TMOZ'dan TMOZ'a - 4 (Türev)

[Muharrem Şahin]

Kapalı fonksiyonların türevleri ile ilgili

olarak sorulan aşağıdaki türden soruların

en etkili çözüm yollarını, birlikte ortaya

koyabilmek;

verilen bağıntıların niteliğini tam olarak

anlayabilmek için konuyu son kez

gündeme getiriyorum.

İlgilenen arkadaşlarımın aşağıdaki 

sorulara çözümleri ile başlayalım:

1. R'de tanımlı, türevlenebilir bir f fonksiyonu

    her x, y reel sayısı için,

    f(x+y) - f(x) = y^2 + 3y + 2xy

    bağıntısını sağladığına göre f '(2) kaçtır?

2. R'de tanımlı, türevlenebilir bir f fonksiyonu

    her x, y reel sayısı için,

    f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy

    bağıntısını sağlamaktadır.

    f '(0) = 5 olduğuna göre f '(1) kaçtır?  

3. f : R^(+) --->R'ye tanımlı, türevlenebilir bir f fonksiyonu

    tanım kümesindeki her x, y reel sayısı için,

    f(x).f(y) = [f(x) + f(y)].f(x+y)

    bağıntısını sağlamaktadır.

    f '(1) = -1 olduğuna göre f '(4) kaçtır?  

 

[Muharrem Şahin]

Verdiğim bağıntılardaki fonksiyonların

kurallarını bulmak pek zor olmaz.

Ama; fonksiyonun kuralı bulunmadan

çözümleri arıyoruz.

Çözümlerde aşağıdaki bilginin

değerlendirilmesi işleri kolaylaştıracaktır:

f fonksiyonları R'den R'ye , z = f(t) 

biçiminde bir değişkenli bir fonksiyonlardır. 

Verilen bağıntılar, f fonksiyonun tanım kümelerindeki

x, y ve x+y elemanlarının görüntüleri arasındaki

ilişkileri belirtmektedir.

Bu ilişkiler her x ve y değeri için var olduğundan

bağıntıdaki x ya da y'den biri sabit, diğeri

değişken olarak alınabilir.

x sabit tutulduğunda iki tarafın y'ye göre türevleri arasında ve

y sabit tutulduğunda iki tarafın x'e göre türevleri arasında

eşitlik korunacaktır.

[Muharrem Şahin]

1. R'de tanımlı, türevlenebilir bir f fonksiyonu

    her x, y reel sayısı için,

    f(x+y) - f(x) = y^2 + 3y + 2xy

    bağıntısını sağladığına göre f '(2) kaçtır?

Çözüm

y'ye göre türev alalım:

f '(x+y) = 2y + 3 + 2x

Bu eşitlik her x, y reel sayısı için geçerlidir.

x ve y yerine, x + y = 2 olacak biçimde 

istenilen her reel sayı değeri konulabilir.

Biz, x = 2 ve y = 0 koyalım.

f '(2) = 7 bulunur.   

[Muharrem Şahin]

2. R'de tanımlı, türevlenebilir bir f fonksiyonu

    her x, y reel sayısı için,

    f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy

    bağıntısını sağlamaktadır.

    f '(0) = 5 olduğuna göre f '(1) kaçtır?  

Çözüm

x'e göre türev alalım:

f '(x+y) = f '(x) + 2y.

x = 0 ve y = 1 koyalım.

f '(1) = f '(0) + 2  ve f '(0) = 5 ise

f '(1) = 7 bulunur.

[Muharrem Şahin]

İlgilenecek olanların keyfini kaçırmamak için

3. sorunun çözümünü erteliyorum.

Olanaklarımızın farkına varabilmemiz için

aşağıdaki soruyu ve çözümünü ekliyorum:

4. R'de tanımlı, türevlenebilir bir f fonksiyonu

    her x, y reel sayısı için,

    f(x+y) - f(x) = y^2 + 3y + 2xy

    bağıntısını sağlamaktadır.

    f(0) = 2 olduğuna göre y = f(x) kuralını bulunuz.

Çözüm

y'ye göre türev alalım:

Türevi, eşitliğin solundaki 2. terimi ortadan kaldırarak

bir tek türev ifadesi elde etmek için, y'ye göre alıyoruz.

