel olmak anlamına gelir. yani düzlemde birbirine parelel olmayan ya da doğrultuları farklı 3 ya da daha fazla vektör bulunabiliyorsa bunlar neden doğrusal bağımlı olmak zorunda?

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

30 Haziran 2012 14:00 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--

[Muharrem Şahin]

Şunu da belirtmek gerek:

"Vektör uzayı" kavramı programın dışında kalır.

Biz, temel kavramların bizi zorladığı kadarına giriyoruz. 

"Vektör uzayı" kavramı, bildiğimiz vektörleri de

kapsayan daha üst bir kavramdır.

Nokta kümelerinin dışındaki kümeler de

vektör uzayı kurallarına uyabilir.

Bunun yanında, her nokta kümesi de

bir vektör uzayı oluşturmaz.

Örneğin; R^2 de orijinden geçen her doğrunun

noktalarının kümeleri birer vektör uzayı olduğu halde,

orijinden geçmeyen doğruların noktalarının

kümeleri birer vektör uzayı değildir.

Aynı şekilde; R^3 te orijinden geçen doğru ve

düzlemlerin noktalarının kümeleri birer vektör uzayıdır.

Geçmeyenlerinki değildir. 

 

[Muharrem Şahin]

v1 = (1,2),  v2 = (2,0),  v3 = (2,-4) olsun.

k1.(1,2) + k2.(2,0) + k3.(2,-4) = 0 eşitliğini 

sağlayan, en az biri sıfırdan farklı k1, k2, k3 bulunabiliyor mu?

k1 + 2.k2 + 2.k3 = 0

2.k1 - 4.k3 = 0

eşitlikleri k1 = 2,  k2 = -2,  k3 = 1 için sağlanır.

Evet; bulunabiliyor.

 

Yani;

 2.v1 - 2.v2 + v3 = 0 yazmak mümkündür.

v1 = v2 - 1/2.v3 yazmak mümkündür.

Bu vektörler 1. dereceden denklemlerle birbiri

cinsinden ifade edilebilmektedir.

Bunlar birbirine 1. dereceden bir denklemle bağlıdır.

Bu üç vektör doğrusal bağımlıdır.    

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

beklediğim cevap bu değil.

"Doğrusal bağımlı olmak", iki vektör söz konusu iken

"aynı doğrultuda olmak" anlamına da gelir.

"doğrusal bağımlı olmak"  üç vektör söz konusu iken

ne anlama gelir?

 

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

30 Haziran 2012 14:44 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--

[Mahmut Bektaş]

Şöyle diyebiliriz;

T={v1, v2, v3,...,vn} kümesinin 1, 2 ya da 3 boyutlu uzayın tabanı (bazı) olabilmesi için şu iki şart gereklidir.

i) T kümesi bahsi geçen uzayı germeli.

Peki nasıl?

k1.v1+k2.v2+k3.v3+...+kn.vn ifadesine v1, v2, v3,...,vn vektörlerinin lineer (doğrusal) birleşimi (kombinasyonu) denir. Eğer bir uzayın tüm elemanları bu lineer birleşim yardımıyla yazılabiliyorsa "v1, v2, v3,...,vn elemanlarından oluşan T kümesi bu uzayı gerer" denir.

ii) T kümesinin elemanı olan vektörler lineer (doğrusal) bağımsız olmalı.

Peki nasıl?

k1.v1+k2.v2+k3.v3+...+kn.vn=0 eşitliği k1, k2, k3,...,kn reel sayılarından en az biri sıfırdan farklı olacak şekilde sağlanıyorsa v1, v2, v3,...,vn vektörleri lineer bağımlıdır. Eğer bu eşitlik sadece k1=k2=k3=...=kn=0 olması halinde sağlanıyorsa  v1, v2, v3,...,vn vektörleri lineer bağımsızdır. İki vektör için lineer bağımlı olup olmadıkları paralel olup olmadıklarına bakılarak anlaşılabilir; iki vektör paralel ise lineer bağımlı, paralel değil ise lineer bağımsızdır. İki vektör için neden böyle olduğu çok nettir zaten. İkiden çok vektör için tabi ki böyle bir şey denilemez.

