uç noktalarda türev ve limit .tam anlamıyla açıklayandan allah razı olsun

[eray donmez]

[simonsen-55]

a) x=a da sagdan limit d dir,ancak f(a)=d olmadigindan surekli degildir,dogrudur

b) x=b de limit sifirdir ve bu noktada egriye teget çizilebildiginden turevlidir,dogrudur

c) x=c de soldan limit e dir ve f(c)=e oldugundan sureklidir,dogrudur

d) fonksiyonun tanimsiz olgugu noktada turevi olamayacagindan x=a da turevi de yoktur,dogrudur

e) f(c)=e oldugundan x=c de fonksiyon tanimlidir,ancak turevli degildir,yanlistir

[Muharrem Şahin]

Grafiği verilen f fonksiyonu

[a,b) aralığını kapsayan 

daha geniş bir aralıkta sürekli ve türevli ise

f: [a,b) ---> R; y = f(x) fonksiyonu

x = a da 

tanımlı,

sağdan limitli,

sağdan sürekli,

sağdan türevlidir.

Bu ifade,

"f: [a,b) ---> R; y = f(x) fonksiyonu

x = a da 

tanımlı,

limitli,

sürekli,

türevlidir."

ifadesi ile aynı anlamdadır.

f: [a,b) ---> R; y = f(x) fonksiyonu

x = b de 

tanımsız,

soldan limitli,

süreksizi,

türevsizdir.

...

Grafiği verilen f fonksiyonu

[a,b) aralığını kapsayan 

daha geniş bir aralıkta sürekli ve türevli ise

f: [a,b) ---> R; y = f(x) fonksiyonu

[a,b) aralığının her noktasında 

tanımlı,

limitli,

sürekli,

türevlidir."

...

Geçmişteki bir tartışmada yazdıklarımı kopyaladım:

Tanım kümesinin uçlarındaki durum

şöyle açıklanabilir:

Örneğin; f : (-2,4] ---> R,  f(x) = 2x 

fonksiyonunun, 

tanım kümesinin her noktasında limiti vardır.

f fonksiyonu tanım kümesinin her noktasında süreklidir.

Bu açıklamaya göre;

lim     (2x) = -4  tür.

x-->-2

Apaçıktır ki; bu noktada soldan limit yoktur.

Ama; -2'ye soldan yaklaşmak da söz konusu değildir.

Soldan yaklaşmak söz konusu olmadığında

sağdan limit "o noktaya yaklaşırkenki limit" sayılır.

Fonksiyon x = -2 apsisli noktada sürekli değildir.

Çünkü; o noktada tanımlı değildir.

lim     (2x) = 8  dir.

x-->4

f(4) = 8 olduğundan

x = 4 apsisli noktada f süreklidir.

x = 4 teki limit ve süreklilik de

soldan limit ve soldan sürekliliktir.

Ama; bunun sağı olmadığından,

x = 8 apsisli noktada f süreklidir, denir.

Böyle bir açıklama,

bir anadolu lisesi öğrencisine yapılabilir.

Yapılmalıdır da.

Böyle bir bilgi, öğrenciyi 

üniversiteye gittiğinde 

zor durumda bırakmaz.

Bu sorular soruluyor.

Herkes öğrencisinin durumuna göre sorar ya da sormaz.

Bizim yaptığımız,

sorulmuş bir soruya doğru cevap vermeye çalışmaktır.

...

Geçmişteki bir yazışmamızdan:

Tartıştığımız şu:

f: [a,b] ---> R

f fonksiyonunun 

a'da sağdan türevli,

b'de soldan türevli olduğu 

durumları biliyoruz.

f, aralığın diğer noktalarında da türevli olsun.

Bu durumda, f aralığın iç noktalarında sürekli,

uç noktalarında sağdan ya da soldan süreklidir. 

Bunlarda herkes hemfikir.

...

Şimdi bazı kaynaklar diyor ki:

"f: [a,b] ---> R

f fonksiyonu 

a'da sağdan türevli,

b'de soldan türevli,

ara noktalarda da türevli ise,

artık lafı uzatmayalım.

f fonksiyonu

[a,b] aralığında türevlidir diyelim.

f fonksiyonu

[a,b] aralığında süreklidir diyelim.

f fonksiyonunun

[a,b] aralığında her noktada limiti vardır diyelim."

Olay bu kadar basit.

Bu son yaklaşım da,

bana son derece mantıklı geliyor.

...

Bizdeki uygulamaya gelince;

MEB'in bu ikinci yaklaşımı benimsediğini

ben yine burada duymuştum.

Burada kulağıma gelen yanlış olabilir.

Bunu araştıralım.

Ama; iki farklı yaklaşımın olduğu

ve ikincisinin son derece sağlıklı olduğu açık.

Önceki yaklaşımla

şimdiki yaklaşım arasında

özde bir fark yok.

Sadece adlandırmaya takılıp kalınıyor. 

(Önceki tanıma uyanlar adlandırmaya takılıyor.)