"Türevi y'ye göre alıyoruz." demekle,

"y'yi fonksiyonun serbest değişkeni, x'i de bir sabit sayıyoruz."

demiş oluyoruz.

f '(x+y) = 2y + 3 + 2x

y = 0 koyalım.

f '(x) = 2x + 3  ise

f(x) = x^2 + 3x + k ve f(0) = 2 olup

f(x) = x^2 + 3x + 2 bulunur.

Uyarı

Hatasız verilmiş bağıntılarda,

yukarıdaki çözümlerde yaptığımız türden

işlemleri özgürce yapabiliriz.

Ama; bağıntı hatalı verilmişse,

çözüme ulaşmak için yapacağımız

farklı işlemler, farklı çözümler getirebilir.

[Muharrem Şahin]

5. R'de tanımlı, türevlenebilir bir f fonksiyonu

    her x, y reel sayısı için,

    f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy

    bağıntısını sağlamaktadır.

    f '(0) = 3  olduğuna göre y = f(x) kuralını bulunuz.  

Çözüm

x = y = 0 koyalım:

f(0) = 2.f(0) ise 

f(0) = 0 bulunur.

x'e göre türev alalım:

f '(x+y) = f '(x) + 2y,

x = 0 ve y = x koyalım:

f '(x) = f '(0) + 2x ve f '(0) = 3 olup

f '(x) = 2x + 3 ve 

f(x) = x^2 + 3x + k bulunur.

f(0) = 0 olduğundan

f(x) = x^2 + 3x olur.

Not : İlgili arkadaşlarım 3. soru ile oynarken

        ben biraz dinleneyim.

        Daha sonra; hatalı düzenlenmiş ve

        TMOZ'da çözülmüş bazı sorulara değineceğim.

[celal işbilir]

Muharrem hocam keşke geometri kadar matematiğede aynı hazzı duyabilsem,

çok hoş çalışmalar inşallah vakit bulup öğrenecem, başka yolu yok.

 

 

24 Şubat 2012 11:24 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
 
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
 
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
 
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf

--

www.ekstrem.com.tr
www.celalisbilir.com
'' Şah Hatayim muhabbete bakarım, ben doluyum ben dolana akarım, güzel pirim bir dert vermiş çekerim bir derdim var bin dermana değişmem ''

[Muharrem Şahin]

Sevgili Celal Hocam;

İlgilenmediğini söylemenle birlikte,

yine de ilgilendiğini gördüğüm için sevindim.:))

Yoksa; kendi kendime yazıp durduğumu zannedecektim.

Sevgiler.

[eylem (talebe)]

3. soru icin once soruyu birazcik tokatlayalim da su hale gelsin
1/f(x+y)=1/f(x)+1/f(y)
sonra y=1 icin degerler vermeye baslayalim, ta f(4) u bulana kadar.
1/f(2)=1/f(1)+1/f(1)
1/f(3)=1/f(2)+1/f(1)
1/f(4)=1/f(3)+1/f(1)
simdi su esitligi elde edelim
1/f(4)=4/f(1)

Simdi sira geldi tureve, iki tarafin x e gore turevini alirsak
-f'(x+y)/f^2(x+y)=-f'(x)/f^2(x)
simdi yine y=1 icin degerler verelim ta f'(4) u bulana kadar.
...
Falan felan
...
f'(4)/f^(4)=f'(1)/f^2(1)
buradan
f'(4)=f'(1)*f^2(4)/f^2(1)
f'(4)=-1 * 1/16
f'(4)=-1/16
bulunur, da niye bu kadar ugrastik anlamadim:))))
f(x)=1/x desek bitecekti zaten:))))

[Muharrem Şahin]

Eylem Hocam;

Hem kendi enerjinizi katarak,

hem de bizim enerjimizi dönüştürerek

üretim düzeyimizi hem nicelik hem de

nitelik olarak yükselttiğiniz apaçık görülüyor.

Bunlar, nezaket sözleri değil.

Her şey kayıtlı.

Her şey gözler önünde.

Görebilenler görüyor.

Fonksiyonların sağladığı, verdiğim türden

bağıntıların, öğrencilerin zihnindeki fonksiyon,

serbest değişken, tanım kümesi kavramlarına

önemli katkılar yapabileceğini gördüğüm için

konunun üzerine gidiyorum.

Bir de, 2007'de sorulmuş olan türev sorusunun

benzerleri oluşturulurken hatalar yapılmış.