Peki neden T kümesinin taban olabilmesi için elemanlarının lineer bağımsız olması gerekiyor?

v1=(2, 4) ve v2=(4,-2) vektörlerinin lineer bağımsız olduklarını ve iki boyutlu uzayı gerdiklerini görmek zor değil. O halde v1, v2 vektörlerinin oluşturduğu iki elemanlı vektör kümesi (T={v1, v2} diyelim biz ona) iki boyutlu uzayın tabanıdır. Yani av1+bv2 lineer birleşimi yardımıyla iki boyutlu uzayın tüm elemanları (bu elemanların her biri aynı zamanda bir vektörü ifade eder) elde edilebilir. Diyelim ki u vektörünü elde ettik. u=av1+bv2 yani... İşte buradaki (a, b) ikilisine u vektörünün T bazına göre bileşenleri denir. Mesela (8, 6)=2.(2, 4)+1.(4, -2) olduğundan (8, 6) vektörünün T bazına göre bileşenleri (2, 1) dir. 

(i=(1, 0) ve j=(0, 1) vektörlerini hatırlayalım. T={i, j} kümesi de 2 boyutlu uzayın bir tabanıdır. (a, b)=ai+bj olduğundan (a, b) vektörünün T={i, j} tabanına göre bileşenleri (a, b) dir. Neden en çok bahsi geçen ve kullanılan taban olduğu daha net anlaşılmıştır herhalde)

Bir vektörün bir tabana göre bileşeninin tek olduğu çok net görülüyor. İŞTE VEKTÖRLERİN LİNEER BAĞIMSIZ OLMALARININ GEREKLİLİĞİ BURADA SAKLI... Lineer bağımsız oldukları için herhangi bir vektör tek türlü yazılabiliyor ve bu da o vektörün o tabana göre tek bir bileşenle ifade edilmesini sağlıyor. Onun içindir ki vektörlerin uzayı germesi yetmez bir de lineer bağımsız olmaları gereklidir diyoruz. 

[Muharrem Şahin]

Rasim Hocam;

Bir teşekkür edeceksin diye suyumu çıkardın.:)))

k1.v1 + k2.v2 + k3.v3 + ... + kn.vn = 0 eşitliği 

k1, k2, k3,...,kn reel sayılarından en az biri sıfırdan farklı olacak şekilde sağlanıyorsa 

v1, v2, v3,...,vn vektörleri doğrusal bağımlıdır. 

"Doğrusal bağımlılık", "paralellik"le açıklanan bir kavram değildir.

Vektör sayısı 2 olduğunda, "paralellik" tanımın sonucu olarak gelir.

Üç vektörün doğrusal bağımlı olması, onların aynı düzlemde

olması sonucunu getirir.

Mahmut Hocam da açıklamış.  

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

mahmut hocam teşekkür ederim. 

Bir vektörün bir tabana göre bileşeninin tek olduğu çok net görülüyor.

şu cümleniz iyice kafamı karıştırdı .

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

30 Haziran 2012 15:10 tarihinde Mahmut Bektaş <edmb...@gmail.com> yazdı:

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

eee teşekkür öyle kolay kolay verilmiyor artık.   :)

muharrem hocam, bazı bağlantılar kurmak istiyorum aslında...

uzay geometri de bahsederiz. kesişen iki doğru bir düzlem belirler de paralel iki doğru düzlem belirlemez diye.   

bir de doğrusal bağımlı 4 vektör ne anlama geliyor?

:)

biraz ara verelim. bir de başka arkadaşlar da katılsın istiyorum.

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

30 Haziran 2012 15:20 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

muharrem hocam,

bir de bakıyorum ilk mailinizde vektörler konusunun manifestosunu çıkarmışsınız. bir daha baktım da işin başındayız daha.  :)

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

30 Haziran 2012 15:31 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ <rsm...@gmail.com> yazdı:

[Muharrem Şahin]

Tamam; ben susuyorum.

Ama; hemen, gördüğümü söyleyerek.

Paralel iki doğru bir düzlem belirtir. 

Doğrusal bağımlı 4 vektör

- aynı doğrultuda olabilir.

- aynı düzlemde olabilir.

- aynı üç boyutlu uzayda olabilir.

- üçten fazla boyutlu uzayların

  bir, iki, üç boyutlu alt uzaylarında olabilir.

Desene; teşekküre daha çok yolumuz var.:))

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

evet. 

V1=(x1,x2,x3), V2=(x2,y2,z2) vektörleri doğrusal bağımlı ise

doğru mu, düzlem mi belirler?

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

30 Haziran 2012 15:37 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ <rsm...@gmail.com> yazdı:

[Muharrem Şahin]

Doğru belirler.