"[a,b] aralığında türevli" diyen biri

a'daki türevin sağdan türev,

b'deki türevin soldan türev olduğunu biliyor.

...

Uç noktadaki teğete gelince;

Uç noktadan geçen her doğru

eğriye teğet değildir.

Bu uç sağ uç ise

bu uçtan geçen bir doğru

sol yandaki eğriye teğet ise

ona teğet denir.

...

Bu açıklamaya göre

[-5,7) aralığında tanımlı fonksiyonun

-5'te sağdan türevi var olduğundan,

bu fonksiyon x = -5 noktasında türevlidir. 

...

Bu konuda,

geçmişteki bir tartışmada yazdıklarımı kopyalıyorum.

Aynı düşüncedeyim.

...

Bu süreklilik kavramı ile ilgili aynı soruları

her birimiz, çok farklı yorumlayabiliyoruz.

"f:[0,1] U{3}---->R   

f(x)=x^2 fonksiyonu x=3 te sürekli midir?"

f(a) tanımlı ise,

limf(x) var ise  ve

x-->a

lim f(x) = f(a)

x-->a

ise, f fonksiyonu x = a değeri için süreklidir.

Bu tanıma göre;

verilen f fonksiyonu (0,1) aralığında süreklidir.

Aralığın uç noktalarındaki "sağdan sürekli olma",

"soldan sürekli olma" durumları da süreklilik aralığına katılır.

Buna göre; f fonksiyonu [0,1] aralığında süreklidir. 

x = 3 değerine sağdan ve soldan yaklaşma

söz konusu olmadığından, bu değer için süreksizdir. 

Siz soruyu çok doğru sormuşsunuz.

Sorularda genellikle şu hatalar yapılıyor:

y = f(x) kuralı verilip  (Tanım kümesi verilmeden)

"bu fonksiyonun süreksiz olduğu x değerlerini bulunuz" deniyor.

Böyle sorulmamalı.

"Kuralı y = f(x) olan f fonksiyonunun

(Örneğin) A kümesinde süreksiz olduğu

x değerlerini bulunuz"

Süreksizlik, belirli bir kümede sorulmalıdır.

Bu küme, tanım kümesini kapsayan bir küme de olabilir.

Sorduğunuz soru üzerinden devam edelim:

f fonksiyonu [0,3] aralığının (1,3) alt kümesinde 

tanımsızdır. Dolayısıyla; (1,3) aralığında süreksizdir.

Bu şöyle yorumlanabilir:

(1,3) aralığında var olan, süren bir fonksiyon yoktur.

Verilen f fonksiyonu [0,1]  aralığında sürekli

R-[0,1] kümesinin her noktasında süreksizdir.

  

Şunları da ekleyeyim:

Kuralı, f(x) = kökx olan f fonksiyonu 

en geniş tanım kümesinde süreklidir.

R'de, (-sonsuz,0) aralığında süreksizdir.

(Yok olduğu için süreksizdir.)

Kuralı, g(x) = kök(x^2 -4) olan g fonksiyonu

en geniş tanım kümesinde süreklidir.

R'de, (-2,2) aralığında süreksizdir.

Kuralı, h(x) = 1/x olan h fonksiyonu 

en geniş tanım kümesinde süreklidir.

R'de, x = 0 için süreksizdir.

...

24 Ocak 2016 16:32 tarihinde eray donmez <eraydon...@gmail.com> yazdı:

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAOLSgRBOuCp%3D%2BhNPfND7S-kzzhwztHZamr3Ei1jedMVNtgz7EQ%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

--

.

[Muharrem Şahin]

Yaptığım açıklamalara göre

E seçeneği de doğru olur.

x = c apsisli noktanın sağında

fonksiyon tanımlı olmadığına göre

bu noktadaki türev 

soldan türevdir ve vardır.

24 Ocak 2016 16:59 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--

.

[Muharrem Şahin]

Bir de;

yalnız grafiğe bakarak

fonksiyonun

x = b apsisli noktada türevli olduğunu söylemek risklidir.

Grafiğin türü hakkında bilgi verilerek

daha doğru bilgi edinilebilir.

24 Ocak 2016 17:07 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--

.

[eray donmez]

Çok teşekkür ederim

[eray donmez]

Çok teşekkür ederim

[Harun EŞKAR]

Muharrem Hoca haklı olarak

 ''Bir de;

yalnız grafiğe bakarak

fonksiyonun

x = b apsisli noktada türevli olduğunu söylemek risklidir.

Grafiğin türü hakkında bilgi verilerek

daha doğru bilgi edinilebilir.'' demiş. Maalesef geçen sene ösym bu hassasiyeti göstermedi yanlış bir soru sordu. Grafiğe bakıp bir noktanın köşe/sivri/teğet çizilemez olduğuna karar verilmesini bekledi. halbuki Muharrem Hoca'nın dediği gibi doğrusallık bilgisi verilmeliydi. merak edenler için 42. soru . http://dokuman.osym.gov.tr/pdfdokuman/2015/LYS/Sorular/2015_LYS1_MATEMATIK.pdf