Sorulan sorularla ilgili çok sayıda potansiyel

yaklaşım söz konusu olabilecek iken, çözümler 

soruyu hazırlayanın niyetine göre biçimlendirilmiş.

Bunların da tam aydınlanmasını istiyorum.

Bu irdelemelerden sonra hepimizin bu konuda

daha rahat olacağını düşünüyorum.

Sevgiler, saygılar.

 

[Muharrem Şahin]

Fonksiyonun kuralına dayanarak

çözüm üretilmemesini,

fonksiyonun kuralının istenirse

iyice gizlenebileceğini düşünerek önermiştim.

O yönde dikkatimizi yoğunlaştırırsak,

bağıntının getirdiği olanakları

yeterince değerlendiremeyeceğimizi düşünmüştüm.

3. f : R^(+) --->R'ye tanımlı, türevlenebilir bir f fonksiyonu

    tanım kümesindeki her x, y reel sayısı için,

    f(x).f(y) = [f(x) + f(y)].f(x+y)

    bağıntısını sağlamaktadır.

    f '(1) = -1 olduğuna göre f '(4) kaçtır?  

Çözüm

y = x koyalım:

f(x).f(x) = 2.f(x).f(2x) olup

f(x) = 2.f(2x) ya da f(x) = 0 olur.

f '(1) = -1 verildiğinden, f(x) = 0 olmaz.

f(x) = 2.f(2x) ise, x'e göre türev alınarak

f '(x) = 4.f '(2x) bulunur.

f '(1) = 4.f '(2),

f '(2) = 4.f '(4) olup

f '(4) = -1/16  bulunur.

[eylem (talebe)]

Sayin Muharrem Hocam, daha birkac gundur buralardayim:) ancak ne kadar
istiyakli oldugunuzu simdiden gorebiliyorum. Konu Osym nin yaptigi
hatalara gelmisken birkac soz soylemek istiyorum. Ne dersiniz, su
zamana kadar Oss veya Oys ya da Uss de sorulan sorulari inceleyip,
hatali olanlarla alakali bir calisma yapsak nasil olur. Benim su an
bildigim birkac tane var hal-i hazirda. Boyle bir calisma faydali olur
mu sizce?

[s.metincan]

Teşekkürler Muharrem Hocam....

[Muharrem Şahin]

Eylem Hocam;

Hatalı sorular konusunda pek geç kalmış sayılmayız.

O soruları, daha ortaya çıkar çıkmaz parçalıyoruz.:))

Belki çok önceleri ortaya koyduklarımız, genç

arkadaşlarımızın gözlerinden  kaçmış olabilir.

Onlar da zaman zaman soruluyor.

2007'deki soruya gelince;

Ben onu hatalı bulmuyorum; ona benzetilerek

üretilen çok sayıda hatalı soru var diyorum.

Bir de; TMOZ'da örgütlü üretimlerin olamayacağını,

yaz aylarında anlamıştım.

Burası gönüllü ortamı.

Gönüllü olmanın getirdiği özgürlük havası içinde

üretim yükselebiliyor.

Gönüllülüğü zorunluluğa dönüştürürsek umduğumuzu bulamayız.

Bu ortamla iletişimi çok seviyorum.

Dışarıdan; sanki hep veriyor muşum gibi gözükebilir.

Ama; gerçekte verdiğimin kat kat fazlasını alıyorum.

Verdiğim sanılanlar da çoğu zaman burada filizleniyor.

"Alıp alıp ne yapıyorsunuz?" diyebilirsiniz.

Benim asıl "iştiyak"ım, matematik kitapları yazma üzerine.

Bu konuda TMOZ sayesinde içim kıpır kıpır.

Yapılacak öyle tatlı işlerim, gerçekleştirecek öyle güzel

planlarım var ki.

Her şey hazır.

Sadece zaman gerekli.

Allahtan ömür diliyorum; gerçekleştirmek için.

Bu ortamda sık görünmemin nedeni, hep evde

masa başında olmam.

Önceleri ders verirdim.

Uzun hastane yıllarında koptum.

Şimdi; sadece yazıyorum.

Başınızı fazla ağrıttım.

Dokunduğunuza pişman olmuşsunuzdur. 

Sevgiler, saygılar. 