Sözü nereye getireceğini anladım.:))

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

açıkla o zaman.  :)

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

30 Haziran 2012 15:51 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

Doğru belirler.

Sözü nereye getireceğini anladım.:))

[Muharrem Şahin]

Vektörlerin paralelliği ile doğruların paralelliği 

biraz farklıdır.

Vektörlerde paralellik, çakışıklığı da kapsar.

Bu yüzden, "vektörlerin paralelliği" için,

"aynı doğrultuda olma" terimini kullanmak daha doğru olur.

"Vektör" bir geometrik şekil değildir. 

Geometrik şeklin üzerinde bir kavramdır.

Paralel iki doğru, konumları belirli birer noktalar kümesidir.

Dolayısıyla; paralel iki doğrudan bir tek düzlem geçer.

"Paralel iki vektör" denildiğinde belirli konumlar verilmiş olmaz.  

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

aslında farklı değil .doğrularda  paralellik bir denklik bağıntısıdır bu yüzden çakışıklığı da kapsar. her doğru kendisine paraleldir.

"Vektör" bir geometrik şekil değildir. 

vektör bir harekettir, eylemdir desek olur mu?  :)

peki o zaman R^3 birbirinden farklı, denk iki vektör düzlem belirlemez mi yani?

bir de bir adım öteye gideyim. v1=(x1,y1,z1,t1), 

v2=(x2,y2,z2,t2)  vektörleri  de doğrusal bağımlı ise doğru,

v1=(x1,y1,z1,t1),   v2=(x2,y2,z2,t2),  v3=(x3,y3,z3,t3) doğrusal bağımlı ise düzlem mi belirtir?

 

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

30 Haziran 2012 16:15 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

[ibrahim Kuscuoglu]

rasim hocam IR^3 te üç vektör lineer bağımlı ise ya doğrultuları aynıdır ya da aynı düzlem içindedirler. Yani illa düzlemsel olmaları gerekmez.

30 Haziran 2012 18:16 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ <rsm...@gmail.com> yazdı:

[ibrahim Kuscuoglu]

lineer cebir deneme sınavı

30 Haziran 2012 19:08 tarihinde ibrahim Kuscuoglu <ikus...@gmail.com> yazdı:

[Muharrem Şahin]

Aynı düzlemde olup kesişmeyen doğrulara paralel doğrular denir.

Doğrular kümesinde "paralellik veya çakışıklık" bağıntısı denklik bağıntısıdır.

Bu bağıntının denklik sınıflarından her biri bir doğrultu belirtir.

Bir doğru kendisine paralel değil; kendisi ile aynı doğrultudadır.

"Vektör" bir geometrik şekil değildir. 

Geometrik şekil ile yön kavramının birleştirildiği yeni bir kavramdır.

Böyle yeni kavramları önceden bildiğimiz kavramlarla 

açıklayabilmemiz her zaman mümkün olmayabilir.

"Vektör" hareketin ifade edilmesinde kullanılabilir.

Ama; "Vektör harekettir." diyemiyorum.


R^3 'te birbirinden farklı, denk iki vektör düzlem belirlemez mi ?

"Denk iki vektör" aynı vektördür.

Ayrıca; "vektörlerin ya da yönlü doğru parçalarının düzlem belirtmesi"

sözü kavram kargaşası getiriyor. 

"Geometrik şekil" olmayan bir kavrama geometrik şekle özgü

bir görev yüklemiş oluruz.

"Denk iki yönlü doğru parçasının taşıyıcı doğruları" bir düzlem belirtir.

Sorunun devamını İbrahim Hocam cevaplamış.

Son cümlesi, O'nun söylemek istediğini taşımıyor sadece.

v1, v2, v3 doğrusal bağımlı ise bunlar kesinlikle düzlemseldir.

Ama; doğrusal da olabilirler anlamında söylemiş.   

[Barış Demir]

Hali hazirda lineer cebir dersi alanlar icin iyi bir tartisma ortami
olmaya basliyor..
Bu arada vektör es yonlu dogru parcalari kumesi olarak tanimlanir.
Bir hareketli, 3d oyunlar icin yaratilan gorsel dunya, vs. vektorlerin
uygulama alanlaridir.
Tabii bu geometrik yaklasimlar R^3 üstü uzaylarda yetersiz kalir.
R^4 te dogru veya duzlem nasil tanimlidir? Yada tanimli midir?

