elipsin doğruya en yakın noktası

[MUSTAFA ince]

[Ahmet Elmas]

3 Nisan 2012 23:08 tarihinde MUSTAFA ince <mehmetmu...@hotmail.com> yazdı:

--
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
 
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
 
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
 
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf

--
http://ahmetelmas.wordpress.com/
ahmetelmas-ahmetelmas.blogspot.com

ahmetelmas.blogspot.com
matematikdefteri.blogspot.com
http://ahmetelmas-geo-geo-antonio.blogspot.com/

Önemli olan birşeyleri nereden aldığın değil, nereye götürdüğündür.
                          Jean-Luc Godart

Sevmek yetmez, sevdirmek gerek !
Bilmek yetmez, öğretmek gerek ! !

[Rifat GÖRGÜN]

1 buldum ama uzun oldu sanki...
Bilmediklerimi ayağımın altına alsaydım başım göğe ererdi.(İmam-ı Azam)

3 Nisan 2012 23:11 tarihinde Ahmet Elmas <ahmetel...@gmail.com> yazdı:

[Rifat GÖRGÜN]

doğrunun elipse en yakın noktasından geçen doğru verilen doğruya paralel olan y=2x+n doğrusu olsun ..elips ile doğrunun teğetlik şartından k=6 olur..  elips denklemi düzenlenip 1. türevi alınıp doğrunun eğimine (2 ye) eşitlenirse arana noktanın koordinatları (5k,-8k) şeklinde bulunur.. bu nokta doğru denkleminde yazılarak k= -1/3  bulunur .. koordinatlar toplamı

-3k=1 olur..  hatam varsa kusura bakmayın.. saygılar..

Bilmediklerimi ayağımın altına alsaydım başım göğe ererdi.(İmam-ı Azam)

3 Nisan 2012 23:19 tarihinde Rifat GÖRGÜN <rgor...@gmail.com> yazdı:

[Mustafa İNCE]

y=2x+n ifadesini elipste yerine koyup delta =0 yapılınca n
bulunuyor.bulunan yeni doğru denklemi ile elips ortak çözülünce
çıkacak gibi duruyor fakat çok uzun bir yol.
delta = 0 yapınca da n nin 2 tane değeri çıkıyor.daha kısa nasıl
yapmalıyız.eşlenik köşegenle alakası mı var

[Mustafa İNCE]

şimdi n^2 36 çıkıyor neden +6 aldık.

[Muharrem Şahin]

n = -6 alınmalı.

Noktanın koordinatları toplamı da -1 olur.

[Mustafa İNCE]

eline sağlık hocam çok teşekkür ederim

[kansu yunus]

günaydın

4 Nisan 2012 09:33 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

n = -6 alınmalı.

Noktanın koordinatları toplamı da -1 olur.

--
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
 
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
 
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
 
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf

--
sadece değer bilenler için.

[Muharrem Şahin]

x^2 /5 + y^2 /16 = 1 elipsinin y = 2x - 8 doğrusuna 

en yakın noktasının koordinatlarını bulunuz. 

Çözüm

I. yol

Elipsin verilen doğruya en yakın noktası,

doğruya paralel teğetlerinden birinin değme noktasıdır.

Elipsin, doğruya paralel teğetlerinin eğimi,

y'nin x'e göre türevi olup 2'ye eşittir.

2x/5 + 2y.y'/16 = 0  ise y' = -16x /5y = 2  ise y = -8x/5.

Bu y değeri elips denkleminde yerine konursa

x1 = -5/3,  x2 = 5/3 ve y1 = 8/3,  y2 = -8/3 bulunur.

Grafikler göz önüne getirildiğinde,

(x2,y2) noktasının doğruya en yakın nokta olduğu görülür.

x2 + y2 = -1 olur.

II. yol 

Elipsin verilen doğruya en yakın noktası,

doğruya paralel olan köşegenin eşleniğinin

elipsi kestiği noktalardan biridir.

x^2 /a^2 + y^2 /b^2 = 1 elipsinin bir köşegeninin

eğimi m ise, bunun eşleniğinin eğimi

m' = -b^2 /(a^2 .m) dir.

Burada özel bir durum akıl karıştırabilir:

Elips denkleminde x^2 ile y^2 nin paydasındaki

sayılardan büyüğü, büyük yarı eksen uzunluğuna ait olup a^2 dir.

Elipsin odakları da a^2 nin payında belirtilen eksen üzerindedir.

Bunun sonucu olarak; 

x^2 /b^2 + y^2 /a^2 = 1 elipsinin bir köşegeninin

eğimi m ise, bunun eşleniğinin eğimi

m' = -a^2 /(b^2 .m) olur.

O halde;

x^2 /5 + y^2 /16 = 1 elipsinin y = 2x - 8 doğrultusuna

paralel köşegeninin eşleniğinin denklemi

y = -16.x/(5.2)  ise y = -8x/5 olur.

Bu köşegen ile elipsin kesim noktaları

(-5/3, 8/3) ve (5/3, -8/3) olup

bunlardan ikincisi aranan noktadır.

III. yol

Elipsin verilen doğruya en yakın noktası,

doğruya paralel teğetlerinden birinin değme noktasıdır.

Elipsin y = 2x - 8 doğrusuna paralel bir teğeti

y = 2x + n olsun.      (1)

x^2 /5 + y^2 /16 = 1  (2)

(1) doğrusu ile (2) elipsinin kesim noktalarının

apsislerini veren denklemin diskriminantı sıfıra eşitlenirse,

n1 = -6 ve n2 = 6 bulunur.

Bunlardan n = -6 alınarak bulunacak kök,

elipsin doğruya en yakın noktasının apsisi olur.