24 Şubat 2012 20:12 tarihinde eylem (talebe) <gerc...@gmail.com> yazdı:

[Muharrem Şahin]

Sevgili Seyfettin Hocam;

Benim az ve öz konuşan dostum.

Yazdıklarımı, üzerinde zaman harcamaya

değer bulman hem mutluluğumu hem

enerjimi arttırdı.

Çok teşekkürler.

Sevgiler.

[Muharrem Şahin]

Daha önce, hocalarımızın çok güzel çözümlerini

yaptığı bir soruyu veriyorum:

6. Reel sayılarda tanımlı bir f fonksiyonu,

    her x, y reel sayısı için

    (x-y).f(x+y) = x.f(y) - y.f(x)

    bağıntısını sağlamaktadır.

    x.f ''(x) ifadesini f '(x) türünden yazınız.

[eylem (talebe)]

Muharrem Hocam, bu soruda f(x) sabit fonksiyon olmak zorunda midir?

[Muharrem Şahin]

Evet Eylem Hocam.

En azından; ben öyle gördüm. 

[eylem (talebe)]

Ona ugrasiyorum deminden beri, sabit fonksiyon olmama durumu olabilir
mi diye

[Muharrem Şahin]

Verilen bağıntı, önerdiğim biçimde

ele alınınca ispatı kolay oluyor.

Tabi; günlerdir aklımın bir köşesinde durduğu için,

bana kolay gelebilir.

Demek istediğim; bu türden sorulara yapılan 

çözümler, genellikle 2007'deki sorunun 

çözümüne benzetilmiş.

Bir kısım arkadaşlarım soru tipini görünce,

hemen türevin tanımını kullanmayı düşünüyor.

Halbuki; verilen bağıntının olanakları değerlendirilse

çok daha kolay çözümler gelebiliyor.

x ve y ile özgürce oynayabileceğimiz düşünülmeli. 

Not : TMOZ'dan TMOZ'a -3'te Hüseyin Dağhan

        Hocamın, x ve y ile oynama üzerine güzel 

        bir akıl yürütmesini görmüştüm. 

        Onu vereyim:

(x-y)f(x+y) kısmına takıldım...

(1) xf(x)+yf(y)=(x-y)f(x+y)   verilmiş
x yerine y , y yerine x yazalım
(2) yf(y)+xf(x)=(y-x)f(y+x)   elde ederiz.
(1) ve (2) den (x-y)f(x+y)=(y-x)f(y+x) elde ederiz.
Her x ve y için denildiğinden x ile y nin farklı olduğu durumlarda f(x+y)= - f(x+y) çıkar.
Bu durum f(x+y)=0 yani f(x)=0 anlamına gelir.
Sanırım soru 
xf(x)+yf(y)=(x+y)f(x+y)  biçiminde sorulmalıymış.

[Muharrem Şahin]

Bu da TMOZ'dan bir sorunun rötuşlusu:

7. Gerçek sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları

    her x ve y reel sayısı için,

    f( x+g(y) ) = 2x+y+8

    bağıntısını sağlamaktadır.

    Buna göre; 

     a. g( x+f(y) ) ifadesini x ve y türünden yazınız.

     b. f(1) = 3 ise g'(1) değerini bulunuz.

[Barış Demir]

Muharrem hocam,
yoğunluktan takip etmekle yetiniyorum. Zihnine sağlık..

[Muharrem Şahin]

Barış Hocama sevgilerimi göndererek başlayayım.

6. Reel sayılarda tanımlı bir f fonksiyonu,

    her x, y reel sayısı için

    (x-y).f(x+y) = x.f(y) - y.f(x)

    bağıntısını sağlamaktadır.

    x.f ''(x) ifadesini f '(x) türünden yazınız.

Çözüm

(x-y).f(x+y) = x.f(y) - y.f(x) eşitliği 

y = 0 için de sağlanacaktır.

y = 0 koyalım:

x.f(x) = x.f(0) ise

f(x) = f(0) ise

f '(x) = 0  ise

f ''(x) = 0 bulunur.

Her k reel sayısı için

x.f ''(x) = k.f '(x) yazılabilir.

Not 

Soru hatalı değil.

Ancak; istenen, soruyu hazırlayanın zihninde

belirli bir yolun yattığını gösteriyor.

Bu; soruyu çözeni de etkiliyor.

[Muharrem Şahin]

7. Gerçek sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları

    her x ve y reel sayısı için,

    f( x+g(y) ) = 2x+y+8

    bağıntısını sağlamaktadır.