On 30 Haziran, 18:16, RASİM.ZENCİR-DENİZLİ <rsmz...@gmail.com> wrote:
> *aslında farklı değil .doğrularda  paralellik bir denklik bağıntısıdır bu
> yüzden çakışıklığı da kapsar. her doğru kendisine paraleldir.*
> *
> *

> "Vektör" bir geometrik şekil değildir.
>

> *vektör bir harekettir, eylemdir desek olur mu?  :)*
> *
> *
> *peki o zaman R^3 birbirinden farklı, denk iki vektör düzlem belirlemez mi
> yani?*
> *
> *
> *bir de bir adım öteye gideyim. v1=(x1,y1,z1,t1), *
> *v2=(x2,y2,z2,t2)  vektörleri  de doğrusal bağımlı ise doğru,*
> *
> *
> *
> *
> *v1=(x1,y1,z1,t1),   v2=(x2,y2,z2,t2),  v3=(x3,y3,z3,t3) doğrusal bağımlı
> ise düzlem mi belirtir?*
> * *
> *
> *RASİM ZENCİR

>
> EVRENİN MEYVASI BEYİN,
> BEYNİN MEYVASIDIR
> MATEMATİK.
>

> 30 Haziran 2012 16:15 tarihinde Muharrem Şahin <muharre...@gmail.com> yazdı:

[Muharrem Şahin]

Barış Hocam;

3'ten fazla boyutlu uzayların geometrik

karşılığı olmadığını zaten söylüyorsun.

O zaman; R^4 'teki doğru ve düzlem kavramlarının

bildiğimiz geometrik karşılıkları olmaz tabi.

Ama; teorik olarak, R^4 ün bir boyutlu alt uzayı bir doğru;

iki boyutlu bir alt uzayı bir düzlem olarak tanımlanabilir.

Bunu, bildiğimden değil; akıl yürüterek söylüyorum.

Bilen bir arkadaşımız doğrusunu söyler.

Sevgiler. 

[Barış Demir]

Muharrem hocam,
ben de ayni seyi savunuyorum zaten. Sadece bu derece derine dalmadan
once kavramlari o boyutlarda netlestirmek gerekir diye dusundum.
http://www.math.duke.edu/~wka/math103/lines.pdf
bu linki incelemenizi tavsiye ederim. Cok guzel tanimlanmis..

[Muharrem Şahin]

Laf aramızda; ben de bilmeden doğru tanımlamışım.:)))

[Alaattin ŞEKER]

Boyutlar neye göre tanımlanır sayın hocalarım?

[Muharrem Şahin]

Barış Hocam;

Başından beri hiç derine dalmadan gidiyorum.

Derinini bilmem zaten.

İstesem de dalamam.:)

[Muharrem Şahin]

Bir uzayı üreten lineer bağımsız vektör sayısına

o uzayın boyutu denir.

(x1, x2, x3, x4)  dört boyutlu uzayın bir noktasıdır.

{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}  kümesi 

bu uzayın bir tabanıdır.

Dikkat edilirse; 4 tane doğrusal bağımsız vektörden oluşur. 

[Alaattin ŞEKER]

Tanımlanış şeklinden daha çok ( yani vektörel veya matematiksel tanımından daha çok )

somutlaştırılabilir mi bu boyut kavramı. 4.boyut zaman boyutu mudur ?

Ne zaman ve hangi durumlarda 4.boyuttan bahsetmeye başlarız.

Eistein ışık hızına ulaşan bir nesne için zaman kavramının yani başlangıç noktasının değiştiği tarzındaki ifadeleri nedemektir ?

Geometrik tanımların ifade gücünü kavrayamamızdaki nedenler göçrsel olarak ifade etmenin güçlüğünden mi kaynaklanıyor.

Belki bilgisi olan arkadaşlarımız varsa veya çağrışım yaptırcak güzel düşünceleri ve bilgileri olan varsa öğrenmek isterim.

[Muharrem Şahin]

Alaattin Hocam;

O dediklerin, işin felsefe boyutu.

Bizim söz konusu ettiğimiz ise

matematiksel yapılar.

[Alaattin ŞEKER]

http://www.youtube.com/watch?v=tu05W8OhjyA&feature=relmfu

seyremenizi öneririm güzelmiş 4.boyutu anlatıyor.2.bölümü bu linkte burdan itibaren seyrebilirsiniz.

[Alaattin ŞEKER]

 

http://www.youtube.com/watch?v=m6OCJJi2P2M&feature=relmfu

buda devamı güzelmiş. 

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

Muharrem hocam artık teşekkür etme zamanı geldi.

tüm zahmetleriniz için teşekkür ederim. herşeyden önce bir daha bahsetmek istiyorum. ilk mailinizdeki bilgiler gerçekten konun can damarı. tekrar tekrar gözden geçirilmesi gerekir.

 

ben son olarak kısa bir özet geçmek istedim tabi kendimce...

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

30 Haziran 2012 20:36 tarihinde Alaattin ŞEKER <03mat...@gmail.com> yazdı:

 

http://www.youtube.com/watch?v=m6OCJJi2P2M&feature=relmfu

buda devamı güzelmiş. 

--

[Muharrem Şahin]

:)))))

Bu aldığım teşekkürlerin en değerlisi oldu.

Gerçekten çok çabaladım almak için.:))

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

:)

eminim yararlanan sadece ben olmamışımdır.

özetde bir hata var mı?

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

30 Haziran 2012 23:20 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

:)))))

Bu aldığım teşekkürlerin en değerlisi oldu.

Gerçekten çok çabaladım almak için.:))

[Muharrem Şahin]

Yazdıklarında bir hata göremedim.

Sadece "özet" adı uymamış denebilir.

Sen önemli gördüğün kısımları almışsın.:)

Sevgili Rasim Hocam;

Sen konuya, öğrenen bir öğrenci gibi girdiğin için,

ben de kolayca öğretmen havalarına girdim.

Senin zengin gönlünle beni bağışlayacağına güveniyorum.

Bir hususu da tekrar belirteyim:

Konuya yeni giren biri olmana rağmen,

daha önce birlikte geliştirdiğimiz "uzayda vektör"

sorularına yaklaşımların harika idi.

Ben de çaktırmamaya çalışıyorum ama;

senden çok şey öğreniyorum.

El ele yürümeye devam; o zaman.:)

Sevgiler, saygılar.   

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

ben bliyorum beni anlıyorsun, çünkü ben de seni anlıyorum.

gönüllerimiz bir, gerisi hoş.   :) 

öğrenciliik olmazsa, öğretmenlikte olmuyor. 

so that don't important for me.  :)

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

1 Temmuz 2012 00:02 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--

[Muharrem Şahin]

"doesn't" olacaktı.:)))))))

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

:)

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

1 Temmuz 2012 00:25 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

"doesn't" olacaktı.:)))))))

[serhat yaman(öğrenen öğretmen)]

Tüm hocalarıma teşekkürler.

Muharrem Hocam o kadar bilgide bende yarım yamalak ingilizcemle o "don't" a takılmıştım ki ilk eleştiri sizden gelmiş. Saygılar Rasim Hocam.:)

1 Temmuz 2012 00:35 tarihinde RASİM.ZENCİR-DENİZLİ <rsm...@gmail.com> yazdı:

[RASİM.ZENCİR-DENİZLİ]

öğrencilik yıllarımızda çok kullandığımız bir cümle idi. aradan yıllar geçince unutulmuş. doğrusunu duyunca hatırlıyor insan.

RASİM ZENCİR

EVRENİN MEYVASI BEYİN,
BEYNİN MEYVASIDIR
MATEMATİK.

1 Temmuz 2012 03:02 tarihinde serhat yaman(öğrenen öğretmen) <sne...@gmail.com> yazdı:

[özgür terzi]

Hocam verdiğiniz bilgiler için çok teşekkürler.tesadüfen buldum,bu gurubu.google anahtar kelimeyi yazınca çıktı.Çok değerli Muharrem Hocam ,bu konuya çalışıyorum.Germe ,baz taban vs anlamaya çalışıyorum.Bir sorum var.Bu soruda sanki R^2  yi geren sanki sadece A şıkkı gibi.şıkları tek tek açıklamanız mümkün mü yardımcı olursanız çok sevinirim.

29 Haziran 2012 Cuma 15:01:44 UTC+3 tarihinde Muharrem Şahin yazdı:

Bir vektör uzayını germe üzerine sorulara verebildiğim cevaplarım:

"Germe" sözcüğü, İngilizce "span" sözcüğünün

karşılığı olarak getirilmiştir.