    Buna göre; 

     a. g( x+f(y) ) ifadesini x ve y türünden yazınız.

     b. f(1) = 3 ise g(1) değerini bulunuz.

Çözüm

a.  f( x+g(y) ) = 2x+y+8   (1)   

     İki tarafın x'e göre türevini alalım:

     f '( x+g(y) ) = 2  olur.

     x+g(y) = t  dersek,

    f '(t) = 2 ise

    f(t) = 2t + k  bulunur.  (2)

    t = x+g(y) koyarsak,

    f( x+g(y) ) = 2( x+g(y) + k ise

    f( x+g(y) ) = 2x+ 2g(y)+k olur.  (3)  

    (1) ve (3)'ten,

    g(y) = 1/2.y + 4 - k/2

    ve y yerine x + f(y) koyarsak,

    g( x+f(y) ) = 1/2.(x+2y+k) + 4 - k/2 ise

    g( x+f(y) ) = 1/2.x + y + 4  bulunur.

       

b.  f(t) = 2t + k  olduğunu bulmuştuk.

    f(1) = 3 ise k = 1 olur.

    g(y) = 1/2.y + 4 - k/2 bulmuştuk.

    y = 1 ve k = 1 konursa,

    g(1) = 4  bulunur.

Not

b.de rötuş fazla kaçmış.:))

  g'(1) in bulunması için, f(1) in verilmesine gerek yokmuş.

  İsteneni sessizce g(1) e dönüştürdüm.

   

[ibrahim Kuscuoglu]

Eline sağlık  hocam.

geomania da da Alper Çay hocamızın başlattığı bir başlık var orda da çok faydalı bir çalışma yapılmış.

 

http://geomania.org/forum/index.php?topic=334.0

 

27 Şubat 2012 01:28 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

   

--

Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
 
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
 
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
 
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf

--
yakında hizmete girecek

www.idensu.com

[Muharrem Şahin]

Teşekkürler İbrahim Hocam;

Verdiğin bilgi için de.

Ancak; çok uğraşmama rağmen

o siteye kaydolamadım.

Alper Hocamızdan rica etsek de

çalışmalarını bizimle de paylaşsa.

[memet okur(Öğretmen)]

Muharrem Hocam zihninize sağlık bu tür sorularda biraz zorlanıyordum bu çalışma benim için iyi bir kaynak olacak teşekkür ederim tekrardan
--
mokur(öğretmen)

[Muharrem Şahin]

İbrahim Kuşçuoğlu Hocama,

benim "Geomania Org"la tanışmama vesile 

olduğu için çok teşekkür ediyorum.

Bu "Fonksiyonel denklem" konusu,

benim el yordamı ile ortaya koymaya 

çalıştığımdan daha derin bir konu imiş.

Buraya kadar, verdiğim soruların başına

"türevlenebilir." koşulunu koymakla,

olabilecek hataları önlemişim.

"Geomania Org" sayesinde, bundan sonra

olabilecek hatalar da önlenmiş oldu.

Bu konuda yardımcı olan Lokman Gökçe ve

Alper Çay Hocalarıma da teşekkür ediyorum.  

[Ali]

türevin limitli tanımından rahat çıkar bunlar.

23 02 2012 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazmış:
> Kapalı fonksiyonların türevleri ile ilgili
> olarak sorulan aşağıdaki türden soruların
> en etkili çözüm yollarını, birlikte ortaya
> koyabilmek;
> verilen bağıntıların niteliğini tam olarak
> anlayabilmek için konuyu son kez
> gündeme getiriyorum.
>
> İlgilenen arkadaşlarımın aşağıdaki
> sorulara çözümleri ile başlayalım:
>
> 1. R'de tanımlı, türevlenebilir bir f fonksiyonu
> her x, y reel sayısı için,
> f(x+y) - f(x) = y^2 + 3y + 2xy
> bağıntısını sağladığına göre f '(2) kaçtır?
>
> 2. R'de tanımlı, türevlenebilir bir f fonksiyonu
> her x, y reel sayısı için,
> f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy
> bağıntısını sağlamaktadır.
> f '(0) = 5 olduğuna göre f '(1) kaçtır?
>
> 3. f : R^(+) --->R'ye tanımlı, türevlenebilir bir f fonksiyonu
> tanım kümesindeki her x, y reel sayısı için,
> f(x).f(y) = [f(x) + f(y)].f(x+y)
> bağıntısını sağlamaktadır.
> f '(1) = -1 olduğuna göre f '(4) kaçtır?
>

[Temel Gökçe]

:)))

2 Mart 2012 23:30 tarihinde Ali <them...@gmail.com> yazdı:

--
Kemal Hasoğlu Lisesi
Bahçelievler İstanbul

HAYDAR DOOOST

[Muharrem Şahin]

Ali Hocam;

Öyle bir laf ediyorsunuz ki,

tüm emeklerim yerle bir oluyor.