"Span" Türkçede isim olarak "karış", fiil olarak "karışlama"

anlamlarına gelir.

I.

v = k.v1

eşitliğinde, k reel sayısına sonsuz değişik değer verilerek,

v1 doğrultusundaki sayı doğrusunun her noktası elde edilebilir.

Bu sayı doğrusunun noktalarına karşılık gelen vektörlerin kümesi,

(Bir boyutlu vektör uzayı) bu v1 vektörü ile elde edilmiş olur.

- bu bir boyutlu uzay v1 vektörü ile üretilmiş olur.

- bu bir boyutlu uzayın her noktası  v1 "karış"ı ile "karışlanmış" olur.

- v1 vektörü ile bu bir boyutlu uzayın her noktası taranmış olur.

- v1 vektörü bu bir boyutlu uzayı germiş olur.

- v1 vektörü bu bir boyutlu uzayın bir "taban"ıdır. Bir "baz"ıdır.

II.

v1 ve v2 vektörleri doğrusal bağımlı olsunlar.

Örneğin; v1 = (1,2) ve v2 = (2,4) olsun.

v2 = 2.v1 olup vektörler doğrusal bağımlıdır.

Bu durumda "k.v1" ve  "k.v2" uzayları aynı uzay olurlar.

"v1" ve "v2" vektörleri ayrı ayrı bu bir boyutlu uzayın birer

tabanı (birer bazı) olurlar.

Aynı bir boyutlu uzay, "k1.v1 + k2.v2" toplamında k1 ve k2 'ye

sınırsız sayıda değer verilerek de elde edilebilir.

Bu durumda da {v1,v2} kümesi aynı bir boyutlu uzayı "germiş"

ya da "üretmiş" olur. Ama; bu kümeye 

- gereksiz eleman bulundurduğu için olacak -  "taban" denmez.

{v1}, {v2}, {v1,v2} kümelerinden {v1} ve {v2} birer taban;

 {v1,v2} ise sadece "üreteç"tir.

III.

  

v1 = (x1,y1) ve v2 = (x2,y2) vektörleri doğrusal bağımsız ise

-yani 1. dereceden bir denklemle aralarında bir bağıntı kurulamıyorsa-

R^2 nin her noktasını,  v = k1.v1 + k2.v2  eşitliğindeki k1 ve k2

kat sayılarına uygun değerler vererek elde edebiliriz.

Bu durumda, R^2 nin elemanlarından kurulu {v1, v2, v3} gibi,

ikiden fazla elemanlı her kümenin doğrusal bağımlı olacağı açıktır.

IV.

v1 = (x1,y1,z1) ve v2 = (x2,y2,z2) vektörleri doğrusal bağımsız ise 

tüm "k1.v1 + k2.v2" vektörlerinin kümesi, yine 2 boyutlu bir uzaydır.

{v1,v2} kümesi yine 2 boyutlu bir uzayı gerer.

Bu 2 boyutlu uzay R^2 değil, R^3 'ün bir alt uzayıdır.

Yani; 3 boyutlu uzaydaki konumu bilinen bir düzlemdir.

Bu durumda, {v1,v2,v3} kümesi doğrusal bağımlı da olabilir, bağımsız da.

Genel olarak; n boyutlu uzayın vektörlerinden oluşan n+1 elemanlı

bir küme kesinlikle doğrusal bağımlı olur.

V. 

1. v = (4) vektörü bir boyutlu uzayın sıfırdan farklı bir vektörüdür.

-Bu vektör, 1 boyutlu uzayın bir tabanıdır.

- (4) vektörü, içinde bulunduğu uzayı gerer. 

2. v = (1,2) vektörü iki boyutlu uzayın bir vektörüdür.

Tüm "k.v" vektörlerinin kümesi R^2 nin bir alt uzayı olan

1 boyutlu bir uzayı gerer.

{(1,2)} kümesi, içinde bulunduğunu bildiğimiz uzayı germez.

Şöyle söyleyelim:

v = (1,2) vektörü, içinde bulunduğu 2 boyutlu uzayı germez;

bunun bir alt uzayını gerer.

3.  v1 = (1,3) ve v2= (2,-1) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin

içinde bulunduğu uzayı gerer.  (v1 ve v2 doğrusal bağımsız olduğu için)

4.  v1 = (1,3) ve v2 = (2,6) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin içinde bulunduğu

iki boyutlu uzayı germez. R^2 nin bir alt uzayını gerer.