Bu tür sorularda, bakış açısını genişletmeye çalışıyorum.

Bir sürü örnek üzerinde yaklaşımımın pratikliğini

göstermeye çalışıyorum; siz hiçbirini  incelemeden

bir biçimde zihninize yerleşmiş bir yaklaşımı

yusyuvarlak ortaya koyuyorsunuz.

Çözdüğüm soruları bir de türevin limit tanımı ile

çözüp karşılaştırmak üzere sunsanız içim yanmayacak.

Lütfen, siz de inceleyin de sonra karar verin.

Bunları size karşıt olmak için değil, 

arkadaşlarımızın kafasının karışmaması için yazıyorum.

[erdal karaburun (Öğretmen)]

Ali Hocamında çözmleri gruba gerçekten değerli katkılar sağlayacaktır ama sizin emeğimin boşa gidecek kaygısı sizi tanıyıp sizden nasiplenen bizler için okumadığımız bir cmle olarak kalacaktır...

2 Mart 2012 23:57 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
 
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
 
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
 
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf

--
Milli varlığımızın temelini;milli şuurda ve milli birlikte görmekteyiz.
Mustafa Kemal ATATÜRK

[Muharrem Şahin]

Erdal Hocam;

Bu tür soruları, türevin limit tanımı ile

çok güzel çözmüş olan, senin yaklaşımın

çok değerli.

Arkadaşlarımıza bir kere daha yardımcı

olduğunu düşünüyorum.

Sevgiler.

[erdal karaburun (Öğretmen)]

ekonomide havuz çok önemlidir,değerlerin kullanılması için.her birimiz damlıyoruz bıkmadan..inşallah birlikte bu ülke için bi şeyler yapmayı becerebiliriz..bu arada Şahımı özledim ya..:)

3 Mart 2012 00:19 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
 
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
 
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
 
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf

[Temel Gökçe]

:) Muharrem Hocam konu bütünlüğü bilinmediği için böyle yorumlar geliyor, bende onun için gülüp geçtim, TMOZ dan TMOZ a 4 bu, az değil birde ilk üçü var, ilk üçüne de bakmak lazım, ben bile bu aralar bu kadar uzakken TMOZ dan sizin sayenizde Fonksiyonel Denklem Sistemleriyle ilgili birçok şey öğrendim, ha bu arada sanırım bende yavaş yavaş Geomani bağımlısı olmaya başlıyorum Muharrem Hocam, uzun zamandır üyeydim ama bu konuyla beraber ordaki güzel ortam ve paylaşımlar daha çok ilgimi çekti, baktım ki birden başka konuların içine dalmışım, emekleriniz ve öğrettikleriniz için çok çok tşkler....

3 Mart 2012 00:27 tarihinde erdal karaburun (Öğretmen) <ekara...@gmail.com> yazdı:

--

[Muharrem Şahin]

Ali Hocam;

Masum bir yorumunuz için 

fazlaca yüklendiysem bağışlayın.

Bir başlığa yazarken, 

önceki paylaşımların dikkatlice okunması gerektiğini 

vurgulamak istemiştim.

Beni anlayacağınızı umuyorum.

Sevgiler, saygılar. 

[erdal karaburun (Öğretmen)]

4 Mart 2012 18:25 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
 
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
 
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
 
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf

[Muharrem Şahin]

Sevgili Erdal Hocam;

Paylaşımlarım üzerine verdiğin emek için çok teşekkür ederim.

Diğer başlıkta "periyot üzerine" yazımla ilgili düzenlemeni de gördüm.

Böyle çok kullanışlı olmuş.

Sevgiler. 

[Muharrem Şahin]

Fatih Kaya Hocam

ve diğer merak edenler için güncelliyorum.