5.  v1 = (1,0,-2) ve v2 = (-2,0,4) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin içinde

bulunduğu 3 boyutlu uzayı germez. R^3 ün 1 boyutlu bir alt uzayını gerer.

6.  v1 = (1,0,-2) ve v2 = (2,3,1) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin içinde

bulunduğu R^3 uzayını germez. R^3 ün 2 boyutlu bir alt uzayını gerer.

7.  v1 = (1,2,3),  v2 = (2,-1,0),  v3 = (0, -2, 1),  v4 = (-1,3,-2) olmak üzere

{v1,v2,v3} kümesi R^3 uzayını gerer.

{v1,v2,v3,v4} kümesi R^3 uzayını gerer. 

Önceki açıklamalarım da yararlı olabilir:

1. R^2 nin bir bazı olarak e1 = (1,0) ve e2 = (0,1) vektörleri alınabileceği gibi;

    v1 = (2,4) ve v2 = (-1,1) vektörleri de alınabilir. 

   Herhangi bir (x,y) noktasını x.e1 + y.e2 toplamı ile gösterebileceğimiz gibi;

   a.v1 + b.v2 toplamı ile de elde edebiliriz.

2. Koordinat eksenleri dik olmak zorunda değildir.

    Örneğin; doğrusal bağımsız vektörlerden,

    v1 = (2,4)'ü taşıyan doğru x ekseni,

    v2 = (-1.1)'i taşıyan doğru y ekseni olarak alınabilir.

    Böyle bir koordinat sisteminde her bir (x,y) noktası

    x.v1 + y.v2 toplam vektörünün gösterdiği bir vektöre

    karşılık gelir.

3.  (2,4) = k.(1,2) eşitliğini sağlayan bir k değeri var 

    olduğundan (2,4) ve (1,2) vektörleri lineer bağımlıdır.

    (2,4) = k.(3,1) eşitliğini sağlayan bir k değeri  

    bulunmadığından (2,4) ve (3,1) vektörleri lineer bağımsızdır.

    a.(2,4) + b.(3,1) = (-1,-7) eşitliğini sağlayan a ve b değerleri

    bulunabileceğinden (2,4), (3,1), (-1,-7) vektörleri lineer bağımlıdır.

4. R^2 uzayının her (x,y) noktası 

   (x,y) = a.(2,4) + b.(3,1) toplamı ile elde edilebileceği gibi,

   (x,y) = c.(2,4) + d.(3,1) + e.(-1,-7) toplamı ile de elde edilebilir.

   (2,4), (3,1) vektörleri R^2'yi gererler. Bunlar lineer bağımsız 

   olduğundan bir baz oluştururlar.

   (2,4), (3,1), (-1,-7) vektörleri de R^2 uzayını gererler. Ancak;

   bunlar lineer bağımlı olduklarından bir baz oluşturmazlar.

   Bunlara "üreteç" denir. "Baz" denmez.

Benim açıklamayı unuttuğum bir husus var ise hatırlatınız.

[Muharrem Şahin]

Özgür Hocam;

Bir kümenin R^2 uzayını germesi için

kümenin 

lineer bağımsız 2 vektörünün bulunması gerekir.

Lineer bağımsız 2 vektörle

R^2 uzayının tüm (x,y) ikilileri yazılabilir.

(a) seçeneğindeki 2 vektör lineer bağımsızdır.

Bu küme, R^2 yi gerer. 

Bu küme R^2 nin bir tabanıdır.

(b) seçeneğindeki 3 vektör lineer bağımlıdır.

Ancak; bu vektörler ikişer ikişer lineer bağımsızdır.

Bu küme de R^2 yi gerer.

R^2 nin her vektörü bu 3 vektörün 

uygun sayılarla çarpılıp toplanmasıyla elde edilebilir.

Ancak; buradaki vektörler R^2 nin bir tabanı değil 

sadece bir üretecidir.

...

Bu yaklaşımlarla

(a) ve (b) de verilen kümeler R^2 yi gererler.

(c), (d), (e) R^2 yi germez.

Yazıdaki ayrıntılı açıklamaları yeniden inceleyin.

Anlaşılmayan yerler üzerinde yazışırız.

 

29 Mart 2015 20:40 tarihinde özgür terzi <ozgurs...@gmail.com> yazdı:

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/f69fc52d-e15d-44a1-8741-df2c5315e330%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

--

.